Sistemas de Equaes Lineares Mtodos Diretos e Iterativos

Sistemas de Equaes Lineares

Um sistema de equaes lineares definido como um conjunto m de equaes que contm n incgnitas, geralmente escrito na forma:

Sistemas de Equaes LinearesEste sistema de equaes pode ser escrito em forma matricial como:A.x=BOnde A uma matriz de ordem m x n, contendo os coeficientes das equaes.

Sistemas de Equaes Linearesx uma matriz n x 1, contendo as incgnitas. Esta matriz escrita como:

Sistemas de Equaes LinearesFinalmente, B tambm uma matriz m x 1, e contm os termos independentes das equaes.

Sistemas de Equaes LinearesO sistema de equaes pode ser escrito como:

Ou ento, em sua forma de matriz estendida:

Sistemas de Equaes LinearesJ a matriz

uma soluo para o sistema de equaes se, para cada xi=xi, tivermos uma identidade numrica para o sistema A.x=B.

Sistemas de Equaes LinearesUm sistema de equaes algbricas lineares dito homogneo, se a matriz B do sistema nula, isto , os bj=0.

Um sistema de equaes algbricas lineares dito compatvel, quando apresenta uma soluo, e dito incompatvel, quando no apresenta soluo.(Estudaremos os sistemas de equaes compatveis, que podero se homogneos ou no.)

Sistemas de Equaes LinearesUm sistema de equaes dito triangular superior se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem nulos, ou seja:

Um sistema de equaes algbricas lineares dito triangular inferior se todos os elementos acima da diagonal principal forem nulos, ou seja:

O Mtodo de GaussO mtodo de Gauss ( ou mtodo da eliminao Gaussiana) consiste em transformar o sistema linear, em um nmero finito de etapas, em outro equivalente, de mesma soluo.

A ideia transformar o sistema linear no formato triangular superior.

Transformaes elementares:

Troca a linha i pela linha j; Substituir a linha i pela mesma linha multiplicada por uma constante no-nula;Substituir a linha i pela soma dela com outra linha j.Obs.: i) permitido fazer vrias operaes elementares de uma nica vez, bem como subtrair linhas ou dividir uma linha por uma constante. ii) recomendvel, que o primeiro coeficiente no-nulo de cada linha seja igual a 1.

Vejamos atravs de um exemplo como o mtodo de Gauss aplicado:Exemplo: Dado o sistema de equaes abaixo, determine a sua soluo atravs do mtodo de Gauss.

Problemas deste mtodo:Se houver algum elemento nulo na diagonal principal, no ser possvel encontrar a resposta (para isso, pode-se trocar as linhas de forma a corrigir este problema).

Valores de piv muito prximos de 0 propagam erros de arredondamento muito facilmente, podendo at mesmo invalidar os resultados alcanados. O ideal que os multiplicadores das linhas sejam todos menores que 1.

Exerccio: Determine a soluo dos sistemas a seguir:i)ii)iii)

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