1

Bsc

Hő- és áramlástan I.

előadás jegyzet 2007/2008 II. félév

Oktatta: Dr. Perjési István

2

Áramlástan

1. előadás

Matek összefoglaló y=f(x)

Skalár-vektor függvények differenciálhányadosa

skalár függvények: p, T, ρ

𝑑 skalár fgv.

𝑑𝑟 = ∇ skalár fgv. = grad skalár fgv.

grad T =𝜕T

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕T

𝜕𝑥𝑗 +

𝜕T

𝜕𝑧𝑘

Vektor függvények: 𝑐 , 𝑎

𝑑𝑐

𝑑𝑟 = D 𝑐 𝑐𝑥 , 𝑐𝑦 , 𝑐𝑧 ; 𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ha a vektor-vektor függvény lineáris és homogén, azt úgy hívjuk, hogy derivált tenzor.

𝑑𝑐

𝑑𝑟 = D =

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑦

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑥

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧

Ha a sorokat és oszlopokat felcseréljük, akkor kapjuk a transzponált tenzort.

D = D T T

D ∙ u = u ∙ D T

∇=𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘

grad p

p=áll.

merőleges a felületre és

a nagyobb érték felé

mutat

grad T

T1 < T2

div 𝑐

x

y

z 𝑟 (𝑥, 𝑦, 𝑧)

3

D =1

2∙ D + D T

D def

+1

2∙ D − D T

örvény tenzor ω ×… ;D örv

D def →lineáris nyúlás és romboiddá torzulás (Dilatáció és disztorzió)

D örv →elfordulás

div 𝑐 =𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧= ∇𝑐

sebbességtér létezésének feltétele 𝜌 = áll, akkor div 𝑐 = 0 ⟹ anyagmegmaradás

elvével függ össze

pl.: szivacs összenyomása

Gauss-Osztrogradszkij tétel

V = 𝑐 𝑑A

A

= div 𝑐 𝑑V

V

div 𝑐 = 𝑐 ∙ A

V

m3

s ∙ m3

Egységnyi idő alatt egységnyi térfogaton mennyi anyag vagy térfogat keletkezik vagy

szűnik meg. 𝜌 = áll, ha div 𝑐 > 0 → forrás vagy div 𝑐 < 0 → nyelő.

Folytonosság törvénye ∂𝜌

∂𝑡+ div ρ ∙ 𝑐 = 0

Derivált tenzor főátlón kívüli tagjai állítják elő a rotációt

x

y z

div 𝑐 =𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥+

+𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦+

+𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧−

A = 𝑑A

A

V = 𝑑V

V

rot 𝑐 = ∇ × 𝑐

−∂𝜌

∂𝑡

div ρ ∙ 𝑐

ha kieresztem a levegőt,akkor így, ha gumit

fújok,akkor meg pont az ellentétes az előjel

Lufi vagy luftballon

𝑑A

𝑑V

∇

𝑐

rot 𝑐 = ∇ × 𝑐 = 2𝜔 1

s

4

rot 𝑐 = ∇ × 𝑐 =

𝑖 𝑗 𝑘

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧𝑐𝑥 𝑐𝑦 𝑐𝑧

= 𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑦−

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑧 𝑖 −

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑥−

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑧 𝑗 +

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑥−

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑦 𝑘

Deriváltak kombinációja

div rot 𝑐 örv ényt érbe van −e anyag ?

=∇ ∙ ∇ × 𝑐

cos 90° = 0 = 0 ⟹ anyag nem keletkezik és nem szűnik meg

div grad T = ∇ ∙ ∇ T = ∆ Laplasz

∙ T→ha forrásmentes,akkor 0.

∇

𝑐

∇ × 𝑐 rot grad p = ∇ × ∇p

∇||∇⟹sin 0°=0

= 0

5

2. előadás

ZH IV.04. 16-17 Ka.26

PZH IV.11. 16-17 Ka.26

2.ZH V.08. 16-18

PZH V.15. 16-18 Átnézni:

11. fejezet: nem kell: 1-8,19

12. fejezet: nem kell

13. fejezet: 1,7,12-15,18,21/b,23,40

16-os súrlódásos

14. fejezet:

15. fejezet: nem kell: 1,2,9,12,17,18,19,21

16. fejezet: 1,3,4,5,6,9,10

gázdinamika nem kell

17. fejezet: nem kell: 4,5

18. fejezet: nem kell: 2,5,8,12,13,15

19. fejezet: nem kell

20. fejezet: nem kell

21. fejezet: átnézendő

Integrálási képletek

Stockes tétel

Γ cirkuláció

= 𝑐 d𝑠

L

= rot 𝑐 𝑑A

A

Hangsebesség felett a test a teret „szűkíti”, lökéshullámok válnak le.

𝑐𝑓

𝑐𝑎

Γ Lf

La

Γ = Γf − Γa = cf ∙ Lf − ca ∙ La

F = ρ ∙ c∞ ∙ Γ N

m

Mach szám 1

cwe

V = 𝑐 𝑑A

A

= div 𝑐 𝑑V

V

m3

s ∙ m3

𝑑A

rot 𝑐 = ∇ × 𝑐 = 2𝜔 1

s

M = 𝑐

𝑎 ℎ hangseb .

6

Transzport egyenlet(TE)

- segítségével le tudjuk vezetni egy mozgó térfogat divergenciáját, folytonosság

törvényét, Euler-dinamikai egyenletét és az impulzus tételt, stb.

Változó határon változó térfogati integrálok differenciálási szabálya

𝑑

𝑑𝑡 𝑓 𝑟 , 𝑡 𝑑V

V(t)

= 𝜕𝑓 𝑟 , 𝑡

𝜕𝑡 𝑑V

V instac tag

lokális változás

+ 𝑓 𝑟 , 𝑡 𝑐 𝑑A

A stacionárius tag

térbeli (konvektív )

Gauss −Osztrogradszkij

Lagrange és Euler leírási mód

Lagrange: zárt rendszer, anyagi leírási mód, időtől és tértől is függ

Euler: nyitott rendszer, térbeli

Gauss-Osztrogradszkij tétel

V = v 𝑑A

A

= ∇ v 𝑑V

V

𝑑

𝑑𝑡 𝑓 𝑟 , 𝑡 𝑑V

V(t)

= 𝜕𝑓 𝑟 , 𝑡

𝜕𝑡 𝑑V

V

+ div∇

[𝑓 𝑟 , 𝑡 skalár

∙ 𝑐 ]𝑑V

V

grad∇

[𝑓 𝑟 , 𝑡 vektor

∙ 𝑐 ]𝑑V

V

grad (skalár)=∇ (skalár)

div 𝑣 = ∇𝑣 rot 𝑣 = ∇ × 𝑣

∇=d

d𝑟 =

𝜕

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘

Transport egyenlet differenciális alakja híd a két leírási mód között. Sebességtér

𝑐 𝑟 , 𝑡 m

s és gyorsulástér 𝑎 𝑟 , 𝑡

m

s2 közötti kapcsolat::

𝑑𝑐

𝑑𝑡=

𝜕𝑐

𝜕𝑡+

𝜕𝑐

𝜕𝑟 D

𝑐

𝑎 = 𝑎 lok + 𝑎 konvektív ,

𝑓(𝑟 , 𝑡) 𝑓 vektor

𝑓 skalár

V(t) V(t+Δt)

V = 𝑑V

V

Lagrange zárt anyagi

rendszer

Euler nyitott anyagi

rendszer

teljes differenciál, szubsztanciális tag

7

Euler leírása a tér pontjához köti a mozgási jellemzőket, így stacionárius(időálló)

áramlás, ha a lokális gyorsulás egyenlő nullával. Ha az általunk választott koordináta-

rendszerbe a tér egy pontjába a sebesség nagysága vagy iránya változik, akkor az

áramlás instacionárius.

𝑎 lok =𝜕𝑐

𝜕𝑡≠ 0 ⇒ instac

𝑎 konv ≠ 0 ⇒ stac konvektív gyorsulás stacionárius áramlásnál is létezhet!

Ideális és valóságos folyadék jellemzői

Ideális Súrlódásos, valóságos

1.) Homogén continoum 1.) molekuláris szerkezetű

2.) súrlódásmentes 2.) súrlódásos

(ν=0) 𝜈 =

𝜇

𝜌

m2

s Reynolds szám

ν→kinematikai viszkozitás

μ→dinamikai viszkozitás (Pa∙s)

μ≠0

3.) ρ=áll→összenyomhatatlan 3.) összenyomható

Megj.:összenyomhatatlan a levegő, ha a

Mach szám kisebb, mint 0,3; p2

p1< 1,1

Mach szám= 𝑐

𝑐 hang ~

F tehetetlenséi

F rugalmassági

20°-os levegőnél kb 400 km

h

𝑎 hang = 𝜅 ∙ R ∙ T m

s2 (nullfrekvenciás)

ρ μ ν

víz: 4°C; 103

kg

m3 130∙10-5

Pa∙s 1,3∙10-6

m2

s

víz: 0°C; 1,29 kg

m3 1,8∙10-5

Pa∙s 14,4∙10-6

m2

s

víz: 100°C; 953 kg

m3 0,294∙10-6

m2

s

𝑐 1 𝑐 2

1 2

V = áll V = 𝑐𝑖 ∙ A𝑖

𝑎 lok = 0

helyváltoztatás miatt

változik a sebesség, ez a

konvektív gyorsulás

t (°C)

ν

folyadék

gáz

8

Re szám =c∙d

𝜈 Gázoknál: t ↑ 𝜈 ↑ Re ↓ ∆p′ = λ ∙

ℓ

dhidraulikus∙

ρ

2∙ c2

Folyadékoknál: t ↑ 𝜈 ↓ Re ↑ ∆p′ = λ ∙ℓ

d h∙

ρ

2∙ c2

víz T-S diagramm

Tenzió görbe

p +𝜌

2∙ 𝑐2 = áll

Bernoulli: 𝑐 1 < 𝑐 2 > 𝑐 3 p1 > p2 < p3

ha p2 < ps ⇒gőzbuborékok keletkeznek, amelyek p>p3

összenyomódnak az egyensúlyi helyzeten

túl, a feszültség nagyon nagy lesz

összeomlás=implosion⇒1000 bar⇒ mechanikai erózió

pl.: hajócsavar szívott oldalán

ds=(3…5)∙10-10

(m)

Gázok: d≈10∙ds

Folyadékok: d≈ds

F

d (m)

d s folyadék

gáz

taszítás

vonzás

kritikus pont

S

F

folyadék+gőz

foly

adék

gőz p3⇔T3

Gibbs féle fázisszabály

áll.jelző=alk.szám+2-fázisok száma

nedves mező

V 𝑐 1

𝑐 2 𝑐 3

implosion

Ha egy rendszerben, az adott

hőmérséketű folyadék nyomása egy

bizonyos helyen a telítési nyomás

alá csökken (Px<Ps), akkor kavitáció

jelentkezik.

T

p

folyadék

Px

ps

Ts

gőz

9

pössznyomás = p statikus

+𝜌

2∙ 𝑐2 ⇒ m ∙ 𝑐 -vel függ össze

Tö = T + Ta = T +c2

2cp

Lamináris áramlás 𝜏 = 𝜇 ∙𝑑𝑐𝑥

𝑑𝑦

- a rétegek között sebesség különbség↔a súrlódás feltétele!

- súrlódásnál a fal érdes⇒falnál megegyezik a folyadék sebessége a fal

sebességével

Mérték egységek

Műszaki SI

idő s s

távolság m m

tömeg - kg

erő kp -

kps2

m F = m ∙ g N

1 kg tömegű test súlyereje 1 kp ill. 9,81N

1 kp=9,81N

1 kcal=427mkp=75∙9,81 (J=Nm)

1 LE=75mkp

s=75∙9,81 (W)

1000

75 ∙ 9,81→ 1 kW = 1,36 LE

1 atm = 104kp

m2= 98100Pa

g = 9,81N

kg=

m

s2→ térerősség

pstat

pössz

Pitot cső

Prandtl:dinamikus nyomás m ∙c2

2 részecskék kinetikai energiájától függ

fal

10

3.előadás

Hidrosztatika

- a nyugvó folyadék tana

- a nyugalomnak az általunk felvett koordináta-rendszerben kell fennálnia

0 = F g i+ F p

0 = 𝜌g dV

V

− p dA

A

Hidrosztatika kiindulási integrál egyenlet

A felületi normálvektor kifelé, a nyomásból adódó erő befele, tehát negatív.

𝑣 dA

A

= div 𝑣 dV

V

𝑣 = p ∙ n 0

A nyomás skalár mennyiség, ezért hozzárendelhetünk egy egységvektor teret. n 0

0 = 𝜌g dV

V

− grad p dV

V

/: 𝑉 = dV

V

0 = 𝜌g − grad p N

m3

0 = g −1

𝜌 grad p

Hidrosztatika differenciál egyenlete

N

kg g =

N

kg=

m

s2

grad p = 𝜌g

Pascal

A nyomás a folyadéktérbe gyengítetlenül terjed.

grad p = ∇p = 0 → p = áll pl:hidraulikus prés, jármű abroncs

rot 0 = 𝜌g − grad p → rot g = 0 = ∇ × g

nyugalom feltétele:az erőtér rotációja 0

rot g = 0 →örvénymentes, potenciálos erőtér

- gravitációs erőtér mozgás nélkül jelentkezik, föld tömegéből adódik; gyorsulási,

lassulási, centrifugális erőtér

g

grad p g

g = 0

𝑑A

g

F p

F i = 0

nyomás növekedés mindig az eredő térerő

irányába mutat és függ a sűrűségtől

11

Megjegyzés: örvényes erőtér

- nincs nyugalom!!! nem lehetséges!!!

- gépeknél, daruknál, rakétáknál Coriolis erőtér

- egy forgó rendszerbe a forgó tengellyel nem párhuzamosan mozogva jelentkezik

egy erőtér

A térerősséggel szembe nő a munkavégző képesség, a potenciál.

A potenciál a forgástengely irányába nő forgó rendszernél.

pl.:Szeparátor(Laval 1800-as évek):nagyobb sűrűségű anyag távolabb a tengelytől,

centrifugális szűrő; olaj, levegő szűrő; ciklon szűrők

0 = −grad U −1

𝜌 grad p

ρ=áll ρ≠áll

p = −𝜌 ∙ U + K áll

𝑑p

𝜌

2

1

+ dU

2

1

= 0

dU = ±g dz ± a dx − r ∙ ω2dr Példamegoldás menete

- rajz, adat, kérdés

- koordináta rendszer felvétele az objektumra, általába oda, ahol a legtöbb adatot

ismerjük. Forgó rendszernél a forgástengely prioritást élvez.

- potenciálok felírása a felvett koordináta rendszer alapján

𝜔

𝑐

F coriolis

F coriolis = m ∙ 2 ∙ 𝑐 × 𝜔

g coriolis = 𝑐 ′ × 𝜔 Északi félteken kelet fele

Déli félteken nyugat fele

K

grad p

g 0

z

U = ±g ∙ z ± a ∙ x −r2 ∙ ω2

2

r ∙ ω2 dr

2

1

J

kg=

m2

s2 ρ = áll

g = −grad U

↑ z U = g ∙ z

↓ z U = −g ∙ z

Ha a felvett koordináta tengely növekvő potenciál fele mutat,

akkor az alkalmazott előjel pozitív, vagyis a felvett tengely a

térerősséggel ellentétes irányba mutat.

0

𝑎 > 0 ha → x, akkor U = a ∙ xha x ←, akkor U = −a ∙ x

x x

U = −r2 ∙ ω2

2

Centripetális gyorsulás értelmezhető

0 u :kerületi sebesség

a cf r

a cp

x

y

z

12

- behelyettesítünk az alapegyenletbe

- K értékét meghatározzuk

- adatok behelyettesítése és számolás

ρ=áll

1.)

2.)a)Függőlegesen gyorsuló repülőgép üzemanyagtartályában a nyomáseloszlás

meghatározása

b)

3.)

U = g ∙ z

p = −𝜌 ∙ U + K

p = −𝜌 ∙ g ∙ z + K

p0 = −𝜌 ∙ g ∙ 0 + K → p0 = K

p = −𝜌 ∙ g ∙ z−H

+ p0

p0, ρ, g , H pb=?

ha z=0 és p=p0 kezdeti érték feltétel

z

+

-

+

+

-

+

-

-

x

U = g ∙ z + a ∙ z

p = −𝜌 ∙ U + K

p = −𝜌 ∙ (g ∙ z + a ∙ z) + K

z = 0p = pt

K = pt

p = −𝜌 ∙ (−H)(a + g) + pt

pt, ρ, g , H, a>0 pb=?

a t < g p = pt − 𝜌 ∙ z ∙ (g − a)

a t < g

a t = g szabadesés→folyadék súlytalan ha forog

ω

U = g ∙ z + a ∙ x

p = −𝜌 ∙ U + K

p = −𝜌 ∙ (g ∙ z + a ∙ x) + Kx = 0z = 0p = pt

pB = p0 − 𝜌 ∙ g ∙ −H − 𝜌 ∙ a ∙ −L

2

pC = p0 − 𝜌 ∙ g ∙ −H − 𝜌 ∙ a ∙L

2

Az eredő térerőre mindig merőleges az izobár felület.

pt, ρ, g , H, L a>0 pb=?

z

H ρ

pt

g

a t

a x

g er

L

C B

0

pb = p0 + 𝜌 ∙ g ∙ H

z

0

H ρ

p0

B

a

z

0

H ρ

pt

g a t

B

z

0

H ρ

pt

g

a t

a

13

Forgó tartály: szeparátor, centrifugális szűrő, ciklonszűrő

Forgó tartályba a nyomás Euler és Bernoulli egyenletével is fel fogjuk írni.

4.)a)Forgó tartály

b)Forgó tartály+nehézségi erőtér

H0 = H −z0

2

z0 =ω2

2 ∙ gR2 = K ∙ R2 → K =

z0

R2

p = −ρ ∙ g ∙ z +ρ

2∙ r2 ∙ ω2 + K

z = 0r = 0

p = p0

p = p0 − ρ ∙ g ∙ z +ρ

2∙ r2 ∙ ω2

p = p0 + ρ ∙ g ∙ H0 +ρ

2∙ R2 ∙ ω2

U = −r2 ∙ ω2

2

p = −𝜌 ∙ U + K

p = −𝜌 ∙ r2 ∙ ω2

2 + K

r = 0p = p0

K = p0

p − p0 =𝜌

2R2 ∙ ω2

U = g ∙ z −r2 ∙ ω2

2= áll

z =ω2

2 ∙ gr2 + áll = K ∙ r2 + áll

r

0

ρ

p0

B

ω R

z0

z0

2

z0

2

H0

z

r 0

p0

ekvipotenciális felület

ω

R

H

B

z0

Vforg .paraboloid =Vhenger

2

V = z dA

A

= K ∙ r2 ∙ 2 ∙ r ∙ π dr

R

0

= 2 ∙ KR4 ∙ π

4=

z0

R2∙

R4 ∙ π

2

=1

2∙ z0 ∙ R2 ∙ π

Re < 2300

c =cmax

2

Lamináris csőáramlás

áll=0

x

z

0

c → átlag

c max

14

4.előadás

1.)

2.)a)Izotermikus légkör→T0=áll Sűrűség a nyomás függvénye p

𝜌= R ∙ T0 =

p0

𝜌0

Izotermikus légkör mindenféle erőtérben definiálható.

dU = g dz

dp

𝜌

2

1

+ dU

2

1

= 0

p

R ∙ T0= 𝜌

R ∙ T0 dp

p

2

1

+ g dz

H

0

= 0

Kéményhuzat, metacentrum, stb.

Ahány közeg, annyi hidro statika egyenlet

ω, Ri, p0, ρvíz, ρHg p3=?

p = −𝜌 ∙ U + K

U = −r2 ∙ ω2

2

p =𝜌víz

2∙ r2 ∙ ω2 + Kvíz

r = R1

p = p0

→ Kvíz = p0 −𝜌víz

2∙ R1

2 ∙ ω2

p2 = p0 +𝜌víz

2∙ ω2 ∙ R2

2 − R12

p =𝜌Hg

2∙ r2 ∙ ω2 + KHg

r = R2

p = p2

→ KHg = p2 −𝜌Hg

2∙ R2

2 ∙ ω2

p3 = p0 +𝜌víz

2∙ ω2 ∙ R2

2 − R12 +

𝜌Hg

2∙ ω2 ∙ R3

2 − R22 𝜌víz < 𝜌Hg

dp

𝜌

2

1

+ dU

2

1

= 0

dU = ±g dz ± a dx − r ∙ ω2 dr

R1 és R2 között víztér van

Higanytér

Két külünböző anyagra két külön hidrosztatika egyenlet.

ρ≠áll Nincs ilyen a példatárba.

Izotermikus atmoszféra p0, T0, R, H pB=?

A légkör áll, troposzféra 15km, sztratoszféra 50km,

mezoszféra 90km, felette termoszféra ( politrópikus jellegű

a változás a troposzférában).

lnpB

p0= −

g

R ∙ T0∙ H

pB = p0 ∙ e−

gR∙T0

∙H

forgó rendszerbe rω2 dr-rel számolhatunk

z

(m)

P 1

z H

p0,T0

B

z≈0 R1 R2 R3

r

1 2 3 ρvíz ρHg

0

ω

15

b) 𝜌 = 𝑓(𝑟, … )

Kinematika

- folyadékmozgások vizsgálata

- leírási módszerek

- sebesség és gyorsulástér kapcsolata

- folyadékrészecske alap mozgásformái

- folytonosság törvénye

- örvényes, örvénymentes áramlás

- síkáramlások, komplex potenciálok→(nem kell)

Folyadékmozgások leírási módszerei

- Lagrange (1736-1813)

mivel részecskéhez, vagy zárt mozgórendszerhez kötött, ezért ezt anyagi leírási

módnak hívjuk. Itt nem lehet stacionárius áramlás!!!

- Euler (1707-1783)

- A mozgásjellemzőket a tér adott pontjaihoz köti.

- Nyitott rendszer

c (r , t)

- a sebesség lehet állandó→a l =∂c

∂t= 0

- áramvonal: a sebesség vektor burkoló görbéje

- pálya: egy részecske által megtett út

- nyomvonal: a tér egy adott pontján áthaladó részecskék száma

- áram felület: áramvonalak által határolt felület

- áram cső: egy zárt görbére fektetett áramfelület

- állandó keresztmetszetű cső, instac esetben egybeesik az áramvonal a pálya és a

nyomvonal

- stacionárius áramlásnál mindig egybeesik a pálya, nyomvonal és az áramvonal

Sebesség és gyorsulástér kapcsolata

- lásd TE egyenlet értelmezése

- sebességtér: gyorsulástér kapcsolata

r

s 0 c =

∂r

∂t

s 0

; a = ∂2r

∂t2

s 0

zárt rendszer

c × dr = 0

c (r , t) 𝑑𝑐

𝑑𝑡 szubsztanciális

=𝜕𝑐

𝜕𝑡 idő szerint

lokális

+𝜕𝑐

𝜕𝑟∙ 𝑐

helyváltoztatásnál

adódó változáskonvektív

𝑎 = 𝑎 lok + 𝑎 konvektív

𝑎 konvektív =𝜕𝑐

𝜕𝑟∙ 𝑐 = D ∙ 𝑐 =

1

2 D + D T 𝑐 +

1

2 D − D T 𝑐

𝑎 konvektív =𝜕𝑐

𝜕𝑟∙ 𝑐 = grad

𝑐 2

2 − c × rot c

Euler dinamikai egyenletébe

Stacionárius áramlás: 𝑎 lok =𝜕𝑐

𝜕𝑡= 0

ha c r : inhomogén

ha c r , t : instacionárius

ds

c

ψ

16

Folyadékrészecske alap mozgás formája

- egy rögzített időpillanatba a sebességváltozás úgy alakul

𝑑𝑐 =𝜕𝑐

𝜕𝑡∙ 𝑑𝑡

rögzített

időpillanatban

+𝜕𝑐

𝜕𝑟∙ 𝑑𝑟 =

1

2 D + D T 𝑑𝑟

D deformáció

izotróp dilatáció :

lineáris deformációdisztorzió : szögdeformáció

+1

2 D − D T

D örvény

𝑑𝑟

D T T

= D D ∙ u = u ∙ D T

Folytonosság törvénye

- anyagmegmaradás áramlástani megfogalmazása

megmaradási elvek: anyagmegmaradás, energiamegmaradás, impulzus megmaradás,

impulzusnyomaték (Perdület)

- m = áll f r , t = 0

dm

dt= 0 = 𝜌 dV

V(t)

= 𝜕𝑐

𝜕𝑡 dV

V

+ 𝜌

A

𝑐 dA

∂𝜌

∂t+ div 𝜌 ∙ 𝑐 = 0

inhomogén és instacionárius térre vonatkozik

ha az áramlás stacionárius, de függ a helytől, konvektív változás

𝜌 r div ρ𝑐 = 0

𝜌 = áll div 𝑐 = ∇ ∙ 𝑐 = 0 =𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥+

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦+

𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧

𝜌 = áll div 𝑐 > 0 forrás div 𝑐 < 0 nyelő⟹fiktív tér

ha div 𝑐 ≠ 0 nem létezik a sebességtér, csak fikció

transzláció,

eltolódás

ω

D örvény

örvénytenzor,

rotáció, elfordulás

D deformáció = D dilatációs lineáris deformáció

+ D disztorzió szögdeformáció

rot 𝑐 = 2𝜔

D dil =

𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥0 0

0𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦0

0 0𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧

Derivált tenzor főátlója

𝜌 = áll → div 𝑐 = 0

−∂𝜌

∂𝑡

div ρ ∙ 𝑐

anyag állandóságával, megmaradásával függ össze

17

m = áll d 𝜌 ∙ c ∙ A = 0 dA

A+

dc

c+

d𝜌

𝜌= 0

folytonosság törvény spec alak

m = 𝜌i ∙ ci ∙ Ai kg

s

Örvényes és örvénymentes áramlás

Stokes tétele:

Γ = 𝑐 d𝑠

L

= rot 𝑐 𝑑A

A

m2

s

távolság ↑ c ↓ p ↑ p +𝜌

2∙ c2 = áll

↓ ↑ ↓

Γ = Γf − Γa = c f ∙ Lf − c a ∙ La

F f = ρ ∙ c ∞ ∙ Γ N

m

pl.: szárnyaknál, örvénygépek lapátjainál hat a felhajtó erő, ok-okozati

összefüggés( irányelterelés, a profiltér körül a nyomás és sebességváltozás)

rot 𝑐 𝑑A → 2ω1 ∙ A1 = 2ω2 ∙ A2

ω1 ∙ A1 = ω2 ∙ A2

𝑐 R

Γ = 𝑐 ∙ 2 ∙ R ∙ π = 2 ∙ ω ∙ R2 ∙ π

𝑐𝑓

𝑐𝑎

Γ Lf

La

ω × dr = 0

div rot 𝑐 = ∇ ∇ × 𝑐 cos 90° = 0

= 0

zárt görbére örvényvonalakat állítunk→örvénycső

anyag nem keletkezhet és nem is szűnhet meg

rot 𝑐 2 = 2ω 2 A1

A1

L1

L2

∇

𝑐

rot 𝑐

90°

F

F ellen

F felhh

18

5.előadás

Örvénymentes áramlás

- rot 𝑐 = 0 → Γ = 0

𝑐 = grad 𝜑 𝜑: sebeségi potenciál

- Áramfüggvények

sebességi potenciál és az áramvonalak egymásra merőlegesek

meredekség 𝜑 = −1

meredekség 𝜓

2D-s áramlásnál, ha rot 𝑐 = 0 ⟹ ∆𝜓

∆= ∇2

= 0; ∆𝜑 = 0

síkáramlás

Laplace egyenletek

𝑐 𝑥 =𝜕𝜓

𝜕n; 𝑐 𝑥 = lim

∆n→0

∆𝜓

∆n

p +𝜌

2∙ c2 = áll

∆n ↑ 𝑐 𝑥 ↓ p ↑ ↓ ↑ ↓

Az áramkép szinguláris(eltérő viselkedésű) pontjai.

forrás nyelő Torlópont szívási pont

div 𝑐 > 0 div 𝑐 < 0 sebesség egyenlő 𝑐 𝑥 = limΔs→0

Δ𝜑

Δs= ∞

0-val⟹létezik!

𝑐 = grad 𝜑 = ∇ ∙ 𝜑 =𝜕𝑐𝑥

𝜕𝑥𝑖 +

𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑦𝑗

2D

𝜕𝑐𝑥𝜕𝑧

=0; 𝜕𝑐𝑦

𝜕𝑧=0

+𝜕𝑐𝑧

𝜕𝑧𝑘

c × dr = 0 𝜓 =m3

s ∙ m

matematikai fikció, mert az anyagmegmaradásnak érvényesülnie

kell, 𝜌 = áll → div 𝑐 = 0

Stokes tétel: Γ = 𝑐 d𝑠

L

= rot 𝑐 𝑑A

A

ds

c

ψ

ψ ψ

𝑐 2 𝑐 1 φ2 φ1

∆s = 0

19

Stokes áramlás: lassú áramlás (v≠0), Reynolds szám nagyon kicsi

Szívási pont: értelmezhető a potenciálos örvénynél.

Örvénymentes örvény (potenciálos örvény) sajátossága: a körmozgás ellenére a

középpont kivételével örvénymentes

pl.: ívcsőben áramlás

Valóságban, egy folyó örvényben

ok:nem lehet végtelen sebesség az origóban

rot 𝑐 z =c

r+

dc

dr

Folyadékok dinamikája - Euler dinamikai egyenlete

- Örvénytételek→jegyzet

- Bernoulli egyenlet

- Impulzustétel

- gázdinamika→II. félév

Euler dinamikai egyenlete

- Dinamikába már a mozgás okát is vizsgáljuk

- kiindulás: Newton mozgásmennyiségi törvénye→1 test mozgásmennyiségének

időegység alatti változása egyenlő a rá ható erők eredőjével.

2 torlópont, a 2.-ik a test mögött(T2)

K=c∙r

⇓

perdület(impulzus nyomték)

T1 T2

x

y

0

0

|τ|

𝑐

r

𝑐 =K

r

(ν=0)

0

𝑐

c=K’∙r⟹merev test szerű mozgás

c =K

r⟹egyenlőszárú hiperbola y =

K

x

r

20

d

dt 𝑐 ∙ 𝜌 dV

V(t)

= 𝜌 ∙ g dV

V(t)

− p dA

A(t)

+ F S

d𝑐

dt= g −

1

𝜌 grad p

∂𝑐

∂t+ grad

𝑐 2

2 − 𝑐 × rot 𝑐 = −grad U + g coriolis −

1

𝜌 grad p

Bernoulli = Euler egy ds

2

1

Euler dinamikai egyenlete természetes koordináta rendszerben (kísérő triéder)

r ∙ ω2 =c2

r=

1

𝜌

dp

dr

- következtetés

- párhuzamos áramvonalakhoz

az áramvonalakra merőlegesen a nyomás értéke állandó

- r ∙ ω2 =1

𝜌

dp

dr r↑ p↑

sugár irányába a nyomás nő

Örvény tételek

- Kelvin tétele

- Potenciálos erőtérben ρ=áll vagy barotróp esetbe [ρ(p)] a cirkuláció értéke

az idő függvényében nem változik

dΓ

dt=

d

dt 𝑐 d𝑠

L

= 0

𝑐 = (𝑟 , t)

baloldal megoldására a transzport egyenletet

használjuk úgy, hogy először felcseréljük az

integrálást a deriválással, a jobboldalára meg

alkalmazzuk a Gauss-Osztrogradszkij tételt

Bernoulli az Euler integrálja, három

ismeretlen p, 𝑐 , 𝜌 Folytonosság ,Berno ulli ,𝜌=áll

−r ∙ ω2 = −c2

r= −

∂U

∂r 0

−1

𝜌

∂p

∂r

Euler egyenlet a főnormális irányában stacionárius áramlás

(centripetális gyorsulás)

Coriolis nem értelmezhető

c2

r= 0 =

1

𝜌

dp

dr→ p = áll ψ

r=∞

p0-Δp

p0+Δp

p0 p↑

r↑

rot g = 0

↓𝜌 = áll

(potenciálos erőtér)

ρ=ρ(p)

r

c

ψ o

s

n

b

érintő kör

21

- cirkuláció nem változik, súrlódás nincs, akkor állandó

- álltalába örvénymentes térből jövő áramlás örvénymentes marad

- örvényfelület mindig megtartja örvényfelület jellegét

- Helmoltz

- Helmoltz rezonátor:rugó+rugózott tömeg→rezgőkör, kondenzátorok és

tekercs

- I. örvény tétel

- két örvényfelület metszésvonala mindig ugyanazon részecskékből

áll

- II. örvény tétel

- örvénycső mentén a cirkuláció állandó

Γ = rot 𝑐 1 dA 1

A1

= rot 𝑐 2 dA 2

A2

= áll

- örvényvonal vagy önmagába záródik, vagy faltól falig terjed

- Biot-Savart tétel

- örvénynél (hajócsavar, légcsavar) milyen sebességtér indukálódik

Bernoulli egyenlet és alkalmazása

- energia egyenlet, energia megmaradást fejezi ki

- áramlás terében az áramlás két pontja között

Gép (rövid szívócsöveknél nem kell

foglalkozni a rotációs taggal)

A↓ ω↑

Bernoulli egy = Euler ds

2

1

Γ

−Γ

indulási örvény→szárnyvégi örvény

tornádó

A ha A→0

ω→∞ p0 = p +𝜌

2∙ c2

c=r∙ω

ds 1

2

ψ1

ψ2

22

∂𝑐

∂t∙ ds

2

1 instac

+ 1

𝜌∙ grad p ∙ ds

2

1

+ grad 𝑐 2

2 ∙ ds

2

1

+ grad U ∙ ds

2

1

− 𝑐 × rot 𝑐 ∙ ds

2

1

− 2 𝑐 × 𝜔 g coriolis

∙ ds

2

1

= 0

kiindulási egyenelet

grad skalár = ∇ skalár =d skalár

dr

𝝆 = á𝐥𝐥 d skalár ds

2

1

= grad skalár ds

2

1

= skalár2 − skalár1

∂𝑐

∂t ds

2

1

+p2 − p1

𝜌+

c22 − c1

2

2+ U2 − U1 − 𝑐 × rot 𝑐 ∙ ds

2

1

− 2 𝑐 × 𝜔 g coriolis

∙ ds

2

1

= 0

𝝆 ≠ á𝐥𝐥 dp

𝜌

2

1

+ c ∙ dc

2

1

⟹ kompresszibilis közeg

- 1-es és 2-es pont közötti teljes Bernoulli

p1

𝜌+

c12

2+ U1 =

p2

𝜌+

c22

2+ U2

stacionárius

+ 𝑎 𝑙 ds

2

1

𝑎 𝑙 > 0

𝑎 𝑙 < 0

±𝑎𝑙𝑖∙ 𝐿𝑖

instacionárius

− 𝑐 × rot 𝑐 forgó rendszeről

van ilyen

∙ ds

2

1

− 2 𝑐 × 𝜔 ált=0

∙ ds

2

1

- nem kell számolni az utolsó két taggal:

I.) g coriolis = 0 𝑐 × rot 𝑐 elhagyása, ha

- rot 𝑐 = 0 Kelvin tételének értelmében örvénymentes térből jövő áramlás

örvénymentes marad dΓ

dt= 0

- 𝑐 ||ds ⟹áramvonal mentén integrálunk

- rot 𝑐 ||ds ⟹övényvonal mentén integrálunk

- 𝑐 ||rot 𝑐 ⟹Beltrami áramlás, áram- és örvényvonalak egybe esnek

II.) g coriolis = 2 𝑐 × 𝜔 ≠ 0 - centrifugális járókerék

- Stacionárius

p

𝜌 1

2

+ 𝑤 2

2 1

2

+ U 12 − 𝑤 × rot 𝑤

−2𝜔

ds

2

1

− 2 𝑤 × 𝜔 ds

2

1

= 0

ha van benne Coriolis erőtér, az kiejti a rotációs tagot

mivel a gépek a környezetből,

vagy tartályból szívnak

rot 𝑐 = 𝑢 + 𝑤

rot 𝑐 = rot 𝑢 + rot 𝑤

0 = 2𝜔 + rot 𝑤 rot 𝑤 = −2𝜔

stacionárius áramlás a relatív

áramlás, ráülünk a rendszerre

u 2

w 0

c 2

1

2

ω

w

c

23

6.előadás ρ=áll

1-2

p1

𝜌+

c12

2+ U1 =

p2

𝜌+

c22

2+ U2

stacionárius

+ 𝑎 𝑙 ds

2

1

±𝑎 𝑙𝑖∙ 𝐿𝑖

instacionárius

− 𝑐 × rot 𝑐 ds

2

1

− 2 𝑐 × 𝜔 ds

2

1

ha van Coriolis erőtér, akkor a rotációs taggal kiejtik egymást

örvénymentes térből jövő áramlás örvénymentes marad→ rot 𝑐 = 0 Megoldás menete

- Ábra

- Az origó elhelyezése: kis potenciálú helyre a nehézségi erőtér szempontjából, forgás

esetén a szimmetria tengelyre (lásd hidrosztatika példáknál)

- növekvő potenciál fele kell a tengelynek mutatni

- egyenlet átrendezése

- egyenlet megoldása

1.)

V = c1 ∙ A1 = c2 ∙ A2 → c1 = c2

A2

A1

c2 =

2 ∙ g ∙ H

1 − A2

A1

2 A2 ≪≪ A1 ⟹ A2

A1

2

→ 0

c2 = 2 ∙ g ∙ H → Toricelli 𝑐 1 = 𝑐 tartály = 0 ↔ H = áll

Galilei: m ∙ g ∙ H = m ∙c2

2

Bernoulli: energia megmaradás:helyzeti=mozgási energia, ha nincs súrlódás

2.)

Minden csővégi diffúzor megszívja a rendszert, a megszívás mértéke a valós

nyomásnövekedés értéke, továbbá a kilépési veszteséget csökkenti.

Energia transzformátor: sebességi munkából nyomást állít elő.

A potenciálok értelmezése a hidrosztatikában található.

H = áll → 𝑐 1 ≈ 0

p0p1

𝜌+

c12

2+ U1

g ∙ z1

z1 = H

=

p0p2

𝜌+

c22

2+ U2

g ∙ z0

z0 = 0

Adott: p0, ρ, g = g, A2, H, A1 Kérd: V = c2 ∙ A2 =?c2 =?

rot 𝑐 = 0 vagy 𝑐 ||ds

Bernoulli 1-2 A feladat jelöléseit mindig meg kell tartani!

cx ∙ Ax = c2 ∙ Ad cx > c2 px

𝜌+

cx2

2=

p0

𝜌+

c22

2 px < p0

V = c2 ∙ Ad Ad > A2

αopt csúcsszög

= 8° − 12°

𝑐 1 = 2 ∙ g ∙ H ⟹nem növekszik, mert a potenciáltól függ Ax

Ad

px

𝑐 x

𝑐 2

px=p2

relatív vákum

z

1

H ρ

p0

2

A2

A1

𝑐 2 0

24

3.)

Rotációs taggal számolni kell: forgó tartályban a nyomásváltozás meghatározásához,

tehát a rot tag nem ejthető ki.

Problémát megoldottuk Hidrosztatikában és Euler főnormálisos alakjával.

p2 − p0 = R22 ∙ ω2 −

R2 ∙ ω2

2 𝜌 =

𝜌

2∙ R2

2 ∙ ω2

Összehasonlítani a Hidrosztatikai és Euler 2-s megoldással⟹3 megoldás

Euler leírási mód szerint az áramlás akkor instac, ha az áramlási tér egy pontjában az

áramlás iránya, nagysága vagy mindkettő változik.

Instacionárius példák

- csap kinyitása vagy elzárása, gyorsulás, lassulás az áramlásban.

- 𝑎 𝑙 =∂𝑐

∂t≠ 0

∂𝑐

∂t ds

2

1

= ±𝑎𝑙𝑖∙ 𝐿𝑖

- változó keresztmetszet

lokális gyorsulások és a keresztmetszetek szorzata állandó

c2 = 2 p1 − p0

𝜌+ g ∙ H + a ∙ H

c2 = 2 p1 − p0

𝜌+ a ∙

L

2 + g ∙ H

c2 = 2 p1 − p0

𝜌+ g H −

z0

2 +

R2 ∙ ω2

2

p0

𝜌=

p2

𝜌+

u22

2 R2 ∙ω2

2

− ( u r∙ω

× rot u 2ω

) d s r

−R2

2

2∙ 2ω2 = −R2

2 ∙ ω2

R2

R1

1 2

ω

ω

R2

ω

A1

L1

𝑎 𝑙1

A2

L2

𝑎 𝑙2

A1 ∙ 𝑎 𝑙1= A2 ∙ 𝑎 𝑙2 𝑐𝑖 ∙ A𝑖 = áll

∂𝑐

∂t

𝑖

∙ A𝑖 = áll

1

0 2

a > 0

z

𝑐 2

a > 0

0

2

1 x H

H z

r 0

ω

ω

H

H

1

2

2

𝑐 2

z0

2

1

0

d𝑠

𝑐 = 𝑢

rot 𝑐

2

r

rot 𝑐

25

4.)

p1

𝜌+

c12

2+ U1

g∙H

=p2

𝜌+

c22

2 0→t=0 s

+ U2 ±𝑎𝑙𝑖∙ 𝐿𝑖

+𝑎𝑙 ∙𝐿

gyorsulás csak ott, ahol sebesség létezik

a) 𝑎 𝑙 =

p 1−p 0𝜌

+g∙H

L

b) 𝑎 𝑙 =

p 1−p 0𝜌

+g∙H−c 2

2

2

L

4.)tartálylefejtés esete: szifon hatás

Toricelli képlet

Bernoulli 1-2 t=0 s p0p1

𝜌+

c12

2+ g ∙ Hmax =

p0p2

𝜌+

c22

2 0→t=0 s

+ 𝑎𝑙 L1 + 2L2 + L3 + Hmax → Hmax

Bernoulli S-2→megint két ismeretlen

Bernoulli 1-S→egy ismeretlen: 𝑎𝑙

p1

𝜌+

c12

2 c1=0

+ g ∙ Hmax =pS

𝜌+

cS2

2 0→t=0 s

+ g Hmax + L2 + 𝑎𝑙 L1 + L2 + L3 → 𝑎𝑙

ha változik a keresztmetszet

a) Adott: p0, p1, ρ, g , H, L Kérd: al=?

csap kinyitásának pillanatában (t=0(s))

b) t=12 s 𝑐𝑙 = 5m

s 𝑎𝑙 =?

c2 = 2 ∙ g ∙ Hmax

2-es pontnál kisebb potenciálon megszívjuk a rendszert

Ha Hmax-nál nagyobb a különbség, kavitáció keletkezik ⟹ nem jön több folyadék

Adott: p0, ρ, g , Li Kérd: V = c2 ∙ A2

Hmax =? stac

+𝑎𝑙1∙ L1 + 𝑎𝑙2

∙ L2 és 𝑎𝑙1∙ A1 + 𝑎𝑙2

∙ A2 A1 L1

𝑎 𝑙1

A2 L2

𝑎 𝑙2

z

1

H ρ

p0

2

p1

0 L

z

2

0

L1

L2

L3 p ≥ ps → telítési nyomás

Hmax

1 s

ismeretlen

26

5.) A sebesség változása a csap kinyitásától a stac. áramlás kialakulásáig

Kérd: c2t

c2 stac

=?

dx

a2 − x2=

1

a arth

x

a+ áll

0

dc2t

c22 − c2t

2=

1

2L dt

1

c2∙ arth

c2t

c2=

t

2L

c2t

c2= th

c2

2L konst

∙ t

z

1

H ρ

p0

2

p1

0 L

p1

𝜌+ g ∙ H =

p0

𝜌+

cS2

2+

+L ∙dc2t

dt

∂𝑐

∂t∙ ds

2

1

dc2t

dt=

2 p1 − p0

𝜌 + g ∙ H

c22

− c22

t

2L=

c22 − c2

2t

2L

0,5

1

c2

2Lt

c2t

c2

1

0,5 1,5 2

-1 1 x

y y=arth x

0

27

7.előadás

Impulzus tétel

kiindulás ugyanaz mint, Eulernél

egy test mozgásmennyiségének időegység alatti változása egyenlő a rá ható erők

eredőjével

d

dt m ∙ 𝑐 =

d

dt 𝑐 ∙ 𝜌 dV

V(t)

= ∂ 𝑐 ∙ 𝜌

∂t∙ dV

V instacionárius tag

+ 𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑐 dA

A

= 𝜌 ∙ g dV

V

− p dA

A

impulzus tétel integrál formája

− F + F Súrl

pl.:tenyérbe fújás

-F a test részéről a folyadékra ható erő

𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑐 dA

A(t)

Általános alak:

±I i = ±F g i± F p i

− F

felvett koordinátatengelytől függ

- külső áramlásnál

±I i = −F pl.: könyökcsőben a folyadék súlyát is számolni kell

𝑐 (𝑟 , t)

V(t) Lásd transzport egyenlet

→külső áramlás

I 1

dA 1 𝑐 1

I 2

dA 2

𝑐 2

felületi normális irányába

külső áramlás

𝑐 2 skalár

F g i= 0 :-elhanyagolás

-pl.: merőleges az x tengelyre x

F g 𝑐 1

𝑐 2

áramlásra merőlegesen kell az

ellenőrző felületet felvenni

𝑐

−F F

p0 = 1bar → a statikus nyomás

𝑐 𝑐

statikus nyomás mérése

28

szabadsugárnál a statikus nyomás p0, nyomásból származó erő nincs.

- belső áramlás

- folytonosság és Bernoulli kiegészítő egyenlet

Szabadsugaras példák

1) felvesszük az ellenőrző felületet

2) koordináta rendszer csak az ellenőrző felületen belül lehet

- vízturbinás példáknál külső álló rendszerhez

- ahol Bernoulli is kell, ott a Bernoulli egyenletnél tanultak szerint

3) x: − I 1 = −F → I 1 = F = m ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ A ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ A ∙ 𝑐2

y: I 3 − I 2 = 0 = −F y

lapát és folyadéksugár hasznosítása vízturbina segítségével valósul meg

±I i = ±F p − F

nyomásból származó erők befele

mutatnak

Adatok: ρ, c, A Kérdés: testr ható F

m = 𝜌 ∙ A ∙ c − u

relatívsebesség

F = 𝜌 ∙ A ∙ c − u 2

u értékével növekszik időegység alatt a

folyadékoszlop hossza

𝑐 1 u

F = 𝜌 ∙ A ∙ c + u 2

folyadékoszlop rövidül

𝑐 1 u

u = R ∙ ω; A; 𝑐; 𝜌 F =? ; P =? ; P max =? lásd .: AJGT

x: − I 1 + I 2x= −F

F = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ A ∙ c − u

ha ráülünk a rendszerre, akkor instacionárius lesz az

áramlás Euler leírás mód szerint.

I 1 𝑐 1

A

2

A

2

F −F

A

I 2

I 3

p0 = áll

I 2x

I 1

𝑐 1

R

𝑐 2 w

A

u

ω

I 1 I 2

F p 2 F p1

F pal

29

vízturbinával általában generátort hajtunk meg, ezért lendkereket kell használni

pl.: 50Hz-es áram előállítása

P = M ∙ ω = F ∙ u Pmax → max, min keresés szélsőérték számítással

𝜕P

𝜕u= 0

𝜕2P

𝜕u2 < 0 → max> 0 → min

c = áll

u

c=

1

2

Pneumatikus logikai elemeknél Coauda effektus

Adott: ρ, g = g, A, H

Kérd.: G =?

I 1 = m ∙ 𝑐 I 1 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ A ∙ 𝑐 𝑐2 = 2 ∙ g ∙ H → Torricelli egyenlet

I 2z= −F = G

r ∙ ω2 =c2

r=

1

𝜌∙

dp

dr r ↑ p ↑ Euler dinamikai egyenlete, a főnormális irányában

Megjegyzés: felhajtó erő keletkezik az alábbi esetekben:

- irányelterelés

- nyomástér-változás

- sebességtér-változás

Kontrakció

t(s)

F

G = −F

F

I 2

I 1

G = −F

F α

α

H ρ

p0

A p0-Δp

G = −F

z

0

z

0

I 1

I 2

p0

p0 − ∆p (relatív vákuum)

As

Amp= 𝛼 < 1

Borda féle kifolyónyílás

𝛼 =As

𝐴=?

c2 = 2 ∙ g ∙ H Toricelli

H

ρ

A As

F p1

F p 2

p megoszló

p0+Δp

Δp=ρ·g·H

nincs erő⇐nincs benne szilárd test

I 2

x

z

As Amp

pl.: mérőperem

(beszívó)

30

- F ⟹akkor, ha az ellenőrző felületen belül szilárd test található

x: − I 2 = +F p 1− F p 2

𝜌 ∙ As ∙ 𝑐2 = p0 + 𝜌 ∙ g ∙ H ∙ 𝐴 − p0 ∙ A

𝜌 ∙ As ∙ 2 ∙ g ∙ H = 𝜌 ∙ g ∙ H ∙ A

α =As

A=

1

2 → legrosszabb, α = 1 → legjobb

- belső áramlásnál

- diffúzor, konfúzor

- példatár 13.39-es példa (Heller-Forgó féle hűtőtorony→jegyzet)

-

- I 1 + I 2 = F p1− F p 2

+ F pal x− F

diffúzor hatása a folyadékra, ezért kell rátenni

az ellenőrző felületet, szilárd test benne

F = m ∙ c1 − m ∙ c2 + p1 ∙ A1 − p0 ∙ A2 + p0 A2 − A1 p1−p0

Δp túlnyomás

∙A1

𝜌 ∙ 𝑐1 ∙ A1 𝜌 ∙ 𝑐2 ∙ A2

p1

𝜌+

c12

2=

p0

𝜌+

c22

2→ p1 = p0 +

𝜌 c22 − c1

2

2

minden csővégi diffúzor és konfúzor le akarja tépni a kifolyót

↑ q(J)

p0 ± Δp = p

Adott: V , A1, A2, ρ, p0 Kérd:F =? F y = 0

A példákat mindig abszolút nyomásra oldjuk meg.

A2 − A1

𝑐 I 1 I 2 F p1 F p 2

F pal

F pal x

2 1

0

A1

A2

x

31

8.előadás