Elsorendu logika szintaktikaja es szemantikajaLogika es szamıtaselmelet, 3. gyakorlat

2009/10 II. felev

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 1 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Az ıteletlogikaban az allıtas definıcioja szerint az allıtast egy kijelentomondattal ki lehet fejezni.

Ha a kijelento mondat alanya egy konkret egyed, akkor az allıtastnulladrendu allıtasnak hıvjuk.

Ha a kijelento mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, azallıtast elsorendu allıtasnak hıvjuk. Ebben az esetben az allıtas az elemekhalmazara vonatkozik es az osszes elemre egyidejuleg fennallomegallapıtast/altalanosıtast vagy a halmaz bizonyos elemeire (nemfeltetlenul mindre) fennallo megallapıtast/letezest fogalmaz meg.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 2 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Az ıteletlogikaban az allıtas definıcioja szerint az allıtast egy kijelentomondattal ki lehet fejezni.

Ha a kijelento mondat alanya egy konkret egyed, akkor az allıtastnulladrendu allıtasnak hıvjuk.

Ha a kijelento mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, azallıtast elsorendu allıtasnak hıvjuk. Ebben az esetben az allıtas az elemekhalmazara vonatkozik es az osszes elemre egyidejuleg fennallomegallapıtast/altalanosıtast vagy a halmaz bizonyos elemeire (nemfeltetlenul mindre) fennallo megallapıtast/letezest fogalmaz meg.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 2 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Az ıteletlogikaban az allıtas definıcioja szerint az allıtast egy kijelentomondattal ki lehet fejezni.

Ha a kijelento mondat alanya egy konkret egyed, akkor az allıtastnulladrendu allıtasnak hıvjuk.

Ha a kijelento mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, azallıtast elsorendu allıtasnak hıvjuk. Ebben az esetben az allıtas az elemekhalmazara vonatkozik es az osszes elemre egyidejuleg fennallomegallapıtast/altalanosıtast vagy a halmaz bizonyos elemeire (nemfeltetlenul mindre) fennallo megallapıtast/letezest fogalmaz meg.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 2 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Az ıteletlogikaban az allıtas definıcioja szerint az allıtast egy kijelentomondattal ki lehet fejezni.

Ha a kijelento mondat alanya egy konkret egyed, akkor az allıtastnulladrendu allıtasnak hıvjuk.

Ha a kijelento mondat alanya bizonyos egyedek egy halmaza, akkor, azallıtast elsorendu allıtasnak hıvjuk. Ebben az esetben az allıtas az elemekhalmazara vonatkozik es az osszes elemre egyidejuleg fennallomegallapıtast/altalanosıtast vagy a halmaz bizonyos elemeire (nemfeltetlenul mindre) fennallo megallapıtast/letezest fogalmaz meg.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 2 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Az elsorendu logikaElemek egy halmazara vonatkozo allıtasok

Nulladrendu allıtasok formalis leırasa: relacioval.

Allıtas: konkret egyedekkel behelyettesıtett relacio.

Pl. P(x). Egyedek halmaza: termeszetes szamok.Allıtasok: P(13), P(14).

Ha P(x) jelentese x prım, akkor P(13) = i ,P(14) = h.

Az elsorendu logika eszkozei az allıtasok belso szerkezetenek leırasara alogikai fuggvenyek (relaciok) mellett a matematikai fuggvenyek(muveletek).

Pl. ha azt szeretnenk megfogalmazni, hogy egy 4-ben az x es y hosszuoldal osszege nagyobb, mint a z oldal hossza, akkor szukseg lehet x es yosszeget megado f (x , y) (osszeadas) muveletre. (Es persze a 2 valtozos >relaciora.)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 3 / 21

Matematikai struktura

Matematikai struktura〈U,R,M,K 〉 egyuttes, ahol

U nem ures halmaz, a struktura ertelmezesi tartomanya (amennyiben Uegyfajtaju elemekbol all)

R az U-n ertelmezett logikai fuggvenyek (alaprelaciok) halmazaM az U-n ertelmezett matematikai fuggvenyek (alapmuveletek) halmazaK az U megjelolt elemeinek egy (esetleg ures) reszhalmaza

AritasHa r ∈ R (illetve m ∈ M) n-valtozos, akkor azt mondjuk, hogy r (illetvem) aritasa n.

A struktura szignaturajaA struktura szignaturaja megadja az egyes alaprelaciok es azalapmuveletek aritasat valamint K elemszamat.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 4 / 21

Matematikai struktura leıro nyelve

Egy matematikai struktura leıro nyelvenek abeceje all

• Logikan kıvuli resz• az indivıduumvaltozokbol, amelyek az U univerzum elemeit futjak be.• az R halmazbeli alaprelaciok neveibol• az M halmazbeli alapmuveletek neveibol• a K halmazbeli elemek neveibol.

• Logikai resz• ¬,∧,∨,⊃• ∀,∃ kvantorok; halmazokra vonatkozo allıtasok leırasara• (, )

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 5 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve

Olyan abecevel kell hogy rendelkezzen, melynek a logikan kıvuliszimbolumai es azok szignaturaja barmely adott matematikai strukturaszignaturajaval megfeleltetheto legyen es ennelfogva a szimbolumoklehessenek a struktura relacioinak, muveleteinek es megjelolt elemeinek anevei. Mas szoval a nyelv alkalmas kell hogy legyen tetszolegesszignaturaju matematikai strukturak leırasara.

Peldaul 〈tobbfele elembol allo U,R,M,K 〉 struktura leıro nyelve lehet akovetkezo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 6 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve

Olyan abecevel kell hogy rendelkezzen, melynek a logikan kıvuliszimbolumai es azok szignaturaja barmely adott matematikai strukturaszignaturajaval megfeleltetheto legyen es ennelfogva a szimbolumoklehessenek a struktura relacioinak, muveleteinek es megjelolt elemeinek anevei. Mas szoval a nyelv alkalmas kell hogy legyen tetszolegesszignaturaju matematikai strukturak leırasara.

Peldaul 〈tobbfele elembol allo U,R,M,K 〉 struktura leıro nyelve lehet akovetkezo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 6 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve 2.

Az L nyelv abeceje: 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉

• Srt, nemures halmaz melynek πj elemei fajtakat szimbolizalnak

• Pr, predikatumszimbolumok halmaza. ν1, P ∈ Pr -re megadja Paritasat (k) es, hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok(π1, π2, . . . , πk)

• Fn, fuggvenyszimbolumok halmaza. ν2, megadja f aritasat (k) es,hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok valamint a fuggvenyerteke (π1, π2, . . . , πk ;πf ).

• Cnst, konstansszimbolumok halmaza, ν3 megadja a konstansokszamat es minden konstanshoz annak fajtajat.

Szignatura: (ν1, ν2, ν3)

Az 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉 kepezi a logikai nyelv logikan kıvuli reszet.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 7 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve 2.

Az L nyelv abeceje: 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉

• Srt, nemures halmaz melynek πj elemei fajtakat szimbolizalnak

• Pr, predikatumszimbolumok halmaza. ν1, P ∈ Pr -re megadja Paritasat (k) es, hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok(π1, π2, . . . , πk)

• Fn, fuggvenyszimbolumok halmaza. ν2, megadja f aritasat (k) es,hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok valamint a fuggvenyerteke (π1, π2, . . . , πk ;πf ).

• Cnst, konstansszimbolumok halmaza, ν3 megadja a konstansokszamat es minden konstanshoz annak fajtajat.

Szignatura: (ν1, ν2, ν3)

Az 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉 kepezi a logikai nyelv logikan kıvuli reszet.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 7 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve 2.

Az L nyelv abeceje: 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉

• Srt, nemures halmaz melynek πj elemei fajtakat szimbolizalnak

• Pr, predikatumszimbolumok halmaza. ν1, P ∈ Pr -re megadja Paritasat (k) es, hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok(π1, π2, . . . , πk)

• Fn, fuggvenyszimbolumok halmaza. ν2, megadja f aritasat (k) es,hogy milyen fajtajuak az egyes argumentumok valamint a fuggvenyerteke (π1, π2, . . . , πk ;πf ).

• Cnst, konstansszimbolumok halmaza, ν3 megadja a konstansokszamat es minden konstanshoz annak fajtajat.

Szignatura: (ν1, ν2, ν3)

Az 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉 kepezi a logikai nyelv logikan kıvuli reszet.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 7 / 21

Az elsorendu logika leıro nyelve 3.

Logikai jelek

• Kulonbozo fajtaju individuum valtozok, minden fajtahozmegszamlalhato vegtelen sok x , y , yk , . . .

• uner es biner logikai muveleti jelek ¬,∧,∨,⊃• kvantorok ∀,∃• elvalasztojelek (, )

Az L nyelv abecejere V [Vv ]-vel hivatkozunk, ahol Vv adja meg a(ν1, ν2, ν3) szignaturaju 〈Srt,Pr,Fn,Cnst〉 halmaznegyest.

A nyelv kifejezesei informalisan:

• termek (matematikai lekepezeseket szimbolizaljak) es a

• formulak (logikai lekepezeseket szimbolizaljak)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 8 / 21

Szintaktika: Termek

Termek: Lt(Vv )

1 (alaplepes) minden π ∈ Srt fajtaju individuum valtozo es konstansszimbolum, π fajtaju term.

2 (rekurzıv lepes)Ha az f ∈ Fn (π1, π2, . . . , πk ;πf ) fajtajufuggvenyszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) πf fajtaju term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) minden individuum valtozo es konstans szimbolum term.

2 (rekurzıv lepes) Ha f ∈ Fn k-valtozos fuggvenyszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) is term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 9 / 21

Szintaktika: Termek

Termek: Lt(Vv )

1 (alaplepes) minden π ∈ Srt fajtaju individuum valtozo es konstansszimbolum, π fajtaju term.

2 (rekurzıv lepes)Ha az f ∈ Fn (π1, π2, . . . , πk ;πf ) fajtajufuggvenyszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) πf fajtaju term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) minden individuum valtozo es konstans szimbolum term.

2 (rekurzıv lepes) Ha f ∈ Fn k-valtozos fuggvenyszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) is term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 9 / 21

Szintaktika: Termek

Termek: Lt(Vv )

1 (alaplepes) minden π ∈ Srt fajtaju individuum valtozo es konstansszimbolum, π fajtaju term.

2 (rekurzıv lepes)Ha az f ∈ Fn (π1, π2, . . . , πk ;πf ) fajtajufuggvenyszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) πf fajtaju term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) minden individuum valtozo es konstans szimbolum term.

2 (rekurzıv lepes) Ha f ∈ Fn k-valtozos fuggvenyszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) is term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 9 / 21

Szintaktika: Termek

Termek: Lt(Vv )

1 (alaplepes) minden π ∈ Srt fajtaju individuum valtozo es konstansszimbolum, π fajtaju term.

2 (rekurzıv lepes)Ha az f ∈ Fn (π1, π2, . . . , πk ;πf ) fajtajufuggvenyszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) πf fajtaju term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) minden individuum valtozo es konstans szimbolum term.

2 (rekurzıv lepes) Ha f ∈ Fn k-valtozos fuggvenyszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor f (t1, t2, . . . , tk) is term.

3 minden term az 1., 2. szabalyok veges sokszori alkalmazasaval all elo.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 9 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muvelet

barmelyike).• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.

• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muveletbarmelyike).

• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muvelet

barmelyike).

• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muvelet

barmelyike).• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muvelet

barmelyike).• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Szintaktika: Formulak

Formulak: Lf (Vv )

1 (alaplepes) Ha a P ∈ Pr (π1, π2, . . . , πk) fajtajupredikatumszimbolum es t1, t2, . . . , tk rendre π1, π2, . . . , πk fajtajutermek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula. Atomi formula.

2 (rekurzıv lepes)• Ha A formula, akkor ¬A is az.• Ha A es B formulak, akkor (A ◦B) is formula (◦ a harom biner muvelet

barmelyike).• Ha A formula, akkor ∀xA es ∃xA is az.

3 Minden elsorendu formula az 1., 2. szabalyok veges sokszorialkalmazasaval all elo.

Egyfajtaju eset:

1 (alaplepes) Ha P ∈ Pr k-valtozos predikatumszimbolum est1, t2, . . . , tk termek, akkor P(t1, t2, . . . , tk) formula.

2 . . .Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 10 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)

Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

1. Feladat: (Egyfajtaju individdumvaltozok esete)Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmazharmas esszignatura definialja:

〈{E ,P}, {f , g , h}, {0, 1}〉.Szignatura: 2,1;2,2,1;2.

Melyek az alabbiak kozul a termek?

f (x); P(x); f (0, 0); f (h(0), g(0, f (1))); 1; x+y ; f (f (f (f (0, 0), 0), 0), 0).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

P(x); E (f (x , x)); ¬E (0, 0); ∀xP(x); (∀xP(x) ⊃ ¬E (x , y)); P(P(x));

∃y(E (0, 1) ∧ P(h(x , y))).

Atomi formula: csak P(x)Prımformula (atomi vagy kvantalt): P(x), ∀xP(x)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 11 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0).

Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

2. Feladat: (Kulonbozo fajtaju individuumvaltozok esete) Egy elsorendulogika logikan kıvuli jeleit a kovetkezo halmaznegyes es szignaturadefinialja: (A ∼ fajtaju individuumvaltozok: v1, . . .; − fajtajuak: v1, . . .)

〈{∼,−}, {H}, {f , g , h}, {0, 1}〉.ν1(H) = (∼,∼), ν2(f ) = (−,∼;−), ν2(g) = (∼,−;∼), ν2(h) = (∼;−),

ν3(0) = (∼), ν3(1) = (−).

Melyek az alabbiak kozul a ∼ fajtaju termek? Es a − fajtajuak?

v1 + v2; h(0); v3; f (1, 0, v1); f (h(v1), g(0, h(0))); f (h(0), g(0, v1), v1).

Melyek az alabbiak kozul a formulak / atomi formulak / prımformulak?

H(0, 0); H(f (0, 1), v1); ∀v1H(0, 0); (¬∃v1H(0, g(0, v1)) ∨ H(0, 0));

(H(0, 0) ∧ H(0, v1)).

Atomi formula: H(0, 0). Prımformula: H(0, 0), ∀v1H(0, 0).Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 12 / 21

Feladatok

3. Feladat: Az alabbi formulakban

(A) hagyjuk el az elhagyhato zarojeleket! (a-c)

(B) hatarozzuk meg a muveletek es kvantorok hataskoret!

(C) hatarozzuk meg a fo muveleti jelet!

(D) hatarozzuk meg a prımkomponenseket!

1 (¬∀x(P(x) ∧ Q(x , 0)) ∧ ∃xP(x)),

2 (((P(x) ∧ Q(x)) ∨ R(x)) ∧ ¬∀x∃y(P(x) ∨ Q(x))),

3 (∀x(P(a, y) ∨ Q(x)) ⊃ ¬∀x∃yP(x , y)) ∧ P(f (y , y), b),

4 ∀xP(x) ∧ Q(x) ⊃ ¬(∀xQ(x) ∨ Q(0)),

5 ∃xP(x) ∨ ∀yQ(x , y) ∧ P(0).

4. Feladat: Melyek a szabad/kotott/vegyes individuumvaltozok?

1 ∀x∀yP(x , y , f (z)),

2 ∀x∀y((P(x , y) ∧ P(y , z)) ⊃ x = y),

3 ∀x∃y(f (y) = x ∧ ¬∃z(f (z) = x ∧ ¬(y = z))).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 13 / 21

SzemantikaInterpretacio, valtozokiertekeles

Szemantika1. Egy elsorendu logikai nyelv L(Vv ) interpretacioja egyI = 〈ISrt, IPr, IFn, ICnst〉 fuggvenynegyes, aholISrt : π 7→ Uπ,

(U =⋃π∈Srt Uπ az interpretacio univerzuma)

IPr : P 7→ PI ,(ha P ∈ Pr (π1, . . . πk) fajtaju, akkor PI : Uπ1 ×· · ·×Uπk

→ {i , h}.)IFn : f 7→ f I ,

(ha f ∈ Fn (π1, . . . πk ;π) fajtaju, akkor f I : Uπ1 × · · · × Uπk→ Uπ.)

ICnst : c 7→ cI .(ha c (π) fajtaju, akkor cI ∈ Uπ)

2. I-beli valtozokiertekeles. κ : V → U. Ha x (π) fajtaju, akkor κ(x)Uπ-beli individuum.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 14 / 21

SzemantikaInterpretacio, valtozokiertekeles

Szemantika1. Egy elsorendu logikai nyelv L(Vv ) interpretacioja egyI = 〈ISrt, IPr, IFn, ICnst〉 fuggvenynegyes, aholISrt : π 7→ Uπ,

(U =⋃π∈Srt Uπ az interpretacio univerzuma)

IPr : P 7→ PI ,(ha P ∈ Pr (π1, . . . πk) fajtaju, akkor PI : Uπ1 ×· · ·×Uπk

→ {i , h}.)IFn : f 7→ f I ,

(ha f ∈ Fn (π1, . . . πk ;π) fajtaju, akkor f I : Uπ1 × · · · × Uπk→ Uπ.)

ICnst : c 7→ cI .(ha c (π) fajtaju, akkor cI ∈ Uπ)

2. I-beli valtozokiertekeles. κ : V → U. Ha x (π) fajtaju, akkor κ(x)Uπ-beli individuum.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 14 / 21

SzemantikaTermek, formulak jelentese

Legyen I egy interpretacio, es κ egy I-beli valtozokiertekeles.

Termek:

• xs (π) fajtaju individuumvaltozo, |xs |I,κ a κ(x) ∈ Uπ individuum.c (π) fajtaju konstansszimbolum |c |I,κ az Uπ-beli cI individuum.

• |f (t1, t2, . . . , tn)|I,κ = f I(|t1|I,κ, |t2|I,κ, . . . , |tn|I,κ)

Formulak:

• |P(t1, t2, . . . , tn))|I,κ = i , ha (|t1|I,κ, |t2|I,κ, . . . , |tn|I,κ) ∈ PIig(PIig jeloli a PI relacio igazhalmazat.)

• |¬A|I,κ = ¬|A|I,κ|A ◦ B|I,κ = |A|I,κ ◦ |B|I,κ ◦ ∈ {∧,∨,⊃}

• |∀xA|I,κ = i , ha |A|I,κ∗ = i minden κ∗ x variansara|∃xA|I,κ = i , ha |A|I,κ∗ = i legalabb egy κ∗ x variansara

(κ∗ a κ x-variansa, ha κ∗(y) = κ(y), ha y 6= x .)

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 15 / 21

SzemantikaTermek, formulak jelentese

Legyen I egy interpretacio, es κ egy I-beli valtozokiertekeles.

Termek:

• xs (π) fajtaju individuumvaltozo, |xs |I,κ a κ(x) ∈ Uπ individuum.c (π) fajtaju konstansszimbolum |c |I,κ az Uπ-beli cI individuum.

• |f (t1, t2, . . . , tn)|I,κ = f I(|t1|I,κ, |t2|I,κ, . . . , |tn|I,κ)

Formulak:

• |P(t1, t2, . . . , tn))|I,κ = i , ha (|t1|I,κ, |t2|I,κ, . . . , |tn|I,κ) ∈ PIig(PIig jeloli a PI relacio igazhalmazat.)

• |¬A|I,κ = ¬|A|I,κ|A ◦ B|I,κ = |A|I,κ ◦ |B|I,κ ◦ ∈ {∧,∨,⊃}

• |∀xA|I,κ = i , ha |A|I,κ∗ = i minden κ∗ x variansara|∃xA|I,κ = i , ha |A|I,κ∗ = i legalabb egy κ∗ x variansara

(κ∗ a κ x-variansa, ha κ∗(y) = κ(y), ha y 6= x .)Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 15 / 21

Feladatok

5. Feladat: Egy elsorendu logika logikan kıvuli jeleit a kovetkezohalmazharmas definialja: 〈{P,Q}, {f }, {a, b}〉.Szignatura: 2,1;2;2.Tekinsuk a kovetkezo I = 〈U, IPr, IFn, ICnst〉 interpretaciot:

U = {0, 1, 2},IPr : P −→ PI ,Q −→ QI ,IFn : f −→ f I ,ICnst : a −→ 0, b −→ 1,

ahol PIig = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2)},QIig = {(0), (2)}, f I a modulo 3osszeadas.Keszıtsuk el a kovetkezo formulak ertektablajat!

1 ∀xP(x , y) ∨ Q(y),

2 ∃yP(x , y) ⊃ ∀yP(f (y , y), b),

3 (∀x(P(a, y) ∨ Q(x)) ⊃ ¬∀x∃yP(x , y)) ∧ P(f (y , y), b),

4 (∀x(P(x , y) ∨ Q(x)) ⊃ ¬∀x∃yP(x , y)) ∧ P(f (b, y), a).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 16 / 21

Feladatok

y ∀xP(x , y) Q(y) ∀xP(x , y)∨Q(y)

0 h i i

1 h h h

2 h i i

∃yP(x ,y)⊃x ∃yP(x ,y) ∀yP(f (y ,y),b) ∀yP(f (y ,y),b)

0 i h1 h h i2 i h

y f (y ,y) P(f (y ,y),b)

0 0 i1 2 i2 1 h

(∀x(P(a,y)∨Q(x))⊃y ∀x(P(a,y)∨Q(x)) ∀x∃yP(x , y) P(f (y , y), b) ¬∀x∃yP(x ,y))∧P(f (y ,y),b)

0 h i i1 i h i i2 i h h

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 17 / 21

Feladatok

y ∀xP(x , y) Q(y) ∀xP(x , y)∨Q(y)

0 h i i

1 h h h

2 h i i

∃yP(x ,y)⊃x ∃yP(x ,y) ∀yP(f (y ,y),b) ∀yP(f (y ,y),b)

0 i h1 h h i2 i h

y f (y ,y) P(f (y ,y),b)

0 0 i1 2 i2 1 h

(∀x(P(a,y)∨Q(x))⊃y ∀x(P(a,y)∨Q(x)) ∀x∃yP(x , y) P(f (y , y), b) ¬∀x∃yP(x ,y))∧P(f (y ,y),b)

0 h i i1 i h i i2 i h h

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 17 / 21

Feladatok

y ∀xP(x , y) Q(y) ∀xP(x , y)∨Q(y)

0 h i i

1 h h h

2 h i i

∃yP(x ,y)⊃x ∃yP(x ,y) ∀yP(f (y ,y),b) ∀yP(f (y ,y),b)

0 i h1 h h i2 i h

y f (y ,y) P(f (y ,y),b)

0 0 i1 2 i2 1 h

(∀x(P(a,y)∨Q(x))⊃y ∀x(P(a,y)∨Q(x)) ∀x∃yP(x , y) P(f (y , y), b) ¬∀x∃yP(x ,y))∧P(f (y ,y),b)

0 h i i1 i h i i2 i h h

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 17 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i ,

egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen.

A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Elsorendu formulak szemantikus tulajdonsagai

Kielegıthetoseg, logikailag igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula kielegıtheto, ha van az elsorendu logikanyelvenek olyan I interpretacioja, es I-ben olyan κ valtozokiertekeles,melyre |A|I,κ = i , egyebkent kielegıthetetlen. A logikailag igaz, ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = i , ennek jelolese |= A.

Logikailag ekvivalens formulakA es B elsorendu logikai formulak logikailag ekvivalensek, ha ha mindenI, κ-ra, |A|I,κ = |B|I,κ. Jelolese A ∼ B.

Quine-tablazat: A prımkomponenseket ıteletvaltozonak tekinto ıtelettabla.

Tautologikusan igaz formulaEgy A elsorendu logikai formula tautologikusan igaz, haQuine-tablazataban A oszlopaban csupa i all. Jelolese |=0 A.

Nyilvan |=0 A =⇒ |= A.Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 18 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔

|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔

|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔

κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔

κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔

|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

6. Feladat: Igazoljuk, hogy ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x) nem tautologikusanigaz formula, de logikailag igaz.

Megoldas:

∃x¬P(x) ∀xP(x) ¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)

i i i

i h i

h i i

h h h

Tehat a formula nem tau-tologikusan igaz.

|¬∃x¬P(x) ⊃ ∀xP(x)|I,κ = h ⇔|¬∃x¬P(x)|I,κ = i es |∀xP(x)|I,κ = h⇔|∃x¬P(x)|I,κ = h es |∀xP(x)|I,κ = h.

|∃x¬P(x)|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗ x-variansa|¬P(x)|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |¬P(x)|I,κ∗ = h ⇔κ-nak minden κ∗ x-variansara |P(x)|I,κ∗ = i ⇔|∀xP(x)|I,κ = i .

Tehat minden I, κ eseten a formula i , azaz a formula logikailag igaz.Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 19 / 21

Feladatok

Par(A) az A formula nem kotott individuumvaltozoi. Ha Par(A) = ∅, akkora formulat zart kifejezesnek, egyebkent parameteres kifejezesnek nevezzuk.

7. Feladat: Elsorendu logikai torvenyek:

1 ha x 6∈ Par(A), akkor∀xA ∼ A es ∃xA ∼ A,

2 ∀x∀yA ∼ ∀y∀xA es ∃x∃yA ∼ ∃y∃xA,

3 ¬∃xA ∼ ∀x¬A es ¬∀xA ∼ ∃x¬A,

4 ha x 6∈ Par(A), akkorA ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧ B) es A ∧ ∃xB ∼ ∃x(A ∧ B),A ∨ ∀xB ∼ ∀x(A ∨ B) es A ∧ ∃xB ∼ ∃x(A ∧ B),A ⊃ ∀xB ∼ ∀x(A ⊃ B) es A ⊃ ∃xB ∼ ∃x(A ⊃ B),∀xB ⊃ A ∼ ∃x(B ⊃ A) es ∃xB ⊃ A ∼ ∀x(B ⊃ A),

5 ∀xA ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧ B) es ∃xA ∨ ∃xB ∼ ∃x(A ∨ B).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 20 / 21

Feladatok

Par(A) az A formula nem kotott individuumvaltozoi. Ha Par(A) = ∅, akkora formulat zart kifejezesnek, egyebkent parameteres kifejezesnek nevezzuk.

7. Feladat: Elsorendu logikai torvenyek:

1 ha x 6∈ Par(A), akkor∀xA ∼ A es ∃xA ∼ A,

2 ∀x∀yA ∼ ∀y∀xA es ∃x∃yA ∼ ∃y∃xA,

3 ¬∃xA ∼ ∀x¬A es ¬∀xA ∼ ∃x¬A,

4 ha x 6∈ Par(A), akkorA ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧ B) es A ∧ ∃xB ∼ ∃x(A ∧ B),A ∨ ∀xB ∼ ∀x(A ∨ B) es A ∧ ∃xB ∼ ∃x(A ∧ B),A ⊃ ∀xB ∼ ∀x(A ⊃ B) es A ⊃ ∃xB ∼ ∃x(A ⊃ B),∀xB ⊃ A ∼ ∃x(B ⊃ A) es ∃xB ⊃ A ∼ ∀x(B ⊃ A),

5 ∀xA ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧ B) es ∃xA ∨ ∃xB ∼ ∃x(A ∨ B).

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 20 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .

Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔

|∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔

nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔

κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔

κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔

|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban.

Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,

P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).

Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21

Feladatok

• |∀xA|I,κ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara |A|I,κ∗ = i .Mivel x 6∈ Par(A), ezert |A|I,κ∗ = |A|I,κ.

• |¬∃xA|I,κ = i ⇔ |∃xA|I,κ = h ⇔ nem letezik κ-nak olyan κ∗

x-variansa |A|I,κ∗ = i ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|A|I,κ∗ = h ⇔ κ-nak minden κ∗ x-variansara|¬A|I,κ∗ = i ⇔|∀x¬A|I,κ = i .

• Nem igaz, hogy ∀xA ∼ A altalaban. Legyen az I interpretacio akovetkezo U := {0, 1},R := {P},M := {},K := {}, ν(P) := 1,P ig := {(0)} A := P(x).Az ertektabla:

x P(x) ∀xP(x)

0 i h1 h

Legyen κ az az I-beli interpretacio, ami x-hez a 0-t rendeli, ekkor|P(x)|I,κ = i , de |∀xP(x)|I,κ = h.

Logika (3. gyakorlat) 0-adrendu szemantika 2009/10 II. felev 21 / 21