VEKTORSZÁMÍTÁS

Vektorok és vektorműveletek Fizikai mennyiségek: • skalár• vektor

• polárvektor• axiálvektor: valamilyen szimmetria nem teljesül rájuk (testtükrözés,

töltéstükrözés, időtükrözés) (de a velük foglalkozó fizikai törvényekre igen(gondolták századunkig))

Műveletek vektorokkal: • szorzás skalárral:

• a bλ =

• összeadás:• a b c+ =

• a vektorok lineáris teret alkotnak a valós számok teste fölött• skalárszorzat:

• cosab c a b α= =

• vektoriális szorzat:• a b c× =

• sinc a b α=

• ab

c S⊥

• a , b , c jobbrendszert alkot• vegyesszorzat:

• ( ) ( ), ,a b c a b c d× = =

Műveleti tulajdonságok vektorokra: művelet kommutativitás asszociativitás disztributivitás az

összeadásra nézve szorzás skalárral teljesül teljesül teljesülösszeadás teljesül teljesül értelmetlenskalárszorzat teljesül nem teljesül teljesül vektoriális szorzat antikommutatív nem teljesül teljesül vegyes szorzat ciklikus

permutációkra értelmetlen teljesül

• geometriai összefüggések:• merőlegesség:

• 0a b ab⊥ ⇔ =

• párhuzamosság:

• || 0a b a b⇔ × = • koplanalitás:

• ( ), , 0abc a b cS∈ ⇔ =

• paralelogramma területe: • p a bT = ×

• paralelopipedon térfogata: • ( ), ,

ppa b cV =

• skalárszorzat disztributivitásának bizonyítása:

• Def.: || cosxy

xy

x α= =

• Ekkor bizonyítandó: ( ) ( )|| ||||c c a ba b = ++

• Ha 0=c , akkor igaz.

• Ha 0≠c , akkor bizonyítandó: ( ) || ||||a b a b+ = +

•

S1 S2

ab

a+b

c

(a+b)||

b||a||

• Q. E. D.

• vektoriális szorzat disztributivitásának bizonyítása: • tétel: ( ) ( ) ( )a b c a c b c+ × = × + ×

• legyen e tetszőleges:

• ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

, , , ,

, , , , , , , ,

e a b c e a b c a b c e a b c e a c e b c e

a c e b c e e a c e b c e a c e b c e a c b c

+ × = + = + = + × = × + × =

= + = + = × + × = × + ×

• Q. E. D. Alkalmazások: • cosinustétel • vektorok fölbontása komponensekre (Cramer-szabály):

• F a b cα β χ= + + (lineális kombináció)

• ( ), , 0a b c ≠

• ( )( )

, ,

, ,

F b c

a b cα =

• többi együttható hasonlóképpen

Vektorok reprezentációja derékszögű koordinátarendszerben

Vektorreprezentáció, bázis:

• bármely vektor felírható ( )ii

ir r f= ∑ alakban, ha ( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,f f f ≠ 0

• bázis: ( )if -k

• háromdimenziós vektorokat veszünk, tehát i 1,2,3= • adott bázis és adott r esetén -k és ir r bijektívek

• vektorreprezentáció: ( 1 2 3, ,r r r r= ) (adott ( )if bázison)

Vektorreprezentációk Descartes-féle bázisban (derékszögű koordinátarendszer): • bázisvektorok: ( )ie -k

• ( ) ( ) ( )( )1 2 3, ,e e e = 1

• ( ) ( )i kike e δ=

• (Kronecker-delta) 10ik

i ki k

δ→ =

= → ≠• ( )i

ii

a a e≡ ∑

• ( )kka ae≡

Műveletek vektorreprezentációkkal: Szorzás skalárral: • b aλ= : b ak kλ= Összeadás: • a b c+ = : k ka b c+ = k

Skaláris szorzás: • i i

iab a b= ∑

Vektoriális szorzás: • a b c× =

• ( ) ( ) ( )( ), ,i j kk i j

ijc a b e e e= ∑

• ( ) ( ) ( )( )0

, , 1 jobbrendszer1 balrendszer

i j kijk

i j i k j ke e e i j k

i j kε

→ = ∨ = ∨ == = → ≠ ≠ ∧− → ≠ ≠ ∧

(Levi-Civita-szimbólum)

• k ijk i jij

c aε= ∑ b

Vegyesszorzat:

• ( )1 2

1 2 3

1 2 3

, , ijk i j kijk

a a aa b c a b c b b b

c c cε= =∑

3

(determináns)

A kettős vektorszorzat kifejtési tétele • 2ijk ijl klε ε δ=∑

• ijk mnk im jn in jmε ε δ δ δ δ= −∑

• ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

ijk j ijk kmn j m n im jn j m nki jk jkmn jmn

in jm j m n j i j j j i i i ijmn j j

a a b c

a b c a b c a b c b ac c ab ac b ab c

b ca b c ε ε ε δ δ

δ δ

a b c= = =

− = − = − = −

×× × ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

−

• ( ) ( ) ( )a b c ac b ab c× × = −

• ( ) ( ) ( )a b c ac b ab c× × = −

• ugyanígy: ( ) ( ) ( )b c a ab c ac b× × = −

Reciprok vektorrendszerek (biortogonális vektorrendszer) Definíció ( , ,a b c vektorrendszer reciproka , ,A B C ):

• ( ), , 0v a b c= ≠

• ( )1A bv

= ×c

• ( )1B c av

= ×

• ( )1C av

= ×b

Egy általánosabb összefüggés: • ( ) ( )k l

kle E δ= Annak bizonyítása, hogy reciprok vektorrendszer reciproka az eredeti rendszer:

• ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )

( )( )

3 3

3

1 1, ,

1 1

V A B C b c c a a b c b c a b c c a a bv v

vc a bv v

= = × × × × = × − × × =

= × =

• ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 , , , ,v vA c a a b a c a b c a a b′ = × × × = − = a

• hasonlóképpen B b′ = és C c ′ =

A dimenzió fogalma • vektor: bármi, ami vektorteret alkot • lineárkombináció: ( )k

kk

r aα= ∑

• ( )ka vektorok lineárisan függetlenek, ha ( ) 0 :kk k

ka kα α 0= ⇒ ∀ =∑

• ha ez nem áll fönn az ( )ka vektorok egyike kifejezhető a többi vektorból a hozzá tartozó 0kα ≠ -val leosztva és átrendezve

• dimenzió: az adott vektortéren a lineárisan független vektorok maximális száma • a szám -esek dimenziós vektorteret alkotnak n n• Fourier-sorbafejtés: végtelen dimenziós vektor komponensekre bontása

Lineáris operátorok operátor: vektorváltozós vektorfüggvény

( )f a lineáris operátor, ha: ( ) ( ) ( )f a b f a f bα β α β+ = +

jelölés: Ar példák: • ( ) ( )f r ar= b ( a , b adott)

• ( )f r a= × r

• nulloperátor: 0Nr = • identitásoperátor: Er r= (nyújtás: Eλ )

• forgatás ( t forgásvektor körül tϕ = szöggel), ortogonális operátor: O

• tükrözés (síkra, egyenesre, pontra): T ( ( )T T ) r Er=

• egyenesre tükrözés: ( )2 vn n v= −Tv

• nem az origón átmenő egyenesre tükrözés ( a az egyenes egyik pontjába

mutató vektor): ( ) ( )2 2 2vn n v a ae e= − + −Tv (nem lineáris operátor)

• projekció, vetítés (síkra, egyenesre): P ( ( )P Pr Pr= , E P− is projektor)

• egyenesre vetítés: ( )Pv vn n=

• két projektor összege is projektor • ortogonális projektorrendszer: kl klk l k l

P P P Pδ δ= =

• pld.: reciprok vektorrendszereknél: ( )( ) ( )k kkP v vE e=

• teljes projektorrendszer: k

kP E=∑

• a tükrözés és projekció kapcsolata: • T P PT P= =

• egy projekció definiál egy tükrözést: ( )12P E T= +

• egy tükrözés definiál két projekciót: ( )12P E T= + , ( )1

2Q E T= −

• itt: P Q I+ = és P Q T− =

Műveletek lineáris operátorokkal: egyenlőség: • A B= , ha :r Ar Br∀ = szorzás skalárral: • A Bλ = : ( )Br Aλ= r

összeadás: • A B C± = : Cr Ar Br= + • kommutatív: A B B A+ = +

• asszociatív: ( ) ( )A B C A B C A B C+ + = + + = + + szorzás: • AB C= : ( )B Ar Cr=

• C lineáris, mert:

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

C r r B A r r B Ar Ar B Ar B Ar

Cr Cr

α β α β α β α β

α β

+ = + = + = +

= +

=

• nem kommutatív: AB BA≠ (PO OP≠ ellenpéldával igazolható)

• asszociatív: ( ) ( )A BC AB C ABC= =

• ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )A BC r A BC r A B Cr AB Cr AB C r= = = =

• PP P= , TT , E= AE A EA= = , AN N N A= = , n nA A AA=

• disztributív: ( )A B C AB AC+ = +

• ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )A B C r A B C r A Br Cr A Br A Cr AB r

AC r AB AC r

+ = + = + = + =

+ = +

+

• ( )( ) 2A B A B A B+ − ≠ − 2 , mert nem kommutatív

• ( )AB N A N B N¬ = → = ∨ =

• ellenpélda: 1 2P P N=

inverz: • 1 1

b jA A E AA− −= =

• nem mindegyik operátornak van • 3 dimenzióban, ha egy operátornak van bal inverze, akkor van jobb is és ezek

egyenlőek Vektorok diadikus szorzata: • ( ) ( )a b r a br=

• a b A= • nem kommutatív: a b b a≠

• ( )P PPr e e r=

Operátorok reprezentációja • Aa b= reprezentációja Aa b=

• ( )ii

ia a e= ∑

• ( ) ( )( )iii i

i ib Aa A a e a Ae= = =∑ ∑

• ( ) ( )( ) ( )( )k i kk i

i ib be a Ae e A a= = =∑ ∑ ki i

• ahol: ( ) ( )( )k ikiA e Ae=

• ekkor: 11 12 13

21 22 23

31 32 33

A A AA A A A

A A A

=

3*3-as mátrix

• ( ) ( )( ).

i kik

i kA A e e= ∑ , mert

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

. .

i k k i i iik ik ik k i

i k i k i k iA e e a A e a e A a e b e

= = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ b=

• mátrix szorzása vektorral: 11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

A A A a bA A A a bA A A a b

=

konkrét operátorokat reprezentáló mátrixok:

• 1 0 00 1 00 0 1

E =

, ( ) ( )i kik ikE e e δ= =

• 1 1 1 2 1 2

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

a b a b a ba b a b a b a b

a b a b a b

=

• ha Ar a r= × , akkor 3 2

3 1

2 1

00

0

a aA a a

a a

− = − −

• 0 0 00 0 00 0 0

N =

• egyenesre vetítés: P n n= • egyenesre tükrözés: 2 n= −T n E• tengelyekre vetítés reciprok vektorrendszerekkel (ferdeszögű

koordinátarendszereknél): ( ) ( )k kP E e=

• 2 dimenziós forgatás: ( )cos sinsin cos

Fϕ ϕ

ϕϕ ϕ

− =

• 3 dimenziós forgatás: ( )cos 1 cos sinkl kl k l kml mm

F n nδ ϕ ϕ ϕ ε= + − + n∑

Műveletek mátrixokkal: összeadás: • ha A B C± = , akkor ik ik ikC A B= ±skalárral szorzás: • ha A Bλ = , akkor ( ) ( ) ( )( )i k

ik ikB e A e Aλ λ= =

szorzás 3*3-as mátrixok esetében: • nem kommutatív • ha AB C= , akkor

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )i j j k i j j kik ij ik

j jC e A e e Be e Ae e Be A B

= =

∑ ∑

j= ∑

szorzás n*m-es mátrixok esetében ( n m= : négyzetes mátrix, különben téglalap mátrix): • n m m k n kA B C× × ×= • Ab c= : 3 3 3 1 3 1A B C× × ×= • AB C= : 3 3 3 3 3 3A B C× × ×= • ab c= : 1 3 3 1 1 1A B C× × ×= • a b C= : 3 1 1 3 3 3A B C× × ×=

Determináns 3*3-as mátrixok esetében:

• ha 1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aA b b b

c c c

=

, akkor

( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 3 1 1 1

1 2 31 2 3 2 2 2

1 2 3 3 3 3

det , , , ,a a a a b c

A A b b b a b c a b c Ae Ae Aec c c a b c

= = = = =

• det A A A= = : előjeles térfogatnövelési faktor

• ( ) ( )det det det det det detAB A B B A BA= = =

• konkrét operátorok determinánsai: • det 1E = • det 0 1P = ∨ • det 1 1T = ∨ − • det 1O =

• 1 1det det det det 1b jA A A A− −= =

• ha det 0A = nincs inverze A -nak n*n-es mátrixok esetében:

•

11 12 1

21 22 21 2

, , ,

1 2

det

n

ni j np ij p

i j p

n n nn

A A AA A A

A A

A A A

ε= = ∑ ……

…A A

• 1 ha páros számú permutációval kapható vissza az eredeti sorrend1 ha páratlan számú permutációval kapható vissza az eredeti sorrend

0 ha az indexek nem mind különbözõkij pε

= −

…

a determináns tulajdonságai:

•

11 12 1 11 12 1

1 2 1 2

1 2 1 2

n n

i i in i i in

n n nn n n nn

A A A A A A

A A A A A A

A A A A A A

λ λ λ= λ

• ( )det detnA Aλ λ=

• 11 1 1 1 11 1 1 1

1 1

i j n j i

n ni nj nn n nj ni nn

A A A A A A A

A A A A A A A= −

nA

A

•

11 1 11 1

1 1

1 1

1 1

n n

i in j

j jn i

n nn n

A A A A

A A A A

A A A A

A A A A

= −jn

in

nn

•

11 1 11 1 11 1

1 1 1 1

1 1 1

n n

i i in in i in i in

n nn n nn n

A A A A A A

A B A B A A B B

A A A A A A

+ + = +

n

nn

•

11 1

11 1

1

1 1

1

1

1

n

n

i in

j i jn in

j jn

n n

n nn

A AA A

A AA A A A

A AA A

A A

λ λ= + +

n

a determináns kiszámítása:

•

11 12 1 12 1 12 1

21 22 2 21 22 2 22 211 11

1 2 1 2 2

12 1 12 1

2 211 22 11 22

2

11 22

1 10

0

1 10 1 0 1

0 0 0

n n

n n

n n nn n n nn n nn

n n

n n

n nn nn

A A A A A A AA A A A A A A A

A A

A A A A A A A A

A A A AA A

A A A A

A A A

A A

n

n

′ ′ ′ ′′ ′

= = =

′ ′

′ ′ ′ ′′′ ′′

′ ′= = =

′ ′ ′′

′ ′′= ( ) ( )

12 1

1 1233 11 22 33

10 1

0 0 1

n

n nnnn nn

A AA

A A A A A A− −

′ ′′′

′ ′ ′ ′′′ ′=… …

• ha egyik főátlóban lévő elem 0, akkor oszlopcsere, ha egy sor 0 lesz, akkor másik sor hozzáadása, majd sorcsere

nevezetes determinánsok:

• ( ) ( )( ) ( )( )1, 1nn

a b bb a b

D a b a b a n b

b b a

−= = − + −

• Van der Mande determináns: ( ) ( )

2 11 12 12 2

1

2 1

11

, ,

1

n

n

n n kk l

nn n

x xx x

x x x

x x

−

−

>

−

= = ∏… l−V x

• Wronsky-féle determináns:

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

1 2

1 21 2

1 2

, ,

n n n

n

nn

n

f x f x f x

f x f x f xW f x f x

f x f x f x′ ′ ′− − −

′ ′ ′=…

• sávmátrix:

0 00 0

0 00 0 0

0

0

0 0

0

0 0

• kontinuális mátrix: 3 szélességű sávmátrix

• homogén kontinuális mátrix:

0 0 00 0 0

0 0

0 0 0 00 0 00 0 0 0

a bc a bc a

a bc a bc a

• szimmetrikus homogén kontinuális mátrix:

0 0 00 0 0

0 0

0 0 0 00 0 00 0 0 0

a bb a bb a

a bb a bb a

• átalakítva: Csevisev polinom: ( )

2 1 01 2 1

0 1 2n

xx

A xx

− −− − −

=− −

• ha 24sin2

x α= :

1kn

πα =−

, ahol k Z∈

transzponált mátrix:

•

11 21 1

12 22 2

1 2

n

n

n n nn

A A AA A A

A

A A A

=

• A A= • ha A B C+ = , akkor A B C+ = • ha A Bλ = , akkor A Bλ =

• ha AB C= , akkor BA C= mert ( ) ( )ij jk ji kjik kij j

AB A B A B BA= = =∑ ∑

• szimmetrikus mátrix: A A= • antiszimmetrikus mátrix: A A= − • minden mátrix fölbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix

összegére: 2 2

C C C C+ −= +C

• det detA = A , mert: • 1 2 1 2 1 2det detij l i j nl ij l I J nL IJ L I J nL

ij l ij l IJ LA A A A A A A A A Aε ε ε= = =∑ ∑ ∑… … …

… … …… … … A=

• azért mert ij l IJ Lε ε=… … , mivel az oda- és visszarendezés paritása szükségképpen

ugyanannyi determinánsok kifejtési tétele:

• legyen: ( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

11 11 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1.

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1

nk k

l l k l kl k

l l k l k

n nn k n k

A A A A

A A A AA

A A A A

A A A A

− +

− − − − +

+ + − + +

− +

=

l n

l n

n

−

+

• ( ) ( ) ( ) ( ), ,det 1 1i k i ki k i kik ik

k iA A A A A+ += − = −∑ ∑

mátrixok szorzatának determinánsa:

•

11 1

1

11 1

1

0 0

0 0det det det

1 0

0 1

n

n nn

n

n nn

A A

A A A ND A

B B E B

B B

= = − −

−

B=

• ( ) ( ) ( ) ( )1det 1 det detn nA ABD A

E N+

= = − = − B AB

• tehát ( )det det detA B AB= Mátrixok invertálása:

• legyen

( ) ( )

( ) ( )

1,1 2,1

1,2 2,2

A A

A A A

− = −

adj (előjeles aldeterminánsokból alkotott

mátrix transzponáltja)

• ( ) ( ) ( ),adj 1 i k k iik

A A+= −

• adj adj detAA A A AE= =

• legyen

11 1 1

1

1

1

k n

i ik

i ik

n nk

A A

A AA

A A

A A A

′ =

in

in

nn

A

A

A

(j-edik sorba beírom az i-edik sort)

• ( ) ( ) ( ) ( ),adj 1 deti k i kik ikii ki

k kA A A adjA A A A+= = −∑ ∑ =

• ( ) ( ) ( ) ( ),adj 1 det 0j k j kik ikij j

k kA A A adjA A A A+ ′= = − =∑ ∑ = ≠ ( i j )

• másik oldalra hasonlóan

• 1 1 adjdetb jAA A AA

− −= = = 1−

• ha det 0A = , akkor mivel 1 1 det 1j bA A A A E− −= = = a mátrixnak nincs inverze

• csk ilyen inverz van, mert 1AX E X A−= ⇒ = és 1X A E X A−= ⇒ = Négyzetes hipermátrixok:

• A BC D

alakúak, ahol ezek n*n-es mátrixok

• A B E F AE BG AF BHC D G H CE DG CF DH

+ + = + +

• 1

1 1

1

A B A N E A BA D CA B AD ACA B

C D C E N D CA B

−− −

−= = − =

−−

• fölcserélhető blokkokból álló hipermátrixra: A B

AD CBC D

= −

Lineáris egyenletrendszerek, Gauss-algoritmus

A Gauss-algoritmus:

• lineáris egyenletrendszer: 11 1 1 1

1 1

n n

m mn n

a x a x b

a x a x bm

+ =

+ =

…

…

• felfogható úgy hogy:

111 12 1 1

2

1 2

n

m m mn mn

xa a a b

x

a a a bx

=

• tehát: Ax b=

• legyen ( )A A b′ =

• A′ -vel végrehajtható a megoldásokat nem befolyásoló műveletek: • sor szorozható egy 0-tól különböző számmal • 2 sor felcserélhető • bármely sor számszorosa hozzáadható egy másik sorhoz • két oszlop felcserélhető, de akkor az adott változók is cserélődnek

• ezeknek a segítségével trapézmátrix alakra tudjuk hozni, ami három fajta lehet:

1. háromszögmátrix:

1

2

1

0 1

0 0 1 m

b

b

b

′

′

′

2.

1

2

1

1

0 1

0 0 1

0 0 0

0 0 0

k

k

m

b

b

b

b

b

+

′

′ ′ ′

′

• ha b b hamis, akkor ellentmondásra jutottunk 1 2 0k k mb+ +′ ′ ′= = = =…

• ha igaz, akkor háromszögmátrixot kapunk

3.

1

2

1

1

0 1

0 0 1

0 0 0

0 0 0

k

k

m

b

b

b

b

b

+

′

′ ′ ′

′

• ha b b hamis, akkor ellentmondásra jutottunk 1 2 0k k nb+ +′ ′ ′= = = =…

• darab szabad paraméter lesz n k−

• átalakítható a következőképpen:

1

2

1

0 1

0 0 1 k

b

b

b

′

′

′

• ezt egységmátrixá alakítjuk:

1

2

1 0 0

0 1 0

0 0 1 k

b

b

b

″

″ ″

Mátrixok rangja ( ( )r A r= ): • a fenti módon trapézmátrixá átalakított mátrix sorainak száma • szingularitást mér • ( )min ,r n≤ m• egy mátrix rangja a legnagyobb nem 0 aldetermináns mérete • nem szinguláris (invertálható) mátrixoknál: ( )min ,r n= m • példák:

• ( ) 0r N =

• ( ) 1r a b = • háromdimenziós tér operátorait reprezentáló mátrixoknál:

• A térbe képez: ( ) 3r A =

• A síkba képez: ( ) 2r A =

• A egyenesbe képez: ( ) 1r A =

• A pontba képez: ( ) 0r A = • operátorokat jellemző mátrixoknál az számít, hogy hány dimenzióba képeznek • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r A r B r A B r A r B− ≤ + ≤ +

• ( ) ( ) ( )( )min ,r AB r A r B≤ Mátrixok invertálása a Gauss-algoritmus segítségével: • Ax b=

• legyen ( )nk nke δ=

• ( )kk

kb b e= ∑

• ( ) ( )n nAg e=

• ( )kk

kx b g= ∑

• ez a Green-függvényes módszer vektorokkal • legyen: ( )k

lk l=C g

• ekkor: 1A C− =

Sajátérték-számítás Operátorok bilineáris alakja: • mátrixok szorzása vektorral balról:

• ( )i j ij ij jij i

y xA x A A x= = =∑ ∑

• y xA Ax= = • operátorok szorzata vektorral:

• legyen A az az operátor, amit a A mátrix reprezentál

• ekkor: xA Ax= • bilineáris alak (szendvicselés):

• ( ) ( ) ( ) ( ), :a b a Ab b Aa bA a aA b bAa aAb∀ = = = = =

Operátorok sajátértékei és sajátvektorai: • alapprobléma: As sλ= • s -t A sajátvektorának nevezzük • λ -t A sajátértékének • 0S = : mindig jó, triviális sajátvektor • ha s sajátvektora A -nak, akkor : sα α∀ is az (valójában sajátirányról van szó)

• normált sajátvektor: 1s = Mátrix sajátértéke: • reprezentálva a problémát: Av vλ= • ebből: kl l kA v vλ=

• egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk: ( )

( )( )

11 1 12 2 13 3

21 1 22 2 23 3

31 1 32 2 33 3

0

0

0

A v A v A v

A v A v A v

A v A v A v

λ

λ

λ

− + + =

+ − + =

+ + − =

• 0v = triviális megoldás • ( ) 0kl l kl l kl kl l kl lA v v A v B vλδ λδ− = − = =

• ( )A E v Bv− = =λ 0

• BA A AA A AA A A

=−

−−

11 12 13

21 22 23

31 32 33

λλ

λ

• akkor van nem triviális megoldása, ha a karakterisztikus polinom: ( )f Bλ = =det 0 • karakterisztikus egyenlet: ( )f λ = 0 • ennek n darab komplex gyöke van, ezeket visszahelyettesítve Gauss-módszerrel

megkapjuk a sajátvektorokat 2*2-es és 3*3-as mátrixok karakterisztikus egyenletei: • Sp TrA A Akk

k= = ∑

• 2*2: ( )f Aλ λ λ= − +2 Sp det A

• biz.: ( )( )

( )

A AA A

A A A A

A A A A A A A

11 12

21 2211 22 12 21

211 22 11 22 12 21

2

−−

= − − − =

= − − + − = − +

λλ

λ λ

λ λ λ λSp det A

• 3*3: ( ) ( )f A Aλ λ λ λ= − + −3 2 Sp Sp adj det A A sajátértékekből rekonstruálható az eredeti mátrix. Ha egy lineáris operátort más bázisban reprezentálunk a sajátértékei ugyanazok lesznek. • a karakterisztikus egyenlet együtthatói invariáns mennyiségek Valós szimmetrikus és komplex hermitikus mátrix (teljesül, hogy A∗ =

~A ) sajátértékei

valósak: • As s= λ • ebből:

~As A s s∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = λ

• λ λss s As sAs ss∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = =~

• tehát: ( )λ λ− ∗ s 2 0= , amiből λ valós vagy a triviális megoldást kapjuk

Ha A A=~

, és λ λk l≠ : : ( ) ( )s sk l = 0( ) ( ( ) ( )~

• ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )λ λkk l l k k l k l

lk ls s s As s As s As s s= = = =

• ebből: ( ) ( ) ( )λ λk lk ls s− = 0

( ) ( )• mivel λ λk l≠ : s sk l = 0Baloldali sajátérték-probléma: • mátrixok szorzása balról vektorral: a A bl lk k= • ez ekvivalens azzal, hogy:

~A a bkl l k=

• ez alapján definiálható az operátorok szorzása balról vektorral: aA Aa=~

, ahol ~A

az az operátor, amit az ~A mátrix reprezentál

• a baloldali sajátérték-probléma: vA A= λ , reprezentálva: vA A= λ • a baloldali sajátérték-probléma megegyezik a transzponált mátrix jobboldali

sajátérték-problémájával • a sajátértékek mindkét problémánál ugyanazok • szimmetrikus (önadjungált, hermitikus) mátrixok jobb- és baloldali sajátvektorai

egybeesnek A mátrixok fajtái:

1. A A A= =+ ∗~ és a sajátértékek egyszeresek: • a normált sajátvektorok n dimenziós ortonormált bázist alkotnak • térjünk át erre a bázisra (főtengely-transzformáció, diagonalizálás):

• ( ) ( ) ( ) ( )A s As s siki k

ki k

k ik= = =λ λ δ

• A =

λλ

λ

1

2

3

0 00 00 0

• minden mátrix felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus mátrix összegére • a szimmetrikus nyújtja a tengelyeket • az antiszimmetrikus vektorszoroz

• a jobb- és baloldali sajátértékek egybeesnek 2. A A A= =+ ∗~ de a sajátértékek többszörösek: • ha ( )s k és ( )s l ( ) azonos sajátértékhez tartozó sajátvektorok, akkor k ≠ l

( ) ( )α βs k + s l is sajátvektor és ugyanahhoz a sajátértékhez tartozik, mint ( )s k és ( )s l

• ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )A s s As As s sk l k l kα β α β λ α β+ = + = + l

• n darab ugyanazon sajátértékhez tartozó sajátvektor n dimenziós saját-alteret alkot • egy sajátértékhez minimum egy 1 dimenziós saját altér tartozik • ekkor kiválaszthatok a saját altérből lineárisan független egységvektorokat, úgy,

hogy a többi sajátvektorral ortonormált bázist alkossanak 3. A A A≠ =+ ∗~ és a sajátértékek egyszeresek: • ekkor nem ortonormált, esetleg komplex elemű bázist kapunk • a jobb és baloldali sajátértékek reciprok-vektorrendszert alkotnak:

• legyen Au u= λ és vA v= λ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ λk

l k l kl

l kv u v Au v u= =

• ( ) ( ) ( )( )λ λk ll kv u− = 0

• ha λ λk ≠ l l (ebben az esetben egyenértékű azzal, hogy k ≠ ): ( ) ( ) 0l kv u = • a sajátvektorok hosszát választhatom úgy, hogy: 0k kv u =

• ekkor: ( ) ( )l kklv u δ=

• úgy kell őket normálni, hogy a fentiek teljesüljenek 4. A A A

∗+≠ = és a sajátértékek többszörösek: • a mátrix egy tagjához hozzáadunk ε -t, majd elvégezzük az 0ε → határátmenetet

és megnézzük, hogy a sajátvektorok hova tartanak • ha egy vektorhoz több sajátvektor tart, akkor nem egyszerű struktúrájú mátrixokról

beszélünk (ilyen szimmetrikus mátrixoknál az ortonormáltság miatt nem volt) • nem egyszerű struktúrájú mátrixoknál nincs annyi lineárisan független sajátvektor

ahány dimenziós a tér, tehát ezek nem definiálnak bázist

• a nem egyszerű struktúrájú mátrixok nillpotens mátrixot (0 10 0

K

=

)

tartalmaznak

• egyébként a saját altérből kiválaszthatók úgy bal- és jobboldali sajátvektorok, hogy egy ferdeszögű bázis alakuljon ki a reciprok vektorrendszerével

inverzmátrix sajátvektorai:

• ha Cs sλ= , akkor 1 1C s sλ

− =

Projektorfelbontás: • legyen Au uλ= és vA vλ=

• ( ) ( ) ( )k kP u v= k projektorok

• ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )k l k k l l l k k l k lkl klP P u v u v u v u v u v Pδ δ= = = k=

(ortogonális projektorrendszert alkotnak) • ( )k

kP E=∑

• legyen ( ) ( ) ( )( )k kk k

k k

kM P uλ λ= =∑ ∑ v

• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )l k k l kk k

k k

lkl lMu u v u uλ λ δ= =∑ ∑ uλ=

• ( ) ( )( )k kk

kM v uλ= ∑

• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )l k k l kk k

k k

lkl lM v v u v vλ λ= =∑ ∑ vδ λ=

• ebből: M A=

• ( )1 1 k

k k

A Pλ

− = ∑

• ha egybeesnek a sajátértékek (egyszerű struktúrájú mátrixoknál) a sajátvektorok nem egyértelműek, de egy saját altérhez tartozó projektorok összege igen

Mátrixfüggvények: • ( )k

kk

A Pλ= ∑ és ( ) ( ) ( )k l kklP P Pδ=

• ( ) ( ) ( )A P Pkk

kl

l

lk

k

k

2 2=

=∑ ∑ ∑λ λ λ P

• teljes indukcióval: ( )n nk

kA λ= ∑ kP (a sajátvektorok maradnak, a sajátértékek vele

hatványozódnak) • -ra: 0n = ( ) ( )0 0 k k

kk k

A P Pλ= = E=∑ ∑

• polinomokra: ( ) 1N Np x x x xα β µ−= + + + +… ν -ből

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

N N

k kN Nk k

k k k

N Nk k k

k k

A A

P P

P p

α β µ ν

β λ µ λ

βλ µλ ν λ

−

−

−

= + + + + =

= + + +

+ + + =

∑ ∑ ∑

∑ ∑

…

…

…

( ) ( )

kk

k kk

p A A

P

P

α λ ν

αλ

+ =

= +

• speciális eset: ( ) ( )p x f x= : ( ) ( ) ( ) 0kk

kf A f Pλ= =∑

• Cayley-Hamilton tétel: Minden mátrix kielégíti a saját karakterisztikus egyenletét. (Nem egyszerű struktúrájú mátrixokra is igaz, de ezt nem bizonyítjuk.)

• Hatványsorokra ( ), ha ( )0

nn

nF x c x

∞

=

= ∑ ( )F x kλ -kban értelmezve van:

( ) ( ) ( )kn k

n kF Pλ= =∑ ∑

0

nF A c A∞

=

Tehetetlenségi nyomaték Ha egy merev test ω forgatónyomatékkal forog mekkora lesz a perdülete?

• egy pontra: ( ) ( ) ( )i iiN r m v= × i

• a testre: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )2i i i i i i ii i i

i i iN r m v m r r m r r rω ω ω= × = × × = − = Θ∑ ∑ ∑ ω

• Θ lineáris operátor, Θ szimmetrikus mátrix

• ( ) ( ) ( )( )2i ii

im r E r rΘ = −∑ i

• ( ) ( ) ( )( )22 2 21 1 12 2 2

i i if i

i iE m v r rω ω ω = = − =

∑ ∑ ωΘ

• főtengelyrendszerben: 1

2

3

0 00 00 0

f

Θ Θ = Θ Θ

• : ha , akkor fő tehetetlenségi nyomaték, ha nem, akkor deviációs nyomaték ikΘ i k=

• n irányú tengelyre: ( )n n nΘ = Θ

• ha k

kω ω= ∑ , akkor

( )( )ke

kk

N ω= Θ∑ , de ( )( ) 2ke

f kk

E ω≠ Θ∑ a kétszeres szorzatok

miatt

Forgatások, áttérés másik Descartes-rendszerbe

Forgatások: • lineáris operátorok: r rϑ′ =

• ( )( ), :a b a b abϑ ϑ∀ =

• ebből következik, hogy a vektorok hosszát megtartja • ( )( ), :a b a b abϑ ϑ∀ =

• ebből: Eϑϑ = (a forgatás operátora ortogonális operátor)

• a forgásmátrix ortogonális mátrix: 1ϑ ϑ− = • detϑ =1 • Eϑϑ ϑϑ= = • il lk il lk ik

l lϑ ϑ ϑ ϑ= =∑ ∑ δ

• li lk il kl ikl l

ϑ ϑ ϑ ϑ= =∑ ∑ δ

• a három oszlopvektor és a három sorvektor ortonormált bázist alkot

• ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1

1 2 3 2

3

g

f f f g

g

ϑ

= =

• ( ) ( )k lklf f δ= és ( ) ( )k l

klg g δ= Áttérés egyik ortonormált bázisról a másikra: • ( )i

ir re= és ( )ii

ie=r r∑

• ( )ijr re ′′ = és ( )j

jjr e ′′= ∑r

• ebből: ( ) ( )i jj i

i ie e ij irr r ϑ′′ = =∑ ∑

• ahol: r rϑ′ = és ( ) ( )j iij e eϑ ′=

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2k i j i jik kj ik jk ijij

k k ke e e e eϑϑ ϑ ϑ ϑ ϑ δ′= = = =∑ ∑ ∑ =

• ebből: 1ϑ ϑ−= , vagyis Eϑϑ ϑϑ= = • ϑ a két koordinátarendszer viszonyára jellemző ortogonális mátrix • minden passzív szemléletű bázisforgatás megfelel egy ellenkező irányú aktív

szemléletű vektorforgatásnak

• 1r r rϑ ϑ−′ ′= = mátrixok reprezentálása különböző bázisokban:

• Ar t= és A r t′ ′ ′=

• ebből: A r tϑ ϑ′ =

• tehát: 1t A r A rϑ ϑ ϑ ϑ− ′ ′= =

• ebből: A Aϑ ϑ′=

• és: A Aϑ ϑ′ = • mn mi ij jn mi nj ij

ij ijA Aϑ ϑ ϑ ϑ′ = =∑ ∑ A

invariáns mennyiségek (karakterisztikus polinom együtthatói): • det A :

• det det det det detA Aϑ ϑ′ = = A • Sp A :

• ( ) ( ) ( ) ( )Sp Spij jiii jji i j

AB AB A B BA BA= = = =∑ ∑ ∑

• ( ) ( )Sp Sp Sp SpA A Aϑ ϑ ϑϑ′ = = = A

• ( )Sp adjA

főtengely transzformáció szimmetrikus mátrixokra ( A A= ): • térjünk át a mátrix normált sajátvektorai által meghatározott ortonormált bázisra

•

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

2 1 2 3 1

3

1

12 1 2 3

1 2 3 2

33

0 00 00 0

s

A s A s s s A

s

s

s s s s

s

ϑ ϑ

λλ λ λ λ

λ

−

′ = =

= =

nem szimmetrikus mátrixok esetében: • j jAs sλ= és b bs A As sbλ= =

• úgy kell „normálni”, hogy: ( ) ( )j l b klks s δ= teljesüljön

• ekkor áttérve a sajátértékek által meghatározott ferdeszögű bázisra:

•

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

12 1 2 3 1

2

33

0 00 00 0

b

b j j j

b

s

A s A s s s CAC

s

λλ

λ

−

′ = =

=

mátrix hatványozása:

• ( )1

1 12

3

0 00 00 0

n

nn n

n

CA C CACλ

λλ

− −

= =

• ebből: 1

12

3

0 00 00 0

n

n n

n

A C Cλ

λλ

−

=

Kvadratikus alakok kétváltozós kvadratikus alakok (síkbeli objektumok): • általánosan fölírva: 2 2 0x xy y x y cα β χ δ ε+ + + + + =

• legyen x

xy

=

2

2

A A

βα

β χ

= =

és bδε

=

• ekkor az egyenlet így módosul: 0xAx bx c+ + = • azért választhattam A -t szimmetrikusnak, mert az antiszimetrikus mátrixokra

0xAx = , tehát csak A szimmetrikus része számít, ami a fenti mátrix

• végezzünk főtengely transzformációt A -n: 1

2

00

A Aλ

ϑ ϑλ

′= =

, ahol ( )

( )

1

2

s

sϑ

=

(a sajátvektorokat úgy választom ki, hogy jobbrendszert alkossanak) • módosítsuk az egyenletet: 0x A x b x cϑϑ ϑϑ ϑϑ+ + =

• legyen x xϑ′ = , b bϑ′ = és c c′ = (elforgattuk az x, y koordinátarendszert)

• 0x A x b x c′ ′ ′ ′ ′ ′+ + = • tegyük fel hogy 1 2, 0λ λ ≠

• ha mindkét sajátérték 0 nem kvadratikus, hanem lineáris alak (ha 0δ ε= = , akkor skaláris alak), ha csak az egyik 0 ( x és szimmetriája miatt elég megvizsgálni az egyik esetet):

y

• 21 0x x y cλ δ ε′ ′ ′ ′ ′+ + + =

• 2 2

1 02 4

x y cδ δλ ε′ ′ ′ ′ ′ ′− + + − =

• 2 2

1 02 4

cx yδ δλ εε ε

′ ′ ′ ′ ′ ′− + + − = ′ ′ (ha 0ε ′ = egyel kevesebb dimenziós

probléma)

• legyen 2

x x δ ′ ′′ ′= −

és 2

4cy y δε ε

′ ′ ′′ ′= + − ′ ′

(eltoltuk a koordinátarendszert)

• 21 0x yλ ε′′ ′ ′′+ =

• 21y xλε

′′ ′′=′

• 2 21 2 0x y x y cλ λ δ ε′ ′ ′ ′ ′+ + + + =

• 2 2 2 2

1 2 2 21 2 1 2

02 2 4 4

x yδ ε δ ελ λλ λ λ λ

′ ′ ′ ′′ ′+ + + − − +

c′ =

• legyen 12

x x δλ′

′′ ′= + , 22

y y ελ′

′′ ′= + és 2 2

2 21 24 4

δ ελ λ′ ′

c c′′ ′= + − (eltoltuk az x, y

koordinátarendszert) • 2 2

1 2x y cλ λ′′ ′′ ′′+ = • tegyük fel, hogy : 0c′′ ≠

• ha : 0c′′ =• 2 2

1 2 0x yλ λ′′ ′′+ =• ha 1 2 0λ λ < , akkor 0x y′′ ′′= =

• ha 1 2 0λ λ > , akkor 2 21 2x yλ λ′′ ′= ′

•

2 2

1 2

1x yc cλ λ

′′ ′′ ± ± ′′ ′′

=

• legyen 1

c pλ′′

= és 2

c qλ

′′= :

• 2 2

1x yp q′′ ′′

± ±

= (kanonikus egyenlet)

• alakzatok: • ++: ellipszis ( határesetben pont) 0c′′ =• -+: hiperbola ( határesetben két egymást metsző egyenes) 0c′′ =

• --: nincs ilyen • lineáris alak: egyenes • skaláris alak: pont • egyik sajátérték nulla: parabola

háromváltozós kvadratikus alakok (térbeli objektumok) kanonikus egyenlete:

• 2 2 2

1x y zp q r′′ ′′ ′′ ± ± ±

= jön ki

• alakzatok: • +++: ellipszoid (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási ellipszoid) (

határesetben pont) 0c′′ =

• ++-: 2 köpenyű elliptikus hiperboloid ( 0c′′ = határesetben kúp) (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási elliptikus hiperboloid vagy forgáskúp)

• +--: 1 köpenyű elliptikus hiperboloid ( 0c′′ = határesetben kúp) (ha két sajátérték egybeesik, akkor forgási elliptikus hiperboloid vagy forgáskúp)

• ---: nincs ilyen • lineáris alak: egyenes • skaláris alak: pont • egyik sajátérték nulla: elliptikus paraboloid

Minden differenciálható felület egy adott pontjának megfelelően kicsi környezetében másodrendű felülettel közelíthető. Ellipszisek és hiperbolák: • a fókuszpontok távolsága legyen c • az alakzat generálásánál használt állandó (ellipszisnél a fókuszpontoktól való

távolság összege, hiperboláknál különbségük) legyen a

• ecccentritás: ca

ε =

• 1ε < : ellipszis • 1ε > : hiperbola

• a sík minden pontján átmegy egy ellipszis és egy ugyanazon fókuszpontokhoz tartozó hiperbola és ezek merőlegesek egymásra

• ezek meghatározzák az adott pont távolságát a fókuszpontoktól Egy ponttól és egy egyenestől megadott arányú távolságra lévő pontok: • egyenestől való távolság legyen cx • ponttól való távolság legyen dx

• eccentritás: dc

ε =

• 1ε < : ellipszis • 1ε = : parabola • 1ε > : hiperbola

Megjegyzés: a sok szabadsági fokú rendszerek rezgéseinek leírását lásd a Hullámok és rezgések specinél

Vektorváltozós skalárfüggvények és skalárváltozós vektorfüggvények

differenciálása Skalárváltozós vektorfüggvények ( ( )r t ):

• példa: térgörbe ívhossz szerinti paraméterezése ( ( )r s ): • : ívhossz s• ( ) ( )dr r s ds r s= + −

• ebből: dr ds= (a görbe minden pontjában közelíthető egy egyenessel)

• koordinátarendszerben: Κ1

2

3

rr r r

r

→ =

, marad, tehát: t ( )( )( )( )

1

2

3

r tr t r t

r t

→

• például: helyvektor az idő függvényében Differenciálásuk:

• ( )0

limt

rr t

t∆ →

∆′ =∆

, ahol ( ) ( )r r t t r t∆ = + ∆ −

• legyen r , ekkor v′ =1

2

3

rv r

r

′ ′= ′

, vagyis i iv r′=

• ( ) ( )i i i i i ii i

ab a b a b a b ab ba′ ′ ′ ′′ ′= = + = +∑ ∑

• ugyanígy igazolható: ( )a b a b a b′ ′ ′× = × + × és ( )( )t a a aλ λ λ′ ′′= + is

térgörbék tulajdonságai: • egységvektor deriváltja rá merőleges egységvektor:

• 1e = -ből 2 1e =

• deriválva 2e e 0′ = , tehát: e e′⊥

• ( )r s e′ = : érintő

• 0e e′ = és ( )e r (s e n′ ″ ′= = 1n = )

• e′ : görbület

• n : normálvektor, normális egységvektor • e és n által kifeszített sík: simulósík

• 1Re

=′

: görbületi sugár

• R sugarú kör: simulókör • e n b× = ( 1b = ): binormális egységvektor

• ( )b s′ -ből torzió képezhető (síkgörbére ( ) 0b s′ = )

Vektorváltozós skalárfüggvény ( ( )rφ ):

• például: hőmérséklet vagy potenciál a hely függvényében • ( ) ( ), ,r x yφ φ= z • szintfelületekkel szemléltethető a térben (amiken φ állandó), példák:

• arφ = : a -ra merőleges felületek

• 2 20

r rφ = − : 0r középpontú gömbök

iránymenti derivált: • ( ) ( )r r rφ φ φ∆ = + ∆ −

• legyen r e s∆∆ = ( 1e = ), ekkor r s∆ = ∆

• ( ) ( )r e s r

s sφ φφ + ∆ −∆

=∆ ∆

• ( ) ( ) ( ) ( )0

lime s

r e s rr

sφ φ

φ∆ →

+ ∆ −′ =

∆

gradiens: • ( )m r r rφ ε∆ = ∆ + ∆ , ahol

0lim 0r

ε∆ →

= : ( ) ( )grad rφ=m r

• példa: 2rφ = -re ( )2 2 22r r r r r rφ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ , tehát: grad 2rφ =

• grad grad cosd dr drφ φ φ= = α

• adott dr -re dφ akkor maximális, ha 0α = , vagyis graddr φ • ebből gradφ iránya φ leggyorsabb növekedési iránya

• ha 0α = , akkor grad ddrφφ = , azaz gradφ nagységa a leggyorsabb növekedési

irányban vett iránymenti derivált

• a kétféle derivált kapcsolata: ( ) ( ) grade

dr edrφφ φ′ = =

• ha graddr φ⊥ , akkor 0dφ = és ( ) ( ) 0n rφ′ = , tehát a gradiens mindig merőleges a

szintfelületre

• ha ( )f rφ = , ahol r r : = ( )gradrf r

rφ ′=

• skalármező gradiense vektormező, de nem minden vektormező írható fel skalármező gradienseként

• deriválási szabályok: • ( )grad grad gradλφ δψ λ φ δ ψ+ = +

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )grad

grad grad

r dr r dr r r

r dr r dr r r r dr r

φψ φ ψ φ ψ

ψ φ φ φ ψ ψ φ ψ ψ

= + + − =

= + + − + + − = + φ

a gradiens reprezentálása Descartes-rendszerben: • ( ) ( ) ( ) ( ),r r r m r r r rφ φ φ ε∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ ∆r , ahol 0 0r ε∆ → ⇒ →

• ( )grad m rφ =

• ( ) ( )

1 2 3 1 2 3

, , , ,x x y y z z x y zm x m y m z x y zφ φ φ

ε ε ε

∆ = + ∆ + ∆ + ∆ − =

= ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆

• ( )1 2 3grad , ,m m mφ =

• legyen ∆ = 0y z∆ =

• ekkor: ( ) ( )1 1

, , , ,x x y z x y zm

xφ φ

ε+ ∆ −

+ =∆

• ebből: ( ) ( )1 0

, , , ,limx

x x y z x y zx

φ φ∆ →

+ ∆ −=

∆m

• tehát: 1 0 áll.áll.

limx y

z

mx xφ ∂φ

∂∆ → ==

∆=

∆= parciális derivált

• ( )grad iiix

∂φφ ∂ φ∂

= =

A vonalintegrál Vonalintegrál (vonal-menti integrál): • adott G görbét (végpontjait nevezzük el A-val (kezdőpont) és B-vel (végpont)) i

egyenlő (nem kell feltétlenül, csak az szükséges, hogy az egyes pontokkal az integrál kiszámításakor egyenletesen tartsunk egymáshoz) részre osztunk (az osztópontok koordinátáit ( )ir -vel jelölve)

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )limB

i

i iA GG

v r d r v r d r v r r→∞

= =

∑∫ ∫ i∆ , ahol ( ) ( ) ( )1i ir r r+ i∆ = −

• példa: ( )G

r d= ∫W F r

• vonalintegrál zárt görbére: körintegrál • pld:

G

Erd= ∫U r

• a görbe megadása ( )t=G r módon:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1

0

0 0

0

lim lim

lim

r rG

t

tt

rv r d r v r r v r t

t

v r t r t t v r t r t dt

∆ → ∆ →

∆ →

∆= ∆ =

∆

′ ′= ∆ =

∑ ∑∫

∑ ∫

∆ =

Első gradiens-tétel:

• ( ) ( ) ( ): gradB

AG

G dr Bφ φ φ∀ =∫ A−

• bizonyítás: ( ) ( )0

grad lim gradr

G

d r r B Aφ φ φ φ∆ →

= ∆ = ∆ = −∑ ∑∫ φ

• minden zárt görbére: grad 0drφ =∫

• potenciálos vektormező: ( ): grav r dφ φ∃ =

• konzervatív vektormező: ( ) 0v r dr =∫

• Egy vektormező, akkor és csakis akkor potenciálos, ha konzervatív • bizonyítás ( ( ) 0v r dr =∫ ):

• ( ) ( ), :B B

A AG G

A B v r dr v r dr′

∀ =∫ ∫

• ( ) ( )0

:r

r

r v r d r rφ∗

∗∀ =∫ ∗

• ( ) ( ) ( ) ( )r r

r

r r r v r dr v rφ φ∗ ∗

∗

+∆∗ ∗ ∗ ∗+ ∆ − = = ∆∫ r∗

• ebből: ( )d v rφ ∗=gra

• ha ( )rφ a potenciálos energia egy vektormezőben (erőtérben), akkor:

( ) ( )gradF r rφ= − Young-tétel: • második parciális deriváltak:

• legyen ( ) ( ),,

x yf x y

x∂φ

∂= , ekkor: ( )2 ,f x y

y x y∂∂ φ

∂ ∂ ∂=

• legyen ( ) ( ),,

x yg x y

y∂φ

∂= , ekkor: ( )2 ,g x y

x y x∂∂ φ

∂ ∂ ∂=

• 2 2

x y y x∂ φ ∂ φ

∂ ∂ ∂ ∂= , ha ezek a deriváltak léteznek és folytonosak

• ha gradV φ= : xV x∂φ∂

= és y yV ∂φ

∂=

• tehát: yx VVy x

∂∂∂ ∂

=

Határozott integrál kiszámítása közelítő képletekkel: • téglalapformula • trapézformula • parabolaformula • a függvény érintett szakaszát belefoglaljuk egy ismert területű síkidomba, aztán

véletlenszerűen generálunk pontokat (számpárok formájában) a síkidomból és elegendően sok után megnézzük, hogy mennyi esik be a függvény alá, az arányik az összes számpárral kiadják az integrál arányát a síkidomhoz képest

A rotáció • ha ( ) gradV r φ= : 1 2 2 1V V∂ ∂= , 1 3 3 1V V∂ ∂= és 2 2 2 3V V∂ ∂=

• átrendezve: 2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

000

V VV VV V

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

− =− =− =

• legyen: W V1 2 3 3

2 3 1 1

3 1 2 2

W V

W V

2

3

1

VVV

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= −= −= −

• ( ) ( )1 2 3rot , ,V W r W W W= = (rotáció, vagy örvényerősség)

• ( )rot i ijk j kijk

V W Vε ∂= = ∑

• ha ( ) gradV r φ= : rot 0V = (örvénymentesség) A nabla-vektor (nabla-operátor):

• ( )1 2 3, , , ,x y z

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∇ = =

• rotV V= ∇× • gradφ φ= ∇ • A Young-tétel miatt: 0∇ =∇× • ( ) ( )rotgradφ φ φ= ∇× ∇ = ∇×∇ A rotáció szemléletes jelentése: • legyen ( )V r ahol rω= × ω adott

• 2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

x xV x x

x x

ω ωω ωω ω

− = − −

• ( ) 2 3 3 2 11rot 2V V V∂ ∂ ω= − =

• hasonlóképpen: ( ) 22rot 2V ω= és ( ) 33

rot 2V ω=

• tehát: ( )rot 2r rotVω ω× = = • a rotáció olyan mintha a vízfelületen a sebességet tekintve a kiinduló

vektormezőnek, az egyes pontokban a jégtáblák forgását vizsgálnánk példa a fizikai alkalmazásra: • áram által keltett mágneses tér, ahol j az áramsűrűség

• ( ) ( )~ rotj r B r egy érdekes vektormező (így viselkedik pld. a fürdőkádban a lefolyó víz):

• ( )

2 2

2 2

0

yx yxV r

x y

− +

= +

• 0V r = és 1Vr

=

• origó középpontú körre: 1 2O

Vdr V r rR

π= ∆ = ∆ =∑ ∑∫

• általánosan: 2Vdr xπ=∫ , ahol x -szer kerüljük meg az origót

• ( ) ( )1 2rot rot 0V V= =

• ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

22 2 2 23 2 2

2 2rot 0

x y x x y yx yVx x y y x y x y

∂ ∂∂ ∂

+ − + + −−= + =

+ + +=

• tehát rot 0V =

• ok: grad arctg yVx

=

2 π erejéig határozatlan

• az örvénymentes vektormező potenciálos is konzervativitás és örvénymentesség:

• legyen 0,000000001x

z

+ =

V y

• rot 0V ≠ , tehát : 0G Vdr∃ ≠∫ és gradv φ≠

• rot 0V ≈ , tehát 0Vdr ≈∫ (a majdnem örvénymentes mező majdnem konzervatív)

• egy x∆ és oldalú (y∆ )0 0,x y koordinátájú kis téglalapra:

• x y x yVdr V x V y V x V y≈ ∆ + ∆ − ∆ − ∆∫

•

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 00 0

3rot

y yx x

yx

V x x V xV y y V yVdr x y x y

y xVV x y V A

y x∂∂

∂ ∂

+ ∆ −+ ∆ −≈ − ∆ ∆ + ∆ ∆ ≈

∆ ∆

≈ − + ∆ ∆ = ∆

∫

• tehát egy vektormező csakis akkor konzervatív ( 0Vdr =∫ ), ha örvénymentes

( rot ) 0V =a rotáció definíciója másképpen: • legyen az előző x∆ és oldalú téglalaphoz tartozó irányított felületvektor y∆ A∆

(az irányítás jobbcsavar szerint az integrál irányától függően) • legyen A e A∆∆ =

• ekkor 0

1rot limA

A

e V VdA∆ →

= ∫ r

a nablás írásmód: • ( )rot grad rota a a a aφ φ φ φ φ φ= ∇× = ∇ × + ∇× = × + a

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rot a b a b b a b a a b a b× = ∇× × = ∇ + ∇ + ∇ + ∇

• ( ) ( )gradb a b a∇ =

A divergencia A Young-tétel következményei: • ( )v r pontosan akkor írható fel gradv φ= alakban, ha rot 0v =

• ( )v r pontosan akkor írható fel rotv w= alakban, ha div 0v = A divergencia definíciója:

• legyen rot=v , ekkor , tehát w2

3

1

www

i ijk j kijk

v wε ∂= ∑1 2 3 3

2 3 1 1

3 1 2 2

v wv wv w

∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= −= −= −

• ebből: 1 1 1 2 3 1 3 2

2 2 2 3 1 2 1 3

3 3 3 1 2 3 2 1

v wv wv w

www

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= −= −= −

, tehát 0i iiv∂ =∑

• divergencia (széttartás, forráserősség): div i ii

v v∂ v= = ∇∑ (skalár)

• pld.: div 3r = (táguló rendszer) • fizikai példa: ( ) 0E r =div egy vektormező szemléltetése erővonalakkal: • vektormező iránya: érintőirány • nagysága: egységnyi keresztmetszetű az irányra merőleges felületen áthaladó

erővonalak száma • csak a divergenciamentes vektormezőt lehet erővonalakkal szemléltetni a divergencia szemléletes jelentése folyadékáramlásnál: • ( )v r a sebességmező • kicsiny térfogatból az egységnyi idő alatt kiáramló folyadék térfogata: V∆

•

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0 0

0 0 divyx z

v z z v z v z z v zz x y z x y

z zvv z z v z v vz x y V V v

z x y z∂∂ ∂

∂ ∂ ∂

+ ∆ − + ∆ −∆ ∆ ∆ + ∆ ∆ ∆ +

∆ ∆+ ∆ −

+ ∆ ∆ ∆ = ∆ + + = ∆ ∆

• ugyanez igaz a mágneses fluxusra ( div 0V B∆ = ) másfajta definíció: • egy kicsiny felületekkel határolt kis térfogatra: ( )0

divv A V v r∆ ≈ ∆∑

• ebből: ( )0 0

1limV

v r v AV∆ →

= ∆∆ ∑div

A kontinuitási (anyagmegmaradási) egyenlet (a többi megmaradási törvény is hasonló formájú):

• ( )0

1, limV

mr tV V

ρ∆ →

∆=

∆ ∆∑

• ( ,v r t ) : áramlási sebesség

• ( ) ( ),m t r t Vρ= ∆ és ( ) ( ),t r t t Vρ+ ∆ = + ∆ ∆m t

• ( ) ( ) ( ) ( ), ,r t t r tm t t m t t V V t

t tρ ρ ∂ρ

∂+ ∆ −

+ ∆ − = ∆ ∆ = ∆ ∆∆

• ( ) ( ) ( )divkiV t m t t m t m V F t v t Vt

∂ρ ρ ρ∂

∆ ∆ = + ∆ − = − = − ∆ ∆ = − ∆ ∆∑

• ebből: ( )div 0vt

∂ρ ρ∂

+ =

• ha ρ térben és időben állandó, akkor: div 0v = (összenyomhatatlan folyadék) Fizikai alkalmazása (a Maxwell-egyenletek differenciális alakja): • negyedik Maxwell-egyenlet:

• mágneses fluxus: BdF

• 0BdF =∑ • div 0B V∆ = • ebből: div 0B =

• második Maxwell-egyenlet (Gauss-törvény):

• 0

1EdF Qε

=∑

• 0

1divE V Vρε

∆ = ∆

• ( ) ( )0

1div , ,E r t r tρε

=

• bizonyítás: • gömb alakú (R sugarú) homogén töltéseloszlású töltött test elektromos tere:

• ( ) 20

14

rQE rr rπε

= ha r R> , ekkor div 0E =

• ( ) 30

14QE r r

Rπε= ha r R> , ekkor 3

0 0

1 1div4QE r

Rdiv ρ

πε ε= =

• tehát: 0

1Ediv ρε

=

• több gömbre a térerősség divergenciái összeadódnak, csakúgy, mint az áramsűrűségek és így igaz marad az egyenlet

• folytonos töltéseloszlást fel tudok bontani pici gömbökre • harmadik Maxwell-egyenlet (Faraday-törvény):

• U Edt

rφ∆− = =

∆ ∫

• B

E r Ft

∆∆ = − ∆

∆∑

• rotB

E F Ft

∂∂

∆ = − ∆

• ( ) ( ),rot ,

B r tE r t

t∂

∂= −

• első Maxwell-egyenlet (Amper törvény kijavítva): • 0 0B r I jµ µ∆ = = ∆∑ F

• 0rot B F j Fµ∆ = ∆

• 0rot B jµ= (nem igaz mindig, Maxwell kijavítja)

• olyan vektort kell választani, aminek divergenciája ( )0 0iv divtj E∂∂0 d ε µ= = −

• ez: 0 0

Et

∂ε µ

∂

• tehát ( ) ( ) ( )0 0 0

,rot , ,

E r tB r t j r t

t∂

µ ε µ∂

= +

Az indexes deriválás: Az indexes írásmód alapjai:

• 1

2

3

x

y

z

∂∂ ∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∇ = =

• ( )grad rφ φ= ∇ , ( )grad iir( )φ ∂ φ=

• ( )divv r v= ∇ , ( ) k kv r vdiv ∂=

• ( )rot v r v= ∇× , ( )rot ijk j kiv r v( ) ε ∂=

• ( ) ( )2divgradφ φ φ= ∇ ∇ = ∇ = ∆φ (Laplace operátor), divgrad k kφ ∂ ∂ φ=

• Descartes-féle koordinátarendszerben: ( ) k l lkv v kv∂ ∂∆ = ∆ =

• rotgrad 0φ φ= ∇×∇ = , ( )rotgrad 0ijk j kiφ ε ∂ ∂ φ= =

• divrot 0klm k l mv vε ∂ ∂= = • graddiv rotrotv v= + v∆ , ( )graddiv k l lk

v v∂ ∂=

• iránymenti derivált: ( ) k ka aφ ∂ φ∇ = , ( )( ) k k lla v a v∂∇ =

Alapösszefüggések: • ( ) kk

r x=

• r r=

• rer

=

• kkxer

=

• 2k kx x r=

• 1k ke e =• k l klx∂ δ=

• k kr e∂ =

• kl k lk l

e eer

δ∂ −=

A megoldás menete: • átírás indexes alakba • konstansok kihozása előre • deriválások elvégzése • a műveletek elvégzése • visszaírás vektoros alakba • ( ) ( )

0 0rot lim rot lim

F rvdF vdF v r r v r dr

∆ → ∆ →= = ∆ =∑ ∑∫∫ ∫

Többszörös integrálok Többszörös integrálok bevezetése: egydimenziós: • eddig is ismert integrál

• ( ) ( )0

limb

xa

x dx x xρ ρ∆ →

= ∆∑∫

kétdimenziós (felületi integrál): • ( ) ( ) ( )

0 00

, lim , lim ,F x

F y

x y dF x y F x y x yρ ρ ρ∆ → ∆ →

∆ →

= ∆ =∫∫ ∆ ∆

vektormező felületi integrálja: • ( ) ( )

( )( ) ( )

: 0lim

i

i i

i FF

v r dF v r F∀ ∆ →

= ∆∫∫

• értelmezhető görbült felületre is • síkfelületre: ( ) ( )

F F

v r dF n v r dF=∫∫ ∫∫

háromdimenziós (térfogati integrál): • ( ) ( ) ( ) ( )

0 000

, , lim , , lim , ,V x

K K yz

r dV x y z dxdydz x y z V x y z x y zρ ρ ρ ρ∆ → ∆ →

∆ →∆ →

= = ∆ =∫∫∫ ∫∫∫ ∆ ∆ ∆

n-dimenziós:

• ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2: 0

, , , , , ,

lim , , ,

n n

i

nn n

n nV V

n ni x

nf x x x dV f x x x dx dx dx

f x x x x x x∀ ∆ →

∫ ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ ∫ ∫ =

= ∆ ∆ ∆∑

… … … … …

… …

• alkalmazás (egy galaxisban a gravitációs potenciál): ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

12 2 2 2

61 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 612 2 2 2

1 4 2 5 3 6

, , , ,

, , , ,

x y z x y z x y z x y z

x x y y z z

x x x x x x x x x x x xf x dV

x x x x x x

ρ ρφ γ

ρ ργ

′ ′ ′ ′ ′ ′∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= − =

′ ′ ′− + − + −

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆= − =

− + − + −

∑

∑ ∫∫∫ ∫∫∫

• tört, negatív és komplex dimenziójú integrálokra is kiterjeszthetők, de ezeket nem tanuljuk

A többszörös integrálok fajtái: egydimenziós: • ( )f s ds∫

• ( )( )r s dsφ∫

• ( )( )v r s ds∫

• ( )r drφ∫

• ( )v r dr∫

• ( )v r dr×∫

• ( )v r dr∫

• hossz-számítás: 1S

ds∫kétdimenziós: • ( )r dAφ∫∫

• ( )v r dA∫∫

• ( )r dFφ∫∫

• ( )v r dF∫∫

• ( )v r dF×∫∫

• ( )v r dF∫∫

• felületszámítás: 1F

dF∫∫háromdimenziós: • ( )r dVφ∫∫∫

• ( )v r dV∫∫∫

• térfogatszámítás: 1V

dV∫∫∫A nem görbült többszörös integrálok kiszámítása: Két dimenziós: téglalapba foglalás: • az integrációs felületen kívül a függvényt definiáljuk 0-nak • legyen: :x a x b≤∀ ≤ és ∀ ≤ :y c y d≤

•

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 1 10 0

0 1

, , lim , lim ,

lim , , ,

M N

i kx x k iT T y y

b d b d bM

ky k a c a c a

x y dF x y dF x y y x y x

y x y dx x y dx dy dy dx x y

ρ ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

∗∆ → ∆ →

= =∆ → ∆ →

∆ →=

= = = ∆

= ∆ = =

∑ ∑ ∑∫∫ ∫∫

∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∆ =

• ( ) ( ), ,d b b d

c a a c

dy dx x y dx dy x yρ ρ=∫ ∫ ∫ ∫magukkal a határokkal számolás:

• ( ) ( )( )

( )

( )( )

( )2 2max max

min 1 min 1

, ,y x x yy x

T y y x x x y

,x y dF dy dx x y dx dy x yρ ρ= =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ρ

Háromdimenziós integrál (a módszer hasonló): • legyen: :x a x b≤∀ ≤ ,∀ ≤ és :y c y d≤ :z e z f∀ ≤ ≤

• ( ) ( ), , , ,fb d

a c e

x y z dV dx dy dz x y zρ ρ=∫∫∫ ∫ ∫ ∫

Többdimenziós integrál:

• ( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,qb d

nn n

a c pn

x dV dx dx dx x x xρ ρ∫ ∫ ∫ ∫ = ∫ ∫ ∫… … …

• n dimenziós gömb térfogata: 1 2 1qb d

na c p

dx dx dx∫ ∫ ∫…

Más koordináta-rendszerek: • görbült integrálokat ki lehet számítani és a nem görbülteket egyszerűsíteni, úgy,

hogy más koordináta-rendszerbe helyezem henger koordináta-rendszer:

• ( )cos

, , sinr

r r z rz

ϕϕ ϕ

=

• cossin

0dF R d dz

ϕϕ ϕ

=

• dA Rd dzϕ= • dV rdrd dzϕ= síkbeli polárkoordináta-rendszer: • cosx r ϕ= , siny r ϕ=

• 2 2r x y= + , arctg yx

ϕ =

térbeli polárkoordináta-rendszer:

• sin cossin sin

cos

rr r

r

ϑ ϕϑ ϕ

ϑ

=

• 2

sin cossin sin sin

cosdF r d d

ϑ ϕϑ ϑ ϕ ϑ

ϑ

=

ϕ

• 2 sindA r d dϑ ϑ ϕ= • 2 sindV r drd dϑ ϑ ϕ=

• spec. eset, kúp: sin cos tg cossin sin tg sin

cos

r zr r z

r z

α ϕ ϑ γα ϕ α

α

= =

ϕ

síkbeli elliptikus koordináta-rendszer:

• két rögzített ponttól vett távolságok összegei és különbségei a koordináták ellipszoid:

• sin cossin sin

cos

arr br

cr

ϑ ϕϑ ϕ

ϑ

=

• 2dV abcr drd dϑ ϕ= elliptikus hiperboloid (egyköpenyű):

• ch cosch sin

sh

arr br

cr

ϑ ϕϑ ϕ

ϑ

=

elliptikus hiperboloid (kétköpenyű):

• h cos

sh sinch

arsr br

cr

ϑ ϕϑ ϕ

ϑ

=

tórusz:

• ( )( )( )

sin cos, , sin sin

cos

a rr r a r

r

ϑ ϕϑ ϕ ϑ

ϑ

+ = +

ϕ

Felhasználásuk az integrálásnál: két dimenzióban:

• ( ) ( ) ( ), ,v rr r u v v r u v v

v∂∂

∆ = + ∆ − = ∆

• ( ) ( ) ( ), ,u rr r u u v r u v

uu

∂∂

∆ = + ∆ − = ∆

• ( ) ( )u v r rF r r u

u v∂ ∂∂ ∂

∆ = ∆ × ∆ = × ∆ ∆v

• ( ) ( )( ) ( )00

lim , ,uv

r rr dF r u v u v f u v dudv

u v∂ ∂

φ φ∂ ∂∆ →

∆ →

= × ∆ ∆ =∑∫∫ ∫∫

• ahol: ( ) ( )( ), ,r r

f u v r u vu v

∂ ∂∂ ∂

= ×

• ( ) ( )u vF r r∆ = ∆ × ∆ • zárt felületnél a felületvektort egyezményesen kifele irányítjuk három dimenzióban:

• ( )u rr u

u∂∂

∆ = ∆ , ( )v rr v

v∂∂

∆ = ∆ és ( )w rr w

w∂∂

∆ = ∆

• , ,r r r

V u v w Ju v w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∆ = ∆ ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆

u v w

• Jacoby-determináns: , ,r r r

Ju v w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

=

A feladatmegoldás általános menete: 0. dimenzió számának megállapítása 1. paraméterezés 2. határok megadása 3. szimbólumok feloldása

• ( )dr r t dt=

• ( )ds r t dt=

• ( ) ( ), ,r u v r u v

dF dudvu v

∂ ∂∂ ∂

= ×

• ( ) ( ), ,r u v r u v

dA dudvu v

∂ ∂∂ ∂

= ×

• ( ) ( ) ( ), , , , , ,

, ,r u v w r u v w r u v w

dV dudvdwu v w

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

=

4. deriválás 5. vektorműveletek 6. behelyettesítés az integrandusba 7. vektorműveletek 8. integrálás Gulden tételei (forgástestekre): I. 2 KA K Rπ= ( a kerülete a megforgatott síkidomnak, K KR a kerületi

súlypontjának a távolsága a forgástengelytől) II. V T2 TRπ= (T a területe a megforgatott síkidomnak, TR a területi súlypontjának a

távolsága a forgástengelytől)

A vektorszámítás integráltételei: Gauss-Osztrogackij tétel: • ( )divvdF v dV=∫∫ ∫∫∫

• csak akkor igaz, ha a divergencia-mező a térfogat belsejében nem szinguláris

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6

0: 0 1div lim div lim

i

ii i

Fi V iV

v dV v r V v F vdF∀∆ →∀ ∆ →

= ∆ = ∆∑ ∑∑∫∫∫ ∫∫=

• ( ) ( ) ( )( ): divF F V V

c c r dF c r dF c r dV c dVφ φ φ∀ = = =∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ gradφ

• ebből: ( ) gradF V

r dF dVφ =∫∫ ∫∫∫ φ (II. gradiens-tétel)

• ( ) iiF V

r dF dVx

∂φφ∂

=∫∫ ∫∫∫

• ii i

iF V

vv dF dVx

∂∂

=∫∫ ∫∫∫

• legyen kiφ σ= (σ másodrendű tenzor)

• ( ) kik

iF V

d F dVx

∂σσ∂

=∫∫ ∫∫∫

• ebből: ( )div kik

ix∂σσ∂

=

• ( )divdF dVσ σ=∫∫ ∫∫∫ Stokes-tétel: • ( ) rotv r dr vdF=∫ ∫∫

• csak akkor igaz, ha a rotáció-mező a felszínen nem szinguláris • következmény: ( )rot v v r dr= ⇔ =∫0 0 (az örvénymentes vektormező

konzervatív is és fordítva)