Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség ... · PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II: © Bércesné Novák Ágnes Vektorok által generált

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II:

© Bércesné Novák Ágnes

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség, függetlenség, generátorrendszer, bázis, dimenzió

Ebben a részben általánosítjuk a térbeli vektorokra már megismert hasznos fogalmakat. A legfontosabb, hogy bármely vektortérben le tudjuk irni, meg tudjuk adni a vektorokat valamilyen módon. Ez a mód a koordinátázás lesz. Látni fogjuk azonban, hogy nem minden vektorrendszer (koordinátarendszer) alkalmas erre, ugyanis vannak olyanok, amelyekre vonatkozóan nem lenne egyértelmű a koordinátázás, ezek nyilván hasznavehetetelenek. Tehát először meg kell fogalmaznunk, milyen tulajdonságúnak kell lennie azoknak a vektoroknak, amelyekkel a többit le szeretnénk írni. Emiatt van szükség a címben említett fogalmakra. Az itt említett problémákat először példákon illusztráljuk.



Definíció:

A kvvv ,,, 21 K vektorok lineáris kombinációja kkvcvcvc +++ L2211 ,

ahol kccc ,,, 21 K ∈ T.

Azt mondjuk, hogy a v vektor a kvvv ,,, 21 K lineáris kombinációja, ha ∃ kccc ,,, 21 K ∈ T,

amelyekkel kkvcvcvcv +++= L2211

(T az a test, amely fölötti vektortérről van szó.)



Példa:

=

=

=

=

321

,100

,010

,001

321 veee .

321 321100

3010

2001

1321

eeev ++=

⋅+

⋅+

⋅=

= ,

A v vektor tehát az 321 ,, eee vektorok lineáris kombinációja. Ez az előállítás itt egyértelmű, ez azonban más alapvektorok esetében nincsen mindig így. Ezt a rendszert szokás i, j, k rendszernek , vagy kanonikus bázisnak is nevezni. Az e fejezetben elmondottakat 3 dimenzióban már vettük, ismétlésképpen nézzük meg a térbeli felbontási tételt.



Tétel (Vektorok felbontása térben-volt): Ha adott a térben három, nem egysíkú, páronként nem párhuzamos vektor, a, b, c, akkor bármely d térbeli vektorhoz van olyan α,β,γ∈R, amelyekre igaz, hogy d=αa+βb+γc. Ez a felbontás egyértelmű. Biz.: d talppontján, T-n át az S síkkal S’ síkot rajzolunk. c nem párhuzamos a-val és b-vel, tehát a d végpontjában c-vel húzott egyenes D-ben döfi S’-t.

1. D-ből T-be mutató vektor legyen d’.

d=d’+c’=(αa+βb)+ γc, hiszen d’ egy síkban van a-val és b-vel, így az előző tétel miatt felírható azok lineáris kombinációjaként.

S’ D

Tc’

c’

d'

S

ab

d

d'

c’

ab



Példa: Már láttuk, hogy pl. a 2 x 2-es mátrixok a szokásos mátrix összeadásra és valós számmal való szorzásra nézve vektorteret alkotnak a való számok teste felett. Igy e térben a „vektorok” a 2 x 2-es mátrixok. Tekintsük itt az alábbi „vektorokat”:

=

−=

−=

=

1280

,3102

,2131

,0120

321 vvvv

Írjuk fel a v vektort a v1, v2, v3 vektorok lineáris kombinációjaként! Megoldás:

321 23102

)1(2131

20120

11280

vvvv −+=

−⋅−+

−⋅+

⋅=

= .



Példa: Lineáris egyenletrendszer értelmezhető (oszlop)vektorok lineáris kombinációjaként:

bxxx

Ax =

=

−=

111

123012101

3

2

1

.

A megoldás:

−=⇒13

2 x , ami azt jelenti, hogy

bAoszlopAoszlopAoszlop

bA

=

=+−=

=

=

−⋅+

⋅−

⋅==

−

111

)()(3)(2

111

101

1210

3321

213

2

321

Az egyenletrendszert nem mátrix-szorzásként, értelmeztük, hanem a mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációjaként. Tehát a b vektor az együtthatómátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja. Ez egyben azt is mutatja, ha van megoldás, akkor a b vektor előáll az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként, ha nincsen megoldás, nem létezik ilyen lineáris kombináció sem.



Példa:

Irjuk fel a

=

554

v vektort a következő vektorok lineáris kombinációjaként!

=

−=

=

233

,411

,321

321 vvv .

Megoldás: 332211321

233

411

321

554

vcvcvccccv ++=

+

−+

=

=

.

⇔ az alábbi lineáris egyenletrendszert kell megoldani:

=

−=

554

243312311

3

2

1

3

2

1

ccc

ccc

A .

Rttctctc ∈=−=+−= , ,1 ,32 321 . ( ) ( ) Rttvvtvtv ∈+−++−= ,132 321

A v vektor végtelen sokféleképpen állítható elő a megadott vektorok lineáris kombinációjaként.



Példa: Állítsuk elő a

−−=

64

3v

vektort a következő vektorok lineáris kombinációjaként:

=

−−−

=

=

541

,211

,321

321 vvv .

Megoldás:

332211321

541

211

321

64

3vcvcvccccv ++=

+

−−−

+

=

−−=

,

−−=

−−−

=

64

3

523412111

3

2

1

3

2

1

ccc

ccc

A

⇔ Ennek a lineáris egyenletrendszernek nincsen megoldása ⇔ v nem állítható elő a 321 ,, vvv vektorok lineáris kombinációjaként.



Definíció: A kvvv ,,, 21 K vektorok által generált altér ezen vektorok összes lineáris kombinációja: ⟨ kvvv ,,, 21 K ⟩={ }Rcccvcvcvc kkk ∈+++ ,,,| 212211 KL E definíció helyes, ugyanis valamely vektorok halmaza akkor és csak akkor altér, ha bármely halmazbeli vektor számszorosa is halmazbeli, és bármely két halmazbeli vektor összege is halmazbeli. Ez a definícióból könnyen adódik (hf.)



Példa: Vizsgáljuk meg a következő vektorok (kanonikus bázis) által generált alteret!

,100

,010

,001

321

=

=

= eee .

Megoldás:

3321

3

2

1

332211321 ,, |,, RRcccccc

ecececeee =

∈

=++=

Az eredmény nem meglepő, hiszen a térbeli felbontási tételből is adódik.



Példa:

=

=

=

011

,201

,121

321 vvv .

Igaz-e, hogy 32,, vvv = R3? Megoldás:

Ha igen, akkor minden 3R

cba

v ∈

=

, léteznek olyan 321 ,, ccc valós számok, hogy

332211321

011

201

121

vcvcvcccccba

v ++=

+

+

=

= .



vagyis:

=

cba

ccc

3

2

1

021102111

.

A megoldás (egyértelmű, a, b, c paraméterekkel mindegyik együttható kifejezhető):

324 ,

3 ,

322

321cbaccbaccbac −−

=+−

=++−

= .

321 324

3322 vcbavcbavcbav

−−

+

+−

+

++−

= .

Tehát minden 3R -beli vektor felírható a 321 ,, vvv vektorok lineáris kombinációjaként, tehát az egész tér előáll. (a lineáris kombináció itt is egyértelmű, összhangban a térbeli felbontási tétellel)



Generátorrendszer: vektorok olyan rendszere, amelyek lineáris kombinációjaként a vektortér minden eleme előáll. Példa: R3-ban minden 3 páronként nem párhuzamos, nem egysíkú vektor generátorrendszert alkot. Ezt illusztrálják a fenti példák is. Feladat: Adja meg a 2 x 2-es mátrixok egy generátorrendszerét!



Példa:

Igazoljuk, hogy a 1 2 3

1 1 1, ,

1 1 1g g g

− = = = − −

vektorok az R2 egy generátorrendszerét alkotják!

Megoldás: Azt kell bizonyítani, hogy bármely

ab vektor felírható a g1, g2, g3 vektorok

lineáris kombinációjaként.

1 2 3

1 1 11 1 1

ab

α α α−

= + + − − ,

vagyis

11 1 1 1 0 1 ( )1 1 1 1 1 1 211 1 1 0 2 0 10 1 0 ( ) 0 1 0 ( )2 2

a a ba ab b a a b a b

− − + − − = = = − − − − − −

tehát

1 3 2 31 1( ) , ( ),2 2

a b a bα α α α= + + = − tetszőleges.



Legyen 312

α = , ekkor például az 12

vektor a következőképpen írható fel:

3 1 21 12,2 2

α α α= − → = = −

321 21

212

11

21

11

21

11

221

gggv +−=

−−

+

−

−

=

Legyen 3 1 21 11,2 2

α α α= − → = = −

321 21

211

11

21

11

21

11

121

gggv +−=

−−

−

−

−

=

∞ sokféleképpen írható fel bármely 2R -

beli vektor a 321g,g,g lineáris

kombinációjaként.



Példa: Igazoljuk, hogy az

−

1

1,

11

vektorok R2 egy generátorrendszerét alkotják!

Megoldás:

=

−

+

ba

11

11

21 αα , előzőhöz hasonlóan:

Példa: i, j rendszerre mit mondhatunk? És i, j, k –ra?

( )

( )ba

ba

−=

+=

2121

2

1

α

α

ba

=−=+

21

21

αααα Ez esetben a felírás egyértelmű!

(Függetlenek a vektorok.)



Konklúzió: bizonyos generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációja egyértelműen állítja elő a tér vektorait, bizonyosak pedig nem. Ennek kritériuma az ún. lineáris függetlenség . A lineáris függetlenség, lineáris összefüggőség fogalmak a vektorok egymással való kapcsolatát fejezik ki. A függetlenség azt biztosítja, hogy a független vektorok közül egyik sem fejezhető ki a többi lineáris kombinációjával, míg az összefüggő vektorok közül legalább egyik kifejezhető a többi lineáris kombinációjával. Definíció: (Lineáris összefüggés (LÖF):

nvvv ,,, 21 K vektorok lineárisan összefüggők, ha a 01

=∑=

n

iii vλ lineáris kombinációban

0, ≠∃ ii λ .

(vagyis 02211 =+++++ nnii vvvv λλλλ KK úgy, hogy egyik tag, az i-dik, nem nulla. )



Példa: LÖF síkban:

1. eset 2. 021 =+ ba λλ / tegyük fel, hogy 02 ≠λ

ba

ba

=−

−=

2

1

21

λλ

λλ

Síkban két vektor akkor és csak akkor összefüggő, ha párhuzamosak. (Ekkor egymás lineáris kombinációjaként előállíthatók)

2

1/λ⋅



2. eset Most legyen a nem párhuzamos b -vel, és cba ,, lineárisan összefüggő:

bac

cba

3

2

3

1

321 0

λλ

λλ

λλλ

−−=

=++

Síkban tehát, ha 3 vektor összefüggő, akkor legalább az egyik kifejezhető a többi lineáris kombinációjaként.

Tétel (síkbeli felbontási tétel más megfogalmazása): Síkban bármely három vektor lineárisan összefüggő.

1 2 3 0a b cλ λ λ+ + =Csak úgy lehet lineárisan összefüggő, ha 03 ≠λ , ui, ha például 02 ≠λ lenne 0021 =++ cba λλ -ban 02 ≠λ miatta és b lineárisan összefüggő lenne, vagyis párhuzamos.

c kifejezhető a -val és b -vel!



Példa: LÖF TÉRBEN a.) b||a0ba 2 ⇒≠∃↔=+ 01 iλλλ

b.) 1 2 3 0λ λ λ+ + =a b c TFF. Hogy a nem párhuzamos b, akkor 03 ≠λ

bac **21 λλ +=

Ekkor a vektorok egysíkúak, és egyik kifejezhető a másikkal. Tfh. 01 ≠λ vagy 02 ≠λ ugyanaz mondható el. c.) 01 ≠λ 02 ≠λ 03 ≠λ lenne, akkor bármely d vektorra: 0dcba =+++ 4321 λλλλ a térbeli felbontási tételt kaptuk



Definíció:: Lineáris függetlenség (FGTLEN)

nvvv ,..., 21 lineárisan független, ha 0=∑=

n

iiiv

1

λ csak úgy lehetséges,ha

i∀ 0=iλ

Tétel: Ha v1,v2,…,vn LÖF, tetszőleges vektort hozzávéve, továbbra is LÖF marad. Biz.: λ1v1+ λ2v2+…+ λivi+…+ λnvn+ λn+1vn+1=0

LÖF,def.-nek eleget tesz λivi miatt ha αn+1=0-t választjuk, hiszen λi ≠0-val LÖF teljesül

LÖF volt , ∃λi≠v úgy , hogy

∑=

n

i 1

λivi=0

Ezt vesszük hozzá



Kérdés: Hány vektort szabad hozzávenni, hogy még LÖF maradjon? Tétel: Ha v1,v2,...,vn FGTLEN, tetszőleges vektort elhagyva FGTLEN marad. Biz.: Előzőre visszavezetjük, tfh. a FGTLEN rendszerből már elhagytunk egy vektort, és az így kapott rendszer, LÖF. Az előző tétel szerint, ha ehhez a LÖF rendszerhez hozzáveszünk egy vektort, a rendszer LÖF marad. Tehát akkor az eredeti is LÖF lenne, ami ellentmondás.



Tétel: v1,v2,...,vn A.CS.A LÖF, ha ∃i, hogy vi=∑

≠=

n

ikk 1

λkvk (legalább egy vektor a többivel kifejezhető)

a.) Ha LÖF, akkor ∃ vi = ∑≠=

n

ikk 1

λkvk

λ1v1+ λ2v2+…+ λivi+…+ λnvn+ λn+1vn+1=0 ∃i hogy λi≠0

λ1v1+ λ2v2+…+ λnvn+ λn+1vn+1= -λivi, vi=∑≠=

n

ikk 1

λk/λivk

b.) Ha ni

n

ikk

kki vvvvvv ,,,,, 211

KK⇒=∑≠=

α LÖF.

Ugyanis: nniiiii vvvvv αααα +++++= ++−− KK 111111

0≠iα1 1 11 1 10 ( 1)i i ii i nv v v v vα α α α− +− += + + + − ⋅ + + +K K



Tétel:

nvvv ,,, 21 K függetlenek, és 1+nv -et hozzávéve lineárisan összefüggők lesznek, akkor 1+nv

kifejezhető: ∑=

+ =n

iiin vv

11 α .

0112211 =++++ ++ nnnn vvvv λλλλ K

0, ≠∃ ii λ , mert most lineárisan összefüggő. Ha ni ≤ lenne, akkor (vagyis 01 =+nλ ), akkor

01

111

==+ ∑∑=

++=

n

iiinn

n

iii vvv λλλ és 0≠∃ iλ ,

ami azt jelentené, hogy nvvv ,,, 21 K lineárisan összefüggő lenne, ellentmondás!

Független volt Ezt vettük hozzá. 0



Tehát .

∑∑== +

+ =−=⇒n

kkkk

n

k n

kn vvv

11 11 α

λλ

Tétel: A ∑=

=n

iii vv

1α előállítás akkor és csak akkor egyértelmű, ha nvvv ,,, 21 K lineárisan

független rendszer. Bizonyítás: („visszafelé”)

Tegyük fel, hogy nvvv ,,, 21 K független rendszer. Ekkor egyértelmű v előállítása.

Indirekt módon: 1 1

n n

i ii ii i

v v vα β= =

= =∑ ∑

∑=

−=−=n

iiii vvv

1)(0 βα , mivel iv független, 0)( =− ii βα i∀ -re: iiii βαβα =⇔=− 0

egyértelmű.

01 ≠+nλ



Bizonyítás: („oda”) Ha a felírás egyértelmű, akkor nvvv ,,, 21 K független.

Indirekt módon: Tegyük fel, hogy nvvv ,,, 21 K lineárisan összefüggő, előzőek szerint:

i∃ ∑≠=

=n

ikk

kki vv1α

De akkor: 1

n

kkk

v vα=

=∑ -ba ∑≠=

=n

ikk

kki vv1α

-t írva v egy másik, különböző felírását kapnánk,

ami ellentmond v egyértelmű felírásának.



Példa: Három dimenzióban, tegyük fel, hogy egyik vektor a másik kettő lineáris kombinációja:

22112 vvv ββ += Ekkor:

3332111332211 )(0)( vvvvvvv βαβαααα ++++=++= Két különböző lineáris kombináció létezik,



Ism.: Definíció: Lineáris függetlenség

nvvv ,..., 21 lineárisan független, ha 0=∑=

n

iiiv

1λ csak úgy lehetséges,ha

i∀ 0=iλ

Függetlenség síkban: 02121 ==⇔=+ λλλλ 0ba

vagyis ha Pl.: 01 ≠λ és 02 ≠λ , akkor a lineáris kombináció sosem lehet NULLA! (paralelogramma szabály – az átló sosem nulla hosszúságú, ha az oldalak nem azok!) ba ||⇔ Függetlenség térben: ba || , ca || , cb ||

cba ,, nem egysíkúak 0321 =++ cba λλλ a parallelepipedon nem elfajuló



Példa: összefüggő-e a alábbi vektorrendszer:

1 1,

1 1 − ?

Megoldás:

02211 =+ vv λλ Miként állítható elő a 0 ?

000

00

11

11

21

21

21

21

===−=+

=

−

+

λλλλλλ

λλ

Csak triviális megoldás létezik, ezért függetlenek.



Definíció: A lineárisan független vektorokból álló generátorrendszert bázisnak nevezzük. A bázisnak tehát két fontos tulajdonsága van: - a bázisvektorok lineárisan függetlenek - minden vektor előáll a bázisvektorok lineáris kombinációjaként



Példa:

Bizonyítsuk be, hogy az

101

,110

,011

vektorok az R3 egy bázisát alkotják.

Megoldás: Első tul.: függetlenség

000

000

101

110

011

32

21

31

321

=+=+=+

=

+

+

λλλλλλ

λλλ

Csak triviális megoldása van, tehát független rendszer.

( A paralelepipedon térfogata≠0, csak akkor, ha a vektorokat „0-szor” vesszük.)

Második tul.: Minden vektor előállítható a bázisvektorok lineáris kombinációjaként (hf).

−≈

−≈

020001100101

011001100101

011000110101

12

3

3

00

02

λλλλ

====



Megjegyzés: A megoldásból kitűnik, hogyha det(A)=0, ahol A a vektorokat mint oszlopokat tartalmazza, akkor van triviálistól különböző megoldás, vagyis, akkor összefüggő a vektorrendszer.

Az előzőekből láttuk, hogy egy vektorrendszer akkor és csak akkor FGTLEN, ha bármely más vektor EGYÉRTELMŰEN írható fel az elemek lineáris kombinációjaként. Ezért a vektortér vektorait a bázisok segítségével reprezentálhatjuk (máskülönben az előállítás nem lenne egyértelmű)

Definíció: Ha a iv vektorok bázist alkotnak, akkor a ∑=

=n

kkk vv

1α lineáris kombinációban a

kα valós számokat a v vektor iv bázisra vonatkoztatott koordinátáinak nevezzük. Amennyiben megállapodunk a vektorok felírási sorrendjében, akkor a vektor egy rendezett szám n-esel reprezentálható.



Tétel: Bármely vektortérben a bázisok elemszáma egyenlő. Bizonyítás: A kicserélési tétel szerint, bármely független vektorrendszer elemei kicserélhetők egy adott generátorrendszer elemeivel úgy, hogy független rendszert kapunk. A bázis független vektorokból álló generátorrendszer.

Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2≥n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 – GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1≥ n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.



KICSERÉLÉSI TÉTEL: Az f1, … fn független vektorokból álló rendszer bármely fi vektorához a g1 , …, gj generátorrendszerből található olyan gk vektor, amellyel fi –t kicserélve a f1, … fi-1, gk, fi+1, … fn rendszer is független Bizonyítás: f1, … fn FGETLEN, akkor ∀ fi-hez van olyan gk, amire kicserélve fi-t FGETLEN marad:

Ugyanis ha pl. f1-hez nem lenne egyik gi sem jó, akkor minden egyes gi-re:

g1 f2, …fn LÖF g1 : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=

=n

kkk fg

211 α

g2 f2, … fn LÖF g2 : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=

=n

kkk fg

222 α

…

gj f2, … fn LÖF ge : f2, … fn-nel kifejezhető: ∑=

=n

kkjkj fg

2α



vagyis a gi -k helyébe f2, … fn-k lineáris kombinációját írhatjuk.

Mivel gi-kel ∀ vektor kifejezhető, így f1 is: f1 = β1g1 + … βjgj, de a gi-k ki vannak fejezve fk-kal, ezért f1 is ki van fejezve a többi fk-val, tehát az fk vektorok összefüggők lennének. Ez ellentmondás.

Következmény: f1, … fi-1, gk,fi+1, … fn g1, …gj j ≥ n ,

vagyis a generátorrendszer elemszám mindig nagyobb, vagy egyenlő, mint a független vektorokból álló rendszer elemeinek száma.

Mivel a bázis generátorrendszer is: FGETLEN legyen Bázis1, elemszáma n1, a GEN.rsz. legyen Bázis2, elemszáma n2 Ekkor n2≥n1 FGETLEN legyen Bázis2 elemszáma n2 , GEN. rsz. Legyen Bázis1, elemszáma n1, Ekkor n1≥ n2. Ez csak úgy lehetséges, ha n1=n2.



Következmények: - N dimenziós térben bármely n db FGETLEN vektor bázis. - N dimenziós térben bármely n+1 db vektor LÖF.

Definíció: A vektortér dimenzióján bázisának elemszámát értjük. (A definíció helyes, hiszen minden bázisnak ugyanannyi eleme van az előző tétel szerint.) Feladatok: A fentebb szereplő példákban több vektorrendszer található. Válasszuk ki közülük a generátorrendszereket, bázisokat, adjuk meg a generált tér dimenzióját. Típusfeladatok:

- adott vektorok generátorrendszert alkotnak-e? - adott vektorok bázist alkotnak-e? - adott vektorok függetlenek-e? - adott vektorokkal másik adott vektor kifejezhető-e? - adott vektornak mik a koordinátái egy bázisra vonatkozóan? - adott vektort többféleképpen kifejezni löf generátorrendszer elemeivel



Összefoglalás

E fejezetben láttuk, hogy minden vektortér felfogható bizonyos vektorok generátumaként. E vektorok összessége a generátorrendszer. Ez azt jelenti, hogy a tér minden vektora előállítható a generátorrendszer elemeinek lineáris kombinációjával. Ha a generátorrendszer vektorai lineárisan függetlenek, akkor minden más vektor egyértelműen áll elő ezek lineáris kombinációjaként. Ezért az ilyen, független vektorokból álló generátorrendszereket megkülönböztetésül bázisnak nevezzük. A bázisvektorok lineáris kombinációjaként előállított vektorok koordinátái a lineáris kombinációban szereplő skalárok. A koordináta tehát mindig valamely előre rögzített bázisra vonatkozik. A bázisok elemszáma egyenlő, ez a szám a vektortér dimenziója.

Documents

Vektorok által generált altér, lineáris összefüggőség ... · PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika VEKTORTÉR II: © Bércesné Novák Ágnes Vektorok által generált