Energía Potencial

786 Cinética de partículas: métodos de la energíay la cantidad de movimiento

†Parte del material de esta sección ya se consideró en la sección 10.7.

13.52 Un tren de 100 ton que viaja sobre una pista horizontal requiere400 hp para mantener una rapidez constante de 50 mi/h. Determine a) lafuerza total necesaria para contrarrestar la fricción del eje, la resistencia alrodamiento y la resistencia del aire, b) los caballos de fuerza adicionales re-queridos si el tren debe mantener la misma rapidez cuando asciende por unapendiente de 1 por ciento.

13.53 Se sabe que la resistencia de fricción de un barco varía direc-tamente como la potencia 1.75 de la velocidad v del barco. Un solo remol-cador a máxima potencia puede jalar al barco a una rapidez constante de 4.5km/h, ejerciendo una fuerza constante de 300 kN. Determine a) la potenciadesarrollada por el remolcador, b) la rapidez máxima a la que dos remol-cadores, capaces de entregar la misma potencia, pueden arrastrar al barco.

13.54 El elevador E tiene una masa de 3 000 kg cuando está com-pletamente cargado y se conecta como se muestra a un contrapeso W de 1 000 kg de masa. Determine la potencia en kW que entrega el motor a) cuando el elevador se mueve hacia abajo a una rapidez constante de 3 m/s,b) cuando tiene una velocidad hacia arriba de 3 m/s y una desaceleración de0.5 m/s2.

13.6. ENERGÍA POTENCIAL†

Considere de nuevo un cuerpo de peso W que se mueve a lo largo deuna trayectoria curva desde un punto A1 de elevación y1 hasta un pun-to A2 de elevación y2 (figura 13.4). En la sección 13.2 se estudió queel trabajo de la fuerza de gravedad W durante este desplazamiento es

U1y2 � Wy1 � Wy2 (13.4)

El trabajo de W puede obtenerse entonces al restar el valor de la fun-ción Wy, correspondiente a la segunda posición del cuerpo, del valorque corresponde a su primera posición. El trabajo de W es indepen-diente de la trayectoria real seguida; depende sólo de los valores ini-cial y final de la función Wy. Esta función recibe el nombre de ener-gía potencial del cuerpo respecto a la fuerza de gravedad W, y se denotamediante Vg. Se escribe

U1y2 � (Vg)1 � (Vg)2 con Vg � Wy (13.16)

Se observa que si (Vg)2 � (Vg)1, esto es, si la energía potencial aumen-ta durante el desplazamiento (como en el caso considerado aquí), eltrabajo U1y2 es negativo. Si, por otro lado, el trabajo de W es positi-vo, disminuye la energía potencial. Por lo tanto, la energía potencial Vg

del cuerpo proporciona una medida del trabajo que puede realizarsemediante su peso W. Puesto que en la fórmula (13.16) únicamente es-tá implicado el cambio en la energía potencial, y no el valor real de Vg,puede agregarse una constante arbitraria a la expresión obtenida paraVg. En otras palabras, el nivel de referencia desde el cual es medida laelevación y se puede elegir de manera arbitraria. Advierta que la ener-gía potencial se expresa en las mismas unidades que el trabajo, esto es,en joules si se usan unidades SI y en ft • lb o in. • lb si se utilizan uni-dades de uso común en Estados Unidos.

E

W

C

M

Figura P13.54

Figura 13.4 (repetida)

A2

A

A1

y2

y1

dy

y

W

bee76985_ch13.qxd 10/6/09 2:37 PM Página 786

78713.6. Energía potencialHay que observar que la expresión que se acaba de obtener parala energía potencial de un cuerpo con respecto a la gravedad sólo es vá-lida mientras es posible suponer que el peso W del cuerpo permanececonstante. Esto es, siempre y cuando los desplazamientos del cuerposean pequeños comparados con el radio de la Tierra. Sin embargo, enel caso de un vehículo espacial debemos tomar en consideración la va-riación de la fuerza de la gravedad con la distancia r desde el centro dela Tierra. Con base en la expresión que se obtuvo en la sección 13.2 pa-ra el trabajo de una fuerza gravitacional, se escribe (figura 13.6)

U1y2 � � (13.7)

El trabajo de la fuerza de gravedad puede entonces obtenerse al sus-traer el valor de la función �GMm�r correspondiente a la segunda po-sición del cuerpo de su valor correspondiente a la primera posición.En consecuencia, la expresión que debe usarse para la energía poten-cial Vg cuando la variación en la fuerza de la gravedad no puede igno-rarse es

Vg � � (13.17)

Si se toma la primera de las relaciones (12.29) en cuenta, se escribe Vg

en la forma alternativa

Vg � � (13.17�)

donde R es el radio de la Tierra y W es el valor del peso del cuerpo enla superficie terrestre. Cuando cualquiera de las relaciones (13.17) o(13.17�) se usa para expresar Vg, la distancia r debe, desde luego, me-dirse desde el centro de la Tierra.† Advierta que Vg siempre es negati-va y que se aproxima a cero para valores muy grandes de r.

Considere ahora un cuerpo unido a un resorte y que se mueve deuna posición Al, correspondiente a una deformación x1 del resorte, auna posición A2, correspondiente a una deformación x2 del resorte (fi-gura 13.5). Recuérdese de la sección 13.2 que el trabajo de la fuerza Fejercida por el resorte sobre el cuerpo es

U1y2 � 12kx2

1 � 12kx2

2 (13.6)

El trabajo de la fuerza elástica se obtiene de tal modo al sustraer el va-lor de la función

12kx2 correspondiente a la segunda posición del cuer-

po de su valor correspondiente a la primera posición. Esta función sedenota mediante Ve y se denomina la energía potencial del cuerpo conrespecto a la fuerza elástica F. Se escribe

U1y2 � (Ve)1 � (Ve)2 con Ve � 12kx2 (13.18)

y se observa que durante el desplazamiento considerado, el trabajo dela fuerza F ejercido por el resorte sobre el cuerpo es negativo y que au-menta la energía potencial Ve. Hay que observar que la expresión que

WR2

r

GMm

r

GMm

r1

GMm

r2



†Las expresiones dadas para Vg en (13.17) y (13.17�) son válidas sólo cuando r � R, estoes, cuando el cuerpo considerado está sobre la superficie de la Tierra.

O

A2

A1

r2

r1q

dr

F

–F

M

r

A'

Am

dq

A0

A1

Resorte sin deformar

B

B

B

F

A

A2

x1

x

x2


788 Cinética de partículas: métodos de la energíay la cantidad de movimiento

se obtuvo para Ve sólo es válida si las deformaciones del resorte se mi-den a partir de su posición no deformada. Por otro lado, es posible uti-lizar la fórmula (13.18) incluso cuando el resorte se gira alrededor desu extremo fijo (figura 13.10a). El trabajo de la fuerza elástica depen-de únicamente de las deformaciones inicial y final del resorte (figura13.10b).

Figura 13.10

Figura 13.11

Es posible recurrir al concepto de energía potencial cuando estánimplicadas fuerzas diferentes a las de la gravedad y elásticas. En reali-dad, sigue siendo válido siempre que el trabajo de la fuerza considera-da sea independiente de la trayectoria seguida por su punto de aplica-ción cuando este punto se mueve de una posición dada Al a una posicióndada A2. Este tipo de fuerzas se dice que son fuerzas conservativas; laspropiedades generales de las fuerzas conservativas se estudian en la si-guiente sección.

*13.7. FUERZAS CONSERVATIVAS

Como se indica en la sección precedente, una fuerza F que actúa so-bre una partícula A se dice que es conservativa si su trabajo U1y2 esindependiente de la trayectoria seguida por la partícula A cuando semueve de Al a A2 (figura 13.11a). Se puede escribir entonces

U1y2 � V(x1, y1, z1) � V(x2, y2, z2) (13.19)

o, en forma resumida,

U1y2 � V1 � V2 (13.19�)

La función V(x, y, z) recibe el nombre de energía potencial, o funciónpotencial de F.

Note que si A2 se elige para coincidir con A1, esto es, si la partículadescribe una trayectoria cerrada (figura 13.11b), V1 � V2 y el trabajo escero. De tal modo, es posible escribir para una fuerza conservativa F

� F � dr � 0 (13.20)

donde el círculo sobre el signo integral indica que la trayectoria es ce-rrada.

Longitud sin deformar

a) b)

O

A1 A2

x1

x2

F = kx

(Ve)1 = kx1 212

(Ve)2 = kx2 212

x

F

x2

x1

–U1 2

a)

b)

x

y

z

O

x

y

z

O

F

F

A(x, y, z)

A2(x2, y2, z2)

A1(x1, y1, z1)

A(x, y, z)

A1(x1, y1, z1)


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