Enfoque Var Bayesiano Para Proyecciones en Matlab

Motivacion e IntroduccionVAR BayesianoImplementacion

ResultadosReferencias

VAR-Bayesiano para proyecciones en MATLAB




1 Motivacion e Introduccion

2 VAR BayesianoEspecificacion de Priors

3 Implementacion

4 Resultados




Motivacion

Los bancos centrales (BC) buscan anticiparse a eventos que afecten eldesempeno de la economıa ⇒ desarrollan modelos para predicciones.

Asimismo, los BC fomentan la estabilidad economica ⇒ es preferible queel publico entienda la postura del BC.

Dificultad: los modelos desarrollados por los BC son dificiles de replicar.

Es por ello que en este webinar se presentara u modelo estadısticosde vectores autoregresivos de facil implementacion, cuya capacidad depronostico se mejora con tecnicas bayesianas (BVAR).

Resultara evidente que Matlab es una herramienta versatil en laimplementacion y evaluacion de modelos BVAR. Ademas de sersumamente util para reportar resultados, debido a la facilidad con laque Matlab interactua con plataformas para edicion de texto.




Introduccion

Seguiremos a Llosa et al. (2006), que utilizan BVARs con priors del tipoMinesota propuesto por Litterman (1986) y se evaluan las prediccionessiguiendo a Doan et al. (1983) y Robertson & Tallman (1999).

Los resultados muestran que el uso de modelos BVAR para proyectar lainflacion pueden ser mejores en terminos del ECM respecto a modelospuramente estadısticos.

La implementacion de esta tecnica resulta muy sencilla en Matlab.




Especificacion de Priors

VAR Bayesiano

Las variables a utilizar son:

Notacion Descripcion

yt PBI a precios de 1994 desestacionalizado

pt Indice de precios al consumidor en la cuidad de Limamt Base monetaria desestacionalizadait Tasa interbancaria promedio mensualqt Tipo de cambio real efectivoi∗t Tasa de interes FED mensual

pcmt Indice de precios de metales publicado por el FMI

Todas estas variables excepto las tasas de interes estan expresadas enlogaritmos y luego multiplicadas por 100.

La funcion uploadDB.m carga los datos desde excel a Matlab.





Especificacion

El VAR es Yt = [yt pt mt it qt i∗t pcmt ]′, y se especifica con seis rezagos

Yt =

6∑

i=1

AiYt−i + Ut (1)

De Kadiyala & Karlsson (1997), el VAR [1] se puede escribir como

Y = Zγ + U (2)

Donde γ contiene a todos los parametros del modelo, este es estimablevıa mınimos cuadrados ordinarios (MCO):

γ = (Z′

Z)−1

Z′

Y con V (γ) = Y′

(I − Z(Z′

Z)−1

Z′

)Y (3)

Todas estas operaciones son transformaciones sobre matrices y Matlabes sumamente versatil con este tipo de operaciones.

Con la funcion varsetup.m se obteniene la expresion [2] desde [1].

Con la funcion olsvar.m estimamos [2] via MCO (obtenemos [3])






Numero de parametros del VAR: k2p (muy elevado)

Doan et al. (1983) propusieron usar un pequeno conjunto de hiper-parametros para caracterizar la distribucion prior adecuadamente.

⊲ Media prior de γ:

γ = E(γ) =

{1 para parametros de primer rezago propio

0 en cualquier otro caso

⊲ Varianza prior de γ:

Vγ = V (γ) =

{θ

hλwii para parametros de rezago propio

θ

hλwij para parametros de rezagos en variable j 6= i

- Hiperparametro θ : parametro de precision total

- Hiperparametro λ : parametro de decaimiento

- Hiperparametro wij : parametro de ponderacion

En matlab con la funcion priorsetup.m obtenemos γ y Vγ .






El ultimo hiperparametro (wij) se especifıca segun

w11 w12 ... w1k

w21 w22 ... w2k

......

. . ....

wk1 wk2 ... wkk

=

1 W12(σ2

1

σ2

2

) ... W1k(σ2

1

σ2

k

)

W21(σ2

2

σ2

1

) 1 ... W2k(σ2

1

σ2

k

)

......

. . ....

Wk1(σ2

k

σ2

1

) Wk2(σ2

k

σ2

2

) ... 1

Ası, la informacion prior se puede escribir bajo normalidad como

γi = γi +i

siendo = [1 1 ... k]′ iid con media cero y varianza Vγ






Siguiendo a Theil & Goldberger (1992), combinamos la restriccionanterior con el modelo VAR

[Y

γ

]=

[Z

I

]γ +

[U

]

La estimacion MCO es

γTG =(V (γ)−1 + V

−1

γ

)−1

[(Ψ−1

⊗ Z′)Y + V

−1

γ γ]

En Matlab, con la funcion tgvar.m obtenemos γTG.






Exogeneidad priori del bloque externo: Se asume que el prior depaseo aleatorio es mas importante para las variables externas. Con ellose tiene que

Wij =

1 si i = j

0,5 si i 6= j y i → variable domestica

0,01 si i > j y i → variable externa

En ancla nominal: ¿Tenemos mas informacion sobre el PGD ademasde la informacion proporcionada por los datos?.Se propone determinar θ y λ tal que se minimice

d = (πss − 2)2,

donde πss y iss, son predicciones de largo plazo.

Encontrar θ y λ tal que d se minimice no es posible analıticamente.Sin embargo, Matlab tiene implementado un toolbox completo paraoptimizacion numerica. En esta presentacion utilizamos la funcionMatlab fmincon.m, la cual incluimos dentro de bvarseek.m para esteestudio.




Se tienen dos programas maestros:- seekhyper.m: Computa los hyperparametros tal que la funcion deperdida se minimice.

- MasterFile.m: Estima y evalua el BVAR seleccionado.

Estos dos archivos maestros dependen de algunas funciones auxiliaresque permiten la implementacion de los BVAR. Se han separado en tresgrupos.

- funs/GNR: Se almacenan los programas que estiman y pronostican elmodelo VAR por MCO y por regresion Bayesiana.

- funs/ESP: Se almacenan los programas que realizan las transformacionesespecificas del ejercicio presentado.




Determinacion de priors

theta (0 vs F) lambda (0 vs F)0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Optimization

(d) BAYES 0 (d) BAYES F0

0.05

0.1

0.15

0.2

Objective Function




Predicciones

2010.5 2011 2011.5 2012 2012.5

483

484

485

486

487

488

489

490

OLS Forecast for cpi

ActualForecast h=1Forecast h=3Forecast h=6

2010.5 2011 2011.5 2012 2012.5

483

484

485

486

487

488

489

490

BVAR Forecast for cpi





Predicciones

2010.5 2011 2011.5 2012 2012.51.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

OLS Forecast for int


2010.5 2011 2011.5 2012 2012.51.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

BVAR Forecast for int





Resumen de errores cuadraticos medios

O h = 1 B h = 1 O h = 3 B h = 3 O h = 6 B h = 6

gdp 6,96 6,91 6,33 6,35 8,01 7,66

cpi 2,13 1,99 4,50 3,59 3,80 3,97

m0 21,66 21,51 33,28 35,44 36,24 48,62

rerMULTI 9,43 8,78 18,07 17,18 21,01 19,80

int 2,07 1,49 4,79 3,18 6,21 4,99

intUS 0,68 1,96 1,43 1,26 2,81 2,48

pxmetal 41,49 31,90 82,55 57,56 107,24 89,46

All 84,41 74,52 150,95 124,57 185,31 176,98




Doan, T., Litterman, R. B. & Sims, C. A. (1983), Forecasting and conditionalprojection using realistic prior distributions, NBER Working Papers 1202,National Bureau of Economic Research, Inc.

Kadiyala, K. R. & Karlsson, S. (1997), ‘Numerical methods for estimationand inference in bayesian var-models’, Journal of Applied Econometrics

12(2), 99–132.

Litterman, R. B. (1986), ‘Forecasting with bayesian vector autoregressions-five years of experience’, Journal of Business & Economic Statistics

4(1), 25–38.

Llosa, G., Tuesta, V. & Vega, M. (2006), ‘A bvar forecasting model forperuvian inflation’, Money Affairs 0(2), 117–141.

Robertson, J. C. & Tallman, E. W. (1999), ‘Vector autoregressions:forecasting and reality’, Economic Review (Q1), 4–18.

Theil, H. & Goldberger, A. (1992), ‘On pure and mixed statistical estimationin economics’, 23, 317–332.


Documents

Enfoque Var Bayesiano Para Proyecciones en Matlab