第第 11 章 流体及其主要物理性质章 流体及其主要物理性质

第第 22 章 流体静力学章 流体静力学第第 33 章 流体动力学基础章 流体动力学基础第第 44 章 流动阻力和水头损失章 流动阻力和水头损失第第 55 章 孔口、管嘴出流及有压管流章 孔口、管嘴出流及有压管流第第 66 章 明渠均匀流章 明渠均匀流第第 77 章 明渠水流的两种流态及其转换章 明渠水流的两种流态及其转换

第二章 流体静力学第一节 流体静压强及其特性第二节 流体的平衡微分方程及其积分第三节 重力作用下的流体平衡第四节 流体压强的量测

1

第五节 作用在平面上的流体静压力第六节 作用在曲面上的流体静压力

重、难点

1. 静压强及其静压强的特性。2.静力学基本方程式的理解和应用；等压面。3.静止流体对固体壁面的作用力：平面和曲面。

平衡有两种： 一种是流体对地球无相对运动，即重力场中的流体的绝对平衡；

一种是流体对某物体（或参考坐标系）无相对运动，亦称流体对该物体的相对平衡。

第一节 流体静压强及其特性

一 . 流体静压强的定义

单位： N/m2 ， Pa

A

P

A

Pp

A d

dlim

0

作用在单位面积上的力

二、流体静压强的特性

1. 垂直性

流体静压强的方向与受压面垂直并指向受压面，或流体静压强只能沿受压面的内法线方向作用。

dA

dP

dA

dP

反 证法反 证法

2. 各向等值性 平衡流体中任意点的静压强的大小由该点的坐标位置决定，而与作用面的方位无关。即在平衡流体内部任意点上各方向的流体静压强大小相等。

压强 p 的全微分：

zz

py

y

px

x

pp dddd

nzyx pppp

nzyx pppp 证明思路

证明思路

取研究对象

受力分析

导出关系式

得出结论

dxdyp

dxdzp

dydzp

z

y

x

2

12

12

1

dxdydzf

dxdydzf

dxdydzf

z

y

x

6

16

16

1

质量力质量力

表面力表面力

取研究对象

取一四面体 OABC ，三条边相互垂直且与坐标重合，

受力分析

0;0;0 zyx FFF

nx

xnx

xnnx

pp

dx

dxfpp

dxdydzfxnApdydzp

;0

03

1

06

1,cos(00

2

1

当

）

对于 x轴

对于 x轴

得出结论得出结论 zyxn pppp

导出关系式

对于任一轴

第二节 流体的平衡微分方程 及其积分平衡微分方程的推导

取研究对象

受力分析

1. 表面力

设压强在 x 方向上的变化率为 x

p

1d ( d )d d

2

pP p x y z

x

右

1d ( d )d d

2

pP p x y z

x

左

2. 质量力

d d d dx xF f x y z

在 x 方向上：

01

x

pf x

01

z

pf z

0x

pf x

0x

pf x

01

y

pf y

流体静力学平衡微分——方程或欧拉平衡微分方程

0;0;0 zyx FFF

导出关系式

对于任一轴

平衡微分方程的积分

( d d d ) ( d d d ) 0x y z

p p pf x f y f z x y z

x y z

＝ dp＝ dU

令 U ＝ U （ x,y,z ），且

z

Uf

y

Uf

x

Uf zyx

,,

U 称为质量力的势函数，如重力、惯性力。

CUp Udp d由 积分得

前三式分乘 dx ， dy ， dz ，再相加，得

00 UpC

积分常数 C的确定

)( 00 UUpp

假定平衡流体中某点的压强为 p0 、力势函数为 U0 ，则

•平衡微分方程的物理意义

1. 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡。

2. 压强对流体受力的影响是通过压差来体现的 .

【例】试求重力场中平衡流体的质量力势函数。

x

-mg

y

z

z0

【解】该流体的单位质量分力为

fx ＝ 0 ， fy ＝ 0 ， fz

＝－ g zgzfyfxfU zyx ddddd

积分得 U ＝－ gz+C

取基准面 z ＝ 0 处， U ＝ 0 （称为零势面），得 U ＝－ gz

物理意义：单位质量（ m ＝ 1 ）流体在基准面以上高度为 z 时所具有的位置势能。

等压面 平衡流体中压强相等的点所组成的面（平面或曲面）称为等压面。

0d)ddd(d Uzfyfxfp zyx 即

等压面性质：

1. 等压面即是等势面： U ＝ C ；2. 等压面与质量力矢量垂直； 3. 两种不相混的平衡液体的分界面必然是等压面。

01

x

pf x

0

1

y

pf y

01

z

pf z

第三节 重力作用下的流体平衡

一、流体静力学基本方程 1. 压强形式的静力学基本方程

Cgzp

在重力场中： gfff zyx ,0,0

x

z

0(y)

z

h

z0

p0

由液体自由表面上的边界条件：

z ＝ z0 ， p ＝ p0 ，得

ghpzzgpp 000 )(

上式称为流体静力学基本方程，或不可压缩流体的静压强分布规律。

12

帕斯卡定律

ghpp 02. 压强形式的方程的推论

平衡流体中，自由表面处压强 p0 的任何变化都会等值地传递到液体中的任意一点上。

流体静压强分布 静止液体中，任一点的压强值与其所处的深度 h 成正比。因此，压强与液体深度为线性函数关系。

气体压强的计算 由于气体的密度很小，在高差不很大时气柱产生的压强很小，可以忽略，则 p ＝ p0 （即小范围内，气体压强处处相等）。

连通器原理

水平面是等压面的条件： • 重力液体 • 静止液体• 同一容器（连通）• 同一介质• 局部范围内

水 油

水银

p0

pa

A B1 2 3 4

5 6

连通容器 连通容器 连通器被隔断

2. 能量形式的静力学基本方程

Cg

pz

—— 不可压缩流体的静力学基本方程（能量形式）

对静止容器内的液体中的 1 、 2 两点有

Cg

pz

g

pz

2

21

1

2

p0

1

0 0

g

p

1

1z2z

g

p

2

一、流体静力学基本方程

Cgzp

2. 静力学基本方程的物理意义

Cg

pz

能量意义单位重量流体

位置势能，简称位能 z ---

压强势能，简称压能 g

p

---

总势能 ---g

pz

流体静力学基本方程的能量意义是：在重力作用下平衡流体中各点的单位重量流体所具有的总势能（包括位能和压能）是相等的，即势能守恒。

x

z

y

p0

AZ

几何意义

z ---

g

p

---

---g

pz

流体距基准面的位置高度，称为位置水头

流体在压强 p 作用下沿测压管上升的高度，称为压强水头

静压水头（或静力水头）

流体静力学基本方程的几何意义是：在重力作用下同一平衡流体中各点的静力水头为一常数，相应的静力水头线为一水平线。

/Ap

Az

/Bp

Bz

O O

p

z

测压管水头的含义

在内有液体的容器壁选定测点，垂直于壁面打孔，接出一端开口与大气相通的玻璃管，即为测压管。

测压管内的静止液面上 p = 0 ，其液面高程即为测点处

的 ，所以

叫测压管水头。

/Ap

Az

/Bp

Bz

O O

测静压只须一根测压管

如果容器内的液体是静止的，一根测压管测得的测压管水头也就是容器内液体中任何 一 点 的 测 压 管 水头。如接上多根测压管，则各测压管中的液面都将位于同一水平面上。

敞口容器和封口容器接上测压管后的情况如图

测压管水头和静压水头

绝对压强 是以绝对真空（或完全真空）为起点来计算的压强值，以 p’ 表示。

ghpp a

相对压强 是以当地大气压强 pa 为起点来计算的压强值，以 p 表示。 ghp appp （表压强）

真空压强 当静止流体中某点的绝对压强 p’ 小于大气压强 pa 时，出现真空，所小的值为真空值，以 pv 表示。

va ghpppv ppv

第四节 流体压强的量测一、压强的度量标准

B

A

绝对压强基准

A 点绝对压强

B 点真空压强

A 点相对压强

B 点绝对压强

相对压强基准

O

大气压强 pa

O

压强

压强分布图

pa

pa+ρgh

pa

pa+ρgh

pa+ρgh1

pa

pa+ρg(h1+h2)

pa+ρgh1

pa

pa+ρg2R

二、压强的度量单位

应力单位 N/m2 （ Pa ）， kN/m2 （ kPa ）

液柱高单位 米水柱（ mH2O ），毫米汞柱（ mmHg ）其常用于理论计算；

其常用于实验室计量； 工程大气压单位

1个标准大气压（ atm ） =1.01325×105 Pa =760 mmHg1个工程大气压（ at ） = 1kgf/cm2 =

OmH10 2

mmHg736

98×103 Pa

大气压与大气压强

【解】

【例】 已知▽ 1 ＝ 9m ，▽ 2 ＝ 8m ，▽ 3 ＝ 7m ，▽ 4

＝ 10m ，大气压强为 1at ，求 1 、 2 、 3 、 4 各点的绝对压强、相对压强（以液柱高表示）及M2 、 M4 两个压强表的表压强或真空读数。

三、测压仪器

测压仪器分三大类： 金属式 有压强表与真空表之分 金属式测压仪安装方便、易读数、量程较大，但精度不高，工程当中常用。

电测式 电测式测压仪便于远距离测量及动态测量。

液柱式 液柱式测压仪构造简单，方便可靠，测量精度高，但量程小，一般用于低压实验场所。

ahp mmA ahp mmA

如果连通的静止液体区域包括多种液体，则须在它们的分界面处作过渡。

)( mAmmBBA hzhzpp )( mAmmBBA hzhzpp

用比压计测量

即使在连通的静止流体区域中任何一点的压强都不知道，也可利用流体的平衡规律，知道其中任何二点的压差，这就是比压计的测量原理。

hp

zp

z BB

AA )()(

h

pz

pz B

BA

A )()(

流体的平衡规律必须在连通的静止流体区域（如测 压 管 中 ） 应用，不能用到管道中去，因为管道中的流体可能是在流动的，测压管不只是为测量静压用的。

液柱式测压仪表如下：

• 测压管

ghpA

当测压管所测压强大于 2mH2O 时，不便使用。

• 真空计或倒式测压管

BvB pghp aB pghp

ghpp aA

h

A

ρh

A

ρ

h

ρ

空气

B

h

ρ

空气

B

• U 形测压管

12 ghghpp paA

ghhp pA )( 12

ghhpp paB )( 12

BpvB pghhp )( 12

注意：目前的实验室常以某些密度较大的油来代替测压管中的水银，积极推行国家提倡的无汞实验室。

21 ghpghp paA

ρ Bh1

h2ρp

ρ Bh1

h2ρp

h2

h11 2

Aρ

ρph2

h11 2

Aρ

• U 形差压管 hgpHhhgp BA )(

)( Hhgpp BA

ppBBBAAA ghghpghp

AAppBBBA ghghghpp

对 (a) 图：

对 (b) 图：

若 A 、 B 处为同种液体，且同高，即 hA ＝ hB+h ，得

ghpp pBA )(

若为水与水银： hg

pp BA 6.12

A

Bρ Aρ B

ρp

hA

hB

1 2

hp

（b）

H

A

B

h'

h

ρ

空气

（a）

H

A

B

h'

h

ρ

空气

（a）

• 复式压力计（多管测压计）

若球形容器内是气体， U 形管上端也充以气体，则

21 ghghpp ppaA

若容器中所装为液体， U 形管上端也充满同种液体，则

3221 ghghghghpp ppaA

)()( 3221 hhghhgp pa

当所测压强（或压差）较大时（一般大于 3个工程大气压），可采用这种多管测压计。

h1

h2h3

A

ρ

ρ

ρ

h1

h2h3

A

p

ρ

ρ

• 复式压力计（多管测压计）

1.确定压强已知的面2.根据等压面应用的条件，划出等压面3.从已知面开始，逐步推出未知面压强

• 倾斜管微压计 p

ρ A1

0 0

α

LA2

h

Δh

)sin( Lhgpp a

由 A1Δh ＝ A2L ，得 )(sin)(

1

2

1

2

A

AgLL

A

Ahgp

01

2 A

A若取 ，则 singLp

可见：在适当的小倾斜角下，即使待测压强较小，在倾斜测管上也有可观的读数，从而使所测值更精确。

• 双杯式微压计（测量压差）

微压计的放大效果为 11mm→100mm ，放大效果显著。

Δh

p2

p1

Δh

ρ 1

ρ 2 水

h0

h

油

d

D

D

NN

【例】已知 ρ1 ＝ 900kg/m3 ， d ＝ 4mm ， D ＝ 40mm 。p1

＝ p2 时， U 形管中水面平齐， h ＝ 0 ；若 h ＝ 100mm ，求压强差 p1 － p2 。

39.2kPa ; 3m 39.2kPa ; 3m

A. 5kPa ; B. 49kPa ; C. 147kPa ; D. 205kPa A. 5kPa ; B. 49kPa ; C. 147kPa ; D. 205kPa

如图所示的密闭容器中，液面压强 p0 ＝ 9.8kPa， A点压强为 49kPa，则 B 点压强为多少 ,在液面下的深度为多少 。

露天水池水深 5m处的相对压强为：

什么是等压面？等压面应用的条件是什么？

等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。

等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。只有重力作用下的等压面应满足的条件是：静止、连通、连续均质流体、同一水平面。

相对压强。 相对压强。

测压管最小长度为 1.5m。 测压管最小长度为 1.5m。

压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强？

如图所示，若某点测压管水头为 -0.5m,压强水头为 1.5m，则测压管最小长度应该为多少？

流体作用在固体壁面上的总压力，是由该壁面所接触的流体静压强所引起的，应用流体静压强计算公式可以计算出作用在平面上的总压力；

在设计水箱、挡水闸门、油罐、水曝清砂水池等设备时，会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题；

完整的总压力求解包括其大小、方向 、作用点。

第五节 作用在平面上的 流体静总压力

一、压力现象

静压强在平面域 A 上分布不均匀，沿铅垂方向呈线性分布。

静止流体作用在平面上的总压力是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，作用力垂直于作用面，指向自己判断。

H H

H

H

P

P3

H

H H

H H

h

h

h

H H

H

h

h

)( hH

3/LL

PP

Le

x

y

0

x

y

0

x

y

0

x

y

0

1. 总压力的大小AgyAghApP dsinddd

AA

ydAgdAgyP sinsin

ApAgh

AygP

CC

C

sin

hC 为平面 AB 的形心 C 处的淹没深度。

AydA 平面 AB 对

x 轴的静面矩，其 大小为 yCA

___dPh

dA

y

C

hC

yC

B

A

pa

α

二、解析法求解

2. 总压力的方向

平面上的总压力是液体静压强的总和，其作用方向重合于该平面的内法线方向，即垂直指向受压平面。

Ax dAyI 2

由平行移轴定理： Ix ＝ ICx+yC2A

平面面积对 x 轴的面积惯性矩

——

3. 静面矩、惯性矩

AydA 平面面积对 x 轴的静

面矩，其大小为 yCA

___

A

AD

dAgy

ghydAPy

sin2

A

dAyg 2sin

)(sin 2 AyIgPy CCxD

Ay

Iyy

C

CxCD

表明： yD ＞ yC ，即压力中心 D 点总是低于形心 C 点。

C

hC

α

yC

x

y

0

B

A

pa

C

hC

α

yC

x

y

0

B

A

pa

P

DyD

dPh

dA

y

合力矩定理：合力对任一轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩和。

4. 压力中心

结论

1. 平面上静水压强的平均值为作用面（平面图形）形

心处的压强。总压力大小等于作用面形心 C 处的 压强 pC 乘上作用面的面积 A . 2. 平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静 压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越 大，所以总压力作用点位于作用面形心以下且与受 压面倾角θ无关。3. 当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大 小与平面倾角θ无关。

h

静力奇象 只要平面的面积和形心处的淹深相同，则平板所受到的静水压力也相同。

【例】矩形闸门 b×h ＝ 1m×0.5m ， h0 ＝ 2m ，开启闸门的锁链与水面成 45°角。求开启闸门所需拉力 T 为多大？

【解】 0

0.5(2 )m 2.25m

2 2C

hh h

AghP C

压力中心 D 的位置为

Ay

Iyy

C

CxCD

0AM由 )(45cos 0hyPhT D kNT 11.8

所以当 T≥8.11kN 时，闸门被开启。

kN025.11N5.0125.2108.9 3

311 0.5

122.25m m 2.26m2.25 1 0.5

T

P bhh

h0

A

B

αT

P bhh

h0

A

B

α

AhP c

AhApp

ApzAApPPP

ca

ac

)(

sin

0

0右左

AhApp

ApzAApPPP

ca

ac

)(

sin

0

0右左

注意点 当平板左侧液面压强 p0 不等于平板右侧所受压强 pa 时，平板所受总压力：

则 hc ， yc 应理解为形心至相对压强为 0 的自由面的水深。

上式要写成

三、图算法求解

blhh

gAghP C

2

21

—— 压强分布图的面积

bAP p

lhhgAp )(2

121 其中P

ρgh1

ρgh2

h1

h2

α

C

D

b

le

P

ρgh1

ρgh2

h1

h2

α

C

D

b

le

当受压平面为矩形，且有一对边平行于液面时，采用图算法便于对受压结构物进行受力分析。

流体静压力的大小与压强分布图的体积（即以压强分布图为底面，高度为矩形宽b的柱体体积）相等。总压力的作用线通过该体积的重心，并垂直地指向受压面。由于矩形为对称图形，故压力中心 D 必位于对称轴上。

压力中心离底边的距离为

le3

1三角形

)(3

)2(

21

21

hh

hhle

梯形

【例】矩形闸门 b×h ＝ 1m×0.5m ， h0 ＝ 2m ，开启闸门的锁链与水面成 45° 角。求开启闸门所需拉力 T 为多大？

【解】 hbhhgbAP p )2(2

10

kN025.11压力中心 D 距 B 点的距离为

0

0

(3 ) 0.5 (3 2 0.5)m 0.24m

3(2 ) 3 (2 2 0.5)

h h he

h h

0AM由 )(45cos ehPhT

kNkNh

ehPT 11.8

22

5.0

)24.05.0(05.11

45cos

)(

可见，解析法和图算法两种方法所得结果相同。

T

h

h0

A

B

α

P

ρgh0

ρg(h+h0)

T

h

h0

A

B

α

P

ρgh0

ρg(h+h0)

【例】一块矩形平板闸门可绕轴 A 转动，如图。已知 θ=60˚ ， H=6 m,h=2m,h1=1.5m, 不计闸门自重以及摩擦力，求开启单位宽度的闸门所需的提升力FT 。

LbhP 11

sin1hH

L

2/L

LbhHP )(2

112

3/2L

【解】

平板左边挡水长度为：

左边的静水压强分布可分解为均匀荷载 和 三角形荷载

其中均匀荷载所产生的总压力为

作用点距 A 点距离为

三角形荷载所产生的总压力为

作用点距 A 点距离为

sin

hl

hlbPf 2

1

3

l

NFNPNPNP

lLPLPLPLFM

Tf

fTA

19072;22648;114657;76438

)3

(3

2

2

1cos0

21

21

由

平板右边挡水长度为：

【解】

右边所产生的总压力为：

作用点距平板下缘距离为：

1 、相同； 2 、不相同 1 、相同； 2 、不相同

大小不变；方向变；作用点不变。 大小不变；方向变；作用点不变。

如图所示，浸没在水中的三种形状的平面物体，面积相同。问： 1.哪个受到的静水总压力最大？ 2. 压心的水深位置是否相同？

挡水面积为 A 的平面闸门，一侧挡水，若绕通过其形心C 的水平轴任转 a角，其静水总压力的大小、方向和作用点是否变化？为什么？

H

h

hH

第六节 作用在曲面上的 流体静总压力

一、压力现象 一些弧形闸门、水管壁面、球形容器及拱坝坝面等也会遇到静止流体对固体壁面作用的总压力计算问题；

由于曲面上各点的法向不同，对曲面求解总压力时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。

二、曲面总压力

A

B

x

z

0(y)

A

B

x

z

0(y)

B

x

z

0(y)

dP

dA

h

α

dP dPz

dPx dA

α α dAx

dAz

d dP gh A

d d cos d cosxP P gh A

d xgh A

d d sin d sinzP P gh A

d zgh A

d dx x

x x xA AP h A g h A

d dz z

z z zA AP gh A g h A

xxCx AghP

gVPz

对整个曲面相应的投影面积积分

h

n

Px Ax

xz y

A

xxCxAx AhhdAPx

• x 方向水平力的大小

Ax 是曲面 A 沿 x 轴向 oyz 平面的投影， hxC 是平面图 形 Ax 的形心 浸深。

h

n

Px Ax

xz y

A

结论 静止液体作用在曲面上的总压力在 x 方向分量

的大小等于作用在曲面沿 x 轴方向的投影面上的总压力。

y 方向水平力大小的算法与 x 方向相同。

h

n

Pz

Px Ax

Az

xz y

V

A

VhdAP zAz

• z 方向水平力的大小

Az 是曲面 A 沿 z 轴向 oxy 平面的投影， V 称为压力体， 是曲面 A 与 Az 之间的柱体体积。

h

n

Pz

Px Ax

Az

xz y

总压力垂向分量的方向根据情况判断。

Vp

A

结论 静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量。

a

有液体 A A

无液体

• 压力体

压力体 是一个纯数学的概念，是一个由积分式所确 定的纯几何体，与这个体积内是否充满液体无关。 若充满流体，则称为“实压力体”， Pz 方向向下； 若不为流体充满，则称为“虚压力体” , Pz 方向向上。

VhdAP zAz

• 压力体的确定

以曲面为下底，

以自由表面或其延

伸面为上顶，以过曲面周边的垂

线形成侧面，所组

成的几何体。

复杂柱面的压力体

以曲线为下底，以自由表面或其延长线为上顶，由曲线两端点向上拉铅垂线，所构成的几何形状即为压力体的平面图形。

2211 ppz VVP

1 1pV

2 2pV

A

B

Pz

AB 面所受垂向力

• 严格的压力体的概念是与液体重度 γ 联系在一起的，这在分层流体情况时，显得尤为重要。

A

B

A

B

• 垂直分力的方向虚上实下

无论压力体为虚为实， Pz 的作用线通过压力体的重心，即平面图形的形心。

三、曲面总压力的大 小和作用点

液体作用在二维曲面上的总压力 22

zx PPP

作用方向x

z

P

Parctg

对于三维曲面 222

zyx PPPP

在一般情况下， Px 、 Py 和 Pz 三个分力不一定共点，可能构成空间力系。这时不能化为单个合力，只能化为一个合力加上一个合力偶。

P Pz

Px

β

A

B

x

z

0(y)

P Pz

Px

β

A

B

x

z

0(y)

总压力的作用点

二维曲面总压力 P 的作用点的位置：作出 Px及 Pz 的作用线，得交点，过此交点以倾斜角 β 作总压力 P 的作用线，它与曲面相交的点，即为总压力的作用点。

P Pz

Px

β

A

B

x

z

0(y)

P Pz

Px

β

A

B

x

z

0(y)

A A

B B

p0 > pa p0 < pa

注意：若液面上相对压强不为零（即不是自由表面），则压力体不能以液面为顶，因为压力体积分表达式中 ρgh 是指作用在 dAz 面上的压强（包括液面上高于或低于外界大气压强的压强差值）。

（ a）液面上压强 p0 ＞ pa ，压力体顶面应取在液面以上；

g

pph

a0

g

pph

0a

（ b）液面上压强 p0 ＜ pa ，压力体顶面应取在液面以下。

H1

hb

3

a

c

2

fe

【例】作出二维曲面 AB 上的压力体，并指明 垂直分力的方向。

【例】如图贮水容器壁上装有三个半径R=0.5m的半球形盖；已知：H=2.5m , h=1.5m. 求这三个盖子所受的静水总压力。

【例】 求图中由水支撑的圆柱体的质量。直径 D＝ 0.6m ，长度为 1m 。设圆柱体与固体壁之间无摩擦。

【解】 圆柱体所受静水总压力的Pz 分量与其重量平衡，即

mgGgVPz

由图中压力体图得

lDD

V ])2

(44

3[ 2

2

322 m302.03.06.016

3

302kgkg302.01000 Vm

Pz

d

a

b

r

C

铰链

【例】 如图扇形闸门，中心角θ=450 ，宽度 B=1米，可以绕铰链 C旋转，用以蓄水或泻水。水深 H=3米，确定水作用在此闸门上的总压力 P的大小和方向。

mH

r 24.4707.0

3

sin

KNAhP xcx 1.44)13(2

38.9

mlll bcacdb 24.1cos

KNBAAvP acbacbdZ 368.11])[(8.9

0314 x

z

P

Parctg

KNPPP zx 57.4522

d

a

b

r

C

铰链

【解】 扇形直径：

总压力：

如图所示圆柱形压力水罐，由上下两半圆筒用螺栓 连接而成。圆筒半径R=0.5m,l=2m.罐上压力表读数 p=29.4kPa。试求（ 1 ）两端平面盖板所受静水总压 力；（ 2 ）上下两半圆筒所受静水总压力；（ 3 ）若 螺栓材料的允许应力 σ=120MPa，验证连接上下圆 筒的螺栓能否承受由水压产生的拉力。螺栓直径 d=10mm,间距 e=50cm.

【例】

OmHg

ph 23

（ 1 ）两端盖板均为圆形平面，每个盖板所受静水总压力为：

kNRgRpAhP xc 93.26)( 2

kN

lRRRh

VPZ

9.60

]2

12)[(8.9 2

上上

（ 2 ）上下两半圆筒水平分力为 0 ；垂直分力的压力体如图：压力表处水柱高度：

kNlRRRhVPZ 3.76]2

12)[(8.9 2 下下

【解】

kNdnF 2.944

2 允

允上 FkNPF z 9.60

两螺栓所受总拉力为：

10)1(2 e

ln

（ 3 ）水罐上螺栓总个数为：

螺栓所能承受的最大拉力为：

因此连接螺栓能够承受由罐内水压产生的拉力。 为何不用 Pz 下？

Pz

思考题

1.圆柱体是否会在静水压力 Pz 的作用下顺时针旋转？

ρ2

pa

ρ1

12

2.图中 1 ， 2 两根测压管中水位如何？

本章作业

习题 2.4 ，

习题 2.8 ，

习题 2.12 ，

习题 2.17 ，

习题 2.18 ( 并求合力大小及方向 ) ，

习题 2.20

第二章补充题

有一容器上部盛油 h1=1m ， ρ1=800kg/m3 ，下部盛水 h2=2m ，侧壁倾角 θ=60º 。求容器壁上单宽静水压力及作用位置。

θ

油 h

1

水 h

2

第二章习题解答

补充题：有一容器上部盛油 h1=1m ， ρ1=800kg/m3 ，下部盛水 h2=2m ，侧壁倾角 θ=60º 。求容器壁上单宽静水压力及作用位置。

解：1 1 1 1

800 9.8 0.5 (1/ sin 60 ) 1 4.52kNCF gh A

'1 1 2 1gh gh '

1800 1 1000 h '1 0.8mh

2 2 2 2

1000 9.8 (0.8 1) (2 / sin 60 ) 1 40.74kNCF gh A

1 2 45.26kNF F F

θ

油 h

1

水 h

2

3

1

0.5 (1/12) 1 (1/ sin 60 )0.769m

sin 60 (0.5 / sin 60 ) 1 (1/ sin 60 )Dy

1 1 2 2( (1 0.8) / sin 60 )

2.35m

D DD

F y F yy

F

由力矩平衡

θ

油 h

1

水 h

2

F2

F1

yD2

yD1

FyD

3

2

1.8 (1/12) 1 (2 / sin 60 )

sin 60 (1.8 / sin 60 ) 1 (2 / sin 60 )

2.292m

Dy

2.4 画出图中 AB 面上的静压强分布图形。

ρgh1

ρgh2

ρgh3

pa+ρgh1

pa

pa+ρgh2

ρgh1

ρg(h-h2)

ρgh

ρgh

ρg(h+R)ρg(h-h2)

2.8 比压计中水银面高差 h=0.36m ，其他液体为水。A,B 两容器位置高差为 1m 。试求 A,B 容器中心处压差 pA-pB 值。

解：令 A 容器中心与水银高差 h底部距离为 h’ 。则

( ' 1)A B pp gh p g h h gh

2

( ) 1

12.6 9.8 0.36 9.8 1

34.65kPa 3.536mH O

A B pp p gh g

解： 1 解析法 1( 0.5 )sin 60 2.815mCh L L

1000 9.8 2.815 1.5 2.5 103.27kNCP gh A 3(1/12) 1.5 (2.5)

3.25 3.41m3.25 1.5 2.5

CD C

C

Iy y

y A

由力矩平衡 1cos60 = ( )

116.67mDT L P y L

T

2图算法 3 21 1

1[ sin 60 ( )sin 60 ] 69 10 m

2pA g L L L L

369 10 1.5 103.27kNpP A B 1

1

(3 )1.09m

3(2 )

L L Le

L L

cos 60 = ( )

116.67m

T L P L e

T

2.12 矩形闸门宽度 B=1.5m ，上缘 A 处设有固定铰轴，已知 L1 =2m ， L=2.5m ，忽略闸门自重，求开启闸门所需的提升力 T 。

2.17 绘出图中各个曲面上的压力体，并标示出曲面所受的垂直分力的作用方向。

2.18 直径 D=4m 的圆柱，在与水平面成 30° 的倾斜面上挡水，水面与 B 点齐平。求作用在 1m长圆柱上的静水总压力大小及其作用方向。

解： x xC xP gh A

2 31 1 1[ ( ) sin 30 cos30 ] 1 9.74m

2 2 2 2

DV V V D D

圆 三角

30°

B

cos309800 cos30 1

258.86kN

DD

9800 9.74 95.6kNzP gV

2 2 112.3kNx zP P P =arctg 58.4z

x

P

P

P 指向圆柱中心

2.20 R=0.2m 的弧形闸门内有比重 0.8 的油和水两层液体，容器宽 B=0.4m ，油水层厚度均为 h=0.2m ，比压计中 h=0.2m ，求封闭液体所需力 F 为多少？

解：铰链 O 处的压强为 2O Hg wp gh g h gR 油

9800 (13.6 0.2 1 2 0.2 0.8 1 0.2)

21.17kPa

800 9.8 0.22 1720.4NzP gV 2 2 2458.5Nx zP P P

=arctg 44.26z

x

P

P

折算高度为'= 2.7mOp

hg

油

800 9.8 2.8 0.2 0.4 1756.2Nx xC xP gh A 油

2.7 0.2 / 2 2.8mxCh

2 31(2.90.2 0.2 / 4) 0.4 0.22m

4V V V 圆矩

sin 1756.2NxF P P sinP R F R 由力矩平衡

2.7m