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Bong-Kee Lee School of Mechanical Engineering
Chonnam National University
Engineering Mathematics II
11. Fourier Series, Integral, and Transforms
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
주기함수(periodic function)
– 함수 f(x), • 모든 실수 x에 대하여 정의
• 어떤 양수 p가 존재하여, 모든 x에 대하여 f(x + p)=f(x)
– 예. sin x, cos x (주기 2π)
– 주기함수가 아닌 예. x, x2, x3, ex, cosh x, ln x 등
– 주기함수의 성질
주기함수 (periodic function)
주기 (period)
□ 함수 f(x)의 주기가 p이면, 모든 x에 대하여 f(x + np) = f(x) (n=1, 2, 3, …) □ f(x)와 g(x)의 주기가 p이면, af(x)+bg(x)의 주기도 p이다. (a, b: 임의의 상수)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
삼각급수(trigonometric series)
– 삼각함수 계(trigonometric system) • 주기 2π인 함수들로 이루어진 계
– 삼각급수(trigonometric series)
• 삼각급수가 수렴할 경우, 그 합은 주기가 2π인 주기함수
,sin,cos,,2sin,2cos,sin,cos,1 nxnxxxxx
1
0
22110
sincos
2sin2cossincos
n
nn nxbnxaa
xbxaxbxaa
계수(coefficient)
1
0 sincosn
nn nxbnxaaxf 푸리에 급수 (Fourier series)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– 푸리에 계수(Fourier coefficients) • 푸리에 급수의 계수들
• 오일러 공식(Euler formulas)에 의하여 결정할 수 있음
1
0 sincosn
nn nxbnxaaxf
,3,2,1
sin1
cos1
2
10
n
nxdxxfb
nxdxxfa
dxxfa
n
n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– Ex. 1 주기적인 직사각형파(rectangular wave)
xfxf
xk
xkxf
2&
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
coscos1sinsin
1
sinsin1
sin1
00sinsin1
coscos1
coscos1
cos1
002
1
2
1
2
1
n
nxk
n
nxknxdxknxdxk
nxdxxfnxdxxfnxdxxfb
an
nxk
n
nxknxdxknxdxk
nxdxxfnxdxxfnxdxxfa
akdxdxkdxxfdxxfdxxfa
n
n
n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
45
1
3
11
5
1
3
11
4
2
5sin5
13sin
3
1sin
4
5sin5
43sin
3
4sin
4sin
even 0
odd 4
even 0
odd 2cos1
even 1
odd 1cos
cos12
1coscos1coscos1
1
0
0
kkf
xxxk
xk
xk
xk
nxbxf
n
nn
k
b
n
nn
n
nn
nn
knn
n
k
n
nxk
n
nxkb
n
n
n
n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.1 Fourier Series
푸리에 급수(Fourier series)
– 삼각함수 계의 직교성(orthogonality) • 삼각함수 계는 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 직교한다.
– 푸리에 급수에 의한 표현
mnmnmxdxnx
mnmxdxnx
mnmxdxnx
or 0cossin
0sinsin
0coscos
□ 함수 f(x)에 대하여, : 주기가 2π 인 주기함수 & 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 구분연속(piecewise continuous) & 각 점에서 좌도함수(left-hand derivative)와 우도함수(right-hand derivative)를 가짐 ⇒ 함수 f(x)의 푸리에 급수는 수렴한다. : f(x)가 불연속인 점을 제외한 모든 점에서의 급수 합 = f(x) : 불연속인 점에서의 급수의 합 = f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– 주기가 2π인 함수를 주기가 2L인 함수로 단순히 주기의 척도만을 변화시킴
1
0 sincosn
nn xL
nbx
L
naaxf
,3,2,1
sin1
cos1
2
10
n
dxL
xnxf
Lb
dxL
xnxf
La
dxxfL
a
L
Ln
L
Ln
L
L
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– Ex. 1 주기적인 직사각형파
242&
210
11
120
LLp
x
xk
x
xf
,11,7,32
,9,5,12
even0
2sin
2
2sin
2sin
2sin
2cos
2
1
2cos
2
1cos
1
24
1
4
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
20
nn
k
nn
kn
n
n
knxn
n
k
xn
n
kdxxn
kdxxn
xfdxL
xnxf
La
kkdxdxxfdxxf
La
L
Ln
L
L
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.2 Functions of Any Period p=2L
임의의 주기(p=2L)을 가지는 함수
– Ex. 1 주기적인 직사각형파
xxxxkk
xk
xk
xk
xkk
xL
nbx
L
naaxf
nn
n
k
xn
n
kdxxn
kdxxn
xfdxL
xnxf
Lb
n
nn
L
Ln
2
7cos
7
1
2
5cos
5
1
2
3cos
3
1
2cos
2
2
2
7cos
7
2
2
5cos
5
2
2
3cos
3
2
2cos
2
2
sincos
02
cos2
cos
2cos
2sin
2
1
2sin
2
1sin
1
1
0
1
1
1
1
2
2
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
– 푸리에 코사인 급수(Fourier cosine series) • 주기가 2L 인 우함수(even function; g(-x)=g(x))의 푸리에 급수
– 푸리에 사인 급수(Fourier sine series) • 주기가 2L 인 기함수(odd function; h(-x)=-h(x))의 푸리에 급수
,3,2,1 cos2
,1
cos
000
1
0
ndxL
xnxf
Ladxxf
La
xL
naaxf
L
n
L
n
n
,3,2,1 sin2
sin
0
1
ndxL
xnxf
Lb
xL
nbxf
L
n
n
n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
– 합과 스칼라곱 • 함수의 합인 f1+f2 의 푸리에 계수는 f1 과 f2 각각에 해당하는 푸리
에 계수의 합과 같다.
• 함수 cf 의 푸리에 계수는 f 의 해당 푸리에 계수에 c 를 곱한 것과 같다.
– Ex. 3 톱니파(sawtooth wave)
21
21
&
2 &
fxf
fff
xfxfxxxf
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
푸리에 코사인 급수 & 푸리에 사인 급수
xxxxxx
xxx
nxbaxL
nbf
baaf
nnn
n
dxn
nx
n
nxxnxdxxdx
L
xnxf
Lb
aaxf
n
n
n
n
nn
L
n
n
3sin3
12sin
2
1sin23sin
3
22sinsin2
3sin3cos3
22sin2cossincos2
sinsin
0,:
cos2cos2
coscos2sin
2sin
2
0function odd:
1
0
1
02
00
001
01
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
– 주어진 함수(L)를 주기적인 함수(주기 2L)로 확장 • 주기적인 우함수로 확장(even periodic extention)
• 주기적인 기함수로 확장(odd periodic extention)
• 함수 f는 길이 2L의 주기 구간의 반구간 범위 내에서 주어짐
주어진 함수(0≤x≤L)
주기가 2L인 우함수로 확장
주기가 2L인 기함수로 확장
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
– Ex. 4
LxL
xLL
k
Lxx
L
k
xf
2
2
20
2
1cos2
cos24
2coscos1
2cos
4
2coscos
2sin
21
2cos
2sin
2
4
coscos4
cos2
24
222211
cos
2222
2
2
22
22
22
22
2
2/
2/
020
2
22/
2/
022/
2/
000
1
0
nn
n
knn
n
n
L
L
k
nn
n
Ln
n
Ln
n
Ln
n
L
L
k
dxL
xnxLdx
L
xnx
L
kdx
L
xnxf
La
kL
L
kdxxLxdx
L
kdxxL
L
kxdx
L
k
Ldxxf
La
xL
naaxf
L
L
LL
n
L
L
LL
L
LL
n
n
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.3 Even and Odd Functions. Half-Range Expansions
반구간 전개(half-range expansions)
xL
xL
xL
k
xL
kx
L
kx
L
kxf
n
n
kn
n
Ln
n
Ln
n
Ln
n
L
L
k
dxL
xnxLdx
L
xnx
L
kdx
L
xnxf
Lb
xL
nbxf
xL
xL
kkx
L
kx
L
kkxf
L
L
LL
n
n
n
5sin
5
13sin
3
1sin
8
5sin
5
83sin
3
8sin
1
8
2sin
8
2sin
2cos
22sin
2cos
2
4
sinsin4
sin2
sin
6cos
6
12cos
2
116
2
6cos
6
162cos
2
16
2
222
222222
2222
22
22
22
2
2/
2/
020
1
2222222
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
itit
itit
it
it
eet
eet
tite
tite
2
1sin
2
1cos
sincos
sincos
,3,2,1
sin1
cos1
2
1
sincos
0
1
0
n
nxdxxfb
nxdxxfa
dxxfa
nxbnxaaxf
n
n
n
nn
,2,1,0
2
1
n
dxexfc
ecxf
inx
n
n
inx
n
,2,1,0
2
1 /
/
n
dxexfL
c
ecxf
L
L
Lxin
n
n
Lxin
n
복소 푸리에 급수
복소 푸리에 급수(주기 2L인 함수)
푸리에 급수
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
– Ex. 1
n
inxn
n
inx
n
nn
ninn
ininx
x
xinxininx
n
x
en
inecxf
n
in
in
in
in
nnneeein
eein
ein
dxedxexfc
xfxfxexf
2
2
1111
1
11
sinh
11
1sinh1sinh2
1
1
1
1
2
1
1cossincos 11
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2 &
복소 푸리에 급수 (complex Fourier series)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.4 Complex Fourier Series
복소 푸리에 급수(complex Fourier series)
xxxx
xxxx
en
inecexf
nxnnxeinein
nxinxinnxnnxnxinxinein
nxinxinnxnnxnxinxinein
n
inxn
n
inx
n
x
inxinx
inx
inx
2sin22cos21
1sincos
11
1
2
1sinh2
2sin22cos221
1sinhsincos2
11
1sinhsinh
1
11
sinh
sincos211
sincossincossincos11
sincossincossincos11
22
22
2
실 푸리에 급수 (real Fourier series)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.5 Forced Oscillations
강제진동
– Ex. 1
trtr
tt
tttr
tryyytrkycymy
2&
02
02
25'05.0'''''
,5,3,1 cos4
25'05.0''
,5,3,1 cos4
5cos5
13cos
3
1cos
1
14coscos1
2
cos12
,0:tscoefficienFourier
2
2
2221
2
20
nntn
yyy
nntn
tr
tttntnn
tr
nn
aba
n
nn
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.5 Forced Oscillations
강제진동
531
222
2
2
2
2
05.025,2.0
,254
cos4
25'05.0''
sincos
as :,5,3,1 cos4
25'05.0''
yyyytyty
nnDDn
BDn
nA
ntn
yyy
ntBntAytyty
tyyyynntn
yyy
n
npsteady
n
n
n
n
n
nnn
n
nn
n
npsteady
pph
특성방정식의 모든 근이 음수 또는 음의 실수부를 가짐 (안정성)
미정계수법
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– 푸리에 급수의 주된 응용 분야의 하나
– 어떤 함수의 근사값을 단순한 함수로 표현
– 기본 개념 • f(x): 주기가 2π 인 푸리에 급수로 표현 가능한 주기함수
→ N차 부분합: f(x)에 대한 근사값
– N차의 삼각다항식(N고정)을 이용하여 최적으로 함수 f를 근사화
N
n
nn
n
nn
nxbnxaaxf
nxbnxaaxf
1
0
1
0
sincos
sincos
xfnxBnxAAxFN
n
nn 1
0 sincos
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– 제곱 오차(square error) • 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 함수 F의 함수 f에 관한 제곱 오차
– 최소 제곱 오차 • 구간 –π ≤ x ≤ π 에서 F의 f에 관한 제곱 오차는 F의 계수가 f의
푸리에 계수이면 최소가 된다.
– N이 증가함에 따라 f의 푸리에 급수 부분합은 제곱 오차 관점에서 점점 더 f를 잘 근사화하게 됨
dxFfE
2
N
n
nn baadxfE1
222
0
2 2*
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.6 Approximation by Trigonometric Polynomials
근사 이론(approximation theory)
– Bessel의 부등식(Bessel’s inequality)
– Parseval의 정리(Parseval’s theorem)
dxfbaa
n
nn
2
1
222
0
12
dxfbaa
n
nn
2
1
222
0
12
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
Ex.1
– 주기가 2L인 함수에서 주기가 L→∞가 될 경우
22
10
111
10
L
Lx
x
xL
xfL
Ln
Ln
LL
n
n
L
Ldx
L
xn
L
dxL
xn
Ldx
L
xnxf
La
Ldx
Ldxxf
La
bxf
xxfxf
L
Ln
L
L
n
LL
/
/sin2sin
2cos
2
cos1
cos1
1
2
1
2
1
0functioneven :&
otherwise0
111lim
1
0
1
1
1
10
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
Ex.1
1
0
/cos/
/sin21
/
/sin2&
1
n
L
n
LxnLn
Ln
LLxf
Ln
Ln
La
La
진폭 스펙트럼 (amplitude spectrum)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
0
1
1
1
1
0
sinsincoscos1
lim
sinsincoscos1
2
1
1
sinsincoscos1
2
1
sincos
dwwvdvvfwxwvdvvfwxxfxf
vdvwvfwxwvdvwvfwxwdvvfL
LL
n
L
nwww
vdvwvfxwvdvwvfxwL
dvvfL
L
nwxwbxwaaxf
LL
n
L
LnLn
L
LnLn
L
LL
nn
n
L
LnLn
L
LnLn
L
LL
n
n
nnnnL
wvdvvfwBwvdvvfwA
dwwxwBwxwAxf
sin1
&cos1
sincos0
푸리에 적분(Fourier integral)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
• 모든 유한 구간에서 구분연속
• 모든 점에서 좌도함수와 우도함수가 존재
• 아래 적분의 유한한 극한이 존재(절대 적분 가능, absolutely integrable)
→ f(x)는 푸리에 적분으로 표현이 가능
(f(x)가 불연속인 점에서의 푸리에 적분값은 그 점에서 f(x)의 좌극한값과 우극한값의 평균과 같음)
wvdvvfwBwvdvvfwA
dwwxwBwxwAxf
sin1
&cos1
sincos0
b
baadxxfdxxf
0
0
limlim
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– Ex. 2
000
1
1
1
1
1
1
1
1
sincos2cos
sin2sincos
0cos11
sin1
sin1
sin2sin
11cos
1cos
1
dww
wwxwxdw
w
wdwwxwBwxwAxf
wvw
wvdvwvdvvfwBb
w
wwv
wwvdvwvdvvfwAa
v
v
v
v
10
11
x
xxf
10
14/
102/
2
sincossincos2
00
x
x
x
xfdww
wwxxfdw
w
wwx
Dirichlet의 불연속인자(discontinuous factor)
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
u
dww
wudw
w
wx
x
x
x
dww
wwx
00
0
sinSi
2
sin0
10
14/
102/sincos
사인 적분(sine integral)
axaxdt
t
tdt
t
t
dww
wxwdw
w
wxwdw
w
wwxdw
w
wwxxf
axax
aaa
1Si1
1Si1sin1sin1
sin1sin1sincos2sincos2
1
0
1
0
0000
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– 푸리에 코사인 적분(Fourier cosine integral) • f(x)가 우함수일 때의 푸리에 적분
– 푸리에 사인 적분(Fourier sine integral) • f(x)가 기함수일 때의 푸리에 적분
wvdvvfwBwvdvvfwA
dwwxwBwxwAxf
sin1
&cos1
sincos0
00
cos0&cos2
wxdwwAxfwBwvdvvfwA
00
sinsin2
&0 wxdwwBxfwvdvvfwBwA
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.7 Fourier Integral
푸리에 적분(Fourier integral)
– Ex. 3 라플라스 적분 0,0 kxexf kx
kx
kx
kv
kx
kx
kv
edwwk
wxw
edwwk
wxwwxdwwBxf
wk
wwvdvewvdvvfwBb
ek
dwwk
wx
edwwk
wxkwxdwwAxf
wk
kwvdvewvdvvfwAa
2
sin
sin2sin
/2sin
2sin
2
2
cos
cos2cos
/2cos
2cos
2
0 22
0 220
2200
0 22
0 220
2200
라플라스 적분
라플라스 적분
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– 주어진 함수를 다른 변수에 종속하는 새로운 함수로 만드는 적분 형태의 변환 (예. 라플라스 변환)
– 푸리에 코사인 변환(Fourier cosine transform) • 우함수인 f(x)에 대하여,
wfwvdvvfwvdvvfwA
wxdwwAxf
cˆ2
cos22
cos2
&
cos
00
0
0
0
cosˆ2
cos2ˆ
wxdwwfxf
wxdxxfwff
c
cc
F 푸리에 코사인 변환
푸리에 코사인 역변환
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform) • 기함수인 f(x)에 대하여,
wfwvdvvfwvdvvfwB
wxdwwBxf
sˆ2
sin22
sin2
&
sin
00
0
0
0
sinˆ2
sin2ˆ
wxdwwfxf
wxdxxfwff
s
ss
F 푸리에 사인 변환
푸리에 사인 역변환
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– Ex. 1
ax
axkxf
0
0
w
awkwx
wkwxdxk
wxdxxfwf
w
awkwx
wkwxdxk
wxdxxfwf
ax
x
a
s
ax
x
a
c
1cos2cos
12sin
2
sin2ˆ
sin2sin
12cos
2
cos2ˆ
00
0
00
0
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– 선형성
– 도함수의 코사인 및 사인 변환 • f(x): 연속이며 x축 상에서 절대 적분 가능
• f‘(x): 모든 유한 구간에서 구분연속
• x → ∞ 일 때, f(x) → 0
gbfabgaf
gbfabgaf
sss
ccc
FFF
FFF
02
''
0'2
''
'
02
'
2
2
wfxfwxf
fxfwxf
xfwxf
fxfwxf
ss
cc
ss
sc
FF
FF
FF
FF
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.8 Fourier Cosine and Sine Transforms
적분 변환(integral transform)
– Ex. 3
22
22
222
2
22
2
2
20'
2''
''
''&'
0
wa
aef
afwa
afwffwffa
xfxfa
xfaeaxfaexf
aexf
ax
cc
c
cccc
axax
ax
FF
F
FFFF
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.9 Fourier Transforms. Discrete and Fast Fourier Transforms
푸리에 변환(Fourier transform)
– 푸리에 코사인 변환 & 푸리에 사인 변환: 실수 변환
– 푸리에 변환: 복소수 변환 • 복소 푸리에 적분(complex Fourier integral)
• 푸리에 변환
• 푸리에 역변환(inverse Fourier transform)
dwdvevfxf vxiw
2
1
ffdxexfwf iwx ˆ
2
1ˆ
F
ffdwewfxf -iwx
ˆˆ
2
1 1F
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.9 Fourier Transforms. Discrete and Fast Fourier Transforms
푸리에 변환(Fourier transform)
– 푸리에 변환의 존재 • f(x) 가 x 축 상에서 절대 적분 가능이고 모든 유한 구간에서 구분
연속 → f(x)의 푸리에 변환이 존재함
– Ex. 1
w
w
w
w
iw
wi
iw
eeee
iw
eiw
dxedxexfxfwf
xxf
iwiwiwiw
x
x
iwxiwxiwx
sin2
2
sin2
2
sin2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1ˆ
otherwise0
11
1
1
1
1
F
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.9 Fourier Transforms. Discrete and Fast Fourier Transforms
푸리에 변환(Fourier transform)
– 선형성
– 도함수의 푸리에 변환 • f(x): x축 상에서 연속
• f‘(x): x축 상에서 절대 적분 가능
• x → ∞ 일 때, f(x) → 0
gbfabgaf FFF
xfwxf
xfiwxf
FF
FF2''
'
School of Mechanical Engineering Engineering Mathematics II
11.9 Fourier Transforms. Discrete and Fast Fourier Transforms
푸리에 변환(Fourier transform)
– Ex. 3
– 합성곱(convolution)
• 합성곱 정리
– f(x)와 g(x)가 구분연속이고 유계(bounded)하며, x축 상에서 절대 적분 가능한 경우,
4/4/ 22
222
222
2
222
1
2
1
2
1'
2
1'
2
1
'2
1'
2
1
ww
xxx
xxx
x
eiw
eiw
eiweef
exfexe
xexf
FFFF
dppgpxfdppxgpfxgf *
dwewgwfxgfgfgf iwxˆˆ*2* FFF