يژﺮﻧا ﻞﯾﺪﺒﺗ ﻪﺘﻓﺮﺸﯿﭘ ﯽﺿﺎﯾر · Advanced Modern Engineering Mathematics Glyn James, 3rd Edition 2:ﯽﻠﺻﺍ

)تبدیل انرژي(ریاضی پیشرفته

سید روح اهللا کاظمی

بسم اهللا الرحمن الرحيم

:منابع)جلد اول و دوم(ریاضیات مهندسی پیشرفته . 1

سیامک کاظمی، موسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف: برت، ترجمه. کالرنس ري وایلی، لوئیس سی

ریاضیات مهندسی پیشرفته . 6شیدفر، شاهرضایی، انتشارات دالفک: اروین کرویت سیگ، ترجمه

راهنماي حل مسایل ریاضیات مهندسی پیشرفته . 7ماهرخ مقصودي: اروین کرویت سیگ، مولف

2. Partial Differential Equations for Scientists and EngineerStanly J. Farlow

3. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers Tyn Myint-U, Lokenath Debnath, Fourth Edition

4. Methods of Applied MathematicsFrancis B. Hildebrand, 2nd Edition

5. Advanced Modern Engineering MathematicsGlyn James, 3rd Edition

2

:سرفصلهای اصلی

...معادالت دیفرانسیل جزیی و تبدیالت انتگرالی و . 1

...توابع مختلط و باقیمانده و . 2

ماتریسها و تانسورها. 3

تئوري اختالالت جزیی و تئوري تغییرات. 4

3

...معادالت دیفرانسیل جزیی و : بخش اول

4

مقدمهPartial( اي پاره یا جزیی دیفرانسیل معادالت Differential Equations( آنها به اختصار به که PDE شود، می گفته

حرارت، انتقال اپتیک، مکانیک، سیاالت، دینامیک مانند علوم مختلف هاي زمینه در ها پدیده توصیف در مهمی نقش.کنند می ایفا ... و مغناطیس

:PDE معادالت درباره مطلب چند.گویند آن مرتبه را PDE معادله یک در موجود مشتق باالترین- غیر در و »خطی« معادله باشد، نشده ضرب هم در یا نرسیده توان به مشتقهایش یا وابسته متغیر اي معادله در اگر-

.است »غیرخطی« صورت این.باشد متغیر یا ثابت تواند می معادالت این ضرایب-

)تبدیل انرژي(ریاضی پیشرفته 5

تقسیم بندي معادالت پاره اي :2 درجه خطی متغیره دو PDE معادله کلی شکل

.است »همگن نا« اینصورت غیر در و »همگن« معادله باشد، صفر برابر G اگر )1( معادله در

:بر اساس عالمت دلتا است) 1(یک تقسیم بندي براي معادالت پاره اي به شکل معادله

انتقال حرارت و نفوذ PDEاگر مانند معادله : سهموي1.

ارتعاش و حرکت موج PDEاگر مانند معادله : هذلولوي2.

براي توصیف حالت پایدار PDEاگر مانند معادله : بیضوي3.

.در حالتی که ضرایب متغیر باشند، وضعیت معادله میتواند از نقطه اي به نقطه دیگر تغییر کند


)1(GFuEuDuuCuBuA yxyyxyxx

042 ACB

042 ACB

042 ACB

معادالت سهموي دماي با محیطی در طوالنی مدت براي را آن .میگیریم نظر در را است عایق آن بقیه آن سر دو از غیر که مسی میله یکT0 دماي در را آن سر یک سپس .شود دما هم محیط با میله تمام تا میدهیم قرار T1 دماي در را دیگر سر و T2 نگه ثابت

initial معادالت مجموعه این به .بود خواهد زیر PDE معادالت صورت به آزمایش این ریاضی توصیف .میداریم

boundary value problem (IBVP) زیر عبارات در .میشود گفته boundary conditions(BCs) مرزي شرایط بیانگر initial condition(IC) است مساله اولیه شرایط دهنده نشان.


lxTxu

TtlutTtu

tlxuu xxt

0)0,(:IC

),(0),0(:BCs

0,0:PDE

0

2

1

2

BCو PDEبیانهاي مختلف

سطح از اگر .بیاید دست به دانشجو توسط ریاضی مناسب توجیه با و حرارت انتقال علم براساس باید قبل PDE معادله نباشد، یکنواخت میله جنس یا و باشد حرارت منبع میله داخل در یا باشد، داشته وجود حرارت انتقال هم میله جانبی

:است شده آورده ترتیب به ادامه در که میکند تغییر معادله این

محیط دماي معین، دما حالتهاي براي مناسب مرزي شرایط ادامه در .باشد متفاوت میتواند نیز مرزي شرایط همچنین مشخص تابع یک g(t) آنها در و است بعدي یک مساله براي شرایط این .است شده آورده معین حرارتی شار و معین.کند توجیه را شرایط این بتواند باید دانشجو .است


xxt

xxt

xxt

uxutxfuu

uuuu

)(

),(

0)(

2

20

2

)()(

)(

tgutguu

tgu

x

x

روش جدایی متغیرها ادامه در مذکور مرزي شرایط با )متغیر یا ثابت ضرایب با( همگن و خطی اي پاره معادالت حل براي متغیرها جدایی روش

.هستند ثابت مقادیر رفته کار به ضریب 4 .میرود کار به

:میکنیم مطرح زیر مثال بررسی با را روش این حال

:میکنیم جاگذاري PDE در و گرفته مقابل شکل به را جواب


0),(),(0),0(),0(

tlutlututu

x

x

10)()0,(:IC0),1(

00),0(:BCs0,10:PDE 2

xxxutu

ttutxuu xxt

)2()()(),( tTxXtxu

روش جدایی متغیرها


)()(

)()()()()()()()(),( 2

2

xXxX

tTtTtTxXtTxXtTxXtxu

)k(ثابت عدد یک برابر باید باال عبارت پس است، x تابع فقط آن راست طرف و t تابع فقط باال عبارت چپ طرف چون.میشود تبدیل ODE دو به 2 درجه PDE نتیجه در .باشد

را علت باید دانشجو یعنی شد، آورده صورت این به هرجا پس این از( چرا؟ باشد مثبت یا صفر نباید k باال عبارت در:میگیریم منفی همیشه مقدار یک برابر را آن بنابراین .)کند بررسی

002

2 XkXTkT

kXX

TT

00

2

222

XXTT

k

)ادامه(روش جدایی متغیرها :میکنیم جاگذاري )2( رابطه در و آورده دست به »دیفرانسیل معادالت« از را قبل معادالت جوب

شرایط در را باال جواب حال .اند نشده تعیین هنوز و A، B مقادیر اما آید می دست به جواب کلی شکل ترتیب این به :میدهیم قرار مرزي


)](cos)(sin[),()(cos)(sin)(

)( 2222

22

1 xBxAetxuxBxAxX

eAtT tt

1 1

)()( )(sin),(),()(sin),(

,...3,2,1...,,2,0sin0sin0),1(

00),0(

22

22

n n

tnnn

tnnn xneAtxutxuxneAtxu

nneAtu

Btu

)ادامه(روش جدایی متغیرها :میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

sin در را باال عبارت طرفین حال mx میگیریم انتگرال 1 تا 0 روي حاصل از و کرده ضرب:

:میکنیم استفاده باال رابطه راست طرف محاسبه براي زیر رابطه از حال


...)2(sin)(sin)()()(sin)()0,( 211

xAxAxxxnAxxun

n

)3()(sin)(sin)(sin)(1

1

0

1

0

n

n dxxmxnAdxxmx

)4(10

)(sin)(sin1

0

nmnm

dxxmxn

)ادامه(روش جدایی متغیرها :نمود تعیین زیر شکل به را ضرایب میتوان نتیجه در

:میشود بیان زیر صورت به نهایی جواب بنابراین

مرزي شرایط به توجه با این که میرود صفر سمت به میله کل دماي طوالنی زمان گذشت با میشود مالحظه که همانگونه از بیشتري اثر میتوانند اول جمالت که گفت میتوان باال رابطه در نمایی ترم وجود به توجه با همچنین .بود انتظار مورد

.کرد اکتفا اولیه جمله چند به میتوان مهندسی کاربردهاي در مواردي در و باشند داشته بعد جمالت


1

0

1

0

21

0

)(sin)(2

2)(sin)(sin)()4(),3(

dxxnxA

AdxxmAdxxmx

n

mm

1

)(1

0

)(sin)(sin)(2),(2

n

tn xnedntxu

شرایط مرزي غیرهمگن PDE تغییر این از پس اگر .کنیم تبدیل همگن به نحوي به را آنها امکان صورت در باید نباشد همگن مرزي شرایط اگر انتگرالی تبدیل مانند روشها سایر از میتوان اینصورت غیر در .کرد حل متغیر جدایی روش با را آن میتوان شد، همگن هم

:بگیرید نظر در را مقابل مساله .کرد استفاده

صورت به را u جواب بنابراین .شد خواهد k2 و k1 بینخطی توزیع یک شکل به بینهایت در مساله این جواب که میدانیم:میگیریم نظر در گذرا جواب یک و پایدار جواب یک مجموع


LxxxuktLu

tktutLxuu xxt

0)()0,(),(

0),0(0,0

2

1

2

),()kk(ktransientstatesteady),( 121 txULxtxu

شرایط مرزي غیرهمگن همگن مرزي شرایط داراي که آید می دست به زیر صورت به جدید PDE اصلی، معادله در جاگذاري و تغییر این اعمال با

:است

)چرا؟( :بود خواهد زیر شکل به آن جواب که

:میشود تبدیل همگن به زیر تبدیل با مقابل شرایط کلی طور به


LxxLxxxU

tLUttU

tLxUU xxt

0)()]kk(k[)()0,(

0),(00),0(

0,0

121

2

1

)(1

0

)(sin)(sin)(2),(2

n

tnL

xnedLntxU

)(),()(),0(

2

1

tgtLutgtu

U(x,t)tgtgtgtxu ]))()((Lx)([),( 121

شرایط مرزي غیرهمگن:بگیرید نظر در را مقابل PDEحال

:میکنیم استفاده زیر تبدیل از همگن به ناهمگن مرزي شرایط تبدیل براي

:با است برابر پایدار قسمت آن در که

:آورد دست به را B و A توابع میتوان آن از که باشد حاکم )5( روابط باید شود همگن ،U براي مرزي شرایط اینکه براي


hLtLgtgtB

tgtA

tgtLShtLStgtS

x 1)()()(

)()()5(

)(),(),()(),0(

21

1

2

1

LxxxutgtLuhtLu

ttgtutLxuu

x

xxt

0)()0,()(),(),(

0)(),0(0,0

2

1

2

)(]Lx[)(]

Lx1[)(),( x,tUtBtAtxu

]Lx[)(]

Lx1[)(),( tBtAtxS

شرایط مرزي غیرهمگن

باید و نبوده همگن آن معادله خود قبل، مورد برخالف که میشود تبدیل زیر PDE به اولیه PDE ،)6( تبدیل با نتیجه در قرار بررسی مورد آینده در که کرد استفاده انتگرالی تبدیل مانند روشی از متغیرها جدایی روش جاي به آن حل براي

.میگیرد


LxxSxxUtLUhtLU

ttUtLxSUU

x

txxt

0)0,()()0,(0),(),(

00),0(0,02

(6))(]Lx[

1)()(]

Lx1[)(),( 21

1 x,tUhL

tgtgtgtxu

تبدیل مساله به یک مساله ساده تر این بعد مثال دو در .کرد تبدیل آسانتر PDE یک به را مشکل PDE یک ترفندهایی از استفاده با میتوان مواردي در

.است شده داده نشان مطلب

به میتوان است شده داده نشان که همانگونه باال، PDE در کردن جایگزین و زیر رابطه صورت به w تابع گرفتن نظر در باPDE رسید پایین آشناي و آسانتر.


10)()0,(0),1(

00),0(0,102

xxxutu

ttutxuuu xxt

10)()0,(0),1(

00),0(0,10

),(),(

2

xxxwtw

ttwtxww

weuweu

weweutxwetxu

xxt

xxt

xx

xt

x

ttt

tt

تبدیل مساله به یک مساله ساده تر )چرا؟( .نمود تبدیل )8( معادله به را )7( معادله زیر تبدیل از استفاده با میتوان ترتیب همین به


)7(2xxxt uuu )8(2

xxt ww

),(),(22/)2/( txwetxu tx

توابع متعامد بررسی این از پیش که مسی میله مثال همان .میشود مطرح مثال یک بررسی قالب در متعامد، توابع بحث قسمت این در

ست را سمت ولی شده، نگهداشته ثابت صفر روي آن سر یک دماي اگرچه بار این که تفاوت این با بگیرید نظر در را شد معادالت بیان .است شده معرفی تابع با نیز اولیه دماي توزیع .دارد قرار صفر دماي با محیطی در آزادانه صورت به آن:بود خواهد زیر صورت به

:داشت خواهیم قبلی روند همان کردن طی و متغیرها جدایی روش از استفاده با


LxxxutLuhtLu

ttutLxuu

x

xxt

0)()0,(0),(),(

00),0(0,02

22 )(

)()(

)()()(),(

xXxX

tTtTtTxXtxu

توابع متعامد

:میدهیم قرار مرزي شرایط در را باال جواب قبل، مانند حال

z فرض با L، منحنی تقاطع نقاط با برابرند ها tan z با –z بر تقسیم L، 1 با است برابر نیز مقدار/(Lh))شکل :نوشت میتوان حال .)بعد صفحه در


)](cos)(sin[),(

)(cos)(sin)()(

00

22

22

22

12

22

xBxAetxu

xBxAxXeAtT

XXTT

t

t

hLLhL

LeAhLeAtLuhtLu

Btutt

x

tansincos

sincos),(),(

00),0(2222

1 1

)()( )(sin),(),()(sin),(22

n nn

tnnnn

tn xeAtxuAtxuxetxu nn

توابع متعامد:میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

( دلخواه تابع یک بتوانیم باید شود، برآورده اولیه شرایط اینکه براي قبل، مثال مانند پس (x)( سري یک صورت به را حالت این در .دهیم بسط میشوند، تعیین مرزي شرایط و دیفرانسیل معادله یک وسیله به که معلوم، توابع از نامتناهی تعیین براي نیاز مورد مباحثی و کرده متوقف را مثال حل فعال .نیست فوریه سري یک مطلوب، سري قبل مثال برخالف.میکنیم مطرح را ضرایب


)()(sin)()0,(1

xxAxxun

nn

توابع متعامدsin} مجموعه از انتخابی متفاوت عضو دو هر حاصلضرب انتگرال قبل مثال در nx} شد باعث خاصیت این .میشد صفر مطرح بعد تعریف در آنها شرایط که دارند را خاصیت این نیز دیگري هاي مجموعه .بیاوریم دست به را ضرایب بتوانیم که

.است شده{n(x)} حقیقی، توابع از اي دنباله اگر :1 تعریف n1, 2, 3, نامتناهی، یا متناهی ،)a,b( چون اي بازه روي….هستند »متعامد« بازه آن روي توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی داراي و شده تعریف

روي توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی داراي n هر ازاي به متعامد، مجموعه یک به متعلق توابع اگر :2 تعریف.هستند »واحد متعامد« ،)a,b( بازه


nmnm

dxxxb

anm 0

0)()(

1)(2 b

an dxx

توابع متعامد رابطه{n(x)}متعامدمجموعه براي اگر .کرد تبدیل واحد متعامد مجموعه یک به میتوان را متعامد توابع از مجموعه هر

.هستند واحد متعامد )2( رابطه توابع آنگاه باشد برقرار )1(

داراي و شده تعریف نامتناهی، یا متناهی ،)a,b( چون اي بازه روي{n(x)}حقیقی، توابع از اي دنباله اگر :3 تعریف.هستند »متعامد« بازه آن روي p(x) وزنی تابع به نسبت توابع این که میشود گفته باشند، زیر ویژگی

.کرد تبدیل )1 تعریف( عادي متعامد مجموعه یک به میتوان را p(x) وزنی تابع به نسبت متعامد توابع از مجموعه هر.)p(x)>0 تعامد بازه روي که فرض این با( کنیم ضرب p(x) جذر در را مجموعه عضو هر است کافی منظور این براي


nmnm

dxxxxpb

anm 0

0)()()(

)2(...,)(,)(,)()1()(3

3

2

2

1

12

kx

kx

kxkdxx n

b

an

لیوویل - قضیه استورم با ما که مسایلی نظیر مسایلی در توابع این وجود .میشوند مطرح کاربردي و محض مسایل از بسیاري در متعامد، توابع

.میشود تضمین لیوویل، -استورم مهم قضیه وسیله به هستیم، مواجه آن:است مفروض )3( دیفرانسیل معادله :لیوویل -استورم قضیه

کنید فرض .است پیوسته (a,b) روي کم دسته q(x) و اند پیوسته [a,b] بسته بازه روي p(x) و r(x) معادله، این در1، 2، 3، ... پارامتر از متمایزي مقادیر که دارد وجود معادله این براي غیربدیهی جوابهاي آنها ازاي به که هستند

دلخواهی ثوابت ضرایبa1، a2،b1،b2 آن در که میکنند صدق زیر )4( مرزي شرایط در و دارند اي پیوسته اول مشتقات با متناظر غیربدیهی جوابهایی ... ،y1، y2، y3 اگر .نیستند صفر هم با نیز b1، b2 و هم با a1، a2 که طوري به هستند

(a,b) بازه روي p(x) وزنی تابع به نسبت که میدهند تشکیل دستگاهی{yn(x)} توابع آنگاه باشند، مقادیر این

.هستند متعامد


)3(0)]()([])([

yxpxq

dxyxrd

)4(0)()(0)()(

21

21

bybbybayaaya

ادامه حل مثال براي جوابهایی آن در که بودیم رسیده)5( رابطه به کردیم متوقف حل براي نیاز مورد نظریه شرح براي را مثال حل وقتی.هستند )6( رابطه

2 بنویسیم جاي به اگر .میکند صدق لیوویل -استورم قضیه در آن مرزي شرایط و معادله این که میشود مشاهده

:داریم

sin} مجموعه به متعلق توابع قضیه، طبق بنابراین nx} وزنی تابع به نسبت p(x) بازه روي (0,L) حال .هستند متعامد sin در را رابطه این طرفین ،)5( رابطه در ضرایب تعیین براي nx تا صفر از جمله به جمله و کرده ضرب L انتگرال

.میگیریم


)5()()(sin1

xxAn

nn

)6(0)()(

0)0(02

LXhLXX

XX

10101)(0)(1)(

2121

bhbaaLbaxpxqxr

ادامه حل مثالsin} مجموعه تعامد علت به nx}، شامل آن زیر عبارت که جزانتگرالی به میشوند صفر چپ سمت انتگرالهاي همه

sin2 nx بنابراین .است:

:داشت خواهیم )7( رابطه یادآوري و مخرج عبارت محاسبه با


L

n

L

n

n

dxx

dxxxA

0

2

0

)(sin

)(sin)(

)7(tan nn zz

)2cos1(2

2cos22

2cos)]2([41

22sin

41

2)(sin

0

2

nn

nnn

nn

L

n

zLLLL

LLLLLdxx

ادامه حل مثال:میشود کامل حل و آید می دست به زیر شکل به ضرایب براي نهایی جواب نتیجه در

*****************************************

بر در را چهارم مرتبه دستگاههاي بعدي مهم قضیه .نیستند مطرح دوم مرتبه دیفرانسیل معادالت در فقط متعامد توابع.است آنها جمله از مرتعش تیر که میگیرد


dxxxzL

AL

nn

n

0

)(sin)()2cos1(

2

براي معادالت دیفرانسیل مرتبه چهارم: قضیه

:است مفروض )8( دیفرانسیل معادله : قضیه

کنید فرض .است پیوسته (a,b) روي کم دسته q'(x) و اند پیوسته [a,b] بسته بازه روي p(x) و r(x) معادله، این در1، 2، 3، ... پارامتر از متمایزي مقادیر که دارد وجود معادله این براي غیربدیهی جوابهاي آنها ازاي به که هستند

صفر هم با معادله هر ضریب دو آن در که میکنند صدق زیر )9( مرزي شرایط در و دارند اي پیوسته سوم مرتبه مشتقات تشکیل دستگاهی{yn(x)} توابع آنگاه باشند، مقادیر این با متناظر غیربدیهی جوابهایی ... ،y1، y2، y3 اگر .نیستند.هستند متعامد (a,b) بازه روي p(x) وزنی تابع به نسبت که میدهند


)8(0)]()([])([2

2

yxpxqdx

yxrd

)9(0)()(0)()(

0)()(0)()(

2211

2211

bxbx

axax

yrbyayrbyb

yrayayraya

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم هر براي را تیر از نقطه هر مکان تغییر .میکند ارتعاش به شروع زیر اولیه سرعت و اولیه مکان تغییر با L طول به تیر یک

.بیابید زیر حالت دو براي بعد لحظه درگیر یکسر تیر یک )الفsimply تیر یک )ب support

جابجایی دیفرانسیل معادله خارجی، بار نبود و تیر عرضی مقطع یکنواختی تیر، ثابت انتهاي در مبدا گرفتن نظر در :حل )چرا؟( :میشود زیر شکل به تیر عرضی

.بود خواهد بعد صفحه شکل به مرزي شرایط ولی است یکسان ب و الف حالت دو براي اولیه شرایط و دیفرانسیل معادله


)11()()0,()10()()0,(

xgxuxfxu

t

)12(02 xxxxtt uau

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم آزاد، انتهاي در برش و گشتاور بودن صفر نیز و ثابت انتهاي در شیب و مکان تغییر بودن صفر توجه با )الف( حالت در

:آید می در )13( روابط صورت به مرزي شرایط

)چرا؟( :آید می در )14( روابط صورت به مرزي شرایط )ب( حالت در

که دیفرانسیلی معادالت جواب بتواند باید دانشجو .میکنیم استفاده بعد صفحه شرح به متغیرها جدایی روش از حل براي.نماید توجیه را k بودن مثبت ضرورت علت و آمده بعد صفحه در


)13(

0),(0),(

0),0(0),0(

tLutLu

tutu

xxx

xx

t

)14(

0),(0),0(

0),(0),0(

tLutu

tLutu

xx

xx

بررسی یک مساله از مرتبه چهارم


22

)()(

)()()()(),( k

tTtT

xXxXtTxXtxu

iv

)(cosh)(sinh

)(cos)(sin)(

)(cos)(sin)(

0

0

2

2

2

xa

Fxa

E

xa

Dxa

CxX

tBtAtT

Xa

X

TT

iv

به کار این که شوند تعیین باال معادالت ضرایب قبل، قضیه به رجوع نیز و اولیه و مرزي شرایط از استفاده با بایدحال.اند شده بررسی 3 و 1 منابع در ترتیب به ب و الف حالت دو .میشود گذاشته دانشجو عهده

معادله موج حل براي روش این .شد داده نشان سهموي معادالت از برخی حل براي متغیرها جدایی روش از استفاده قبل بحثهاي در

است هذلولوي معادله یک که موج معادله ابتدا جلسه این در .است استفاده قابل نیز هذلولوي و بیضوي معادالت از برخی.میشود استفاده معادله این بررسی براي نیز »داالمبر « حل از ،»متغیرها جدایی « روش بر عالوه و شده مطرح

:بگیرید نظر در است متناهی طول با طناب یک عرضی ارتعاش کننده توصیف که را زیر معادالت ابتدا


Lxxgxuxfxu

ttLutu

tLxuu

t

xxtt

0)()0,()()0,(

ICs

00),(0),0(

BCS

0,0PDE 2

روش تفکیک متغیرها : حل معادله موج

داریم قبل مثالهاي در شده طی روند مطابق .کرد استفاده متغیرها تفکیک روش از میتوان نیز مساله این حل یراي:)چرا؟(

:میدهیم قرار مرزي شرایط در را باال جواب قبل، مانند حال


)](cos)(sin)][(cos)(sin[),(

)(cos)(sin)()(cos)(sin)(

00

2

22

xDxCtBtAtxu

xDxCxXtBtAtT

XXTT

...,2,1,00sin0),(

00),0(

nL

nLLtLu

Dtu

n

)2()(sin)](cos)(sin[),(),(

)1()(sin)](cos)(sin[),(

1 1

n nnnn

nnn

Lxn

Ltnb

Ltnatxutxu

Lxn

Ltnb

Ltnatxu

روش تفکیک متغیرها : حل معادله موج

:میدهیم قرار اولیه شرط در را آمده دست به عبارت حال

:داشت خواهیم تعامد خاصیت از استفاده با

که دارد وجود موج معادله براي دیگري حل روش اما .آید می دست به نهایی جواب )2( رابطه در باال، ضرایب جاگذاري از.میگیرد قرار بررسی مورد ادامه در و دارد نام »داالمبر « حل


)()(sin)()()0,(

)()(sin)()0,(

1

1

xgL

xnL

naxgxu

xfL

xnbxfxu

nnt

nn

dxL

xnxfL

bdxL

xnxgn

aL

n

L

n )(sin)(2)(sin)(2

00

»داالمبر« حل : حل معادله موج

:بگیرید نظر در است نامتناهی طول با طناب یک عرضی ارتعاش کننده توصیف که را زیر معادالت

:داشت خواهیم اصلی رابطه در آنها جاگذاري با و گرفته درنظر را زیر متغیر تغییر

:میکنیم انتگرالگیري حال


xxgxuxfxu

txuu

t

xxtt

)()0,()()0,(

ICs

0,PDE 2

0)2(

2

)( 2

uuuucu

uuuu

uucuuuu

ctxctx

xtt

xxx

t

x

)()(),()()()(0 ctxctxtxuuuu

»داالمبر« حل : حل معادله موج

.بود خواهند معادله جواب شوند جمع هم با اگر میکنند، حرکت مخالف سرعت با که موجی دو هر که میشود مالحظه:داشت خواهیم اولیه شرایط اعمال با حال

:بود خواهد زیر صورت به نهایی جواب نتیجه در


x

xt Kdgxcxcxgxcxc

xfxx

xgxuxfxu

0

)()()()()()(

)()()(

)()0,()()0,(

x

x

x

x

dgc

xfx

dgc

xfx

0

0

)(21)(

21)(

)(21)(

21)(

tcx

tcx

dgc

ctxfctxftxu )(21)]()([

21),(

جوابهاي سري معادالت خطی مرتبه دوم متغیر ضرایب با معمولی دیفرانسیل هاي معادله به اغلب متغیرها، جدایی روش به جزیی دیفرانسیل معادالت حل در

سریهاي شکل به را جوابها میتوان موارد این از بسیاري در .کرد حل آشنا توابع برحسب را آنها نمیتوان که میرسیم به گذرا اي اشاره اینجا در .باشد شده آشنا دیفرانسیل معادالت درس در روش این با باید دانشجو .کرد تعیین نامتناهی

به شده، مطرح مطالب به توجه با سپس .میگردد یادآوري مساله یک غالب در روش و شد خواهد مربوط مفاهیم برخی قضیه و تعریف چند با آشنایی سریها، روش بررسی براي .شد خواهد پرداخته »لژاندر « و »بسل « مشهور معادالت معرفی

:است شده آورده ادامه در که است ضروري یک در که باشد داشته نقطه آن در تیلوري سري اگر تنها و اگر گویند تحلیلی نقطه یک در را تابع یک :1 تعریف

.باشد تابع معرف نقطه آن از همسایگی.هستند تحلیلی مخرج هاي ریشه جز به جا همه در گویا توابع و جا همه در اي جمله چند توابع نمونه، عنوان به


نقاط تکینx در هردو Q و P توابع اگرy˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 معادله در :2 تعریف = x0 آنگاه باشند، تحلیلی x0 نقطه یک را

.نامند می معادله »معمولی «x در هردو Q و P توابع از یکی حداقل اگر = x0 در زیر توابع ولی نباشند، تحلیلی x = x0 آنگاه باشند، تحلیلی x0 را .نامند می معادله »عادي تکین « نقطه یکx در زیر توابع از یکی حداقل اگر = x0 آنگاه نباشند، تحلیلی x0 نامند می معادله »غیرعادي تکین « نقطه یک را.

x زیر، معادله در مثال = x عادي، تکین نقطه 0 = .)چرا؟( هستند معمولی نقاط نقاط، سایر و غیرعادي تکین نقطه 1

.باشند نیز مختلط میتوانند تکین نقاط که داشت توجه باید


)()(),()( 200 xQxxxPxx

0)1(

323

y

xxy

xy

چند قضیه درباره سریها در معادالت دیفرانسیلx معمولی نقطه یک در :1 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 یعنی است تحلیلی هرجواب x0 بین فاصله از کمتر جوابها از یک هر همگرایی شعاع عالوه به .داد نشان زیر شکل به سري یک وسیله به را آن میتوان

.نیست معادله تکین نقطه نزدیکترین و

x عادي تکین نقطه یک در :2 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 عبارتی با جواب یک حداقل نزدیکترین و x0 بین فاصله از کوچکتر R آن در که همگراست مذکور محدوده در سري این و دارد وجود زیر شکل به

.نیست معادله تکین نقطه

x غیرعادي تکین نقطه یک در:3 قضیه = x0 دیفرانسیل معادله در y˝+P(x)y̕+Q(x)y=0 جوابی کلی حالت در .باشد x-x0 توانهاي شامل فقط آن بسط که ندارد وجود


...)()( 202010 xxaxxaay

Rxxxxaxxaaxxy r 02

020100 0...])()([

معادله مشخصه

x کنید فرض حال = و هستند تحلیلی مبدا در x2Q(x)و xP(x) یعنی .است )3( معادله در عادي تکین نقطه یک 0:نوشت زیر شکل به را آنها میتوان بنابراین

:میکنیم جاگذاري را باال روابط و کرده ضرب x2 در را )3( معادله حال

:میگیریم )5( رابطه کل به را جواب 2 قضیه به توجه با حال

:میکنیم جاگذاري )4( رابطه در را )5( رابطه حال


)3(0)()( yxQyxPy

...)(

...)(2

2102

2210

xqxqqxQxxpxppxxP

)4(0...)(...)( 2210

2210

2 yxqxqqyxpxppxyx

)5(0...)( 02

210 axaxaaxy r

معادله مشخصه

::داریم کنیم، جمع هم با را توانهاي از هریک شامل هاي جمله اگر

:نتیجه در باشد، صفر توان هر ضریب اگر تنها و اگر است اتحاد )6( رابطه


0...)...)((

...])2()1(...)[(

...])1)(2()1()1([

22

110

2210

121

10

2210

21

12

02

rrr

rrr

rrr

xaxaxaxqxqqxraxrarxaxpxppx

xrrarxraxrrax

{ }{ } 0...][])1([])2()1)(2[(

)6(][])1()1[(

])1([

2220111002

1110001

000

r

r

r

xqrpaqrpaqrprraxqrpaqrprra

xqrprra

...................................0][])1([])2()1)(2[(

)7(0][])1()1[(0])1([

220111002

110001

000

qrpaqrpaqrprraqrpaqrprra

qrprra

معادله مشخصهa0چون ≠ دیفرانسیل معادله مشخصه معادله آن به که میشود نتیجه )8( رابطه ،)7( روابط مجموعه از رابطه اولین از ،0

.میگویند بسط نقطه به نسبت

نیز آنها اختالف و باشند متمایز ها ریشه این اگر .میگویند نظر مورد عادي تکین نقطه نماهاي نیز )8( رابطه هاي ریشه به وجود )3( معادله براي )5( رابطه شکل به جواب سري یک مقادیر، این از یک هر ازاي به نباشد، صحیح عدد یک اندازه به

.آورد دست به )7( معادالت از دیگري از پس یکی میتوان را بسطها در موجود ضرایب همچنین .دارد جواب که کرد عمل صورت این به میتوان ،)مضاعف هاي ریشه مثال( آورد دست به جواب سري دو نتوان که شرایطی در نحوي به را حال .است اول جواب سري y1آن در که شود گرفته )9( صورت به (x)معادله در که میکنیم تعیین را

.کند صدق بررسی، مورد دیفرانسیل


)8(0)1( 002 qrpr

)9()()( 1 xyxy

معادله بسل:است )10( معادله متغیر، ضرایب با دیفرانسیل هاي معادله مهمترین از یکی

کاربردهایی همه در تقریبا جمله از بسیاري مسایل در معادله این .میشود نامیده پارامتر یک با u مرتبه بسل معادله که مطرح اي دایره تقارن با نواحی در گرما، معادله و موج معادله مانند دارند، کار و سر جزیی دیفرانسیل هاي بامعادله که

.میشود.میشود نامیده »u مرتبه بسل معادله« که میشود تبدیل )12( به )10( رابطه )11( جانشانی با

:که میشود مالحظه ،)10( رابطه با مقایسه با

.هستند معمولی نقاط t دیگر مقادیر همه و )چرا؟( است معادله عادي تکین نقطه یک مبدا پس


)10(0)( 2222 yxyxyx u

)11(xt

)12(0)( 222

22 yt

dtdyt

dtydt u

ttP

tttQ 1)(,)( 2

22

معادله بسل:از است عبارت هستیم آن حول سري شکل به جوابهایی دنبال به که مبدا حول مشخصه معادله

r=u با متناظر )13( صورت به جوابی پیشین مطالب براساس بنابراین (u بررسی بعد منفی ریشه .میگیریم نظر در(0=<.شد خواهد

:داریم عملیات چند ادامه در و )12( در )13( جانشانی با


022 ur

)13(0

k

kktay

0)2(

0])()1()[(

0)()()1()(

2

01

2

0

2

0

0

221

0

2

0

2

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

k

kk

tatkka

tatkkka

tattkattkkat

معادله بسل:نوشت میتوان دوم بخش دادن اندیس تغییر نیز و اول بخش از اول جمله کردنن جدا با را قبل صفحه آخر رابطه

:پس .شوند صفر t توانهاي همه ضرایب که است برقرار همیشه وقتی باال رابطه

:میشود نتیجه u بودن نامنفی شرط و )14( رابطه از


0])2([)12(

0)2()12(

22

11

22

2

11

kkk

k

k

kk

k

kk

taakkta

tatkkata

)15(...,3,2)2(

0)2(

)14(0)12(

22

1

k

kkaaaakk

a

kkkk

00 a

معادله بسل:میشود نتیجه )15( از سپس

:میشود نتیجه )15( از همچنین

:کلی طور به و

:مینویسیم زیر شکل به را آن است، tu+2m ضریب باال عبارت چون


0...... 1253 maaa

)1)(2)(3(!3.2)3(3.2)62(6

)1)(2(!2.2)2(2.2)42(4

)1(!1.2)22(2

60

244

6

40

222

4

200

2

aaaa

aaaa

aaa

...,3,2,1)1)(2)...(1)((!2

)1(2

02

mmmm

aa m

m

m

)2()1)(2)...(1)((!2

)1(022 a

mmma m

m

m

معادله بسل و صورت هستند، فاکتوریل یادآور که مخرج در شده هم در ضرب پرانتزهاي به مربوط عبارت شکل به توجه با همچنین

رابطه در که تابع این خاصیت به توجه با سپس و میکنیم ضرب گاما تابع یعنی فاکتوریل یافته تعمیم شکل در را مخرج:آوریم می دست به ضرایب براي را )17( عبارت شده، داده نشان )16(

:آید دست به )18( تا میگیریم زیر شکل به است اختیاري که را a0 حال


))1(2()1()1)(2)...(1)((!2

)1(022 a

mmma m

m

m

)163()2()1()1( vv

)173())1(2()1(!2

)1(022

amm

a m

m

m

)1(21

0

a

تابع بسل

u هر ازاي به ،)13( در جانشانی با حال 0جواب یک yuاز اول نوع بسل تابع « آن به که آوریم می دست به :))20( یا )19( رابطه( میشود داده نشان Ju با و میشود گفته »u مرتبه

t هر ازاي به )19( سري که میشود نتیجه مطروحه، قضیه طبق ندارد، متناهی تکین نقطه هیچ مبدا جز )19( چون بعد صفحه شکل در .شود جایگزین آن قدرمطلق با t ،)19( در باید مقادیر همه ازاي به همگرایی براي .همگراست نامنفی

.اند شده رسم ،1 مرتبه و صفر مرتبه از اول نوع بسل توابع


)183(...,2,1,0)1(!2

)1(22

mmm

a m

m

m

)193()1(!2

)1()(0

2

2

mm

mm

mmttJ

)203(...)3(2)2(2)1(2

1)( 4

4

2

2

ttttJ

تابع بسل

ریشه منفی حالت بررسی .دارد ریشه بینهایت Ju 0= معادله ،u هر ازاي به که هستند مهم این دهنده نشان نمودارها این.شد خواهد انجام ادامه در مشخصه معادله


توابع بسل مشخصه معادله ریشه منفی حالت بررسی به حال .شد بررسی قبل قسمت در مشخصه معادله ریشه مثبت حالت

u( میپردازیم 0- r )3-19( سري که میگیریم نتیجه است، شده وارد بسل معادله در مجذور شکل به فقط u چون .)= .شوند تعریف هست مخرج در که گامایی توابع که شرط این به کرد، خواهد صدق بسل معادله در -u با u تعویض از پس جواب یک )4-1( تابع نیست، صحیح عدد یک u وقتی پس .است صادق نباشد صحیح عدد یک u وقتی امر این

.است u مرتبه بسل معادله دیگر خصوصی

عدد یک u وقتی پس است، نامتناهی مبدا در هست، هم t منفی توانهاي داراي چون ،)3-19( برخالف )4- 1( تابع معادالت در که اي قضیه به توجه با پس .هستند بسل معادله از خطی مستقل جواب دو تابع دو این نیست، صحیح

:از است عبارت نیست، صحیح عدد یکu که وقتی بسل معادله از کاملی جواب میشود، ثابت دیفرانسیل


)14()1(!2

)1()(0

2

2

m

m

mm

mmttJ

)24()()()( 21 tJctJcty

تابع بسل نوع دوم بهتر مقاصد بسیاري براي .نیست نیازي u بودن نامنفی شرط به دیگر شده، وارد )4-2( در متقارن صورت به u چون ،)4-3( تابع به .بگیریم نظر در بسل معادله براي مستقل جواب دومین عنوان به را )4-3( خطی ترکیب ،J-u جاي به است

از کاملی جواب میتوانیم تابع این از استفاده با .میشود گفته »u مرتبه از دوم نوع بسل تابع « یا »نیومن تابع «.بنویسیم غیرصحیح هايuبراي )4- 4( یعنی دیگري شکل به را بسل معادله


)34(sin

)()(cos)(

tJtJtY )44()()()( 21 tYctJcty

توابع بسل نوع سوم است مبتنی و است متفاوت هم اخیر شکل با که را بسل معادله عمومی جواب از شکلی است مناسب کاربردها از بعضی در:)4-5( خصوصی جواب دو بر

معادله از کاملی جواب میتوان و هستند موسوم »u مرتبه از سوم نوع بسل توابع « یا »هانکل توابع « به جوابها این:نوشت )4-6( صورت به آنها برحسب را بسل

بنابراین نیستند، مستقل تابع دو نتیجه در و هستند متناسب هم با J-u و Ju توابع است، صحیح عدد یکu که وقتی در .کرد پیدا کاملی جواب میتوان دیگري مختلف راههاي از حالت این در .نیست بسل معادله از کاملی جواب دیگر )2-4(

.است شده خالصه u مقادیر همه ازاي به ،u مرتبه بسل معادله جوابهاي بعد، صفحه قضیه


)64()()()( 22

11 tHctHcty

)54()()()(

)()()(2

1

tYitJtH

tYitJtH

جوابهاي کاملی براي معادله بسل، پارامتر یک باu مرتبه بسل معادله از کاملی جواب ،u مقادیر همه ازاي به :قضیه

زیر صورت دو از یک هر به را

:نوشت هم زیر شکل به میتوان را کامل جواب نباشد، صحیح عددu اگر .نوشت میتوان

و J-u ولی است متناهی x مقادیر همه ازاي به Ju باشد، نامنفی u اگر .دارند حقیقی ریشه بینهایت Yu و J-u و Ju توابعYu وقتی .هستند بیکران مبدا همسایگی در x 1 باشد حقیقی Hu 2 و Hu هستند مختلط مقادیر با توابعی.


)()()(,)()()( 22

1121 xHcxHcxyxYcxJcxy

)()()( 21 xJcxJcxy

0)( 2222 yxyxyx

Documents

يژﺮﻧا ﻞﯾﺪﺒﺗ ﻪﺘﻓﺮﺸﯿﭘ ﯽﺿﺎﯾر · Advanced Modern Engineering Mathematics Glyn James, 3rd Edition 2:ﯽﻠﺻﺍ