Enrico Borghi SECONDA QUANTIZZAZIONEE. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1 tutti diversi cosicch´e tutte le permutazioni sono non-equivalenti (nel cap. 2 verr`a trattato il caso

Enrico Borghi

SECONDA QUANTIZZAZIONE

E. Borghi - Seconda quantizzazione

Richiami a studi presenti in “fisicarivisitata”

Leggendo “Seconda quantizzazione” si incontrano richiami ai seguenti studi

(a) Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica- Seconda Parte

(b) La legge fondamentale della Meccanica newtoniana per un sistema di particelle

che fanno parte di “fisicarivisitata” e che devono essere ben noti a chi si interessa allaSeconda quantizzazione seguendo la presentazione che di questo argomento viene data inquesto studio.

* * *

Definizioni:

- “Coniugato hermitiano” o “aggiunto” dell’operatore Ω e l’operatore Ω† definito da

(ψ,Ω†χ) = (Ωψ,χ)

dove ψ e χ sono vettori dello spazio dove Ω opera.

- “Hermitiano” o “autoaggiunto” e l’operatore Ω tale che Ω = Ω† cosicche

(ψ,Ωχ) = (Ωψ,χ)

2

E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1

1. Particelle indistinguibili

Consideriamo un insieme di particelle identiche, cioe aventi le medesime proprieta fisichecome massa, carica elettrica, spin.Di ciascuna di queste particelle e possibile, in Meccanica classica, determinare univoca-mente la traiettoria note la posizione e la velocita iniziali, percio, una volta assegnato allaposizione iniziale di ognuna un indice che rimanga associato alla particella durante il suomoto lungo la traiettoria univocamente determinata, renderemo in ogni istante ciascunaparticella distinguibile da ciascun’altra anche se le particelle sono tutte identiche.Diversa invece e la situazione in Meccanica quantistica perche, per il Principio di Indeter-minazione, e impossibile determinare con precisione, nel medesimo istante, la posizione e lavelocita di una particella. Dunque potremo associare a ciascuna delle particelle identicheun indice legato alla sua precisa posizione iniziale, ma la sua velocita iniziale rimarra deltutto imprecisata e quindi la sua traiettoria sara indefinita cosicche verra a mancare larelazione fra indice assegnato alla posizione iniziale e punto della traiettoria in un qualun-que istante successivo a quello iniziale, e quindi non sara piu possibile distinguere ciascunaparticella da ogni altra.Dunque: in Meccanica quantistica particelle identiche sono indistinguibili.Questo fatto ha conseguenze di grande importanza.Per rendercene conto iniziamo col considerare un sistema meccanico costituito da dueparticelle qualisivoglia non interagenti e indichiamo con q(1) e q(2) l’insieme delle coordinatee dello spin delle particelle 1 e 2 rispettivamente.Se le hamiltoniane delle due particelle sono H(1) e H(2), allora l’equazione agli autovaloriper l’energia di ogni particella, che supponiamo dotata di spettro discreto, e

H(k)ψ(k)i (q(k)) = E(k)

i ψ(k)i (q(k)) ; k = 1, 2 (1)

dove H(k) e l’operatore hamiltoniano associato alla k−esima particella, E(k)i e l’i-esimo

autovalore dell’energia della k-esima particella e ψ(k)i e l’autovettore ad esso appartenente

rappresentato nelle coordinate.L’equazione agli autovalori per l’energia del sistema delle due particelle, poiche non vi einterazione, e

(H(1) +H(2))ψ(q(1), q(2)) = Eψ(q(1), q(2)) (2)

Per trovare una soluzione poniamo:

ψ(q(1), q(2)) = ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)) (3)

Sostituendo nella (2) si trova:

H(1)(

ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)))

+H(2)(

ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)))

= Eψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

Poiche H(1) opera solo su ψ(1)(q(1)) e H(2) opera solo su ψ(2)(q(2)) segue(

H(1)ψ(1)(q(1)))

ψ(2)(q(2)) + ψ(1)(q(1))(

H(2)ψ(2)(q(2)))

= Eψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

ovvero, dividendo per ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

H(1)ψ(1)(q(1))

ψ(1)(q(1))+H(2)ψ(2)(q(2))

ψ(2)(q(2))= E (4)

3


il che mostra che ogni termine a membro sinistro e una costante che indichiamo conE(k), k = 1, 2 cosicche

H(k)ψ(k)(q(k))

ψ(k)(q(k))= E(k)

e si vede cosı che ψ(k) e del tipo espresso dalla (1), percio gli autovettori della (2) sono

ψnl(q(1), q(2)) = ψ(1)

n (q(1))ψ(2)l (q(2)) ; E = E(1)

n + E(2)l (5)

Se le due particelle sono identiche, e quindi, per quanto si e detto all’inizio di questocapitolo, quantisticamente indistinguibili, gli autovettori dell’energia sono ancora espressi

dalla (5), dove pero ora occorre eliminare da ψ(1)n l’indice (1) e da ψ

(2)l l’indice (2):

ψnl(q(1), q(2)) = ψn(q(1))ψl(q

(2)) ; E = En + El (6)

Infatti non si puo dire che la particella 1 ha coordinate q(1) e la particella 2 ha coordinateq(2), ma solo che “una” particella ha coordinate q(1) e “l’altra” ha coordinate q(2), comecorrettamente la (6) esprime.Ora notiamo che se nella (6) scambiamo q(1) con q(2) la ψnl cambia perche ψn(q(1))ψl(q

(2))e diverso da ψn(q(2))ψl(q

(1)), mentre l’autovalore E rimane invariato. Cio significa che vie degenerazione, perche a un medesimo autovalore corrispondono due autovettori.Si tratta di una degenerazione di scambio.In generale, per N particelle, a un medesimo autovalore corrispondono tanti autovettoriquante sono le possibili permutazioni non-equivalenti delle particelle. Le permutazioni sonotutte non-equivalenti se gli stati in cui le particelle si trovano sono tutti diversi, cosicchein ciascuno stato si trova una sola particella.In questo caso il numero delle permutazioni e N !.Se vi sono stati in cui si trova piu di una particella, vi saranno permutazioni equivalenti:sono quelle corrispondenti a scambi di particelle che si trovano nel medesimo stato.

Esempio.

Consideriamo N = 3 particelle identiche che chiamiamo p1, p2, p3; le particelle p1 e p2 sitrovano nello stato 1, la particella p3 si trova nello stato 2. Le permutazioni di p1, p2, p3

sono 6:p1, p2, p3

p2, p1, p3

p2, p3, p1

p1, p3, p2

p3, p2, p1

p3, p1, p2

Di queste le prime due sono equivalenti perche comportano lo scambio di p1 con p2 chesi trovano nel medesimo stato 1 e sono indistinguibili; anche le seconde due sono equi-valenti per il medesimo motivo cosı come anche le terze due. Dunque le permutazioninon-equivalenti sono 3.

Assumiamo, per evitare di introdurre una complicazione non indispensabile nella presen-tazione del concetto di “distinguibilita”, che gli stati in cui le particelle si trovano siano

4


tutti diversi cosicche tutte le permutazioni sono non-equivalenti (nel cap. 2 verra trattatoil caso generale in cui alcune particelle possono trovarsi nel medesimo stato cosicche visono permutazioni equivalenti e quindi il numero di quelle non-equivalenti e minore di N !).Dunque nel caso di N particelle che si trovano tutte in stati diversi la (6) diviene unarelazione del tipo seguente

ψ(q(1), q(2), . . . , q(N)) =1√N !

∑

p

cpψp (7)

dove ψp e l’autovettore ottenuto effettuando la p-esima permutazione, cp e una costante

associata alla p-esima permutazione e 1/√N ! e un fattore di normalizzazione.

La degenerazione puo essere rimossa osservando che, in conseguenza della indistinguibilitadelle particelle, uno scambio puo mutare la ψ al piu per un fattore di fase.Se indichiamo con P l’operatore di permutazione, si dovra avere

Pψ(q(1), . . . , q(N)) = eiαψ(q(1), . . . , q(N))

Scambiando ancora una volta si deve tornare allo stato iniziale cioe

PPψ = ψ

ma PPψ = Peiαψ = eiαPψ = eiαeiαψ, percio ei2αψ = ψ e quindi

ei2α = 1

da cuieiα = ±1

percioPψ(q(1), . . . , q(N)) = ±ψ(q(1), . . . , q(N))

Si puo cosı concludere affermando che:per qualsivoglia sistema di particelle identiche non possono esservi che due tipi di relazioni(7): una, detta “simmetrica”, si ottiene ponendo nella (7) tutte le cp uguali a 1:

ψs(q(1), q(2), . . . , q(N)) =

1√N !

∑

p

ψp (8)

l’altra, detta “antisimmetrica”, si ottiene attribuendo a cp il valore +1 alle permutazionipari e il valore −1 alle permutazioni dispari:

ψa(q(1), q(2), . . . , q(N)) =1√N !

∑

p

(−1)pψp (9)

Ad esempio, se la ψp e quella espressa dalla (6) si ha:

ψs(q(1), q(2)) =

1√2!

ψn(q(1))ψl(q(2)) + ψn(q(2))ψl(q

(1))

(10)

ψa(q(1), q(2)) =1√2!

ψn(q(1))ψl(q(2))− ψn(q(2))ψl(q

(1))

(11)

5


2. Rappresentazione di vettori ed operatori nei numeri di occupazione

2.1 Sistema di particelle identiche; numero di particelle costante

Consideriamo un sistema di N particelle non interagenti; assumiamo che le particelle sianoidentiche e percio, come sappiamo dal Cap. 1, quantisticamente indistinguibili e indichiamocon |χ〉 lo stato del sistema.Un modo di esprimere |χ〉 nella rappresentazione delle coordinate parte dalla considerazionedegli autovettori |λ1〉, |λ2〉, . . . di un insieme completo di osservabili relative a una singolaparticella del sistema (con autovalori λ1, λ2, . . . essendo inteso che λi indica sinteticamentegli autovalori λ′i dell’osservabile O′, λ′′i dell’osservabile O′′ compatibile con O′, ecc.).Servendosi di tali autovettori diviene possibile costruire la seguente espressione di tiposimile alla (7):

ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) ≡

√

n1! . . . nk! . . .

N !

∑

perm kl

cp〈q(1)|λk1〉 . . . 〈q(N)|λkN

〉 (12)

In essa la sommatoria e riferita alle permutazioni non-equivalenti (v. definizione nel Cap.1) degli indici k1, k2, . . . , kN tali che in ogni permutazione il numero delle volte che aλ e associato l’indice k1 e n1, il numero delle volte che le e associato l’indice k2 e n2,ecc. Il numero di queste permutazioni e N !/(n1! . . . nk! . . . )(∗) da cui si ricava il fattore dinormalizzazione della (12).La costante cp vale 1 per stati simmetrici e ±1 per stati antisimmetrici (+1 per permuta-zioni pari e −1 per permutazioni dispari).Le ragioni per cui e necessario simmetrizzare o antisimmetrizzare sono state discusse nelCap. 1.I numeri n1, n2, . . . , nk . . . sono detti numeri di occupazione. Si ha

∑

k

nk = N (13)

I numeri di occupazione possono assumere tutti i valori da 0 a N se le particelle sonobosoni, mentre possono assumere solamente i valori 0 o 1 se le particelle sono fermioni. Inquest’ultimo caso si ha evidentemente n1! = n2! = . . . = nk! = . . . = 1, percio il fattore dinormalizzazione si riduce a 1/

√N !.

Ad esempio, per N = 2, n1 = 1, n2 = 1 si ha, se le particelle sono bosoni:

ψs(q(1), q(2)) = ψ11(q

(1), q(2)) =

√

1!1!

2!

〈q(1)|n〉〈q(2)|l〉+ 〈q(1)|l〉〈q(2)|n〉

(14)

coincidente con la (10), mentre se sono fermioni

ψa(q(1), q(2)) = ψ11(q(1), q(2)) =

1√2!

〈q(1)|n〉〈q(2)|l〉 − 〈q(1)|l〉〈q(2)|n〉

(15)

coincidente con la (11).———————(∗)

V., ad esempio: C.D. Pagani, S. Salsa, “Analisi matematica” Vol.1, pag.48−−Masson, 1990.

6


La (12) puo essere scritta anche cosı

ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) ≡

√

N !

n1! . . . nk! . . .

1

N !

∑

perm kl

cp〈q(1)|λk1〉 . . . 〈q(N)|λkN

〉 (16)

dove la sommatoria e estesa a tutte le permutazioni degli indici, o anche cosı

ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) ≡

≡√

N !

n1! . . . nk! . . .

1

N !

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈q(1)|λ1〉〈q(1)|λ2〉 . . . 〈q(1)|λk〉 . . .

〈q(2)|λ1〉〈q(2)|λ2〉 . . . 〈q(2)|λk〉 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

〈q(N)|λ1〉〈q(N)|λ2〉 . . . 〈q(N)|λk〉 . . .

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(17)

con l’avvertenza che il determinante deve essere calcolato nel modo usuale (cioe associandosegni alternati ai termini dello sviluppo) per gli stati antisimmetrici (v. Cap. 1), mentrenel caso di stati simmetrici i termini devono essere presi tutti col segno positivo.

Esempi

• Consideriamo un sistema costituito da N = 3 bosoni e siano |λ1〉 e |λ2〉 gli autovettoridi un sistema completo di osservabili per ognuno dei bosoni.Assumiamo che due bosoni si trovino nello stato |λ1〉 e il terzo nello stato |λ2〉. Si ha alloradalla (17):

ψ21(q(1), q(2), q(3)) =

√

3!

2!1!

1

3!

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈q(1)|λ1〉〈q(1)|λ1〉〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉〈q(3)|λ1〉〈q(3)|λ2〉

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1

2√

3

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+

+ 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉+ 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉+〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉

=1√3

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+

+〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉

(18)

che ovviamente avremmo potuto ricavare anche dalla (12) prendendo in considerazione lepermutazioni non equivalenti degli indici 1,1,2, le quali sono evidentemente tre, mentre ilcoefficiente

√

n1! · · ·nk! · · · /N ! vale√

2!1!/3! = 1/√

3 uguale al coefficiente della (17)In ognuno dei termini della somma il numero delle volte che a λ e associato l’indice 1 en1 = 2, il numero delle volte che gli e associato l’indice 2 e n2 = 1 e si ha cosı n1 + n2 =N = 3, come richiede la (13).

7


• Consideriamo un sistema costituito da N = 3 fermioni rispettivamente negli stati |λ1〉,|λ2〉, |λ3〉. Si ha:

ψ111(q(1), q(2), q(3)) =

√3!

1

3!

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

〈q(1)|λ1〉〈q(1)|λ2〉〈q(1)|λ3〉〈q(2)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(2)|λ3〉〈q(3)|λ1〉〈q(3)|λ2〉〈q(3)|λ3〉

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1√3!

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ3〉 − 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ3〉+

+ 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ3〉〈q(3)|λ1〉 − 〈q(1)|λ3〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+

+ 〈q(1)|λ3〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉 − 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ3〉〈q(3)|λ2〉

(19)

Riprendiamo in considerazione il problema, introdotto all’inizio di questa sezione 2.1, diesprimere nella rappresentazione delle coordinate il vettore |χ〉 descrittivo di un sistema diN particelle identiche.Le (12), proprio per il modo in cui sono costruite, costituiscono un insieme completoe ortonormale di funzioni nello spazio delle funzioni d’onda di N variabili q(k) e percioformano una base cui puo essere riferita una arbitraria ψ(q(1), q(2), . . . , q(N), t):

ψ(q(1), q(2), . . . , q(N), t) =∑

n1...nk...

cn1...nk...(t)ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) (20)

Indichiamo con una qualunque di queste notazioni equivalenti

|Xn1...nk...〉 ≡ |n1 . . . nk . . .〉 ≡ |Xnk〉 ≡ |nk〉 (21)

i vettori (normalizzati) della base di cui la (12) costituisce la rappresentazione nelle coor-dinate. Si tratta ovviamente della base dello spazio di Hilbert totale, formato da tutti glispazi di Hilbert delle singole particelle. Per tale base si ha la relazione di chiusura

∑

n1...nk...

|n1 . . . nk . . .〉〈n1 . . . nk . . .| = 11 (22)

dove la somma e estesa a tutte le sequenze nk ≡ n1 . . . nk . . ., e la relazione di ortogonalita

〈n1 . . . nk . . .|n′1 . . . n

′k . . .〉 = δn1n′

1· · · δnkn′

k

· · · (23)

Il vettore |χ(t)〉 puo allora essere espresso, moltiplicando la (22) per |χ〉(t), nel modoseguente

∑

n1...nk...

|n1 . . . nk . . .〉〈n1 . . . nk . . .|χ(t)〉 = |χ(t)〉

ovvero

|χ(t)〉 =∑

n1...nk...

〈n1 . . . nk . . .|χ(t)〉|n1 . . . nk . . .〉 ≡∑

n1...nk...

〈Xnk|χ(t)〉|Xnk〉 (24)

8


Rappresentiamo |χ(t)〉 nelle coordinate

〈q(1), q(2), . . . , q(N)|χ(t)〉 =∑

n1...nk...

〈n1 . . . nk . . .|χ(t)〉〈q(1), q(2), . . . q(N)|n1 . . . nk . . .〉

ovvero

ψ(q(1), q(2), . . . , q(N), t) =∑

n1...nk...

cn1...nk...(t)ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) (25)

La base normalizzata e rappresentata nelle coordinate alla quale ψ e riferito e espressa da

ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) = 〈q(1), q(2), . . . , q(N)|n1 . . . nk . . .〉 (26)

La (25) esprime il vettore |χ〉 nella rappresentazione delle coordinate che ci eravamo pro-posti di ottenere.I coefficienti cn1...nk...(t), che costituiscono la rappresentazione nei numeri di occupazionedel vettore |χ〉, esprimono l’ampiezza di probabilita di trovare il sistema di particelle in unostato caratterizzato da n1 particelle nello stato |λ1〉, n2 nello stato |λ2〉 ecc., essendo verifi-cata la condizione (13). Notiamo che lo stato del sistema e costruito come sovrapposizionedi tutte le possibili distribuzioni che soddisfano la (13).

* * *

La (17) puo essere espressa in una forma che risultera essere utile facendo ricorso alla bennota modalita di sviluppo di un determinante secondo una riga o una colonna.Con riferimento a stati simmetrici e tenendo conto di quanto si e detto piu sopra a propositodei segni da usare nel calcolo del determinante, se sviluppiamo la (17) secondo la primariga otteniamo (nel bra delle coordinate viene indicato anche, per maggior chiarezza, qualee la dimensione della base)

ψn1...nk...(q(1), q(2), . . . , q(N)) = 〈q(1), q(2), . . . , q(N);N |n1 . . . nk . . .〉 =

=∞∑

k=1

√

nk

N〈q(1)|λk〉〈q(2), q(3), . . . , q(N);N − 1|n1 . . . nk − 1 . . .〉 (27)

Verifichiamo la validita della (27) riconsiderando il precedente primo esempio, che prendevain esame un sistema costituito da 3 bosoni di cui 2 nello stato |λ1〉 e 1 nello stato |λ2〉, peril quale la (17) fornisce il seguente risultato che riportiamo dall’esempio

ψ21(q(1), q(2), q(3)) ≡ 〈q(1), q(2), q(3); 3|2 1〉 =

=1√3

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+ 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉

mentre dalla (27) si ricava

ψ21(q(1), q(2), q(3)) ≡ 〈q(1), q(2), q(3); 3|2 1〉 =

=2∑

k=1

√

nk

N〈q(1)|λk〉〈q(2), q(3);N − 1|n1 . . . nk − 1 . . .〉 ; n1 = 2, n2 = 1 ; N = 3

=

√

n1

N〈q(1)|λ1〉〈q(2), q(3);N − 1|n1 − 1 n2〉+

√

n2

N〈q(1)|λ2〉〈q(2), q(3);N − 1|n1 n2 − 1〉

=

√

2

3〈q(1)|λ1〉〈q(2), q(3); 2|1 1〉+

√

1

3〈q(1)|λ2〉〈q(2), q(3); 2|2 0〉

9


che, una volta sviluppata,

ψ21(q(1), q(2), q(3)) ≡ 〈q(1), q(2), q(3); 3|2 1〉 =

=

√

2

3〈q(1)|λ1〉

√

2!

1!1!

1

2!

∣

∣

∣

∣

〈q(2)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉〈q(3)|λ2〉

∣

∣

∣

∣

+

√

1

3〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉

=

√

2

3

√2

2

(

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉)

+

+

√

1

3〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉

=1√3

〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ2〉+ 〈q(1)|λ1〉〈q(2)|λ2〉〈q(3)|λ1〉+ 〈q(1)|λ2〉〈q(2)|λ1〉〈q(3)|λ1〉

mostra di essere uguale alla espressione (18) ricavata dalla (17).

La (27) fornisce espressioni corrette anche nel caso di stati antisimmetrici, purche si tengaconto dei segni dei determinanti.

Si puo, in alternativa, sviluppare la (17) secondo la k-esima colonna e si ottiene

〈q(1), q(2), . . . , q(N);N |n1 . . . nk . . .〉 =

=

N∑

m=1

1√nkN

〈q(m)|λk〉〈q(1), . . . , q(m−1), q(m+1), . . . , q(N);N − 1|n1 . . . nk − 1 . . .〉 (28)

* * *

Per ogni base puo essere definito l’operatore autoaggiunto popolazione Nopi che ha come

autovalori i numeri di occupazione ni

Nopi |Xnk〉 = ni|Xnk〉 (29)

e come autovettori gli elementi della base alla quale ci stiamo riferendo. Sommando glioperatori Nop

i si ottiene l’operatore popolazione totale

Nopt =

∑

i

Nopi (30)

per il quale vale l’equazione agli autovalori:

Nopt |Xnk〉 = N |Xnk〉 (31)

10


2.2 Rappresentazione di Fock

Ci proponiamo di introdurre una rappresentazione del vettore di stato di un sistema diparticelle identiche non interagenti in cui il numero delle particelle e variabile, e quindinon e verificata la condizione (13).Sistemi meccanici dotati di questa caratteristica sono tipicamente quelli di cui si occupala teoria della quantizzazione dei campi nella quale si considerano fenomeni di creazionee distruzione di bosoni e fermioni, cosicche il numero di questi e variabile. Se le parti-celle sono bosoni si avra una base |Xnk〉 (v. eq. (21)) in cui gli nk possono assumerevalori qualisivoglia purche risulti

∑

k nk <∞; se le particelle sono fermioni gli nk possonoassumere solo i valori 0 e 1 (Principio di esclusione) e deve ancora risultare

∑

k nk <∞.Nello spazio di Hilbert di un sistema composto da un numero variabile di particelle enaturale introdurre gli operatori di creazione a†k e gli operatori di distruzione ak che, per ibosoni, sono cosı definiti:

a†k|X(N)n1...nk...〉 =

√nk + 1|X(N+1)

n1...nk+1...〉

ak|X(N)n1...nk...〉 =

√nk|X(N−1)

n1...nk−1...〉 se nk > 0

0 se nk = 0

(32)

Si vede cosı che a†k aumenta di una unita il numero delle particelle nello stato k (piubrevemente: crea una particella nello stato k) mentre ak diminuisce di una unita il numerodelle particelle nello stato k (piu brevemente: distrugge una particella nello stato k), ameno che tale stato non sia privo di particelle, nel qual caso l’applicazione di ak da zero.Per i fermioni si ha

a†k|X(N)n1...nk...〉 =

(−1)

k−1∑

l=1

nl

|X(N+1)n1...nk+1...〉 se nk = 0

0 se nk = 1

ak|X(N)n1...nk...〉 =

0 se nk = 0

(−1)

k−1∑

l=1

nl

|X(N−1)n1...nk−1...〉 se nk = 1

(33)

dovek−1∑

l=1

nl (34)

esprime il numero degli stati occupati fino al k−esimo.Notiamo che nel caso dei fermioni la definizione di ak e a†k tiene conto del Principio di

esclusione. Infatti a†k puo creare una particella nello stato k solo se tale stato e privo diparticelle, e ak puo distruggere una particella nello stato k solo se tale stato contiene unaparticella.Gli operatori ak e a†k sono dipendenti dal tempo, perche si intende che l’azione distruttivao creativa avvenga in un certo istante, percio occorre scrivere

ak = ak(t) ; a†k = a†k(t) (35)

11


Per semplicita questa indicazione verra frequentemente omessa.I fattori numerici introdotti nelle definizioni (32) e (33) permettono di ottenere relazionidi commutazione fra gli operatori di creazione e distruzione in una forma particolarmentesemplice. Per i bosoni si ha

[ai, a†j ] = δij (36)

[ai, aj ] = [a†i , a†j ] = 0 (37)

Infatti verifichiamo, ad esempio, che applicando piu volte le (32) si ottiene [ai, a†i ] = 1:

[ai, a†i ]|X(N)

n1...ni...〉 = aia

†i |X(N)

n1...ni...〉 − a†iai|X(N)

n1...ni...〉

= ai

√ni + 1|X(N+1)

n1...ni+1...〉 − a†j√ni|X(N−1)

n1...ni−1...〉=√ni + 1ai|X(N+1)

n1...ni+1...〉 −√nia

†i |X

(N−1)n1...ni−1...〉

=√ni +1

√ni +1|X(N+1−1)

n1...(ni+1)−1...〉 −√ni

√

(ni −1) + 1|X(N−1+1)n1...(ni−1)+1...〉

=(

(ni + 1)− ni

)

|X(N)n1...ni...〉

= |X(N)n1...ni...〉

percio [ai, a†i ] = 1 in accordo con la (36).

Per i fermioni si assumono, per ragioni che appariranno evidenti quando verra trattato ilproblema della quantizzazione dei campi, le seguenti relazioni di anticommutazione:

ai, a†j = δij (38)

ai, aj = a†i , a†j = 0 (39)

Gli operatori popolazione Nopk (v. eq. (29)) possono essere espressi in funzione di a†k e ak.

Infatti:a†kak|X(N)

n1...nk...〉 =√nka

†k|X

(N−1)n1...nk−1...〉

=√nk

√nk − 1 + 1|X(N−1+1)

n1...nk−1+1...〉= nk|X(N)

n1...nk...〉

e quindi, per la (29):

Nopk = a†kak (40)

Di notevole importanza e il vettore di base |X0...0...〉, che indicheremo talvolta anche con|0〉 o con |X(0)〉, il quale descrive uno stato privo di particelle, detto stato del vuoto.Operando su esso mediante gli operatori di creazione si possono esprimere gli altri vettoridi base oportunamente normalizzati (v. eq. (61) dell’Appendice):

|X(N)n1...nk...〉 ≡ |X

(N)nk〉 = (a†1)

n1

√n1!· · · (a

†k)

nk

√nk!· · · |0 . . . 0 . . .〉 ≡ (a†1)

n1

√n1!· · · (a

†k)

nk

√nk!· · · |0〉 (41)

In virtu della (35) gli elementi di base |X(N)n1...nk...〉 dipendono dal tempo, il che equivale ad

assumere che ci troviamo nella descrizione di Heisenberg.

12


Cio posto, la base formata dall’insieme dei vettori |X(N)nk〉 espressi dalla (41) per N =

0, 1, 2, . . . e quella cui ci si riferisce nella rappresentazione di Fock.Esplicitiamola partendo dallo stato del vuoto:

0 particelle |X0...0...〉 ≡ |0〉1 particella |X(1)

100...〉 ≡ a†1|0〉, |X(1)010...〉 ≡ a†2|0〉, . . .

2 particelle |X(2)200...〉 ≡

(a†1)2

√2!|0〉, |X(2)

110...〉 ≡a†1√1!

a†2√1!|0〉, . . .

3 particelle |X(3)300...〉 ≡

(a†1)3

√3!|0〉, |X(3)

210...〉 ≡(a†1)

2

√2!

a†2√1!|0〉, . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(42)

Il numero delle particelle diviene un’osservabile, percio il vettore di stato del sistema e una

combinazione lineare dei |X(N)nk〉

|χ〉 =∑

N

〈X(N)nk|χ〉|X(N)

nk〉 =

∑

N

c(N)nk|X(N)

nk〉 (43)

* * *

Ci proponiamo ora di rappresentare nello spazio di Fock un operatore Ω che non cambiil numero delle particelle (e quindi non sia un operatore di creazione o distruzione) e cheassumiamo gia rappresentato nelle coordinate.La rappresentazione nelle coordinate si ricava, come sappiamo, dalla estensione 3N -di-mensionale della (870) dello studio (a) che riguarda un generico operatore A e che quiriscriviamo: 〈sa|A|sb〉 = Aδ(sa − sb), e quindi:

〈R′(1)

, . . . ,R′(N)|Ω|R(1)

, . . . ,R(N)〉 =

= Ω(R′(1)

, . . . ,R′(N)

)δ(R′(1) −R(1)

) · · · δ(R′(N) −R(N)

) (44)

Ora moltiplichiamo ciascun membro a sinistra per 〈n′1 . . . n

′k . . . |R

′(1), . . . ,R

′(N)〉 e a destra

per 〈R(1), . . . ,R(N)|n1 . . . nk . . .〉 e integriamo rispetto alle coordinate tenendo presente la

(858) dello studio (a), cioe la∫

|sa〉〈sa|da = 11. Questa operazione potra essere espressa piuchiaramente dalla seguente scrittura sintetica contenente simboli dal significato evidente:

∫∫

〈n′|R′〉〈R′|Ω|R〉〈R|n〉dRdR′ =

∫∫

〈n′|R′〉Ω(R′)δ(R′ −R)〈R|n〉dRdR′

Integrando il primo membro rispetto a R e R′ e il secondo rispetto a R′ si ottiene

〈n′|Ω|n〉 =

∫

〈n′|R〉Ω(R)〈R|n〉dR

e quindi, ritornando alla scrittura esplicita

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω|n1 . . . nk . . .〉 =

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |R

(1). . .R(N)〉·

·Ω(R(1), . . . ,R(N)

)〈R(1). . .R(N)|n1 . . . nk . . .〉dR

(1) · · · dR(N)(45)

Questa e la rappresentazione di Fock dell’operatore Ω(R(1), . . . ,R(N)

).

* * *

13


Puo essere di aiuto, al fine di rendere piu agevole la comprensione della rappresentazio-ne di Fock, vedere dapprima, nell’Appendice, il modo in cui gli operatori di creazione edistruzione possono essere introdotti nello studio di un singolo oscillatore armonico mono-dimensionale, e passare poi, qui di seguito, allo studio di un insieme di oscillatori.(Nella parte iniziale dell’Appendice l’oscillatore viene studiato, per un utile confronto e percompletezza di ragionamento, anche sulla base dell’equazione di Schrodinger rappresentatasia nelle coordinate che nei momenti).

Partiamo dalla considerazione che, come e mostrato nella (54) dell’Appendice, l’equazioneagli autovalori per l’hamiltoniana di un oscillatore puo essere espressa in funzione del-l’operatore di creazione a† e dell’autovettore |fE0

〉 appartenente al valore minimo 12 hω

dell’energia:H|(a†)n

fE0〉 = hω(n+ 1

2)|(a†)n

fE0〉 (46)

o ancheH(a†)

n|0〉 = hω(n+ 12 )(a†)

n|0〉 (47)

Ebbene l’insieme degli autovettori (a†)n|0〉, n = 0, 1, 2, . . . , che possono essere normalizzati

come indica la (61) dell’Appendice, costituisce una base ortonormale

|0〉, a†|0〉, (a†)2

√2!|0〉, (a

†)3

√3!|0〉, . . .

cui puo essere riferito il vettore di stato |ψ〉 dell’oscillatore:

|ψ〉 =∞∑

n=0

cn(a†)

n

√n!|0〉 (48)

Consideriamo ora un insieme di N oscillatori identici aventi hamiltoniane H1,H2, . . . .Assumiamo che l’hamiltoniana dell’insieme sia espressa da

H = H1 +H2 + · · ·

cioe che non vi siano forze di interazione fra le particelle, essendo

Hk(a†)nk |0〉 = hω(nk + 1

2)(a†)

nk |0〉 = Ek(a†)nk |0〉 (49)

Si puo facilmente dimostrare che lo spazio di Hilbert cui e riferito il vettore di statodell’insieme e lo spazio prodotto degli spazi di Hilbert di ciascun singolo oscillatore. Labase e costituita di vettori ortonormali aventi espressione

|n1 . . . nk . . .〉 =(a†)

n1

√n1!· · · (a

†)nk

√nk!· · · |0 . . . 0 . . .〉 (50)

esplicitando la quale si ottengono, per ogni fissato N , le (42).Detto |χ〉 il vettore di stato del sistema degli oscillatori, la quantita 〈n1 . . . nk . . . |χ〉 forniscel’ampiezza di probabilita che n1 oscillatori abbiano energia E1, n2 abbiano energia E2, ecc.,essendo

∑

i

ni = N (51)

14


Si usa anche dire che il k-esimo livello di energia e occupato da nk oscillatori. I numeri nk

diventano cosı i numeri di occupazione.

Infine, se il numero degli oscillatori e variabile, lo stato del sistema nella rappresentazionedi Fock e espresso dalla (43). Notiamo che uno stato viene espresso come combinazionelineare di vettori ciascuno associato a una diversa (in numero) popolazione di oscillatori.La popolazione diviene cosı un’osservabile e la base della rappresentazione di Fock e costi-tuita dai suoi autovettori.

15


3. Operatori di campo

Consideriamo un sistema di particelle identiche non interagenti ciascuna delle quali de-scritta da un insieme completo di osservabili aventi autovettori |λ1〉, |λ2〉, . . . appartenentiagli autovalori λ1, λ2, . . . essendo inteso che λi indica sinteticamente gli autovalori λ′i del-l’osservabile O′, λ′′i dell’osservabile O′′ compatibile con O′, ecc.Il vettore di stato del sistema, espresso nello spazio di Fock dalla (43) che riscriviamoesplicitando la dipendenza dal tempo

|χ(t)〉 =∑

N

c(N)nk

(t)|X(N)nk〉 (52)

ha proprieta che sono descritte nella sezione 2.2.Rappresentiamo la (52) nelle coordinate:

〈R(1), . . . ,R(N)|χ(t)〉 =

∑

N

c(N)nk

(t)〈R(1), . . . ,R(N)

;N |X(N)nk〉 (53)

Notiamo a membro destro della (53) la presenza del numero N nel bra delle coordinate.Esso ha lo scopo di mettere in evidenza il fatto che il numero degli argomenti di tale brae variabile.La (53), ricordando l’eq. (21), puo essere scritta anche cosı

〈R(1), . . . ,R(N)|χ(t)〉 =

∑

N

c(N)n1...nk...(t)〈R

(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉 (54)

ovvero, ricordando la (25):

Ψ(R(1), . . . ,R(N)

, t) =∑

N

c(N)n1...nk...(t)Ψ

(N)n1...nk...(R

(1), . . . ,R(N)

) (55)

dove e stato introdotto il simbolo Ψ, in luogo del simbolo ψ che compare nella (25), perragioni che appariranno chiare fra poco.Puo essere utile, per fissare le idee, esplicitare ad esempio la (54). Si ottiene allora, omet-tendo per semplicita di indicare la dipendenza da t:

〈R(1), . . . ,R(N)|χ〉 = c(0)〈0|n1 . . . nk . . .〉+

+ c(1)n1...nk...〈R(1)

; 1|n1 . . . nk . . .〉+

+ c(2)n1...nk...〈R(1),R(2)

; 2|n1 . . . nk . . .〉+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ c(N)n1...nk...〈R

(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(56)

Introduciamo le seguenti espressioni operatoriali (descrizione di Schrodinger, operatori nondipendenti dal tempo):

ψ(R) =∑

i

〈R|λi〉ai (57)

ψ†(R) =∑

i

〈R|λi〉∗a†i (58)

16


dove ai e a†i sono rispettivamente operatori di distruzione e creazione definiti nella sezio-ne 2.2 e i c-numeri 〈R|λi〉, i = 1, 2, 3, . . . sono la rappresentazione nelle coordinate degliautovettori comuni a un insieme completo di osservabili relative, come si e gia detto all’i-nizio di questo studio, a una sola particella del sistema di particelle identiche che stiamoconsiderando.Osserviamo che dalla (57) si ricava:

∫

〈R|λk〉∗ψ(R)dR =∑

i

∫

〈R|λk〉∗〈R|λi〉dRai

=∑

i

∫

〈λk|R〉〈R|λi〉dRai

=∑

i

〈λk|λi〉ai

Poiche gli autovettori |λk〉 si assumono ortonormalizzati si ha 〈λk|λi〉 = δki e percio

ak =

∫

〈R|λk〉∗ψ(R)dR

e analogamente dalla (56) si ricava

a†k =

∫

〈R|λk〉ψ†(R)dR

Le (57) e (58) sono dette operatori di campo.Questi, se le particelle sono bosoni, obbediscono alle seguenti regole di commutazione:

[ψ(R), ψ†(R′)] = δ(R−R′

) (59)

[ψ(R), ψ(R′)] = [ψ†(R), ψ†(R′

)] = 0 (60)

Infatti, ad esempio:

[ψ(R), ψ†(R′)] = ψ(R)ψ†(R′

)− ψ†(R′)ψ(R)

=∑

i

〈R|λi〉ai

∑

k

〈R′|λk〉∗a†k −∑

k

〈R′|λk〉∗a†k∑

i

〈R|λi〉ai

=∑

i,k

〈R|λi〉〈R′|λk〉∗aia

†k −

∑

i,k

〈R′|λk〉∗〈R|λi〉a†kai

=∑

i,k

〈R|λi〉〈R′|λk〉∗[ai, a

†k]

da cui, per la (36),

[ψ(R), ψ†(R′)] =

∑

i,k

〈R|λi〉〈R′|λk〉∗δik

=∑

i,k

〈R|λi〉〈λk|R′〉δik

=∑

i

〈R|λi〉〈λi|R′〉

= 〈R|∑

i

|λi〉〈λi|R′〉

17


Se ora teniamo presente la relazione di chiusura espressa dalla (767) dello studio (a) otte-niamo

[ψ(R), ψ†(R′)] = 〈R|R′〉

da cui, per la condizione di normalizzazione espressa dalla (856) dello studio (a),

[ψ(R), ψ†(R′)] = δ(R−R′

)

e si ritrova cosı la (59).

Se le particelle sono fermioni si hanno le seguenti regole di anticommutazione:

ψ(R), ψ†(R′) = δ(R−R′

) (61)

ψ(R), ψ(R′) = ψ†(R), ψ†(R′

) = 0 (62)

Notiamo che si ha:∫

ψ†ψdR =

∫

∑

i

〈R|λi〉∗a†i∑

k

〈R|λk〉akdR

=∑

i,k

∫

〈λi|R〉〈R|λk〉a†iakdR

=∑

i,k

〈λi|∫

|R〉〈R|dR |λk〉a†iak

=∑

i,k

δika†iak

da cui, per la (40):∫

ψ†ψdR =∑

k

a†kak =∑

k

Nopk (63)

Ricordando la (30) si ha infine:∫

ψ†ψdR =

∫

%dR = Nopt (64)

percio % = ψ†ψ e l’operatore densita di popolazione totale di particelle.

* * *

Riprendiamo la (27) e applichiamola al fattore

〈R(2), . . . ,R(N)

;N − 1|n1 . . . nk − 1 . . .〉 (65)

che compare nell’argomento della sommatoria al suo membro destro. Si ottiene:

〈R(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉 =∑

k

√

nk

N〈R(1)|λk〉·

·∑

l

√

nl

N − 1〈R(2)|λl〉〈R

(3), . . . ,R(N)

;N − 2|n1 . . . nk − 1 . . . nl − 1 . . .〉

18


Applichiamola nuovamente questa volta al fattore

〈R(3), . . . ,R(N)

;N − 2|n1 . . . nk − 1 . . . nl − 1 . . .〉 (66)

e ripetiamo via via questa operazione fino a che si ottiene:

〈R(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉 =∑

k

√

nk

N〈R(1)|λk〉 · · ·

· · ·∑

r

√

nr

2〈R(N−1)|λr〉

∑

s

√

ns

1〈R(N)|λs〉〈0| . . . nk − 1 . . . nr − 1 . . . ns − 1 . . .〉

Il vettore |0〉 descrive uno stato privo di particelle: e lo stato del vuoto di cui si e giaparlato nella sezione 2.2.Osserviamo che la sommatoria in s a membro destro puo essere scritta cosı:

1√1〈0|∑

s

〈R(N)|λs〉√ns| . . . nk − 1 . . . nr − 1 . . . ns − 1 . . .〉

Tenendo conto della definizione dell’operatore di distruzione (v. eq. (32)) si puo scrivere:

1√1〈0|∑

s

〈R(N)|λs〉as| . . . nk − 1 . . . nr − 1 . . . ns . . .〉

Se ora ricordiamo la (57) otteniamo:

1√1〈0|ψ(R(N)

)| . . . nk − 1 . . . nr − 1 . . . ns . . .〉

e quindi

〈R(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉 =∑

k

√

nk

N〈R(1)|λk〉 · · ·

· · ·∑

r

√

nr

2〈R(N−1)|λr〉

1√1〈0|ψ(R(N)

)| . . . nk − 1 . . . nr − 1 . . . ns . . .〉

Ripetendo questa procedura per le rimanenti N − 1 sommatorie si ottiene

〈R(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉 =1√N !〈0|ψ(R(N)

) · · ·ψ(R(1))|n1 . . . nk . . .〉 (67)

Moltiplichiamo a destra per 〈n1 . . . nk . . .| e sommiamo su tutte le sequenze nk.Omettendo, per semplicita, di indicare il numeroN delle particelle, si ottiene (v. eq. (22)):

〈R(1), . . . ,R(N)| = 1√

N !〈0|ψ(R(N)

) · · ·ψ(R(1)) (68)

19


Per cio che riguarda la coniugata hermitiana della (67) si ha:

〈R(1), . . . ,R(N)

;N |n1 . . . nk . . .〉† =1√N !〈0|ψ(R(N)

) · · ·ψ(R(1))|n1 . . . nk . . .〉†

ovvero, tenendo conto delle eq. (705) e (718) dello studio (a) che qui riscriviamo: 〈ξ|χ〉† =〈χ|ξ〉 e 〈ξ|A|θ〉† = 〈θ|A†|ξ〉

〈n1 . . . nk . . .|R(1), . . . ,R(N)

;N〉 =1√N !〈n1 . . . nk . . .|

(

ψ(R(N)) · · · ψ(R(1)

))†|0〉

da cui

〈n1 . . . nk . . .|R(1), . . . ,R(N)

;N〉 =1√N !〈n1 . . . nk . . .|ψ†(R(1)

) · · ·ψ†(R(N))|0〉 (69)

cosicche la corrispondente della (68) e:

|R(1), . . . ,R(N)〉 = 1√

N !ψ†(R(1)

) · · ·ψ†(R(N))|0〉 (70)

Si vede cosı che la base nella rappresentazione delle coordinate puo essere espressa comeuna successione di operatori di creazione applicata allo stato del vuoto.

* * *

Per renderci conto del significato degli operatori di campo iniziamo con l’osservare che(v. eq. (64))

[Nopt , ψ†(R)] = [

∫

ψ†(R′)ψ(R′

)dR′, ψ†(R)]

=

∫

ψ†(R′)ψ(R′

)dR′ψ†(R)− ψ†(R)

∫

ψ†(R′)ψ(R′

)dR′

=

∫

ψ†(R′)ψ(R′

)ψ†(R)− ψ†(R)ψ†(R′)ψ(R′

)

dR′

Ora teniamo presente l’eq. (60) cioe ψ†(R)ψ†(R′) = ψ†(R′

)ψ†(R):

[Nopt , ψ†(R)] =

∫

ψ†(R′)ψ(R′

)ψ†(R)− ψ†(R′)ψ†(R)ψ(R′

)

dR′

=

∫

ψ†(R′)[ψ(R′

), ψ†(R)]dR

=

∫

ψ†(R′)δ(R′ −R)dR′

= ψ†(R)

e quindi, poiche Nopt |0〉 = 0:

Nopt ψ†(R)|0〉 = Nop

t ψ†(R)|0〉 − ψ†(R)Nopt |0〉 = [Nop

t , ψ†(R)]|0〉 = ψ†(R)|0〉

20


ovveroNop

t ψ†(R)|0〉 = 1 · ψ†(R)|0〉Dal confronto con la (31) segue che ψ†(R)|0〉 e un autovettore di Nop

t appartenente all’au-tovalore 1, percio e rappresentativo di uno stato a una particella.Analogamente

ψ†(R(2))ψ†(R(1)

)|0〉e rappresentativo di uno stato a due particelle, e

ψ†(R(N)) · · ·ψ†(R(2)

)ψ†(R(1))|0〉

e rappresentativo di uno stato a N particelle.Osserviamo poi che dalla (70), applicando ψ†(R), si ottiene

ψ†(R)|R(1), . . . ,R(N)〉 = 1√

N !ψ†(R)ψ†(R(1)

) · · · ψ†(R(N))|0〉 (71)

Ma l’eq. (70), riscritta per N + 1 particelle, diventa

|R,R(1), . . .R(N)〉 = 1

√

(N + 1)!ψ†(R)ψ†(R(1)

) · · ·ψ†(R(N))|0〉

e quindi

ψ†(R)ψ†(R(1)) · · ·ψ†(R(N)

)|0〉 =√

(N + 1)! |R,R(1), . . . ,R(N)〉

percio la (71) diviene

ψ†(R)|R(1), . . . ,R(N)〉 =

√

(N + 1)!√N !

|R,R(1), . . . ,R(N)〉

da cuiψ†(R)|R(1)

, . . . ,R(N)〉 =√N + 1 |R,R(1)

, . . . ,R(N)〉 (72)

Si vede cosı che l’operatore ψ†(R) crea una particella in R.Applicando ripetutamente la relazione di commutazione (59) a

ψ(R)|R(1), . . . ,R(N)〉 = 1√

N !ψ(R)ψ†(R(1)

) · · ·ψ†(R(N))

si vede anche che l’operatore ψ(R) distrugge una particella in R:

ψ(R)|R(1), . . . ,R(N)〉 = 1√

N

N∑

i=1

δ3(R(i) −R)|R(1), . . . ,R(i−1)

,R(i+1). . .R(N)〉

* * *

Introducendo gli operatori di campo diviene piu facile sviluppare il formalismo di defini-zione degli operatori associati alle variabili dinamiche dei sistemi di particelle identiche.A questo compito verra dedicato il resto di questo studio, nel quale prenderemo in consi-derazione operatori a una particella, che indichiamo con Ω(1), e operatori a due particelle,che indichiamo con Ω(2).Esempi di operatori a una particella sono l’operatore associato a energia potenziale esterna,o l’operatore associato al momento, o al momento angolare; un esempio di operatore adue particelle e l’operatore associato a energia potenziale di interazione di due particelle(sulle definizioni di energia potenziale esterna e di energia potenziale di interazione di dueparticelle v. la sezione B dello studio (b)).

21


Riprendiamo in esame la rappresentazione di Fock di un generico operatoreΘ rappresentatonelle coordinate (v. eq. (45)) e sostituiamo in essa le (70) e (68):

〈n′1 . . . n

′k . . . |Θ|n1 . . . nk . . .〉 =

1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(1))|0〉·

·Θ(R(1), . . . ,R(N)

)〈0|ψ(R(1)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(1) · · · dR(N)

ovvero

〈n′1 . . . n

′k . . . |Θ|n1 . . . nk . . .〉 =

=1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(1))|0〉〈0|Θ(R(1)

, . . . ,R(N))·

· ψ(R(1)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(1) · · · dR(N)

(73)

Ora osserviamo che la quantita

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · · ψ†(R(1))|n′′

1 . . . n′′k . . .〉

e nulla per qualunque distribuzione n′′1 . . . n

′′k . . . a meno che non sia |n′′

1 . . . n′′k . . .〉 = |0〉

(perche in questo caso vale l’ eq. (69)) e analogamente la quantita

〈n′′1 . . . n

′′k . . . |ψ(R(1)

) · · ·ψ(R(N))|n1 . . . nk . . .〉

e sempre nulla a meno che non sia 〈n′′1 . . . n

′′k . . . | = 〈0| (perche in questo caso vale l’ eq. (67))

percio nella (73) l’espressione |0〉〈0| puo essere sostituita da∑

|n′′1 . . . n

′′k . . .〉〈n′′

1 . . . n′′k . . . |

che vale 11 (v. l’eq. (22)), cosicche si ottiene:

〈n′1 . . . n

′k . . . |Θ|n1 . . . nk . . .〉 =

=1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(1))Θ(R(1)

, . . . ,R(N))

ψ(R(1)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(1) · · · dR(N)

(74)

Supponiamo che Θ sia esprimibile come somma di operatori a una particella

Θ ≡ Ω(1)(R(1), . . . ,R(N)

) =N∑

l=1

Ω(R(l)) (75)

come succede quando tutte le particelle sono soggette a un potenziale originato da un unicocampo esterno. La (74) diviene allora

N∑

l=1

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(l)

)|n1 . . . nk . . .〉 =

=1

N !

N∑

l=1

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(1))Ω(R(l)

)ψ(R(1)) · · ·ψ(R(N)

)·

· |n1 . . . nk . . .〉dR(1) · · · dR(N)

(76)

22


Consideriamo il termine corrispondente a l = N , che puo essere scritto cosı:

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 =1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(2))·

·∫

ψ†(R(1))Ω(R(N)

)ψ(R(1))dR(1)

ψ(R(2)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(2) · · · dR(N)

(77)

Ma (v. eq. (64))

∫

ψ†(R(1))Ω(R(N)

)ψ(R(1))dR(1)

= Ω(R(N))

∫

ψ†(R(1))ψ(R(1)

)dR(1)= Ω(R(N)

)Nopt

cosicche la (77) diviene

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 =1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(2))·

·Ω(R(N))Nop

t ψ(R(2)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(2) · · · dR(N)

e inoltre ψ(R(2)) · · · ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 e il vettore di stato di un sistema a 1 particellaperche e il risultato dell’azione di N − 1 operatori di distruzione sul vettore di stato di unsistema di N particelle, percio (v. eq. (31)) vale la seguente equazione agli autovalori:

Nopt ψ(R(2)

) · · ·ψ(R(N))|n1 . . . nk . . .〉 = 1 · ψ(R(2)

) · · ·ψ(R(N))|n1 . . . nk . . .〉 (78)

cosicche

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 =

=1

N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(2))Ω(R(N)

)ψ(R(2)) · · · ψ(R(N)

)·

· |n1 . . . nk . . .〉dR(2) · · · dR(N)

In questa consideriamo l’espressione

∫

ψ†(R(2))Ω(R(N)

)ψ(R(2))dR(2)

ψ(R(3)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 (79)

ovvero

Ω(R(N))

∫

ψ†(R(2))ψ(R(2)

)dR(2)

ψ(R(3)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 (80)

nella quale ψ(R(3)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 e il vettore di stato di un sistema di dueparticelle, perche e il risultato dell’azione di N − 2 operatori di distruzione sul vettore distato di un sistema di N particelle, percio vale la seguente equazione agli autovalori:

Nopt ψ(R(3)

) · · ·ψ(R(N))|n1 . . . nk . . .〉 = 2 · ψ(R(3)

) · · ·ψ(R(N))|n1 . . . nk . . .〉 (81)

23


cosicche si puo scrivere

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 =

=1 · 2N !

∫

〈n′1 . . . n

′k . . . |ψ†(R(N)

) · · ·Ω(R(N)) · · ·ψ(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉dR(3) · · · dR(N)

(82)

e cosı procedendo di integrazione in integrazione si arriva a

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(R(N)

)|n1 . . . nk . . .〉 =

=(N − 1)!

N !〈n′

1 . . . n′k . . . |

∫

ψ†(R(N))Ω(R(N)

)ψ(R(N))dR(N)|n1 . . . nk . . .〉 (83)

Ci siamo finora occupati solo del termine N -esimo della sommatoria (76), ma quantoabbiamo detto per esso puo essere ripetuto per ogni altro termine l-esimo dopo aver spo-

stato ψ(R(l)) all’estremo destro del prodotto ψ†(R(N)

) · · ·ψ†(R(1))ψ(R(1)

) · · ·ψ(R(N)) e

ψ†(R(l)) all’estremo sinistro (spostamenti entrambi leciti in virtu della (60)) cosı da per-

mettere la ripetizione delle operazioni che ci hanno condotto alla (83). In definitiva la (76)diviene

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(1)|n1 . . . nk . . .〉 =

=N∑

l=1

(N − 1)!

N !〈n′

1 . . . n′k . . . |

∫

ψ†(R(l))Ω(R(l)

)ψ(R(l))dR(l)|n1 . . . nk . . .〉

ovvero

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(1)|n1 . . . nk . . .〉 =

= 〈n′1 . . . n

′k . . . |

1

N

N∑

l=1

∫

ψ†(R(l))Ω(R(l)

)ψ(R(l))dR(l)|n1 . . . nk . . .〉

da cui, poiche per l’arbitrarieta della variabile di integrazione l’argomento della sommatoriapuo essere considerato composto da N termini tutti fra loro uguali, segue

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(1)|n1 . . . nk . . .〉 = 〈n′

1 . . . n′k . . . |

∫

ψ†(R)Ω(R)ψ(R)dR|n1 . . . nk . . .〉 (84)

Questa e la rappresentazione di Fock dell’operatore a una particella Ω(1) che ci eravamoproposti di ottenere.Notiamo l’importante risultato che abbiamo conseguito: l’operatore a membro sinistro, chee la somma di N operatori a 1 particella (v. eq. (75)), viene espresso in funzione di unosolo di questi.

Nel caso in cui Θ sia esprimibile come somma di operatori a due particelle

Θ ≡ Ω(2)(R(1), . . . ,R(N)

) =∑

i,j

Ω(R(i),R(j)

)

24


si ottiene, seguendo un procedimento analogo a quello seguito per Ω(1):

〈n′1 . . . n

′k . . . |Ω(2)|n1 . . . nk . . .〉 =

〈n′1 . . . n

′k . . . |

∫∫

ψ†(R′)ψ†(R)Ω(R,R′

)ψ(R)ψ(R′)dRdR′|n1 . . . nk . . .〉 (85)

Anche in questo caso notiamo che l’operatore a membro sinistro, somma di N operatori a2 particelle, viene espresso in funzione di un solo operatore a 2 particelle.Gli operatori Ω(1) e Ω(2) in forma non rappresentata sono espressi da:

Ω(1) =

∫

ψ†(R)Ω(R)ψ(R)dR (86)

Ω(2) =

∫∫

ψ†(R)ψ†(R′)Ω(R,R′

)ψ(R′)ψ(R)dRdR′

(87)

Osserviamo poi che in un sistema di particelle l’operatore energia cinetica T , l’operatoreenergia potenziale Vest. dovuta a un campo esterno, l’operatore momento P e l’operatoremomento angolare J sono del tipo a una particella, cosicche la (86) diventa

T =

∫

ψ†

(

− h2

2m0∇2

)

ψdR (88)

Vest. =

∫

ψ†Vest.ψdR (89)

P =

∫

ψ†(−ih∇)ψdR (90)

J =

∫

ψ†(−ihR×∇)ψdR (91)

Se assumiamo che l’operatore energia potenziale interna (o di interazione o di scambiomutuo) Vint. sia a due particelle, la (87) diviene (v. eq. (84) dello studio (b)):

Vint. =1

2

∫∫

ψ†(R)ψ†(R′)Vint.(R−R

′)ψ(R′

)ψ(R)dRdR′(92)

Vale la pena di sottolineare nuovamente che a membro sinistro di queste equazioni vi sonooperatori associati a grandezze globali, cioe riferite all’intero sistema comprendente unnumero qualsivoglia di particelle, e che tali operatori sono espressi, in virtu degli operatoridi campo, in funzione dei corrispondenti operatori riferiti a una sola particella o a dueparticelle.

* * *

Dalla (68), applicando l’operatore ψ(R), si ottiene:

〈R(1), . . . ,R(N)|ψ(R) =

1√N !〈0|ψ(R(N)

) · · ·ψ(R(1))ψ(R) (93)

Ma dalla (68) si ottiene anche

〈0|ψ(R(N)) · · ·ψ(R(1)

) =√N !〈R(1)

, . . . ,R(N)|

25


che, riscritta per N + 1 particelle, diventa

〈0|ψ(R(N)) · · ·ψ(R(1)

)ψ(R) =√

(N + 1)!〈R(1), . . . ,R(N)|

percio la (93) diviene

〈R(1), . . . ,R(N)|ψ(R) =

√

(N + 1)!√N !

〈R,R(1), . . . ,R(N)|

da cui〈R(1)

, . . . ,R(N)|ψ(R) =√N + 1〈R,R(1)

, . . . ,R(N)|

cosicche

〈R(1),R(2)

, . . . ,R(N)|ψ(R)|X(N)nk〉 =√N + 1〈R,R(1)

, . . . ,R(N)|X(N+1)nk

〉 (94)

Per cio che riguarda l’operatore ψ†(R) si trova

〈R(1),R(2)

, . . . ,R(N)|ψ†(R)|X(N)nk〉 =

=1√N

N∑

k=1

(±1)k−1〈R|R(k)〉〈R(1), . . . ,R(k−1)

,R(k+1), . . . ,R(N)|X(N−1)

nk〉 (95)

In alternativa alla notazione di Dirac si puo scrivere, per la (94):

(

ψ(R)Ψ)(N)

(R(1), . . . ,R(N)

) =√N + 1Ψ(N+1)(R,R(1)

,R(2), . . . ,R(N)

) (96)

Per quello che riguarda la (95) si ha:

(

ψ†(R)Ψ)(N)

(R(1), . . . ,R(N)

) =

=1√N

N∑

k=1

(±1)k−1δ(R−R(k))Ψ(N−1)(R(1)

, . . . ,R(k−1),R(k+1)

, . . . ,R(N)) (97)

dove il segno + vale per stati simmetrici e il segno − per stati antisimmetrici.

* * *

La descrizione cui abbiamo fatto riferimento finora e quella di Schrodinger, nella qualeil vettore di stato dipende dal tempo e gli operatori di campo ψ e ψ† sono indipendentidal tempo. Passiamo ora alla descrizione di Heisenberg, nella quale il vettore di stato eindipendente dal tempo e gli operatori di campo dipendono dal tempo

|ψH〉 = ei

hHt|ψS(t)〉 ; ψH(R, t) = e

i

hHtψS(R)e−

i

hHt

(Ometteremo, nel seguito, di evidenziare l’indice H perche l’appartenenza all’una o all’altradescrizione si deduce dalla indipendenza o dipendenza dell’operatore da t).

26


Le relazioni di commutazione coincidono, per tempi uguali, con quelle gia viste nella de-scrizione di Schrodinger:

[ψ(R, t), ψ†(R′, t)] = δ(R−R′

) (98)

[ψ(R, t), ψ(R′, t)] = 0 ; [ψ†(R, t), ψ†(R′

, t)] = 0 (99)

Per tempi disuguali i commutatori non sono piu, in generale, c-numeri; non ci interesseremoal loro calcolo.In analogia con quanto si e detto abbiamo:

ψ†(R, t)|0〉 = creazione di una particella in R al tempo t (100)

ψ(R, t)|0〉 = distruzione di una particella in R al tempo t (101)

Il prodotto scalare di ψ†(R, t)|0〉 per ψ†(R′, t′)|0〉 e espresso da

〈0|ψ(R′, t′)ψ†(R, t)|0〉 (102)

e puo essere interpretato come la creazione al tempo t di una particella in R seguita dalla

distruzione della particella in R′al tempo t′ purche si assuma t′ > t percio l’espressione

completa del prodotto scalare e:

θ(t′ − t)〈0|ψ(R′, t′)ψ†(R, t)|0〉 (103)

* * *

Nella descrizione di Heisenberg le equazioni del moto di ψ(R, t) e ψ†(R, t) sono espresseda

ih∂ψ(R, t)

∂t= [ψ(R, t),H(t)] (104)

ih∂ψ†(R, t)

∂t= [ψ†(R, t),H(t)] (105)

Assumiamo per l’operatore hamiltoniano l’espressione seguente: H = T + Vest. + Vint.

cosicche si ha (v. eq. (88), (89), (92))

H = − h2

2m0

∫

ψ†∇2ψdR+

∫

ψ†Vest.ψdR+

+1

2

∫

ψ†(R, t)ψ†(R′, t)Vint.(R−R

′)ψ(R′

, t)ψ(R, t)dRdR′(106)

e allora le (104) e (105) diventano rispettivamente

ih∂ψ(R, t)

∂t=

=

− h2

2m0∇2 + Vest.(R)

ψ(R, t) +

∫

ψ†(R′, t)Vint.(R,R

′)ψ(R′

, t)ψ(R, t)dR′(107)

27


− ih∂ψ†(R, t)∂t

=

=

− h2

2m0∇2 + Vest.(R)

ψ†(R, t) +

∫

ψ†(R, t)Vint.(R,R′)ψ†(R′

, t)ψ(R′, t)dR′

(108)

Vediamo, ad esempio, come si ottiene la (107). Iniziamo riscrivendo esplicitamente la (104):

ih∂ψ(R, t)

∂t= [ψ(R, t),− h2

2m0

∫

ψ†(R′, t)∇2ψ(R′

, t)dR′]+

+ [ψ(R, t),∫

ψ†(R′, t)Vest.ψ(R′

, t)dR′]+

+ [ψ(R, t), 1

2

∫

ψ†(R′, t)ψ†(R′′

, t)Vint.(R′,R′′

)ψ(R′′, t)ψ(R′

, t)dR′dR′′

]

Scriviamo piu brevemente:

ih∂ψ(R, t)

∂t= [ψ, T ] + [ψ,Hest.] + [ψ,Hint.]

Si ha:

[ψ, T ] = − h2

2m0

∫

ψ(R, t)ψ†(R′, t)∇2ψ(R′

, t)− ψ†(R′, t)∇2ψ(R′

, t)ψ(R, t)

dR′

= − h2

2m0

∫

[ψ(R, t), ψ†(R′, t)]∇2ψ(R′

, t)dR′

= − h2

2m0

∫

δ(R−R′)∇2ψ(R′

, t)dR′

= − h2

2m0∇2ψ(R, t) (109)

Il commutatore [ψ,Hest.] si calcola in modo analogo e si trova

[ψ,Hest.] = Vest.(R) (110)

Infine, per cio che riguarda [ψ,Hint.] si ha:

[ψ(R, t),Hint.] =1

2

∫

ψ(R, t)ψ†(R′′, t)ψ†(R′


)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)+

−ψ†(R′′, t)ψ†(R′


)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)ψ(R, t)

dR′dR′′

Ma nel secondo termine dell’integrando ψ(R, t) commuta con tutto cio che ha alla sua

sinistra fino a Vint.(R′,R′′

) compreso, percio:

[ψ(R, t),Hint.] =1

2

∫

ψ(R, t)ψ†(R′′, t)ψ†(R′


)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)+

−ψ†(R′′, t)ψ†(R′

, t)ψ(R, t)Vint.(R′,R′′

)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)

dR′dR′′

28


ovvero

[ψ(R, t),Hint.] =1

2

∫

[

ψ(R, t), ψ†(R′′, t)ψ(R′

, t)]

Vint.(R′,R′′

)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)dR′dR′′

Ora ricordiamo che [u, vw] = [u, v]w+ v[u,w] (v. eq. (348) dello studio (a)) cosicche

[

ψ(R, t), ψ†(R′′, t)ψ†(R′

, t)]

= [ψ(R, t)ψ†(R′′, t)]ψ†(R′

, t) + ψ†(R′′, t)[ψ(R, t), ψ(R′

, t)]

= δ(R−R′′)ψ†(R′

, t) + ψ†(R′′, t)δ(R′ −R) (111)

percio

[ψ(R, t),Hint.] =1

2

∫

δ(R−R′′)ψ†(R′


)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)dR′dR′′

+

+1

2

∫

δ(R′ −R)ψ†(R′′, t)Vint.(R

′,R′′

)ψ(R′, t)ψ(R′′

, t)dR′dR′′

=1

2

∫

ψ†(R′, t)Vint.(R

′,R)ψ(R′

, t)ψ(R, t)dR′+

+1

2

∫

ψ†(R′′, t)Vint.(R,R

′′)ψ(R, t)ψ(R′′

, t)dR′′

e infine

[ψ(R, t),Hint.] =1

2

∫

ψ†(R′, t)

Vint.(R′,R) + Vint.(R,R

′)

ψ(R′, t)ψ(R, t)dR′

(112)

Supponendo Vint.(R′,R) = Vint.(R,R

′) segue:

[ψ(R, t),Hint.] =

∫

ψ†(R′, t)Vint.(R,R

′)ψ(R′

, t)ψ(R, t)dR′

e si ritrova cosı la (107).

* * *

L’equazione di Schrodinger per il vettore (ψ(R, t)Ψ)(N)(R(1), . . . ,R(N)

, t) e espressa da

(

ih∂

∂tψ(R, t)Ψ

)(N)

(R(1), . . . ,R(N)

, t) =

=

(

− h2

2m0∇2 + Vest.(R) +

N∑

k=1

Vint.(R−R(k)

)

)

(ψ(R, t)Ψ)(N)(R(1), . . . ,R(N)

, t) (113)

che puo essere trasformata nella

(

ih∂

∂tψ(R, t)Ψ

)(N)

(R(1), . . . ,R(N)

, t) =

=

(

− h2

2m0∇2 + Vest.(R, t)

)

ψ(R, t)Ψ(N)

(R(1), . . . ,R(N)

, t)+

+

∫

ψ†(R′, t)Vint.(R

′ −R)ψ(R′, t)ψ(R, t)dR′

Ψ

(N)

(R(1), . . . ,R(N)

, t)

29


Poiche Ψ e arbitrario si puo scrivere

ih∂ψ(R, t)

∂t=

(

− h2

2m0∇2 + Vest.

)

ψ+

∫

ψ†(R′, t)Vint.(R−R

′)ψ(R′

, t)ψ(R, t)dR′(114)

che e l’equazione del moto di ψ(R, t) nella descrizione di Schrodinger.

Analogamente si ha per ψ†(R, t):

−ih∂ψ†(R, t)∂t

=

(

− h2

2m0∇2 + Vest.

)

ψ† +

∫

ψ†(R, t)Vint.(R−R′)ψ†(R′

, t)ψ(R, t)dR′

(115)Si vede cosı che le equazioni di ψ(R, t) e ψ†(R, t) nella descrizione di Schrodinger coincidonocon le equazioni del moto di ψ(R, t) e ψ†(R, t) nella descrizione di Heisenberg.

* * *

Consideriamo un sistema di particelle identiche non interagenti cosicche Vint. = 0.

Allora sia le equazioni di Heisenberg che le equazioni del moto di Schrodinger degli operatoriψ e ψ† espresse rispettivamente dalle (107), (108) e (114), (115) diventano formalmenteidentiche alle equazioni di Schrodinger per una particella (v. eq. (304) dello studio (a)).

Si tratta, beninteso, di una identita formale, dato che l’equazione di Schrodinger per unaparticella e riferita al vettore di stato della particella, mentre ψ e ψ† sono operatori ausiliariintrodotti per semplificare lo studio di un sistema di particelle.

Ora l’equazione di Schrodinger per una particella e stata ottenuta applicando alla funzioned’onda della particella un operatore ricavato interpretando le variabili dinamiche q, p, Edella hamiltoniana classica della particella come operatori.

Ebbene, anche le equazioni di Schrodinger e di Heisenberg per gli operatori di campo ψ eψ† si possono pensare ottenute dalle equazioni di Schrodinger per una particella reinter-pretando le relative funzioni d’onda come operatori.

Si usa percio dire che la meccanica di Schrodinger per una particella e basata su una pro-cedura di prima quantizzazione (v. Tab. 1 dove q indica sinteticamente tutte le coordinatedella particella),

PRIMA QUANTIZZAZIONE

Hcl(q, p)

⇓

Hop(

q,−ih ∂∂q

)

ψ(q, t) = ih∂ψ(q, t)

∂t

Tab. 1

mentre le equazioni di Heisenberg e di Schrodinger per gli operatori di campo ψ e ψ† sipossono considerare ottenute mediante una procedura che possiamo chiamare di secondaquantizzazione (v. Tab. 2), da cui il titolo di questo studio.

30


SECONDA QUANTIZZAZIONE

Hop(

q,−ih ∂∂q

)

ψ(q, t) = ih∂ψ(q, t)

∂t

⇓

Hop(

q,−ih ∂∂q

)

ψop(q, t) = ih∂ψop(q, t)

∂t

Tab. 2

* * *

Come esempio di applicazione del metodo della seconda quantizzazione studiamo un siste-ma di N particelle identiche, ciascuna dotata di massa m0, libere da forze esterne e noninteragenti.L’operatore energia del sistema e espresso da

Hop = − h2

2m0

∫

ψ†∇2ψdR (116)

e l’operatore momento da

Pop= −ih

∫

ψ†∇ψdR (117)

L’operatore numero totale di particelle vale

Nop =

∫

ψ†ψdR (118)

Le espressioni di ψ e ψ† si ricavano integrando le (114) e (115), dopo aver posto in esseVest. = Vint. = 0. Ad esempio la (114) diviene l’equazione di Schrodinger per una particellalibera:

ih∂ψ(R, t)

∂t= − h2

2m0∇2ψ(R, t) (119)

Ora assumiamo come insieme completo di osservabili relative a una particella libera il

momento P e l’energia E = P2/2m0, cosicche (v. l’eq. (990) dello studio (a))

ψ(R, t) =

∫

〈R|P〉aP(t)dP =1

h3/2

∫

aP(t)ei

hP·RdP ; [aP(t)] = momento−3/2

Conviene passare a quantita discrete assumendo che la particella sia contenuta in unascatola avente volume L3 ed effettuando la cosiddetta “normalizzazione in una scatola”che consiste nel sostituire a un integrale di Fourier una serie di Fourier con lo scopo disemplificare la trattazione di alcuni problemi.La sostituzione e basata sulle seguenti corrispondenze:

∑

n

←→∫

dp

〈pn|χ〉 ←→ 〈p|χ〉

〈R|pn〉 ←→ 〈R|p〉

31


percio

∑

k

ak(t)e

i

hPk·R

√L3

←→∫

aP(t)e

i

hP·R

h3/2dP ; [ak(t)] = adimensionale (120)

essendo

Pk =2πh

Lk (121)

Si ha cosı:

ψ(R, t) =1√L3

∑

k

ak(t)ei

hPk·R (122)

La (119) diviene

ihei

hPk·R

∂ak

∂t= − h2

2m0ak(t)∇2e

i

hPk·R (123)

Ma

∇2ei

hPk·R = −P

2

k

h2 ei

hPk·R

percio la (123) diviene∂ak

∂t(t) = − i

hEkak(t)

da cuiak(t) = ake

− i

hEkt ; ak = costante (124)

Si ottiene cosı dalla (122):

ψ(R, t) =1√L3

∑

k

akei

h(Pk·R−Ekt) (125)

ψ†(R, t) =1√L3

∑

k

a†ke− i


cosicche

∇ψ =1√L3

∑

k

aki

hPke

i


e

∇2ψ = ∇ · ∇ψ = ∇ · 1√L3

∑

k

aki

hPke

i

h(Pk·R−Et) =

1√L3

∑

k

aki

h∇ ·(

Pkei

h(Pk·R−Et)

)

Ma se v e un vettore e ϕ e uno scalare si ha ∇ · (vϕ) = v · ∇ϕ+ ϕ∇ · v percio

∇2ψ =1√L3

∑

k

aki

h

(

Pk · ∇ei

h(Pk·R−Et) + e

i

h(Pk·R−Et)∇ · Pk

)

=1√L3

∑

k

aki

hPk · ∇e

i

h(Pk·R−Et)

32


da cui

∇2ψ = − 1

h2√L3

∑

k

P2

kakei


Gli operatori di campo ψ e ψ† soddisfano le relazioni di commutazione (59) e (60) oppure(61) e (62), a seconda che le particelle siano bosoni o fermioni.Sostituendo le (125), (126), (127), (128) nelle (116), (117), (118) si ottiene

Hop =∑

k

P2

k

2m0a†kak (129)

Pop=∑

k

Pka†kak (130)

Nop =∑

k

a†kak =∑

k

Nopk (131)

Verifichiamo, ad esempio, che l’operatore momento Popdel sistema (v. eq. (117)) ha

l’espressione (130):

Pop= −ih

∫

ψ†∇ψdR = −ih∫

1√L3

∑

k

a†ke− i

h(Pk·R−Ekt) 1√

L3

∑

k′

ak′

i

hPk′e

i

h(P

k′ ·R−Ek′ t)dR

= − i2

L3

∫

∑

k,k′

Pk′a†kak′e−i

h(Pk−Pk′ )·R−(Ek−E

k′ )tdR

=∑

k,k′

Pk′a†kak′

1

L3

∫

e−i

h(Pk−P

k′ )·RdR

ei

h(Ek−E

k′ )t

Un modo per esprimere la funzione delta di Dirac in versione discreta (corrispondente allaversione continua espressa dall’eq. (N8) dell’Appendice N dello studio (a)) e il seguente:

δkk′ =1

L3

∫

e−i

h(Pk−P

k′ )·RdR

percio

Pop=∑

k,k′

Pk′a†kak′δkk′ei

h(Ek−E

k′ )t =∑

k

a†k∑

k′

Pk′ak′δkk′ei

h(Ek−E

k′ )t

da cui segue la (130).

Sostituendo la (131) nelle (129) e (130) si ottiene

Hop =∑

k

P2

k

2m0Nop

k (132)

Pop=∑

k

PkNopk (133)

33


Calcolando il valor medio di questi operatori si ottengono le espressioni dell’energia totaleEt e del momento totale Pt del sistema di N particelle come somma rispettivamente delleenergie e dei momenti delle singole N particelle:

valor medio di Hop = Et =P2

2m0N (134)

valor medio di Pop= Pt = PN (135)

come ci aspettiamo che debba risultare.

* * *

Ci siamo finora riferiti, in questo capitolo, a vettori e operatori rappresentati nelle coordi-nate. E ovviamente possibile riferirsi anche alla rappresentazione nei momenti nella quale,ad esempio, le (55) e (56) diventano:

ϕ(p) =∑

i

〈p|λi〉ai (136)

ϕ†(p) =∑

i

〈p|λi〉∗a†i (137)

e si ha anche

ai =

∫

〈p|λi〉∗ϕ(p)dp ; a†i =

∫

〈p|λi〉ϕ†(p)dp (138)

La rappresentazione nei momenti e conveniente nella descrizione dei fenomeni di diffusione(scattering) delle particelle, come avremo occasione di constatare.

34

E. Borghi - Seconda quantizzazione - Appendice

Appendice

L’oscillatore armonico monodimensionale in Meccanica quantistica

Ci proponiamo di usare l’equazione di Schrodinger (v. l’eq. (304) dello studio (a)) perdeterminare i valori dell’energia totale dell’oscillatore monodimensionale armonico.Assumiamo la retta lungo la quale si muove la particella come asse x (v. fig. 1) e il punto diriposo dell’oscillatore come origine, cosicche la forza agente sulla particella, quando questasi trova in x, e −kex, essendo ke una costante positiva (costante elastica).

fig. 1

L’energia potenziale della particella e espressa da:

V(x) =1

2kex

2 (1)

La frequenza dell’oscillatore e espressa da (v. l’eq. (K107) dell’Appendice K dello studio(a)):

ν =1

2π

√

ke

m0(2)

cosicche si puo scrivereV(x) = 2π2m0ν

2x2 (3)

Sostituendo nella equazione di Schrodinger si ottiene

− h2

2m0

∂ψ(x, t)

∂x2+ 2π2m0ν

2x2ψ(x, t) − ih∂ψ(x, t)

∂t= 0 (4)

Di questa equazione cerchiamo una soluzione stazionaria del tipo (v. l’eq. (293) dellostudio (a)):

ψ(x, t) = u(x)e−i

hEt (5)

Sostituendo nella (4) si ottiene:

d2u

dx2+

2m0

h2 (E − 2π2m0ν2x2)u = 0 (6)

Questa equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare, omogenea, a coeffi-cienti non costanti, che deve essere soddisfatta dalla u affinche la (5) sia una soluzionedella (4), e quella su cui ora fisseremo la nostra attenzione.Ci proponiamo di cercare una u tale che sia possibile ricavarne una espressione discretizzatadell’energia totale E confrontabile con quella ipotizzata da Planck nel suo studio sullospettro del corpo nero.Conviene porre:

λ =2m0Eh2 ; [λ] = L−2 (7)

35


α2 =4π2m2

0ν2

h2 ; [α] = L−2 (8)

cosicche la (6) diviened2u

dx2+ λu− α2x2u = 0 (9)

Questa puo essere ricondotta a una nota equazione della Fisica-Matematica.Infatti poniamo

u(x) = v(x)e−12αx2

(10)

e sostituiamo nella (9). Si ottiene

d2v

dx2− 2αx

dv

dx+ (λ − α)v = 0 (11)

che possiamo scrivere anche cosı:

αd2v

d(x√α)2− 2αx

√α

dv

d(x√α)

+ α(λ

α− 1)

v = 0

Se ora dividiamo per α e poniamo

ξ = x√α ; [ξ] = adimensionale (12)

y(ξ) = v(x) (13)

otteniamod2y

dξ2− 2ξ

dy

dξ+(λ

α− 1)

y = 0 (14)

Con un’ultima posizione

2β =λ

α− 1 (15)

si ottiened2y

dξ2− 2ξ

dy

dξ+ 2βy = 0 (16)

che e la ben nota “equazione di Hermite”. Si tratta di una equazione differenziale delsecondo ordine, lineare, omogenea e a coefficienti non costanti. Di essa ci interessa unasoluzione che comporti l’introduzione di un numero intero.Ora la Fisica-Matematica mostra che la (16) ammette una soluzione limitata su tutto l’asseξ se β e un intero positivo o nullo che possiamo indicare con n. Tale soluzione e espressada

y(ξ) = Hn(ξ) (17)

dove Hn(ξ) e detto “polinomio di Hermite” e ha espressione

Hn(ξ) = (−1)neξ2 dn

dξne−ξ2

= (2ξ)n − n(n − 1)

1!(2ξ)n−2 +

n(n − 1)(n − 2)(n− 3)

2!(2ξ)n−4 − . . .

(18)

36


In particolare si haH0(ξ) = 1

H1(ξ) = 2ξ

H2(ξ) = 4ξ2 − 2

H3(ξ) = 8ξ3 − 12ξ

H4(ξ) = 16ξ4 − 48ξ2 + 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(19)

Tenendo presente la (13) possiamo riscrivere la (10) nel modo seguente:

un(x) = Hn(√αx)e−

12αx2

(20)

In definitiva, se supponiamo di voler imporre che la (4) abbia soluzione limitata dobbiamoassumere che sia

β = n ; n = 0, 1, 2, . . . (21)

percio la (15) diviene (v. le equazioni (7) e (8))

2n =λ

α− 1 =

2Ehν− 1 (22)

da cui

E = En = hν(

n+ 12

)

= h

√

ke

m0

(

n+ 12

)

; n = 0, 1, 2, . . . (23)

Se confrontiamo l’espressione (23) di En con quella ipotizzata da Planck per l’oscillatore,cioe En = nhν, vediamo che nella (23) compare il termine aggiuntivo 1

2hν, detto energia

di punto zero, la cui esistenza e una conseguenza del Principio di Indeterminazione diHeisenberg che vieta all’oscillatore di trovarsi in uno stato di energia nulla perche questosignificherebbe che l’oscillatore e fermo (4p = 0) e in uno stato di equilibrio (4x =0) e quindi 4p4x = 0 in contrasto col suddetto Principio che impone 4p4x ≥ h/2.

Dunque esiste una E0 = 12hν = h

2

√

ke

m0che, tenuto conto del piccolissimo valore di h

(h = 1, 054572 · 10−27ergsec), assume un valore sensibilmente lontano dallo zero solo sem0 e molto piccola, come succede nelle particelle atomiche. Per particelle aventi massaordinaria E0 puo essere considerata nulla.

Si puo quindi affermare che se sulla H(ξ) (ovvero sulla u(x) = v(x)e−12αx2

) si impone lacondizione della limitatezza si ottengono per l’energia E valori discreti confrontabili conquelli ipotizzati da Planck.Poiche la limitatezza della soluzione della (9) appare una condizione plausibile e non parti-colarmente critica, si puo affermare che l’equazione di Schrodinger per l’oscillatore armonicoe in grado di fornire per l’energia E i valori ipotizzati da Planck per descrivere lo spettrodel corpo nero.

* * *

Ritornando ora alla (5) possiamo scrivere come sua soluzione particolare

ψn(x, t) = Hn(√αx)e−

1

2αx2

e−i

hEnt (24)

37


oppure, tenendo conto della (20):

ψn(x, t) = un(x)e−i

hEnt (25)

La soluzione generale e espressa da

ψ(x, t) =∞∑

n=0

cnun(x)e−i

hEnt (26)

dove le cn sono costanti.

* * *

Infine terminiamo questi commenti osservando che la (6) puo essere scritta cosı:

− h2

2m0

d2

dx2+ 2π2m0ν

2x2

u = Eu (27)

il che significa che anche per l’oscillatore armonico monodimensionale l’integrazione dell’e-quazione di Schrodinger ha comportato la soluzione di un problema agli autovalori, conautovettori espressi dalla (20) e autovalori En espressi dalla (23).

* * *

Ci proponiamo ora di scrivere l’equazione di Schrodinger per l’oscillatore armonico neimomenti. L’operatore hamiltoniano nella rappresentazione dei momenti e espresso da

H(

p, ih∂

∂p

)

=p2

m0− 2π2m0ν

2h2 ∂2

∂p2(28)

cosicche l’equazione di Schrodinger nei momenti diviene

p2

2m0ϕ(p, t)− 2π2m0ν

2h2 ∂2ϕ

∂p2= ih

∂ϕ(p, t)

∂t(29)

Una possibile soluzione della (29) ha la forma

ϕ(p, t) = u(p)e−i

hEt (30)

Sostituendo la (30) nella (29) si ottiene

p2

2m0u− 2π2m0ν

2h2 d2u

dp2= −ih i

hEu

ovverop2

2m0u− 2π2m0ν

2h2 d2p

dp2= Eu

da cuid2u

dp2+

E2π2m0ν2h2u−

1

4π2m20ν

2h2 p2u = 0 (31)

38


Ponendo

µ =E

2π2m0ν2h2 ; [µ] = momento−2 (32)

e

γ2 =1

4π2m20ν

2h2 ; [γ] = momento−2 (33)

si ottiened2u

dp2+ µu− γ2p2u = 0

La soluzione di questa equazione e del tipo

un(p) = Hn(√γp)e−

12γp2

(34)

da cuiϕn(p, t) = Hn(

√γp)e−

12γp2

e−i

hEnt

La soluzione generale e

ϕ(p, t) =∑

n

cnHn(√γp)e−

1

2γp2

e−i

hEnt (35)

* * *

Il problema della ricerca degli autovalori di un operatore e, in generale, di soluzione difficilesia in meccanica di Schrodinger che in meccanica di Heisenberg.Talvolta, pero, la ricerca degli autovalori puo essere resa relativamente piu agevole daalcune considerazioni rese possibili da una scelta fortunata di operatori ausiliari.Vediamo, ad esempio, come si possono determinare gli autovalori dell’hamiltoniana dell’o-scillatore armonico monodimensionale senza che venga risolta una effettiva equazione agliautovalori.L’hamiltoniana dell’oscillatore, ricordando l’eq. (K101) dell’Appendice K dello studio (a)nella quale poniamo ke = m0ω

2, e espressa da

H =1

2m0

(

p2 +m20ω

2x2)

(36)

Questa espressione classica diviene una relazione quantistica interpretando le variabili di-namicheH, p, x come operatori (dovremmo mettere in evidenza questa loro nuova proprietariscrivendole in un altro modo, ad esempio munendole di un simbolo: H, p, x, ma omette-remo, per semplicita di scrittura, di indicarlo).Introduciamo due nuovi operatori non hermitiani funzioni degli operatori x e p:

a =m0ωx+ ip√

2m0hω; a† =

m0ωx− ip√2m0hω

(37)

Notiamo che l’operatore a† e stato correttamente indicato come l’aggiunto (o coniugatohermitiano) di a perche p e x sono autoaggiunti (o hermitiani), (v. pag. 168 dello studio(a)). Cerchiamo le relazioni di commutazione fra a e a†. Si trova

[a, a†] = aa† − a†a =i

h(px− xp) = − i

h[x, p]

39


Tenendo presente la (346) dello studio (a) che qui riscriviamo: [x, p] = ih11 si trova

[a, a†] = 11 ; 11 = matrice unita (38)

Notiamo, per inciso, che questa relazione rimane invariata se moltiplichiamo i membridestri delle (37) per un numero c qualunque, purche cc∗ = 1. Ad esempio, se e c = −i siottiene

a = −im0ωx+ ip√2m0hω

=p− im0ωx√

2m0hω; a† = i

m0ωx− ip√2m0hω

=p+ im0ωx√

2m0hω(39)

e si ha ancora [a, a†] = 11.Ora ricaviamo dalle (37) p e x

p = i

√

m0hω

2(a† − a) ; x =

√

h

2m0ω(a† + a) (40)

che risultano essere hermitiani, come ovviamente ci aspettiamo che debba succedere:

p† = −i√

m0hω

2(a − a†) = i

√

m0hω

2(a† − a) = p ; x† =

√

h

2m0ω(a + a†) = x

Sostituendo in (36) si ottieneH = 1

2 hω(a†a+ aa†) (41)

Facendo uso della (38) si puo anche scrivere

H = hω(a†a+ 1211) ; 11 = matrice unita (42)

Notiamo che a e a† non sono hermitiani, ma lo e il prodotto a†a perche (a†a)† = a†(a†)† =a†a percio H e hermitiano.

Cerchiamo le relazioni di commutazione di H con a e a†. Si ha

[H, a] = (a†a + 12 )hωa − a(a†a + 1

2 )hω

= hω(a†aa− aa†a)= −hω(aa†a− a†aa)= −hω[a, a†]a

percio[H, a] = −hωa (43)

Si trova anche[H, a†] = −[H, a]† = hωa† (44)

Cio posto, indichiamo con fE un autovettore di H appartenente all’autovalore E, cioe

HfE = EfE (45)

40


Moltiplichiamo per aaHfE = EafE (46)

Tenendo presente la (43) si puo scrivere aH = Ha + hωa percio la (46) diviene

(Ha + hωa)fE = EafE

ovveroHafE = (E − hω)afE (47)

Poiche fE e per ipotesi un autovettore di H appartenente all’autovalore E, afE (purche siadiverso da zero) e anch’esso un autovettore di H ed appartiene all’autovalore E − hω.Se ora moltiplichiamo la (47) per a e teniamo presente la (43) otteniamo:

HaafE = (E − 2hω)aafE

Si vede cosı che anche a2fE e un autovettore diH ed appartiene all’autovalore E−2hω. Pro-seguendo in questo modo si vede che anfE e un autovettore diH appartenente all’autovaloreE − nhω.In definitiva, operando con a su un autovettore akfE , k = 0, 1, 2, . . . di H appartenenteall’autovalore E − khω si ottiene un nuovo autovettore ak+1fE appartenente all’autovaloreE − (k + 1)hω.Ripetendo questo procedimento un numero sufficiente di volte si potrebbe pensare di rag-giungere autovalori negativi (se l’autovalore iniziale era positivo).Ma cio non e possibile perche gli autovalori di H sono tutti positivi. Infatti moltiplicandola (45) scalarmente per fE si ha

(fE ,HfE ) = E(fE , fE) (48)

Tenendo conto della (42) si ha poi

(

fE , hω(a†a+ 12 )fE

)

= E(fE , fE ) (49)

da cui

hω

(fE , a†afE) +

1

2(fE , fE )

= E(fE , fE ) (50)

Ricordando che (fE , a†afE) ≥ 0 (v. l’eq. (573) dello studio (a)) e tenendo conto del

fatto che (fE , fE ) > 0 si vede che risulta sempre E > 0, percio gli autovalori dell’energiadell’oscillatore armonico non possono essere negativi.Tuttavia, poiche applicando a a fE si riduce E sempre di piu, si arriva al punto che

afE0= 0 (51)

Se allora poniamo nella (50) fE = fE0e E = E0 e teniamo conto della (51) otteniamo

E0 = 12 hω (52)

Questo e il piu piccolo valore dell’energia dell’oscillatore armonico.

41


Ora riprendiamo la (45) e moltiplichiamola per a†. Si ha

a†HfE = Ea†fE

Tenendo conto della (44), cioe di a†H = Ha† − hωa†, si trova

Ha†fE = (E + hω)a†fE

Questa relazione mostra che a†fE e un autovettore diH appartenente all’autovalore E+hω.Applicando ripetutamente a† si trova che (a†)

nfE e un autovettore di H appartenente

all’autovalore E + nhω.Allora, iniziando con l’autovettore fE0

appartenente all’autovalore minimo E0 (v. eq. (52))per il quale vale la

HfE0= 1

2 hωfE0

si possono generare nuovi autovettori

fEn= (a†)

nfE0

(53)

per i quali vale laH(a†)

nfE0

= hω(n+ 12)(a†)

nfE0

(54)

i cui autovaloriE = En = hω(n+ 1

2) (55)

ci sono ben noti perche li abbiamo ricavati risolvendo l’equazione di Schrodinger per l’o-scillatore armonico (v. eq. (23)).

Gli autovettori espressi dalla (53) sono mutuamente ortogonali (perche H e hermitiano),cioe (fEm

, fEn) = 0 per m 6= n, ma non sono normalizzati. Per normalizzarli introduciamo

una costante di normalizzazione An, cosicche

fEn= An(a†)

nfE0

(56)

e imponiamo la condizione(fEn

, fEn) = 1 per ogni n

Si ha cosı

(An(a†)nfE0

, An(a†)nfE0

) = A∗nAn

(

(a†)nfE0, (a†)nfE0

)

= |An|2(

fE0, ((a†)n)†(a†)

nfE0

)

= |An|2(

fE0, an(a†)

nfE0

)

= 1 (57)

Ora osserviamo che dalla (38) si ricava

aa† = a†a+ 11

da cui, moltiplicando a destra per a†

aa†a† = a†aa† + a† = a†(a†a+ 11) + a†

42


e quindi

a(a†)2

= (a†)2a + 2a†

In generale si puo scrivere

a(a†)n

= (a†)na + n(a†)

n−1(58)

da cui, moltiplicando a sinistra per an−1

ana†n = an−1a†na+ nan−1a†n−1

percio la (57) si puo scrivere cosı

|An|2(

fE0, an−1

(

(a†)na + n(a†)

n−1)fE0

)

= 1

ovvero|An|2

(

fE0, an−1(a†)

nafE0

)

+ n|An|2(

fE0, an−1(a†)

n−1fE0

)

= 1 (59)

Tenendo presente la (51) rimane

n|An|2(fE0, an−1(a†)

n−1fE0

) = 1

Applicando nuovamente a quest’ultimo risultato la procedura che parte dalla (57) si ottiene

n(n − 1)|An|2(

fE0, an−2(a†)

n−2fE0

)

= 1

e cosı via fino ad otteneren!|An|2(fE0

, fE0) = 1

da cui, assumendo per An una fase uguale a zero:

An =1√n!

(60)

Segue quindi che gli autovettori normalizzati sono espressi da

fEn=

1√n!

(a†)nfE0

(61)

Per essi vale la relazione di ortonormalizzazione

(fEm, fEn

) = δmn (62)

Ora moltiplichiamo la (61) a sinistra per a

afEn=

1√n!a(a†)

nfE0

Tenendo presente la (58) si puo scrivere

afEn=

1√n!

(

(a†)nafE0

+ n(a†)n−1

fE0

)

; afE0= 0 (v. eq. (51))

=n√n!

(a†)n−1

fE0

=√n

(a†)n−1

√

(n− 1)!fE0

43


e quindi, in accordo con la (61):

afEn=√nfEn−1

(63)

Se moltiplichiamo la (61) per a† troviamo

a†fEn=

1√n!

(a†)n+1

fE0=

√n+ 1√

n!√n+ 1

(a†)n+1

fE0=√n+ 1

(a†)n+1

√

(n + 1)!fE0

e quindi, in accordo con la (61):

a†fEn=√n+ 1fEn+1

(64)

L’operatore a, che, come mostra la (63), “distrugge” un quanto di energia, e detto operatoredi distruzione; l’operatore a† e invece detto operatore di creazione perche “crea” un quantodi energia.

Moltiplichiamo la (63) a sinistra per a† e teniamo conto della (64) nella quale poniamon− 1 in luogo di n:

a†afEn=√na†fEn−1

=√n√n− 1 + 1fEn−1+1

= nfEn

L’operatore a†a e detto operatore numero, e viene usualmente indicato con Nop, perche isuoi autovalori sono i numeri interi non negativi n

NopfEn= nfEn

(65)

Notiamo che Nop = a†a = (a†a)† = (Nop)† e un operatore hermitiano.Notiamo anche che Nop non commuta ne con a ne con a†. Infatti, tenendo conto della(38), si ha:

[a,Nop] = [a, a†a] = aa†a− a†aa = (a†a+ 11)a− a†aa = a†aa + a− a†aa = a

[a†, Nop] = [a†, a†a] = a†a†a − a†aa† = a†a†a− a†(a†a + 11) = −a†

e quindi

[a,Nop] = a ; [a†, Nop] = −a† (66)

Completiamo l’analisi dell’oscillatore armonico determinando gli elementi di matrice dia, a†, p e x nella base degli autovettori di H. Moltiplichiamo scalarmente la (63) per fEm

ottenendo, per la (62):

amn = (fEm, afEn

) = (fEm,√nfEn−1

) =√nδm,n−1 (67)

e anche, moltiplicando scalarmente la (64) per fEm

a†mn = (fEm, a†fEn

) = (fEm,√n+ 1fEn+1

) =√n+ 1δm,n+1 (68)

44


Questi sono dunque gli elementi di matrice di a e a† rispettivamente. Esplicitamente si ha:

a, a† =

a00 a01 a02 . . .

a10 a11 a12 . . .

a20 a21 a22 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(69)

percio

a =

0√

1 0 0 0 . . .

0 0√

2 0 0 . . .

0 0 0√

3 0 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

; a† =

0 0 0 0 0 . . .√

1 0 0 0 0 . . .

0√

2 0 0 0 . . .

0 0√

3 0 0 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(70)

Notiamo che a† e la trasposta di a, in accordo con la definizione di matrice coniugatahermitiana.

Se vogliamo determinare gli elementi di matrice di x e p basta riferirsi alle (40). Si trovacosı

Xmn = (fEm, xfEn

) =

√

h

2m0ω

(√n+ 1δm,n+1 +

√nδm,n−1

)

(71)

Pmn = (fEm, pfEn

) = i

√

m0hω

2

(√n+ 1δm,n+1 −

√nδm,n−1

)

(72)

45

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Enrico Borghi SECONDA QUANTIZZAZIONEE. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1 tutti diversi cosicch´e tutte le permutazioni sono non-equivalenti (nel cap. 2 verr`a trattato il caso