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Enrico Borghi SECONDA QUANTIZZAZIONE E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1 tutti diversi cosicch´e tutte le permutazioni sono non-equivalenti (nel cap. 2 verr`a trattato il

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  • Enrico Borghi

    SECONDA QUANTIZZAZIONE

  • E. Borghi - Seconda quantizzazione

    Richiami a studi presenti in “fisicarivisitata”

    Leggendo “Seconda quantizzazione” si incontrano richiami ai seguenti studi

    (a) Reinterpretare l’Elettromagnetismo maxwelliano per spiegare la Meccanica quantistica - Seconda Parte

    (b) La legge fondamentale della Meccanica newtoniana per un sistema di particelle

    che fanno parte di “fisicarivisitata” e che devono essere ben noti a chi si interessa alla Seconda quantizzazione seguendo la presentazione che di questo argomento viene data in questo studio.

    * * *

    Definizioni:

    - “Coniugato hermitiano” o “aggiunto” dell’operatore Ω è l’operatore Ω† definito da

    (ψ,Ω†χ) = (Ωψ,χ)

    dove ψ e χ sono vettori dello spazio dove Ω opera.

    - “Hermitiano” o “autoaggiunto” è l’operatore Ω tale che Ω = Ω† cosicché

    (ψ,Ωχ) = (Ωψ,χ)

    2

  • E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1

    1. Particelle indistinguibili

    Consideriamo un insieme di particelle identiche, cioè aventi le medesime proprietà fisiche come massa, carica elettrica, spin. Di ciascuna di queste particelle è possibile, in Meccanica classica, determinare univoca- mente la traiettoria note la posizione e la velocità iniziali, perciò, una volta assegnato alla posizione iniziale di ognuna un indice che rimanga associato alla particella durante il suo moto lungo la traiettoria univocamente determinata, renderemo in ogni istante ciascuna particella distinguibile da ciascun’altra anche se le particelle sono tutte identiche. Diversa invece è la situazione in Meccanica quantistica perché, per il Principio di Indeter- minazione, è impossibile determinare con precisione, nel medesimo istante, la posizione e la velocità di una particella. Dunque potremo associare a ciascuna delle particelle identiche un indice legato alla sua precisa posizione iniziale, ma la sua velocità iniziale rimarrà del tutto imprecisata e quindi la sua traiettoria sarà indefinita cosicché verrà a mancare la relazione fra indice assegnato alla posizione iniziale e punto della traiettoria in un qualun- que istante successivo a quello iniziale, e quindi non sarà più possibile distinguere ciascuna particella da ogni altra. Dunque: in Meccanica quantistica particelle identiche sono indistinguibili. Questo fatto ha conseguenze di grande importanza. Per rendercene conto iniziamo col considerare un sistema meccanico costituito da due particelle qualisivoglia non interagenti e indichiamo con q(1) e q(2) l’insieme delle coordinate e dello spin delle particelle 1 e 2 rispettivamente. Se le hamiltoniane delle due particelle sono H(1) e H(2), allora l’equazione agli autovalori per l’energia di ogni particella, che supponiamo dotata di spettro discreto, è

    H(k)ψ(k)i (q(k)) = E (k) i ψ

    (k) i (q

    (k)) ; k = 1, 2 (1)

    dove H(k) è l’operatore hamiltoniano associato alla k−esima particella, E(k)i è l’i-esimo autovalore dell’energia della k-esima particella e ψ

    (k) i è l’autovettore ad esso appartenente

    rappresentato nelle coordinate. L’equazione agli autovalori per l’energia del sistema delle due particelle, poiché non vi è interazione, è

    (H(1) +H(2))ψ(q(1), q(2)) = Eψ(q(1), q(2)) (2) Per trovare una soluzione poniamo:

    ψ(q(1), q(2)) = ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)) (3)

    Sostituendo nella (2) si trova:

    H(1) (

    ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)) )

    +H(2) (

    ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2)) )

    = Eψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

    Poiché H(1) opera solo su ψ(1)(q(1)) e H(2) opera solo su ψ(2)(q(2)) segue (

    H(1)ψ(1)(q(1)) )

    ψ(2)(q(2)) + ψ(1)(q(1)) (

    H(2)ψ(2)(q(2)) )

    = Eψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

    ovvero, dividendo per ψ(1)(q(1))ψ(2)(q(2))

    H(1)ψ(1)(q(1)) ψ(1)(q(1))

    + H(2)ψ(2)(q(2)) ψ(2)(q(2))

    = E (4)

    3

  • E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1

    il che mostra che ogni termine a membro sinistro è una costante che indichiamo con E(k), k = 1, 2 cosicché

    H(k)ψ(k)(q(k)) ψ(k)(q(k))

    = E(k)

    e si vede cos̀ı che ψ(k) è del tipo espresso dalla (1), perciò gli autovettori della (2) sono

    ψnl(q (1), q(2)) = ψ(1)n (q

    (1))ψ (2) l (q

    (2)) ; E = E(1)n + E (2) l (5)

    Se le due particelle sono identiche, e quindi, per quanto si è detto all’inizio di questo capitolo, quantisticamente indistinguibili, gli autovettori dell’energia sono ancora espressi

    dalla (5), dove però ora occorre eliminare da ψ (1) n l’indice (1) e da ψ

    (2) l l’indice (2):

    ψnl(q (1), q(2)) = ψn(q

    (1))ψl(q (2)) ; E = En + El (6)

    Infatti non si può dire che la particella 1 ha coordinate q(1) e la particella 2 ha coordinate q(2), ma solo che “una” particella ha coordinate q(1) e “l’altra” ha coordinate q(2), come correttamente la (6) esprime. Ora notiamo che se nella (6) scambiamo q(1) con q(2) la ψnl cambia perché ψn(q

    (1))ψl(q (2))

    è diverso da ψn(q (2))ψl(q

    (1)), mentre l’autovalore E rimane invariato. Ciò significa che vi è degenerazione, perché a un medesimo autovalore corrispondono due autovettori. Si tratta di una degenerazione di scambio. In generale, per N particelle, a un medesimo autovalore corrispondono tanti autovettori quante sono le possibili permutazioni non-equivalenti delle particelle. Le permutazioni sono tutte non-equivalenti se gli stati in cui le particelle si trovano sono tutti diversi, cosicché in ciascuno stato si trova una sola particella. In questo caso il numero delle permutazioni è N !. Se vi sono stati in cui si trova più di una particella, vi saranno permutazioni equivalenti: sono quelle corrispondenti a scambi di particelle che si trovano nel medesimo stato.

    Esempio.

    Consideriamo N = 3 particelle identiche che chiamiamo p1, p2, p3; le particelle p1 e p2 si trovano nello stato 1, la particella p3 si trova nello stato 2. Le permutazioni di p1, p2, p3 sono 6:

    p1, p2, p3

    p2, p1, p3

    p2, p3, p1

    p1, p3, p2

    p3, p2, p1

    p3, p1, p2

    Di queste le prime due sono equivalenti perché comportano lo scambio di p1 con p2 che si trovano nel medesimo stato 1 e sono indistinguibili; anche le seconde due sono equi- valenti per il medesimo motivo cos̀ı come anche le terze due. Dunque le permutazioni non-equivalenti sono 3.

    Assumiamo, per evitare di introdurre una complicazione non indispensabile nella presen- tazione del concetto di “distinguibilità”, che gli stati in cui le particelle si trovano siano

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  • E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 1

    tutti diversi cosicché tutte le permutazioni sono non-equivalenti (nel cap. 2 verrà trattato il caso generale in cui alcune particelle possono trovarsi nel medesimo stato cosicché vi sono permutazioni equivalenti e quindi il numero di quelle non-equivalenti è minore di N !). Dunque nel caso di N particelle che si trovano tutte in stati diversi la (6) diviene una relazione del tipo seguente

    ψ(q(1), q(2), . . . , q(N)) = 1√ N !

    p

    cpψp (7)

    dove ψp è l’autovettore ottenuto effettuando la p-esima permutazione, cp è una costante

    associata alla p-esima permutazione e 1/ √ N ! è un fattore di normalizzazione.

    La degenerazione può essere rimossa osservando che, in conseguenza della indistinguibilità delle particelle, uno scambio può mutare la ψ al più per un fattore di fase. Se indichiamo con P l’operatore di permutazione, si dovrà avere

    Pψ(q(1), . . . , q(N)) = eiαψ(q(1), . . . , q(N))

    Scambiando ancora una volta si deve tornare allo stato iniziale cioè

    PPψ = ψ

    ma PPψ = Peiαψ = eiαPψ = eiαeiαψ, perciò ei2αψ = ψ e quindi

    ei2α = 1

    da cui eiα = ±1

    perciò Pψ(q(1), . . . , q(N)) = ±ψ(q(1), . . . , q(N))

    Si può cos̀ı concludere affermando che: per qualsivoglia sistema di particelle identiche non possono esservi che due tipi di relazioni (7): una, detta “simmetrica”, si ottiene ponendo nella (7) tutte le cp uguali a 1:

    ψs(q (1), q(2), . . . , q(N)) =

    1√ N !

    p

    ψp (8)

    l’altra, detta “antisimmetrica”, si ottiene attribuendo a cp il valore +1 alle permutazioni pari e il valore −1 alle permutazioni dispari:

    ψa(q (1), q(2), . . . , q(N)) =

    1√ N !

    p

    (−1)pψp (9)

    Ad esempio, se la ψp è quella espressa dalla (6) si ha:

    ψs(q (1), q(2)) =

    1√ 2!

    {

    ψn(q (1))ψl(q

    (2)) + ψn(q (2))ψl(q

    (1)) }

    (10)

    ψa(q (1), q(2)) =

    1√ 2!

    {

    ψn(q (1))ψl(q

    (2))− ψn(q(2))ψl(q(1)) }

    (11)

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  • E. Borghi - Seconda quantizzazione - Cap. 2

    2. Rappresentazione di vettori ed operatori nei numeri di occupazione

    2.1 Sistema di particelle identiche; numero di particelle costante

    Consideriamo un sistema di N particelle non interagenti; assumiamo che le particelle siano identiche e perciò, come sappiamo dal Cap. 1, quantisticamente indistinguibili e indichiamo con |χ〉 lo stato del sistema. Un modo di esprimere |χ〉 nella rappresentazione delle coordinate parte dalla considerazione degli autovettori |λ1〉, |λ2〉, . . . di un insieme completo di osservabili relative a una singola particella del sistema (con autovalori λ1, λ2, . . . essendo inteso che λi indica s