Ensayo_MT

MATEMÁTICAENSAYO PREPARADO POR PREUNIVERSITARIO UC

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial

1

ENSAYONACIONAL PSU

MATEMÁTICA



2

PRUEBA DE MATEMÁTICAFORMA: 946-D

INSTRUCCIONES

ES DE SUMA IMPORTANCIA QUE PRESTE ATENCIÓN A TODAS LAS INSTRUCCIONES QUE SELE ENTREGAN, TANTO EN EL FOLLETO COMO EN LA HOJA DE RESPUESTAS.

1. Esta prueba consta de 70 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letrasA;B;C;D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Dispone de 2 horas y 15 minutos para responderla.

3. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado.Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Sele dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4. Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que estácontestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágaloexclusivamente con lápiz grafito Nº2 o portaminas HB.

5. Lea atentamente las instrucciones específicas de cada sección de la prueba, en donde seexplica la forma de abordar las preguntas.

6. Responda las preguntas sin tratar de adivinar, porque las respuestas erróneas disminuyen supuntaje.

7. Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente susrespuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluaciónEXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ellasolamente los datos pedidos y las respuestas.

9. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10. Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SUEXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que seentreguen los resultados.

11. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollode los ejercicios.

12. Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

13. Antes de responder las preguntas Nº 64 a la Nº 70 de esta prueba, lea atentamente lasinstrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 63. ESTAS INSTRUCCIONES LEFACILITARÁN SUS RESPUESTAS.



3

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

< : es menor que : es congruente con

> : es mayor que ~ : es semejante con

: es menor o igual a : es perpendicular a

: es mayor o igual a : es distinto de

: ángulo recto // : es paralelo a

: ángulo : pertenece a

log : logaritmo en base 10 AB : trazo AB

: conjunto vacío x : valor absoluto de x

x : parte entera de x n! : el factorial de n



4

1) Si P=0,003; Q=0,03 y R=0,3, entonces el valor deP

QR es

A) 0,003

B) 0,03

C) 0,3

D) 3

E) 9

2) En la secuencia siguiente:1 2 3

3, , 4, , 5, , ...2 3 4

, la diferencia

entre los términos octavo y séptimo es

A)345

B)265

C)345

D)265

E)105

3) Un grupo de amigas gastó $10.000 en un asado. La mitad lo gastó encarne y el resto de la siguiente forma: la mitad se gastó en vinos ybebidas, un cuarto en frutas y el resto en ensaladas. ¿Cuál(es) de lasaseveraciones siguientes se desprende(n) de la información dada?

I) Gastaron en carne el doble que en vinos y bebidas.II) El gasto en frutas y ensaladas fue el mismo que en vinos y bebidas.III) El 25% del total se gastó en frutas y ensaladas.

A) Sólo IIB) Sólo I y IIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III



5

4) En un jardín infantil, por cada cuatro niñas hay un niño. Si el total dealumnos es 40, ¿cuántas son las niñas?

A) 8

B) 10

C) 30

D) 32

E) 36

5) Una familia compuesta de 20 personas, se reúnen a almorzar. Si faltan5 de sus integrantes, ¿qué porcentaje estuvo presente en el almuerzo?

A) 20%

B) 25%

C) 30%

D) 50%

E) 75%

6) Si en un cajón se mezclan manzanas maduras y verdes en la razón 3 :1,respectivamente, entonces el número de kilos de manzanas madurasque hay en 32 kilos de mezcla es

A) 24

B) 18

C) 12

D) 8

E) 6



6

7) En una macedonia compuesta por duraznos, frutillas, peras y manzanas,las manzanas con la peras están en la razón 4 : 3. Las manzanas conlas frutillas en la razón 1 : 2 y las peras con los duraznos en la razón 3 :2. ¿En qué razón están los duraznos con las frutillas?

A) 2 : 3

B) 3 : 8

C) 1 : 4

D) 1 : 2

E) 3 : 4

8) El goteo de un grifo ha llenado34

de una botella en 2 minutos, entonces

el resto de la botella se llenará en

A) 90 segundos

B) 75 segundos

C) 60 segundos

D) 45 segundos

E) 40 segundos

9) En cierta empresa, la gerencia acordó con el sindicato de trabajadores,una política de aguinaldo inversamente proporcional a la remuneraciónbruta. Si el jefe de la división, que tiene un sueldo bruto de $ 1.200.000recibirá un aguinaldo de $ 20.000, entonces el aguinaldo que recibirá unoperario cuyo sueldo bruto es $ 480.000 es

A) $ 8.000

B) $ 24.000

C) $ 50.000

D) $ 80.000

E) $ 120.000



7

10) Si x 0 , el valor numérico de la expresión3403x 16

, es

A) 163

B) 183

C) 1123

D) 181

E) No se puede determinar sin el valor de x

11) El valor de la variable (incógnita) “y” dado por la ecuación1 1 1x y z ,

cuando x=6 y z=3 está dado por

A) 18B) 9

C) 6

D) 2

E) 1

12) El cuadrado de

23 a b

es

A)2 2

4

9a 9b

B)2 2

4

6a 6b

C)2 2

4

9a 9ab 9b

D)2 2

4

9a 18ab 9b

E)2 2

4

9a 18ab 9b



8

13) La ecuación irracional x x 1 1 admite como raíz(ces) osolución(es) a

A) sólo al 1B) sólo al 2C) ambos, al 1 y al 2D) ni al uno ni al 2E) no tiene solución (la solución es el conjunto vacío)

14) Si fg 0 , entonces la fracción1

1 1

f

f g

, sin exponentes negativos, es

equivalente a

A) g

B)g

f g

C)f g

f

D)f

f g

E)f g

g

15) ¿Cuál es la expresión equivalente a 4 32 ?

A) 342

B)342

C)432

D)341

2

E)431

2



9

16) Si x 0 y x 1 , entonces al simplificar la expresiónX 1

11

X

, se obtiene

A) x

B) x

C) x 1

D)1x

E)1x

17) Sea S el conjunto solución de la ecuación 2x 8x q 0 . Si 2 es unelemento de S, entonces otro elemento de S es

A) 0

B) 6

C) 8

D) 12

E) faltan datos para determinarlo

18) La expresión 2 2x 4xy ky corresponde al cuadrado de un binomiopara un cierto valor k. Éste debe ser

A) k = 1

B) k = 2

C) k = 4

D) k = 4

E) k = 0



10

19) Al resolver la ecuación literal a(x + b a ) = b(x + a b ), con a b ,se llega a que la solución para x es

A) a + b

B) a b

C) ab

D) a

E) b

20) La cifra de las decenas de un número de dos dígitos es “d” y la de lasunidades es “u”. El número excede a la cifra de sus decenas en 34. Lainformación anterior nos permite escribir la siguiente ecuación para “d”y “u”

A) du d = 34

B) du 10d = 34

C) 10d + u + 34 = d

D) 9d + u = 34

E) 9u + d = 34

21) Al desarrollar y simplificar 2q p 4qp , se obtiene

A) 2p q

B) 2 2q 2 p

C) 2 2p 4pq q

D) 2q 4pq 2p

E) 2q 2pq 2p



11

22) Al resolver la ecuación2

2

x x 1 x 1x 1 x 1 x 1

, el conjunto de las

soluciones que se obtiene es

A) 1

B) 2

C) 1, 2

D) 1, 2

E) 1, 1, 2

23) Si n es un número natural par, entonces ¿cuál(es) de las siguientesexpresiones representa(n) también un número par?

I) 3n n 1

II) n 1 n 1

III) n n 1

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo I y IIE) Sólo I y III

24) El valor de x en la ecuación 9x + 1 = 24 + 9x es

A) 1

B) 2-1

C) 3-1

D) 4-1

E) 6-1



12

25) Respecto de los gráficos de las funciones f x x 1 y g x 1 , en

un mismo sistema cartesiano, es correcto afirmar que

I) se intersectan en dos puntos distintos.

II) forman un triángulo cuya área es 4.

III) ambas tienen el mismo dominio.

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

26) El largo de un rectángulo es el doble del ancho. La función que permitecalcular el perímetro del rectángulo si se conoce su ancho x es

A) f(x) = 2x

B) f(x) = 4x

C) f(x) = 6x

D) f(x) = 8x

E) f(x) = 10x

27) a y b son dos números reales positivos cualesquiera. Si se definea b a b , entonces 1 2 3 3

I) 7 11 II) 29 3 III) 1 17

¿Cuál(es) de las afirmaciones anteriores es(son) correcta(s)?

A) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo I y IID) Sólo I y IIIE) I, II y III



13

28) El gráfico de la función 2y 2x 6x 5 es simétrico respecto de larecta

A)3

x2

B) x 3

C)2

x3

D) y 3

E) y x

29) La ecuación de la recta que pasa por el punto P 2, 6 y es

perpendicular a la recta x – 3y = 6 es

A) x 3y 2 0

B) 3x y 1 0

C) 3x y 1 0

D) 3x y 0

E) x 3y 2 0

30) Un agricultor cosecha primero un cierto número entero x de sacos detrigo. Vende 80 de ellos y le quedan más de la mitad. Luego de estaventa, cosecha 5 sacos más y vende 26 sacos, quedándole menos de61 sacos. ¿Cuántos sacos tenía al principio?

A) 161

B) 162

C) 163

D) 164

E) 165



14

31) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde al de la función

2f x 2 x 2 ?

A) B) C)

D) E)

32) Si 3, t es un punto de la recta con ecuación y 5x 4 , entonces el

valor de t es

A) 11

B)15

C)15

D) 11

E) 19



15

33) ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta x y 1 0 ?

34) En la solución del sistemax y 2

3x y 1

, x =

A)12

B)34

C) 3

D)12

E)34

A)

0 X

Y

C)

0 X

Y

B)

0 X

YE)

0 X

Y

D)

0 X

Y



16

35) Si 22log 7 1 log 3 5 1 x x ; ¿cuánto vale x?

A) 16

B) 12

C) 11

D) 7/4

E) 0,57

36) La figura está formada por un rectángulo cuyas dimensiones son talesque el largo es el doble del ancho que mide 2 cm y dos semicírculos. Elárea de la figura es

A) 8 1 cm2

B) 2 4 cm2

C) 4 2 cm2

D) 4 2 cm2

E) 8 cm2

37) El perímetro de un rombo que tiene un ángulo de 50° y cuya diagonalmenor mide 13 cm, es

A)

6,5 cm

sen 25

B)

13 cm

sen 50

C)

13 cm

sen 25

D)

26 cm

sen 50

E)

26 cm

sen 25

50°

13



17

38) Si en la función 2f x 6 sen x 7 sen x 10 , consideramos como

variable la función sen (x), entonces al factorizar esta función resulta

A) f(x) = (3 sen(x) 2) (2 sen(x) + 5)

B) f(x) = (3 sen(x) + 2) (2 sen(x) 5)

C) f(x) = (6 sen(x) + 2) (sen(x) 5)

D) f(x) = (6 sen(x) + 5) (sen(x) 2)

E) f(x) = (6 sen(x) 5) (sen (x) + 2)

39) En la figura se muestran dos circunferencias tangentes entre sí, dosrectas que parten desde un punto A, secantes a las circunferencias, yuna tangente a ambas circunferencias que parte de A. ¿Cuál(es) de lasproposiciones siguientes es(son) siempre verdadera(s)?

I) AB AC AD AE II) AD AB

III) DAFΔ BAF


40) Un obrero que se encuentra a 6 m de un poste de alumbrado proyectauna sombra de 1 m de largo. Si la estatura del obrero es 1,8 m,entonces la altura del poste es

A) 10,80 m

B) 12,60 m

C) 13,89 m

D) 15,40 m

E) 18,89 m

A

D

E

F

C

B

6 m 1 m



18

41) Dados los triángulos escalenos ABC y A’B’C’ de la figura adjunta, consus elementos indicados en ellos. Podemos saber que el triángulo ABCes congruente con el triángulo A’B’C’ (en ese orden) si se cumple que

A) ' y '

B)' '

C)AB BC CA

A 'B ' B 'C ' C 'A '

D) ' yAC AB

A 'C ' A 'B '

E) ' y ' y AB A 'B '

42) ¿Cuál de las siguientes opciones representa una rotación de la figura,con centro en el punto P y con un ángulo de 135°?

A) B) C)

D) E)

A B

C

A’ B’

C’

α β α' β'

P

PP P

P P



19

43) Francisca tiene una tarjeta cuyas dimensiones son 8 y 10 cm. Si deseahacer una ampliación de esta tarjeta mediante una homotecia de razón3 :1, entonces la superficie de la tarjeta ampliada será

A) 24 cm2

B)803

cm2

C) 240 cm2

D) 720 cm2

E) 800 cm2

44) En el triángulo ABC de la figura M, N y P son puntos medios de los ladosrespectivos. ¿Cuál(es) de las proposiciones siguientes es(son) siempreverdadera(s)?

I) NPM es semejante al ABC .II) NPM es congruente con el PNC .

III) MP es bisectriz del AMN .

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo I y II

E) I, II y III

45) Un cuadrado de lado 6 cm se hace girar en torno a su diagonal. Elvolumen del sólido así engendrado es, en centímetros cúbicos

A) 36

B) 36 2

C) 72

D) 72 2

E) 72 2

A

C

BM

NP



20

46) En la figura adjunta, el triángulo ABC es rectángulo en C. L y M son lospuntos medios de los lados AB y BC, respectivamente. Entonces siAB 60 cm , el segmento GL mide

A) 10 cm

B) 12 cm

C) 15 cm

D) 20 cm

E) 24 cm

47) En la figura adjunta, AB // CD // EF

. Si AC = 3 cm, CE = 9 cm yDF 6 cm , entonces BF =

A) 12 cm

B) 10 cm

C) 5,5 cm

D) 8 cm

E) 2 cm

48) En la figura adjunta, ABCD es un rectángulo de lados AB = 8 cm yBC 6 cm . Si se traza la diagonal AC , y BF AC , DE AC , entoncesEF mide

A) 1,8 cm

B) 2,8 cm

C) 3,2 cm

D) 3,6 cm

E) 6,4 cmA B

D

E

CF

C

A B

G

L

M

A

C

E

B

D

F



21

49) Mediante una reflexión el punto 3, 4 se transformó en el punto

3, 4 . La ecuación del eje de reflexión es

A) y = 0

B) x = 0

C) y = 4

D) x = 4

E) y = x

50) En la circunferencia de centro O de la figura, se tiene que CE AB y AC :CB 2 :1 . La medida del ángulo x es

A) 30°

B) 45°

C) 60°

D) 90°

E) 120°

51) Si en el espacio tridimensional, a un círculo con centro en el punto 0,2,2 y radio 3 situado en el plano YZ, se le aplica una traslación dada

por el vector 4,0,0 , entonces el volumen del cuerpo que se genera es

A) 12

B) 24

C) 36

D) 48

E) 144

D

OE

BA

Cx



22

52) En el ABC de la figura, se tiene que AD : DB = AE : EC. Entonces

A) 5°

B) 10°

C) 17,5°

D) 35°

E) 75°

53) Al aplicar al triángulo ABC una reflexión respecto del lado BC , se obtuvoque la figura ABA ' es un triángulo isósceles con altura BC , entonces essiempre cierto que

A) el triángulo ABC es rectángulo en C.

B) el triángulo ABC es equilátero.

C) AC BC

D) el triángulo ABC es escaleno

E) el triángulo ABC es acutángulo

54) Respecto del pentágono regular de la figura adjunta, es correcto afirmarque

I) tiene 5 ejes de simetría.II) sus ángulos interiores son agudos.

III) con él no es posible cubrir completamente (teselar) el plano.


A

C

BD

E

35°70°



23

55) Se tiene una bolsa llena de bolitas de piedra y de madera. Si el total sonn + 2 bolitas, y n - 3 son de madera. ¿Cuál es la probabilidad de que alsacar una bolita, ésta sea de piedra?

A) 4n

B) 5n

C) n-1

D)5

n 2

E)5n 1

6

56) En un juego se utiliza la ruleta de la figura, ¿cuál es la probabilidad deque un lanzamiento resulte número par o sector en blanco?

A)78

B)68

C)58

D)48

E)38

57) Un liceo tiene 1.500 alumnos. Si la probabilidad de que un alumno de

este liceo esté en 4° Medio es15

, ¿cuántos alumnos del liceo no están

en 4° medio?

A) 1.300

B) 1.200

C) 900

D) 600

E) 300

3

4 2

3

2

11

2



24

58) En un centro de investigación genética el 65% de los investigadores sonmédicos, el 45% biólogos y el 30% tiene ambas especialidades. Si seselecciona un investigador al azar ¿cuál es la probabilidad de que eseinvestigador sea médico pero no biólogo?

A)720

B)1320

C)320

D)15

E)12

59) En una región del sur de Chile la lluvia caída durante los cuatro primerosmeses del año ha sido: 5 cm, 3 cm, 6 cm y 12 cm. ¿Cuántoscentímetros deberán caer en el siguiente mes, para que la mediamensual de enero a mayo sea 6,5 cm?

A) 5,0B) 5,5C) 6,0D) 6,5E) 7,0

60) Se lanza un dado con 12 caras numeradas del 1 al 12. ¿Cuál es laprobabilidad de obtener un número par y mayor que 7?

A)12

B)13

C)14

D)16

E)17



25

m2

añoM A B C

N° de m2 construidospor año

61) Al observar la tabla de distribución de frecuencias siguiente, laalternativa falsa es

Sueldos (miles de $) Empleados 8 – 12 213 – 17 318 – 22 523 – 27 828 – 32 633 – 37 4

A) existen 2 empleados que ganan entre 8 y 12 mil pesos.B) existen 10 empleados que ganan menos de 23 mil pesos.C) existen 18 empleados que ganan más de 27 mil pesos.D) existen 13 empleados que ganan más de 17 mil y menos de 28 mil

pesos.E) el total de empleados considerados en este estudio es de 28.

62) La actividad en el rubro construcción está fuertemente ligada a laactividad económica de nuestro país. De acuerdo al gráfico siguiente, sepuede inferir que

I) entre los años A y B, la economía estuvo estancada (no creció).II) entre los años B y C la economía cayó.

III) el período comprendido entre los años M y A fue de crecimientoeconómico.

De estas afirmaciones, es(son) correcta(s)

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo II y III

E) I, II y III



26

Pesos de un grupo de estudiantes

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Núm

ero

de e

stud

iant

es

2 3 4 5 6 871

Años en el Colegio de un grupo deestudiantes

Años en el Colegio

63) En el gráfico se representa la distribución del número de años que tieneen el Colegio un grupo de estudiantes. De acuerdo con éste, ¿cuál(es)de la siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

I) La moda es 6 años.

II) La mediana tiene el mismo valor que la moda.

III) La media aritmética (el promedio) es 5.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III



27

Instrucciones para las preguntas N° 64 a la N° 70

En las preguntas siguientes no se le pide que dé la solución al problema, sino quedecida si los datos proporcionados en el enunciado del problema más los indicadosen las afirmaciones (1) y (2) son suficientes para llegar a esa solución.

Usted deberá marcar en la hoja de respuestas la letra:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a lapregunta; pero la afirmación (2) por sí sola no lo es;

B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a lapregunta; pero la afirmación (1) por sí sola no lo es;

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientespara responder a la pregunta; pero ninguna de las afirmaciones por sí sola essuficiente;

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2), si cada una por sí sola es suficiente pararesponder a la pregunta;

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientespara responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a lasolución.

Ejemplo: P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000. ¿Cuál es el capital de Q?

(1) Las partes de P y Q están en razón de 3 : 2.(2) P tiene $ 2.000 más que Q.

A) (1) por sí solaB) (2) por sí solaC) Ambas juntas, (1) y (2)D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)E) Se requiere información adicional

En este ejemplo usted puede observar que con los datos proporcionados en elenunciado más los indicados en la condición (1) es posible llegar a la solución, enefecto:

P : Q = 3 : 2, luego (P + Q) : Q = 5 : 2, de donde$10.000 : Q = 5 : 2

Q = $ 4.000

Sin embargo, también es posible resolver el problema con los datos proporcionadosen el enunciado (P + Q = $ 10.000 ) y en la condición (2) (P = Q + $ 2.000).

Por lo tanto, usted debe marcar la clave D) (1) ó (2), cada una por sí sola.



28

64) La igualdad 2a b a b se verifica si

(1) a y b son números reales positivos

(2) a,b y a b .

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) ambas juntas, (1) y (2).

D) cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

65) María Teresa compró una chaqueta en una liquidación de temporada.¿Cuánto pagó por su compra?

(1) $ 5.000 corresponden al 20% de descuento en el precio de la

chaqueta.

(2) Antes de la liquidación la chaqueta costaba $ 25.000.








29

66) En la figura, ¿cuál es la longitud de la circunferencia de centro O?

(1) La altura OD del triángulo AOB mide 3 cm.

(2) El AOB es equilátero de área 3 cm2.






67) Pedro, Juan y Diego organizaron un evento y deben repartirse los$600.000 que se obtuvieron de utilidad. Si Diego recibe lo mismo quePedro y Juan juntos, ¿cuánto recibe cada uno?

(1) Pedro recibe la mitad de lo que recibe Juan.

(2) Diego recibe el triple de lo que recibe Pedro.






O

D BA



30

68) ¿Cuánto mide la diagonal del rectángulo ABCD de la figura?

(1)1

sen2

(2) AC 2 BC






69) Para que la ecuación de segundo grado 2ax bx c 0 tenga susraíces o soluciones iguales debe cumplirse necesariamente que

(1) 2b 4ac 0 .

(2) el trinomio 2ax bx c debe ser necesariamente un trinomio

cuadrado perfecto con coeficientes enteros.






A

C

B

D



31

70) Una caja contiene 100 fichas de colores: blancas, azules y rojas.¿Cuántas fichas azules hay en la caja?

(1)La probabilidad de sacar una ficha que no sea blanca es25

.

(2)La probabilidad de sacar una ficha roja es110

.








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