소프트웨어로 배우는 수학

컴퓨터로 척척

정다각형 그리기

정15각형을 그려보세요. 정삼각형이나 정사각형, 정육각형만 돼도 각도기와

자를 이용해서 쉽게 정다각형을 그릴 수 있습니다. 그런데 정15각형을

그리려고 하니 조금 막막합니다. 정15각형의 한 내각의 크기가 얼마인지

모르기 때문입니다. 사실 한 내각의 크기를 알아도 15번이나 각도를

재야 하기 때문에 쉽지 않습니다. 만약 정30각형, 정50각형이라고 하면

어떨까요? 훨씬 더 어렵겠지요. 이럴 때 필요한 것이 컴퓨터! 엔트리를

이용해 정다각형을 그리는 프로그램을 만들어 봅시다.

글 조가현 기자(gahyun@donga.com) 콘텐츠·도움 김재휘(엔트리교육연구소 연구원)

일러스트 엔트리교육연구소

편집자주

손으로 풀기 어려운 수학 문제

를 해결하는 프로그램을 만드

는 활동을 통해 수학과

소프트웨어 두 마리 토끼를

한 번에 잡으세요!

엔트리에 대해 궁금하다면

play-entry.org로 놀러 오세요!

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75

정다각형과 관련해서 헷갈리는 내용

을 문제로 출제했습니다. 2번과 5번만

틀렸고 나머지는 맞습니다. 흔히 정다

각형을 모든 변의 길이가 같은 도형으

로 알고 있습니다. 하지만 네 변의 길

이가 모두 같은 마름모는 안쪽 각의 크

기가 모두 같지 않아 정다각형이 아닙

니다. 정다각형의 정확한 정의는 모든

변의 길이가 같고, 모든 각의 크기가

같으며, 각각의 변이 자기 자신과 교차

하지 않는 다각형을 말합니다.

정다각형의 한 꼭짓점에서 이웃하는

두 변으로 이뤄진 각을 내각이라고 합

니다. 쉽게 말하면 정다각형 안쪽에 있

는 각이죠. 한 정다각형에 대해 이 각

은 항상 그 크기가 같습니다.

정다각형의 한 꼭짓점에서 대각선을

모두 그리면 삼각형이 ‘정다각형의 변

의 개수(n)-2’만큼 생깁니다. 정육각형이라면 삼각형이 4개, 정십각형이라면 삼각형 8개

생기지요. 그런데 삼각형의 내각은 합은 항상 180°이기 때문에 정다각형의 내각의 총합은

180×(n-2)가 됩니다. 따라서 정다각형의 한 내각의 크기는 {180×(n-2)}÷n입니다.

내각과 달리 바깥쪽에 있는 외각은 정다각형의 한 내각의 꼭짓점에서 한 변과 그 변에 이

웃한 변의 연장선이 이루는 각입니다. 따라서 정다각형의 한 꼭짓점에서 외각과 내각의 합

은 항상 180°이지요. 이 성질을 이용하면 한 외각의 크기를 구하는 공식을 알아낼 수 있습니

다. 모든 정다각형의 한 꼭짓점에서 내각과 외각의 합은 180°이고, 이런 내각과 외각이 n개

씩 있으므로 n×(내각+외각)=n×180°입니다.

여기에 내각 공식을 대입하면 n×[[{180°×(n-2)}÷n]+외각]=n×180°가 되고, 결국 정

다각형의 한 외각은 360°÷n이 되지요. 또 정다각형의 모든 외각의 합은 항상 360°가 됩니

다. 정다각형의 한 외각은 n이 커지면 커질수록 그 크기가 0°에 가까워집니다. 즉 변이 많으

면 많을수록 정다각형은 원에 가까워집니다.

오개념 탈출, 정다각형

중국의 컴퓨터과학자 페이창 워양과 펑 딘, 산창 왕이 만든 컴퓨터 그래픽 작품.

세 과학자들은 복잡한 함수를 이용해서 정다각형 작품을 만들었습니다.

정다각형 ◦×퀴즈

➊ 정다각형은 모든 내각의 크기가 같습니다.

➋ 모든 변의 길이가 같은 다각형은 정다각형입니다.

➌ 정다각형의 외각의 합은 항상 360°입니다.

➍ 정다각형의 한 외각의 크기가 작을수록 원에 가까워집니다.

➎ 360°에서 내각을 뺀 나머지가 외각입니다.

IEEE Computer Graphics

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정다각형 그리는 프로그램 만들기정다각형의 외각을 구하는 공식을 이용해서 3 이상의 숫자를 입력하면 척척척 알아서

정다각형을 그려주는 프로그램을 만들어 봅시다. 3을 입력하면 정삼각형을, 6을 입력하면

정육각형을, 20을 입력하면 정이십각형을 그리는 프로그램이랍니다.

76 수학동아

정삼각형 그리기

정다각형을 그리기에 앞서 정삼각형과 정사각형을 그리는

프로그램부터 만들어 봅시다.

알고리즘 스케치

➊ 한 변을 그립니다.

➋ 꼭짓점에서 이동 방향을 삼각형의 외각만큼

회전합니다. 삼각형의 외각은 360°÷3=120°입니다.

➌ ➋번의 과정을 3번 반복해 삼각형을 그립니다.

➍ 그리기를 멈추고 연필을 숨깁니다.

엔트리 프로그래밍

엔트리봇을 삭제하고 를 누른 뒤 <물건>에서

‘연필’을 선택합니다. 연필심 끝에서 그림이 그려지도록

연필의 중앙에 있는 중심점을 연필심으로 옮깁니다.

‘시작하기’ 버튼을 누르면 그리기를 시작할 수 있도록

블록과 <붓>에서

블록을 차례로 가지고 와서 조립합니다. 그러면 연필의

이동경로가 그려집니다.

1

2삼각형의 외각 120°

삼각형의 외각 120°

‘시작하기’ 버튼을 누르면 그리기를 시작할 수 있도록

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정다각형 그리는 프로그램을

만드는 과정을 동영상으로 확인해

보세요. ALLeVIEW 앱으로 77쪽을

스캔하면 동영상을 볼 수 있습니다.

를 누르면 실행 속도를 조절할 수 있습니다. 최저로

낮추고 삼각형이 그려지는 과정을 살펴보세요.

정삼각형 그리기의 코드를 조금만 수정하면 정사각형을

그릴 수가 있습니다. 정사각형은 변이 4개이기 때문에

반복하기를 4번으로 바꾸고 이동 방향을 정사각형의

외각인 360÷4로 수정하면 됩니다.

길이가 100인 선분을 그리기 위해서 <움직임>에서

블록을 가지고 와서 ‘숫자 10’을

‘숫자 100’으로 바꿉니다.

블록을 이용해 이동 방향을 삼각형의 외각, 즉

360°÷3만큼 회전시킵니다. 이때 라는 내부

블록을 지우고 블록을 그 안에 넣은 뒤 숫자를

바꿔야 합니다. 3개의 선분을 그리기 위해 이 과정을

3번 반복합니다. 따라서 <흐름>의 블록을

이용하고, 블록의

아래에 조립합니다.

삼각형이 그려지고 나면 그리기를 멈추고 연필을

숨깁니다. 블록은 <생김새>에 있습니다

3 5

6

4

정삼각형 그리기의 코드를 조금만 수정하면 정사각형을

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78 수학동아

정다각형 그리기

정삼각형과 정사각형을 그리는 프로그램을 응용해 수를

입력하면 그 수를 변의 개수로 갖는 정다각형을 그리는 프

로그램을 만들어 봅시다.

알고리즘 스케치

➊ 어떤 정다각형을 그릴지 묻고, 대답을 변수 n에 저장합

니다.

➋ 한 변을 그립니다.

➌ 꼭짓점에서 그릴 선분의 이동 방향을 정n각형의 외각만

큼 회전합니다. 정n각형의 외각은 360÷n입니다.

➍ ➋번과 ➌번 과정을 n번 반복해서 정n각형을 그립니다.

➎ 그리기를 멈추고 연필을 숨깁니다.

엔트리 프로그래밍

‘시작하기’를 누르면 어떤 정다각형을 그릴지 묻기 위해

<자료>에서 블록을 가지고

옵니다. 입력 받은 수를 저장할 변수 ‘n’을 만듭니다.

변수는 [속성] 탭에서 만들 수 있습니다. 그리고 변수 n을

대답으로 정합니다.

이제 정삼각형과 정사각형 그리기 코드와 거의

같습니다. 단지 선분을 n번 그리도록 반복하기

블록의 내부에 블록을 넣고, 회전하기 블록에

정다각형의 외각 공식 360°÷n을 써 넣으면 됩니다.

1

2

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앞에서 만들어 본 프로그램에는 단점이 하나 있습니다. 숫자가 커지면

정다각형이 화면 밖으로 벗어난다는 점입니다. 이 문제도 해결하고,

정다각형을 이용해서 멋진 패턴도 디자인해 봅시다.

도전! 정다각형 패턴 디자인

힌트 1n이 커질수록 한 변의 길이는 작아져야 합니다.

힌트 2정삼각형일 때 한 변의 길이가 100이 되는 것을

기준으로 생각해 봅니다.

힌트 1~번 반복하기를 사용해 정다각형을 여러 개를 그립니다.

힌트 2도형을 한 번 그릴 때마다 이동 방향을 조금씩 회전합니다.

힌트 3360°를 도는 동안 30개의 도형을 그리려면 이동 방향을 얼마만큼

회전해야 할지 생각해 봅니다.

정삼각형 30개로 그린 패턴. 정오각형 12개로 그린 패턴.

미션1

미션2

현재 프로그램은 6 이상의 숫자를 입력하면 화

면을 벗어나 정다각형이 그려집니다. 한 변의 길

이가 100인 정다각형을 그리기 때문입니다. 입

력받은 수가 아무리 커도 화면을 벗어나지 않고

정다각형이 그려지도록 만들어 봅시다.

정다각형을 여러 개 그려 예쁜 패턴을 만들어 봅

시다. 우선 정삼각형 30개와 정오각형 12개로

패턴을 만듭니다. 그리고 나만의 패턴을 만들어

봅시다.

스마트폰으로 QR코드를 읽으면

미션의 예시 답안을 확인 할 수

있습니다.

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