行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

逆斷層圍岩之力學特性與數值分析應用研究(2/2)

研究成果報告(完整版)

計 畫 類 別 ：個別型

計 畫 編 號 ： NSC 95-2221-E-002-263-

執 行 期 間 ： 95年 08 月 01 日至 96年 07 月 31 日

執 行 單 位 ：國立臺灣大學土木工程學系暨研究所

計 畫主持人：鄭富書

計畫參與人員：學士級-專任助理：江惠新

博士班研究生-兼任助理：陳正旺

碩士班研究生-兼任助理：張來福

報 告 附 件 ：國外研究心得報告

出席國際會議研究心得報告及發表論文

處 理 方 式 ：本計畫可公開查詢

中 華 民 國 96年 11 月 10 日

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫 成 果 報 告 □期中進度報告

（計畫名稱：逆斷層圍岩之力學特性與數值分析應用研究）

計畫類別： 個別型計畫 □ 整合型計畫 計畫編號：NSC 95－2221－E－002－263－ 執行期間：2006 年 08月 01日至 2007 年 07月 31日 計畫主持人：鄭富書 教授 共同主持人： 計畫參與人員： 專任助理(江惠新)、兼任助理(博士生-陳正旺)、兼任助理(碩士生-張來福) 成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 完整報告 本成果報告包括以下應繳交之附件： □赴國外出差或研習心得報告一份 □赴大陸地區出差或研習心得報告一份 出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份 處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列

管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢 □涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢 執行單位：國立臺灣大學土木工程學系暨研究所 中 華 民 國 96 年 11 月 09 日

逆斷層圍岩之力學特性與數值分析應用研究 The study and Application of Mechanic Characteristics of thrust fault

計畫編號：NSC 94-2211-E-002-033

執行期限：94/8/1-96/7/31 計畫主持人：鄭富書 台灣大學土木工程學系 教授

摘要 台灣位處於造山運動劇烈之板塊交接帶，由於菲律賓海板塊不斷地推擠歐亞大陸板塊，

使得台灣本島主要的斷層及構造線形成以南北向之逆斷層為主。逆斷層錯移往往會造成嚴重

的災害，如 921 集集大地震之車籠埔斷層錯移即造成台灣中部慘重災情。為了更了解斷層圍岩之能量累積型態及集中帶，本研究探取台灣車籠埔鑽井計畫(TCDP)之岩心進行一系列之力學實驗，實驗項目包含基本力學試驗、三軸試驗及潛變試驗等。根據實驗結果建立合適的組

成律模式，並與實驗進行驗證，以評估組成律之適用性，接著建立數值分析模式，並將數值

分析模式應用於工程實際案例中，期能為後續相關案例分析之參考。 關鍵詞：三軸試驗、潛變、組成律模式、數值分析

Abstract The thrust fault slip by earthquake usually caused great damage. For instance, the Chi-Chi

earthquake caused serious damage in the middle part of Taiwan. In this research, Cho-Lan sandstone, the strata in which slipped has occurred during Chi-Chi earthquake is adopted as the specimen. The specimens were cored from Taiwan Chelungpu Drilling Project (TCDP). A set of hydrostatic and triaxial tests, including the creep test, has been performed through pure shear stress path loading to study energy concentration zone and distribution area of thrust fault.

A elastic/viscoplastic model is then proposed to characterize the behaviors of the sandstones. Through numerical analysis, the case study of tunnel will be discussed. Keyword：triaxial test, creep, constitutive law, numerical analysis.

一、前言 台灣位處於造山運動劇烈之板塊交接帶，由於菲律賓海板塊不斷地推擠歐亞大陸板塊，

使得台灣本島主要的斷層及構造線形成以南北向之逆斷層為主。逆斷層形成之地表錯移往往

會造成橋、房屋等結構物及人民財產之損害，例如1999集集大地震即造成相當嚴重之傷亡及災害。逆斷層之錯移，主要係由於斷層圍岩之能量隨時間累積達到其極限狀態時，釋放能量

所致。過去在模擬斷層錯移或地下開挖岩層之力學性質時，往往僅採用地表露頭或隧道開挖

之岩材作為試體進行研究，然而地表岩材由地底抬升至地表，經過長期之風化作用及侵蝕等

作用其力學性質及組構均會產生變化。對於地底岩材與地表岩材之力學性質差異性尚未可

知，實為科學界極待進一步釐清之範疇。 一般而言破壞性大地震的發震帶大都發生在上中部地殼約15 公里深度以內，(Sibson，

1986；Scholz，1988)，而目前科技無法直接探測如此深的地殼內之岩石力學性質，要研究發震帶的岩石力學性質和特性唯有待岩石抬升到地表淺處或露出地表後，才得以取樣研究。但

此時斷層帶上的岩石或多或少遭受到後來風化作用的影響，而改變原有的性質。為盡量減少

風化作用對斷層帶岩石的影響，在大地震後直接鑽取不等深度斷層帶上的岩石，研究其組成

及力學特性，以及微組構性質等研究，可以提供資料以了解該地區斷層特性及力學行為、斷

層帶上的岩石成因以及引發地震的可能機制。

2002 年中央大學地科所及台灣大學地質系研究團隊推動台灣車籠埔斷層深鑽計畫，簡稱TCDP。其鑽探深度達2公里，為台灣目前於陸地上鑽取岩心之的最深紀錄，其鑽探地點位於台中之大坑，鑽探深度預定將會穿越車籠埔斷層，其所鑽取之岩心資料不僅可獲得豐富之地

球科學及地質資料，同時亦蘊含豐富且待發掘之岩石力學知識。 此外，未來台灣之地下開挖或隧道等工程，逐漸地可能將涉及較深層岩石力學行為問題，

然而目前針對此一問題尚無深入之研究。特別是隧道施工經驗上，時有遭遇之擠壓依時變形

問題，有鑑於此，本研究藉由TCDP 鑽取之珍貴岩心試體進行一系列之三軸試驗及潛變試驗以發展合適之組成律模式，並將應用數值分析實際之工程案例，期可提供未來相關工程應用

之參考。 二、文獻探討

針對本研究所欲探討之議題，以及後續延伸研究內容之相關文獻，主要可分為幾大項，

詳述如下： 2.1 地體構造與地震特性

台灣島的新地體構造主要是受到歐亞板塊與菲律賓海板塊的斜聚合導致的蓬萊造山運動

所控制。在斜聚合力學機制的影響下，台灣東南部呈現一系列褶皺與斷層交替出現之雁形排

列構造。台灣西部前陸的構造同時受構造高區形狀的影響 ，經由利用砂盒模型實驗來模擬台灣西部的新地體構造之結果顯示，構造的運動方式主要包含了壓縮 、旋轉與伸張的組合，導致地區性逆衝與橫移運動不同比例的分配（Lu, 1994）。此種運動方向組合，稱為「橫移壓縮（transpression）」運動（Harland, 1971）。

陳建華(2001)以砂箱物理模型實驗及三維彈性數值模擬分析結果比對至臺東縱谷西部地區及臺灣東南部地區之地表地形與地質構造，此二地區由南往北褶皺構造之型態及空間分佈

情形，其板塊碰撞之壓縮位移所佔比例有由往南往北漸增之結果。 鄭富書等人(2002)考量地震能量在空間中的分佈；對台灣各地震觀察區域求其地震能量

對規模、時間及深度的釋放型態，另亦分析大震前後之地震能量釋放型態與背景地震的差異。

分析的結果顯示台灣地區地震能量釋放型態可分為三區討論 – 東北部、東南部、西部。於東北部：地震能量傾向以中、小規模地震釋放能量；對時間的變化程度較為平緩、分佈深度較

深、且在前震 - 主震 – 餘震中以中小規模地震釋放之能量占較高的比例，與西部為兩個極端。東南部的地震能量釋放型態則介於兩者之間。

台灣由於地體構造位於活動熱烈之造山帶且受板塊推擠之影響，大地應力場之分佈非常

複雜，局部之現地應力量測之試驗所得之結果應針對該場址之大區域之構造地質互相搭配比

對。構造地質現象除了有助於了解現地應力場之主要特徵外，亦可作為數值分析時邊界條件

設定之重要參考指標 2.2 隧道依時潛變行為

隧道工程相關軟岩力學性質研究 – 國內隧道常遭軟弱岩石，與國外之狀況並不全然相同。因此，欲解決本土性之特殊問題，必須從軟岩之基本研究作起，方能發展出適用本土之

隧道工程技術。因此，本研究團隊進行一系列之軟弱岩石隧道力學行為與支撐互制行為研究。

主要成果包括： 翁孟嘉(2002)建立可適用於描述軟弱岩石力學行為模式，可適當描述岩石在三維應力狀

態下之彈塑變形行為，可應用於評估隧道於開挖後之立即的穩定性評估。 王泰典(2002)探討隧道擠壓現象之力學機制，建立一隧道擠壓案例資料庫，系統地歸納

整理國內外著名案例的相關資料，如岩性、岩體類別、覆蓋厚度或現地應力、隧道斷面、開

挖方式、支撐工法、施工狀況、變形記錄、災害狀況與處理方式等，有助於探討擠壓現象的

圍岩破壞類型與隧道淨空變形特性，釐清隧道擠壓的力學機制與重要的影響因素，同時，可

提供隧道擠壓防治工法的參考。並依據節理岩體非線性組成模式，考慮平面應變的情況，透

過「隧道圍岩彈塑性變形分析」與「隧道圍岩依時性變形模擬」兩段程序，發展一套隧道擠

壓變形數值分析模式。 2.3 岩石依時潛變行為

岩石潛變行為方面，林傑(1997)曾對風化之木山層砂岩進行單軸及傳統三軸的潛變試驗(圍壓為5MPa)，結果顯示木山層砂岩在低應力狀態下(應力比小於0.6)，即有明顯潛變行為發生。

唐孟瑜(1998)進一步研究木山層試體在圍壓10~20MPa 下之砂岩潛變行為，其研究結果顯示於相同軸差應力下，圍壓愈高，潛變行為愈不顯著。而潛變應力比值愈高，則試體之潛變

速率及潛變量均變大；林士彥(1998)則是整理木山層與東坑層試體潛變結果，發現木山層砂岩的潛變特性深受試體含水的影響，而應力比值的高低則主控東坑層砂岩的潛變行為。

游威耀 (1999)針對不同之7 種岩石(包含四陵砂岩、底層枋腳段砂岩、五指山層砂岩、木山層砂岩、大寮層砂岩、南港層砂岩及大理岩)進行短期單壓潛變實驗及岩象分析。其研究成果顯示：(a) 無論是軟弱岩石、中強岩石還是強岩，當應力比值愈高時，岩石的軸向和徑向潛變量也會隨之變大。而當應力比值低時，徑向潛變量遠小於軸向潛變量，但是應力比值約大

於0.6～0.8 後，徑向潛變量開始顯著增加，到試體破壞前甚至可能超越軸向潛變量。(b) 低孔隙率的砂岩(多為強岩)在低應力比值時，有明顯的一次潛變趨勢，但二次潛變趨勢卻不明顯，直到高應力比值時，才會有明顯的二次潛變趨勢。而孔隙率高的岩石，其第一階段的軸

向潛變量通常會大於第二階段，其後軸向潛變量才又會隨著應力比值的增加而變大，但是孔

隙率低的岩石則較少有這種現象，可能是因為孔隙率高的試體在第一階段開始受壓後，壓密

速率急速增加，試體中的孔隙被急速壓密，然後壓密速率漸漸趨向穩定，才會有這種現象。

(c) 比較澳底層枋腳段砂岩、五指山層砂岩、木山層砂岩和大寮層砂岩，發現基質含量和徑向應變量呈線性關係，基質含量愈多，其徑向應變量也會愈大。(d) 將平均粒徑的結果分別和潛變破壞應力、軸向應變與徑向應變進行相關係數分析，發現平均粒徑對軸向應變與徑向應

變有極高的負相關。 林宏勳(2001)則是以木山層砂岩為例，進行木山層砂岩圍壓20-80MPa 之傳統三軸潛變試

驗。由上述的研究成果顯示，在本議題相關研究成果方面已具備非常豐富的經驗，惟其主要

研究材料仍以地表露頭及隧道開挖之岩塊為對象其材料組成均質性高且力學性質亦相近。然

而大地材料為隨深度變化具變異性高材料，其力學性質相較於露頭所取之單一岩塊更為複

雜，此工程實務上必定遭遇之情形，目前在這一方面的研究仍極待加強，透過本研究計畫的

推動，有助於深入瞭解地底岩石的力學特性，作為其它類似工程之借鏡。 三、研究內容與方法

本研究主要之研究課題，主要是以草嶺地區之卓蘭層岩石及車籠埔斷層上盤圍岩為實驗

試體，透過基本力學及三軸潛變試驗結果，建立合適之組成律模式，且進一步建立數值分析

模式，以利後續相關研究之進行。 本研究所進行之力學行為研究主要包含超音波試驗、三軸試驗及潛變試驗。其中，超音

波試驗為非破壞性之試驗，可求取不同岩心之波傳速度及其動態彈性模數值。而三軸試驗主

要係以純剪應力路徑試驗為主，可探討砂岩在純剪應力下之變形行為；而變化不同潛變應力

及體積應力等實驗條件之潛變試驗，則可以了解其依時性的變形行為。 此外，根據實驗結果所建立適合描述其變形特徵之彈/黏塑組成律模式，可同時描述岩石

材料於三軸試驗及潛變試驗的變形特徵。同時依據所建立之組成律模式，透過數值分析之方

式，可進一步探討斷層圍岩隨時間之能量累積型態分析及斷層活動區域隧道長期穩定性之評

估。 綜合上述研究內容，本研究計畫之主要研究項目包含： 1. 基本力學試驗 2. 三軸試驗 3. 組成律模式之建立 4. 數值模型之建立及應用 在下節中便針對本研究計畫之研究成果進行說明。

四、研究結果 4.1基本物性及基本力學試驗 4.1.1基本物性

基本物理性質項目包括求取乾密度、比重、孔隙率，實驗結果整理如表 1 所示。由實驗結果顯示，本研究四種岩性之岩石(I、II、III、IV)，乾密度範圍介於 21.9~25.4 kN/m3之間，其中以 IV 類型岩石之乾密度最高，而 III 類型岩石之乾密度最低。比重主要分佈在 2.63~2.71之間；而本研究中各種類型岩石之孔隙率分佈在 1.87~15.12%，以 IV 類型岩石的孔隙率最低，III 類型岩石的孔隙率最高。 4.1.2超音波試驗 本研究針對 II、III、IV三種類型岩石進行超音波試驗，其試驗結果如圖 1至圖 6所示。

由實驗結果顯示，II 類型岩石的壓力波速介於 2.23至 3.91km/sec之間，而剪力波速介於 1.41至 2.31km/sec之間，動態楊氏模數則介於 1.13至 3.27kgf/cm2之間；III 類型岩石的壓力波速介於 1.02 至 1.70km/sec 之間，而剪力波速介於 0.69 至 1.13km/sec 之間，動態楊氏模數則介於 0.217 至 0.626kgf/cm2之間；IV 類型岩石 的壓力波速介於 2.89 至 4.15km/sec 之間，而剪力波速介於 1.90至 2.37km/sec之間，動態楊氏模數則介於 2.29至 3.42kgf/cm2之間。 4.2三軸試驗結果 4.2.1強度破壞包絡線

對於岩石破壞包絡線之適用性評估，茲將不同體積應力下三軸試驗求得之剪力強度，繪

於三維應力空間( 1I - 2J 平面)中，綜合整理不同類型岩石之剪力強度與圍壓之關係結果如圖 7至圖 10所示。

實驗結果顯示各種岩石之強度包絡線呈一良好線性關係，此線性關係根據 Drucker-Prager準則可表示為：

( )1 2 2 1, 0f fF I J J I kα= − − = (1)

其中 1I 和 2J 應力不變量，表示圍壓和剪應力，單位為MPa，αf代表破壞包絡線之斜率，

而 kf代表破壞包絡線之截距。經由回歸可得到各類型岩石之αf及 kf值，若以 Mohr-Coulomb破壞準則加以評估，則可以透過式(2)及式(3)將αf及 kf換算成摩擦角 ψ及凝聚力 c，如表 2所

示。 2sin

3(3 sin )φα

φ=

− (2)

6 cos3(3 sin )

φφ

=−

ck (3)

4.2.2純剪應力路徑試驗 圖 11 顯示不同岩石於體積應力階段下之體積應力與體積應變之關係。由圖 11 可發現其

變形量最高者為 I 類型岩石，最低者為Ⅳ類型岩石。其中由於 II及 IV 類型岩石之孔隙率較低，因此應力-應變曲線之裂隙閉合現象不明顯，而 I 及 III 類型岩石則有明顯之裂隙閉合段，此現象也反應出岩石受力後裂隙閉合現象與孔隙率有關，孔隙率越高，其裂隙閉合現象越顯著，

即體積應力-體積應變曲線之曲率會越大。 圖 12顯示在體積應力作用階段亦會造成部分之剪應變(以第 II 類岩石為例)，但此剪應變

量值甚小且變化幾無趨勢可言。由於試體受到體積應力作用時，體積理應產生等向壓縮的現

象，不應該有剪應變產生，因此推測此剪應變量來源可能係由於應變計黏貼處之局部剪應變，

或變形量測上之誤差。由於此體積應力造成之剪應變比起材料受剪應力作用時所產生的剪應

變量，實屬極小量(約只有後者之 0.05~0.1)，故本研究將不深入探討此偶合行為。 圖 13顯示不同岩石於剪應力階段下之剪應力與剪應變之關係。由圖 13可見其初始剪力

模數由高至低依序為 IV、II、I及 III。而在破壞應變方面，則與上述岩石順序相反，以 III 類型岩石最高，IV 類型岩石最低。整體而言，可以看出孔隙率高的岩石會有較大的變形性。 圖 14 顯示不同岩石於剪應力階段下之剪應力與體積應變之關係。根據諸多前人研究顯

示，臺灣軟弱岩石具有受剪膨脹之特性，而此膨脹行為與所受之剪應力值有相對關係，因此

本研究亦探討此偶合行為。由圖 14 可知，對於膨脹變形而言，III 類型岩石之變形量最大，而 IV 類型岩石之變形量則最小。 綜合圖 11、圖 13及圖 14之結果，可以看出岩石之變形性無論在體積應變及剪應變上，

其量值皆深受岩石種類之影響。 4.3潛變試驗 本研究之潛變試驗主要係以地表卓蘭層砂岩試體為主，其潛變試驗結果整理如圖 15至圖

22所示。 由圖 15可見在受剪階段時，砂岩試體之體積應變首先為受剪壓縮之行為，到了潛變階段

時，剪應力為定值，體積應變之趨勢為潛變壓縮(簡稱潛縮)行為，同時隨著潛變剪應力增加，潛縮行為逐漸轉換為潛變膨脹(簡稱潛脹)行為，接近破壞強度時則呈現大量潛變膨脹。由圖中亦可見不同體積應力下之試驗結果，均具有先潛縮再潛脹之現象。此說明砂岩承受純剪應

力作用時，不僅會發生即時之剪縮及剪脹行為，其在依時情形下，亦會產生先潛縮再潛脹的

變形行為。 圖 16顯示不同圍壓下，其體積應變隨時間之變化情形，由圖中可見，在不同體積應力條

下，其受剪階段初期，試體所造成之總應變為剪縮行為，而隨著剪應力比值增加，總應變的

部份即開始呈現剪脹之行為，然而此時相對應之潛變仍為潛縮行為。 圖 17顯示體積應變隨時間之潛變曲線，由圖中可見在剪應力比值較低時，砂岩之體積潛

變行為以潛變壓縮為主，直到剪應力比值大於 0.55時，體積潛變行為改成潛變膨脹，且隨著

剪應力比值愈高，潛脹行為愈顯著。由微觀之角度而言，試體之體積潛變其實可反應材料內

部變形行為之特性。當試體在低剪應力比值下之潛縮行為，潛變時間再久也不會造成試體的

破壞，因為一方面其試體處於低剪應力狀態，另一方面，試體持續壓縮，僅會使試體更趨向

於穩定。因此，惟有當試體之體積潛變型式為持續膨脹，試體隨時間之變形才會有機會到達

破壞狀態。 圖 18顯示不同體積應力之體積潛變量有著頗為一致的趨勢，亦即體積應力的影響並不顯

著，體積潛變量之值，主要受剪應力比值之影響較顯著。圖中可見，在應力比值約 0.6 以下時，體積潛變行為以潛縮為主，初始之體積潛變之縮壓量最大，隨著剪應力比值增量而遞減；

剪應力比值大於 0.6以後，膨脹行為之體積潛變量則呈指數型式快速增加。 圖 19顯示在受剪階段時，剪應變初期為線性增加，接近剪應力強度時，剪應變呈大量地

增加。潛變階段時，剪應力為定值，剪潛變量隨著剪應力比值增高而增加，接近剪應力強度

時，剪潛變量亦呈現大量增加的現象。圖中亦可見不同圍壓之試驗結果，均具有相似之現象。 圖 20顯示在任何剪應力比值下，剪應變之增加趨勢均為隨著時間而增加。而由圖 21顯

示剪潛變量隨著剪應力比值增加而遞增之變化趨勢。 圖 22顯示不同體積應力條件所得之剪潛變量有著頗為一致的趨勢，亦即體積應力的影響

並不顯著，剪潛變量之值，主要受剪應力比值之影響較顯著。試體在比較低的剪應力比值時，

潛變所造成的剪潛變量較少，當剪應力比值大於 0.6，剪潛變量則呈指數型式快速增加。推論其剪潛變量產生快速增加之原因，應該與試體內部微裂隙增加有所關聯。 4.4組成律模式之建立 根據本研究計畫成果之砂岩即時及依時力學特性，本節中將據以建議一套適合砂岩之彈/

黏塑性模式。在本節中主要分為二部份，第一部份說明適合砂岩之彈性模式；第二部份則是

介紹黏塑模式。 4.4.1彈性模式 由本研究成果顯示，砂岩之彈性變形與應力間存有非線性行為，且彈性體積應變不但與

純剪應力存有明顯之偶合關係，亦與體積應力有關。現有一般等向性線彈性模式中，其體積

應變僅與體積應力有關，而與剪應力無關。針對此現象，翁孟嘉(2002)採用高階格林彈性模式(Green elastic model; Hyperelastic model)(Chen & Saleeb，1982) 提出一適合砂岩之能量密度函數，以描述一般等向性線無法描述之砂岩變形特性。格林彈性模式係假設物體原先處於無

應力之自然狀態下，當經過不同應力路徑而回到此自然狀態時，其所提供之能量可完全回復，

即無任何能量在變形過程中消散，其應變張量可表示為

ij

ij σε

∂Ω∂

= (4)

上式中 Ω為一能量密度函數，可表示成三個應力不變量之型式， ijε 及 ijσ 分別為應變與應力張量。針對台灣西部麓山帶之砂岩，翁孟嘉(2002)提出砂岩之能量密度函數 Ω可用下式表示：

JbJIbIb 1 232122/3

1 ++=Ω (5) 上式中 b1、b2及 b3三項為材料常數，I1為第一應力不變量，J2 則為第二偏差應力不變量。

此能量密度函數可以描述(1)體積應力作用下，彈性體積應變之非線性行為；(2)固定體積應力作用下(翁孟嘉以 40MPa為例)，彈性體積應變與純剪應力間偶合行為；(3)彈性剪力模數隨圍壓增加而增大的特性。其模式已可初步地掌握砂岩材料之彈性變形特徵。而本研究進一步針

對不同圍壓之解壓再壓試驗結果進行分析，發現上述第二點之彈性體積應變不但與純剪力應

力存有偶合關係，且會與體積應力有關。為描述砂岩之此種變形特性，因此本研究建議可將

砂岩之能量密度函度修正為下式： 3/ 2

1 1 2 1 2 3 21 b I b I J b J−Ω = + + (6)

上式中 b1、b2及 b3三項仍為材料常數。 將式(6)代入式(4)，可得非線性彈性之應力–應變關係，如下所示

1 2 1232 1 1 2 1 2 2 1 3 ij( ) ( ) s ij ij

ij

b I b I J b I bε δσ

− −∂Ω= = − + +∂

(7)

其中 ijS 為偏差應力張量，而 ijδ 為 Kronecker delta張量。 由式(7)可進一步推求純剪試驗中，引致之彈性體積應變及彈性剪應變，如下列所示：

(1) 體積應力作用階段

21

11' 129kk I b I == ε (8)

0'2 2 == Jγ (9)

(2) 剪應力作用階段 2

21 2

1

J' = -3 II b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(10)

' 12 2 1 3 22 2( )J b I b Jγ

−= = + (11)

茲將翁孟嘉(2002)及本研究建議之能量密度函數之各作用力階段應力應變關係，整理後詳列於表 3 所示。由表中比較結果顯示：(1)體積應力階段，兩者建議之體積應力與彈性體積應變關係式相同，均可描述體積模數隨著體積應力增加而遞增之特性；(2)純剪應力作用下，翁孟嘉(2002)之模式僅能反應單一圍壓下，彈性體積應變與純剪應力間之偶合關係；本研究則尚可反應體積應力之影響；(3)兩者均可反應剪應力與彈性剪應變為線性關係，隨著體積應力愈高，其彈性剪力模數愈高。綜合上述結果，顯示無論是本研究或翁孟嘉建議之模式，其

所能描述砂岩彈性變形特徵均已非一般等向性彈性模式可加以模擬。 總之，經過本研究修正後之彈性模式，可以更忠實反應砂岩材料之彈性變形特徵。而本

研究之實驗結果亦已忠實地考慮砂岩材料之彈性變形，不但可使砂岩之塑性與黏塑性變形特

徵呈現高度關聯性，亦即塑性可視為瞬間潛變，且可符合諧合性準則，對於建構一簡易且能

展現砂岩實際變形特徵的黏塑組成模式有很大之幫助。 4.4.2黏塑模式 在黏塑模式方面，Cristescu(1994)，提出可適用於描述大地材料一次潛變率之黏塑組成模

式，其公式如下式： ( ) ( )1( )

I W t FkH

∂= −

∂σε

σ σ& (12)

其中 Iε&為不可回復應變率；k為黏滯係數(viscosity coefficient)；W(t)為在時間 t，每單位體積之整體不可回復應力功(total irreversible stress work per unit volume at time t)；H(σ)為降伏方程式(yield function)；F(σ)為黏塑勢能面(viscoplastic potential)。而括弧為只取 A正值的部份(the positive part of function)，其意義如下

if 01 ( )2 0 if 0

A AA A A A

A+ ⎧ >= + = = ⎨

≤⎩ (13)

本研究係以 Cristescu提出之黏塑模式為出發點，針對其模式加以修改，以符合砂岩材料變形特徵。修改之項目包含有：(1)針對不可回復應力功 W(t)之求取方式進行修改，Cristescu

假設純剪應力與彈性體積應變間沒有偶合關係，純剪應力所造成之體積應變，均視為塑性體

積應變；然而本研究成果顯示砂岩純剪應力與彈性體積應力具有膨脹且非線性之偶合關係，

因此本研究修改其剪應力階段之不可回復應力功之求取方法。經由修正公式計算實驗結果所

繪得之降伏面與塑性流及黏塑性流均大致正交，顯示本研究之砂岩可適用於諧合性準則；(2)建議參數少、求取方式容易且可以合適描述砂岩不可回復應力功之迴歸公式如式(14)、(15)及(18)所示。其中純剪試驗分為體積應力階段之不可回復應力功Wh與純剪階段之不可回復應力功 Wd。潛變試驗時則僅考慮其潛變應力為剪應力情況下之不可回復應力功 Wc。針對上述三種不可回復應力功之迴歸方式詳述如下： (1) 體積應力造成之不可回復應力功Wh 有關體積應力階段之不可回復應力功，其來源係由圍壓階段時，體積應力與塑性體積應

變造成，因此其迴歸式僅與體積應力 p有關。針對體積應力造成之不可回復應力功Wh，本研究建議可採用下列迴歸公式：

20 1( )hW p h p h p= + (14)

其中 h0及 h1為材料參數，其可由體積應力作用階段之不可回復應力功資料以式(14)進行迴歸後求得其值。 (2) 純剪應力造成之不可回復應力功Wd 有關剪應力階段之不可回復應力功之計算，其不可回復應力功之來源可分成兩部份，包

括：(1)體積應力與塑性體積應變部份；(2)剪應力與塑性剪應變部份，因此其迴歸式Wd會與體積應力 p及剪應力 2J 有關。針對剪應力造成之不可回復應力功，本研究建議可採用下列迴歸公式：

22 2

2

( , ) ( ) ( ) ln 1df

JW p J c p J d p

J

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(15)

其中 c(p)及 d(p)為體積應力之函數，其決定方式可分成兩個步驟，分別為：(1)對不同體積應力之試驗結果以式(15)進行迴歸，得到不同體積應力對應之 c與 d值；(2)分別繪製體積應力與 c、d的關係圖，並進行第二次之迴歸，即可求得 c(p)與 d(p)的函數式及其參數。 對於不同大地材料，c(p)與 d(p)之函數式可以視材料特性而調整，以便採用最佳的迴歸

式。綜合上述，可知本研究建議公式(15)具有調整空間大，適用範圍廣之特質。以本研究之卓蘭層砂岩為例，c(p)及 d(p)建議可採用下式：

40 1( )c p c c p= + (16)

30 1( )d p d d p= + (17)

其中 c0、c1、d0及 d1為材料參數。 (3) 潛變試驗造成之不可復應力功Wc

有關潛變階段時之不可回復應力功，其來源亦可分成：(1)體積應力與體積潛變應變部份；(2)剪應力與剪潛變應變部份，因此其迴歸式Wc會與體積應力 p及剪應力 2J 有關。針對潛變階段造成之不可回復應力功，本研究建議可採用下列迴歸公式：

22 2

2

( , ) ( ) ( ) ln 1cf

JW p J e p J f p

J

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

(18)

其中 e(p)及 f(p)為體積應力之函數，其決定方式與前述之 c(p)及 d(p)的步驟相同，需進行兩次之迴歸過程，以決定其函數型式及參數值。因此，式(18)與式(15)同樣具有調整空間大，適用範圍廣之特質。以本研究之卓蘭層砂岩為例，e(p)及 f(p)建議可採用下式：

40 1( )e p e p e p= + (19)

0( )f p f p= (20) 其中 e0、e1、f0為材料參數。

上述之式(12)為應變率之通式，其經過積分推導後，可得一次潛變之應變量計算公式如式(21)所示：

0

1 2 0 12

22

( )1( ) 1 exp ( )1 ( )

ijIij

W t FH k F Ft p J t tF F H p Jp J

H p J

∂− ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠+ ⎣ ⎦⎩ ⎭

∂ ∂

σε (21)

其中 t0與 t1在即時試驗時，其分別代表應力增量加載之起始時間與結束時間；若為潛變

試驗時，則代表潛變試驗之潛變應力加載結束後，試體潛變之開始時間與潛變過程中之時間。 由本研究成果之證明及 Cristescu(1994)之假設，顯示在即時試驗情形下，當應力增量很小

時，砂岩之塑性應變增量可視為瞬時之潛變行為，因此，式(14)可同時用於模擬砂岩材料之即時(塑性應變)與依時(潛變應變)情況下之不可回復應變。在即時試驗時，以ε11為例，其即可模擬應力增量由W(t0)增加至W(t1)=H(σ(t1))時之塑性應變增量如下：

0

I 1111 1 2 0 1

22

2

( )1σ∆ε ( ) 1 exp ( )1 ( )

W t FH k F Ft p J t tF F H p Jp J

H p J

∂− ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠+ ⎣ ⎦⎩ ⎭

∂ ∂

(22)

式(21)與(22)中，需要決定之函數共有三個，分別為不可回復應力功 W、降伏方程式 H及黏塑勢能面 F。其中不可回復應力功W係作為硬化準則之參數(hardening parameter)。一般之研究情形，由於彈塑分離之原則方法大多假設線彈性；所以其降伏面、塑性勢能面及黏塑

勢能面三者經常不會相等，因此需要採用非常復雜之非諧合性準則來模擬大地材料之即時及

依時變形行為，而本研究由解壓再壓曲線考量砂岩材料彈性行為之前提下，進行砂岩材料之

彈塑分離，在探討砂岩材料塑性與黏塑性變形特徵間之關係後，發現砂岩材料之即時與依時

狀態下皆可滿足諧合準則，因此在本研究中砂岩材料之黏塑勢能面可以假設等於塑性勢能

面，同時也等於降伏面，亦即： 2 2

2

2

( , ) ( , )

( , )

( ) ( , )h d

F p J H p J

W p J

W p W p J

=

=

= +

(23)

由上式可知，本研究模式係以不可回復應力功為最主要的函數，由試驗資料求得之不可

回復應力功不僅作為硬化參數，同時亦需扮演降伏面，塑性勢能面及黏塑勢能面之角色。茲

將本研究模擬即時試驗與依時試驗時，式(21)與(22)中W(t0)、H及 F函數對應之W值整理如表 4所示 4.4.3模式模擬結果 (1) 彈性模式 本研究首先就翁孟嘉(200)與本研究修正之彈性模式，進行Ⅰ類型岩石之彈性模擬，並比

對試驗結果，進一步討論彈性模式之適用性。由於上述兩種彈性模式主要的差別在於剪應力

階段之應力-應變之關係式，因此本研究即以此項進行比較，其結果如圖 23至圖 25所示。為方便分別翁孟嘉(2002)與本研究修正之彈性模式，以下便將翁孟嘉(2002)之模式稱為模式 I，而本研究所修正之彈性模式稱為模式 II。 (A) 剪應力與剪應變關係 首先經由反覆加解壓試驗求得Ⅰ類型岩石於體積應力為 20、40 以及 60MPa 下之彈性剪

力模數 G值，此為實驗之 G值。接著經由試驗曲線配合兩種彈性模式分別求得其在不同體積應力下之彈性剪力模數 G，此為模式模擬之 G 值，其結果如圖 23 所示。由圖中可見，模式II所求得之彈性剪力模數與實驗資料較符合，而模式 I所求得之彈性剪力模數在高圍壓(60MPa)時，會有高估現象。進一步將模式模擬之剪應力-剪應變關係與實驗資料比對，如圖 5.2所示。

由圖 24中也可明顯看出，在圍壓為 60MPa時，模式 I所模擬之應力-應變曲線，其彈性剪應變會有明顯低估之情形，而模式 II所模擬之應力-應變曲線則與實驗值較符合。 (B) 剪應力與體積應變關係 實驗資料與兩種模式模擬之應力應變曲線之比較如圖 25 所示。由圖 25 中可見，模式 I

所模擬之應力-應變曲線只有一條曲線，顯示其彈性體積應變只與剪應力相關，與體積應力無關。而模式 II所模擬之應力-應變曲線，則會隨著不同的圍壓而有相對應之曲線，此現象與本研究之實驗成果較相符。 綜合上述比較之成果，本研究以下之彈性模式分析將採用與實驗資料較相符合之彈性模

式 II。 (2) 彈/黏塑模式

為說明本研究彈/黏塑模式之適用性，本節中針對木山層及卓蘭層進行模擬。模擬結果除了和實驗資料進行比對，並與翁孟嘉 (2002)彈塑模式及一般大地工程常採用之模式如Drucker-Prager與 Cap等模式，進行即時變形行為模擬成效之綜合比較。一方面驗證本研究建議模式適用性，另一方面可以針對不同模式模擬結果之優缺點進行綜合比較與討論。此外本

節中亦針對不同體積應力及不同應力路徑之情形進行模式預測，並與實驗結果比對，以檢驗

模式之適用廣度。最後則是針對潛變試驗模擬結果之討論。 (A) 不同組成模式之模擬結果

為檢驗本研究所提出之彈/黏塑組成模式之可行性，本節中以圍壓 40MPa 之木山層純剪應力路徑進行模擬。在本研究中模擬結果除與實驗值比對外，並進一步與翁孟嘉(2002)、Drucker –Prager及 Cap模式分析結果進行比較。各組成模式之性質簡述於表 5中；所需之材料參數，則另外整理於表 6。

對於各模式之分析結果，茲分(a)體積應力階段及(b)剪應力階段，分別說明如下： (a) 體積應力階段

體積應力階段之分析結果如圖 26、圖 27所示。由圖 26中可見本研究模式分析所得之總應變結果與實驗值比較，其一致性良好。可見體積應力作用下之變形，以彈性變形為主，塑

性變形為輔，尤其是當應力大於 MPa　 後，塑性應變發展趨緩，變形更是由彈性變形所主導。進一步檢視彈性體積應變，可見本研究彈性模式可合適地描述砂岩在體積應力作用下之非線

性彈性變形行為。在塑性應變方面，可見本研究黏塑模式可適當地描述砂岩材料隨著體積應

力增高，其塑性體積應變隨之遞減的應變閉鎖特性。 進一步與其它模式比較如圖 27所示，翁孟嘉 　　彈塑模式，其模擬結果與本研究相同，

均可適當地表現砂岩材料之 非線性彈性及塑性體積應變閉鎖現象。而由其它模式則可發現以往模式對於體積應力階段之變形，主要由線性彈性應變控制。因此當選用線彈性模式時，將

導致在低體積應力時，低估體積應變，隨著應力逐漸提高後，卻高估體積變形之情形。 (b) 剪應力階段

剪應力－體積應變之模擬結果如圖 28、圖 29所示。由圖 28中本研究模式所模擬之彈性體積應變呈一剪脹行為，其分析結果幾與實驗之解壓再壓曲線之變形趨勢一致。所模擬之塑

性應變亦可適當地描述砂岩受剪過程由初始之受剪壓縮並逐漸轉換至受剪膨脹，在接近剪應

力強度時之大量膨脹的變形特徵。此外，比較塑性剪脹門檻亦可見與實驗值非常地接近。整

體而言，本研究彈/黏塑模式模擬剪應力階段之彈性、塑性及整體體積應變曲線，其與實驗值比較無論在變化趨勢或量值上皆頗為吻合。

進一步與其它模式之比較，如圖 29所示，圖中可見翁孟嘉 　　彈塑模式，其模擬結果與本研究相同，可以大致掌握砂岩之受剪情形下體積應變變形特徵。至於其它模式，由於其並

不考慮剪應力與彈性體積應變之偶合情形，因此在圖 29中模式之變形模擬，皆為塑性變形。其中 Drucker –Prager模式在近破壞時，方產生大量降伏行為，整體行為類似一剛塑性行為。Cap 模式在未達極限強度前，主要呈壓縮之塑性變形，直至瀕臨破壞時才產生大量之膨脹變形。圖中曲線雖與整體變形有頗大之差距，但與圖 28中之塑性變形曲線卻頗相似，因此若以

本模式之彈性模式配合 Cap塑性模式進行模擬，亦可有良好的結果。另外值得注意的是，Cap模式之變形曲線在膨脹前常出現明顯轉折的不合理現象。此乃由於 Cap模式包含兩降伏面，剪脹門檻 (相位轉換點 )前之變形由橢圓降伏面控制，在剪脹門檻後塑性變形則由D r u c k e r – P r a g e r 降伏面之大量降伏提供，因此兩降伏面交會點將產生變形不合理之現象。綜合而言，在變形模擬上，以本研究彈黏塑模式及翁孟嘉(2002)彈塑模式較佳，Cap模式次之，Drucker –Prager模式則較不準確。

在剪應力－剪應變之模擬結果如圖 30、圖 31所示。圖 30中本研究模式所模擬之彈性剪應變呈一線性行為，其分析結果幾與實驗之解壓再壓曲線之變形趨勢一致。所模擬之塑性剪

應變亦可適當地描述砂岩受剪過程由初始穩定增加，在接近剪應力強度時之大量增加的變形

特徵。整體而言，本研究彈/黏塑模式模擬剪應力階段之彈性、塑性及整體剪應變曲線，其與實驗值比較無論在變化趨勢或量值上皆頗為吻合。

進一步與其他模式比較，如圖 31所示，圖中可見無論是本研究彈/黏塑模式、翁孟嘉(2002)彈塑模式、Drucker –Prager或 Cap模式對於剪變形之模擬成效皆不錯，但值得注意的是，在不同體積應力作用時，所顯示出彈性剪力模數提高之現象，並無法於 Drucker –Prager或 Cap模式加以反應，而可能導致誤差。 (B) 不同體積應力之模擬與預測結果

在完成本研究模式 40MPa之驗證後，進一步本節中分別探討不同體積應力下及不同岩石之之分析成效，圍壓範圍選擇體積應力 20至 60 MPa之純剪實驗加以模擬，模擬後結果分別與木山層及卓蘭層之純剪應力路徑所獲得實驗值進行比對。分析成果依序示於圖 32 至圖 35中。

剪應力與體積應變方面，圖 32為木山層砂岩不同圍壓下之模擬與預測結果，圖中可見其分析結果與實驗值在變形趨勢上一致性良好。圖中之圍壓 20、40、60MPa係根據其試驗資料迴歸資料所得彈/黏塑參數，逆向反算分析，由其模擬結果與實驗值相當接近之結果來看，可初步地驗證本研究建議之模式確實可以合適用於描述砂岩材料受外力作用下之即時變形行

為。此外，值得特別注意的是，圖中之圍壓 30及 50MPa之情況，係根據前述圍壓 20、40及60MPa所得參數進行預測，由預測結果與實驗值之比較，雖然其值略有誤差，但是大致上已掌握其變形特性。圖 33則為卓蘭層之不同體積應力模擬結果，由圖中可見，本研究模式以卓蘭層為分析對象時，同樣也具有相當不錯的模擬效果。

在剪應力與剪應變方面。圖 34為木山層砂岩不同圍壓下之模擬與預測結果，圖中可見其分析結果與實驗值在變形趨勢相當符合。由圖中之圍壓 20、40、60MPa之分析結果與實驗值非常地一致，其原因與上述之體積應變同理，因為其係由此三種圍壓迴歸之參數反算，所以

其為模擬結果與實驗接近，說明本研究模式可合適用於描述砂岩材料受外力作用下之即時剪

應變行為。此外，由圖中 30 與 50MPa 之分析結果與實驗值幾乎一致，顯示本模式之對不同體積應力情形下，剪應變預測結果之表現亦非常地卓越。圖 35則為卓蘭層之不同體積應力模擬結果，由圖中可見，本研究模式以卓蘭層為分析對象時，同樣也具有相當不錯的模擬效果。

整體而言，本研究彈/黏塑模式應用於描述純剪應力路徑之即時試驗時，不同體積應力下之模擬與預測分析結果均顯示，無論是體積應變或剪應變，其與實驗之量測值相當符合。 (C) 潛變試驗模擬結果

一般之潛變公式，例如大地工程常用之柏格模式，其僅能就材料之某個潛變應力階段之

單一方向潛變曲線進行模擬，無法同時反應三維情形下之潛變行為。此類模式往往無法反應

材料潛變壓縮或潛變膨脹之重要依時變形行為。相較於一般的潛變模式，本研究建議之彈/黏塑模式對於潛變行為之模擬則具有下列三項特色，分別為：(1)本研究建議之潛變公式為張量型式如式(21)所示，可適用於模擬三維情形下材料之一次潛變行為；(2)模式可以忠實地反應材料潛變壓縮或潛變膨脹之依時變形特徵；(3)除了潛變行為之外，由於黏塑性勢能面等於塑性勢能面，亦可模擬材料在受剪情形下之應力應變行為，可同時地反應材料受剪膨脹與潛脹

兩項變形特性。

綜合上述，可知式(21)模擬能力之特色已非一般潛變公式所能比較。然而要如何使用本研究所建議之模式呢？底下即以本研究所進行之潛變試驗為例，詳細介紹模擬之方法。首先

本研究之潛變試驗係採多階潛變方式進行，因此砂岩材料受外力作用可分成受剪階段及潛變

階段。在受剪階段時，其模擬方式與前述模擬純剪試驗、傳統三軸試驗及三軸解壓應力路徑

等即時試驗之方式相同，此時式(21)中之W(t0)、H及 F函數，可採用表 4中之即時試驗部份所建議之 W 值。若要模擬潛變階段時，則可改採表中之依時試驗部份所建議 W 值。透過此方法即可順利地模擬出潛變試驗之全部應力應變曲線。底下以木山層砂岩圍壓 40MPa為例，針對本研究模式之模擬結果進行討論。

圖 36及圖 37為本研究應力應變關係圖。圖 36為剪應力與體積應變之模擬結果，圖中可見，彈性模式方面，模擬結果可以反應剪應力與彈性體積應變之偶合關係。黏塑性應變曲線

部份則包含有受剪階段之塑性體積應變及潛變階段之潛變體積應變。在受剪階段方面，圖中

可見模式可以反應材料初始之塑性變形為受剪體積壓縮，並逐漸轉換為受剪膨脹，在接近剪

應力強度時，會產生大量之膨脹之變形特徵。而潛變方面，模式亦可描述初始為潛變體積壓

縮，並逐漸轉換為體積潛變為膨脹的變形特徵。由此可知，本模式確實可反應一般潛變公式

所無法反應之潛變壓縮及潛變膨脹行為。圖 37則為應力與剪應變之關係圖，圖中亦可見模擬結果與實驗值之趨勢非常一致，其中特別是接近剪應力強度時，本模式可以描述材料產生大

量剪潛變量之行為。 進一步觀察應變隨時間之變化如圖 38及圖 39所示，圖 38為體積應變隨時間之變化圖，

圖中可見本模式可模擬砂岩材料隨時間之初始為潛縮，隨著剪應力比值增高逐漸變成潛脹之

依時變形行為。圖 39則為剪應變隨時間之變化圖，圖中可見，模擬結果與實驗值有著相當一致的結果。

此外，針對每一階之潛變應力，可觀察其隨時間變化之潛變曲線如圖 40及圖 41所示，其中圖 40為體積潛變曲線、圖 41則為剪潛變曲線。由於本研究模式係以砂岩材料一次潛變為主要之模擬重點，因此由圖中可見，模擬結果與實驗資料仍有差異。探討其可能原因係真

實材料之潛變曲線除了一次潛變之外，尚包含了二次潛變之量。一般而言，剪應力比值愈高，

其二次潛變率愈高，相對二次潛變量也就愈多，此可說明為何剪應力比值愈大，本研究模式

模擬結果與實驗資料之差異愈大。本研究模式雖然僅能模擬一次潛變曲線，然而前面提及之

本研究模式三大特色亦已非一般潛變公式所能模擬，往後如能再考慮二次潛變之效應，應可

準確地模擬材料潛變曲線之變形行為。 雖然本模式仍無法精準模擬潛變曲線，然而針對潛變量之變化趨勢及量值大小方面，本

研究模式仍然可以有不錯的表現。圖 42至圖 47為本研究模式針對不同圍壓下之體積潛變量及剪潛量之模擬值與實驗值的比較。由圖中可見，針對不同圍壓情形下之木山層及卓蘭層試

體，本研究模式可以合適地描述砂岩材料潛變量之變化趨勢。其中圖 42、圖 43及圖 46為體積潛變量隨剪應力比值之變化情形，圖中可見，本模式可以描述低剪應力比值下為潛縮，高

剪應力比值為潛脹之潛變行為，且比較模擬值與實驗值，可發現兩者相當接近。圖 44、圖 44及圖 47則為剪潛變量隨剪應力比值之變化情形。圖中可見，本研究模式可以模擬剪潛變量一開始增加量少，達到潛變門檻後，剪潛變量呈指數型式大量增加之情形，且比較模擬值與實

實驗值，可觀察到兩者之值相當地接近。 4.5 數值模式之建立與應用 在土木工程之領堿中，數值分析工具經常使用於工程案例的反算或正算分析。反算分析

之模擬可重現工程災害事件之發生過程，以幫助釐清災害產生之主要原因或機制；正算分析

則是針對尚未進行之工程，透過數值分析之模擬，瞭解工程開挖過程可能會遭遇問題，主要

目標為希望在工程尚未施作前，事先預見工程可能會遭遇之問題。 一般數值分析中常用之線彈性與塑性組成模式顯然無法合適地描述大地材料特有之非線

性彈性、剪應力與彈性體積應變偶合關係及降伏面之力學特徵。而透過上述之各種模式針對

三軸純剪應力路行之模擬結果亦顯示，翁孟嘉(2002)所建議之彈塑模式可以合理地描砂岩即時情形下之變形行為。其與本研究模式之差異僅在於本研究彈性模式可以描述不同體積應力

作用下之砂岩彈性行為；黏塑模式則尚可描述砂岩材料即時情形之不同加載速率變形行為，

以及依時情形之潛變行為。為了方便與數值分析軟體內建現有之彈性與塑性模式進行比較，

因此本章內容以本研究 4.4.1節中所建議之彈性模式配合翁孟嘉之塑性模式，將其撰寫為可配合數值分析軟體 ABAQUS之副程式。 4.5.1 數值分析模式之驗證

首先介紹本研究採用之數值分析軟體 ABAQUS 之基本功能及其可自行定義材料之副程式 UMAT(user material subroutine)之原理方法。此外，本研究亦以單元素進行三軸試驗模擬，並將數值分析之結果與模式計算結果相互比較，以驗證本研究所撰寫程式的正確性。 (1) 副程式 UMAT功能介紹

有限元素分析軟體 ABAQUS之應用範圍廣泛，無論是線性或非線性分析之結構分析問題均可以加以解析。ABAQUS 中有提供多種材料模式可供使用者選用，例如線彈性模式、Drucker-Prager及 Cap等模式，除此之外，其亦允許使用者由副程式連結之方式自行建立特定材料應力應變行為關係進行分析，其稱為 UMAT(user material subroutine)。圖 48為 ABAQUS主程式與 UMAT 副程式間參數傳送之關係圖 UMAT 可呼叫主程式中之參數包含有：(1)加載

前之應力狀態 nijσ ；(2)加載前之應變狀態nijε ；(3)加載導致之應變增量

nijdε 。進入副程式 UMAT

之此三個參數，經由使用者所定義之應力應變關係，進行迭代運算後可得新的應力增量。為

了求得由主程式傳入之應變增量所導致應力增量 nijdσ ，其必須在 UMAT定義材料的切線勁度

矩陣 σ ε∂ ∂ 。透過多次迭代運算後，新的應力張量 1nijσ+與應變張量

1nijε

+即可被求得，其公式

可以表示為： 1

1

n n nij ij ij

n n nij ij ij

d

d

σ σ σ

ε ε ε

+

+

= +

= +

其中 1nijσ+ 為經過 UMAT迭代計算過後所得到之應力張量； nijσ 為主程式 ABAQUS傳入

UMAT時的應力張量； nijdσ 為在 UMAT中利用切線勁度計算所獲得之應力增量張量；1n

ijε+ 為

經過 UMAT迭代計算過後所得到之應變張量； nijε 與nijdε 分別為主程式 ABAQUS傳入 UMAT

時的應變張量與應變增量張量。 綜合上述，可知在 UMAT中必需以增量型式之應力應變關係進行分析。因此本研究即將

先前所推導之應力應變關係，撰寫成 UMAT副程式來進行單元素之分析驗證。 (2) 單元素模型

由於本研究在進行三軸試驗時，試體係採用圓柱型試體，試體的幾何形狀及應力的施加

均軸對稱的形式，因此數值模擬三軸試驗時，單元素模型的建立本研究選擇軸對稱元素，元

素編號為 CAX4，單元素模型之示意圖如圖 49所示，圖中虛線為對稱軸，邊界鎖在元素之下

邊界及左邊界。軸向力採施加元素之上邊界，圍壓施加在右邊界。以模擬試體在三軸進行之

情況。 在參數方面，本節以木山層砂岩為例。彈性部份共有三個參數，可採用本研究試驗所獲

得之值；塑性部份所需參數為 7個，參數值來源係參考翁孟嘉(2002)對木山層所提之建議值。綜合整理所需之參數後，如表 7所示 (3) 單元素驗證結果討論

為驗證程式之正確性，本節以單元素 (single element) 模擬三軸試驗。將木山層砂岩純剪試驗實驗曲線資料與進行純剪路徑的單元素數值模擬結果進行比較，一方面檢核此組成律模

式是否可以描述砂岩變形行為；另一方面驗證程式之正確性。 彈性行為方面，圖 50至圖 52為數值模擬結果與加解壓曲線試驗資料之比較。圖 50顯示

程式可適當描述體積應力作用下之非線性行為。圖 51顯示了不同圍壓下，純剪應力與彈性體積應變關係之模擬結果甚佳，此結果亦為一般之彈性模式所無法模擬。圖 52則顯示程式亦可反應彈性剪力模數值會隨圍壓增加之特性。

總變形之數值模擬結果如圖 53至圖 55所示。觀察各應力階段之結果顯示，無論是體積應力或純剪應力作用階段，ABAQUS程式模擬曲線與實驗資料均相當的一致。由此可知模式可適當地模擬砂岩變形行為，同時亦驗證了程式之正確性。 4.5.2 隧道案例分析

隧道開挖為一複雜的力學行為，其影響因素繁多，諸如地質構造、現地應力之分佈、地

下水狀況等，欲從數值分析預測隧道開挖之完整行為，實屬不易。透過某些條件簡化與假設，

例如假設岩體為均質材料、三向度問題簡化為二維問題等，數值分析之重點，應對其關鍵性

之力學行為來進行評估，例如應力集中區或塑性應變集中區往往即是隧道中可能會導致災害

之區域，針對這些區堿於施工過程中加強監測，應可降低災害發生之機率。 隧道前進面之三向度問題，於數值分析上，理應建立三維之模型以模擬之，然在本研究

中，所關心的問題為本章建議之彈塑模式與 ABAQUS 其它內建模式如線彈性模式、Drucker-Prager模式等在分析結果上之比較，故將隧道案例分析從三維問題簡化為二維問題，暫不考慮隧道前進面效應及支撐等其它因素 (1) 隧道案例模型之建立

本研究採用北二高中和隧道之隧道斷面，以平面應變數值模式為基礎，將數值分析結果

與現地監測資料之變形趨勢作一比較，以探討本章建議之彈塑模式(以下簡稱 NTU模式)與線彈性模式(以下簡稱 Elastic模式)、Drucker-Prager模式(以下簡稱 D-P模式)，對隧道應力和變形行為之異同。

本研究隧道案例之數值分析網格如圖 56所示，隧道覆土深度約為 60公尺，隧道斷面寬為 16 公尺，高為 11.4 公尺。理論上邊界距隧道愈遠與實際案例之情形愈接近，然網格之範圍愈大，運算時間愈長，損耗之電腦資源愈多，當邊界距離超過二十倍隧道半徑時，所引起

之誤差不致對工程設計造成影響。基於前述理由，隧道網格採用寬度為 200公尺，高度為 160公尺之模型 (2) 材料參數

本研究分析採用之參數可分成直接由三軸試驗所得之參數(簡稱三軸參數)及考量現場野外岩體為具有節理情況參數(簡稱岩體參數)。綜合整理各模式之參數如表 7 所示。表中之三軸參數係採木山層砂岩經由室內之單壓及純剪三軸應力路徑求得。岩體參數值則是參考中興

顧問公司分析木柵一號隧道與中華顧問公司分析中和隧道所採行之岩體參數。 (3) 分析結果之綜合討論

本隧道案例中，將分析流程分為二個步驟，第一個步驟為進行大地應力自重平衡，第二

個步驟為隧道全斷面之開挖，詳述如下： (A) 大地應力階段分析之正確性

本案例之大地應力比值 0K 為 1.0，故隧道未開挖前之大地應力無論何種材料模式，此步驟之應力狀態均相同。因此，以隧道頂拱覆土深 60 公尺而言，單位重 25 3/kN m ，隧道頂拱之於開挖前之應力狀態理論值應為 1.5 MPa左右。圖 57為本研究隧道模型進行大地應力平後後之情形，圖中可見隧道頂拱附近之應力亦約為 1.5 MPa，與理論值非常地接近。 (B) 隧道周圍岩體變形量之比較

隧道開挖後分析結果分為兩個主題進行討論，包括：(I)整體變形行為之定性討論及(II)特定位置如頂拱、仰拱及側壁之變位量的定量討論。由此兩種主題之比較結果來彰顯各模式

之特色及優缺點。 定性分析整體變形行為方面，本研究觀察隧道開挖後的體積應變及剪應變之分佈情形。

其中圖 58為之各模式之分析結果之剪應變分佈圖，圖中可見，不同模式的剪應變集中區堿大致類似，彼此之間之差異僅為剪應變值的大小。例如同為三軸參數時，本章建議之 NTU模式求得之剪應變會大於 D-P模式及 Elastic模式。

體積應變分佈情況方面，不同模式之體積應變具有明顯的差異性。圖 59 為不同模式分析結果之體積應變分佈情況。由圖中可知，隧道頂拱及仰拱部份，各模式分析結果均為體積

膨脹，亦即擠壓的變形行為，然而在側壁部份，圖圖 59a與圖 59c之側壁之膨脹量相對較小，甚至有些區域之體積應變接近於零。圖 59b為 D-P模式配合岩體參數分析結果，顯示隧道周圍均為擠壓行為，但是大多數集中在側壁。圖 59d為 NTU模式分析結果顯示，隧道周圍為均勻的體積膨脹行為，且愈靠近隧道表面之處，其體積膨脹量愈大，此現象與現地觀察到之隧

道變形行為十分相似。由以上討論可知，本研究建議之 NTU模式應用在隧道分析上時，可以合適定性地描述隧道開挖後周遭岩石的變形行為。由於各模式的彈性體積應變分佈情形相當

一致；因此不同模式總體積應變分佈情形之所會有如此大差異性，其原因主要係歸咎於各模

式之塑性應變值的計算結果不同所致。圖 60為不同模式分析結果之塑性體積應變的分佈圖。由圖中顯示圖 60a與圖 60c之塑性體積應變均為零，而圖 60b與圖 60d之圖則有明顯之塑性變形區域。

在定量分析隧道的變形量方面整理如表 8所示。表中顯示岩體參數時，不管是頂拱、仰拱或側壁，D-P模式之變位量均大於 Elastic模式結果，本模式無岩體之參數，因此僅由三軸參數比較不同模式時的變形量，本模式預估之變形量比線彈性和彈塑性均較大，約為 1.7~2.9倍，會更接近實測之隧道變形量。

以頂拱為例，如圖 61所示，線彈性模式頂拱沉陷量約為 6.28公分，Drucker-Prager模式約為 8.09 公分，此與現場實測頂拱沉陷約 36 公分之差距仍有一段距離。而由三軸參數分析結果顯示，本研究模式分析所得之頂拱變形量約為線彈性模式及 Drucker-Prager 模式之 2.44倍，依此倍率關係推估，本研究之模式如可得適當之岩體參數時，頂拱沉陷量估計約為 19.7公分。綜合本研究成果顯示，本文建議之彈塑模式無論由定性或定量方面，模擬結果均應可

以更近似於實際之隧道變形行為。 (C) 危險因子

鄭富書與黃國品 (1998) 提出材料之危險程度可經由剪應力比值 2 2 , fJ J 得知，其定義

危險因子 Dangerous Factor（ fD ）為材料之剪應力與破壞時剪應力之比值；當 fD 大於 1，則

材料已破壞；反之若 fD 小於 1，則材料仍於安全範圍內。剪脹模式危險因子參數之訂定，本

研究運用 ABAQUS副程式中之使用者自訂變數功能 (UVARM)，以衡量材料之危險程度，副程式 UVARM可呼叫主程式中相當多之物理量，諸如應力場、應變場與應力不變量等，使用者可將這些物理量進行自訂變數之計算。

此處討論安全因子，各模式本研究均採用相同參數的破壞包絡線值，以方便比較不同材

料模式隧道開挖後危險因子之結果，其分析結果如圖 62 所示，由圖中可觀察到圖 62a 及圖62c 分析所得之安全因子最大，此乃因為其僅考慮線彈性模式，因此其即使達到破壞線，材料剪應力強度仍會不斷增加，而圖 62b之安全因子所得安全因子最小，此乃因 Drucker-Prager應力狀態已達破壞包絡線，因此其剪應力不會再增加。而本章所建議之彈塑模式分析結果為

圖 62d，所獲得之安全因子則介於線彈性模式與 Drucker-Prager模式之間。 五、結論

本研究主要結論如下： 5.1砂岩之即時變形特徵方面 5.1.1彈性特徵 研究成果顯示體積應力作用下，彈性體積應變為非線性之行為；此外，相較於塑性應變，

其為總應變之主要變形來源。純剪應力作用下，彈性體積應變與純剪應力間存有非線性偶合

關係，且此關係亦與體積應力有關。不同體積應力之純剪應力經各別之體積應力正規化後，

發現其有著相當一致的變形趨勢，此有助於建立一簡易且可代表其彈性力學性質之迴歸式。

此外，純剪應力與彈性剪應變之關係近似於線性，彈性剪力模數(G)隨體積應力增高呈線性之增加。 砂岩材料之微組構由於具孔隙及微裂隙，因此其力學特性有別於金屬材料。一般考慮岩

石材料之彈性行為時，如採用線彈性來模擬，非但無法適當地描述岩石彈性變形特徵，且經

彈塑分離後之塑性應變也無法顯示其真正之力學特性。 5.1.2 塑性特徵 (1) 塑性變形 在塑性變形特徵方面，本研究以彈性分析成果為基礎，進行彈塑分離。塑性變形特徵分

成體積應力階段與剪應力階段分述成果如下： 體積應力階段砂岩之塑性體積應變增量呈現隨著體積應力增加而遞減之現象，最後呈現

應變閉鎖(plastic strain locking )之現象。此外，相同之體積應力作用下，卓蘭層之塑性體積應變增量均高於木山層。 純剪應力階段成果顯示，砂岩之塑性流隨剪應力增加呈逆時針旋轉，最終並與破壞包絡

線呈正交。塑流角方面，砂岩之塑流角變化隨著剪應力比值增高而增加；此外，不同體積應

力之塑流角變化趨勢相當一致。 整體剪脹門檻之剪應力比值方面，分析結果與翁孟嘉之結果相似，亦即其門檻值與體積

應力無關，整體剪脹門檻之剪應力比值木山層平均約為 0.36，卓蘭層平均約為 0.28；塑性剪

脹門檻之剪應力比值方面，本研究分析結果顯示其與體積應力無關，其值木山層平均約為

0.62，卓蘭層平均約為 0.52。 由於塑性應變係由總應變扣除彈性應變所得，因此彈性變形行為考量方式不同即會造成

其塑性變形特徵的改變。本研究成果顯示，只要適切地考量砂岩特有之彈性變形特徵，可使

砂岩之塑性變形特徵符合諧合準則，此結果有助於建構簡易且符合砂岩材料變形特性之組成

模式。 (2) 不可回復之應力功

本研究以不可回復應力功之觀念為出發點，在合適地考量砂岩材料特有彈性行為之前提

下，進行彈塑分離。並以分離後之塑性應變來計算不可回復之應力功W。其中以考量純剪應力與彈性體積應變之偶合關係為最大之特色。由試驗資料計算所得之不可回復應力功W直接繪製砂岩材料之降伏面。分析結果顯示，降伏面大致均與塑性流呈現正交之情形，此可推論

經由本研究建議之方法，砂岩材料之塑性變形特徵應可以符合諧合性準則。 5.1.3 木山層與卓蘭層的綜合比較 本研究成果顯示，即時情形下，木山層砂岩與卓蘭層之力學特性大致相似。應力路徑與

溫度效應對此兩種砂岩力學特性之影響均不顯著，其較明顯之差異在於卓蘭層砂岩之應變量

於體積應力階段及剪應力階段下均大於木山層砂岩。 此兩種砂岩之破壞包絡線相近，顯示兩種砂岩之在相同外力條件下時，試體之強度相近，

但是所產生之應變量確有明顯之差異，其原因可能與此兩種砂岩之微組構組成成分有關。根

據前人之研究，木山層砂岩微組構之顆粒佔 67.47 %、基質 18.45%及孔隙部份佔 14.08%。由於木山層之顆粒含量高，其變形主要係由顆粒主控，因此其受外力所產生之變形較易受到限

制。反觀卓蘭層砂岩微組構之顆粒佔 39.39%、基質 39.96及孔隙部份佔 20.65%。由於卓蘭層之顆粒含量少，其變形主要係由基質與孔隙之非顆粒部份主控，因此其受外力作用時，相對

也會產生較大之變形量。

5.2 砂岩之依時變形特徵方面

5.2.1 砂岩之潛變行為特徵 體積應力作用階段，隨著體積應力增加，砂岩材料呈現持續潛變壓縮及潛變量逐漸減少

之變形趨勢。在此情形下，試體會愈趨向於穩定，因此本研究與一般研究相同，均先不考慮

體積應力階段所造成之潛變量。 剪應力作用階段方面，可分成體積潛變與剪潛變行為兩者分述如下： 體積潛變行為方面，砂岩之潛變應力在低剪應力時，呈現體積潛變壓縮變形。隨著剪應

力增加，其體積潛變行為逐漸會由壓縮轉換成膨脹。在接近於剪應力強度時，則會伴隨產生

大量體積潛變膨脹。此外，由體積潛變量與剪應力比值之關係圖可發現不同圍壓之潛變量變

化趨勢相當一致。 剪潛變行為方面，剪潛變量初始隨著剪應力比值呈線性方式緩慢增加，當試體潛變行為

過了潛脹門檻，其剪潛變增加趨勢則呈指數型式快速增加。而不同圍壓的剪潛變量變化趨勢

亦相當地一致。此外，比較木山層與卓蘭層之潛變量可發現，無論是體積潛變量或剪潛變量，

卓蘭層均較木山層大。 5.2.2 破壞包絡線評估方面 破壞包絡線方面，本研究之潛變試驗之剪應力強度係試體達到最後一階潛變應力(剪應力

比值約為 0.92)，且潛變時間大於 24 小時後，試體仍未因潛變而破壞，於是加載剪應力直至

試體破壞所得之強度。與即時試驗結果比較後顯示，兩者之破壞剪應力強度相近，因此針對

本研究之砂岩，無論即時或依時之情形，本研究以即時情形之破壞包絡線作為砂岩之強度準

則。 5.2.3 黏塑性變形特徵 本研究進行彈黏塑分離，並針對黏塑性流、黏塑流角、黏塑潛脹門檻及黏塑性應變增量

等項目進行探討。 由潛變試驗試體之體積潛變應變與剪潛變應變之正規化合向量可作為該潛變應力態下的

黏塑性流。黏塑性性流與水平之夾角本研究將其定義為黏塑流角 β2。 關於黏塑性流可發現其與塑性流有著相似的變化趨勢，亦即其方向會隨剪應力增加而呈

現逆時針旋轉。在剪應力(2J )與體積應力(p)之空間中，不同圍壓之塑性流與黏塑性流的綜合

比較顯示兩者之方向變化大多非常一致。 黏塑流角方面，黏塑流角隨著剪應力比值增高。固定剪應力比值下，以 0.5 小時為增加

單位計算潛變時間為 0.5、1.0、1.5、2.0…..小時之黏塑流角( 2β )分析顯示。不同潛變時間之黏塑流角( 2β )非常的接近，其變化趨勢為接近於定值。此說明黏塑性流之方向變化隨時間為固定值，僅其黏塑性應變量不斷隨時間增大。 關於黏塑性潛脹門檻之應力比值變化，分析顯示黏塑潛脹門檻為定值，其與體積應力無

明顯之關係。而與塑性剪脹門檻之比較亦顯示兩者之門檻值非常地接近。 綜合上述之塑性流與黏塑性流方向相似，黏塑流角隨時間變化為定值以及塑性剪脹門檻

與黏塑性剪脹門檻之值非常接近等特徵。本研究認為當應力增量非常小時，砂岩即時情形下

之塑性變形可視為黏塑性變形之一特例，亦即可將其視為瞬時的潛變。 在黏塑性勢能面方面，綜合本研究成果發現，砂岩材料之降伏面等於塑性勢能面同時也

等於黏塑勢能面。一般之研究情形，由於大多沒有作到真正合適之彈塑分離，其降伏面、塑

性勢能面及黏塑勢能面三者經常不會相等，因此需要採用非常復雜之非諧合性準則來模擬大

地材料之即時及依時變形行為，而本研究由解壓再壓曲線考量砂岩材料彈性行為之前提下，

進行砂岩材料之彈塑分離，經探討塑性與黏塑性變形特徵間之關係，發現砂岩材料之即時與

依時狀態下皆可滿足諧合準則，因此在本研究中砂岩材料之黏塑勢能面可以假設等於塑性勢

能面，同時也等於降伏面。其有助於砂岩材料於建立其組成模式時，可採用簡易之諧合性準

則來描述其即時及依時變形之力學行為，此有助於大幅減少組成模式之複雜性。 5.2.4 依時變形之不可回復應力功Wc

潛變所造成之不可回復應力功來源，可分成剪潛變應變及體積潛變應變兩大部份。不可

回復應力功Wc會隨剪應力增加呈現指數型式增加。此乃因為愈接近剪應力強度時，由於潛變量產生之變形量愈大，因此Wc之增加量亦愈多。

5.3 彈/黏塑組成模式方面

根據砂岩之即時與依時之變形特性，本研究建議一彈/黏塑組成模式，其特色如下： 彈性模式方面，本研究以翁孟嘉(2002)建議之能量密度函數為基礎進行修改，使其得以

描述本研究所觀察到之砂岩彈性變形特徵。彈性模式除了可反應體積應力作用下，彈性體積

應變呈現非線性之變形行為外。較特別是修正後的彈性模式亦可以反應砂岩在純剪應力作用

下，彈性體積應變不僅與剪應力有偶合關係，同時亦與體積應力有關。同時模式亦可反應材

料之彈性剪力模數隨圍壓增加而增高之行為。

黏塑性模式方面，係以 Cristescu(1989)之黏塑性模式為出發點，針對其不可回復應力功之計算方式加以修改。本黏塑模式無論塑性或黏塑性均遵守諧合性準則。模式之參數少，求取

方式容易。綜合整理本黏塑模式可模擬砂岩之主要塑性及黏塑性變形特徵。即時之塑性變形

方面，包含有：(1)體積應力作用下，隨著體積應力增加，塑性體積應變逐漸減少之應變閉鎖現象；(2)純剪應力作用下，塑性體積應變一開始為受剪壓縮、隨著純剪應力增加，塑性體積應變逐漸轉換為受剪膨脹之變形行為；(3)純剪應力作用下，塑性剪應變一開始呈線性增加，接近剪力強度時，剪應變產生大量變形之行為。 依時黏塑變形方面，包括：(1)低剪應力作用下，砂岩材料之體積潛變壓縮行為，隨著潛

變剪應力增加，逐漸轉換為潛變膨脹之行為；(2)剪潛變量初始隨剪應力比值呈線性增加，過程材料之潛脹門檻後，呈現指數型式增加之行為。 即時變形之模擬結果方面，在與翁孟嘉(2002)彈塑模式及一般常用之大地材料組成模式

Drucker-Prager 及 Cap 模式比較後，可發現本研究彈/黏塑模式及翁孟嘉之彈塑模式，具有甚佳之模擬效果。 依時變形行為之模擬方面，本研究模式可同時適用模擬即時及依時情形下之變形行為。

實驗值與模擬值有著相當一致之結果。在潛變曲線方面，雖然本研究模式僅能針對砂岩材料

之一次潛變行為進行模擬，然而針對潛變量方面，模式可以反應其潛變量隨剪應力比值之變

化趨勢及量。此項特性，已非一般之潛變公式所能模擬。未來如再加入二次潛變之部份，應

可以更準確模擬潛變曲線之變形趨勢。

5.4 數值分析與應用方面

為了在數值分析中建立一套可反應砂岩力學特性之數值分析模式，本研究以本文之彈性

模式結合前人翁孟嘉(2002)建議之塑性模式。作法上首先將彈塑模式推導成增量型式應力應變關係，之後則將其撰寫成可配合數值分析之副程式，最後利用此程式針對隧道案例進行開

挖分析，分析結果並與數值分析軟體內建之線彈性模式及 Drucker-Prager 模式相比較。所獲致之結論如下：

本研究所推導之增量型式彈性及塑性模式，經數值分析以單元素進行數值三軸試驗並與實驗資料比對結果相當吻合，此說明本研究撰寫之副程式可合適地描砂岩之材料即時情形下

之變形特徵。 針對案例所進行之隧道開挖分析結果顯示，本研究所建議之彈塑性模式與其它模式比較

結果，定性方面，本研模式體積應變分佈情況方面，不同模式之體積應變具有明顯的差異性。

隧道頂拱及仰拱部份，各模式分析結果均為體積膨脹，亦即擠壓的變形行為，然而在側壁部

份，線彈性模式及 Drucker-Prager 模式所得側壁之膨脹量相對較小，甚至有些區域之體積應變接近於零。本研究建議之彈塑模式分析結果顯示，隧道周圍為均勻的體積膨脹行為，且愈

靠近隧道表面之處，其體積膨脹量愈大，此現象與現地觀察到之隧道變形行為十分相似。由

以上討論可知，本研究建議彈塑模式應用在隧道分析上時，可以合適定性地描述隧道開挖後

周遭岩石的變形行為。 定量分析隧道的變形量方面結果顯示本模式預估之變形量比線彈性和 Drucker-Prager 彈

塑性均較大，約為 1.7~2.9倍，會更接近實測之隧道變形量。 以頂拱為例，線彈性模式頂拱沉陷量約為 6.28公分，Drucker-Prager模式約為 8.09公分，

此與中和隧道現場實測頂拱沉陷約 36 公分之差距仍有一段距離。而由三軸參數分析結果顯示，本研究模式分析所得之頂拱變形量約為線彈性模式及 Drucker-Prager 模式之 2.44倍，依

此倍率關係推估，本研究之模式如可得適當之岩體參數時，頂拱沉陷量估計約為 19.7公分。綜合本研究成果顯示，本文建議之彈塑模式無論由定性或定量方面，模擬結果均應可以更近

似於實際之隧道變形行為。 六、參考文獻

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表 1 不同岩石之基本物理性質表

試體來源 分類代號乾密度 γd

( kN/m3)

比重 Gs

孔隙率 n

(%) 草嶺地區 Ⅰ 22.76 2.68 13.44

TCDP

Ⅱ 24.72 2.69 6.32 Ⅱ 24.43 2.69 7.57 Ⅲ 21.88 2.63 15.12 Ⅳ 25.21 2.66 3.32 Ⅳ 25.41 2.73 1.87 Ⅲ 22.17 2.65 14.59 Ⅱ 25.21 2.71 5.19 Ⅳ 25.21 2.64 2.82

表 2各種類型岩石之 α及 k值( Drucker-Prager破壞準則)與摩擦角 φ及凝聚力 c

岩石代號 Drucker-Prager Mohr-Coulomb

k ( MPa ) α C ( MPa ) φ

I 11.879 0.38 11.576 48.06

II 16.707 0.32 14.923 40.60

III 2.999 0.39 2.953 48.78

IV 19.125 0.30 16.704 37.99

表 3彈性模式之應力應變關係比較表

項目 本計畫 翁孟嘉(2002)

能量密度函數 3 / 21 1 2 1 2 3 21b I b I J b J−Ω = + + 3 / 21 1 2 1 2 3 2b I b I J b JΩ = + +

體積應力 作用階段

彈性體積應變 1291 kk 12 1' II bε= = 同左

彈性剪應變 2 2 ' 0Jγ = = 同左

剪應力 作用階段

彈性體積應變 2

21 2

1

J' = -3 II b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21 2 2' = 3 ( J ) I b

彈性剪應變 2 3 21

2 b b JIγ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2312 )(2 JbIb +=γ

表 4 即時與依時試驗模擬時，各函數採用之W值

函數 即時試驗 依時試驗

W (t0) 2( , )W p J 2( , )W p J

H 2 2( , )W p p J J+ ∆ + ∆ 2( , )cW p J

F 2( , )W p J 2( , )W p J

註：

2

220 1 2 2

2

22 2

2

( , )

( ) ; ( , ) ( ) ( ) ln 1

( , ) ( ) ( ) ln 1

h d

h df

cf

W p J W W

JW p h p h p W p J c p J d p

J

JW p J e p J f p

J

= +

⎡ ⎤⎢ ⎥= + = + −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

表 5 本研究中採用之彈性、塑性及黏塑模式

本研究彈/黏塑模式 翁孟嘉(2002)彈塑模式 Drucker-Prager彈塑模式 Cap彈塑模式

彈性 0.5 -23

ij 1 1 2 1 2 ij2

-12 1 3 ij

ε =( b I -b I J )δ

+ (b I +b ) s

0.532ij 1 1 2 2 ij

2 1 3 ij

ε =( b I +b J ) δ

+ (b I +b ) s ij ij ij

1+ν υε = σ - δE E

ij ij ij1+ν υε = σ - δ

E E

降伏面 2 2H(p, J )=W(p, J ) ( ) n1 2 2 D 1

2D 1

H I ,J =J -[-α (I +T)

+γ (I +T) ]=0 ( )1 1 2 2 f 1 fH I ,J = J - α I - k =0

( )1 1 2 2 f 1 fH I ,J = J - α I - k =0 2 2 2 2

2 2 1H =R J + (I -C) = R b

塑性 勢能面 2 2 2

F(p, J ) = H(p, J )=W(p, J ) 1 2 1 2F(I , J ) = H(I , J ) 1 2 1 2F(I , J ) = H(I , J ) 1 2 1 2F(I , J ) =H(I , J )

黏塑 勢能面 2 2 2

F(p, J ) = H(p, J )=W(p, J ) — — —

塑性硬

化參數

2 h dw(p, J )=w +w

2h 0 1w =h p+h p

d 2 2 2fw =c(p) J +d(p)ln 1- J J⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) 32 1/ββp 1 D 4 Ddε =β α + β α — 1η xp 1dε = a e

黏塑硬 化參數 c 2 2 2f

w =e(p) J +f(p)ln 1- J J⎡ ⎤⎣ ⎦ — — —

表 6 各模式之材料常數

參 數 說 明 數 值

彈 性 模 式

線彈性 K 體積模數 3.1 GPa G 剪力模數 11.2 GPa

非線性彈性 (翁孟嘉，2002)

b1 非線彈模式材料常數 167.0 21)( −⋅ MPaµ

b2 非線彈模式材料常數 -0.17 2)( −⋅ MPaµ

b3 非線彈模式材料常數 65.5 1)( −⋅ MPaµ

非線性彈性 (本研究)

b1 非線彈模式材料常數 143.7 21)( −⋅ MPaµ

b2 非線彈模式材料常數 1462.8 µ b3 非線彈模式材料常數 30.19

12( )MPaµ −⋅

塑 性 模 式

D r u c k e r – P r a g er 模式

αf F1之斜率 0.34 kf F1之截距 11.02 MPa

Cap模式 R F2 長短軸比 1.67 a1 硬化準則之常數 0.29 　1 硬化準則之常數 0.05

　 o 模式 (翁孟嘉，2002)

　D 破壞包絡線斜率之平方 0.12 T 破壞包絡線與 I1軸截距 40.70 MPa n 降伏面形狀常數 3.47 β1 硬化準則之常數 1.30 E 5 β2 硬化準則之常數 2.52 β3 硬化準則之常數 0.64 β4 硬化準則之常數 7.34 E-8

黏 塑 模 式

Cristescu模式 (本研究)

h0 體積應力階段不可回復應力功Wh之常數

1.118×10-3 h1 -6.20×10-6 (MPa)-1 c0 剪應力階段不可回復應

力功Wd之常數 -1.693×10-5

c1 2.385×10-11 (MPa)-4 d0 2.096×10-2 MPa d1 1.737×10-7 (MPa)-2 e0 潛變階段不可回復應力

功Wc之常數 -5.733×10-6 (MPa)-1

e1 -4.025×10-12 (MPa)-4

f0 -2.096×10-2

表 7各模式之材料常數

模式 參數 三軸參數 岩體參數

線彈性模式 E：彈性模數 7500 MPa 200 MPa ν：柏松比 0.21 0.21

D-P模式 k：破壞包絡線截距 11.6 Mpa 1.4 MPa φ：摩擦角 39 39 ψ：剪脹角 39 39

彈塑模式 (本研究)

b1：非線彈模式材料參數 143.7 0.5( )MPaµ −⋅ − b2：非線彈模式材料參數 1462.8 − b3：非線彈模式材料參數 30.2 1( )MPaµ −⋅ − γD：破壞包絡線斜率之平方 0.12 − T：破壞包絡線與 I1軸截距 40.7 MPa − n：降伏面形狀參數 3.47 − β1：硬化準則之參數 1.3E+5 − β2：硬化準則之參數 2.52 − β3：硬化準則之參數 0.64 − β4：硬化準則之參數 7.34E-8 −

表 8 不同模式分析隧道開挖變形量之結果

模式 頂拱擠壓 (cm) 仰拱擠壓(cm) 側壁擠壓(cm)

三軸參數 岩體參數 三軸參數 岩體參數 三軸參數 岩體參數線彈性模式 0.168 6.28 0.335 12.55 0.162 6.07

D-P彈塑模式 0.168 8.09 0.335 13.63 0.162 8.88 NTU彈塑模式 0.41 − 0.59 − 0.48 −

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

Depth of TCDP hole-A (m)

Com

pres

sion

al w

ave

velo

city

Vp

(km

/sec

)

II typeIII typeIV type

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400

Depth of TCDP hole-A (m)

Shea

r w

ave

velo

city

Vs (

km/s

ec)

II typeIII typeIV type

圖 1 岩石試體之壓力波速分佈圖 圖 2 岩石試體之剪力波速分佈圖

0.00

0.05

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