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§4.LarettainR3 .

§4.1.Leequazionicartesianediunaretta.

Dati due piani Γ :ax+by+cz+d = 0 e !Γ : !a x+ !b y+ !c z+ !d = 0 non paralleli tra loro, il luogogeometricodeipuntidiintersezionetraessièunaretta.Sideducecheleequazionicartesianediunarettasono

r : ax+by+cz+d = 0!a x+ !b y+ !c z+ !d = 0

"#$

%$.

Osservazione:poichéci sono infinitipianiaiquali appartieneuna retta r, leequazioninon sonounivocamentedeterminate.§4.2.L’equazionediunarettapassanteperduepuntinoti.

Una retta nello spazio è univocamente determinata da due punti. L’equazione di una rettapassanteperduepunti A x1 ;#y1 ;#z1( ) ,B x2 ;#y2 ;#z2( ) è,inanalogiaconquantofattoinR2 ,

x − x1x1 − x2

=y− y1y1 − y2

=z− z1z1 − z2

⇒ r :

x − x1x1 − x2

=y− y1y1 − y2

y− y1y1 − y2

=z− z1z1 − z2

#

$

%%

&

%%

.

§4.3.L’equazioneparametricadiunaretta.

ConsideriamoduepuntiAeB suunaretta.Unarettapuòessereunivocamentedeterminatada

unadirezionedatadalvettore AB! "!

edalpuntoA.Dalla relazione data al sotto-paragrafo precedente, detti l = x1 − x2 ,m= y1 − y2 e n= z1 − z2 , leequazioniparametricheinformascalaredellarettasono

x − x1l

= t∧y− y1m

= t∧z− z1n

= t⇒ r :x = x1 + lty = y1 +mtz = z1 +nt

$

%&

'&

,

doveilparametroè t ∈ R .Per determinare l’equazione parametrica in forma vettoriale della retta, tenuto conto che

AB! "!

= l;"m;"n( ) ,siottiene r :OP! "!

=OA! "!

+AB! "!

"t .

Poiché ivalori l,medndanno ladirezionedellaretta, talivalorisonodetticoefficientidirettividellaretta.

Osservazione: Anche le equazioni parametriche non sono univocamente determinate. Bastaconsiderareunaqualsiasialtracoppiadipuntiperrenderseneconto.§4.4.Comepassaredallecoordinatecartesianeaquelleparametriche?

Data l’equazionecartesianadiuna retta,determinosudiessaduepuntidistintiA,B eprocedocomealsotto-paragrafoprecedente.Unaltromodoèquellodiporre,adesempio, z = t escriverexeyinfunzionedit.

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Esempio:scrivereleequazioniparametrichedellaretta r : 2x − y+ z−2= 0x −3y−2z−1= 0

"#$

%$.

I modo. Determiniamo due punti della retta r, assegnando dei valori a caso alla variabile x edeterminando i corrispondenti valori di y e z: A 0;#−1;#1( ) e B 1;#0;#0( ) . Otteniamo

AB! "!

= 1;#1;#−1( ) .Leequazioniparametrichesono r :x = ty =−1+tz =1−t

"

#$

%$

.

IImodo.Consideroilsistema r :x = t2x − y+ z−2= 0x −3y−2z−1= 0

"

#$

%$

⇔

x = ty =2t+ z−2t−3 2t+ z−2( )−2z−1= 0

"

#$$

%$$

⇔

x = ty =−1+tz =1−t

"

#$

%$

.

Chiaramente,seinvececonsideroilsistema r :2x − y+ z−2= 0x −3y−2z−1= 0z = t

"

#$

%$

,ottengounaversionediversadi

equazioniparametriche:y =2x+t−2x −3 2x+t−2( )−2t−1= 0z = t

"

#$

%$

⇔

x =1−ty =−tz = t

"

#$

%$

.

§4.5.Comepassaredallecoordinateparametricheallecoordinatecartesiane?

I metodo: un primo metodo è quello di svincolare le incognite x, y e z dal parametro t,rimaneggiandoilsistema,inmododaotteneredueequazioni.

IImetodo:unaltrometodoèquellodidaredeivalorialparametrotinmododadeterminareduepuntidistintidellaretta(nebasterebbeunosolovistochepossodedurrefacilmentelecoordinatedelpuntoA);aquestopuntobastaapplicarelarelazionedatanel§4.2.

Esempio:determinareleequazionicartesianidellaretta r :x =1−ty =−tz = t

"

#$

%$

.

Imodo. r :x =1−ty =−tz = t

"

#$

%$

⇔

x =1+ zy =−zz = t

"

#$

%$

⇒ r : x − z−1= 0y+ z = 0

"#$

%$.

IImodo.Determiniamoduepuntidellaretta:per t = 0 otteniamo A 1;#0;#0( ) ;per t =1 otteniamo

B 0;#−1;#1( ) .Quindi r :x −11−0

=y−0

0− −1( )y−0

0− −1( )=z−00−1

"

#

$$

%

$$

⇔x −1= yy =−z

"#$

%$⇒ r : x − y−1= 0

y+ z = 0

"#$

%$.

Siosservacheleequazionisonosìdistintemarappresentanolamedesimarettar.

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§4.6.Laposizionereciprocadiduerettenellospazio.

Duerettenellospaziopossonoesserei. complanari quando appartengono allo stesso piano. In questo caso o le rette sono

paralleleoppuresecanti(inunpunto);ii. sghembequandononappartengonoaunostessopiano.Inquestocasolerettenonsono

nésecantinéparallele.§4.7.Condizionediparallelismotraduerette.

Dateduerettere !r ,essesonoparalleleseilorocoefficientidirettivisonoinproporzione,ovveroivettori l;"m;"n( ) e !l ;" !m ;" !n( ) ,relativiadred !r rispettivamente,sonolinearmentedipendenti.In

sintesi:

r // !r ⇔ l!l=m!m=n!n⇔ rk l m n

!l !m !n

#

$%

&

'(=1 .

§4.8.Condizionediperpendicolaritàtraduerette.

Dateduerettere !r ,essesonoperpendicolariseirispettivivettori!r = l;"m;"n( ) ed !r '= !l ;# !m ;# !n( )

sonofraloroperpendicolari,ovveroquando!r •!r '= 0 .Siha:

r ⊥ "r ⇔ l! "l +m! "m +n! "n = 0 .§4.9.Rettesecanti.

Perdeterminareilpuntodiintersezionetraduerettepossooperareinduemodi.Imodo.Consideroleloroequazionicartesianeerisolvoilsistema r∩ "r .IImodo.Consideroleloroequazioniparametriche;daquelledirdetermino,perognivariabile,ilvaloreditelosostituisconell’equazionedellaretta !r nellerispettivevariabili.

Esempio:Considerolerette r :x =1+ty =2−tz =3+2t

"

#$

%$

ed !r :x =−1−ty = tz =1

#

$%

&%

.

Perdeterminareilpuntodiintersezione,dallasecondarettaottengot =−1− xt = yz =1

"

#$

%$

(ilvaloredizègià

determinato) e sostituisco nell’equazione della prima:

x =1+ −1− x( )y =2− yz =1

"

#$$

%$$

⇒

x = 0y =1z =1

"

#$

%$

, cioè il punto in

comuneèP 0;#1;#1( ) .

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§4.10.DistanzadiunpuntoP xP ;yP ;zP( ) daunarettardidirezione !r = l;"m;"n( ) .

step1.Comeprimacosadeterminiamol’equazionedelpianoΓ :ax+by+cz+d = 0 perpendicolareallarettar,passanteperilpuntoP.Tale piano avrà gli stessi coefficienti direttivi della retta, quindi a = l , b=m e c = n . PerdeterminareilparametrodimpongoilpassaggioperPeottengod =−lxP −myP −nzP .step2.Determiniamolaproiezione !P delpuntoPsullarettar,ovveroilpuntodiintersezionedelpianoconlaretta.Imodo.Consideriamol’equazionecartesianadellarettaerisolvoilsistema r∩Γ .IImodo. Consideriamo l’equazione parametrica della retta e sostituisco i valori di x, y e z, chedipendonodalparametrot,nell’equazionedelpiano.Mitrovocosìilvaloreditrelativoalpunto!P . Ora basta semplicemente sostituire il valore di t nell’equazione parametrica di r per

determinarelecoordinatedelpunto !P .step3.Determiniamoladistanzarichiesta:dist P;&r( )=P !P .

Esempio:calcolareladistanzadelpuntoP 2;#0;#1( ) dallaretta r :x =1+ty =2−tz =3+2t

"

#$

%$

.

Innanzitutto notiamo cheP ∉ r in quanto, sostituendo le coordinate del punto nell’equazionedellaretta,ilsistemarisultaessereincompatibile,cioènonriescoadeterminareunvaloreunivocodelparametrot.Determiniamo l’equazione del pianoΓ :ax+by+cz+d = 0 passante per P e perpendicolare allarettar:a =1 ,b=−1 , c =2 ed =−lxP −myP −nzP =−2+0−2=−4 .QuindiΓ : x − y+2z−4 = 0 .Oradeterminiamolaproiezione !P delpuntoPsullarettar.Dall’equazionedellarettarsostituiscoi valori dipendenti da t nell’equazione del piano: 1+t( )− 2−t( )+2 3+2t( )−4 = 0⇒ t =−1 6 . Le

coordinatedelpuntocercatosaranno

!P :x =1−1 6y =2+1 6z =3−1 3

#

$%

&%

⇒ !P 56;( 136(;83

(

)*

+

,- .

Finalmentedeterminoladistanzarichiesta:

dist P;&r( )=P !P = 2− 56

#

$%

&

'(

2

+ 0−136

#

$%

&

'(

2

+ 1− 83

#

$%

&

'(

2

=2212

.

§4.11.Laposizionereciprocadiunarettaeunpiano.

UnarettareunpianoΓ possonoesserei. secantiquandosiintersecanoinunpunto;ii. paralleli quando la direzione della retta e la normale al piano risultano essere tra loro

perpendicolari;iii. parallelied r ⊂Γ .

Per determinare eventuali punti di intersezione, un metodo è quello di mettere a sistema leequazioni cartesiane della retta con quella del piano. Se il sistema risulta essere compatibile (il

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determinante della matrice associata è non nullo) allora i due oggetti sono secanti; se risultaincompatibile allora sono paralleli. Per verificare che r ⊂Γ basta notare che il sistema èindeterminato.Riferimentibibliografici[1]M.Bergamini,A.TrifoneeG.Barozzi,Matematica.blu2.0,vol.4,Zanichelli,Bologna,2012.[2]S.Salomon(PoliTO),http://calvino.polito.it/~salamon/P/G/[3]Matematicamente,http://www.matematicamente.it/[4]YouMath,http://www.youmath.it/[5]Wikipedia,http://it.wikipedia.org/wiki/Pagina_principale