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EQUAZIONI DIFFERENZIALI: esercizi proposti
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Un produttore di lampadine vuole realizzare lampadine che durino cir-
ca 700 ore ma, naturalmente alcune bruciano prima di altre. Sia F (t)
la percentuale di lampadine che bruciano entro t ore, per cui F (t)
e sempre compresa tra 0 e 1.
(a) Ipotizzare un grafico per F (t) e disegnarlo.
(b) Qual’e il significato della derivata prima F ′(t)?
(c) Supposto F ′(t) = 2π
1x2+1
, qual’e il valore e il significato di∫ +∞0 F ′(t)dt?
2. Quando si mettono al forno le patate, la loro temperatura aumenta se-
condo la legge di Newton: la velocita di riscaldamento di un oggetto
(in gradi al minuto) e proporzionale alla differenza di temperatura tra
le patate e il forno, se questa differenza non e troppo grande.
Supponiamo di mettere delle patate a temperatura ambiente di 20oC
in un forno riscaldato a 180oC.
(a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui le patate si riscaldano piu
rapidamente. Cosa succede alla velocita di riscaldamento al crescere
di t?
(b) Scrivere un’equazione differenziale che descriva la legge di Newton
in questa particolare situazione. Qual’e la condizione iniziale? Questo
modello e in accordo con l’ipotesi formulata in (a)? Tracciare il grafico
qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali.
3. Si consideri una popolazione P (t) con tassi di nascita e morte costanti
pari ad α > 0 e β > 0 e un tasso di migrazione costante m > 0.
Si assuma α > β. Il tasso di crescita della popolazione al tempo t
1
e descritto dall’equazione differenziale
P ′ = kP −m, k = α− β
Trovare la soluzione di questa equazione che verifica la condizione ini-
ziale P (0) = Po.
Individuare per quali valori di m la popolazione cresce esponenzial-
mente, oppure assume un valore costante, oppure diminuisce.
4. Una birra viene versata in modo costante nel boccale qui rappresen-
tato; il volume versato nell’unita di tempo e costante.
Disegnate il grafico che rappresenta l’altezza raggiunta dalla birra nel
boccale in funzione del tempo, ponendo particolare attenzione alla
concavita’ del grafico.
Qual’e il significato del punto di flesso?
5. Rette universitarie Uno studio sulla domanda di istruzione superi-
ore, che utilizza le tasse scolastiche come variabile di prezzo, ha dato
il seguente risultatody
dx= −0.4
y
x
dove x rappresenta le tasse scolastiche e y la quantita di istruzione
superiore.
Risolvete l’equazione differenziale.
Quale delle seguenti conclusioni e suggerita dal risultato?
(a) Quando la retta sale, aumenta la domanda di iscrizione.
(b) Come determinante della domanda di istruzione, il reddito e piu
importante del prezzo.
(c) Se le Universita riducessero le rette, i loro introiti aumentereb-
bero.
(d) Se le Universita alzassero le rette, i loro introiti aumenterebbero.
6. Il pazzo si separa presto dal suo denaro. Un pazzo perde i propri soldi
al gioco con velocita (in euro all’ora) pari ad un terzo della somma
che egli possiede ad ogni dato istante. Quanto tempo gli occorrera per
perdere meta della sua ricchezza?
2
7. Saturazione del mercato. E stato introdotto un nuovo modello di com-
puter sul mercato; si prevede che se ne venderanno 100000 unita e che
il tasso di vendite mensili sara il 10% della differenza tra il punto di
saturazione del mercato e le vendite totali fino a quel mese.
(a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui il tasso di vendite e piu
alto, individuare il suo andamento al crescere di t e tracciarne un
grafico qualitativo.
(b) Scrivere e risolvere un’equazione differenziale che descriva le ven-
dite totali in funzione dei mesi.
Qual’e la condizione iniziale?
Questo modello e in accordo con l’ipotesi formulata in (a)? Tracciare
il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori iniziali.
8. Gelati Le vendite mensili dei gelati alla crema y(t) sono scese ad un
tasso istantaneo del 5% al mese.
(a) Se attualmente si vendono 1000 confezioni al mese, trovare l’e-
quazione differenziale che descrive la variazione nelle vendite e
risolverla per prevedere le vendite mensili.
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata
y′(t). .
9. Pesci. E stato elaborato un modello per prevedere la lunghezza L(t)
di un pesce durante un certo periodo di tempo t . Se L e la lunghezza
massima di una specie, allora l’ipotesi e che il tasso di crescita della
lunghezza sia proporzionale a L− L(t).
(a) Formulare e risolvere un’equazione differenziale per trovare l’e-
spressione di L(t).
(b) Per il merluzzo del Mare del Nord si e determinato che
L = 53cm, L(0) = 10cm e la costante di proporzionalita e 0.2.
Qual’e l’espressione di L(t) con questi dati?
(c) Nel caso del merluzzo, tracciare il grafico della soluzione L(t) e
della sua derivata L′(t).
10. Radioattivita. Gli isotopi radioattivi emettono radiazioni (decadono)
secondo la cosiddetta legge del decadimento radioattivo. Sia N(t) il
3
numero degli atomi di un isotopo radioattivo presenti al tempo t, tale
numero diminuisce per via del fenomeno della radioattivita in modo
proporzionale al numero stesso degli atomi N(t).
(a) Determinare l’equazione differenziale che che descrive il decadi-
mento radioattivo e risolverla supponendo che N(0) = N0 (dato
iniziale).
(b) Un’applicazione del decadimento radioattivo e la datazione dei
reperti archeologici o di opere d’arte. Come si puo usare la
soluzione trovata per tale scopo?
11. Le vendite mensili di t-shirt sono scese ad un tasso del 5% al mese. Se
attualmente si vendono 1000 magliette al mese
(a) determinare l’equazione differenziale che descrive la variazione
nelle vendite e risolverla per prevedere le vendite mensili. Trac-
ciare il grafico della soluzione.
(b) Quante t-shirt si venderanno tra 7 mesi?
(c) Se in magazzino avete 5000 magliette, prevedete di poterle vendere
tutte?
12. Zuppa. Una pentola di zuppa a 38oC e posta in un locale con tem-
peratura di 15oC. Dopo 10 minuti la zuppa si e raffreddata fino a
30oC.
(a) Facendo riferimento alla legge di raffreddamento di Newton
( La velocita di raffreddamento di un oggetto (in gradi al mi-
nuto) e proporzionale alla differenza di temperatura tra l’oggetto
e l’ambiente, se questa temperatura non e troppo grande), deter-
minare una equazione differenziale che descriva questa situazione
e risolverla.
(b) Che cosa rappresenta la funzione soluzione? Tracciarne il grafico.
(c) Trovare il tasso di raffreddamento dopo 20 minuti.
13. Infuenza. Un’epidemia di influenza si diffonde in una popolazione di
104 abitanti. Inizialmente sono riportate 100 persone contagiate e si
stima che la costante di proporzionalita sia k = 5%. Si prevede che
meta della popolazione si ammalera.
4
(a) Determinare l’equazione differenziale che descrive questa situ-
azione e risolverla.
(b) Che cosa rappresenta la funzione soluzione? Tracciarne il grafico.
(c) Qual e il momento di massima diffusione dell’epidemia?
14. Batteri. Una coltura di batteri parte con 500 individui e cresce ad un
tasso proporzionale alla propria dimensione. Dopo 3 ore ci sono 8000
batteri.
(a) Trovare l’equazione differenziale che descrive la crescita della popo-
lazione di batteri e risolverla.
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y′(t).
(c) Determinare il numero di batteri dopo 4 ore.
(d) Trovare il tasso di crescita dopo 4 ore.
15. Salamoia. Un serbatoio contiene 1000 litri di salamoia formata da
15 Kg di sale sciolto. Dell’acqua entra nel serbatoio ad una velocita
di 10 litri al minuto. La soluzione viene rimescolata continuamente e
fuoriesce dalla tanica alla stessa velocita.
(a) Trovare l’equazione differenziale che descrive la variazione del-
la quantita di sale nel serbatoio e risolverla per prevedere la
concentrazione della soluzione a lungo termine.
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y′(t).
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FACOLTA DI AGRARIA
Nome Cognome
CL
Anno di corso Scuola di provenienza
Perugia, 16 marzo 2005
Analisi Matematica
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Gelati. Il profitto mensile sulle vendite di gelato alla crema y(t)
cresce ad un tasso istantaneo del 10% al mese.
(a) Se attualmente si ottiene un profitto di 1500 euro al mese, trovare
l’equazione differenziale che descrive la variazione del profitto e
risolverla per prevedere il profitto mensile.
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata
y′(t). .
(c) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per
determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i
valori ottenuti con quelli della soluzione esatta al secondo mese
( t = 2).
2. Raffreddamento. Consideriamo un corpo a temperatura di 100oC che
viene immesso in un recipiente contenente acqua mantenuta a tempe-
ratura costante di 20oC. Dopo un minuto la temperatura del corpo
si e ridotta a 60oC. Supponendo che valga la legge di Newton sul
raffreddamento,
(a) formulare un’ipotesi sul momento in cui il tasso di raffreddamen-
to e piu alto, individuare il suo andamento al crescere di t e
tracciarne un grafico qualitativo;
(b) scrivere e risolvere un’equazione differenziale che descriva la varia-
zione della temperatura in funzione del tempo;
(c) tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai
valori iniziali;
6
(d) determinare l’intervallo di tempo necessario al corpo per raggiun-
gere la temperatura di 25oC.
3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giusti-
ficare la risposta, se false, fornire un controesempio.
(a) Tutte le soluzioni dell’equazione differenziale y′ = 1 + y2 sono
funzioni crescenti.
(b) La funzione f(x) = (lnx)/x e soluzione dell’equazione differen-
ziale x2y′ + xy = 1.
(c) L’equazione y′ = x + y e a variabili separabili.
(d) Se y(t) e la soluzione del problema ai valori iniziali
y′ = 2y(1− y5 )
y(0) = 1allora limt→+∞ y(t) = 5.
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FACOLTA DI AGRARIA
Nome Cognome
CL
Anno di corso
Perugia, 1 giugno 2005
Analisi Matematica
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Automobili. Un’automobile da corsa accelera da ferma fino a raggiun-
gere la velocita di 40t m/s t secondi dopo la partenza. Che distanza
percorrera in 8 secondi?
2. Vacanze. Dopo l’introduzione dell’euro, il costo y(t) di una setti-
mana di vacanza per una famiglia media di quattro persone e cresciuto
continuamente ad un tasso istantaneo del 7.3%.
(a) Formulare e risolvere un’equazione differenziale per trovare l’e-
spressione di y(t).
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata
y′(t). .
3. Glucosio. Una soluzione di glucosio viene somministrata in vena con
velocita costante v. Via via che il glucosio viene introdotto, viene
trasformato in altre sostanze ed eliminato dal flusso sanguigno con una
velocita proporzionale alla sua concentrazione in quell’istante. Quindi
un modello per la concentrazione della soluzione di glucosio C(t) nel
sangue edC
dt= v − kC
dove k e una costante positiva.
(a) Supponendo che la concentrazione al tempo t = 0 sia C0 deter-
minare la concentrazione in funzione del tempo risolvendo l’e-
quazione differenziale.
(b) Assumendo C0 < v/k trovare limt→+∞C(t) e interpretare la
risposta.
8
(c) Disegnare i grafici di C(t) e di C ′(t).
4. Integrali. Assegnata la funzione
f(x) =
3 se− 2 ≤ x < 1
−x + 2 se 1 ≤ x < 4
(a) motivarne l’integrabilita e determinarne l’integrale definito;
(b) determinarne l’area sottesa dal grafico;
(c) individuare un rettangolo equivalente.
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FACOLTA DI AGRARIA
Nome Cognome
CL
Anno di corso Scuola di provenienza
Perugia, 6 aprile 2006
I Esercitazione di Analisi Matematica
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Cinetica chimica. Il pentossido di azoto gassoso si decompone secondo
la reazione 2N2 O5 → 4NO2 + O2. Sia C(t) = [N2O5] la concen-
trazione di pentossido di azoto (in moli per litro) al tempo t. Si puo
supporre che a temperatura costante il tasso di reazione dC/dt sia
proporzionale a C.
(a) Trovare l’equazione differenziale che descrive la variazione di con-
centrazione e risolverla.
(b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell’equazione dif-
ferenziale e quello della derivata C ′(t).
(c) Se C(0) = 0.0800 moli/litro, determinare la soluzione del proble-
ma di Cauchy.
(d) Se dopo 4 minuti la concentrazione e scesa a 0.0400 moli/litro,
dopo quanti minuti sara il 10% della concentrazione iniziale?
(e) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per
determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i
valori ottenuti con quelli della soluzione esatta al secondo minuto
( t = 2).
2. Dieta. E noto che la velocita di dimagrimento e proporzionale alla
differenza tra il peso effettivo e quello ideale.
Una ragazza alta 1.68 m dovrebbe pesare circa 55 Kg. Spaventata
dall’eccessivo peso di 100 Kg decide di iniziare una dieta dimagrante.
Indicato con P (t) il peso dopo t settimane di dieta:
10
(a) formulare e risolvere un’equazione differenziale per trovare l’e-
spressione di P (t),
(b) tracciare il grafico della soluzione P (t) e della sua derivata
P ′(t).
(c) Se dopo un mese ha perso 7 Kg, determinare in quanto tempo
raggiunge il peso di 60 Kg.
3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giusti-
ficare la risposta, se false, fornire un controesempio.
(a) Tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
y′ = −y2
sono funzioni decrescenti.
(b) L’equazione
y′ = 3y
x
e a variabili separabili.
(c) La crescita di una popolazione e modellizzata dall’equazione dif-
ferenziale
y′ = 1.2y(1− y
5200);
allora i valori di equilibrio sono y(t) = 0 e y(t) = 5200.
(d) L’equazione differenziale
y′ = 5− y
si risolve separando le variabili.
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FACOLTA DI AGRARIA
Nome Cognome
CL
Anno di corso Scuola di provenienza
Perugia, 16 maggio 2007
II Compito in itinere di Analisi Matematica
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Sterilita commerciale. La funzione N(t) rappresenti la concentrazione
nel latte del microrganismo Bacillus stearothermophilus dopo t se-
condi di trattamento di sanitizzazione alla temperatura di 3930K.
La prima legge di Bigelow afferma che il tasso di abbattimento micro-
bico e proporzionale alla concetrazione stessa del microrganismo con
costante cinetica di reazione k = 1.10 · 10−2.
(a) Trovare l’equazione differenziale che descrive la variazione di con-
centrazione e risolverla.
(b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell’equazione dif-
ferenziale e quello della derivata N ′(t).
(c) Se N(0) = 100 spore/ml, determinare la soluzione del problema
di Cauchy.
(d) Determinare il tempo di trattamento necessario per ridurre la
concentrazione sotto la soglia di sterilita commerciale di 10−4
spore/ml.
(e) Usare il Metodo di Eulero, con passo 1 e 0.5 rispettivamente, per
determinare due approssimazioni della soluzione e confrontare i
valori ottenuti con quelli della soluzione esatta nei primi due
secondi ( t = 2).
2. TV. Un nuovo modello di TV e stato appena introdotto nel merca-
to e al momento della presentazione sono state regalate 1000 TV. Si
prevede che il mercato si saturi al livello di 2 milioni di unita vendute.
Sia S(t) il valore delle vendite totali in milioni di unita dopo t mesi
12
dalla presentazione. Si supponga che il tasso di vendite mensili segua
il modello di Verhulst con costante k = 1/4. .
(a) Formulare e risolvere un’equazione differenziale per trovare l’e-
spressione di S(t).
(b) Tracciare il grafico della soluzione S(t) e della sua derivata
S′(t).
(c) Determinare dopo quanto tempo il mercato sara saturo.
3. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false. Se sono vere giusti-
ficare la risposta, se false, fornire un controesempio.
(a) Risolvere l’equazione differenziale y′ = senx equivale a trovare
l’integrale indefinito di senx.
(b) Tutte le soluzioni dell’equazione differenziale
y′ = y4 − 5y3 + 6y2
sono funzioni decrescenti.
(c) L’equazione differenziale
y′ = 5(20− y)
non ha soluzioni di equilibrio.
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FACOLTA DI AGRARIA
Nome Cognome
CL
Anno di corso Scuola di provenienza
Perugia, 9 aprile 2008
I Compito in itinere di Analisi Matematica
Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.
1. Gelati. Il profitto mensile sulle vendite di gelato cresce ad un tasso
istantaneo del 10% al mese.
(a) Trovare l’equazione differenziale che descrive la variazione del
profitto e risolverla.
(b) Tracciare il grafico della famiglia di soluzioni dell’equazione dif-
ferenziale e quello della derivata prima.
(c) Se attualmente si ha un profitto di 15000 euro al mese, deter-
minare la soluzione del problema di Cauchy.
2. Brodo bollente. Un brodo bollente (100 oC) e lasciato raffreddare
sul tavolo della cucina a 20 oC.
(a) Formulare e risolvere un’equazione differenziale per trovare l’e-
spressione della temperatura del brodo y(t) dopo t minuti.
(b) Tracciare il grafico della soluzione y(t) e della sua derivata y′(t).
(c) Se dopo 20 minuti la temperatura del brodo e scesa a 60 oC, quale
sara la temperatura dopo 40 minuti?
3. Qua e la.
(a) Sia v(t) = 40t la velocita di un’auto da corsa. Che distanza
percorrera nei primi 8 secondi?
(b) Risolvere l’equazione differenziale
y′ = − 172√
y
14
(c) Un modello per la concentrazione di glucosio C(t) nel sangue e
dC
dt= 1− C(t)
Determinare la concentrazione C(t) risolvendo l’quazione dif-
ferenziale.
(d) Scrivere l’espressione della soluzione del problema di Cauchy y′ = 2y(1− y5 )
y(0) = 1
e tracciarne il grafico.
15
EQUAZIONI DIFFERENZIALI: alcuni esercizi con svolgimento
1. In una comunita di x1 persone indichiamo con x il numero di coloro
che hanno udito un certo pettegolezzo t giorni dopo che esso sia stato
divulgato. E ragionevole pensare che ll tasso di crescita di x, cioe
il tasso di diffusione del pettegolezzo tra i membri della comunita, sia
proporzionale alla frequenza di contatto tra chi ha udito il pettegolezzo
e chi non l’ha udito,a sua volta direttamente proporzionale al numero
di persone che lo hanno udito e al numero di coloro che non l’hanno
udito. Tutto cio conduce all’equazione differenziale
dx
dt= cx(x1 − x),
dove c e una costante che esprime il livello di attivita sociale. Sapendo
che il pettegolezzo e inizialmente rivelato a x0 persone (x = x0
quando t = 0), determinare x in funzione di t.
Che comportamento ha la funzione x(t) quando x → +∞?
Tracciare il grafico di x(t).
Svolgimento
Consideriamo il problema di Cauchy
x′(t) = cx1x(t)− cx2(t)
x(0) = x0
con un’equazione differenziale del primo ordine di Bernoulli.
Dividiamo per x2
x′
x2= c
x1
x− c, x 6= 0
Consideriamo la sostituzione z(t) =1
x(t), quindi z′(t) = − 1
x2(t)x′(t) ⇒
z′(t) = −cx1z(t) + c
Questa e un’equazione differenziale lineare del primo ordine ove
a(t) = −cx1 b(t) = c A(t) = −cx1t
z(t) = e−cx1t
∫ecx1tc dt = e−cx1t
∫cx1e
cx1t
x1dt =
e−cx1t
(1x1
ecx1t + k
)=
1x1
+ ke−cx1t
16
x(t) =1
z(t)=
11x1
+ ke−cx1t=
x1
1 + kx1e−cx1tx(t) =
x1
1 + kx1e−cx1t
x(0) = x0
x(0) =x1
1 + kx1= x0 ⇒ x1 = x0 + kx0x1 ⇒ k =
x1 − x0
x0x1
x(t) =x1
1 + x1−x0x0
e−cx1t
limt→+∞
x(t) = x1
0
50000
100000
150000
200000
250000
persone informate
2 4 6 8 10giorni
Nel grafico si e supposto x1 = 250000, x0 = 10000, c = 10−5.
17
2. In un esperimento genetico 50 mosche della frutta sono chiuse in un
vaso di vetro capace di contenere una popolazione massima di 1000
mosche. Il tasso di crescita della popolazione x(t) di mosche e per-
tanto proporzionale alla popolazione stessa e a (1000−x(t)) (e quindi
al loro prodotto).
a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui le mosche crescono piu
rapidamente. Cosa succede alla tasso di crescita al crescere di t?
b) Scrivere un’equazione differenziale che descriva la crescita delle
mosche in questa particolare situazione e risolverla.
Questo modello e in accordo con l’ipotesi formulata in (a)?
Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori
iniziali.
c) Se 30 giorni dopo la popolazione e cresciuta di 200 unita, quando
la popolazione raggiungera la meta della capacita del vaso?
Soluzione
a) La crescita delle mosche sara massima dopo un certo periodo t.
Al crescere del tempo la velocita di crescita diminuisce tendendo
a zero.
b) x′(t) = kx(t)(1000− x(t)
)x(0) = 50
Si tratta di un’equazione differenziale del tipo di Bernoulli.
x′(t) = 1000kx(t)− kx2(t)
Dividiamo per x2
x′(t)x2(t)
=1000k
x(t)− k, x(t) 6= 0
Operiamo la sostituzione z(t) =1
x(t), z′(t) = − x′(t)
x2(t)⇒
z′(t) = −1000kz(t) + k
Questa e un’equazione differenziale lineare del primo ordine
18
z(t) = e−1000kt
∫e1000ktk dt = e−1000kt
(e1000kt
1000+ c
)=
11000
+ ce−1000kt
x(t) =1
z(t)=
11+1000ce−1000kt
1000
=1000
1 + 1000ce−1000kt
x(t) =1000
1 + 1000ce−1000kt
x(0) = 50
x(0) =1000
1 + 1000c= 50 ⇒ 20 = 1 + 1000c ⇒ c =
191000
x(t) =1000
1 + 19e−1000kt
0
200
400
600
800
1000
mosche
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200giorni
c) x(30) = 250
10001 + 19e−30000k
= 250 ⇒ 4 = 1 + 19e−30000k ⇒ e−30000k =319⇒
19
k =− ln 3 + ln 19
30000
la popolazione raggiungera la meta della capacita del vaso quando
10001 + 19e−1000kt
= 500 ⇒ 2 = 1 + 19e−1000kt ⇒ t =ln 191000k
cioe, ricordando il valore di k , t =30 ln 19
ln 19− ln 3
20
3. La quota di mercato x(t) di un’azienda cresce in proporzione alla
dimensione del mercato residuo M − x(t) ove M > 0 e il mercato
potenziale.
a) Formulare un’ipotesi sul momento in cui la quota cresce piu
rapidamente. Cosa succede alla tasso di crescita al crescere di t?
b) Scrivere un’equazione differenziale che descriva l’andamento del-
l’azienda e risolvere il problema ai valori iniziali con la condizione
x(0) = 0.
Questo modello e in accordo con l’ipotesi formulata in (a)?
Tracciare il grafico qualitativo della soluzione del problema ai valori
iniziali.
Soluzione
a) La crescita sara piu veloce nei primi istanti e al crescere di t la
quota di mercato x(t) tendera al valore M , cioe la sua velocita
x′(t) tendera a zero.
b) Sia a la costante di proporzionalita (a > 0).
x′(t) = a(M − x(t)
)= −ax(t) + aM
equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea.
x′(t) = −ax(t) + aM
x(0) = 0
A(t) = −a(t) , b(t) = aM
x(t) = e−at
∫eataM dt = e−at(Meat + c) = M + ce−at
imponendo la condizione iniziale abbiamo
x(0) = M + c = 0 ⇒ c = −M
quindi x(t) = M(1− e−at).
21
0
200
400
600
800
1000
quota di mercato
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200t
22
4. Un condensatore elettrico, a causa delle perdite, si scarica con una ve-
locita direttamente proporzionale alla carica elettrica Q(t) al tempo
t. Se Q(0) = Q0, determinare Q(t), sapendo che k e la costante
di proporzionalita.
Soluzione
L’equazione differenziale che descrive tale situazione e
Q′(t) = kQ(t)
E un’equazione differenziale a variabili separabili
Q′(t)Q(t)
= k ⇒∫
dQ(t)Q(t)
=∫
k dt ⇒ log Q(t) = kt + c ⇒
Q(t) = ekt+c = cekt.
Sapendo che Q(0) = Q0 otteniamo Q(0) = c = Q0,
quindi la soluzione dell’equazione e
Q(t) = Q0ekt .
23
5. Epidemie Si prevede che una certa epidemia di influenza segua la
funzione definita dadA
dt=
110
A(20−A)
dove A(t) e il numero di persone contagiate (in milioni) e t e il
numero di mesi dall’inizio dell’epidemia.
(a) Se inizialmente sono riportati 20000 casi, trovare A(t) e tracciare
il grafico.
(b) Quando A(t) cresce piu rapidamente? Tracciare il grafico della
derivata dAdt
(c) Quante persone saranno contagiate alla fine?
Soluzione
A(t) e il numero di persone contagiate dopo t mesi, t > 0
A′(t) = 2A(t)− 110
A2(t) Equazione differenziale di Bernoulli
A′(t)A2(t)
= 2A(t)− 110
A(t) 6= 0
Consideriamo la sostituzione z(t) =1
A(t), z′(t) = −A′(t)
A2(t)⇒
z′(t) = −2z(t) +110
Questa e un’equazione differenziale lineare
a(t) = −2 b(t) =110
A(t) = −2t
z(t) = e−2t
∫e2t 1
10dt = e−2t
(120
e2t + c
)==
120
+ ce−2t
A(t) =1
z(t)=
1120 + ce−2t
=20
1 + 20ce−2t, c ∈
]− 1
20,+∞
[ A(t) =
201 + 20ce−2t
A(0) = 20000 = 2 · 10−2 milioni
A(0) =20
1 + 20c= 2 · 10−2 ⇒ 1
1 + 20c= 10−3 ⇒ 1 + 20c = 1000 ⇒
c =99920
24
A(t) =20
1 + 999 ∗ e−2t
(la soluzione A(t) = 0 non e compatibile con il dato iniziale)
limt→+∞
A(t) = 20 milioni.
0
5
10
15
20
ersone contagiate
2 4 6 8 10mesi
La funzione A(t) cresce piu rapidamente in corrispondenza del flesso
in cui la funzione derivata prima A′(t) presenta un punto di massimo.
25
0
2
4
6
8
10
tasso di contagio
2 4 6 8 10mesi
26
