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Laboratorio 3: Equilibrio de Cuerpos Rígidos.Universidad de San Carlos, Facultad de Ingeniería, Departamento de Física, Laboratorio de Física I

201212960, Selvin Efrain Chiquin Estrada201403532, Ever Eduardo Chicas Prado

201503745, Brandon Leonel Atz Bar

Resumen—La práctica se basó en la utilización de materialescomo lo es una viga vertical, una regla de aluminio, un dina-mómetro, una polea, una masa de 500g e hilo de cáñamo. En lacual se armó el equipo usando la viga vertical, con la regla unidaen un extremo a un pivote en la parte inferior de la viga, y enel otro extremo sujeta a un hilo de cáñamo con dirección haciala parte superior de la viga y por medio de una polea sujetoa un dinamómetro, se colocó la masa en 6 marcas distintas, laprimera a 6cm del pivote y el resto con 5cm de separación entresí, en cada posición se tomó la tensión del hilo de cáñamo con laregla en posición horizontal y se midió el ángulo entre la reglay el hilo, el cual fue constante; y por último se usó una medidaarbitraria para realizar la medición de la tensión en el hilo decáñamo, posteriormente se realizó un procesamiento estadísticode los datos obtenidos.

I. OBJETIVOS

• Obtener un modelo matemático de la tensión en funciónde la posición de la masa M respecto del pivote.

• Determinar la magnitud de la tensión del hilo de cáñamopor medio de una ecuación empírica.

• Comparar el valor experimental y el valor obtenido porel modelo matemático de la tensión producida por unamasa M a una misma distancia del pivote.

II. MARCO TEÓRICO

TO do cuerpo está en equilibrio si está en reposo ose mueve con velocidad constante en un marco de

referencia inercial, como por ejemplo un puente colgante oun avión que vuela en línea recta a una altitud y rapidezconstantes. El principio físico fundamental es la primeraley de Newton: Si una partícula está en reposo o se muevecon velocidad constante (es decir a = 0), en un marco dereferencia inercial la fuerza neta que actúa sobre ella debeser cero, es decir que la suma vectorial de todas las fuerzasque actúan sobre el cuerpo debe ser cero.

ΣF = 0 (1)

Por lo tanto las sumatorias de todas sus fuerzas en suscomponentes también son cero.

ΣFx = 0 (2)

ΣFy = 0 (3)

ΣFz = 0 (4)

Una segunda condición para que un cuerpo esté en equi-librio es que no debe tener tendencia a girar, es decir queun cuerpo rígido, en un marco de referencia inercial no estegirando alrededor de un punto, dicho de otra forma la sumade torcas externas alrededor de cualquier punto debe ser cero:

Στ = 0 (5)

La cual es usual usarla en forma de componentes:

Στx = 0 (6)

Στy = 0 (7)

Στz = 0 (8)

Las ecuaciones anteriores definen el equilibrio mecánico,para ello se requiere escoger un sistema de referencia (x,y,z)y dibujar en el sistema a estudiar cuales son todas las fuerzasque actúan sobre el sistema.

Escribiendo las ecuaciones del sistema.

TLsenθL

2mg − xMg = 0 (9)

Despejando la ecuación teórica para la tensión T:

T =Mg

Lsenθx+

mg

2senθ(10)

III. DISEÑO EXPERIMENTAL

III-A. Materiales

* Un trípode en forma de V.* Una varilla de 75cm y dos varillas de 25cm.* Tres mordazas universales.* Una pinza universal.* Una masa M = 500g con gancho.* Un dinamómetro de 10N.* Regla métrica experimental(simulando una viga).* Una polea

III-B. Magnitudes físicas a medir

* La distancia x de la masa de 500g que cuelga, respectoal punto de pivote.

* La tensión en el hilo medida por un dinamómetro.* El ángulo que forma el hilo con la viga horizontal.* La masa M de la regla.* La longitud de la regla medida desde el punto de pivote.* La longitud del centro de masa de la regla, medida desde

el pivote.

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III-C. Procedimiento

* Calibrar el dinamómetro para que sin ninguna tensión,este marque cero.

* Armar el equipo usando un hilo de cáñamo atado alextremo de la regla que esta sujeta a una viga com-pletamente vertical a una polea que esta en el extremosuperior de la viga de modo que este forma un triángulorectángulo al momento de la tensión.

* Usando una masa de contrapeso de 500 g colgar a ladistancia 1 que es de 6 cm y así mismo aflojar lamordaza que sujeta el dinamómetro hasta que el nivelde la regla marque completamente horizontal y obtenerla tensión que muestra el dinamómetro.

* Repetir este procedimiento 6 veces aumentando 5 cm encada toma. Y por último usar una medida arbitraria quesería la toma 7.

* Medir el angulo que forma el hilo con la regla cuandoesta esté completamente horizontal.

* Medir la distancia del centro de masa de la regla.

IV. RESULTADOS

Datos experimentales

En la tabla No.1 se tienen los datos que corresponden a laposición de la masa M respecto del pivote y la tensión queésta última producía en el hilo de cáñamo.

Tabla No.1 Datos originales

Posición[mts] Tensión[N])0.06 ± 5E−4 1 ± 0.050.11 ± 5E−4 1.7 ± 0.050.16 ± 5E−4 2.3 ± 0.050.21 ± 5E−4 3 ± 0.050.26 ± 5E−4 3.5 ± 0.050.31 ± 5E−4 4.2 ± 0.050.46 ± 5E−4 6 ± 0.05

Fuente: Hoja de datos originales

Haciendo uso del programa Qtiplot, y de los datos de laTabla No.1; se graficaron los datos mencionados para dar pasoa la gráfica No.1 sobre la cual se realizó un fit wizard.

Gráfica No.1 Posición vs Tensión

Fuente: Tabla No.1

De la gráfica No.1, producida por el programa Qtiplot, enla cual se utilizaron los datos de la tabla No.1, se obtuvo unmodelo matemático por medio de fit wizard, el cual es nuestraecuación empírica de la tensión en función de la distancia enmetros entre la masa M y el pivote.

T = ((12.4 ± 0.2)x+ (0.31 ± 0.04))N (11)

En la Tabla No.2 se muestran los valores de la tensióncalculada con la ecuación empírica y el valor de la tensiónexperimentada durante la práctica, ambas con la masa Mposicionada a una distancia de 0.46 mts del pivote.

Tabla No.2 Tensión con masa M a 0.46 mts del pivote

Tensión experimental Tensión por ecuación empírica(6 ± 0.05)N (6 ± 0.1)N

Fuente: Tabla No.1

En la gráfica No.2 se comparan los valores de la tabla No.2,los cuales corresponden a la tensión experimental y la tensiónobtenida por medio de la ecuación empírica.

Gráfica No.2 Tensión experimental y por Ec. empírica

Fuente: Tabla No.2

V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

En la Grafica No.1 donde se grafican los datos expuestosen la tabla No.1 se puede apreciar una tendencia, en estecaso fue el modelo lineal con valor independiente distintode cero el de mejor ajuste a nuestros datos experimentadosya que, según el programa Qtiplot, posee el coeficiente dedeterminación mas cercano a uno indicando la calidad depredicción del modelo, estableciendo a su vez una relaciónde la tensión proporcional a la distancia entre la masa M yel pivote de la regla. Al analizar el modelo matemático quedescribe la tendencia de los datos, podemos proyectar quecuando la posición x de la masa es equivalente a cero, latensión no tiende a cero, esto debido a que el peso de la reglaproporciona una fuerza que actúa en su centro de masa yque a su vez realiza una torca hacia abajo, por lo tanto para

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mantener el equilibrio, la torca ocasionada por el peso de laregla es contrarrestada por el hilo de cáñamo, ocasionandouna determinada tensión en ésta última, evidenciada en elmodelo lineal.

En la Gráfica No.2 se contrasta la tensión del hilo decáñamo obtenida por medio de la ecuación empírica queno es otra mas que la función que modela los datos de lagráfica No.1, así mismo la tensión experimental que se obtuvodurante la práctica, ambas con la masa M a 0.46 mts delpivote. Se puede apreciar que ambas magnitudes convergendentro de un margen de error mínimo debido a las incertezasdel dinamómetro empleado,de la regla y del modelo lineal,exponiendo la correcta realización de la práctica.

VI. CONCLUSIONES

1. Se obtuvo un modelo matemático de la tensión en el hilode cáñamo en función de la distancia en metros entre lamasa M y el pivote, el cual fue T = ((12.4 ± 0.2)x +(0.31 ± 0.04))N .

2. Se determinó la magnitud de la tensión del hilo decáñamo por medio de la proyección de un modelo linealen base a datos tomados en la práctica la cual fue de(6 ± 0.1)N a una distancia de 0.46 mts del pivote.

3. Se comparó el valor, a una distancia de 0.46 mts, de latensión experimental y la tensión obtenida por medio deun modelo matemático las cuales fueron (6± 0.05)N y(6± 0.1)N respectivamente, mostrando poca diferenciaentre ambas y la precisión del modelo matemáticoobtenido.

VII. FUENTES DE CONSULTA

[1] Serway, J.,(Séptima edición). (2008). Física, para ciencias e ingenie-rías,Volumen 1. México: Cenage.

[2] Zemansky, S., (Treceava edición). (2013).Física Universitaria. México:Pearson.

[3] Manual del Laboratorio.

VIII. ANEXOS

Modelo matemático generado por Qtiplot el cual fue elde mejor ajuste a los datos[09/09/2015 10:56:58 Plot: ”Graph1”] Linear Regressionof dataset: Table1 2, using function: A ∗ x + B WeightingMethod: No weighting From x = 6, 0000000000000e − 02to x = 4, 6000000000000e − 01 B (y-intercept) =3, 1118421052632e − 01 ± 4, 0926552346620e − 02 A(slope) = 1, 2434210526316e+ 01± 1, 5953099543398e− 01———————————————————————–Chi2/doF = 2, 7631578947369e− 03 R2 = 0, 9991776315789Adjusted R2 = 0, 9987664473684 RMSE (Root Mean SquaredError) = 0, 05256574830378 RSS (Residual Sum of Squares)= 0, 01381578947368

Gráfica y modelo matemático generado por Qtiplotdescartados

[13/09/2015 11:18:55 Plot: ”Graph8”] Non-linear Fit ofdataset: Table1 2, using function: A ∗ x + B WeightingMethod: No weighting Scaled Levenberg-Marquardt algorithmwith tolerance = 0, 0001 From x = 6, 0000000000000e − 02to x = 4, 6000000000000e − 01 a = 1, 3494682004360e +01 ± 2, 5057777865689e − 01 ————————————Chi2/doF = 2, 8926995152304e− 02 R2 = 0, 9896689303027Adjusted R2 = 0, 9876027163633 RMSE (Root Mean SquaredError) = 0, 1700793789744 RSS (Residual Sum of Squares)= 0, 1735619709138 ————————————————-Iterations = 1 Status = cannot reach the specified tolerance inF —————————– b = 0 (constant)