1

Equilibrio y elasticidad

Condiciones de equilibrio Una partícula esta en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas (externas) que actúan sobre ella es cero

• Para cuerpos con extensión finita: el centro de masa del cuerpo debe haber una aceleración cero

Primera condición de equilibrio:

(1) 0extF =∑r

o 0xF =∑ 0yF =∑ 0zF =∑

La sumatoria incluye solamente fuerzas externas

• Otra condición para un cuerpo con extensión finita = no debe tender a girar

⇒ 0L =r

, pero también 0dLdt

=r

(no hay cambio de dirección del eje de rotación)

Segunda condición de equilibrio:

(2) 0τ =∑ r

Estado del cuerpo = Equilibro estático - cuerpo rígido está en reposo, sin translación ni rotación

2

Centro de gravedad En los problemas de equilibrio a la superficie de la Tierra (ej. problemas de ingeniería) la fuerza más importante es el peso

Ya vimos que la fuerza de gravedad se concentra en un punto = centro de gravedad (cg)

Si la aceleración gr es constante: el centro de gravedad = centro de masa

(3) 1 1 2 2 3 3

1 2 3

i ii

cmi

i

m xm x m x m x

xm m m m

+ + +⋅ ⋅ ⋅= =

+ + +⋅⋅⋅

∑∑

Con expresión idénticas para y e z

La forma vectorial:

(4) 1 1 2 2 3 3

1 2 3

i ii

cmi

i

m rm r m r m r

rm m m m

+ + +⋅ ⋅ ⋅= =

+ + +⋅ ⋅ ⋅

∑∑

r r r rr

3

Momento de torsión gravitatorio

Una partícula de masa im , tiene un peso i iw m g=r r

Si gr es constante ⇒ el momento de torsión: i i i i ir w r m gτ = × = ×r r r r r

El momento de torsión total: ( ) ( )i i i i i i ii i i i

r m g m r g m r gτ τ= = × = × = ×∑ ∑ ∑ ∑r r r r r r r r

Multiplicamos y dividimos por la masa total ii

M m= ∑

i ii

i iii i

i i

m rM

m r g Mgm m

τ

⇒ = × = ×

∑∑∑ ∑

rr r r r

Momento de torsión gravitatorio

(5) cm cmr Mg r Wτ = × = ×rr r r r

El momento de torsión gravitatoria total es el mismo que si el peso total Wr

estuviera actuando en la posición cmr

r del centro de masa

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Localización y uso del centro de gravedad

Para encontrar el centro de gravedad (centro de masa) podemos usar consideraciones de simetría (geometría)

• Cuando un cuerpo sobre el cual actúa la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de él, el centro de gravedad siempre está directamente por arriba o por debajo del dicho punto

• Un cuerpo apoyado en varios puntos debe tener un centro de gravedad en algún lugar dentro del área delimitada por los apoyos

• Cuando más bajo está el centro de gravedad (menos energía gravitatoria) y mayor es el área de apoyo (menos los bracos de palanca) más difícil volcar el cuerpo ⇒ más alto el estado de equilibrio estático

Ej. Coches sobre un rampa a) estado estable; b) y c) estados no estable

Cuadrúpedos como venados y caballos tienen un área de apoyo grande, son estables y sólo necesitan pies pequeños o cascos

Bípedos, personas o aves, necesitan pies más grandes para tener área de apoyo razonable

Un bípedo que camina poniendo su cuerpo casi horizontal (Ej. pollo y dinosaurio) deberá equilibrarse se para mantener el centro de gravedad por encima del pie en el suelo:

• Por esto el pollo mueve la cabeza, el Tiranosaurio probablemente lo hacia moviendo su cola

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Ejemplo: tabla uniforme con longitud 6.0mL = y masa 90kgM =

Esta tabla descansa sobre dos barriquitas separadas por una distancia 1.5mD = a distancias iguales del centro C

• A la limite de equilibrio, el centro de gravedad debe estar ubicado exactamente encima de la barriquita derecha S

• Cualquier persona que tentará pararse en el extremo derecho no deberá haber un peso per perw m g= más grande que una cierta limite

Tomemos el origen del sistema en C

Los puntos de aplicación de los pesos son 0tax = , 3.0m2perL

x = =

El centro de gravedad: ( )0 2

2per percg

per per

M m L mx L

M m M m

⋅ += =

+ +

Al equilibrio, 2cgD

x = 12 2

per per

per per per

m mL D D M LM m M m L m D

⇒ = ⇒ = ⇒ + =+ +

1.5m90kg 30kg

6.0m 1.5mperD

m ML D

⇒ = = =− −

Habríamos tomado el origen en S , 2taD

x⇒ = − y 2per

L Dx

−=

2 20per

cgper

D L DM m

xM m

−− +

= =+

perD

m ML D

⇒ =−

, la misma respues

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Esfuerzo, tensión y módulo de elasticidad

Los materiales sometidos a fuerzas externas muestran deformaciones de 3 diferentes tipos

• a) Estiramiento (tensión)

• b) Aplastamiento (compresión)

• c) Torsión (corte)

Esfuerzo: cantidad que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan deformaciones, con base a una fuerza por unidad de área

Deformación, cantidad que describe el cambio de forma resultante

Cuando el esfuerzo y la deformación son pequeños, es común que sean proporcionales

Ley de Hooke (Robert Hooke (1635-1703) contemporáneo de Newton)

(6) esfuerzo

modulo de elasticidaddeformacion

=

• Esta ley es empírica, valida sólo dentro de un intervalo limitado de condiciones físicas

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Esfuerzo y deformación por tensión y compresión Estiramiento de una barra, varilla o alambre cuando tiramos sobre sus extremos

A) Tensión en barra uniforme de área A

Esfuerzo de tensión (stress)

(7) F

esfuerzo de tensionA

⊥=

Cantidad escalar con unidad: [ ] 2

Nesf. de tension Pasc Pa

mal= = = y 2

N1Pa 1

m=

Sistema británico: 2pound per square inchlb

in=

Equivalencia: 2

lb1 1psi 6891Pa

in= = o 41Pa 1.451 10 psi−= ×

Son unidad similar a la presión

Ej. la presión del aire en los neumáticos 53 10 Pa 300kPa× =∼

Los cables de acero usados en la construcción pueden suportar hasta 810 Pa

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B) Deformación por tensión (Estiramiento) = cambio fraccionario de la longitud de un cuerpo sometido a un esfuerzo de tensión

Barra de longitud original 0l

Estirada hasta la longitud 0l l l= + ∆

Deformación por tensión (strain):

(8) 0

0 0

l l ll l− ∆

=

Cuando el esfuerzo de tensión es pequeño el esfuerzo y deformación son proporcionales

Moduló de Young (stress/strain)

(9) 0

0

F lF AY

l l A l⊥⊥= =

∆ ∆

Un material con Y grande no se estira mucho

Ej. Acero colado 112 10 PaY = × en comparación con hule 85 10 PaY = × .

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C) Esfuerzo de compresión: las fuerzas en los extremos de una barra empujan en lugar de tirar ⇒ el material esta comprimido

Deformación por compresión definida por del mismo modo que la deformación por tensión, pero l∆ tiene dirección opuesta

⇒ Ley de Hooke es también valida para la compresión

• Mucho material tiene el mismo módulo de Hooke por la tensión que por la compresión

D) Flexión – fuerzas de tensión y compresión al mismo tiempo

Para minimizar el esfuerzo y deformación por flexión

• La parte superior y inferior de una viga deben tener una sección transversal grande

• En la línea central no hay compresión ni tensión así que esa parte puede tener una sección transversal pequeña ⇒ minimiza el peso + disminuye el esfuerzo de tensión de la viga

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Consecuencias:

1- Un poste vertical (semáforo o letrero de autopista) tiene sección transversal circular porque debe resistir la flexión en todas las direcciones causada por el viento

2- Un poste circular hueco es más resistente a la flexión que uno sólido con la misma masa pero de menos radio

Ej. Torre CN de Toronto

Poste circular hueco con lados metidos de manera a darle algo de la estabilidad natural de un trípode

⇒ Las secciones más cercanas del suelo deben sostener más peso y por esto su sección transversal es mayor

3- Los puentes deben soportar tremendos peso ⇒ busca impartir dichos esfuerzos al suelo

Ej. 1- Puente suspendido ⇒ sostiene su carga principalmente mediante la tensión en los cables y en la compresión de las torres

• La fuerza hacia abajo sobre las torres, causada por la tensión, se equilibra con la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo

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Ej. 2 - Un puente de arco soporta su carga por compresión

• El suelo en los extremos del arco recibe el esfuerzo de compresión

Ejemplo: Cable de acero ( 1020 10 PaY = × ) de largura 0 2.0ml = y sección transversal

20.30cmA =

Se cuelga al cable una masa en torno de 550kg

Buscamos el esfuerzo, la deformación y alargamiento

Supongamos que el cable se comporta como una varilla sólida

Esfuerzo (stress): ( ) 2

85 2

m550kg 9.8

s 1.8 10 Pa3.0 10 m

FA

⊥−

= = ×

×

Deformación (strain): 8

410

0

esfuerzo 1.8 10 Pa9.0 10

20 10 Pal

l Y−∆ ×

= = = ××

La elongación: 49.0 10 2.0m 0.0018m 1.8mml −∆ = × ⋅ = =

Esto es una elongación muy pequeña para la magnitud del esfuerzo

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Esfuerzo y tensión de volumen La presión del agua sobre un sumergible (esfuerzo de volumen) es uniforme y la deformación resultante es un cambio de volumen (deformación de volumen)

La fuerza sobre una sección transversal en un fluido en reposo es siempre perpendicular a esta sección

Si tratamos de ejercer una fuerza paralela a una sección, el fluido se deslizara a los lados para contrarrestar la acción

La presión p en un fluido es igual a la razón entre la fuerza perpendicular F⊥ a una sección unitaria y su área A

(10) F

pA

⊥=

La presión es una cantidad escalar, no tiene dirección

Unidades de presión (Pascal):

[ ] 2

NPa

mp = = o 2

lbpsi

in=

Otra unidad atmósfera (atm): 51atm 1.013 10 Pa 14.7psi= × =

Si pueden ignorarse las diferencias de presión debidas a la profundidad la presión es la misma en todos los puntos

Ley de Pascal:

Si aplicamos una presión a la superficie de un fluido en un recipiente cerrado (con un pistón), la presión se transmite a través del fluido y actúa sobre la superficie de cualquier cuerpo sumergido

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La deformación fraccionaria de volumen

(11) 0

VV∆

Si se cumple la ley de Hooke, un aumento en la presión (esfuerzo de volumen) causara una deformación proporcional de volumen

El módulo de volumen

(12) 0

pB

V V∆

= −∆

Signo menos ⇒ un aumento de presión corresponde a una reducción de volumen

• Para cambios de volumen pequeño constanteB =

• Para un gas, B depende de la presión inicial 0p

El reciproco del módulo de volumen es la: compresibilidad

(13) 0

1 1 Vk

B V p∆

= = −∆

La compresibilidad corresponde a la disminución fraccionaria de volumen por unidad de aumento de presión

Su unidad: [ ] 1 1Pa atmk − −= =

Fluidos con una alta compresibilidad son muy fácilmente compresibles

14

Ejemplo de Prensa hidráulica Una prensa hidráulica contiene 0.25 m3 (250L) de aceite:

• módulo de volumen 95.0 10 PaB = × o 4(5 10 atm)×

Un pistón hace aumentar la presión a 71.6 10 Pap∆ = × (160 atm o 2300 psi)

La compresibilidad: 6 1120 10 atmk

B− −= = ×

El cambio de volumen:

( ) ( )3 74 30

9

0.25m 1.7 10 Pa8.0 10 m 0.80L

5.0 10 PaV p

VB

−×∆

∆ = − = − = − × =×

Si bien el aumento de presión es muy grande, el cambio fraccionario de volumen es muy pequeño

4 3

30

8.0 10 m0.0032 0.32%

0.25mV

V

−∆ − ×= = − = −

Esfuerzo y tensión de corte (solamente cuerpos sólidos)

Corte (shear)

El resultado del esfuerzo de corte es un torcimiento del cuerpo sólido

El esfuerzo de corte es igual a la razón de la fuerza tangente a la superficie material //F por la área de la superficie A

(14) // esfuerzo de corteFA

=

Este es el tipo de esfuerza ejercido por una pare de tijeras

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La deformación produce una disminución de las paralelas a la diagonal bd y una aumentación de las paralelas a la diagonal ac

La deformación por corte

(15) def. por corte tanxh

φ= =

Para esfuerzas pequeñas, la ley de Hooke una vez más se aplica El módulo de corte

(16) // // //esfuerzo de cortedef. de corte

F A F F AhS

x h A x φ= = = =

Para un material dado S suele ser 13 a 1

2 mayor que el módulo de Young

Ejemplo - Un terremoto causa fuerzas de corte sobre una base de latón de una escultura de 0.8m de lado y un espesor de 0.5m Observamos un desplazamiento 0.16mmx =

La deformación por corte: 4

41.6 10 m2.0 10

0.80mxh

−−×

= = ×

En la tabla 11.1, vemos que el módulo de corte del latón es 103.5 10 Pa×

El esfuerzo de corte: ( )( )4 10 6// 2.0 10 3.5 10 Pa 7.0 10 PaF x

SA h

−= ⋅ = × × = ×

La fuerza responsable del esfuerzo de corte es igual a:

( )6 4// 7.0 10 Pa 0.80m 0.005m 2.8 10 NF = × ⋅ ⋅ = ×

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Elasticidad y plasticidad La ley de Hooke tiene limitaciones (las fuerzas intermoleculares no son infinitas)

En un diagrama mostrando el esfuerzo en función de la deformación (en porcentaje de alargamiento), la región donde la ley de Hooke se aplica describe una línea recta

• El pendiente de esta línea recta es el módulo de Young

• Hasta el punto (a) donde la ley de Hooke se aplica la deformación es proporcional al esfuerzo

o El esfuerzo en este punto se denomina límite proporcional

• Antes de este punto la deformación también es reversible (solamente actúan fuerzas conservativas)

• La energía incorporada al material por causa de la deformación se recupera cuando se elimina el esfuerzo (comportamiento elástico)

• En el punto de relajamiento (b) se termina el comportamiento elástico

o El esfuerzo en este punto se denomina límite elástico

• Pasado este punto, las deformaciones son irreversibles (ajuste permanente)

o Para un incremento relativamente pequeño del esfuerzo, se produce un aumento grande de la deformación.

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• Hasta llegar a un punto en el que ocurre la fractura, el comportamiento se denomina flujo plástico o deformación plástica

o En algunos materiales (materiales dúctiles), ocurre más deformación plástica entre el límite elástico y el punto de fractura

o En otros (materiales quebradizos) la fractura ocurre poco después de rebasarse el límite elástico

Cuando el material en la fase elástica sigue diferentes curvas cuando aumenta y disminuye el esfuerzo, tenemos un caso de histéresis elásticas

El trabajo efectuado por el material cuando regresa a su forma original es menor que el requerido originalmente para producir la deformación - fuerzas no conservativas de fricción interna

El esfuerzo requerido para causar la fractura de un material se denomina el esfuerzo de ruptura, resistencia límite o resistencia a la tensión