ertemuan 12Dasar-dasar Probabilitas

J0682

P

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari bab ini, Mahasiswa diharapkan mampu:

Memahami fungsi dan metode perhitungan probabilitasMenjelaskan arti dan kejadian/peristiwa dan nitasi himpunanMenguraikan beberapa aturan/hukum dalam himpunan dan aturan dasar probabilitasMenghitung probabilitas marjinal dan menggunakan rumus BayesMemahami permutasi dan kombinasi

Materi

engertian dasar Probabilitas

turan dasar Probabilitas :

»Aturan Penjumlahan»Aturan Perkalian

ermutasian dan Kombinasi

P

P

A

Statistika, (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.12 edisi keenam, halaman 308 – 352

Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), Bab 09, kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman 235 - 289

Buku Acuan

1

2

♥Teori Probabilitas atau kemungkinan muncul dari gelanggang judi (untung-untungan).

♥CHEVALIER DE MERE, seorang bangsawan Prancis sering menulis surat kepada BLAISE PASCAL agar diberi penjelasan hubungan antara pemikiran teoritisnya dengan observasi dari gelanggan judi.

• ♥Tahun 1713, 8 tahun setelah meninggalnya JACOB BERNAULLI (1654-17015) bukunya yang sangat terkenal ARS CONJECTANDI baru diterbitkan karena BERNAULLI melihat pengetahuan probabilitas dari sudut umum. Teorinya dinamakan TEORI BERNAULLI.

• ♥Perkembangan teori probabilitas mencapai puncak pada masa LAPLACE (1749-1827). Karya yang penuh pikiran baru dan metode analisis yang baru, yaitu ;1. THEORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITIES2. ESSAY PHILOSOPHIQUE SUR LES PROBABILITIES

Probabilitas adalah cabang dari ilmu pengetahuan matematika yang menelaah faktor untung-untungan (change factor)Konsep untung-untungan lebih mudah dijelaskan dengan contoh.

Contoh :Andai 10 bola putih dan 10 bola merah dimasukan kedalam satu kotak secara bersamaan, kemudian kita ambil 1 bola secara acak maka ada kemungkinan bisa merah dan bisa juga putih. Peluangnya sama besar.

• Dalam proses pemilihan ini ada 2 macam kondisi, yaitu :1. GIVEN ● Bola bentuk sama kecuali warnanya ● Bola terdiri dari 10 putih dan 10 merah ● Jumlah warna putih = warna merah2. UNKNOWN ● Kedudukan bola merah dan putih dalam kotak ● Tindakan pemilihan bola

• Karena kondisi UNKNOWN, maka hasilnya tidak dapat diramalkan dengan pasti, tetapi hanya faktor untung-untungan.Faktor untung-untungan dihubungkan dengan peluang atau kemungkinan yang dapat dianalisa dengan dasar logika ilmiah.

VARIABEL ACAKAdalah deskripsi numerik (angka) dari hasil percobaan.

VARIABEL ACAK DISKRITAdalah variabel acak yang mengambil nilai-nilai tertentuyang diperoleh dari hasil perhitungan.

VARIABEL ACAK KONTINUAdalah variabel acak yang mengambil nilai-nilai dalam suatu interval yang biasanya diperoleh dari pengukuran.

.

• DISTRIBUSI PROBABILITASSuatu gambaran bagaimana nilai probabilitas didistibusikan terhadap nilai-nilai variabel acaknya

• FUNGSI PROBABILITASFUNGSI PROBABILITASSuatu fungsi yang dinotasikan dengan p(x) yang Suatu fungsi yang dinotasikan dengan p(x) yang memberikan nilai probabilitas bagi nilai tertentu memberikan nilai probabilitas bagi nilai tertentu dari variabel acak X.dari variabel acak X.

NILAI HARAPANSebuah ukuran rata-rata dari variabel acak

VARIANSSebuah ukuran dispersi dari variabel acak

STANDAR DEVIASIAkar dari varians

KOVARIANSVarians bersama 2 variabel acak

Contoh:

PercobaanVariabel

AcakKemungkinan Nilai Var. Acak

Penjualan Mobil Jenis Kelamin Pembeli

0 = jika laki-laki

1 = jika wanita

Penelitian Thd 50 Produk Baru

Jumlah Produk Yang Rusak 0,1,2,3,….50

Pencatatan Pengunjung Restoran Pada Suatu Hari

Jumlah Pengunjung

0,1,2,3,….dst

Jika kita mengukur lebar ruangan – jarak - tinggi badan

atau berat badan, maka hasilnya pasti berbeda

antara satu dengan yang lainnya.

Misal: jarak Bogor – Jakarta dapat 80 km; 80,5 km;

80,57 km; dll

Isi Botol minuman jadi (max=600 ml)

Penimbangan 20 paket kemasaan (max=2 kg)

Jumlah mililiter

Berat sebuah paket kemasan (kg)

0 ≤ x ≤ 600

0 ≤ x ≤ 2

Contoh:

2 Dadu dilempar secara bersamaan, kemungkinan

yang muncul lemparan pertama

X= 1,2,3,4,5,6

Kemungkinan yang muncul lemparan kedua

Y= 1,2,3,4,5,6

HASIL LEMPARAN DADU 2 X :

Y

X 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

11 12 13 14 15 16

21 22

31 33

41 44

51 55

61 66

Y

X 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36

1/36

1/36 1/36

1/36

1/36 1/36

1/36 1/36

Ada 3 buah distribusi diskrit :1. DISTRIBUSI BINOMINAL (Bernauli)2. DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIS3. DISTRIBUSI POISSON

SEBARAN / DISTRIBUSI BINOMAda 4 syarat, yaitu :1. Banyaknya experimen merupakan Bilangan

Tetap,

1. Setiap percobaan hanya menghasilkan 2 hasil, yaitu SUKSES (S) atau GAGAL (G),√ Lulus (sukses) Tidak lulus (gagal)√ Senang Tidak senang√ Setuju Tidak setuju√ Barang bagus Barang rusak

3. Probabilitas sukses sama pada setiap percobaan,

4. Percobaan harus bebas (independent) satu sama lain, artinya hasil

percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya.

RUMUS :

P(x=k) = Pk qn-k untuk k= 0,1,2,….,nn

k

1 kotak, diambil secara acak berisi 30 bola merah ( = 30M) dan 70 bola hijau ( = 70H).Y = variabel acak dengan nilai :

1, kalau bola Merah yang terambil

Y= 0, kalau Hijau yang terambil

• P(M) = p = Probabilitas untuk mendapat bola Merah (sukses) = 0,3

P(H) = 1 - p = q = Probabilitas untuk mendapatkan bola Hijau (gagal) = 0,7

• E(Y) = 1(p) + 0(1-p) = 1(0,3) + 0(0,7) = 0,3

Sekarang apabila dilakukan n = 4 kaliPercobaan menghasilkan 24 = 16 hasil1. MMMM 13. MMHH2. MMMH 14. MHHH3. MMHM 15. HHMH4. MHMM 16. HHHH

Misalkan hasil percobaan P(MMHM) = PPqP = (0,3) (0,3) (0,7) (0,3) = 0,0189maka PPqP = P3q

• kalau X = banyak bola merah = Y1 + Y2 + Y3 + Y4

untuk MMMH maka X = 1 + 1 + 1 + 0 = 3kalau MHMH maka X = 1 + 0 + 1 + 0 = 2

Apabila semua nilai probabilitas X sebagai hasil suatu percobaan kita hitung, akan diperoleh Distribusi Probabilitas X dan disebut Distribusi Probabilitas Binominal

• P(X=0) = P(HHHH) = P(H) P(H) P(H) P(H) = (0,7)4 =0,2401

P(X=4) = P(MMMM) = (0,3)4 = 0,0081

P(X=3) = P3q + P2qP + PqP2 + qP3

= 4 P3q = 4 (0,3) 3 (0,7) = 0,0756

X P(x)

0 0,2401

1 0,4116

2 0,2646

3 0,0756

4 0,0081

maka, Rumus Bernouli :

P ( X SUKSES, dalam m percobaan) = Pxqn-x

Dimana :

X = 0,1,2,3…..n

P = Probabilitas sukses

Q = (1 - P) = Probabilitas gagal

Apabila suatu himpunan terdiri dari n elemen dibagi dua, yaitu: X SUKSES dan (n – X) GAGAL, maka Rumusnya menjadi :

P(x) = n!

Pxqn-x

x! (n – x)!

X = 0,1,2,3…..nINGAT 0! = 1! = 1dan P0 = 1

CONTOH4C3 = 4!

3! (4 – 3)!

= (4) (3) (2) (1) = 4 (3) (2) (1) (1)

SOAL:

• Seorang penjual mengatakan bahwa diantara seluruh barang, ada yang rusak 20%, seorang pembeli membeli sebanyak 8 buah secara acak. Kalau X= banyak barang yang bagus. Berapa probabilitas bahwa dari 8 buah barang yang dibeli, ada 5 yang rusak?

►Sampai jumpa pada pertemuan 13 (F2F)