Pertemuan 5Ukuran Pemusatan

J0682

Tujuan Belajar

Setelah mempelajari Bab ini mahasiswa diharapkan mampu :

▓ Mengetahui jenis-jenis ukuran pemusatan

▓ Menggunakan rumus-rumus ukuran pemusatan

▓ Menghitung beberapa ukuran pemusatan

▓ Memahami arti dan manfaat dari beberapa ukuran pemusatan

Materi

۩ Rata-rata hitung

۩ Median

۩ Modus

۩ Rata-rata ukur۩ Rata-rata harmonis ۩Kuartil, desil, persentil

Buku Acuan

. Statistik (2000) kar. J. Supranto, jilid 1 Chap.5 edisi

keenam, halaman 61 – 79

. Statistika, Teori dan Aplikasi (2001), kar. Wayan

Koster, edisi pertama, halaman 93 - 120

12

UKURAN NILAI PUSAT

Merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan

Artinya :

“ jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya

dan selanjutnya nilai rata rata tersebut dimasukan kedalam rata – ratanya”

Maka nilai rata – rata tersebut cenderung terletak diurutan paling tengah /Pusat

Ukuran nilai pusat : Rata – rata hitung (mean)• Rata ukur (geometris) Rata harmonis• Modus Median (Md)• Rata kuadratik (tidak diajarkan)

04 - 0104 - 01

1. MeanRata hitungadalah nilai rata – rata dari data – data yang ada (yang tersedia)

Mean dari populasi diberi simbol μ miu

Mean dari sampel diberi simbol x bar

= jumlah semua nilai data

jumlah data

Data tunggal A. Hitung rata – rata hitung dari data

7,6,3,4,8,8

jawab : x = 7,6,3,4,8,8

n = 6

= 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36

x

x

x

UKURAN NILAI PUSAT

Rumus :

B. Sebuah perusahaan memiliki 40 pekerja dari keseluruhan pekerja,

perusahaan membagi gaji karyawannya / bulan

5 orang bergaji Rp. 350.000

10 orang bergaji Rp. 250.000

25 orang bergaji Rp. 125.000

Frekuensi

Ditanya : berapa rata – rata rupiah yang dikeluarkan oleh pemilik

perusahaan / bulan pada setiap karyawan

Jawab : menggunakan rumus yang ada frekuensinya

Rumus :

n

xxx

n

xx n

....21

66

362

x

375.184.40

000.375.7.Rp

Rp

f

fm

Tabel berat badan 100 mahasiswa demonstrasi

Jawab :

Berat badan Titik tengah Frekuensi fx

(KG) (X) (F)

60 – 62 61 10 610

63 – 65 64 25 1600

66 – 68 67 32 2144

69 – 71 70 15 1050

72 – 74 73 18 1314

100 6718

BERAT BADAN JUMLAH MAHASISWA

60-62

63-65

66-68

69-71

72-74

10

25

32

15

18

Rumus :

18,67100

6718

f

fxx

2. RATA UKUR geometrisRu = G = Mg = rata rata ukur

n = banyak data

Data tunggal

Rumus :Log Ru = (log + log ..)

Contoh Tentukan rata – rata ukur dari : 2,4,8,16,32

Jawab :

=8 atau n = 5

Log Ru = (log 2 + log 4 + log 8 + log 16 + log 32)

= (4,515)

= 0,903

nn xxxxRu ...** 321

n

1

1x 2x

5 3216842 xxxxRu

5

1

5

1

Log Ru = 0,903

Ru = 8

(Anti log = shift log 0,903)

Data berkelompok

Rumus :

Log Ru =

X = m = titik tengah

Tabel hasil pengukuran 100 daun kelapa (mm)

Pengukuran frekuensi

50 – 54 6

55 – 59 10

60 – 64 9

65 – 69 25

70 – 74 28

75 – 79 13

80 – 84 9

Jumlah 100

f

xf )log*(

Ditanya : berapa rata – rata ukur dari data diatas

Jawab :

Log Ru =

= 183,393 = 1,834 100

Ru = 68,23

Nilai f x Log x F * log x

50 – 54

55 – 59

60 – 64

65 – 69

70 – 74

75 – 79

80 – 84

6

10

9

25

28

13

9

52

57

62

67

72

77

82

1,716

1,756

1,792

1,826

1,857

1,886

1,914

10,296

17,560

16,132

45,652

52,005

24,524

17,224

Jumlah 100 183,393

f

xf )log*(

RU untuk kenaikan atau pertumbuhan

Untuk gejala yang sifatnya pertumbuhan atau kenaikan dengan syarat

tertentu seperti pertumbuhan bakteri, penduduk dan kenaikan bunga bank

rata ukur dapat dihitung.

Rumus :

Pt = Po

Pt = keadaan akhir pertumbuhan

Po = keadaan awal pertumbuhan

= rata – rata pertumbuhan

t = satuan waktu yang digunakan

Contoh

Tentukan laju pertumbuhan rata – rata penduduk indonesia jika pada akhir

tahun 1946 dan 1956 jumlah penduduk masing – masing 60 dan 78 juta

Jawab :

t = 10 (dari 1956 – 1946)

Pt = 78 juta

Po =60 juta

Ditanya

t

xPo

1001

x

x

Ditanya

78 = 60 (1 + ) 10

(1 + ) = 1,3

(1 + ) = (1,3)1/10

(1 + ) = 1,0266

= 0,0266

x = 2,66 %

x

100

x

100

x

100

x

100

x

100

x

3. RATA HARMONIS (RH)Data tunggal

RH = =

Contoh

Tentukan rata – rata harmonis dari 2,5,7,9,12

Jawab :

RH =

Pak Dedi berpergian pulang pergi ke kantor dengan mobil. Waktu pergi ia

menggunakan waktu 40 km / jam. Berapa rata – rata pulang pergi kecepatannya

Jawab

RH =

Data berkelompok Rumus :

x

n1

nxxx

n1

....11

21

82,4

12

1

9

1

7

1

5

1

2

15

jamkm /3,32

30

1

40

12

x

f

f

Contoh Pengukuran F X F /X

50 – 54 6 52 0,11555 – 59 10 57 0,17560 – 64 9 62 0,14565 – 69 25 67 0,37370 – 74 28 72 0,38975 – 79 13 77 0,16980 – 84 9 82 0,110Jumlah 100 1,476

RH = 100 = 67,75 1,476Hubungan antara rata – rata hitung – rata ukur dan rata harmonis adalah :RH ≤ RU ≤ x rata2

4. Modus (mode) = MoAdalah nilai yang paling sering munculSejumlah data bisa tidak punya modusMempunyai satu modus disebut unimodalMempunyai dua modus disebut bimodalLebih dari dua modus disebut multimodal

Data Tunggal

Tentukan Modus (mode) atau Mo dari data ini :

A. 1,4,7,8,9,9,11

B. 1,4,7,8,9,11,13

C. 1,2,4,4,7,9,11,11,13

D. 1,1,3,3,7,7,12,12,14,15

Jawab

a. Modus = 9

b. Modus = tidak ada

c. Modus = 4 dan 11

d. Modus = 1,3,7 dan 12

Diketahui X1 = 75 X4 = 12

X2 = 100 X5 = 125

X3 = 150 X6 = 80

Maka modusnya = 125

Data berkelompok

Rumus

Mo = TKB +

xiDD

D

21

1

TKB = Tepi kelas bawah dimana modus berada

d 1 = Selisih frekuensi modus dengan frekuensi sebelum

d 2 = selisih frekuensi mous dengan frekuensi sesudah

i = panjang interval kelas

Tabel Berat Badan 100 Demonstran

Berat Badan (Kg) Jumlah mahasiswa (F)

60 – 62 10

63 – 65 25

66 – 68 32

69 – 71 15

72 – 74 13

Tentukan Modus dari data diatas

Jawab

TKB = 65,5

d 1 = 32 – 25 = 7

d 2 = 32 – 15 = 17

i = 3

Mo = 65,5 +

3177

7x

TM

32 B C

25

18 A D

15

10

29,5 62,5 65,5 68,5 71,5 74,5

Mo = 66,375

5. MEDIAN

Kebaikan “Modus”

1. Lebih sukar dari rata – rata

2. Tidak tegas

Kebaikan “Median”

1. Mudah dihitung

2. Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim

3. Lebih mewakili dari pada rata rata

4. Dengan kelas terbuka median dapat dihitung

Kelemahan “Median”

1. Data harus diurutkan

2. Kurang dikenal dari pada rata – rata

3. Tidak dapat dipergunakan untuk perhitungan lebih lanjut

Me = Md ialah urutan rata rata yang didasarkan atas nilai data yang berada ditengah distribusi frekuensinya

Syarat : data harus diurutkan dahulu

DATA TUNGGAL

Jika jumlah data ganjil, Mediannya paling atau berada ditengah

Jika jumlah data genap, Mediannya dijumlah lalu dibagi 2

Contoh :

Tentukan Median dari data dibawah ini :

4,3,2,6,7,5,8

11,5,7,4,8,14,9,12

Jawab

Data diurutkan + 2,3,4,5,6,7,8

n = 7 (ganjil) Me =

2. Urutkan data = 4,5,7,8,9,11,12,14

n = 8 (genap)

Me = =

DATA BERKELOMPOK

Me = TKB +

5422

171 Xxxn

2

54

222 XXXX nn

5,82

98

iFKKDFKKD

FKKDn

BA

B

.21

TKB = Tepi kelas bawah

i = Panjang interval kelas

FKKDA = Frekuensi kumulatif kurang dari nilai tepi kelas yang ada di atas

kelas Median

FKKDB = Frekuensi komulatif kurang dari nilai tepi kelas bawah kelas

Mediannya

= Letak Mediannya

Contoh :

Data yang ada adalah :

Berat badan F TK F.Kom <

60 – 62 10 59,5 0

63 – 65 25 62,5 10

66 – 68 32 65,5 35 FK bawah

69 – 71 15 68,5 67 FK Atas

72 – 74 18

100

= 50

Me = 65,5 + = 66,9

2

n

2

n

33567

3550X

LATIHAN (Secara Median)

Diameter Pipa (mm) Frekuensi

65 – 67 2

68 – 70 5

71 – 73 13

74 – 76 14

77 – 79 4

80 – 82 2

Hubungan antara rata Median dan Modus

1.Distribusi Simetris

Jika rata – rata hitung, Median dan Modus memiliki nilai yang sama, maka kurvanya berbentuk simetris

2.Distribusi condong kanan

Jika rata hitung > median dan > modus maka kurvanya mencong ke kanan

3. Distribusi Condong kekiri

Jika rata hitung < median < modus

Dari ketiga distribusi tersebut didapat rumus:

Mo = - 3 ( - Me ) atau

=

atau

Me =

umpama, diket = 67,18

Mo = 66,375

berapa Me = ?

Me = 2(67,18) + 66,375 = 66,91

3

x

x

x 2

3 MoMe

3

2 Mex

x

FRAKTIL( Kuartil – Desil – Persentil )

A. KUARTIL Q atau K

Ukuran letak yang membagi distribusi frekuensi menjadi 4 bagian yang sama

K1 K2 K3Q1 Q2 Q3

25%

25% 25%

25%

Letak

4

1)N(3QLKK

4

1)N(2QLKK

4

1)N(1QLKK

333

222

111

Umpamanya ada data :X1 = 75 x3 = 100 x5 = 125X2 = 80 x4 = 120

DATA TUNGGAL

5,772

8075K

1,5 ke data pada terletak K

5,14

)15(1LK

1

1

1

X1 = 75

X2 = 80

X3 = 100

X4 = 120

X5 = 125

100K

3 ke data pada terletak K

34

)15(2LK

2

2

2

5,122K

5,4LK

3

3

K1 = 77,5 artinya besar keuntungan max dari pedagang yang tergolong 25%

tingkat keuntungannya terendah

K2 = 100 artinya besarnya keuntungan rata seluruh pedagang yang didasarkan pada median

K3 = 122,5 artinya besarnya keuntungan min dari pedagang yang tergolong 25% tingkat keuntungannya tertinggi.

DATA BERKELOMPOK

LK1 = 1(n) , LK2 = 2 (n) , LK3 = 3 (n)

4 4 4

Rumus

K1 = TKb + LK1 – FKKDB X i

FKKDA –FKKDB

contoh data sudah diolah

Kelas F T.K F. Kom <

59,4 0

60 – 62 10 62,5 10

63 – 65 25 65,5 35 25,LK1 = 100 / 4

66 – 68 32 68,5 67 50, LK2 = 200 / 4

69 – 71 15 71,5 82 75, LK = 300 / 4

72 – 74 18 74,5 100

K1 = 62,5 + 25 – 10 X 3 = 64,3

35 – 10

K2 = 65,5 + 50 - 35 x 3 = 66,9

67 – 35

K3 = 68,5 + 75 – 67 x 3 = 70,1

82 - 67

nF 100

DESIL D

= Kuartil

Sekumpulan data dibagi 10 bagian sama banyak, setelah data diurutkan

= Rumus kuartil, hanya dibagi 10

DATA TUNGGAL

Letak

D1 = LD1 = 1(n+1)

10

D9 = LD9 = 9(n+1)

10

Contoh :

Data sampel 3,5,7,8,10,10,12,14,14,14,15

Hitung desil ke 7 n = 11

LD7 = 7 (11 + 1) = 84 = 8,4

10 10

Data berada antara 8 dan 9

D7 = X8 + 0,4 (x9 – x8)

= 14 + 0,4 (14 – 14)

= 14

LD4 = 4 (11 + 1) = 4,8

10

data berada antara 4 dan 5

D4 = X4 + 0,8 (X5 – X4)

= 8 + 0,8 (10 – 8)

= 9,6

Contoh berkelompok

Nilai F F kom

30 – 39 5 5

40 – 49 3 8

50 – 59 6 14

60 – 69 7 21

70 – 79 8 29

80 – 89 7 36

90 – 99 4 40

n = 40

Hitung desil ke 4 = D4 = TKB + LD4 – FKKDB x i

FKKDA - FKKDB

LD4 = 4 (n) = 4(40) = 16

10 10

TKB = 60 – 0,5 = 59,5

Kelas desil = 60 – 69

i = 40 – 30 = 10

FKKDB = 5 + 3 + 6 = 14

FKKDA = 5 + 3 + 6 + 7 = 21

D4 = 59,5 + 16 – 14 x 10

21 – 14

= 62,36

Hitung desil ke 8

LD8 = 8(n) = 8(40) = 32

10 10

Kelas desil = 80 – 89

Tkb = 80 – 0,5 = 79,5

i = 40 – 30 = 10

FKKDB = 5+3+6+7+8 = 29

FKKDA = 5+3+6+7+8+7 = 36

D8 = 79,5 + 32 – 29 x 10

36 - 29

Data berkelompok

LD1 = 1(n) , LD7 = 7(n)

10 10

Rumus

D8 = TKB + LD8 – FKKDB x i

FKKDA - FKKDB

PERSENTIL

Kuartil dan Desil

datanya dibagi 100 sama banyak

- Rumus Kuartil dan Desil, hanya dibagi 100 sama banyak

DATA TUNGGAL

P18 = LP18 = 18 (n+1) dan seterusnya

100

p50 p99p1

• Hitung Persentil ke 10(P10) dan persentil ke 76dr data brk ini:• 20 21 22 24 26 26 27 30 31 31 • 33 35 35 35 36 37 37 38 39 40• 41 41 42 43 44 46 47 48 49 50• n=30• P10=10(n+2) = 10(30+1) = 3.1• 100 100• Data berada antara 3 dan 4• = x3 + 0.1 (x4 – x3) =22 + 0.1 =22.2• P76=76(n+2) = 76(30+1) = 23.56• 100 100• Data berada antara 23 dan 24• = x23 + 0.56 (x24 – x23) =46 + 0.56 =42.56• DATA BERKELOMPOK• LP21 = 21(n) , LP89 = 89(n)• 100 100• Rumus : P36 = Tkb + LP36 – Fkkdb .i• Fkkda - Fkdb

۩Sampai jumpa Pada Pertemuan 6 (F2F)