ESERCITAZIONI DI IDRAULICA

Universita` di Roma Tor Vergata

Esercitazioni del corso di

Idraulica 1

Prof. Ing. Paolo Sammarco

Anno Accademico 20032004

Idrostatica

Capitolo 1

Esercizi di idrostatica

Esercizio n. 1

La densita` dellacqua di mare aumenta con la pressione relativa secondo la relazione

= 0 (1 +Kp)

ove la densita` 0 vale 1030 kg/m3 e la costante di comprimibilita` K vale 5 1010Pa1.

1. E sufficiente tale relazione per definire lassetto dellacqua di mare come barotropico? Perche?

2. Trovare il potenziale di1p

3. Partendo dallequazione indefinita della statica dei fluidi, derivare la distribuzione dellapressione in condizioni idrostatiche.

4. Calcolare la pressione relativa alla profondita` di 5000 m e confrontarla con la pressione allastessa profondita` nel caso di distribuzione della densita` = 0 costante.

Svolgimento

1. La relazione data e` sufficiente per definire lassetto dellacqua di mare come barotropico,poiche`e` una relazione del tipo f = f(p), la densita`, cioe`, non dipernde dalla temperatura, ma solodalla pressione.

2. Dalla definizione di potenziale si sa che:

W =

1p d~x+ c =

1dp+ c

Sostituendo lespressione della densita` si ottiene:

W =

10 (1 +Kp)

dp+ c

Integrando si ha:

W =1

0Kln (1 +Kp) + c

Sammarco Esercizi di Idraulica 0

Idrostatica

3. Prendendo a riferimento un sistema con lasse z orientato verso il basso e con origine sul pianodelle pressioni relative nulle, lequazione della statica:

~f p = 0 ,

proiettata sullasse z, fornisce:

g dpdz

= 0 .

Sostituendo lespressione della densita` si ha:

dp = gdz = 0 (1 +Kp) gdz

dp(1 +Kp)

= 0gdz

integrando

log (1 +Kp) = K0gz + c

Imponendo la condizione al contorno p = 0 per z = 0 si ottiene c = 0. Dunque, risolvendoper p, si ha:

p =1K

(eK0gz 1)

4. Se = 0 = costante, la distribuzione delle pressione e`:

p0 = 0gz

Alla profondita` di 5000 m p0assume il valore:

p0 = 1030 9.81 5000 = 5.052 107 Pa .

Lespressione ricavata al punto precedente fornisce:

p =1

5 1010(e510

1010309.815000 1)= 5.116 107 Pa ,

e pertanto:

p p0p0

= 1.3%


Idrostatica

Esercizio n. 2

In un fluido in quiete (acqua) la densita` varia secondo la relazione che segue

= 0 exp(p

e

)ove e e` il modulo di comprimibilita` dellacqua, pari a 2.2 109 N/m2 ,0 e` la densita` dellacqua incondizioni di riferimento, pari a 1000 Kg/m3 , p e` leccesso di pressione sulla pressione atmosferica.

1. Scegliendo lasse z verticale orientato verso lalto con origine sul piano delle pressioni relativenulle, derivare la distribuzione della pressione in seno al fluido.

2. Lassetto del fluido puo` definirsi barotropico?

3. Un corpo a sezione rettangolare di altezza a , larghezza b e densita` b < galleggia sullacqua.Derivare la profondita` di affondamento d per la quale il corpo e` in equilibrio.

4. Calcolare d per b = 500 Kg/m3, a = 20 m e confrontare il risultato con il caso e =, nelcaso cioe` di fluido incomprimibile.

Risultati

1.

p(z) = e ln(1 0g

ez

)2. Lassetto del fluido puo` definirsi barotropico.

3.d =

e0g

(1 ebga/e

)4.

d = 9.9999m

de = 10m

Esercizio n. 3

In un contenitore da laboratorio di profondita` h e` stato immesso un fluido la cui densita` variasecondo la

= 0

(1 +

h

)ove con si e` indicato laffondamento a partire dalla superficie libera; e` un parametro che

indica lincremento di densita` allaumentare della profondita`, 0 e` la densita` dellacqua in condizionidi riferimento, pari a 1000 kg/m3.

1. Partendo dalla equazione in forma indefinita della statica derivare la distribuzione dellapressione in seno al fluido.

2. Lassetto del fluido puo` definirsi barotropico?

Un corpo a sezione rettangolare di altezza a , larghezza b e densita` b viene immesso nelcontenitore.


Idrostatica

3. Derivare la profondita` di affondamento d per la quale il corpo e` in equilibrio.

4. Calcolare d per h = 0.1 m, b = 500 kg/m3, = 0.6, a = 0.1m.

Svolgimento

1. La proiezione dellequazione della statica sullasse fornisce:

g dpd

= 0

da cui

dp = 0g(1 +

h)d

Integrando tra 0 e e fra patm e p, si ottiene:

p patm = 0g(1 +

2h)

2. Lassetto del fluido puo` definirsi barotropico. Le superfici isobare sono piani orizzontali esuperfici isopicnotiche. Pertanto per ogni valore di , esiste uno ed un solo valore di e p equindi esiste una relazione biunivoca tra e p, f(, p) = 0.

3. Il corpo e` in equilibrio quando il peso del corpo, bgab 1, ed il peso del volume di acquaspostato (volume di carena),

V dV , hanno lo stesso valore:

bgab 1 =d

0

() gb 1d

Sostituendo nella precedente lespressione di , si ottiene:


Idrostatica

ba = 0

d0

(1 +

h)d

Risolvendo lintegrale si ottiene unequazione nella profondita` incognita d:

d2 +2hd 2h

b0a = 0

la cui radice positiva e`

d =h

(1 +

1 + 2

b0

ha

)4. Con i dati numerici forniti si ottiene:

d =0.10.6

(1 +

1 + 2

5001000

0.60.1

0.1

)= 0.044 m

Nel caso = 0, lequilibrio del corpo galleggiante fornisce

d0 =b0a = 0.05 m d0 d

d0= 12%

Esercizio n. 4

Versamenti di idrocarburi liquidi, quali il petrolio, si verificano spesso allinterno degli specchiportuali durante le operazioni di carico e scarico delle navi. La densita` i degli idrocarburi liquidie` minore di quella dellacqua e, data la loro immiscibilita`, gli idrocarburi liquidi galleggiano esi spandono sulla superficie. Al fine di contenere tali effetti, in un porto viene istallato un murosemicircolare di raggio R galleggiante con la base sommersa e la sommita` emersa. Dimensionandoopportunamente laltezza di tale muro galleggiante si possono arginare cos` i volumi V di idrocarburiliquidi versati nelle acque portuali. Nella figura e` indicato lo schema della soluzione scelta.

Si supponga che un volume V di idrocarburo liquido venga sversato per una manovra erroneanello specchio portuale. Dopo il transitorio iniziale, uno strato di spessore uniforme riempie ilbacino delimitato dal muro. Il pelo libero dellidrocarburo risulta ad una altezza h maggioredellacqua marina allesterno del muro. Pertanto il muro sara` soggetto ad una spinta idrostaticanetta orizzontale F per unita` di larghezza del muro diretta verso lesterno del muro stesso.

1. Derivare lespressione di h, h, F in funzione di V , , i, R, g.

2. Calcolare i valori numerici di h, h, F per V = 10000 m3, = 1030 kg/m3, i = 950 Kg/m3,R = 100 m

Svolgimento

1. Dallespressione del volume sversato:

V =piR2

2h h = 2V

piR2


Idrostatica

La pressione alla base dello strato di idrocarburo vale:

p = Igh

Considerando condizioni idrostatiche, essa deve essere uguale a quella relativa alla stessaprofondita` allesterno del muro (le linee orizzontali sono isobare in un fluido in quiete diassegnata densita`):

p = g (hh)

Imponendo luguaglianza di ottiene:

hh = hi

h = h(1 i

)=(1 i

)2VpiR2

La forza esercita dallo strato di idrocarburo e`:

Fi =12igh

2

mentre la forza esercitata dallacqua di mare e`

Fa =12g (hh)2 = 1

2g

(ih

)2=

12gh2

(ih

)2Da cio` risulta che la forza netta agente sul muro e`:

F = Fi Fa = 12igh2 1

2gh2

(ih

)2

F = ig(1 i

)2V 2

pi2R4


Idrostatica

2. Con i valori numerici forniti si ottiene:

h = 0.64 m

h = 0.05 m

F = 146.8N

m

Esercizio n. 5

Una paratoia verticale difende un bacino di acqua dolce (altezza a = 4m , densita` = 1000 kg/m3),galleggiante su uno strato di acqua di mare (altezza b , densita` = 1030 kg/m3) dalle oscillazionidi marea.

1. Calcolare laltezza h del mare per la quale le spinte orizzontali lato mare e lato bacino sonoin equilibrio.

2. Calcolare laltezza h per la quale i momenti delle spinte orizzontali rispetto al piede dellaparatoia sono in equilibrio.

3. Nel caso in cui la base della paratoia non venga impermeabilizzata, quando le spinte sono inequilibrio, in quale direzione filtra lacqua (dal mare al bacino o viceversa)?

Risultati

1.

h =

ma2(1 +

2ba

)+ b2 h = 5.92m

2.

h ={3m

[a3(13+

b

a

)+ ab2

]+ b3

} 13

h = 5.95m

3. La filtrazione avviene dal mare verso la laguna.


Idrostatica

Esercizio n. 6

Sul lato piano di un contenitore riempito di acqua in condizioni di quiete e` posta una superficiesemisferica di diametro D (vedi figura). Il centro della semisfera e` alla profondita` h. Determinarelespressione della componente orizzontale Fh e della componente verticale Fv della forza esercitatadal fluido sulla superficie.

Svolgimento

Sostituendo alla superficie semisferica un volume di fluido in equilibrio statico, si puo` applicarelequazione cardinale della statica al volume di fluido in equilibrio (vedi figura):

~G+ ~ = 0

Dallequilibrio in direzione orizzontale si ha:

1 = 2

ove 1 e` la spinta sulla superficie piana verticale che vale:

1 = pG = G = hpiD2

4


Idrostatica

Poiche`

2 = Fh

si ha

Fh = ghpiD2

4Imponendo lequilibrio in direzione verticale:

G+3 = 0dove

G = gV = gpiD3

12Poiche` la componente verticale della risultante degli sforzi di superficie che il fluido esterno allaporzione semisferica applica alla semisfera fluida e` pari a Fv:

3 = Fv

Si ha

Fv = gpiD3

12In maniera perfettamente equivalente si possono calcolare le spinte Fh e Fv dalla definizione dirisultante degli sforzi di pressione. Definendo un sistema di riferimento con lasse x coincidente conla superficie libera e lasse z diretto lungo la verticale verso il basso:

~F = ~ =A

p~ndA

Fx =A

p~n ~ixdA , Fy =A

p~n ~iydA

{FxFy

}=

pi0

g

(h D

2cos

){sin cos

}2pi(D

2sin

)D

2d =

= pigD2

2

pi0

(h D

2cos

)sin

{sin cos

}d =

{

FxFy

}= pig

D2

2

{sin cos

}


Idrostatica

Esercizio n. 7

Si consideri la paratoia cilindrica a sezione circolare di tenuta di una diga artificiale. La paratoiae` costituita da un tubo di acciaio di raggio r = 1 m, spessore s e densita` acc = 7800 kg/m3 .Il contatto della paratoia con la diga avviene lungo la generatrice di traccia D cos` come indicatoin figura. Il livello idrostatico dellacqua coincide con la generatrice di sommita` di traccia A.Determinare

1. la spinta orizzontale per unita` di larghezza che la paratoia esercita sulla diga

2. lo spessore s che rende la configurazione in figura di equilibrio idrostatico

Risultati

1.Fh =

12gR2

2.

s = R

acc

(12pi

+38

)' 0.07 m

Esercizio n. 8

Si consideri la seguente configurazione piana in condizioni idrostatiche. Il cuneo triangolare, dipeso trascurabile, e` mantenuto in posizione dalla spinta verticale verso il basso che il fluido esercitalungo il tratto orizzontale di larghezza 2c. Calcolare il valore limite di a = amin, al diminuire di a,per il quale la forza netta esercitata dal fluido che tiene il cuneo in posizione si annulla.

Risultati

amin = b2 ( cb tan 1) c > b tan


Idrostatica

Esercizio n. 9

Un tronco di legno di sezione circolare di raggio R e densita` L galleggia in uno specchio acqueo(vedi figura). La posizione del tronco e` di equilibrio. In tale posizione emerge sopra la superficielibera una porzione di tronco pari a R/2.

1. Calcolare la densita` del tronco L.

2. Argomentare la stabilita` dellequilibrio del tronco.

Nota: Durante il calcolo del volume spostato potrebbe essere utile utilizzare il seguente risultato:

2

R2 z2dz = z

R2 z2 +R2 arcsin

( zR

)


Idrostatica

Risultati

1.L = 0.805a

2. La posizione e` di equilibrio indifferente.

Esercizio n. 10

Un palo di piccola sezione di lunghezza L , sezione A , densita` p minore della densita` dellacqua,e` ancorato al fondo ad un estremo, cos` come indicato in figura.

1. Determinare lespressione della lunghezza D della parte sommersa in funzione delle densita`p, e della lunghezza L.

2. Determinare la forza di ancoraggio T in funzione di p, , L e di A.

Svolgimento

1. Imponendo lequilibrio alla rotazione attorno allestremo di ancoraggio si ottiene:

pgALL

2cos gADD

2cos = 0

D =pL

2. Dallequilibrio alla traslazione verticale si ottiene invece:

T + pgAL = gAD

T = pgAL[

p 1]


Idrostatica

Esercizio n. 11

Un corpo galleggiante rettangolare di altezza a, larghezza b e profondita` unitaria, viene tiratoad una profondita` d dalla superficie libera di un fluido di densita` tramite un cavo di ancoraggioverticale. La forza che bisogna applicare per mantenere il corpo a tale profondita` vale T .

Determinare la densita` del corpo b < in funzione di, a, b, d, T .

Risultati

b = ad

a Tgab

Esercizio n. 12

Una condotta sottomarina di diametro D viene adagiata sul fondo del mare. La condotta e` a tenutae quindi vuota allinterno. Quale deve essere lo spessore minimo s (con s

Idrostatica

Svolgimento

La condotta resta sul fondo quando il suo peso complessivo eccede la spinta di Archimede, cioe`quando, per unita` di lunghezza di condotta, e` verificata la seguente relazione:

cgpi

4

[(D + 2s)2 D2

] gpi

4(D + 2s)2

nella quale il primo membro rappresenta il peso dellanello di calcestruzzo ed il secondo la spintadi Archimede. Risolvendo la precedente disuguaglianza in termini di S/D e considerando la radicepositiva, si ottiene:

S

D=

12

(c

c 1)

Prendendo in considerazione i seguenti valori:

c ' 2300 kg/m3 ; ' 1000 kg/m3si ha

S

D' 0.165

Dunque, per una condotta di raggio unitario (R = 1 m), e` necessario un rivestimento incalcestruzzo di almeno 16.5 cm.

Esercizio n. 13

Un cilindro di massa trascurabile di sezione circolare di raggio R ed altezza d chiude un aperturacircolare sul fondo di una vasca contenente un fluido di densita` s e di altezza del pelo libero sulfondo paria ad a; la sommita` del cilindro e` costituita da una calotta semi sferica di raggio R. Ilcilindro e` immerso in un fluido di densita` i < s , cos` che la chiusura e` assicurata dalla spinta versolalto esercitata dal fluido i. In realta` il raggio della calotta e` leggermente minore di R in modoche il cilindro si appoggia sul bordo inferiore dellapertura circolare della vasca superiore; neicalcoli si assuma il raggio della calotta pari a R. Cosa succede al variare dellaltezza b ? Calcolarelaltezza bmin del fluido i che rende la forza netta sul cilindro nulla.


Idrostatica

Risultati

Al diminuire dellaltezza b la valvola si apre.

bmin =si

(a 2

3R

) d

Esercizio n. 14

Una boa accelerometrica puo` essere schematizzata da un cilindro di raggio r , altezza a e densita`c ancorato al fondo del mare (di densita` > c). Se laffondamento d del cilindro e` maggiore delvalore di galleggiamento, la fune di ancoraggio risulta in tensione. Calcolare il valore della tensioneT presente nella fune. Nel caso poi in cui il livello dellacqua salga di una quantita` Y , calcolareil relativo incremento di tensione T .

Risultati

T = gpir2d(1 c

a

d

)T = gpir2Y

Esercizio n. 15

Un cassone rettangolare di calcestruzzo alleggerito, schematizzabile come un blocco rettangolaredi densita` uniforme c = 2000 Kg/m3, delimita uno specchio acqueo portuale. Le sue dimensionisono a = 15 m, b = 8 m. La profondita` lato mare e lato porto e` la stessa e pari ad h = 10 m.Uno sversamento di petrolio (p = 800 Kg/m3) genera uno strato di altezza h = 2 m lato porto.La filtrazione al di sotto del cassone non e` sufficiente a far abbassare il livello lato porto, pur se idue lati sono in comunicazione idraulica . Il livello dellacqua resta quindi quello originale primadello sversamento. La resistenza allo scorrimento e` data dal solo attrito fra cassone e sabbia. Farela verifica allo scorrimento del cassone ipotizzando un coefficiente di attrito cassonesabbia pari


Idrostatica

a f = 0, 3 ed ipotizzando una distribuzione triangolare delle sovrapressioni dovute allo strato dipetrolio al contatto della base del cassone con la sabbia.

Svolgimento

Imponendo lequilibrio alla traslazione orizzontale si ha:

12ph2 + phh < f

(P hb 1

2pbh

)nella quale P rappresenta il peso del cassone:

P = cab

si ha:

h(h+

h2

)< f

[b

(acp h

p h

2

)]Sostituendo i valori assegnati si ha:

22 < 57.6

La verifica e` soddisfatta con un coefficiente di sicurezza Fs pari a:

Fs =57.622

' 2.6

Risultati

Esercizio n. 16

Un cassone rettangolare di calcestruzzo alleggerito, schematizzabile come un blocco rettangolare didensita` uniforme c = 2000 Kg/m3, delimita uno specchio acqueo portuale. Le sue dimensioni sonoa = 15m, b = 8m. La profondita` lato mare e lato porto e` la stessa e pari ad h = 10 m. Unonda diampiezza A = 1 m e lunghezza 2pi/k = 100 m incide sulla parete verticale lato mare. Come noto, lamassima pressione indotta dallonda avviene in corrispondenza della cresta ed e` distribuita secondola p=gA

cosh k(z+h)cosh kh . La resistenza allo scorrimento e` data dal solo attrito fra cassone e sabbia.

Fare la verifica allo scorrimento del cassone ipotizzando un coefficiente di attrito cassonesabbia


Idrostatica

pari a f = 0.3 ed ipotizzando una distribuzione triangolare delle sovrapressioni dovute alla crestadellonda lungo la superficie di contatto della base del cassone con la sabbia.


Cinematica dei fluidi

Capitolo 2

Esercizi di cinematica dei fluidi

Esercizio n. 1

Un campo di velocita` e` descritto dallespressione seguente:

~v = Ax~ix +By~iy + Cz~iz

1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dellaccelerazione e delpotenziale di ~v.

2. Scomporre il gradiente di ~v nelle componenti tensoriali e D; scomporre ulteriormente D =L+ S ed indicare il tipo di rotazione e/o deformazione che viene impressa al fluido.

3. Quale tipo di moto descrive il campo di velocita` ~v?

4. Si puo` realizzare con un fluido incomprimibile? Perche ?

5. Ammesso che la densita` del fluido sia solo funzione del tempo t quale deve essere la suaespressione affinche` la massa sia conservata?

Svolgimento

1.

~v ={

x

y

z

}

vx

vy

vz

= A+B + C

~v =

ix iy iz

x

y

z

vx vy vz

=

=(vzy vyz

)~ix +

+(vxz vzx

)~iy +

+(vyx vxy

)~iz (2.1)



~v = ~0

~v =

vxx

vxy

vxz

vyx

vyy

vyz

vzx

vzy

vzz

~v = A 0 00 B 0

0 0 C

~a =d~v

dt=

~v

t+ (~v )~v =

=(vxt + vx

vxx + vy

vxy + vz

vxz

)~ix +(

vyt + vx

vyx + vy

vyy + vz

vyz

)~iy +(

vzt + vx

vzx + vy

vzy + vz

vzz

)~iz (2.2)

~a = A2x~ix +B2y~iy + C2z~iz

~v =

vx = x

vy = x

vz = x

= 12(Ax2 +By2 + Cz2

)2. Il moto descritto e` di tipo irrotazionale.

3. Il moto si puo` realizzare con un fluido incomprimibile soltanto se:

A+B + C = 0

In caso contrario lequazione di conservazione della massa non viene rispettata:

d

dt+ ~v = (A+B + C) 6= 0

4. Se = (t) dallequazione di continuita` si ha:

d

dt+ ~v = 0



= 0e(A+B+C)t

nella quale

0 = (t = 0)

Esercizio n. 2

Per i campi di velocita` piani descritti dalle seguenti espressioni:

~v = A lnx~ix +B exp(y)~iy

~v = A lnx~ix +By~iy

~v =v03(x~ix + y~iy + z~iz)

~v =v03(y~ix x~iy + z~iz)

1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dellaccelerazione e delpotenziale di ~v.

2. Scomporre il gradiente di ~v nelle componenti tensoriali e D; scomporre ulteriormente D =L+ S ed indicare il tipo di rotazione e/o deformazione che viene impressa al fluido.

3. Quale tipo di moto descrive il campo di velocita` ~v?

4. Si puo` realizzare con un fluido incomprimibile? Perche`?

5. Trovare lespressione del tensore degli sforzi T nel caso di fluido viscoso newtoniano e dedurrela direzione e lintensita` dello sforzo che si esercita sul fluido contenuto nella sfera di raggior0 attraverso una superficie ortogonale allasse x nel punto x = r0.

Esercizio n. 3

Un modello semplice di ciclone e` fornito dal seguente campo di velocita` in coordinate cilindriche(r, nel piano, z verticale):

vr = 0 v ={

r r RR2

r r > Rvz = 0

con R raggio del ciclone ed pulsazione del ciclone.Mantenendo la distinzione tra r R ed r > R:

1. derivare le espressioni della divergenza, del rotore e del gradiente di ~v[ ( r , 1r , z )];

2. indicare se trattasi di moto irrotazionale e/o isocoro;

3. scomporre il ~v nelle componenti tensoriali e D; scomporre ulteriormente D = L + S edindicare il tipo di rotazione e/o deformazione che viene impressa al fluido.



Per il ciclone lequazione del moto lungo la direzione r:

vrt

+ ~v vr 1rv2 =

1

p

r+

(2vr vr

r2 2r2v

)si semplifica notevolmente fornendo una equazione differenziale del primo ordine in p.

4. Si integri tali equazione per ottenere la distribuzione p = p(r) con le seguenti condizioni alcontorno:

p patm per r p continua in r = R

e graficare qualitativamente la p = p(r) mettendo in evidenza i valori della pressione in r = Red r = 0.

5. Calcolare la variazione di pressione in r = 0 rispetto al valore asintotico patm ( r )quando = 1 kg/m3, = 0.04 s1, patm = 100 000 Pa.


Fluidodinamica

Capitolo 3

Esercizi di fluidodinamica

Esercizio n. 1

Un serbatoio cilindrico aperto allatmosfera di diametro Ds e` riempito fino allaltezza H sopraallimbocco di una condotta di diametro Dc. Al tempo t = 0 viene aperta la condotta e lacquafluisce alla velocita` Vc. Assumendo che ad ogni istante la velocita` di eusso sia approssimabile dallavelocita` torricelliana di un fluido ideale, derivare il tempo complessivo necessario allo svuotamentodel serbatoio. [Suggerimento: ricavare una equazione differenziale del primordine per laltezzadellacqua nel serbatoio h(t)]

Svolgimento

Nel caso di fluido ideale, la velocita` torricelliana in ogni istante t durante lo svuotamento e`:

vc =2gh(t)

Lequazione globale di continuita`

M

t= QMi QMu

per il volume di controllo di altezza h(t) fornisce:


Fluidodinamica

M = piD2s4 h(t)(3.1)

QMi = 0(3.2)

QMu = piD2s

4 vc = piD2s4

2gh(t)

Dunque:

piD2s4

dh(t)dt

= piD2s

4

2gh(t)

da cui si ricava:

dh(t)dt

= (DcDs

)22gh(t)

0

H

dh

h1/2=2g(DcDs

)2 0

dt

2H1/2 = 2g(DcDs

)2

=(DcDs

)22Hg

Esercizio n. 2

Si consideri il moto uniforme assolutamente turbolento di fluido viscoso che si instaura nella galleriadello scarico di fondo (diametro D = 1.0 m e lunghezza L = 1000 m) durante lo svuotamento delladiga rappresentata in figura ( = pi / 4 ). Calcolare il tempo di svuotamento del bacino artificialeil cui livello iniziale (t = 0) di invaso al di sopra dellimbocco della galleria e` h0 = 100 m. Ipotizzareche ad ogni istante t > 0 dopo lapertura della galleria la velocita` sia quella del moto uniformeassolutamente turbolento relativo alla h(t). Per il coefficiente di perdita concentrata allimboccoassumere 1 = 0.5; per il calcolo delle perdite distribuite si utilizzi la formula di PrandtlNikuradse =

[2log

(3.714R

)]2 con = 0.2 mm.


Fluidodinamica

Esercizio n. 3

Un imbuto di angolo al vertice e` riempito fino ad unaltezza H al di sopra della sua aperturainferiore (vedi figura). Larea e` di piccola dimensione (A

Fluidodinamica

M

t= QMi QMu

fornisce per questo sistema:

V(t)t

= Qia Qu(t)

(t)t

+QuV(t) =

QiVa

la cui soluzione generale e`

(t) = om+ p = CeQuVt +

QiQu

a

Imponendo la condizione iniziale

(0) = a

a = C + QiQu

a

Pertanto

(t) = a

(1 Qi

Qu

)e

QuVt +

QiQu

a

Si osserva come

t (t) QiQu

a

cioe` il valore asintotico della densita` sta alla densita` atmosferica nel rapporto Qi/Qu. Nelpresente caso

() = 2a

Esercizio n. 5

Un contenitore cilindrico di area A ed altezza b0 con un piccolo foro al fondo di area Af , vienecapovolto ed immerso sotto il pelo libero di un fluido in quiete di densita` . Laria abbandona ilcontenitore attraverso il foro con una velocita` alla sezione del foro w(t) mentre laltezza del volumeintrappolato b(t) va a zero.

Si ipotizzi che la densita` a dellaria intrappolata resti costante in virtu` dellevacuazione dalforo.

Determinare:

1. Lespressione della velocita` dellaria w(t) al foro in funzione di a, , b(t) (ipotizzare fluidoin condizioni idrostatiche al di fuori del contenitore, assimilare laria ad un fluido idealeallinterno del contenitore)

2. Lespressione di b(t) in funzione di a, ,A, Af , b0, t (utilizzare la conservazione della massa moto non stazionario)

3. Il tempo di svuotamento in funzione di a, , A ,Af , b0


Fluidodinamica

4. Spiegare perche` il tempo di svuotamento non dipende dallaffondamento a del contenitorerispetto al pelo libero?

Esercizio n. 6

Una lastra piana indefinita viene avvicinata ad una velocita` V costante ad una identica lastra fissaad essa parallela. Il fluido fra esse contenuto e` quindi soggetto ad un moto divergente dal piano disimmetria x = 0 il cui profilo di velocita` e` dato dalla relazione seguente:

~v = f(x)y(h y)~ix + vy(y)~iycon f(x) = f(x). h(t) e` la distanza fra le due lastre che varia come segue:

dh

dt= V

Per ragioni di simmetria ~vx = 0 per x = 0. Applicando lequazione globale della continuita` alvolume di controllo tratteggiato indicato in figura, determinare il profilo f(x).


Fluidodinamica

Esercizio n. 7

Una vasca orizzontale a cielo aperto viene utilizzata per separare lolio (densita` o) contenuto inacqua contaminata da trattare. La portata volumetrica per unita` di larghezza in ingresso nellavasca e` q (moto bidimensionale). Ad una sufficiente distanza dalla zona di sbocco della portata,lacqua fluisce nella vasca con una velocita` orizzontale v1 costante sulla profondita`. Lolio pergalleggiamento risale in superficie, formando uno spessore uniforme s che viene sostenuto da unaparete verticale divisoria al termine della vasca. La parete verticale ha una apertura al fondo diluce r nota.

Nel tratto terminale della vasca, lacqua quindi accelera per passare attraverso la luce r convelocita` v2 (costante lungor) per passare poi in una seconda vasca (di acqua purificata) il cui livelloh e` reso costante da uno stramazzo (che allontana la stessa portata in ingresso q). La differenzafra il pelo libero nella seconda vasca e il pelo libero dello strato di olio e` h.

Si ipotizza che

lacqua abbia un comportamento di fluido ideale,

che il moto sia stazionario

che la pressione abbia una distribuzione idrostatica in tutte le sezioni verticali.

1. Dalla conservazione della massa determinare v1 e v2 in funzione di q e degli altri parametrih,h, r, s.

Misurato lo spessore dello strato di olio s, determinare h nei seguenti casi

2. Caso semplificato: considerando il fluido in quiete (equilibrio idrostatico); h risulta funzionedi s, , o

3. Caso reale: tenendo conto del moto dellacqua, applicando opportunamente il teorema diBernoulli ed ipotizzando s

Fluidodinamica

Svolgimento

1. Dallapplicazione della continuita` discende:

q = v1 (h+h s) = v2r v1 = q

h+h s ; v2 =q

r

2. Imponendo luguaglianza della pressione al fondo in corrispondenza della luce si ha:

0s+ (h+h s) = h

h = s(1 0

)3. Applicando il teorema di Bernoulli alla traiettoria al fondo che va dalla sezione 1 alla 2 si ha:

z +0s+ (h+h s)

+v212g

= z +h

+v222g

da cui

h = s(1 0

)+q2

2g

[1r2 1

(h+h s)2]

h ' s(1 0

)+

q2

2gr2

Rispetto al caso in cui si consideri il fluido in quiete e` necessario un dislivello h maggioreper permettere allacqua di fluire attraverso la luce; il livello si innalza nella vasca contenentelolio aumentando il carico piezometrico in maniera tale da fornire lenergia di pressione delcaso idrostatico piu` il contributo (v22 v21)/2g.

4. Si sceglie un volume di controllo compreso tra la sezione 1 e la sezione 2 a cui e` possibileapplicare la seguente equazione globale:

~G+ ~ = ~I + ~Qmu ~Qmi

Proiettandola sulla direzione x si ha:

~Gx= 0

~x= 1 2 3

~Ix= 0

~Qmux= v22r


Fluidodinamica

~Qmix= v21 (h+h s)

Nellespressione di , si evidenziano i contributi 1 agente in corrispondenza della sezione 1,2 agente in corrispondenza della luce di fondo e 3 agente in corrispondenza del setto. Siosserva che vale la seguente relazione:

~3 = ~F

nella quale ~F e` la forza dinamica che agisce sul setto:

F = q2[1r 1h+h s

]' q

2

r

La forza netta agente sul setto e` pari alla somma della forza dinamica e della risultante dellespinte idrostatiche. Si ottiene:

Fnetta =120s

2 + 0s (h+h s r) + 12 (h+h s r)2 1

2 (h r)2 + q

2

r

Fnetta = 0s (h+h s r) + 12 (h s) (1 + 2h 2r) +q2

r

Si osserva che, nel caso in cui s, h ed r siano molto minori di h, allora:

Fnetta = 0sh+12 (h s) (1 + 2h) + q

2

r

Esercizio n. 8

Una vasca orizzontale a cielo aperto viene utilizzata per separare lolio contenuto in acquacontaminata da trattare. La portata per unita` di larghezza in ingresso nella vasca e` q (motobidimensionale). Lacqua fluisce nella vasca con una velocita` orizzontale v1 costante sullaprofondita`. Lolio per galleggiamento risale in superficie, formando uno spessore uniforme s cheviene mantenuto da una parete verticale al termine della vasca. La parete verticale ha una aperturaal fondo di luce r nota. Nel tratto terminale della vasca, lacqua quindi accelera per passareattraverso questa luce con velocita` v2 (costante lungo r) per passare poi in una seconda vasca (diacqua purificata) il cui livello h e` reso costante da uno stramazzo (che allontana la stessa portatain ingresso q).

Si ipotizza che lacqua abbia un comportamento di fluido ideale e` che il moto sia stazionario.

1. Dalla conservazione della massa determinare v1e v2 in funzione di q e degli altri parametrih,h, r, s.

2. Misurato il dislivello h fra il pelo libero nella seconda vasca (di altezza h fissa) e il pelolibero dellolio, determinare lo spessore dello strato di olio s in funzione di q e di h,h, r(siipotizzi una distribuzione idrostatica delle pressioni nelle sezioni 1 e 2).


Fluidodinamica

Esercizio n. 9

Per il moto stazionario assolutamente turbolento descritto in figura, utilizzare i teoremi globalidella dinamica dei fluidi (continuita` e quantita` di moto) per valutare pressione p2 e velocita` mediaturbolenta U2 in funzione delle grandezze assegnate p0,0, U0, p1, U1,1. Trascurare lattrito sullepareti dei condotti. U0, U2 sono ortogonali a ~g.

Le sezioni 0 e 2 sono tali che il moto possa essere approssimato da una distribuzione uniformepari alla velocita` media.

Esercizio n. 10

Utilizzando il teorema globale della quantita` di moto, calcolare la forza F che il tubo circolarerappresentato in figura esercita sullancoraggio di calcestruzzo. La corrente e` stazionaria eduniforme a monte ed a valle del gomito; si trascurino gli effetti dellattrito e della gravita`.(U = 2m/s,D = 1m, = pi/4)


Fluidodinamica

Esercizio n. 11

Un getto stazionario di portata Q abbandona un tubo circolare rigido verticale di area alladistanza L da una lastra orizzontale. La pressione al di fuori del getto e` atmosferica.

1. Quanto vale la pressione allinterno del getto nella parte verticale e rettilinea? Perche` ?

Il fluido viene deflesso dalla lastra e si spande su essa in modo uniforme e con simmetria radialerispetto allasse z del getto. La lama dacqua che ne risulta ha uno spessore s funzione solo dellacoordinata radiale r. Inoltre la variazione di s con r ad una sufficiente distanza dallasse z, e`sufficientemente lenta da poter approssimare le traiettorie con linee rettilinee e parallele alla lastra(orizzontali). In questa approssimazione

2. Trovare la distribuzione delle pressioni lungo s.

3. Determinare la velocita` radiale vr (si ipotizzi un comportamento di fluido ideale) in funzionedi Q,, L, s.

4. Levidenza sperimentale mostra che s

Fluidodinamica

2. Nella lama dacqua orizzontale la pressione e` distribuita in modo idrostatico; nellipotesi ditraiettorie parallele al fondo infatti:

z

(z +

p

)= 0 dp

dz= p = z + cost.

imponendo

p(r) = 0

si ha

p = (s z)

3. Ipotizzando che il moto sia stazionario ed il fluido ideale, vale il teorema di Bernoulli.Prendendo in considerazione una traiettoria che parte dallinizio del getto e finisce incorrispondenza di una sezione per cui il flusso puo` considerarsi orizzontale si ha:

H1 = H2 L+ Q2

2g2= z +

(s z)

+v2r2g

da cui discende

vr =

Q2

2+ 2g (L s)

Si nota che la presenza del sostegno, costituito dalla parete orizzontale, oltre a rendere ladistribuzione delle pressioni di tipo idrostatico, rende la velocita` vr indipendente dal valoredi z. Cio` a differenza della velocita` torricelliana per vena libera in atmosfera.

4. Se risulta s

Fluidodinamica

Esercizio n. 12

Una corrente di fluido ideale permanente viene emessa in atmosfera alla velocita` U2 da una sezionecircolare di diametro D2. La sezione 2 e` alla fine di un restringimento graduale di sezione dallasezione 1 ove il diametro e` D1, la velocita` e` U1 e la pressione e` p1.

Derivare le espressioni di U1, p1in funzione delle grandezze fisiche alla sezione 2 e calcolarne ivalori numerici per U2 = 40 m/s; = 1000 kg/m3;D2 = 0.05 m;D1 = 0.1 m

Esercizio n. 13

Un vento di velocita` va costante e parallelo al suolo incide ortogonalmente ad un edificio secondolo schema indicato in figura. Sia sulla facciata sopravvento che su quella sottovento ledificio hauna finestra di area . Si facciano le seguenti ipotesi:

Pressione fuori delledificio costante e pari a quella atmosferica (in particolare sia sottoventoche sopravento).

Aria approssimata come fluido incomprimibile, a costante.

Condizioni di moto permanente di fluido ideale.

Edificio molto largo rispetto alla sua altezza.

1. Derivare la velocita` vf con cui il vento spira attraverso la finestra sopravento in funzione dellavelocita` del vento va

2. Derivare lespressione della pressione p allinterno delledificio in funzione della velocita` delvento va e della densita` a.

3. Calcolare i valori di vf , p per va = 10 m/s, a = 1.2 Kg/m3.


Fluidodinamica

Esercizio n. 14

Si consideri il moto assolutamente turbolento di fluido viscoso allinterno del setto verticale indicatoin figura. Il setto, di larghezza d = 0, 2m e lunghezza L = 10 m, divide due serbatoi di capacita`infinita alle altezze h1 = 11 m ed h2 = 10 m (h1 > h2). Calcolare la portata per unita` dilarghezza transitante fra i due serbatoi, trascurando il contributo della parte di flusso compresofra h1 ed h2ipotizzando che le linee di flusso siano orizzontali in tutta la zona al di sotto di h2.Per il coefficiente di perdita concentrata allimbocco assumereI = 0, 5. Per il calcolo delle perditedistribuite si utilizzi la formula Prandtl-Nikuradse = [2 log (3, 71 4R/)]2 con = 0, 1 mm.

Esercizio n. 15

Si consideri il moto assolutamente turbolento di fluido viscoso in un tubo circolare di diametrod = 0, 4m e lunghezza L = 1000 m collegante due serbatoi di capacita` infinita alle altezze h1 =100 m ed h2 = 90 m. Calcolare la portata fluente nella condotta. Per il coefficiente di perditaconcentrata allimbocco assumereI = 0, 5. Per il calcolo delle perdite distribuite si utilizzi laformula Prandtl-Nikuradse = [2 log (3, 71 4R/)]2 con = 0, 1 mm.


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ESERCITAZIONI DI IDRAULICA