FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Fisica Tecnica Ambientale

ESERCIZI SVOLTI

CONVEZIONE

Esercizio 1

1

Esercizio 1

Del vapor d’acqua alla temperatura di 120°C scorre in un tubo d’acciaio avente temperatura

interna di 117°C. Il tubo ha raggio interno di 5 cm ed esterno di 5.5 cm ed è ricoperto da uno

strato di 2.5 cm di isolante. Il coefficiente di scambio convettivo interno è 100 W/m2K e quelli di

conducibilità termica dell’acciaio e dell’isolante valgono rispettivamente 45 e 0.07 W/mK.

Sapendo che il tubo è esposto ad aria a 17°C, determinare le due temperature interfacciali

dell’isolante e il numero di Nusselt per la convezione naturale dell’aria esterna.

1T

T2

T3

1r

r2r 3

Lk1

k2

Ti

Te

he

hi

Le temperature interfacciali dell’isolante T2 e T3 si ricavano dalle espressioni della potenza termica,

scritte rispettivamente per la conduzione nel cilindro interno ed in quello esterno,

Lk

rrqTT

Lk

rr

TTq

1

12

12

1

12

21

2

ln

2

ln

Lk

rrqTT

Lk

rr

TTq

2

23

23

2

23

32

2

ln

2

ln

Occorre preventivamente determinare L

q. Essendo il flusso stazionario, si può ricavare per la

convezione del fluido interno. E’:

)(2)( 11 TTLrhTTAhq iiiii da cui

m

WK

Km

WmTThr

L

qii 2.94310005.022

211 .

Sostituendo:

Esercizio 1

2

C

mK

W

m

m

m

W

CTLk

rrqTT

117

452

05.0

055.0ln2.94

1172

ln2

1

1212

Considerata l’elevata conducibilità termica dell’acciaio ed il piccolo spessore del tubo, il salto

termico sulle due facce non risulta apprezzabile.

Lk

rrqTT

2

2323

2

ln

C

mK

W

m

m

m

W

CT

7.36

07.02

055.0

080.0ln2.94

1173

Il numero di Nusselt per la convezione esterna vale:

aria

e

k

DhNu

dove karia si legge dalle tabelle alla temperatura media

CCCTT

T em

9.26

2

177.36

2

3 .

Leggendo il valore alla temperatura di 27°C si trova: karia = 0,02622mK

W mentre he si può ricavare

dall’espressione del flusso termico, in particolare quello convettivo esterno. Si ha:

5.9)177.36(08,02

2.94

)(22

33

33

Km

m

W

TTLr

qhTThr

L

q

e

eee

Km

W2

da cui:

58

02622.0

16.05.92

mK

W

mKm

W

k

DhNu

aria

e

Esercizio 2

3

Esercizio 2

Un muro di calcestruzzo spesso 15 cm ed alto 3 m, avente conducibilità termica k = 0.87 W/mK, è

esposto dal lato interno ad aria a 34°C e dal lato esterno ad aria a 0°C. La sua temperatura sul

lato interno è 20°C ed il coefficiente di trasporto convettivo per l’aria esterna è 53 W/m2K.

Determinare il flusso termico per unità di area.

1T

x

T2

1x x2

Ti

Te

k

h i

h e

ei

ei

hk

x

h

TT

A

q

11

Bisogna determinare hi : essendo

L

kNuh

k

LhNu i

i

occorre valutare Nu e leggere k dalle tabelle. Essendo la convezione naturale si ha:

nGrcNu Pr)( con

Pr

2

3

TLgGr

υ, α e K si ricavano dalle tabelle alla temperatura:

CCCTT

T im

27

2

2034

2

1 . Si legge:

= 1.5682∙10s

m25

α = 2.2160∙10s

m25

Esercizio 2

4

k = 0.02622 mK

W

da cui:

708.0

2.2160·10

1.5682·10

Pr2

5-

25-

s

m

s

m

11

22

5

3

2

2

3

10502.0

)105682.1(

2714300

18.9

s

m

mKKs

m

TLgGr

1111 10355.010)708.0502.0(Pr Gr .

In corrispondenza sulla tabella relativa alla convezione naturale si legge:

13.0c ; 3

1n e

7.420)10355.0(13.0 3/111 Nu

da cui:

L

kNuhi

m

mK

W

3

02622.07.420

= 3.67 Km

W2

2

22

m

W 74.07 =

53

1

87.0

15.0

67.3

1

34

11

Km

W

mK

W

m

Km

W

K

hk

x

h

TT

A

q

ei

ei

Esercizio 3

5

Esercizio 3

Del vapor d’acqua alla temperatura di 130°C scorre alla velocità di 10 cm/s in un tubo d’acciaio

avente temperatura interna di 110°C e raggi interno ed esterno rispettivamente pari a 10 ed 11

cm. Il tubo è rivestito di uno strato di 3 cm di amianto ed è esposto ad aria avente coefficiente di

scambio convettivo pari a 12 W/m2K. Sapendo che le conducibilità termiche dell’acciaio e

dell’amianto valgono rispettivamente 45 W/mK e 0.17 W/mK, calcolare il valore del coefficiente

globale di scambio termico.

1T

T2

T3

1r

r 2r 3

L

Ti

Te

he

hi

k1

k2

E’:

ei hk

rrr

k

rrr

hr

rU

1lnln

1

2

233

1

123

1

3

Bisogna determinare hi. Si ha:

D

Nukh

k

DhNu i

i dove, previa verifica dei valori di Re e Pr, Nu si può calcolare utilizzando

l’espressione:

3/18.0 PrRe023.0 Nu

valida per il flusso entro tubi per i seguenti intervalli di valori di Reynolds e Prandtl:

10000 < Re < 100000 0.5 < Pr < 100.

Occorre pertanto valutare Pr e Re. Si ha:

Pr ;

vdRe

υ, α e k si ottengono dalle tabelle alla temperatura:

Esercizio 3

6

CCCTT

T im

120

2

110130

2

1

υ = 2.47∙10s

m27

α = 17.08 ∙10s

m28

k = 0.685 mK

W

da cui:

446.1

1008.17

1047.2

Pr2

8

27

s

m

s

m

6.80971

1047.2

2.01.0

Re2

7

s

m

ms

m

vd

Poichè sia il valore di Reynolds che quello di Prandtl rientrano nel range indicato si può valutare

Nusselt utilizzando l’espressione precedente:

3/18.0 PrRe023.0 Nu = 3/1805.0 )446.1()6.80971(023.0 219.5

e quindi:

8.7512.0

685.05.219

m

mK

W

D

Nukh

Km

W2

Km

W

Km

W

mK

W

mmm

mK

W

mmm

Km

Wm

m

hk

rrr

k

rrr

hr

rU

ei

2

22

2

233

1

123

1

3

7.4

12

1

17.0

)11.0/13.0ln(13.0

45

)10.0/11.0ln(13.0

8.7511.0

13.0

1

1lnln

1

Esercizio 4

7

Esercizio 4

Un conduttore di rame, avente un diametro di 1.8 mm ed una resistenza elettrica di 0.065 Ω/m, è

isolato da una guaina dello spessore di 1 mm ed è esposto ad aria a 20°C.

Sapendo che la temperatura esterna della guaina è 84°C e che il suo coefficiente di conducibilità

termica vale 0.118 W/mK, determinare lo spessore critico dell’isolante e la corrente che

attraversa il conduttore.

1r r 2

Lh

1TT2

Te

kg

Per valutare lo spessore critico occorre calcolare la quantità:

2

1

1

d

h

krr

g

cr

Bisogna determinare h. Essendo

L

kNuh

k

hLNu

con nGrcNu Pr)(

Si ha:

Pr ;

2

3

TLgGr

.

υ, α e k si ricavano dalle tabelle alla temperatura:

CCCTT

T im

52

2

2084

2

1

(mediando fra i valori relativi a 27°C e 77°C)

υ= 1.8213∙10s

m25

Esercizio 4

8

α = 2.5996 ∙10s

m25

k = 0.028115 mK

W

da cui:

s

m

s

m

2

5

2

5

105996.2

108213.1

Pr

= 0.7006

23.319

sec108213.1

108.364325

1

sec8.9

22

5

331

2

2

3

m

mKKm

TLgGr

65.223Pr Gr

Poiché il prodotto PrGr ricade nel range 10-1 < PrGr < 104 è necessario fare riferimento ad un

diagramma, che riporta il Nulog in funzione del Pr)log(Gr , dal quale in corrispondenza al valore

individuato si legge:

4.0log Nu da cui

51.2Nu e quindi

57.18108.3

0281.051.2

3

m

mK

W

L

kNuh

Km

W2

.

2

108.1

57.18

118.0

2

3

2

1

1

m

Km

W

mK

W

d

h

krr

g

cr 5.45 mm

Inoltre: R

qI

con ).(2 22 TTLhrThAq e

m

WK

Km

WmTThr

L

qe 19.146457.18109.12)(2

42

3

22

si ha:

Am

mW

LR

LqI 77.14

/065.0

/19.14

Esercizio 5

9

Esercizio 5

Un tubo avente diametro interno pari a 25 mm e lunghezza di 3 m, è percorso ad una velocità

media di 15 m/s da una corrente d’aria alla temperatura di 220°C, avente una portata di 6 g/s.

Determinare la diminuzione di temperatura subita dal fluido nel condotto, supponendo di

ritenere costante il flusso termico della parete e la differenza di temperatura fluido- parete, pari a

20°C (cp = 1.005 kJ/kgK).

r

L

h

1T

Ti

Essendo:

Gc

qTTGcq .

Occorre determinare q.

.2 TrLhThAq

Per valutare h si determina il numero di Nusselt k

DhNu .

Essendo la convezione forzata, Nu si può calcolare, previa verifica dei valori di Re e Pr, utilizzando

l’espressione valida per il flusso entro tubi:

3/18.0 PrRe023.0 Nu

utilizzabile per valori di Reynolds e Prandtl compresi nei seguenti intervalli:

100000Re10000 100Pr5.0 .

Si ha:

Pr ;

vdRe

dove υ, α e k si leggono sulle tabelle alla temperatura media all’ingresso del canale.

Essendo il salto termico fluido – parete pari a 20°C, si trova

Esercizio 5

10

CCCT 200202201 , da cui:

CCCTT

T im

210

2

200220

2

1 .

Si trova:

υ= 3.4828∙10s

m25

α = 5.1077 ∙10s

m25

k = 0.03923 mK

W

e quindi:

68.0

101077.5

104828.3

Pr2

5

25

s

m

s

m

10767

104828.3

025.015

Re2

5

s

m

ms

m

vd

Poiché i valori di Reynolds e Prandtl ottenuti ricadono nel range prescritto, si ha:

3/18.0 PrRe023.0 Nu = 0.023(10767)0.805(0.68)1/3 = 34

35.53025.0

)03923.0(34

m

mK

W

d

Nukh

Km

W2

CKm

WmmTrLhq 203,5330125.022

2 =251.3 W

C

kgK

J

s

kg

W

Gc

qT

7.41

1005106

3.251

3

Esercizio 6

11

Esercizio 6

Del vapor d’acqua saturo secco alla pressione di 12 bar fluisce, con una portata di 1 kg/s,

all’interno di un tubo di acciaio lungo 15000 m, avente raggio interno pari a 6 cm e spessore 3

cm, esposto ad aria a 20°C. Sapendo che il coefficiente di conducibilità termica dell’acciaio è

pari a 44 W/mK e che i coefficienti di scambio convettivo del vapore e dell’aria valgono

rispettivamente 2.5 e 7.5 W/m2K, determinare il titolo del vapore all’uscita del condotto.

s (kJ/kgK)

h (kJ/kg)

1

2

1T

T2

1rr2

L

hi

he

Si può determinare il titolo del vapore all’uscita del condotto conoscendone il valore dell’entalpia.

Questa può a sua volta ottenersi valutando lo scambio termico del fluido. Essendo:

qhhhhq 1212 .

Leggendo sulle tabelle il valore di h1 alla pressione di 12 bar si trova: h1 = 2782.8kg

kJ, mentre il

calore ceduto dal vapore si valuta come G

qq

' in cui q’ può ottenersi dall’espressione:

TUAq ' =

ei

av

hk

rrr

hr

r

TTLr

1ln

2

2

122

1

2

2

.

Dalle tabelle del vapore saturo la temperatura del vapore per barp 12 risulta CTv 188 .

Pertanto:

kW

km

W

mk

W

mmm

km

Wm

m

Kmmq 1.194

5.7

1

44

06.009.0ln09.0

5.206.0

09.0

20188150009.02'

22

e

Esercizio 6

12

kg

kJ

s

kg

kW

G

qq 194

1

194'

Infine

kg

kJ

kg

kJ

kg

kJqhh 7.25881.1948.278212 ed essendo:

xkg

kJx

kg

kJxhxhh vl 8.2782)1(6.798)1( 222

x = 0.9