Esfuerzos y deformaciones en cilindros y tubos

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES DE TUBOS Y CILINDROSI. TUBOS

Es muy frecuente la división de los tubos en rígidos y flexibles según sea su comportamiento mecánico ante las solicitaciones a que estén expuestos, si bien no es muy precisa la frontera o división entre unos y otros tipos de tuberías.Hoy en día, la tendencia más aceptada es a entender la condición de rígido o flexible no como una propiedad del tubo analizado de forma individual, sino del conjunto que forman el propio tubo como tal, junto a las características del terreno que lo rodea, las condiciones de la instalación, etc., de manera que, la posibilidad de que un tubo en unas condiciones determinadas fuera una estructura flexible y en otras rígida ya no dependería solo de la geometría, como en el caso anterior, sino ahora también del tipo de relleno que lo rodee, de la compactación alcanzada, etc.La elección de un circuito de tubería se fija en funcion de 2 parámetros.

Caudal de circulación. Presión soportada por las paredes.Como dato de referencia para el cálculo de la sección de los mismos, tomar: Tuberías de alimentación: 0.6 a 1.25 m/s Circuitos de presión y de retorno: 2 a 7 m/sObs:1. En el caso de tuberias rígidas, la presión determina el espesor de pared de la tubería. 2. Para tuberías flexibles, se suele tener en cuenta, el N° de trenzados metálicos que consta dicha tubería.

1. Tubos Flexibles Los tubos flexibles son aquellos que admiten ciertas deformaciones por la acción de las cargas verticales, produciéndose un efecto de ovalización que, al aumentar el diámetro horizontal, hace que entren en juego los empujes pasivos del terreno, aumentado de forma considerable su resistencia.Estos tubos quedarían fuera de servicio (las tensiones en la pared superarían las admisibles) si se alcanzasen deformaciones circunferenciales muy elevadas, superiores al 20% del diámetro ó más. Por ello, se dimensionan para que la citada deformación causada por la acción de las cargas externas no supere un valor del orden del 3% ó el 6% del diámetro, no alcanzándose para entonces el agotamiento de su capacidad resistente.Su función: Transportar un fluido desde un punto fijo hasta otro móvil. Absorber las fluctuaciones de presión y vibraciones. Simplificar la instalación.

A nivel industrial están normalizadas por la norma SAE SAE J517 tipo SAE 100R1, R2, (A y AT), R3, R4, R5 y R6SAE 100 R9, R10, R12, R9R

Constitución Tubo inferior: de caucho sintético resistente al fluido hidráulico. Capas de refuerzo: combinaciones de mallas de fibras sintéticas y/o metal que son las que soportan la presión interna. Cubierta exterior: de caucho sintético resistente a la abrasión, a la intemperie y a los hidrocarburos. Selección de las tuberías flexibles:Depende de: Caudal del fluido: Cuando la circunstancia lo requiera, es posible disponer las mangueras en baterías. Presión del circuito: La presión de trabajo es igual a la mitad de la presión de prueba y la cuarta parte de la presión del estallido. Naturaleza del fluido transportado: De ésta naturaleza, depende la elaboración de la mezcla de elastómeros.

Instalaciones y cuidado de los tubos flexibles: La longitud debe fijarse con gran cuidado, de modo que con el movimiento no se generen estiramientos. Jamás debe trabajar a torsión. Su curvatura no debe iniciarse sin respetar una determinada distancia de empotramiento en el terminal (de 6 a 8 veces el diámetro de la manguera). La longitud de la manguera ha de ser prevista con suficiencia, pero sin que llegue ser prohibitiva, de modo que pueda absorber las deformaciones. Se ha de tener en cuenta que bajo el efecto de la presión que soporta la longitud de la manguera disminuye (puede llegar hasta una concentración del 4%).

Evítense las curvas cerradas. La concavidad formada por el tubo debe quedar hacia arriba, evitar la concavidad hacia abajo o hacia los costados. Alejar los tubos de las partes calientes o aislarlos. Alejar los tubos de las partes móviles asegurándose que no se produzcan rozamientos. Evitar las vibraciones. Evitar los radios muy pequeños de curvatura. Evitar el colapso de los tubos en las maniobras que causen golpes de ariete. No apretar excesivamente los terminales de los tubos. Controlar que el tubo no quede torsionado al apretar sus terminales.2. Tubos Rígidos Los tubos rígidos son aquellos en los que la deformación por la acción de las cargas ovalizantes es tan pequeña que no se benefician del posible empuje pasivo del terreno, sino que absorbe todas las solicitaciones el propio tubo. En este caso, el tubo queda fuera de servicio cuando el estado tensional en la pared excede el valor admisible.Conectores para tuberías rígidas: Por soldaduras y bridas con extremos lisos o roscados. Mediante racores corrientes. Con anillo de penetración. Con anillo al tope. Con abocardado (o expansión). Salvo en algunas excepciones, las tuberías responden a las normas: Gas Métrica

Hay que tener presente lo siguiente: Todos los racores deben estar concebidos y montados de tal modo que, en caso de tener que intervenir en el circuito, la tubería se puede demostrar y volver a montar rápidamente. El tipo de racor utilizado deberá ser, por lo menos tan resistente a la presión como las tuberías a las que une. Los racores no deben producir pérdidas de cargas apreciables. Para evitar el peligro de corrosión electrolítica, los racores o el material de aportación para la soldadura deben tener la misma naturaleza que los tubos a los que unen. La soldadura o colocación de racores deben estar conformes con las normas previstas por el fabricante.

Los estudios al respecto de los últimos años concluyen que, efectivamente, la división entre tubos flexibles y rígidos sería excesivamente simple, ya que habría un estadio intermedio, que serían los tubos semirrígidos o semiflexibles, los cuales admiten cierta deformación ante las cargas externas, la cual es suficiente para poder hacer variar el empuje de las tierras (comportamiento flexible).En ellos puede ocurrir tanto que la deformación alcanzada para el estado tensional último sea muy pequeña (menor, por ejemplo del 2 ó del 3%:

comportamiento rígido) como que sea muy grande (más de, por ejemplo, el 10%, de modo que se dimensionen limitando la deformación radial admisible a un valor del orden del 3 ó el 5% del diámetro: comportamiento flexible). Por tanto, en el dimensionamiento de estos tubos hay que comprobar que en cada instalación ni las deformaciones ni las tensiones superan los valores admisibles (en los tubos flexibles puros bastaba con comprobar únicamente lo primero, y en los absolutamente rígidos lo segundo).Los criterios anteriores son, sensiblemente, los recogidos en la norma UNE-EN 805:2000, la cual clasifica a los tubos de la siguiente manera: Tubos rígidos: “aquellos cuya capacidad de carga está limitada por la rotura, sin que previamente aparezcan deformaciones significativas en su sección transversal”. Tubos flexibles: “los que su capacidad de carga está limitada por la deformación admisible”. Tubos semirrígidos: “aquellos cuya capacidad de carga puede estar limitada bien por la rotura o bien por la deformación transversal”.Otra forma de entender la rigidez o flexibilidad de un tubo sería tal como lo aborda el proyecto de norma europea prEN 1295-3:2001. Dicho documento introduce un criterio de clasificación a partir del parámetro que denomina “rigidez relativa, Sc”:

Sc=Es8∗S* (1−V s

2 )

Donde Es es el módulo de elasticidad del suelo, vs el módulo de Poisson del suelo, para el que generalmente se utiliza el valor 0,3, y S es la rigidez anular de la tubería.Se considera que la tubería se comporta como rígida cuando Sc ≤ 9 y como flexible cuando Sc>9. Sin embargo, aquellos casos en los que la rigidez relativa está comprendida entre 9 y 24 se suelen denominar tuberías semirrígidas o tuberías semiflexibles caracterizadas porque su deformada mantiene una forma elíptica.A la luz de todo lo anterior, debe decirse, en primer lugar, que no ha lugar a establecer clasificaciones absolutas de los tubos por rígidos, flexibles o semirrígidos, ya que dicha condición no depende solo del propio tubo como tal sino además de las condiciones de la instalación (en rigor, habría que distinguir entre un tubo rígido o flexible y un comportamiento rígido o flexible).En cualquier caso, sí puede decirse que, en general, los tubos de acero y los de materiales plásticos(PVC-U, PE, PRFV) se comportan siempre o casi siempre de manera flexible, que los de hormigón lo hacen de forma rígida y que la fundición tendría un comportamiento semirrígido, ya que éste variará de rígido a flexible según diámetros.A. Tubos sometidos a presión hidráulica interior

En las instalaciones aéreas, para todas las tipologías de materiales, la hipótesis pésima de carga suele corresponder bien al estado tensional en la pared del tubo derivado de la sola acción de la presión interior, o bien a la flexión longitudinal producida por las acciones gravitatorias, si bien, en ocasiones, tal como se detalla en los apartados siguientes, puede haber alguna otra situación también condicionante, como el pandeo, las posibles tracciones longitudinales o las tensiones en los apoyos, etc.En las instalaciones enterradas (lo más habitual), usualmente, las más determinantes son la presión interior actuante, las acciones del terreno y las del tráfico, de manera que la hipótesis pésima de carga suele producirse por la combinación de las acciones que se indican a continuación, según tipologías de tuberías. Tubos de acero. Las solicitaciones condicionantes suelen ser el estado tensional producido por la sola acción de la presión interna o las deformaciones causadas en la hipótesis de actuación única de las acciones externas. En estos tubos, debe, además, comprobarse el comportamiento ante el pandeo o colapsado. Tubos de hormigón. La situación más desfavorable es el estado tensional causado por la acción de las cargas externas e internas, bien individualmente o bien en conjunto. Tubos de materiales plásticos (PVC-U, PE y PRFV). Las solicitaciones condicionantes son el estado tensional (causado bien por la acción individual de la presión interna, o bien junto a las acciones externas), o las deformaciones causadas por las acciones externas, debiendo en estos tubos plásticos comprobar también el comportamiento ante el pandeo transversal o colapsado. Tubos de fundición. En el caso de diámetros grandes las solicitaciones condicionantes serían el estado tensional producido por la sola acción de la presión interna o las deformaciones causadas en la hipótesis de actuación única de las acciones externas (comportamiento flexible), mientras que en los diámetros pequeños la situación más desfavorable sería el estado tensional causado por la acción de las cargas externas e internas, bien individualmente o bien en conjunto (comportamiento rígido).En la siguiente tabla mostramos la Hipótesis pésima de carga habitual en los diferentes tipos de tubos en instalaciones enterradas

En resumen, las comprobaciones que hay que hacer en las tuberías enterradas son las siguientes:a) Tensiones debidas a la presión hidráulica interior. En cualquier tipología de tubería, debe comprobarse que, al actuar únicamente la presión hidráulica interior, las tensiones producidas en la pared del tubo no exceden los valores admisibles.b) Tensiones debidas a la acción conjunta de presión hidráulica interior y de las acciones externas. En los tubos de hormigón y en los de materiales plásticos (PVC-U, PE y PRFV), debe comprobarse que la actuación conjunta de la presión interior y de las acciones externas produce un estado tensional inferior al admisible.En estos tubos, determinadas combinaciones de presiones interiores (P) y momentos flectores debidos a las cargas externas (W) agotan la tubería.Los primeros estudios que profundizaron en lo anterior se realizaron para los tubos de fibrocemento, para los que, tradicionalmente, se representaban dichas combinaciones mediante la conocida como parábola de Schlick (Hüneberg, 1971), de forma que la curva que representa estados de agotamiento de la tubería venía representada por la ecuación:

WW r

=√1− PPrW: Momento flector del aplastamientoWr: Momento flector de rotura al aplastamiento P: Presión internaPr: Presión interna de roturaEn los tubos de hormigón pretensado, dicha curva viene representada por una ecuación similar, en concreto (Moser, 1990):

WW r

=3√1−PPrEn los tubos de materiales plásticos, la curva que representa los valores de W y P que agotan la tubería es algo diferente (Liria, 1995), del estilo de la mostrada en la siguiente figura. En ella puede verse que la presión máxima soportable es superior a la presión aislada de rotura, ya que la presión interior anula parte de las flexiones producidas por las acciones externas, disminuyendo las ovalizaciones, de forma que la combinación de solicitaciones es mejor para el estado tensional.Esta comprobación del estado tensional derivado de la acción de las cargas combinadas no suele realizarse ni en los tubos de fundición ni en los de acero. Algunos textos (Ductile iron pipe compendium, Pont a Mousson, 1986) han estudiado en profundidad esta hipótesis de carga en los tubos de fundición, concluyendo en que, efectivamente, no es una situación condicionante.

W/Wr

W/WrB. Esfuerzos por Presión (Hoop)La presión del fluido dentro de la tubería produce un esfuerzo tangencial o circunferencial Lp que ocasiona un aumento en el diámetro de la tubería, y un esfuerzo longitudinal Lp que produce un aumento en la longitud de la misma.Si el espesor t de la tubería es pequeño comparado con el diámetro exterior D (D/t > 6), puede suponerse que estos esfuerzos se distribuyen uniformemente a lo largo del espesor.Para determinar el esfuerzo tangencial p, se pasa un plano longitudinal imaginario que divida a la tubería en dos partes iguales. La figura muestra el diagrama del cuerpo libre.

Diagrama de cuerpo libre de una tubería

La fuerza resultante de los esfuerzos tangencial σp debe estar en equilibrio con la resultante de la presión interna P sobre la mitad de la superficie de la tubería. Esto es:2 (σ p . t ∂ x )=p.D∂x

De aquí se tiene que:σ p=

P.D2 t

Esta ecuación es ajustada en dos sentidos: Dado que en realidad p no es uniforme a lo largo del espesor, el valor dado por la ecuación puede tomarse como un valor promedio. Ahora bien, ¿qué diámetro debe tomarse?Si se usa el diámetro interno d, se tendría:σ p=

p.d2t

=p (D−2t )2t

= p . D2 t

−p

Si se usa el diámetro medio dm, se obtendría:σ p=

p .dm2t

=p (D−t )2 t

= p .D2t

−1 p2

Los códigos establecen que el esfuerzo por presión debe calcularse como:σ p=

P . D2t

−Y . p

Donde Y es un factor que depende de la temperatura de diseño y del tipo de material. En la tabla se muestra este factor para diversas temperaturas. Observe que en un amplio rango de temperaturas de diseño Y = 0.4, con lo cual la ecuación recomendada se acerca a la deducida utilizando el diámetro medio.

Temperatura (ºF) <900 <950 <1000 <1050 <1100 <1150Aceros ferríticos 0.4 0.5 0.7 0.7 0.7 0.7Aceros austeníticos 0.4 0.4 0.4 0.4 0.5 0.7Otros materiales dúctiles 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

Para que la tubería no falle por presión, P < E. SDonde Sp = E.S, es el esfuerzo admisible por presión, S es el esfuerzo admisible básico a la temperatura de diseño y E es el llamado factor de calidad. Este factor e se interpreta, según sea el caso, como un factor de calidad de la función Ec para tuberías de hierro fundido o como un factor de calidad de la soldadura Ej, para tuberías de acero con costuras. Estos factores de calidad están tabulados en los códigos para diferentes casos. Generalmente: Ec = 0.80 y 0.60 < Ej < 1.0

C. Esfuerzos por cargas sostenidas (Gravedad)Los esfuerzos por cargas sostenidas son aquellos esfuerzos longitudinales producidos por la presión, el peso de la tubería, su contenido, el aislante y otras cargas de gravedad tales como el peso de las válvulas, bridas, filtros, etc. Este esfuerzo puede expresarse como:

L = LP + LgDonde LP es el esfuerzo longitudinal debido a la presión y Lg es el esfuerzo longitudinal debido a las cargas de gravedad.Para evaluar LP se pasa un plano imaginario transversal y se hace un diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la figura.

Esfuerzo por cargas sostenidasEscribiendo la ecuación de equilibrio de fuerzas en la dirección longitudinal se tiene:

p π .D2

4=σLP . π .D . t

De donde:σ LP=

p . D4 t

El código establece que debe usarse como espesor t – tc- Luegoσ LP=

p . D4 (t−t c )

El peso de la tubería y de otras cargas concentradas genera en cada sección transversal de la tubería momentos flectores Mi y Mo (figura 5)En general, cuando una viga está sometida a flexión pura por un momento flector M, los esfuerzos se distribuyen de acuerdo con la ecuación.σ=M . y

I

Donde M es el momento flector, “y” es la distancia del eje centroidal al punto donde se desea calcular el esfuerzo e I es el momento de inercia de la sección transversal. El esfuerzo máximo ocurre en el punto más alejado del eje centroidal, esto es, en: y = D/2

D. Esfuerzos por cargas de expansiónCuando la temperatura del sistema se eleva desde la temperatura ambiente hasta la temperatura de operación, la tubería se expande. Debido a que no puede hacerlo libremente por las restricciones impuestas por los equipos y soportes, se dobla y se tuerce así como se muestra en la figura, generándose momentos flectores Mi y M0, así como un momento torsor Mt en cada sección transversal de la tubería.

Esfuerzos por ExpansiónLos momentos flectores Mi y Mo, producen un esfuerzo máximo longitudinal.σ n=

√(ii−M i )2+(i0−M0 )2

Z

Mientras que el momento torsor Mt genera un esfuerzo máximo de corteτ t=

M t

2ZAmbos esfuerzos se calculan utilizando el espesor nominal. Para analizar la resistencia de la tubería sujeta a este estado combinado de cargas debe utilizarse una teoría de fallas. El código B31.3 utiliza la Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (Teoría de Tresca), la cual establece que para que no se produzca una falla, el esfuerzo de corte máximo real debe ser menor que el esfuerzo de corte máximo en el ensayo de tracción para un nivel determinado de carga.Para determinar el esfuerzo de corte máximo en la tubería se tienen que evaluar primero los esfuerzos principales:σ 1,2=

σb2±√( σ b

2 )2

+ τ t2

Entonces:τ max=

σ1−σ22 √( σb2 )

2

+τ t2

Para que el material no falle,σ E=

12 √( σb2 )

2

+4 τ t2≤SA2

O bien:σ E=√( σb2 )

2

+4 τ t2≤ SA

Donde E se denomina esfuerzo de expansión y SA es el esfuerzo admisible de expansión, el cual viene dado por:SA=f (1.25Sc + 0.25Sh)Donde : Sc = Esfuerzo admisible del material de la tubería en la condición fría del apéndice del código ASME B31.3, PsiSh = Esfuerzo admisible del material de la tubería en la condición caliente del apéndice del código ASME B31.3, Psi.f = Factor de reducción del rango de esfuerzo admisible para el número total de ciclos de temperatura durante la vida esperada.Por vida esperada se entiende el total de años durante el cual se presume que el sistema estará operando.Los códigos establecen que si el esfuerzo longitudinal por cargas sostenidas es inferior al esfuerzo admisible, es decir, si L < Sh, entonces la diferencia Sh – SL puede agregarse al esfuerzo admisible SA. A continuación presentamos la siguiente tabla del factor f de reducción por cargas cíclicas

Número de ciclos N fN < 7000 1.07000 < N < 14000 0.914000 < N < 22000 0.822000 < N < 45000 0.745000 < N < 100000 0.6N > 100000 0.5

SA= f (1.25Sc + 0.25Sh + Sh – σL)Esto es: SA= f [1.25(Sc + Sh) – σL]

II. CILINDROS A.Diferencia entre cilindros de pared gruesa y cilindros de pared delgada Un cilindro es de pared delgada cuando hay una gran diferencia entre el espesor de la pared y el diámetro del mismo, en un cilindro de pared gruesa no sucede lo mismo. Por otro lado, la distribución de esfuerzo en el espesor de las paredes del cilindro de pared delgada es uniforme, mientras que en el cilindro de pared gruesa no sucede así. Los cilindros de pared gruesa  son los que constituyen los barriles o cañones de las armas de fuego. En nuestro caso, veremos el diseño de un cilindro de pared delgada.

Área del espesor de pared 2πrtB. Cilindros de pared delgadaSe quieren determinar los esfuerzos producidos por la presión interna p en un recipiente cilíndrico.Se considera que un cilindro es de pared delgada si su relación radio r y el espesor t es mayor que 10.En este caso, se puede idealizar el problema considerando que los esfuerzos cortantes y sólo se tienen los esfuerzos normales transversales y

longitudinales como se muestran, nótese que se idealiza el problema como si se tuviera un estado plano de esfuerzos principales.

T L

esfuerzo transversalesfuerzo longitudinal

Lp

T

pt

L

r T

p presión

x

x

Fig. 1 Esfuerzo transversal

T esfuerzo transversal

T

p presión

p

T

y

z

Fig. 2 Esfuerzos transversalesHaciendo una sección a lo largo del tubo, como se muestra en la figura, se tiene que la fuerza externa por unidad de longitud estará dada por

df = pds (1)= prdθ Por lo que la componente en la dirección del eje y de esta fuerza será

d f y=(df ) sin θ= pr sin θdθ⇒ f y ext∫0

π

pr sinθdθ

La fuerza interna por unidad de longitud será:F y ext=¿−(2σT )( t )¿

Por equilibrio estático,∑ F y=0 Lo que significa que

f y ext+f y∫ ¿=0⇒−2σ T t+ 2pr=0¿ Por lo tanto, el esfuerzo transversal será σ T=

prt

Esfuerzo longitudinalTomando ahora una sección transversal, como se muestra en la figura 1, se tiene una fuerza externa

f ext x=−(π r2 ) p

Y una fuerza internaf∫¿ x=σ L (2πrt )¿ Dondeπr2: es el área transversal rodeada por pared externa del cilindro. 2πrt: es su perímetro exterior.Por equilibrio estático,∑ F x=0

Esto es,

−π r2 p+2 πrt σ L=0 Por lo tanto, el esfuerzo longitudinal será

σ L=pr2 t

Nótese queσ t=2σ L Por lo que el esfuerzo transversal es: σT resulta ser el más crítico.