Espace mathématique francophone 2018...ACHTAICH * Naceur ± DIYER * Okacha ± NAJIB ** Khalid Résumé Dans ce travail, nous proposons d' étendre le PRGqOHG DSSUHQWLVVDJH de M. Marcel

Espace mathématique francophone 2018

22-26 oct. 2018Gennevilliers

France

GT7 : Technologies pourl’enseignement et la formation

2

Table des matières

GT7 : Technologies pour l’enseignement et la formation 2

UNMODÈLE D’APPRENTISSAGE POURUN ENSEIGNEMENT INNOVANT, AchtaichNaceur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

NUMERIQUE ET DEVELOPPEMENT DE L’AUTONOMIE DES ÉLÈVES ENMATHEMATIQUES : UN OUTIL POUR L’ANALYSE DE RESSOURCES, GueudetGhislaine [et al.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

UN CAS D’ETUDE AVEC SCRATCH A L’ECOLE PRIMAIRE : DISTANCEET REPERES, Haspekian Mariam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

DÉVELOPPEMENT DES USAGES DU NUMÉRIQUE ÉDUCATIF DANS LECONTEXTE DE L’ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AU CONGO– BRAZZAVILLE : CAS DE LA PLATEFORME WIMS, Malonga MoungabioFernand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

EXEMPLES DE RESSOURCES POUR LE TRAVAIL D’ÉLÈVES EN SEC-ONDE, Mesquita Ana [et al.] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

INTEGRATION DES TICE DANS LAMODELISATION ET L’EXPERIMENTATIONDES PROBLEMES INTERDISCIPLINAIRES, Riouch My Lhassan . . . . . . . 31

ENJEUX SÉMIOTIQUES DANS LA CONCEPTION D’UNE AIDE À LA RÉ-SOLUTION DE PROBLÈME DE PREUVE, Venant Fabienne [et al.] . . . . . . 33

SEQUENCE DE TÂCHES MATHÉMATIQUES AVEC LA GÉOMÉTRIE DY-NAMIQUE, Zhu Fangchun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1

1

UN MODÈLE D'APPRENTISSAGE POUR UN ENSEIGNEMENT

INNOVANT

ACHTAICH* Naceur – DIYER

* Okacha – NAJIB

** Khalid

Résumé

Dans ce travail, nous proposons d'étendre le modèle d’apprentissage de M. Marcel Lebrun à un autre plus

adéquat pour un développement évolutif. Ensuite nous mettons en valeur l'impact des moyens technologique

à travers ce nouveau modèle. Nous nous intéressons à la contribution de l’enseignant au niveau de chacune

de ses composantes. Nous présentons comme application un exemple en mathématiques, concernant

l'introduction de la notion de limite d'une suite numérique, aux élèves des terminales Sciences

mathématiques.

Mots-clefs : Pédagogie; Méthodes d'Enseignement; Technologies; Innovation; Modèles d'Apprentissage.

Abstract

In this work, we propose to extend Marcel Lebrun's learning model to a more suitable one, for evolutionary

development. Then we highlight the impact of technological means through this new model, and we focus on

the teacher's contribution at the level of each of its components. We present as application an example of

mathematics, concerning the introduction of the limit of a numerical sequence, to the students of the terminal

mathematical sciences.

Keywords: Pedagogy; Teaching Methods; Technology; Innovation; Learning Models.

I. DES DISPOSITIFS POUR APPRENDRE

Concernant « les effets de l’accompagnement techno pédagogique des enseignants sur

leurs options pédagogiques, leurs pratiques et leur développement professionnel », Marcel

Lebrun et al. ont proposé en 2016 trois outils qui permettent aux enseignants d'accomplir leur

devoir en toute assurance : le dispositif d'enseignement (savoir et contenu, apprentissage), les

usages des technologies, selon le modèle SAMR1 de Ruben Puentedura et les compétences

déployées selon le modèle de Lemke et Coughlin (1998) : Entrée, Adaptation et

Transformation.

Marcel Lebrun a proposé, en 2005, un modèle d'apprentissage dénommé IMAIP, pour

permettre aux apprenants les acquisitions des savoirs, à travers cinq dimensions :

Informations - Activités - Productions - Motivation - Interaction. Les moteurs de

l'engagement des trois premières composantes sont assurés par les deux dernières.

II. NOUVEAU MODELE D'APPRENTISSAGE IMAIPVE

Nous avons jugé que l’intégration d’une composante "Evaluations" dans le modèle IMAIP

suite à la "Visualisation" de la "Productions" (dernière dimension du modèle de Lebrun)

permettrait d’améliorer davantage le processus d’apprentissage. Par cette extension, nous

proposons un nouveau modèle d’apprentissage, que nous baptiserons IMAIPVE, basé sur les

composantes « Informations-Motivation-Activités-Interaction-Productions-Visualisation-

Evaluations» interconnectées comme le montre la Figure 1. Dans l’analyse de notre modèle,

nous interprétons les relations pédagogiques mutuelles entre ses différentes composantes, et

nous mettons en évidence l'aspect évolutif de l'apprentissage à travers ce modèle.

* LAMS, Faculté des Sciences Ben M'Sik, Université Hassan II de Casablanca – Maroc – [email protected]

* LAMS, Faculté des Sciences Ben M'Sik, Université Hassan II de Casablanca – Maroc – [email protected]

** Ecole Nationale Supérieure des Mines de Rabat – Maroc – [email protected]

1 SAMR (Substitution, Augmentation, Modification, Redéfinition), c'est une approche très importante pour toute

tentative d'introduction d’une pédagogie via les technologies numériques.

2 sciencesconf.org:emf2018:222447

EMF2018 – GTX ou SPEY 2

Figure 1 – Modèle IMAIPVE

III. LE MODELE IMAIPVE A TRAVERS DES MOYENS TECHNOLOGIQUES

Nous avons formulé le modèle IMAIPVE, à travers des moyens technologiques, pour

mettre en évidence un enseignement motivant, attractif et efficace. Nous avons mis l'accent

sur l'importance d'introduire des moyens et des procédures technologiques dans les éléments

pédagogiques qui constituent chaque composante du modèle IMAIPVE.

IV. LA CONTRIBUTION DE L'ENSEIGNANT A TRAVERS LE MODELE IMAIPVE

ET LES MOYENS TECHNOLOGIQUES

Souvent l'évaluation des enseignants est focalisée sur l'appréciation des compétences liées aux

savoirs, savoir-faire et savoir-être. Ce jugement ne tient pas compte de l'évaluation des outils,

de la méthodologie ni des moyens exploités. Cette perception de l’évaluation au goût

inachevé nous a incité à proposer une contribution évolutive de l'enseignant suivant le

modèle IMAIPVE. A travers des moyens technologiques d'apprentissage appropriés, la

contribution de l'enseignant mène à la réalisation d'un apprentissage innovant et de qualité.

V. LE CONCEPT "LIMITE D'UNE SUITE NUMERIQUE" ET LE MODELE IMAIPVE

Nous offrons les capacités attendues pour chaque composante du modèle IMAIPVE afin

de présenter la notion de limite d'une suite numérique à travers des moyens technologique.

Ensuite, nous mettons en valeur la dimension "Evaluations" pour chaque composante du

modèle et prévoir les interventions de l'enseignant au fur et à mesure du déroulement de la

séance.

Activités: Exemples introductifs suivant une démarche progressive bien adaptée à travers les

TICE, analyser les résultats des exemples qui sont proposés et conjecturer la définition en

symboles mathématiques. Par la suite, d'autres exemples sont donnés, afin de permettre une

généralisation et un ancrage de la définition.

REFERENCES

Lemke. C, Coughlin. E.C. (1998) Technology in American Schools. Seven dimensions for

gauging progress. Santa Monica, CA: Milken Exchange Commission on Educational

Technology. Repéré à https://eric.ed.gov/?id=ED460677

Lebrun M. (2005) Quand les technologies propulsent la pédagogie de l'apprentissage et la

formation pédagogique des enseignants, Repéré à http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/

download?doi=10.1.1.548.9732 & rep=rep1, LILLE .

Informations Activités Productions Evaluations

Motivation Interaction Visualisation


3

Lebrun M., Lison C. et Batier C. (2016) Les effets de l’accompagnement techno pédagogique

des enseignants sur leurs options pédagogiques, leurs pratiques et leur développement

professionnel. Revue internationale de pédagogie de l’enseignement supérieur, 32-1.


NUMERIQUE ET DEVELOPPEMENT DE L’AUTONOMIE DES ÉLÈVES

EN MATHEMATIQUES : UN OUTIL POUR L’ANALYSE DE

RESSOURCES

GUEUDET* Ghislaine – LEBAUD

** Marie-Pierre

Résumé – De nombreuses ressources de type scénario de classe sont disponibles pour les enseignants sur

Internet ; certaines proposent des usages en classe d’outils informatiques. Nous nous intéressons ici à

l’analyse de telles ressources, du point de vue de leur potentiel pour le développement de l’autonomie des

élèves. En appui sur des recherches en didactique portant notamment sur l’autonomie, nous avons élaboré

une grille d’analyse. Nous présentons ici sa conception et illustrons son emploi.

Mots-clefs : analyse de ressources, autonomie, pratiques des enseignants, ressources en ligne, usages du

numérique

Abstract – A profusion of digital resources proposing lesson plans are available for teachers on the

Internet; some of them propose classroom uses of digital technologies. The work presented here concerns

the analysis of such resources, with a focus on their potential for the development of students’ autonomy.

Drawing on research in mathematics education concerning in particular autonomy, we have designed an

analysis grid. We present here its design and illustrate its use.

Keywords: analysis of resources, autonomy, teachers’ practices, online resources, use of digital

technologies

I. INTRODUCTION

La volonté institutionnelle, en France, de soutenir l’intégration du numérique dans les

pratiques des enseignants a conduit récemment à un appui sur la recherche en éducation par

des appels à projet ciblés. Le projet Interactions Digitales pour l’Enseignement et l’Education

(IDEE1) dont est issu le travail présenté ici a été retenu dans ce cadre. Le volet du projet dans

lequel nous travaillons vise à étudier à quelles conditions des usages du numérique permettent

de soutenir le développement de l’autonomie des élèves à l’école primaire et au collège dans

trois disciplines : anglais, mathématiques et sciences physiques. Il s’agira ensuite de

concevoir des ressources et des formations pour aller vers de tels usages.

Le travail présenté ici correspond au début du projet. Nous considérons que les interactions

entre professeurs et ressources sont susceptibles de conduire à des évolutions de pratiques en

classe. C’est pourquoi nous nous intéressons à l’analyse de ressources de type scénarios de

classe, intégrant le numérique, en termes de potentiel pour le développement de l’autonomie

des élèves. En appui sur des recherches en didactique et des travaux sur l’analyse de

ressources en ligne, nous avons conçu une grille d’analyse adaptée à ce projet. Après avoir

introduit les travaux auxquels nous nous référons, nous présentons ici cette grille, son

processus de conception, et donnons un exemple de son application.

* CREAD, ESPE de Bretagne, Université de Bretagne Occidentale – France – ghislaine.gueudet@espe-

bretagne.fr

** CREAD, UFR mathématiques, Université de Rennes 1 – France – [email protected]

1 Opération soutenue par l’État dans le cadre du volet e-FRAN du Programme d’investissement d’avenir,

opéré par la Caisse des Dépôts


EMF2018 – GT7

2

II. PERSPECTIVE THEORIQUE ET TRAVAUX LIÉS

1. Perspective théorique et question de recherche

Nous nous plaçons de manière générale dans la perspective de l’approche documentaire du

didactique (Gueudet & Trouche 2008). Nous considérons que lors des interactions des

professeurs avec des ressources prennent place deux processus associés d’instrumentation et

d’instrumentalisation. L’instrumentation traduit une forme d’influence des caractéristiques

des ressources sur les pratiques des professeurs. L’instrumentalisation traduit un mouvement

inverse : le professeur choisit et modifie les ressources en fonction de ses connaissances et de

ses pratiques habituelles.

Dans cette perspective, l’intérêt porté dans le projet IDEE aux évolutions des pratiques des

professeurs allant vers des usages du numérique favorisant l’autonomie des élèves nous

amène à nous intéresser aux ressources de type scénario de classe (c’est-à-dire proposant des

situations mathématiques et leur mise en œuvre) disponibles pour les professeurs et

susceptibles, à travers des processus d’instrumentation, d’amener de telles évolutions de

pratiques. Quelles doivent être les caractéristiques de ces ressources ? Ainsi la question de

recherche que nous étudions ici peut être formulée comme suit :

Quelles sont les caractéristiques à prendre en compte, pour analyser le potentiel d’une

ressource de type scénario de classe en termes d’usage du numérique favorisant

l’autonomie des élèves ?

Cette question nous amène à considérer en particulier deux types de recherches en

didactique des mathématiques, reliées à un tel questionnement : premièrement des travaux

concernant l’analyse de ressources ; deuxièmement des travaux concernant l’autonomie des

élèves.

2. Analyser des ressources de type scénario de classe

Pour l’analyse d’une ressource de type scénario de classe, nous nous référons

principalement aux travaux effectués dans le cadre du projet Intergeo (en particulier à

Trgalová, Soury-Lavergne, & Jahn 2011 et Trgalová & Jahn 2013). Ces travaux ont effectué

une étude approfondie des modalités pertinentes pour l’évaluation de la qualité d’une

ressource pédagogique, qualité considérée comme dépendant aussi bien des caractéristiques

intrinsèques de la ressource que de son contexte d’usage. Ils ont amené à l’élaboration d’un

questionnaire destiné aux utilisateurs de ressources sur la plate-forme Intergeo2. Les rubriques

retenues pour ce questionnaire sont particulièrement pertinentes pour notre travail, puisqu’il

s’agit bien de ressources de type scénario de classe, qui de plus ont recours à la géométrie

dynamique et donc au numérique. Les rubriques (9 au total) retenues dans ce questionnaire

recouvrent plusieurs dimensions : l’ergonomie de la ressource, sa clarté, sa complétude ; la

facilité de prise en main par un utilisateur ; la qualité du point de vue des contenus

mathématiques ; la pertinence de l’utilisation de la géométrie dynamique.

Ces dimensions font partie des caractéristiques à prendre en compte dans notre travail

également (en élargissant au numérique au-delà de la géométrie dynamique). Cependant elles

ne recouvrent pas l’aspect d’autonomie, essentiel dans notre questionnement et qui nécessite

une étude spécifique.

2 http://i2geo.net


3

3. L’autonomie vue par les recherches en didactique des mathématiques

Dans le contexte institutionnel en France, l’autonomie a été introduite comme compétence

transversale dans le socle commun en 2006 (MEN, 2006). Les travaux se référant

explicitement à l’autonomie en didactique des mathématiques et proposant une définition de

ce concept ne sont pas très nombreux. En revanche l’idée d’autonomie est implicitement

présente dans beaucoup de recherches, qu’il s’agisse d’étudier si des élèves sont autonomes,

ou de proposer des moyens de développer l’autonomie (ces deux aspects n’étant pas

distingués par les auteurs).

Yackel & Cobb (1996) distinguent les élèves autonomes en mathématiques, qui utilisent

leurs « capacités intellectuelles lorsqu’ils doivent prendre des décisions mathématiques »

(p.473) et les élèves hétéronomes qui se fient aux affirmations d’une autorité extérieure. Cette

définition amène à s’interroger sur les caractéristiques d’un enseignement amenant l’élève à

ne pas rechercher une validation extérieure. Elle évoque ainsi de nombreux travaux dans

lesquels l’autonomie n’est pas explicitée comme telle : notamment ceux qui se réfèrent au

contrat didactique (Brousseau 1998), en termes de responsabilité de l’élève vis-à-vis du

savoir. Nous avons ainsi étudié précédemment (Gueudet & Lebaud 2015) les conséquences

possibles du numérique en termes de contrat didactique, dans le cadre d’une étude sur les

démarches d’investigation, qui peuvent aussi être vues comme une modalité d’enseignement

visant à développer une forme d’autonomie des élèves.

Ben Zvi & Sfard (2007) proposent de considérer les mathématiques comme un discours, et

leur apprentissage comme entrée dans le discours d’une communauté. Ils distinguent alors

l’apprentissage au niveau objet, extension de discours connus, pour lequel l’autonomie peut se

manifester par une mobilisation individuelle par l’élève de ses connaissances. En revanche

l’apprentissage au niveau méta désigne l’entrée dans un discours nouveau. Dans ce contexte

l’autonomie n’est pas une caractéristique individuelle ; elle est liée au travail d’un collectif,

qui peut inclure d’autres élèves ou le professeur. Ce travail nous a amenées à distinguer

l’autonomie pour la mobilisation de connaissances déjà là, et celle liée à la découverte de

savoirs nouveaux. Nous avons également intégré dans les caractéristiques retenues un recours

judicieux au travail collectif des élèves.

Nous souhaitons souligner le fait que l’autonomie n’est pas une caractéristique stable d’un

élève, mais plutôt un processus dépendant du contexte et d’interactions avec divers collectifs.

Elaborer une définition de l’autonomie fait partie du travail mené dans le projet IDEE. A cette

étape elle pourrait se formuler comme « processus qui permet à l’élève, dans un contexte

donné et au sein d’un système d’interactions, d’organiser son travail et de mobiliser des

ressources (internes ou externes) pour accomplir une tâche donnée en développant

éventuellement des moyens nouveaux ».

III. CONTEXTE ET METHODE

La méthode suivie pour l’élaboration de la grille d’analyse est également celle retenue dans

Intergeo (Trgalová & Jahn 2013) : une élaboration initiale, puis un processus cyclique de tests

et d’améliorations. Cette méthode est complétée en outre dans notre projet IDEE par la

confrontation entre grilles des trois disciplines : mathématiques, anglais et sciences physiques.

Pour l’élaboration de la version initiale, nous avons repris les dimensions retenues dans le

projet Intergeo, en adaptant dans un premier temps les critères liés à l'emploi de la géométrie

dynamique à celui du numérique en général et en rajoutant une dimension consacrée à


EMF2018 – GT7

4

l'autonomie de l'élève. Pour cette dimension, les critères retenus sont issus de la revue de

littérature évoquée ci-dessus.

Nous avons testé cette première grille sur des ressources de la plate-forme CARTOUN

(CARTOgraphie des Usages Numériques). Celle-ci a été ouverte fin 2014 par l'académie de

Rennes3 afin d'aider à la mutualisation de pratiques pédagogiques utilisant le numérique.

Chaque ressource (désignée sur CARTOUN par le terme « activité ») est géolocalisée

permettant à chacun.e de savoir où elle a été mise en place ; de plus, l'enseignant.e qui la

soumet accepte d'être joint.e par courriel, voire d'accueillir des collègues dans sa classe pour

qu’ils/elles observent une mise en œuvre de cette activité. L'objectif affiché de CARTOUN

est de créer des dynamiques de proximité et d'échanges de pratiques. En novembre 2017,

CARTOUN contient 890 ressources pour l’académie de Rennes dont 150 en mathématiques.

Une ressource CARTOUN (désignée par le terme « fiche d’activité ») donne, outre des

informations factuelles (niveau, discipline, logiciels utilisés, etc.), un scénario pédagogique

qui doit faire apparaître l'intérêt de l’emploi du numérique. Cette plate-forme nous permet

donc de tester notre grille pour différentes ressources ayant une même structure de

présentation ; nous avons en outre choisi dans le cadre du projet IDEE de nous centrer sur le

cycle 4 (élèves de 12 à 15 ans).

Les cycles de tests (par des chercheurs impliqués dans IDEE ; plusieurs chercheurs

confrontent systématiquement leurs notations sur la même ressource) et d’améliorations de la

grille mise en fonctionnement pour différentes ressources nous ont amenées à des

modifications significatives. En particulier, les critères portant sur l'autonomie des élèves ont

été redistribués sur deux dimensions, alors que nous les avions isolés dans un premier temps.

Nous en reparlons dans la partie suivante.

Nous avons ensuite soumis la version obtenue à deux enseignantes de lycée, expertes dans

l'utilisation du numérique en classe. La grille n’est pas a priori destinée à des enseignant.e.s,

elle est élaborée à des fins de recherche et sera utilisée dans un second temps pour

l’élaboration d’un guide pour la conception de ressources. Cependant il était important de

recueillir les avis de ces collègues sur cette grille : celles-ci peuvent signaler, par exemple,

l’oubli d’un aspect qui pour elles est essentiel dans le choix d’une ressource. Ce n’était pas le

cas ici, les remarques des enseignantes n’ont conduit qu’à des modifications de détails.

Notre grille ainsi construite est maintenant proposée aux enseignant.e.s concepteurs.rices

de ressources du projet IDEE. La mettre en regard avec des activités en cours de construction

et de test dans les classes amènera probablement des évolutions ultérieures, la recherche que

nous présentons ici est en cours.

IV. GRILLE D’ANALYSE DES RESSOURCES

Nous avons finalement retenu cinq dimensions : 1. clarté de la ressource ; 2. facilité de

prise en main et adaptabilité ; 3. richesse du contenu et autonomie mathématique ; 4.

utilisation du numérique ; 5. autonomie transversale. Par souci de concision nous ne

décrivons ici que les trois dernières dimensions qui sont plus spécifiques à notre

questionnement.

3 Depuis 2016, CARTOUN est déployé sur toute la France, les ressources restant

classées par académie.


5

1. Utilisation du numérique

Les critères retenus dans le projet Intergeo pour l'emploi du numérique sont spécifiques à

l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique qui doit donc apporter une réelle plus-value

par rapport au papier-crayon : par exemple en permettant au professeur de proposer des

représentations qui ne seraient pas disponibles sinon, ou en permettant à l'élève d'accéder à de

telles représentations. Mais dans le cadre de notre travail, la grille doit également évaluer des

activités qui ne pourraient pas être faites sans le numérique, comme l'apprentissage d'un

logiciel ou certaines activités portant sur l'algorithmique par exemple.

Nous avons donc distingué deux cas dans cette dimension de l'utilisation du numérique :

soit les activités peuvent être faites sans le numérique, soit elles ne le peuvent pas. Dans le

premier cas, nous rajoutons, par rapport au deuxième cas, des critères concernant la valeur

ajoutée du numérique.

Figure 1 - Utilisation du numérique

La possibilité de travail collectif grâce au numérique est considérée comme un bonus : en

effet elle correspond généralement à des types de logiciels particuliers (par exemple écriture

collective) ; l’absence de recours à de tels logiciels ne doit pas être sanctionnée.

2. Contenu mathématique et autonomie

Il est naturellement essentiel dans une telle analyse d’examiner le contenu mathématique

proposé, et le lien entre ce contenu et l’autonomie des élèves. Notre revue de travaux a montré

que certaines caractéristiques de l’autonomie étaient liées au contenu proposé – et nous

parlons alors d’autonomie mathématique – tandis que d’autres (comme la possibilité de

rythmes différents) étaient plus proches de la compétence décrite par l’institution (MEN

2006), que nous nommons autonomie transversale.

Nous avons ainsi identifié la « richesse du contenu » comme étant liée au développement

de l’autonomie mathématique. En référence aux travaux de Ben Zvi & Sfard (2007), nous

avons considéré que l’autonomie de l’élève prenait des formes différentes selon que le savoir

en jeu était nouveau ou non. Nous avons alors, comme dans le cas de l'utilisation du

numérique, séparé deux types d'activités : les situations de recherche (découverte de savoirs

nouveaux) et les situations d’entraînement (mise en fonctionnement de connaissances déjà là).


EMF2018 – GT7

6

Pour les situations de recherche, nous avons valorisé les activités demandant aux élèves une

prise d'initiative, c’est-à-dire une mise en fonctionnement des connaissances de niveau au

moins mobilisable (Robert, 1998).

Figure 2 – Richesse du contenu et autonomie mathématique

Pour la dimension « Autonomie transversale » (Figure 3), la même référence au travail de

Ben Zvi et Sfard (2007) nous a conduites à prendre en compte le recours possible au travail

collectif. Nous avons de plus intégré en référence à la définition de l’autonomie de Yackel &

Cobb (1996) les critères de validation par l’élève sans recours à l’enseignant.e, mais aussi la

possibilité de s’auto-évaluer. La possibilité offerte à l’élève de prendre en charge son

apprentissage dans un parcours lui proposant l’accès à différentes ressources, sans nécessiter

un recours systématique à l’enseignant, est valorisée dans cette dimension. Le fait que l’élève

puisse de lui-même choisir entre plusieurs parcours possibles est indiqué en bonus.

Figure 3 Autonomie transversale

Nous avons parlé des cinq dimensions retenues et des critères les décrivant, mais nous

souhaitions obtenir une évaluation facilement lisible de la qualité d’une ressource en termes


7

d’usage du numérique favorisant l’autonomie. Nous allons donc maintenant nous intéresser à

notre construction du profil d’une ressource obtenu au moyen de cette grille.

V. UTILISATION DE LA GRILLE, EXEMPLE

Le fonctionnement général de la grille est le suivant : chaque critère reçoit une note entre 0

(pas du tout) et 3 (tout à fait). Pour chacune des 5 dimensions, on attribue alors à la ressource

une lettre : A, B, C, D en fonction du pourcentage du score total de cette dimension (total

calculé hors critères bonus). A est attribué entre 75 et 100%, B entre 50 et 75%, etc.

Nous donnons ici un exemple synthétique, concernant l’application de la grille à une

ressource CARTOUN intitulée « Équations du premier degré : logiciel et méthodologie »,

destinée au cycle 4 (plus particulièrement aux classes de 4e et de 3

e). Il s’agit de proposer aux

élèves un travail individuel sur la résolution d’équations du premier degré, en s’aidant s'ils le

souhaitent du logiciel gratuit Thot4 qui prend en charge pas à pas les calculs. Les élèves ont à

leur disposition, en plus du logiciel, une fiche d’exercices ; une fiche de rappels de cours ; une

fiche de prise en main du logiciel. L’autonomie fait partie des compétences des élèves

indiquées par l’auteur de la ressource.

Clarté Prise en main Contenu-autonomie

mathématique Utilisation du numérique

Autonomie transversale

C B B A A Figure 4 – Application de la grille à la ressource « Équations du premier degré »

Concernant la richesse du contenu et l’autonomie mathématique, cette ressource

correspond clairement au cas d’un entraînement mobilisant des savoirs déjà connus. La note B

correspond ici à un score de 8 sur 12 (67%) : en effet, si la ressource permet bien de travailler

la compétence calculer, et de renforcer des automatismes, elle amène à travailler dans le seul

registre algébrique (Duval, 1995) ; de plus les prérequis n’étant pas clarifiés, on ne peut rien

dire sur la correspondance entre ces prérequis et le contenu proposé.

Concernant l’utilisation du numérique, cette ressource correspond au cas où l’activité peut

être faite sans le numérique : il est explicitement dit que les élèves ont recours à l’aide du

logiciel seulement s’ils le souhaitent. La note A attribuée correspond au score de 16 sur 18

(89%). L’apport du numérique est clair : le logiciel permet aux élèves de faire des essais pour

la résolution d’équations et d’avoir un retour. Chaque élève peut faire ces essais à son rythme.

Le logiciel permet d’accéder à des représentations dynamiques des équations. Seul le

deuxième critère concernant la possibilité pour le professeur d’accéder au travail des élèves ne

semble pas satisfaite.

Finalement, en ce qui concerne l’autonomie transversale des élèves, la ressource obtient

également la lettre A, qui correspond aussi à un score de 16 sur 18 (94%). En effet, même si

la ressource n’intègre pas de support pour l’auto-évaluation (critère noté 0), et s’il est difficile

pour les élèves de savoir si leur travail est valide sans appeler le professeur (critère noté 1), un

bonus de 3 points est obtenu sur le critère « l’élève peut faire des choix pour personnaliser son

parcours ». En effet le choix de l’emploi du logiciel relève de la responsabilité de l’élève.

On retient ainsi que cette ressource fait une utilisation pertinente du numérique. Elle

favorise l’autonomie transversale des élèves, mais pourrait mieux soutenir leur autonomie

mathématique en mobilisant plusieurs registres de représentation.

4 http://www.emmanuelmorand.net/thot/telechargement.php


EMF2018 – GT7

8

VI. CONCLUSION

La question de recherche que nous avons étudiée ici était formulée comme : « Quelles sont

les caractéristiques à prendre en compte, pour analyser le potentiel d’une ressource de type

scénario de classe en termes d’usage du numérique favorisant l’autonomie des élèves ? »

Le processus de construction de la grille a mis en évidence plusieurs éléments de réponse à

cette question. (1) Le potentiel d’une ressource, en termes d’usages du numérique en classe,

passe par son appropriation par des professeurs : d’où des dimensions de clarté et de facilité

de prise en main. (2) L’apport du numérique est pris en compte à travers les possibilités

spécifiques qu’il offre pour l’activité mathématique de l’élève. Dans cette dimension nous

n’avons pas explicitement mentionné l’autonomie : elle pourrait être vue comme la possibilité

pour l’élève d’atteindre son objectif, ce point pourra être approfondi dans des travaux

ultérieurs. (3) La richesse du contenu est liée à une forme d’autonomie mathématique des

élèves, qui peut se traduire par des prises d’initiative pour des situations de recherche, ou par

une mobilisation de savoirs connus sans aide extérieure. (4) Pour une autonomie de type

transversal, il s’agit d’observer les possibilités de personnalisation, d’accès à des aides, et

d’auto-évaluation.

La grille construite en intégrant ces critères nous permet de procéder à l’analyse de

ressources existantes. Elle a aussi vocation à intervenir pour la conception de ressources,

éventuellement en suggérant des améliorations de ressources existantes, mais surtout en

guidant la conception de ressources visant le développement de l'autonomie des élèves au

moyen du numérique. L’utilisation de la grille par un groupe de conception de ressources au

sein de notre projet permettra de confronter le potentiel a priori d’une ressource et les

déroulements effectifs en classe. Cette confrontation constituera une étape essentielle pour la

conception de la grille, et conduira probablement à de nouvelles évolutions.

REFERENCES

Ben-Zvi, D. & Sfard, A. (2007). Ariadne's thread, Daedalus' wings and the learner’s

autonomy. Education & Didactique 1(3), 117-134.

Brousseau, G. (1998). La théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine. Berne : Peter Lang.

Gueudet, G., & Trouche, L. (2008). Du travail documentaire des enseignants : Genèses,

collectifs, communautés. le cas des mathématiques. Education & Didactique, 2(3), 7-33.

Gueudet, G., & Lebaud, M.-P. (2015). Usage des technologies et investigation en

mathématiques : quels contrats didactiques possibles ? Recherches en éducation 21, 81-94.

http://www.recherches-en-education.net/spip.php?article308

Ministère de l’Education Nationale (2006). Le socle commun des connaissances et des

compétences. http://cache.media.education.gouv.fr/file/51/3/3513.pdf

Robert, A. (1998). Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et à

l’université. Recherches en didactique des mathématiques, 18(2):139–189.

Trgalová, J., & Jahn, A. P. (2013). Quality issue in the design and use of resources by

mathematics teachers. ZDM, 45(7), 973–986.

Trgalová, J., Soury-Lavergne, S., & Jahn, A. P. (2011). Quality assessment process for

dynamic geometry resources in Intergeo project: rationale and experiments. ZDM 43(3),

337–351.

Yackel, E., & Cobb, P. (1996). Sociomathematical norms, argumentation, and autonomy in

mathematics. Journal for Research in Mathematics Education, 27(4), 58-477.


UN CAS D’ETUDE AVEC SCRATCH A L’ECOLE PRIMAIRE : DISTANCE

ET REPERES

HASPEKIAN *

Mariam

Résumé – Dans le prolongement de nos travaux sur le développement professionnel avec les TIC, nous

étudions cette fois l’introduction Scratch en primaire. Cette nouvelle mise à l’épreuve de nos outils

d’analyse vise à en prolonger l’élaboration et, mis en perspective avec nos études précédentes, de discuter

l’idée de repères didactiques, pour modéliser la pratique enseignante en termes de distance et repères.

Mots-clefs – pratiques enseignantes, informatique, Scratch, repères didactiques, distance instrumentale.

Abstract – In continuation of our research on the development of teaching practices with ICT, we study

this time, the case of Scratch integration in primary school. This new testing of our analysis tools allows

extending their elaboration: by putting the results in perspective with our previous studies, we discuss the

idea of didactic “landmarks”, in order to model the teaching practice in terms of distance and landmarks.

Keywords: teaching practices, Scratch, computer science, didactical landmark, instrumental distance.

I. INTRODUCTION ET CONTEXTE DE LA RECHERCHE

Algorithmique, programmation, robots, logiciels tels Scratch, entrent dans les nouveaux

programmes mathématiques français (primaire et secondaire). Il n’est plus seulement mention

de nouvelles technologies, mais d’apprentissage informatique. Cette mutation peut perturber

les pratiques en place pour que de nouvelles se développent. Qu’apprend-on à cette occasion

des pratiques enseignantes avec les technologies ? Nous saisissons ainsi ce contexte chan-

geant comme occasion de comprendre mieux les situations de développement professionnel,

pour progresser dans leur modélisation théorique. Pour cela, nous étudions ici les débuts d’un

enseignant incorporant Scratch en CE2, en mobilisant le cadre de l’approche instrumentale

(Artigue 2002, Guin & Trouche 2004, Lagrange 2000), avec les outils issus de nos travaux

antérieurs : l’idée de double genèse instrumentale et de distance. Ceci permet d’en prolonger

l’élaboration en dégageant l’importance des repères didactiques (Haspekian, 2017), contre-

pied de la distance, et opérant comme références dans les dynamiques en jeu le long de ces

genèses instrumentales.

II. DISTANCE ET DOUBLE GENESE INSTRUMENTALE

Nous présentons ici plus avant l’idée de distance aux pratiques, ainsi que la distinction ge-

nèse instrumentale personnelle-professionnelle, en nous référant au contexte de recherche qui

leur a donné naissance, l’intégration du tableur en mathématiques (Haspekian, 2006).

L’idée de distance instrumentale se veut souligner qualitativement l’impact de

l’introduction de « nouveau » dans des pratiques installées, et mesurer quantitativement le dé-

séquilibre produit par cette introduction en termes d’écart à ces pratiques : en effet, selon

l’approche instrumentale, un nouvel outil technologique ne sera pas neutre, notamment sur les

conceptualisations en jeu. La distance instrumentale identifiée dans le tableur, dans le cas de

l’enseignement de l’algèbre, explique les résistances et difficultés d’intégration dans les pra-

tiques enseignantes, ou encore les tendances des enseignants à évoluer avec le tableur vers des

pratiques réduisant la distance (Haspekian, 2006). Dans nos travaux précédents, un autre cas

de distance provoquée par du « nouveau » dans des pratiques anciennes, a été celui de

l’algorithmique au lycée qui, bien qu’il ne s’agisse pas ici d’un outil TIC mais d’un domaine

entier, montrait des phénomènes analogues à ceux d’une distance instrumentale1, nous menant

à étendre celle-ci à une « distance aux pratiques usuelles en mathematiques » (Haspekian &

Nijimbéré, 2016). Pour la définir (Haspekian, 2017), nous utilisons les 5 composantes de la

* Université Paris Descartes, Sorbonne Paris Cité – France – [email protected]

1 Tensions et resistances, pratiques de juxtaposition (devoirs maison, activités isolées…) minimisant la distance. 13 sciencesconf.org:emf2018:222515

EMF2018 – GT7 2

Double Approche (Robert & Rogalski, 2002), cadre qui modélise les pratiques en étudiant les

contraintes institutionnelles et sociales pesant sur les choix que prend l’enseignant, selon sa

propre personne (histoire, représentation de l’apprentissage, de la discipline), pour organiser

le travail des élèves aux niveaux cognitif (choix de contenus, d’approche…) et médiatifs (ges-

tion du temps, de l’espace…). Les facteurs qui contribuent à créer une distance se déclinent

sur ces composantes. Le tableur en algèbre présente par exemple une distance aux niveaux :

cognitif, personnel, institutionnel.

La genèse instrumentale (Rabardel, 1995) caractérise la relation d’un sujet à un artefact le

long de son activité avec celui-ci. Appliquée au cas d’un sujet enseignant et d’un outil ma-

thématique tel le tableur, deux activités différentes entrent en jeu : l’une personnelle (GIpe)

menant pour l’enseignant (comme pour l’élève), à un tableur-instrument au service du travail

mathématique, l’autre professionnelle (GIpro) s’ajoutant à la personnelle, menant cette fois le

tableur vers un outil au service d’une autre activité, celle d’enseigner les mathématiques

(fig1). Cet instrument didactique, bien que provenant du même artefact tableur, diffère du

personnel. Tous deux existent pour le sujet enseignant. La GIpro consiste à développer des

fonctions didactiques de l’outil, généralement non prédéfinies (encore moins dans le cas

d’outils importés dans le monde éducatif tel le tableur), et les intégrer dans ses pratiques en

cours. Pour illustrer cette différence de nature d’instrument auquel chacune des deux genèses

mène, l'exemple des calculatrices de poche est assez révélateur. Pour devenir instrument di-

dactique, de nombreuses situations, maintenant classiques, dites de « calculatrice contrainte »

(dans l'affichage, l'utilisation…) ont vu le jour dans la littérature professionnelle comme en

recherche (exemple Caron 2007, Del Notaro & Floris 2011) : situations de « touches cas-

sées », calculatrices « défectueuses »... C’est bien l’objectif didactique d’enseignement (ici

des mathématiques) qui produit cette «calculatrice» didactique, bien différente de la calculette

usuelle, qui n’est ordinairement, ni défectueuse, ni avec des touches cassées...

Figure 1 – Differents instruments à partir d’un même artefact via une GIpro pour l’activité didactique du pro-

fesseur et des GIpe (élèves et enseignant) pour l’activité mathématique

Les GIpe et GIpro ne sont pas indépendantes et interfèrent l’une sur l’autre. Elles dépen-

dent aussi de celles des élèves (Haspekian, 2014) : des schèmes doivent se développer pour

organiser et accompagner les GIpe avec le tableur, outil de travail mathématique. Pointant ce

nécessaire accompagnement, Trouche (2004) dégage les orchestrations instrumentales qui

sont les configurations et modes d’exploitation de l’outil définis par l’enseignant. Celles-ci

évoluent au fil d’expériences, le long d’une GIpro où des schèmes de l’activité s’enrichissent

de connaissances sur les GIpe élèves et l’usage possible de l’outil.

Récemment, ces notions ont été appliquées à l’analyse des pratiques de 5 enseignants dé-

couvrant des robots pédagogiques ou Scratch2. Nous reprenons ici l’un des cas observés, René

avec Scratch. L’objet de ce texte est de dégager l’idée de repères didactiques, discutée au §V,

à partir de la mise en perspective de ces analyses avec nos travaux précédents.

III. CHOIX DES DONNEES ET METHODOLOGIE DE LA RECHERCHE

1. Contexte et méthodologie

Les données viennent du projet DALIE3 consacré à l’informatique à l’école primaire. Une

équipe de chercheurs (France et Grèce) ont ainsi observé des enseignants volontaires, mais

sans formation, ni consignes précises, pour utiliser Scratch ou des robots (Bee-bots, Thy-

2 Une présentation plus détaillée du cas de René avec les difficultés des élèves est donnée dans (Haspekian &

Gélis, soumis) 3 Didactique et apprentissage de l'informatique à l'école - ANR-14-CE24-0012

GIpe de l’enseignant

GIpe de l’élève GIpro de l’enseignant

Artefact tableur


mio…) avec des élèves de 6-9 ans. Nous cherchons à cerner l’activité avec l’outil, les diffi-

cultés rencontrées, la façon dont naissent et se déploient les genèses en jeu, notamment les

liens entre GIpe (professeurs et élèves) et GIpro (enseignant). Notre méthodologie, inspirée de

Drijvers & al. (2013), consiste à analyser les orchestrations en place, leurs évolutions, par :

- l’analyse des tâches données dans l’environnement technologique en termes de tech-

niques, schèmes et savoirs mathématiques et informatiques en jeu,

- les rôles de ceux-ci dans les genèses instrumentales des élèves,

- les éventuelles difficultés possibles et les interactions dans leur gestion par l’enseignant,

- l’articulation avec l’environnement papier-crayon ou les autres instruments déjà en place.

Nous avons alors recueilli plusieurs types de données : vidéos de classe, entretiens pré-post

séances des enseignants, leurs documents préparatoires, et des entretiens avec les élèves.

2. Le logiciel Scratch

Pour les concepteurs4, le logiciel Scratch, profondément influencé et inspiré de Logo, permet

une approche ludique de l’algorithmique. Selon eux, la programmation par déplacements de

blocs est accessible aux plus jeunes, permettant d’apprendre d’importants concepts mathéma-

tiques telle la notion de variable en algèbre (Resnick 2007, p.21). Ainsi, Benton et al. (2017)

utilisent Scratch pour approcher un ensemble conséquent de concepts mathématiques dont ce-

lui d’algorithme. Les programmes français y font aussi régulièrement référence à différents

âges et toujours en lien avec les notions mathématiques. Par exemple, dès 6 ou 7 ans, il est

proposé de « coder des déplacements à l’aide d’un logiciel de programmation adapté »

(MEN 2015, p.86) afin d’amener dès l’âge de 8 ans « à la compréhension, et la production

d’algorithmes simples.» (ibid.). A partir de 9 ans, les programmes de mathématiques men-

tionnent à plusieurs reprises une initiation à la programmation via « les déplacements d’un

robot ou ceux d’un personnage sur un écran », initiation qui se poursuit en mathématiques

sur tout le collège : « Au cycle 4, les élèves s’initient à la programmation, en développant

dans une démarche de projet quelques programmes simples, sans viser une connaissance ex-

perte et exhaustive d’un langage ou d’un logiciel particulier. En créant un programme, ils

développent des méthodes de programmation », afin que les élèves, dès 12 ans, revisitent «les

notions de variables et de fonctions sous une forme différente, et s’entraînent au raisonne-

ment » (ibid., p.378). Il est alors intéressant d’observer quelles exploitations de ces outils dé-

veloppent des enseignants non experts, professeurs de mathématiques ou d’école, tel René ici.

3. René et Scratch

Les données ici (vidéos et entretien à chaud post-séance) se placent au tout début de la GIpro

de René : sa 2e séance Scratch, la 1

e étant une découverte libre par les élèves. Quels objectifs

mathématiques, informatiques et instrumentaux prévoit alors René, avec quelles orchestra-

tions ? Par ailleurs, la séance est répétée sur deux créneaux avec chacun une moitié de classe.

Cette répétition d’une même séance sur deux moitiés de la même classe la rend intéressante

pour notre problématique : nous accédons en direct à un moment de développement de sa GI-

pro, René réinvestissant avec le 2e groupe certains repères pris avec le premier. En quelque

sorte, nous observons la GIpro se dérouler sous nos yeux.

IV. PRINCIPAUX RESULTATS

Nous synthétisons ici les deux principaux résultats : les liens entre GIpe trop peu avancée et

GIpro de René, et l’évolution visible de sa Gipro dès le cours de la séance avec le groupe 1.

1. Une GIpe trop peu avancée : conséquences sur la GIpro

4 http://scratchfr.free.fr/, Scratch a été développé par le MIT Media Lab. 15 sciencesconf.org:emf2018:222515

EMF2018 – GT7 4

Dans la séance prévue par René, les élèves devaient répondre à 2 consignes qui, au stade

de leurs GI avec Scratch et de leurs connaissances mathématiques à ce niveau scolaire, com-

portaient trois points d’achoppement prévisibles5. En effet, les élèves n’ayant pas encore les

connaissances instrumentales suivantes : (a) Existence de coordonnées pour contrôler mini-

malement les positions d’un personnage à l’écran. Ceci est en lien avec des connaissances

mathématiques clairement mentionnées dans les programmes (repérage dans un plan) que les

élèves n’avaient pas encore. (b) Nécessité, selon les commandes utilisées, de définir une posi-

tion initiale (cas de la commande « Aller à… » utilisant des références absolues et non rela-

tives), idem pour l’orientation si le programme la modifie. Cette connaissance instrumentale

ne va pas de soi dans la mesure où un programme incomplet ne se perçoit qu’au 2e lancement

(l’objet est alors immobile). (c) Existence de “scripts parallèles” associés à chaque objet, con-

naissance là encore non intuitive (seule une page de scripts est affichée à la fois) mais néces-

saire pour contrôler 2 objets ou plus.

La consigne visait-elle alors à faire émerger ces connaissances ? Les vidéos et entretiens

montrent que René, n’ayant pas lui-même identifié ces trois points, n’avait pas préparé la

séance dans cette approche. Lors des interactions, il a les mêmes interrogations que les élèves,

découvrant (a), (b) et (c), réalisant plus ou moins leur importance en direct. Mais cette faible

connaissance de Scratch, loin de créer de l’inconfort, est utilisée par René pour montrer aux

élèves l’importance de chercher, tester, ne pas se décourager...

Cette GIpe, encore trop peu avancée, a deux conséquences sur la GIpro de René : dans sa

gestion des GI des élèves, et dans sa définition des objectifs d’apprentissage avec Scratch. En

effet, ses aides face aux difficultés des élèves avec les connaissances (a), (b) et (c) non antici-

pées, ne peuvent efficacement faire avancer les GI des élèves. Divers épisodes, au fil des deux

séances, montrent René cherchant l’origine des problèmes pour lesquels il est sollicité. Il

réussit parfois à les analyser sur le vif, c’est le cas de (b), mais de façon incomplète (les objets

déplacés par translation mais pas par rotation), mais le plus souvent, les problèmes sont soit

mis sur le compte de commandes défaillantes, soit écartés sans plus d’explication, le dysfonc-

tionnement restant ainsi non compris des élèves qui ne peuvent alors développer avec Scratch

les schèmes d’action qui mettent en jeu ces connaissances. Enfin, les objectifs de René avec

Scratch ne visent ni les mathématiques, comme on aurait pu le penser avec le repérage et le

déplacement dans un plan, ni l’informatique, non identifiée à ce stade par René. Par exemple,

son vocabulaire est instable : « coordonnées » devient parfois « codes du personnage » ou en-

core « codes du mouvement ». Néanmoins, René a bien des objectifs d’apprentissage, ceux-ci

se situent pour partie dans une discipline qu’on pourrait qualifier de « substitution », le Fran-

çais (lire et comprendre les commandes, projet d’écriture d’un récit, importance de la chrono-

logie d’une histoire, du séquencement des actions…), ou sont décalés vers des objectifs trans-

versaux aux apprentissages disciplinaires (chercher un problème, essayer et ajuster, dévelop-

per des interactions entre pairs).

2. Prise de repères et évolution de la GIpro

Les premiers stades de la GIpro de René avec Scratch le montrent prendre des repères lors des

premières interactions, et les réinvestir plus tard ou avec le second groupe. Par exemple, si la

connaissance (c), approchée en milieu de séance 1, n’est plus mentionnée ensuite, René évo-

lue clairement sur (a) : les interactions montrent qu’il découvre, en début de séance 1,

1’affichage des coordonnées à l’écran. En fin de session, il les pointe directement (sans pour

autant chercher le système sous-jacent les générant) : « Si tu le vois plus, ça veut dire que les

coordonnées x et y que t’as mises sont en-dehors de la page (…) là, regarde, là t’as les coor-

données de la flèche. Si tu déplaces, les coordonnées changent. ». Avec le groupe 2, il antici-

pe alors et mentionne cette fois (a) dès le début, lors de l’introduction collective : « j’vais ga-

5 Bouger deux lutins simultanément puis successivement avec une seule commande de départ vise à faire dé-

pendre l’action du 2e lutin de celle du 1

er, par exemple en les faisant communiquer par la commande «message». 16 sciencesconf.org:emf2018:222515

gner un peu de temps par rapport au groupe précédent : voyez si on met la flèche ici…. » .

Dans l’entretien post-séances, il nous confirme la découverte pendant la session (1) : « les

coordonnées du pointeur étaient affichées à l’écran ! »; « Regarde, là ici, là, x zéro, y zéro !

J’l’avais pas vu mais en fait quand tu déplaces t’as la position exacte ! ».

De même, bien que plus tard (session 2), René saisit la connaissance (b). Mais une fois ce

repère pris, il identifie aussitôt les difficultés associées à des positions non initialisées. Dans

un échange avec un élève, il exprime clairement le regret de ne pas l’avoir spécifié collecti-

vement comme il l’a fait pour (a) : « y a un p’tit point où tu, euh, où d’ailleurs qu’on n’a pas

précisé en commun… ». Si la question liée à une position initiale dans des programmes avec

déplacements est ainsi identifiée, le besoin similaire d’initialiser une orientation dans des pro-

grammes avec rotations reste non identifié, laissant les élèves concernés bloqués. Le tableau1

synthétise les prises de repères sur (a), (b), (c), qui s’enrichissent le long des 2 séances :

Prise de repères Séance 1er groupe Séance 2e groupe

a : Coordonnées

Repère

Coord : NON au début, prise de conscience dans la séance

Repère : NON

Coord. : OUI et va plus loin, demandant pour ce groupe : « départ et arrivée différents »

Repère : NON

b : Nécessité d’initialiser une position ou orienta-tion de départ

NON NON au départ, mais prise de conscience durant la

séance pour les déplacements. Non pour les orientations.

c Scripts parallèles NON au début, puis OUI OUI et NON

Tableau 1 – Evolution dans le temps des GIpe-pro de René sur les connaissances (a), (b) ou (c)

3. Leviers pour gérer les séances le temps de prendre des repères en parallèle

René a 14 ans d’expérience, ses pratiques sont en bonne partie stabilisées et cohérentes (Ro-

bert & Rogalski, 2002). L’irruption de ce nouvel outil déstabilise ces équilibres pour évoluer

vers une nouvelle stabilité préservant la cohérence dans l’exercice du métier. Quels processus

jouent dans cette évolution ? L’analyse ci-dessus en montre un premier mécanisme : la prise

de repères sur l’usage de Scratch. Nous en décrivons ici un second : la réduction de la distan-

ce portée par Scratch.

L’activité constructive (Samurçay et Rabardel, 2004) se déroulant lors des séances mêmes,

comment René les gère-t-il alors le temps d’une prise de repères ? Il dit lui-même avoir be-

soin de temporiser pour connaître plus. Notre hypothèse est que René a suffisamment de repè-

res par ailleurs (i.e. hors technologies), pour lancer des séances innovantes sans être déstabili-

sé, séances qui donneront elles-mêmes de nouveaux repères. En effet, selon nous, ses choix

d’apprentissage visés avec Scratch (ni mathématiques, ni informatiques, mais transversaux ou

visant le Français) ne sont pas fortuits : ils s’expliquent, à nouveau, en termes de repères ac-

quis par l’enseignant, minimisant la distance que le logiciel introduit à ses pratiques usuelles.

René est en effet très à l’aise dans l’enseignement du Français, où il a l’habitude de mener des

projets, et choisir des visées transdisciplinaires (travail en groupe, socialisation des élèves,

projet de classe) permet de même de retrouver des repères familiers et qui peuvent se transfé-

rer aisément, car exempts de concepts sous-jacents, ou de concepts trop dépendants d’une dis-

cipline donnée.

V. DISCUSSION ET PERSPECTIVES POUR LA RECHERCHE ET LA FORMATION

1. Distance et repères

Les processus mis en œuvre par René, face à la distance générée par Scratch, permettent de

revenir sur la problématique de l’intégration des TIC en prolongeant, par l’idée de repères, le

travail sur la notion de distance évoquée plus haut avec l’intégration du tableur ou de

l’algorithmique. En effet, la réduction de la distance pour retrouver des repères auxquels se

référer, observée ici, est autre phénomène commun avec ces recherches (Tab.2). Les recher-

ches précitées s’analysent ainsi aisément à l’aune de cette notion. Par exemple, le facteur qui

rendait la distance instrumentale du tableur trop grande, freinant son intégration en algèbre, 17 sciencesconf.org:emf2018:222515

EMF2018 – GT7 6

avait été analysé comme étant épistémologique. De fait, le tableur en algèbre fait perdre trop

de repères sur cette dimension-là, ce qui avait mené l’enseignante observée à tourner son in-

tégration du tableur vers les statistiques où la distance est moins grande qu’en algèbre. Les re-

pères didactiques éclairent ainsi l’idée de distance : s’il y a distance (à des pratiques instal-

lées) perturbant l’enseignant, et pas simple nouveauté s’ajoutant, sans vagues, aux pratiques

en cours, c’est parce que des repères sont déjà là. Cette tension distance-repères acquis par

l’enseignant nous semble donc utile pour expliquer des phénomènes relevés dans les situa-

tions d’intégration des TIC : difficultés, résistances, réduction de la distance.

Distance introduite

Impact de la distance sur les objets et connaissances

Pratiques enseignantes Réduction de la distance-Rôle des re-pères

Par le ta-bleur en algèbre

2 mondes algébriques distincts

- Changement : niveau supérieur de classe - Changement : introduction sur des conte-

nus anciens et non nouveaux - Changement de domaine : statistiques

- Niveau : réduit les difficultés d’instrumentalisation

- Contenus anciens : réduit la quantité de nouveau et de repères à acquérir

- Distance ou perte repères moins im-portante en statistiques qu’en algèbre

Algo-rithmique lycée

domaine attaché à program-mation et informatique

- Confiné devoirs-maisons, évitement - Pratiques juxtaposées, séparées du reste

- Resistance par des pratiques préservant les repères des pratiques usuelles

Scratch à l’école primaire

Contenus mathématiques non identifiés

- Déplacement vers la discipline français - Ou vers des objectifs plus transverses (tra-

vail en groupe, explorer, essai-erreurs…)

- Objectifs d’apprentissage détournés pour retrouver, via des contenus bien connus, des repères d’enseignement

Tableau 2 – Phénomènes de réduction de la distance dans les 3 recherches

Parler de « distance à… » suppose ainsi l’existence en amont d’un ensemble de repères

auxquels les pratiques nouvelles se réfèrent. Ces repères préexistants (qui peuvent ainsi être

construits, reconstruits, perturbés, modifiés, recherchés…) permettent à l’enseignant de navi-

guer au quotidien. Notre définition inclue cette idée de guidage de l’activité ultérieure : un re-

père didactique6 est un élément, conscient ou non, de savoir professionnel, acquis par

l’enseignant, et qui le guide dans son action. Cette fonction de guidage est essentielle. Il ne

s’agit pas simplement de connaissances permettant de retrouver un équilibre localement per-

turbé par l’introduction de l’outil. En nommant « repères » ces connaissances construites,

nous souhaitons pointer ce rôle de balises effectives pour l’activité de l’enseignant, toutes les

connaissances n’ayant pas cette fonction-là. Nous cherchons aussi à distinguer la nature des

différents types de repères existants. Pour cela, les facteurs de distance, catégorisés par les

composantes de la Double Approche, fournissent une structuration théorique des repères qui

peuvent ainsi être : institutionnels, cognitifs, médiatifs... Pour que l’intégration d’un nouvel

outil puisse, celui-ci ne doit alors pas créer une trop grande distance aux pratiques sur ces di-

verses composantes où l’enseignant a des repères. Dans chacune d’elle, contrant cette tension

distance-repères qui peut donc s’avérer un frein à l’intégration si trop peu de repères demeu-

rent, on trouve à l’opposé des légitimités (Tab.3), facteurs favorisant potentiellement

l’intégration : légitimités sur les plans socio-institutionnel, didactique (cognitif et médiatif) ou

personnel (notamment épistémologie et représentations du professeur).

Au final, l’intégration (qualitative et quantitative) de nouveau (artefact, domaine, discipli-

ne) résulte pour chaque sujet de cette mise en balance entre les légitimités perçues et les diffé-

rentes tensions distance-repère de ces composantes.

La distance est problématique lorsque les repères sont bousculés sans que de nouveaux ne

soient envisagés. Ceux-ci peuvent se créer soit par la formation, les ressources, soit en les

imaginant soi-même ou en tentant malgré tout l’expérience. Comme pour les schèmes dans

lesquels ces connaissances vont intervenir, un 1er

essai créera de nouveaux repères pouvant

donner une activité bien différente au 2e essai, etc. A plus grande échelle, l’expérience multi-

pliée de nouvelles situations peut doter l’enseignant de repères assez robustes pour agir face à

une situation inédite, pourvu qu’elle ne soit pas trop distante de ce qui a été vécu dans cette

expérience, ou qu’il puisse l’en approcher. Autrement dit, un enseignant expérimenté a non

6 Le terme « didactique » est pris ici au sens courant, pour préciser que les éléments considérés sont ceux qui ont

trait à l’enseignement-apprentissage (y compris gestion de classe par exemple). 18 sciencesconf.org:emf2018:222515

seulement plus de repères, mais est susceptible d’en transposer-adapter d’anciens pour s’en

créer de nouveaux plus rapidement et facilement qu’un novice, ce qui interroge la formation.

Composantes + : Légitimité du « nouveau » - : Tension repères-distance S

oci

o-

inst

itu

tle -Institutionle

-Sociale - Légitimité Institutionnelle : programmes, inspection, examens - Légitimité Sociale : évolutions sociétales, modernité, prégnance

de la technologie

Nécessitent une appropriation : des repères à construire, même si les programmes en donnent.

Did

acti

qu

e

-Cognitive

-Médiative

- Légitimité Cognitive (ex : LDG et figure géométrique, tableurs

et entrée dans l’algèbre…) - Légitimité Médiative (ex : gain de temps dans le tracé des

constructions géométriques, calcul d’un grand nombre de

données, simulation d’expériences aléatoires, calculs automatisés, tracés de courbes, illustration…)

A priori (enseignant ordinaire) :

repères cognitifs à acquérir repères médiatifs à acquérir Des GIpro à développer, en termes

d’orchestration notamment pour gérer les GI des élèves

Per

son

nel

le - Epistémologie et

- Représentation de l’enseignant

- Légitiment ou freinent - (variable suivant les enseignants) - Légitimité Epistémologique : sur les disciplines impactées (épistémologie de la discipline et épistémo de

l’enseignement/ apprentissage de cette discipline). La tension ici est fonction de la distance que

représente le nouveau aux disciplines usuellement enseignées - Légitimité dans les Représentations : non spécifiquement disciplinaires)

Tableau 3 – Légitimités, repères et distance à l’ancien : la distance aux pratiques pose problème si trop peu de

repères demeurent aux niveaux institutionnel, cognitif et mdiatif (facteurs négatifs). Cette perte est compensée

par les légitimités perçues/conférées sur ces composantes ou sur la composante sociale (facteurs positifs), et

éventuellement par la composante personnelle (facteurs positifs ou négatifs selon la personne).

2. Perspectives pour la recherche et la formation

Le cas de René mis en perspective avec d’autres recherches apporte des éléments de compré-

hension des pratiques intéressant tant la recherche que la formation. En situation où le contex-

te éloigne les enseignants de leurs pratiques habituelles (nouvel artefact tel le tableur en

l’algèbre, ou nouveau domaine tel l’algorithmique en mathématiques, ou nouvelle discipline

telle l’informatique à l’école), l’inédit est géré à l’aide de repères soit construits au fil des

séances, soit anciens, via des stratégies de réduction de la distance permettant de revenir en

terrain connu. Repères didactiques et distance sont ainsi en jeu dans ces terrains.

Pour creuser au niveau théorique, il faudrait continuer à investiguer, appuyée de cette mé-

thodologie, ce que recouvrent ces repères et leurs rôles dans les pratiques en observant

d’autres cas, ainsi que les prochaines expériences de ceux déjà observés (de quels types sont

les repères élaborés : repères de gestion de classe? disciplinaires? transdisciplinaires?...) et

analyser l’évolution de leurs GI. En outre, des liens seraient à creuser avec d’autres notions

comme les schèmes (ici professionnels ; en lien avec la théorie de l’Activité), ou les travaux

anglo-saxons sur les connaissances (modèle TPACK7), et ceux sur les beliefs ou croyances

(Fives and Gill, 2015), qui éclairent des processus plus inconscients.

Du point de vue de la formation, si les repères didactiques s’avèrent cruciaux, plusieurs

questions se posent : comment en faciliter l’acquisition ? Certains peuvent-ils plus facilement

s’acquérir en autonomie que d’autres ? Peut-on raisonnablement miser sur l’expérience seule

pour créer des repères didactiques d’enseignement de concepts informatiques ? Les ensei-

gnants ne paraissant pas en difficulté grâce à la mise en place de stratégies de « substitution »,

quelle raison les ferait se tourner vers des savoirs qu’ils n’ont pas même repérés et qu’est-ce

qui pourrait leur donner ces repères ? Ces réflexions indiquent des pistes pour les ressources

et plus généralement pour les formations sur les besoins des enseignants d’élaborer de nou-

veaux repères didactiques, en appui ou non sur des situations antérieures. Les cas étudiés ici

indiquent en effet que ces ressources et formations doivent jouer sur les différentes dimen-

sions des repères, dimensions qu’il ne faudrait pas séparer pour espérer des changements dans

les pratiques : 1) connaissances disciplinaires des domaines, des praxéologies possibles et 2)

connaissances didactiques en lien avec ces domaines (cognitifs, médiatifs, instrumentaux, y

compris de gestion de classe qui rentre dans le médiatif et dans l’instrumental avec les orches-

trations, mais aussi de gestion de classe au sens plus large). Selon nous, si certains repères di-

dactiques peuvent s’acquérir par le développement des GIpro et GIpe de l’enseignant, un ac-

7 Koehler&Mishra (2009) développent le modèle PCK de Shulman (1986), non basé sur la Double Approche 19 sciencesconf.org:emf2018:222515

EMF2018 – GT7 8

compagnement en formation et ressources est nécessaire pour que des repères conceptuels se

mettent en place.

REFERENCES

Artigue, M. (2002). Learning Mathematics in a CAS Environment: The Genesis of a Reflec-

tion about Instrumentation and the Dialectics between Technical and Conceptual work. In-

ternational Journal of Computers for Mathematical Learning 7 (3), 245-274.

Benton, L., Hoyles, C., Kalas, I. et al. (2017). Bridging Primary Programming and

Mathematics: Some Findings of Design Research in England. Digital Experiences in Math

Education 3(2), 115-138.

Caron, F. (2007). Au cœur de « la calculatrice défectueuse » : un virus qu’on souhaiterait

contagieux ! Petit x 73, 71-82.

Del Notaro, L. & Floris, R. (2011). Calculatrice et propriétés arithmétiques à l'école

élémentaire. Grand N 87. 17-49.

Drijvers, P., Godino, J. D., Font, V., & Trouche, L. (2013), One episode, two lenses. A

reflective analysis of student learning with computer algebra from instrumental and onto-

semiotic perspectives. Educational Studies in Mathematics, 82(1), 23-49.

Guin D., Trouche L. (eds.) (2002). Calculatrices symboliques. Faire d'un outil un instrument

du travail mathématique, un problème didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage.

Haspekian, M (2017). Computer science in mathematics new curricula at primary school: new

tools, new teaching practices? In G. Alon & J. Trgalova (eds.), Proceedings of ICTMT 13,

Lyon, juillet 2017. 23-31.

Haspekian, M (2014). Teachers' instrumental geneses when integrating spreadsheet software.

In Clark-Wilson, Robutti, Sinclair (eds.) The Mathematics Teacher in the Digital Era,

Springer. 241-275.

Haspekian, M. (2006). Evolution des usages du tableur. In Rapport intermédiaire de l'ACI-EF

Genèses d'usages professionnels des technologies chez les enseignants, disponible à :

http://gupten.free.fr/ftp/GUPTEn-RapportIntermediaire.pdf.

Haspekian, M. & Gélis, J.-M. (soumis). Introduction de l’informatique dans les programmes

de mathématiques : nouveaux outils, nouvelles pratiques ? STICEF, soumis mars 2017.

Haspekian, M. et Nijimbéré, C. (2016). Favoriser l’enseignement de l’algorithmique : une

question de distance aux mathématiques ? Education et Didactique, 10(3), 121-135.

Lagrange J.-B. (2000). L’intégration d’instruments informatiques dans l’enseignement : Une

approche par les techniques. Educational Studies in Mathematics 43(1): 1-30.

Ministère de l’éducation national. (2015). Programme d'enseignement du cycle des apprentis-

sages fondamentaux (cycle 2), du cycle de consolidation (cycle 3) et du cycle des appro-

fondissements (cycle 4). Bulletin Officiel du 26 novembre 2015.

Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies : Approche cognitive des instruments

contemporains. Paris : Armand Colin.

Resnick, M. (2007). Sowing the seeds for a more creative society. Learning & Leading with

Technology, 35 (4), 18–22.

Robert, A. & Rogalski, J. (2002). Le système complexe et cohérent des pratiques des ensei-

gnants de mathématiques: Une double approche. Canadian Journal of Science, Mathemat-

ics and Technology Education, 2(4), 505-528.

Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized

learning environments: Guiding students’ command process through instrumental orches-

trations, International Journal of Computers for Mathematical Learning 9, 281-307.

Samurçay, R., Rabardel, P. (2004). Modèles pour l’analyse de l’activité et des compétences :

propositions. In R. Samurçay & P. Pastré (dir.), Recherches en didactique professionnelle,

Toulouse : Octarès. pp. 163-180.


DÉVELOPPEMENT DES USAGES DU NUMÉRIQUE ÉDUCATIF DANS

LE CONTEXTE DE L’ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES AU

CONGO – BRAZZAVILLE :

CAS DE LA PLATEFORME WIMS

MALONGA MOUNGABIO* Fernand – TSIKA KIMBATSA

* Paul

MOUYAMA NGOMA *

Milca – DENYS

** Bernadette

Résumé – De plus en plus, de nombreux outils technologiques sont créés pour une diversification des

pratiques pédagogiques. Nous rapportons ici les éléments d’une étude en cours sur une expérimentation

concernant la mise en place, dans un nombre limité d'établissements, de micro-serveurs rendant l'usage de

la plateforme WIMS possible sur un ensemble d'ordinateurs, sans connexion internet. L’étude vise aussi à

examiner les types de tâches, sur WIMS, en vue de développer le raisonnement et l’autonomie des élèves.

Mots-clefs : Numérique éducatif ; WIMS ; Classe virtuelle ; Enseignement ; Mathématiques.

Abstract – An ever-increasing number of technological tools are being created to meet the needs of

diverse teaching practices. We report on the elements of an ongoing study concerning an experiment in

which a micro-servers were set up in a small number of institutions, thereby enabling the use of the

WIMS platform on a group of computers with no need for Internet connections. The study also examines

the types of tasks, on WIMS, which can develop the students' reasoning and autonomy.

Keywords: Digital educational ; WIMS ; Virtual classroom ; Education ; Mathematics.

I. INTRODUCTION

L’informatisation de la vie professionnelle, ainsi que la diffusion des Technologies de

l’Information et de la Communication (TIC) dans la vie quotidienne, permettent la

multiplicité des sources d’informations et de culture qui ne laissent pas insensibles les

responsables du système éducatif de la République du Congo1 : pour ceux-ci, les nouvelles

technologies apparaissent comme un levier pour l’amélioration de la qualité de

l’enseignement (SSE, 2015).

Se pose donc le problème à la fois de révision des curricula et de formation des formateurs

et des enseignants qui doivent participer à l’intégration des nouveaux outils technologiques.

De plus, dans les programmes des enseignements primaire et secondaire, l’utilisation des

Technologies de l’Information et de la Communication dans l’Enseignement (TICE) ne fait

pas encore partie des compétences exigibles.

De plus en plus, des projets de formation et de sensibilisation à l’usage des TICE sont

réalisés. C’est le cas du projet « Production des Ressources Numériques pour l’Enseignement

des Mathématiques en Afrique Centrale (PReNuM-AC) » qui fournit des éléments nécessaires

à la réalisation de notre étude, en particulier en ce qui concerne l’utilisation de la plateforme

WIMS (Web Interactive Multipurpose Server).

* Université Marien Ngouabi, ENS – République du Congo – [email protected]



** Groupe de Réflexion sur l’Enseignement des Mathématiques en Afrique, Université Paris Diderot – France –

[email protected] 1 République du Congo que nous appelons aussi Congo-Brazzaville.


EMF2018 – GT7 2

En effet, notre étude s’appuie sur une formation à l’utilisation de la plateforme WIMS par

un groupe d’enseignants évoluant dans des établissements publics dits « lycées

d’excellence2 ».

Avant de présenter nos questions de recherche, nous précisons quelques éléments du

contexte sur l’origine de notre recherche, notamment notre participation au projet.

II. PROJET « PReNuM-AC »

L’étude que nous présentons ici se situe dans le cadre des suites du projet « PReNuM-

AC) ». Ce projet, réalisé de 2012 à 2015, s'est appuyé localement sur l’Ecole Normale

Supérieure (ENS) de Brazzaville (République du Congo) et sur l’Ecole Normale Supérieure

de Yaoundé (République du Cameroun) ainsi que sur les inspecteurs pédagogiques de

mathématiques des deux pays. Les organismes universitaires en France impliqués dans ce

projet sont l'Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (IREM) et le

Laboratoire de Didactique André Revuz (LDAR) de l’Université Paris Diderot.

Le projet PReNuM-AC a visé le développement des usages des outils en ligne (plate-forme

de formation, base d'exercices et document d'évaluation) pour remédier à l'isolement des

enseignants de mathématiques. Le projet a été centré sur la production et la diffusion de

ressources pour l'enseignement des mathématiques en classe de Terminale Scientifique,

comportant notamment des exercices provenant de la plateforme WIMS.

Le développement de ce projet rejoint les intentions des responsables du système éducatif

du Congo-Brazzaville concernés par les questions d’intégration des outils technologiques

dans l’enseignement.

III. PROBLÉMATIQUE

Notre problématique consiste à examiner les modalités d’intégration de l’utilisation de la

plateforme WIMS dans la pratique des enseignants.

1. Question de recherche

Notre principale question est la suivante :

Comment concevoir une formation d’enseignants à l’utilisation de WIMS, dans le but de

mettre en place des situations d’apprentissage complémentaires3, adaptées aux élèves des

lycées d’excellence ?

Trois questions fondamentales en découlent :

- En quoi la plateforme WIMS peut-elle contribuer à la diversification des

apprentissages ?

- Quels sont les savoirs sur la pratique enseignante, nécessaires pour le développement

des activités d’apprentissage complémentaires ?

- Quels sont les types de situations d’apprentissage à choisir à partir de la plateforme

WIMS ?

2 Les « lycées d’excellence » sont des établissements publics créés dans le souci de promouvoir l’excellence,

relever le niveau du système éducatif, poursuivre la formation d’une élite dans les domaines scientifique,

littéraire et artistique. 3 Par « apprentissage complémentaire », nous entendons l’ensemble des mécanismes visant à acquérir des

savoirs et savoir-faire non explicités par les contenus des programmes scolaires.


EMF2018 – GT7 3

2. Objectif de l’étude

Notre objectif est de former un groupe d’enseignants intervenant dans des lycées

d’excellence, à l’utilisation de WIMS sur un ensemble d'ordinateurs portables, sans connexion

internet et sans installation particulière.

Aussi, nous nous proposons d’examiner les possibilités de mettre en place une

communauté de pratique au sens de Wenger (1998). Cette communauté de pratique à

l’utilisation de WIMS est formée d’enseignants4 de l’Ecole Normale Supérieure de

Brazzaville, des inspecteurs de mathématiques et des enseignants de mathématiques des

lycées d’excellence. En effet, dans ces établissements, les enseignants ont un accès facile à

l’outil informatique, via les salles multimédias de leurs établissements respectifs.

Cette communauté a pour missions :

- d’analyser les potentialités didactiques offertes par WIMS dans le contexte de

l’apprentissage des mathématiques dans les lycées du Congo-Brazzaville.

- d’élaborer des situations de classe pour participer au développement de l’autonomie des

élèves à travers des tâches de résolution des problèmes.

Ce travail en communauté doit permettre de participer au développement des compétences

techniques et cognitives des enseignants, novices dans l’usage du numérique éducatif.

IV. CADRE THEORIQUE ET METHODOLOGIE

La communauté de pratique à l’utilisation de WIMS que nous entendons mettre en place

est composée d’acteurs non-experts dans le domaine des TICE. Les travaux à mener dans le

groupe devraient conduire l’activité qui sous-tend le processus d’intériorisation des

compétences techniques et cognitives, nous nous appuyons sur l’approche instrumentale de

Rabardel (1995 ; 2005). Cette approche s’appuie sur la distinction artefact outil/instrument et

sur la genèse instrumentale.

Figure 1 – La genèse instrumentale, combinaison de deux processus.

La genèse instrumentale est le processus de construction des instruments.

4 Il s’agit des membres de l’Unité de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques


EMF2018 – GT7 4

« La construction de l’instrument doit se comprendre dans un double mouvement [voir la figure 1] : un

mouvement d’instrumentalisation dirigé vers l’outil (l’usager met l’outil "à sa main", l’adapte à ses

habitudes de travail) et un mouvement d’instrumentation dirigé vers l’usager (les contraintes de l’outil

contribuent à structurer l’activité de l’usager) ». (Trouche, 2004).

Ce cadre théorique doit nous permettre d’analyser le processus de genèse instrumentale d’un

groupe d’enseignants utilisant des outils offerts par la plateforme WIMS.

V. METHODOLOGIE

1. Choix d’utilisation de l’outil WIMS

WIMS est un outil d’apprentissage en ligne qui, en utilisant un navigateur Internet, permet

d’accéder à une base d’exercices interactifs et de créer des classes virtuelles. La structure de

WIMS est particulièrement intéressante pour les activités d'enseignement des mathématiques,

dans lesquelles le serveur permet d’analyser individuellement le comportement des élèves, et

de proposer des activités adaptées à chacun d'eux selon le niveau de difficultés.

L’accès à Internet nécessaire à l’utilisation de WIMS n’est pas garanti dans nombre de

structures scolaires au Congo-Brazzaville. Nous avons donc eu recours à l’utilisation des

boitiers Gygabyte Brix GB-BXBT-2807. Chacun d’eux joue le rôle de micro-serveur, dans

lequel on y a installé WIMS et un dispositif de connexion à distance (wifi).

Utiliser un micro-serveur Gigabyte pour faire des mathématiques présage des difficultés

tant du point de vue des enseignants5 que des élèves

6. Ainsi nous avons fait le choix de

travailler avec les enseignants évoluant dans les lycées publics dits lycées d’excellence.

2. Mise en place d’une formation d’enseignants à l’usage de WIMS

Le choix de notre cadre théorique nous conduit à faire une analyse du déroulement de la

formation (Artigue, 2002) afin de déceler les différentes genèses instrumentales.

Nous proposons une formation à 20 enseignants et inspecteurs : 12 enseignants évoluant

dans 4 établissements dits d’excellence et 8 inspecteurs de mathématiques.

VI. ANALYSE DE LA FORMATION ET DES SITUATIONS D’APPRENTISSAGE

La formation a pour but de définir des stratégies d’élaboration des situations

d’apprentissage selon des critères de pertinence. Cette formation s’organise en 3 étapes :

- choix de thèmes de formation, laissé à la charge des participants,

- analyse et choix de types de situations d’apprentissage,

- élaboration d’une mise en scène de la situation choisie.

1. Choix de thèmes

Cette étape permet, à partir des échanges entre enseignants et inspecteurs, de recenser les

notions des programmes de lycée dont la mise en œuvre est reconnue complexe ou difficile.

5 Les enseignants doivent intégrer ce nouvel outil dans leurs pratiques de classes et exécuter les contenus

d’enseignement. 6 Les élèves ont la responsabilité de s’inscrire dans des classes virtuelles, résoudre des problèmes interactifs

programmés par leurs enseignants


EMF2018 – GT7 5

La notion de fonction numérique en classe de première C7, dans son approche qualitative, a

vite retenu l’attention des participants à la formation. Ils constatent que, lors de l’étude des

fonctions, les élèves exécutent des tâches suivant le schéma classique :

fonction fonction dérivée tableau de variations courbe

Figure 2 – Schéma classique de l’étude d’une fonction en première scientifique

Les élèves éprouvent beaucoup de difficultés dans des situations où on part, par exemple,

de la courbe de la fonction dérivée (représentation graphique), si on leur demande d’en

déduire des informations sur la fonction à étudier (monotonie, signe, etc.).

2. Analyse et choix des situations

Cette étape se déroule en deux phases.

Phase 1 : Initiation à l’utilisation du micro-serveur

La première phase est la phase d’initiation à l’utilisation du micro-serveur Gigabyte. La

formation permet de mieux cerner le fonctionnement des boitiers Gigabyte et les différentes

applications qui y sont installées.

Image 1 – Boîtier Gygabyte GB-BXBT-2807

Phase 2 : Utilisation de la plateforme WIMS

Cette deuxième phase consiste à s’approprier les fonctionnalités de la plateforme WIMS,

puis à analyser et sélectionner les exercices destinés aux élèves.

Les participants à la formation sont conduits à se connecter au micro-serveur pour explorer

la plateforme WIMS, notamment la création des classes virtuelles et des feuilles d’exercices.

Une classe virtuelle est un espace privé sur le serveur WIMS, protégé par des mots de

passe. L'enseignant, "auteur" et responsable de la classe, y propose du travail à ses élèves,

essentiellement des exercices avec variables aléatoires et corrections automatiques.

A partir de cette classe virtuelle, l'enseignant peut également dialoguer avec les élèves

(message du jour, forum, cahier de texte, questionnaires...) et suivre leur travail (notes,

statistiques d'activités).

Les exercices et documents sont :

- soit importés dans une classe virtuelle à partir des ressources disponibles dans la base

WIMS,

- soit créés par l’enseignant directement dans sa classe virtuelle.

7 Première scientifique


EMF2018 – GT7 6

Après cette phase, les participants à la formation sont amenés à explorer sur la plateforme

WIMS, les ressources existantes en rapport avec la notion de fonction. Deux types de

situations d’apprentissage ont été choisis.

Le premier type fait appel à une correspondance entre la courbe d’une fonction f et celle de

la fonction dérivée de f.

Le deuxième type fait appel à une correspondance à établir entre la courbe d’une fonction f

et celles d’autres fonctions associées à f, telles que , , .

3. Élaboration d’une mise en scène de la situation choisie

A cette phase, la charge revient à chaque participant d’élaborer une mise en scène de la

situation. Le travail fournit comporte une classe virtuelle, une feuille d’exercices contenant

des exercices sur les fonctions.

VII. PRESENTATION D’UN EXEMPLE DE SITUATION

1. Exemple d’une mise en scène d’une situation

Nous présentons ci-dessous l’exemple d’une mise en scène d’une situation élaborée par un

enseignant. La feuille d’exercices créée contient deux exercices choisis dans la base

d’exercices de WIMS dont les titres sont respectivement « Détermination d’une fonction » et

« Fonctions graphiques ». Ci-dessous, nous présentons le contenu du premier exercice.

Image 2 – Page de présentation de l’exercice

Cette page permet de choisir le degré de complexité de l’exercice en indiquant le nombre

de séances et le type de variations de fonction.


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Image 3 – Contenu de la première séance

Cet exercice permet de travailler sur la correspondance entre la courbe d’une fonction f

donnée et des courbes candidates à être celle de la fonction .

2. Analyse de la situation

L’inventaire des savoirs nécessaires à la réalisation de cette situation permet de juger de sa

pertinence. En effet, pour le traitement de cette situation, l’apprenant doit mobiliser ses

connaissances sur la symétrie par rapport à l’axe des abscisses et la symétrie par rapport à

l’axe des ordonnées. Par lecture graphique, on parvient à établir la correspondance entre la

courbe de la fonction f et celle de la fonction . Le choix de cette situation

résulte de son caractère novateur pour les élèves qui sont habitués au schéma classique

(cf. Figure 2 – Schéma classique de l’étude d’une fonction en première scientifique.

Nous reprenons le schéma proposé par Trouche (2004) décrivant la genèse expérimentale.

Figure 3 – schéma de la génèse instrumentale

Des interactions entre la plateforme WIMS (artefact) et le sujet (enseignants/inspecteurs)

permet de constater la création de nombreux instruments. Par exemple, une classe virtuelle

vient d’une action du sujet sur la plateforme. Cette classe devient un outil d’évaluation pour le

créateur de la classe (sujet) qui peut contrôler a posteriori le travail de ses élèves ; en effet, les

la présence de l’enseignant (sujet) n’est plus nécessaire pendant le travail des élèves puisque

WIMS permet une traçabilité des tâches réalisées par l’élève.

VIII. CONCLUSION

Notre étude consiste à expérimenter l’apport d’un dispositif informatique dans la pratique

des enseignants qui doivent travailler pour mettre en place des exercices interactifs visant le

développement de l’autonomie et le raisonnement des élèves du secondaire évoluant dans des

lycées d’excellence au Congo-Brazzaville.


EMF2018 – GT7 8

La formation mise en place a conduit les enseignants et inspecteurs, novices aux usages de

WIMS, à un développement de la dialectique entre l’artefact, ici la plateforme WIMS, et le

sujet (enseignants/inspecteurs). Ce dernier élabore des instruments au sens de Rabardel sous

forme de classes virtuelles dans lesquelles il peut insérer des feuilles d’exercices interactifs.

L’analyse de la formation nous permet de constater que l’intégration des schèmes

d’utilisation associés à l’artefact ne va pas de soi. En effet, la plupart des participants à la

formation n’ont pas un rapport courant avec les outils informatiques. Cependant, d’une

manière générale, on peut considérer que le processus de genèse instrumentale des

enseignants et inspecteurs formés à l’usage de WIMS se fait sans trop de difficultés en raison

de leur maîtrise des savoirs mathématiques mis en jeu dans le choix des exercices interactifs.

Cette étude montre que le recours à WIMS permet d’aborder autrement l’apprentissage de

la notion de fonction, ce qui enrichit les pratiques des enseignants. Penser à intégrer les TICE

dans le système d’enseignement des mathématiques impose aux enseignants d’envisager des

échanges entre pairs, créant ainsi des conditions de développement des communautés des

pratiques : on ne doute pas de leur rôle important dans le management de la connaissance.

RÉFÉRENCES

Artigue M. (2002). Ingénierie didactique : quel rôle dans la recherche en didactique

aujourd’hui, Revue Internationale des Sciences de l’Education, n°8, 59-72.

Emprin, F. (2005). Formation initiale et continue pour l'enseignement des mathématiques

avec les TICE : cadre d'analyse des formations et ingénierie didactique. Thèse de

Doctorat. Université Paris-Diderot.

Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments

contemporains. Paris : Armand Colin.

Rabardel, P. (2005), Instrument Subjectif et développement du pouvoir d’agir. In Parbel P. et

Pastre P. (eds) Modèles du sujet pour la conception, dialectiques activité-développement,

Octarès, 11-31.

Trouche L. (2004). Environnements informatisés et mathématiques : Quels usages pour quels

apprentissages ? Educational Studies in Mathematics 55: 181–197. Kluwer Academic

Publishers

Wenger, E. (1998). Communities of practice: learning, meaning and identity. Cambridge:

Cambridge University Press.


EXEMPLES DE RESSOURCES POUR LE TRAVAIL D’ÉLÈVES EN SECONDE

GNANSOUNOU * André – MESQUITA ** Ana L.

Résumé

Dans cette affiche, nous présentons quelques ressources numériques, intégrées dans une classe virtuelle expérimentale de la plate-forme WIMS. Elles ont été prévues pour être utilisées par des élèves de Seconde (élèves de 15-16 ans) et concernent le chapitre Fonctions des programmes français. Deux niveaux de préparation à la résolution peuvent y être proposés aux élèves, ainsi que des corrections de ces ressources. Une analyse didactique de certaines tâches, destinée aux enseignants, y est également incluse.

Mots-clefs : Classe virtuelle, ressources numériques, Fonctions, classe de Seconde, plate-forme WIMS

Abstract

In this poster, we present some digital resources, belonging to an experimental virtual class in WIMS platform. These resources concern mathematical contents about Functions, in the French syllabus for 10th graders. Items for preparing the pupils’ work are included in the resources, as well as feedback comments. For some resources, an analysis of task are also proposed, to teachers using them with their pupils.

Keywords: Virtual class, digital resources, Functions, 10th graders, WIMS platform.

L’affiche que nous nous proposons de présenter au Colloque de l’Espace Mathématique Francophone de 2018 vise, d’une part, à diffuser une ‘classe virtuelle’ expérimentale, que nous préparons actuellement au sein du groupe de travail WIMS&IREM, de l’IREM de Paris, et d’autre part, à accueillir des enseignants intéressés par l’utilisation, dans leurs classes, des ressources de cette classe virtuelle.

Une explicitation du terme ‘classe virtuelle’ est nécessaire. Pour le serveur WIMS (WWW Interactive Multipurpose Server), que nous utilisons - comme pour d’autres plates-formes - une classe virtuelle est un espace, sur la plate-forme d’un serveur, sur lequel sont déposées des ressources, lesquelles peuvent être utilisées en libre-service par des personnes intéressées, dans ce cas par des élèves, inscrits sur cette classe.

Nous avons retenu la plate-forme WIMS, en partie à cause des nombreuses fonctionnalités mises à la disposition des utilisateurs, notamment les possibilités de présentation des énoncés, les aides à la résolution d’exercices, la proposition de solutions et l’inclusion de parties théoriques. Les élèves peuvent répondre à des questions, en général dans un temps limité ; ils peuvent consulter les dispositifs mis à leur disposition et aussi poser des questions à l’enseignant ; suite à la réponse des élèves, des corrections leur sont proposées, et une notation leur est attribuée.

André Gnansounou a utilisé cette plate-forme, à l’intention de ses élèves du Lycée Carcado-Saisseval, un lycée d’enseignement technique privé, à Paris, dans un but de travail de ses élèves, en autonomie, en dehors de la classe. La plupart des ressources incluses dans la classe virtuelle sont issues de son travail, discutées et modifiées dans le groupe WIMS&IREM.

Dans cette phase, nous y inclurons des exercices de Seconde, d’une partie du chapitre Fonctions, des programmes français en vigueur à partir de 2009. Les ‘capacités attendues’ organisant actuellement ces programmes, nous les avons aussi utilisées comme critère de recherche pour cette classe. Par exemple, en ce qui concerne le contenu ‘étude qualitative de

* IREM de Paris de l’Université Paris Diderot – France – [email protected] ** IREM de Paris de l’Université Paris Diderot – France – [email protected]


EMF2018 – GT7 2

fonctions’ dans notre classe virtuelle, plusieurs ressources existent concernant la capacité attendue ‘Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations’ : il s’agit d’activités sur lesquelles l’élève pourra être évalué et donc interrogé par l’enseignant, soit dans le cadre de l’évaluation par l’enseignant lui-même, soit dans le cadre d’évaluations plus générales, comme des examens.

Ces ressources sont destinées à un travail individuel des élèves, en autonomie, en dehors de la classe, ou à des devoirs à la maison.

En ce qui concerne l’analyse des réponses des élèves, le critère retenu pour la majorité des ressources est actuellement en termes de réponse correcte/incorrecte ; dans certains cas, le critère est associé à une analyse a priori des tâches ; nous pensons utiliser aussi un ensemble de codes à plusieurs dimensions, déterminés par des types de réponses anticipées, en nous inspirant des tests de diagnostic menés par Chenevotot-Quentin et collègues (2015).

Certaines ressources seront présentées avec des versions différentes, l’idée étant de donner aux enseignants utilisateurs des possibilités de choix de formulations d’exercices. Un critère retenu pour les variations d’exercices concerne par exemple l’utilisation d’illustrations accompagnant un énoncé : l’énoncé peut inclure ou non une illustration visuelle de la situation associée (par exemple, l’inclusion (ou non) d’un vélo ou d’une voiture. Aussi, des variations de registres d’expression, au sens de R. Duval (1995) seront également utilisées. Par exemple, certaines versions de ressources utilisent des tableaux de valeurs, tandis que d’autres comportent des graphiques de fonctions, ou encore les deux formes.

Par ailleurs, des analyses didactiques de certaines ressources sont également incluses dans la classe virtuelle.

Suite à l’utilisation expérimentale en classe par des enseignants volontaires, des nouvelles modifications seront apportées à l’ensemble de ces ressources.

Dans l’affiche, nous souhaitons présenter quelques exemples de ressources de la classe virtuelle, ainsi que des activités annexes, comme par exemple des analyses didactiques de la tâche, des corrections et interactions proposées par le serveur.

Pendant le déroulement du colloque, lors de la plage consacrée aux affiches, nous présenterons également, sur ordinateur, quelques ressources de cette classe virtuelle expérimentale, laquelle est ouverte à d’autres enseignants intéressés.

Notre questionnement rejoint celui du groupe GT7, nous semble-t-il, en particulier en ce qui concerne l’articulation des dimensions individuelles et collectives dans les interactions en classe, ainsi que sur des formes d’utilisation de cette classe.

REFERENCES

Chenevotot-Quentin F., Grugeon-Allys B., Delozanne E., Prévit D. (2015) Transfert du diagnostic Pépite à différents niveaux scolaires : tests diagnostiques pour les élèves et leurs usages par les enseignants, In Theis L. (Ed.) Pluralités culturelles et universalité des mathématiques : enjeux et perspectives pour leur enseignement et leur apprentissage – Actes du colloque EMF 2015 Alger – GT6, pp. 566-582.

Duval R. (1995) Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Peter Lang, Berne.


INTEGRATION DES TICE DANS LA MODELISATION ET

L’EXPERIMENTATION DES PROBLEMES INTERDISCIPLINAIRES

RIOUCH* My-Lhassan

Résumé – La modélisation mathématique joue un rôle essentiel dans la résolution des problèmes

interdisciplinaires. La démarche expérimentale basée sur l’intégration des TICE permet la simulation des

problèmes. Elle favorise aussi la construction progressive des modèles mathématiques qui expliquent le

phénomène étudié et qui interprètent son comportement. Une telle approche développe des compétences

transversales et améliore la qualité des apprentissages et donne plus de sens aux savoirs enseignés.

Mots-clefs : Interdisciplinarité, démarche expérimentale, intégration des TICE, modélisation

Abstract – Mathematical modeling plays a vital role in solving interdisciplinary problems. The

experimental approach based on the integration of ICT allows the simulation of problems. It also promotes

the gradual construction of mathematical models that explain the phenomenon studied and interpret its

behavior. Such an approach develops transversal skills and improves the quality of learning and gives more

meaning to the knowledge taught.

Keywords: Interdisciplinary, experimental approach, integration of ICT, modelling

I. PRESENTATION

Dans notre contribution, on présente deux exemples de projets interdisciplinaires en relation

avec la modélisation mathématique. Le premier projet est lié à l’économie et consiste à traiter

le crédit bancaire. Le second est lié à l’environnement (déforestation) en relation avec un

évènement international COP 22. Le processus de la modélisation est basé sur une démarche

expérimentale qui permet aux élèves de mobiliser leur acquis mathématiques et leurs

compétences technologiques pour créer la simulation du problème. Cette démarche permet

d’instrumentaliser les artefacts par le processus d’appropriation des outils du tableur et du

logiciel de géométrie dynamique. L’instrumentation est le processus par lequel les contraintes

et les potentialités d’un artefact vont conditionner durablement l’action d’un sujet pour résoudre

un problème réel (Trouche, 2005). La confrontation des outils avec la réalité du problème

permet de donner du sens aux relations mathématiques et de construire des instruments

performants pour mieux comprendre le problème. Le processus de la genèse instrumentale est

lié au vécu de la réalité par l’individu. Il est lié aussi à la façon avec laquelle cet individu

combine et articule plusieurs instruments pour créer un autre instrument performant dans la

résolution du problème. C’est ce qu’on appelle l’orchestration instrumentale (Aldon, 2017). La

simulation du problème joue un rôle primordial pour comprendre le problème dans sa totalité

et pour conjecturer les solutions et les valider.

II. INTERDISCIPLINARITE, MODELISATION, EXPERIMENTATION

1. Conception d’une situation problème dans un projet interdisciplinaire intégrant

les TICE

La modélisation du problème est basée sur l’utilisation d’un tableur ou un logiciel de

géométrie dynamique. La démarche expérimentale permet de tisser des liens entre la réalité du

problème et les représentations des différents registres mathématiques. La première phase

consiste à transformer le langage courant en symboles mathématiques puis en objets

mathématiques qu’on peut manipuler et programmer sur le tableur. C’est-à-dire passer du

registre discursif vers les registres symbolique, algébrique puis graphique (Duval, 1993). Cette

* Académie Fès -Meknès, Ministre de l’éducation nationale Maroc – [email protected]


EMF2018 – GT7 2

étape joue un rôle primordial sur le processus de modélisation la planification des taches de

l’élève et de l’enseignant doivent être précise pour faire mieux faire comprendre le problème

aux élèves et les engager dans sa résolution et sa modélisation. L’expérimentation permet de

distinguer et de représenter tous les cas (avant et après intervention) et de comparer les résultats.

Elle facilite l’émergence d’un modèle mathématique intermédiaire. La visualisation et le

changement des paramètres liés au problème permettent de comprendre le phénomène dans sa

totalité. La deuxième phase se fait sur papier. Elle consiste à travailler sur le modèle

mathématique pour le finaliser et le généraliser et valider les solutions conjecturées.

2. Analyse de l’activité des élèves et l’apport des TICE

Nous avons fait une analyse a priori des taches à réaliser, du matériel et des ressources à utiliser.

Le travail se fait en groupe en deux phases, une expérimentale et l’autre argumentative. Les

outils proposés sont le tableur et le logiciel de géométrie dynamique pour explorer la situation

proposée et représenter la limite de la suite. Le travail sur papier se fait en parallèle avec le

travail sur écran. Après avoir programmé la suite par sa forme itérative dans le tableur et

transformé les données en graphes, les élèves ont conjecturé sa limite, puis on a proposé aux

élèves d’introduire la suite kUV nn pour démontrer la convergence de la suite nU et déterminer

sa limite l . L’interprétation de la limite par le théorème du point fixe (l vérifie llf )( ) se fait

aussi graphiquement par le logiciel de géométrie dynamique et cette tache se fait seule à la fin.

La technologie facilite le calcul et la visualisation immédiate des données sur le graphe, ce qui

aide les élèves à conjecturer les solutions et à prévoir la limite du comportement. L’approche

expérimentale permet de développer des éléments de contrôle du problème (changement des

contraintes et des paramètres) et d’articuler les différentes représentations des concepts

mathématiques introduits dans la résolution du problème (Hitt, Cotés et Rinfret, 2012).

III. CONCLUSION

La collaboration entre les disciplines donne plus de sens aux savoirs enseignés et facilite leur

intégration dans la résolution des problèmes. Elle favorise aussi le développement des

compétences transversales. Dans les situations mathématiques proposées, on essaye de faire

découvrir aux élèves le rôle des mathématiques dans la modélisation d’un phénomène réel et le

rôle de la technologie dans la création de sa simulation pour mieux comprendre son

comportement et savoir comment agir et prendre des décisions. La technologie favorise la

construction collective et participative des savoirs et leur diffusion. Elle améliore la qualité des

apprentissages en les intégrant dans la résolution des problèmes réels.

REFERENCES

Aldon G., (2017) Orchestration instrumentale, rôle du professeur dans une activité instrumentée

MOOC eFUN 2017 semaine 1.

Duval R., (1993) Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensé,

Annales de didactique et de sciences cognitives, n°5, 37-65.

Hitt, Cortès et Rinfret, (2012) Utilisation des technologies dans la classe des mathématiques au

secondaire : des outils sous-exploités, in Actes EMF2012.

Riouch L.H., (2015) Utilisation des tablettes dans des activités mathématiques, Actes

EMF2015.

Trouche L., (2005) Des artefacts aux instruments, une approche pour guider et intégrer les

usages des outils de calcul dans l’enseignement des mathématiques. Vision stratégique de la

réforme 2015 -2030 Maroc 38-44.


ENJEUX SÉMIOTIQUES DANS LA CONCEPTION D’UNE AIDE À LA

RÉSOLUTION DE PROBLÈME DE PREUVE

VENANT Fabienne – RICHARD

Philippe R.

GAGNON

Michel – HENRÍQUEZ RIVAS

Carolina

Résumé – Notre réflexion s’inscrit dans le questionnement sur la conception des technologies éducatives

proposé dans le texte de cadrage du groupe 7. Le développement de QED-Tutrix, système intelligent

d’aide à la démonstration en géométrie a en effet révélé la nécessité d'une collaboration entre didacticiens

et informaticiens Nous proposons ici de montrer comment les questions didactiques et informatiques qui

ont émergé au cours de sa conception interagissent et se complètent.

Mots-clefs : Tuteur intelligent, géométrie, démonstration, travail mathématique, genèse sémiotique

Abstract – Intelligent tutoring system, geometry, proof, mathematical work, semiotic genesis

Keywords: Our reflection fall within the question of the design of educational technologies proposed in

the framing text of group 7. The development of QED-Tutrix, an intelligent system to support

demonstration in geometry, has revealed the need for collaboration between didacticians and computer

scientists. We propose here to show how the didactic and computer issues that have emerged during its

design interact and complement each other.

Notre réflexion s’inscrit dans le questionnement sur la conception des technologies

éducatives proposé dans le texte de cadrage du groupe 7. Nous proposons ici de montrer

comment les questions didactiques et informatiques qui émergent dans la conception d’un

s st me tuteur intelligent pour l’apprentissage de la démonstration s’inter-influencent et se

compl tent L’éla oration du s st me ED-Tutrix a en effet fait apparaitre la nécessité d’une

collaboration entre didacticiens et informaticiens dont nous donnons un aperçu à travers la

question de l’accompagnement et de la validation du travail de démonstration de l’él ve par

le logiciel, dans le respect du contrat didactique de la classe. QED-Tutrix est conçu de façon

à laisser à l’apprenant une li erté totale dans l’exploration du pro l me à résoudre et dans le

choix de la preuve, tout en lui proposant un accompagnement adapté à ses choix, et en

respectant le contrat didactique habituel de la classe (Leduc et al., 2016). Pour cela, le

système doit être capa le de suivre l’activité mathématique de l’él ve en s’appu ant sur ses

propres résolutions des problèmes choisis. Cette phase de l’accompagnement pose aux

informaticiens des défis liés à la représentation et à l’organisation des différents itinéraires de

résolution pour un problème donné. Nous montrons ici comment une réflexion didactique

peut, et doit, accompagner la résolution de ces défis, qui repose sur un processus d’extraction

d’informations et d’appréhension des objets mathématiques à partir de l’énoncé de problème,

que nous appelons genèse sémiotique en référence au modèle théorique des espaces de travail

mathématiques (Kuzniak et Richard, 2014). Cette réflexion peut déboucher sur la question de

l’éla oration de conjectures de validation et d’accepta ilité d’une démonstration en contexte

scolaire.

I. LA DEMONSTRATION : UNE ACTIVITE GEOMETRIQUE

La géométrie, plus particulièrement dans un contexte de démonstration, est souvent abordée

comme une science qui constitue une « partie des mathématiques a ant pour o jet l’étude de

Université du Québec à Montréal – Canada—[email protected]

Université de Montréal – Canada – [email protected]

École Polytechnique de Montréal – Canada – [email protected]

Université de Talca – Chili – [email protected]


EMF2018 – GT 7 2

l’espace et des figures pouvant l’occuper » au sein de laquelle « les principes sont simples et

absolument vrais sans aucune restriction » (TLFI). Selon cette définition, on pourrait croire

que l’apprentissage de la géométrie s’effectue par adhésion aux concepts ou aux processus

issus du mod le théorique existant sans trop d’égard à la réalité de l’espace et des formes

Cependant l’apprentissage passe par une pratique qui s’ancre dans la réalité, par le fait même

d’exercer une activité concrète. Dans cette perspective, résoudre un problème de preuve est

une activité finalisée qui permet à l’él ve d’effectuer son travail de mathématicien en

développant son sens géométrique L’activité de démonstration favorise en effet la

compréhension de la nécessité épistémique des propriétés (Coutat et al., 2016),

l’implémentation des concepts géométriques et le développement des compétences cognitives

de l’él ve (Richard et al., 2016). Cependant, ainsi que le souligne Brousseau (2011), pour

qu’une notion mathématique soit le fruit d’une activité mathématique « il faut aussi que des

alternatives plausibles lui soient opposables et que son choix soit le résultat d’une anticipation

possible » C’est pourquoi nous voulons que, au sein du système tutoriel l’él ve soit

confronté à des pro l mes complexes Nous considérons qu’un pro l me est complexe quand

il répond aux différentes exigences définies par Richard et al. (2011) : existence de différents

processus de résolution (exigence heuristique) qui mobilisent un réseau de concepts et de

processus mathématiques (exigence cognitive), reposent sur une approche argumentative et

un raisonnement à plusieurs niveaux ou des routines non calculatoires (exigence discursive) et

permettent de développer des compétences qui vont au-delà de la simple reproduction

(exigence de compétence). Nous centrons notre exposé sur l’exigence heuristique, soit

l’existence de différents processus de résolution et la façon de la mettre en œuvre au sein

d’un s st me tuteur Pour pouvoir guider l’él ve dans la résolution d’un pro l me complexe

QED-Tutrix doit anticiper l’ensem le de ces processus puis reconnaitre celui dans lequel

l’él ve s’engage Nous présentons ci-dessous les choix de modélisation informatique qui se

sont imposés dès le début de la conception du système.

II. MODELISATION DES PROCESSUS DE RÉSOLUTION : GRAPHE HPDIC

Lorsqu’un él ve effectue son travail de mathématicien à l’école, le modèle des espaces de

travail mathématique (Kuzniak et Richard 2014) reconnaît spécifiquement l’activation de

trois genèses, entre un plan épistémologique et un plan cognitif (Figure 1). Ces genèses

permettent d’apprécier des questions comme celles de la création du sens de la validation de

propriétés ou de l’usage d’outils techniques en termes de coordination des gen ses Nous

intéressons ici aux genèses sémiotiques et discursives sous-jacentes à l’activité de

démonstration.

Figure 1 – L'Espace de Travail Mathématiques et ses genèses.


La genèse sémiotique est le processus par lequel les signifiants qu’ils soient textuels ou

figuraux, acquièrent leur statut d'objets mathématiques opérationnels. La genèse discursive est

le processus par lequel les propriétés et les résultats organisés dans le référentiel théorique

sont actionnés afin d'être disponibles pour le raisonnement mathématique et les validations

discursives. Au sein du système tutoriel, ces genèses sont prises en charge par deux processus

d’extraction et de traitement de l’information : extraction des hypothèses et des conclusions à

partir de l’énoncé du pro l me (gen se sémiotique) et organisation de ces derni res en

démonstrations accepta les sous forme d’un graphe d’inférence et d’un texte argumenté

(genèse discursive). Une inférence est une opération logique consistant à conclure la vérité

d’une proposition à partir d’autres propositions prises comme h poth ses et d’une propriété

ou d’une définition prise comme justification.

Considérons le problème suivant : ABCD est un parallélogramme de centre O ; On appelle M

le milieu de [AB] et N le milieu de [DC] ; Démontrer que (OM) est parallèle à (BC).

La figure 2 présente, sous forme de graphe, une inférence à partir de deux hypothèses

présentes dans l’énoncé du pro l me : ABCD est un parallélogramme, O est le centre du

parallélogramme. Or, « le centre de s métrie d’un parallélogramme est le point d’intersection

des diagonales » donc O est l’intersection des diagonales [AC] et [BD].

Figure 2 – Représentation d'une inférence sous forme de graphe.

Une preuve complète peut être représentée par un graphe rendant compte de

l’enchainement des inférences qui la constitue. Deux inférences s’enchainent quand la

conclusion de la première devient une hypothèse pour la suivante. Elle prend alors le statut de

résultat intermédiaire. Nous appelons un tel graphe un graphe HPDIC car il contient des

Hypothèses, des Conclusions, des résultats Intermédiaires et des Conclusions. (Leduc 2016,

Tessier-Baillargeon 2016). Les propriétés et définitions acceptables sont consignées dans un

fichier qui constitue le référentiel théorique du système. La constitution de ce fichier

informatique est le fruit du travail des didacticiens de l’équipe et repose sur des observations

en classe et de manuels scolaires.

III. MODELISER LA GENESE SEMIOTIQUE

La construction du graphe HPDIC constitue la pierre angulaire de l’architecture de ED-

Tutrix. Le défi est de le générer, à partir d’un énoncé de pro l me Il faut pour cela extraire le

résultat à démontrer, mais aussi l’ensem le des h poth ses et résultats intermédiaires qui

vont intervenir dans les démonstrations possibles, et de les structurer en un enchainement

d’inférences dont les justifications sont toutes issues du référentiel théorique. La figure 3

présente un graphe HPDIC1 représentant six preuves possibles pour le problème mentionné

dans la partie II.

1 Une version plus lisi le de ce graphe est disponi le à l’adresse :

https://www.mindomo.com/mindmap/067937c9f30f47269cd3b9e3b7779d30


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Figure 3 – Exemple de graphe HPDIC

On trouve dans ce graphe plusieurs t pes d’information :

- Les hypothèses explicites, comme ABCD est un parallélogramme. Ce sont les

informations qui sont directement accessibles dans le texte, moyennant une analyse

linguistique.

- Les hypothèses implicites. Ce sont des hypothèses qui ne nécessitent pas un pas

d’inférence, mais dérivent directement des propriétés d’un o jet présent dans une

hypothèse lexicale. Par exemple (AB) est parallèle à (CD) est sous-entendu par ABCD est

un parallélogramme.

- Les hypothèses dérivatives. Ce sont les hypothèses qui posent des objets intermédiaires

que l’on doit considérer ou construire pour avancer dans un pas de démonstration Ces

objets sont potentiellement présents dans une hypothèse lexicale, mais ne sont pas

explicitement décrits. Par exemple ABC est un triangle est porté par ABCD est un

parallélogramme, qui sous-entend implicitement que les points ABCD ne sont pas

alignés.

- Les hypothèses contextuelles. Ce sont les hypothèses qui dérivent implicitement du

contrat didactique. Par exemple, ABC est un triangle est aussi une hypothèse

contextuelle Dans cette h poth se on suppose en effet qu’on ne consid re pas le cas

limite où les points A, B, C et D sont alignés. De même, dans le graphe de la figure 2,

l’h poth se [AD] est parallèle à [BC] est une hypothèse contextuelle. En toute rigueur,

la propriété être parallèle ne s’applique pas à aux segments, mais aux droites qui les

supportent. Cependant, certains enseignants acceptent la proposition [AD] est

perpendiculaire à [BC] car elle découle de l’expression « les côtés opposés sont

parallèles » utilisée dans la définition du parallélogramme plutôt que « les droites

supports des côtés opposés sont parallèles ».


- Une conclusion explicite : le résultat à démontrer est ici clairement exprimé dans le texte.

D’autres cas de figure sont envisageables, ainsi que le résume la figure 3 ci-dessous.

La génération du graphe HPDIC à partir de l’énoncé du pro l me dé ute par l’extraction

des informations textuelles explicites à partir d’une analyse syntaxique. Il peut aussi s’agir

d’informations graphiques codées directement sur une figure incluse dans l’énoncé. Dans

notre exemple il s’agit :

d’une conclusion explicite indiquant clairement le résultat à démontrer : (OM) est

parallèle à (BC),

de trois hypothèses explicites: ABCD est un parallélogramme, M est le milieu de

[AB] et O est le centre du parallélogramme.

Cette premi re tâche ien que simple en apparence n’est pas du tout triviale. Sur le plan

informatique, elle soulève quelques questions relatives au traitement automatique de la

langue. Le logiciel doit par exemple calculer le sens du verbe appeler qui indique ici une

hypothèse, mais qui pourrait tout aussi bien indiquer une conclusion ou un résultat

intermédiaire dans d’autres énoncés comme celui-ci :« Soit ABC est un triangle. La

perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (AB) en K, la perpendiculaire à (AC) passant par

B coupe (AC) en J. Comment appelle-t-on le point d’intersection de (KC) et (BJ) ? Justifie ta

réponse. ». Il faut également reconstruire l’information O est le centre du parallélogramme à

partir de la construction syntaxique de centre O rattachée à parallélogramme, ou repérer le

résultat à démontrer en tant que complément d’o jet du ver e démontrer.

Une fois les informations lexicales extraites, le système doit prendre en charge l’extraction

des hypothèses implicites. Une première étape est le traitement de l’implicite définitoire,

c’est-à-dire le fait que tout objet géométrique en sous-entend d’autres qui constituent ses

caractéristiques. Dans notre exemple, le parallélogramme sous-entend quatre sommets, quatre

côtés consécutifs, quatre angles, deux diagonales (qui sont en fait les caractéristiques du

quadrilatère) ainsi que deux paires de côtés opposés parallèles. À cet implicite définitoire,

s’ajoute souvent un implicite dénominatif, qui permet d’instancier ces caractéristiques

générales dans des o jets géométriques particuliers Dans notre exemple l’expression ABCD

est un parallélogramme permet d’instancier les caractéristiques du parallélogramme : les

quatre sommets sont A, B, C et D, les quatre angles sont DAB, ABC, BCD et CDA, les quatre

côtés consécutifs sont [AB], [BC], [CD] et [DA], les diagonales sont [AC] et [BD], les côtés

opposés et parall les sont d’une part [AB] et [CD], et d’autre part [BC] et [AD] Dans le

même ordre d’idée l’h poth se BCD est un triangle est porteuse implicitement des

informations suivantes : BCD a trois sommets, trois côtés et trois angles, qui sont

respectivement A, B et C, [BC], [CD] et [BD], et ABC, BCA et CAB.

Dans la figure 2, la flèche épaisse à droite, représentant la déduction de la proposition (AD)

et (BC) sont parallèles à partir de la seule proposition ABCD est un parallélogramme

constitue donc un raccourci inférentiel résultant de ces deux implicites. En réalité, le logiciel

devra passer au travers des étapes suivantes :

1. Extraire du texte l’expression ABCD est un parallélogramme en tant qu’h poth se

lexicale.

2. Extraire du référentiel théorique la définition de l’o jet parallélogramme : « un

parallélogramme est un quadrilatère dont les deux côtés opposés sont parallèles ».

3. Extraire du référentiel théorique les caractéristiques du quadrilatère.

4. Reconnaître la dénomination ABCD et réaliser qu’une instanciation de

parallélogramme doit être faite.


EMF2018 – GT 7 2

5. Instancier les caractéristiques d’un quadrilat re en nommant les côtés opposés, côtés

consécutifs et diagonales.

6. Instancier la deuxième partie de la définition du parallélogramme en gérant l’implicite

contextuel et générer les deux propositions possibles [BC] et [AD] sont parallèles ou

(BC) et (AD) sont parallèles.

Ces considérations informatiques éclairent les considérations didactiques sur la lecture

d’énoncé L’él ve qui résout le pro l me est lui aussi en prise avec l’extraction des o jets

mathématiques et de leurs caractéristiques à partir des informations contenues dans l’énoncé

La question de l’importance du voca ulaire et des pratiques langagi res dans l’appréhension

des objets mathématiques prend ici tout son sens (Venant et al., 2015, Gobert, 2013). La

traduction informatique des propriétés et des hypothèses exige une grande précision dans la

définition des o jets et l’utilisation du voca ulaire alors que le langage courant peut parfois

accepter d’assimiler certains concepts comme côté et segment ou même droite et segment

dans l’expression des propriétés de parallélisme par exemple L’extraction des informations

textuelles, et la gestion des implicites, se concrétisent souvent dans la réalisation d’une figure.

Ainsi qu’une figure accompagne ou pas l’énoncé l’él ve va en tracer une pour lui-même. Le

rôle de la figure peut éventuellement aller plus loin L’él ve peut en effet construire tout ou

partie de son raisonnement de façon instrumentale (Richard et al., à venir). La modélisation

informatique que nous avons réalisée permet de mettre au jour des enjeux didactiques

présents dès les premières phases de la résolution de pro l me incluant l’importance de

l’articulation des registres sémiotiques (Duval, 1991). De plus, la question des raccourcis

inférentiels soulève celle de la validité d’une preuve en lien avec le contrat didactique : Quels

sont les implicites ? Quel est le niveau de rigueur attendu ou que peut-on considérer comme

trivial? Certaines hypothèses dans une inférence peuvent-elles être considérées comme

facultatives ? Quels cas limites traite-t-on ?

Le logiciel, quant à lui, appréhende ces questions en surgénérant des hypothèses, anticipant

au maximum celles qui sont implicites. Une fois extraites, toutes les hypothèses et

conclusions sont mises en instance discursive, mais seules certaines hypothèses seront

retenues dans le graphe complet c’est-à-dire seulement celles qui produisent un effet dans

l’ensem le des démonstrations possi les L’o tention du graphe complet c’est-à-dire l’ajout

de tous les chemins acceptables au sein du graphe, relève de la genèse discursive. Le graphe

HPDIC doit contenir toutes les inférences ou pas de démonstration qu’un didacticien ou un

enseignant jugerait acceptables en fonction du problème à résoudre, du contexte scolaire et de

l’apprentissage visé. Cette exigence d’intégration dans un contexte d’enseignement ou

d’apprentissage n’est pas anale Dans la théorie des situations didactiques en mathématiques

(Brousseau, 1998), et plus particulièrement au regard de la notion de contrat didactique, on

consid re que l’él ve et l’enseignant ont des responsa ilités réciproques par rapport aux

connaissances en jeu. On peut certes parler de règles dans un partage (asymétrique) de

responsabilités, certaines étant bien connues de tous, mais la plupart sont implicites, pouvant

résulter ien plus d’une ha itude de classe que d’une contrainte nécessaire Ainsi sur le plan

du discours et plus précisément dans une logique déductive l’enseignant peut tolérer

plusieurs types de raccourcis inférentiels parce que cela faciliterait la lecture d’une preuve ou

la rendrait pédagogiquement plus efficace De plus l’él ve qui s’initie progressivement au

discours déductif risque de trouver ses propres raccourcis inférentiels, dans un équilibre qui

évolue au fur et à mesure que lui et ses compagnons s’ha ituent au discours déductif en

mathématique. La question de la lisi ilité d’une preuve ou celle de l’accepta ilité d’un

raisonnement sont donc étroitement liées au contrat didactique c’est-à-dire à la géométrie en

tant qu’activité (Font, Richard et Gagnon 2018). Les défis didactiques que soulèvent les

genèses sémiotiques et discursives informatiques sont résumés dans la figure 5.


Figure 4 – Genèses sémiotiques et discursives dans QED-Tutrix

IV. CONCLUSION

Notre réflexion se situe au carrefour de l’informatique et de la didactique La conception

de DEX prend en compte l’usager tr s tôt dans le processus pour pouvoir le guider au

mieux. Dans cette optique, les genèses sémiotique et discursive informatiques doivent

reprendre les caractéristiques de celles de l’usager et être à la fois complémentaires et tr s

imbriquées, afin de mener à des preuves acceptables et lisibles, mais aussi de permettre la

caractérisation d’un éventuel locage de l’él ve en termes de résultats à démontrer et de

propriétés à utiliser C’est une étape indispensa le pour pouvoir proposer à l’él ve un

problème connexe qui lui permettra de dépasser son blocage. L’idée de répondre à un locage

de l’él ve en lui proposant la résolution opportune de pro l mes constitue une solution

effective à l’une des difficultés majeures de l’enseignement : éviter de donner des réponses en

même temps que les questions lorsque l’él ve est en difficulté En ce sens notre projet

soulage théoriquement un paradoxe de Brousseau (1998) que l’on appelle «paradoxe de la

dévolution» : tout ce que fait l’enseignant pour faire produire par les él ves les

comportements qu’il attend tend à diminuer l’incertitude de l’él ve et par là à priver ce

dernier des conditions nécessaires à la compréhension et à l’apprentissage de la notion visée;

si l’enseignant dit ou signifie ce qu’il veut de la part de l’él ve il ne peut plus l’o tenir que

comme exécution d’un ordre et non par l’exercice de ses connaissances et de son jugement

La notion de dévolution en tant que levier didactique pour l’enseignant et condition

indispensa le pour le développement de l’autonomie de l’él ve gagne en force et reprend ici

l’idée qu’un pro l me connexe appartient à l’espace de travail du pro l me racine et que

l’enseignant cherche à rendre cet espace à l’él ve en lui laissant la responsabilité de la

résolution. Le développement de l’autonomie dans l’apprentissage est un enjeu social majeur

REFERENCES


EMF2018 – GT 7 2

Brousseau, G. (1998). Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée Sauvage.

Brousseau, G. (2011). « La théorie des situations didactiques en mathématiques », Éducation

et didactique, vol. 5, no. 1.

Coutat, S., Laborde, C. et Richard, P. R. (2016). L’apprentissage instrument de propriétés en géométrie : propédeutique à l’acquisition d’une comp tence de d monstration,

Educational Studies in Mathematics.

Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine. Berne : Peter Lang.

Font, L., Richard, P.R. & Gagnon, M. (2018). Improving QED-Tutrix by Automating the

Generation of Proofs. In Theorem proving components for Educational software in the

Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science (EPTCS Post-Proceedings).

Gobert, S. (2013). Construire des significations dans et par le langage. Bronner A. et alii.

(Coord.). Questions vives en didactique des mathématiques : problèmes de la profession

d'enseignant, rôle du langage., La Pensée Sauvage.

Kuzniak. A., et Richard, P.R. (2014). Spaces for Mathematical Work. Viewpoints and

perspectives. - , 17(4).

Leduc, N. (2016) Dé pp ’ p à é b preuves

en géométrie. Thèse de doctorat. École Polytechnique de Montréal.

Richard, P. R. Fortuny J.M., Gagnon, M., Leduc, N. Puertas, E. et Tessier-Baillargeon, M.

(2011). Didactic and theoretical-based perspectives in the experimental development of an

intelligent tutorial system for the learning of geometry. ZDM Mathematics Education 43:

425.

Richard, P. R., Oller Marcén, A. M. et Meavilla Seguí, V. (2016). The concept of proof in the

light of mathematical work. ZDM Mathematics Education 48:843–859.

Richard, P. R., Gagnon, M. et Fortuny, J. M. (2018). Connectedness of problems and impasse

resolution in the solving process in geometry: a major educational challenge. Dans P.

Herbst, U. H. Cheah, K. Jones et P. R. Richard (Éds), International perspectives on the

teaching and learning of geometry in secondary schools. Springer.

Richard, P.R., Venant, F. et Gagnon, M. (à paraître). Issues and challenges about instrumental

proof. In Gila Hanna, David Reid et Michael de Villiers (Eds.) Proof Technology in

Mathematics Research and Teaching, Springer book series Mathematics education in the

digital era.

Tessier Baillargeon, M. (2016). GeoGebraTUTOR : Dé pp ’ y è

p ’ p ’é è en situation de résolution de problèmes de

démonstration en géométrie plane et è ’ p travail géométrique idoine.

Thèse de doctorat. Université de Montréal.

TLFI. Définition du mot géométrie. Trésor de la langue français informatisé :

http://atilf.atilf.fr; Page consultée le 2 juillet 2018.

Venant, F., Tremblay, O et Labrecque A.-A. (2015). Le lexique au carrefour des

mathématiques et du français: pistes pour travailler vocabulaire courant et

mathématique. B ’A M hé q Q éb .


SÉQUENCE DE TACHES MATHEMATIQUES AVEC LA GEOMETRIE

DYNAMIQUE

ZHU* Fangchun

Résumé – Nous étudions les connaissances des enseignants pour utiliser la géométrie dynamique à

travers les tâches qu’ils conçoivent et l’ordre dans lequel ils les proposent à leurs élèves. Nous

considérons, à partir d’exemples français et chinois, que les différents rôles que peut jouer la géométrie

dynamique dans les tâches mathématiques ainsi que les choix d’orchestration révélés par l’ordre de ces

tâches sont des moyens de caractériser la pratique et les connaissances des enseignants.

Mots-clefs : Géométrie dynamique, orchestration instrumentale, tâche, séquence

Abstract – In the study, we analyze teachers’ knowledge in choosing and organizing mathematics tasks

in dynamic geometry environment. We consider the different roles dynamic geometry plays in

mathematics tasks and then I analyze the orchestrations shown in the sequence of these mathematics

tasks. These orchestrations would reflect the characters of teaching practices, which is related to teachers’

knowledge. Two examples from France and China are selected in the study.

Keywords: Dynamic geometry, instrumental orchestration, task, sequence

Avec l’essor des technologies numériques, de nombreuses recherches se sont développées

sur la question de leurs usages et de leurs effets dans l’apprentissage des mathématiques.

Depuis les années 80, l’impact des TICE sur l’apprentissage et l’enseignement des

mathématiques a pris une place majeure dans la littérature. Pour Trouche (2003), il y a trois

raisons à cela : le potentiel des nouveaux outils, l’évolution de l’équipement des étudiants et

les injonctions institutionnelles. Ces raisons sont toujours valides en 2017 et pourtant les

usages et les pratiques ne sont toujours pas majoritaires. Notre étude considère que les

enseignants sont une des clefs de l’introduction des technologies dans les classes (Goos et

Soury-Lavergne 2010) et propose d’étudier les connaissances des enseignants relatives aux

usages et pratiques de la géométrie dynamique

Quelles sont les connaissances nécessaires aux enseignants pour faire un usage de la

géométrie dynamique qui tire parti de son potentiel ?

Nous proposons de traiter cette question à partir d’une étude des tâches conçues ou

choisies par les enseignants. Plus particulièrement nous allons nous intéresser au rôle qu’y

joue la géométrie dynamique et à l’ordre dans lequel les différentes tâches et la technologie

interviennent.

En effet, Laborde (2000) prend l’exemple du rapport entre preuve et utilisation de la

géométrie dynamique pour identifier différents rôles que joue la technologie numérique, en

particulier suivant le moment où elle est sollicitée. Son constat, appuyé sur les travaux de

Hadas, Hershkowitz and Schwarz (2000), est qu’un jeu sur l’ordre des tâches dans une

séquence et le rôle de la géométrie dynamique crée chez les élèves des raisons différentes et

les amènent à constater leurs erreurs quand ils vérifient leurs preuves avec la géométrie

dynamique. Ainsi, l’ordre des tâches proposées, articulé au rôle qu’y joue la géométrie

dynamique, modifie les stratégies et les productions des élèves.

* Institut Français de l’Education ENS de Lyon – France – [email protected]


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I. RÔLES ET ORCHESTRATIONS DE LA GEOMETRIE DYNAMIQUE

Notre analyse s’appuie sur une classification des tâches mathématiques et de leur mise en

œuvre par les enseignants. Elle est réalisée à partir de l’étude des rôles qu’y joue la géométrie

dynamique (Laborde, 2001 ; Soury-Lavergne, 2017) et de la notion d’orchestration

instrumentale (Trouche, 2003 ; Drijvers et al., 2010).

1. Les différents rôles de la géométrie dynamique dans les tâches mathématiques

Laborde (2001) distingue quatre types d’usage de la géométrie dynamique dans une tâche

mathématique, allant d’une transposition directe d’une tâche papier-crayon à celui d’un usage

innovant, non réalisable sans la technologie. Soury-Lavergne (2017) propose de regrouper ces

quatre types en deux catégories mettant l’accent soit sur la façon dont la géométrie dynamique

amplifie les possibilités du travail papier-crayon ou au contraire comment la géométrie

dynamique génère de nouveaux usages de nouveaux problèmes et éventuellement de

nouvelles conceptualisations. Ainsi, nous proposons de distinguer :

La géométrie dynamique comme amplificateur, rendant la tâche plus facile, plus rapide et

produisant plus de cas :

1. L’environnement de géométrie dynamique agit principalement comme facilitateur

des aspects matériels de la tâche, sans la modifier conceptuellement. Comme par

exemple lorsqu’il s’agit de construire un triangle, les milieux de ses côtés et ses

médianes, pour imprimer ou pour projeter la figure (au sens de dessin) obtenue.

2. L’environnement de géométrie dynamique facilite et améliore la tâche qui n’est

cependant pas considérée comme fondamentalement modifiée par rapport à sa

version en papier-crayon. Il est utilisé comme amplificateur visuel, qui augmente la

qualité et la précision des dessins et permet de produire plusieurs états à partir

d’une seule construction. Par exemple, dans la tâche d’identification des propriétés

d’une figure, il est supposé plus facile d’observer que trois droites se coupent en un

seul point, lorsque la propriété est conservée au cours de la déformation de la figure

par rapport à l’observation d’un dessin papier-crayon statique.

La géométrie dynamique comme générateur de nouvelles opportunités, contraintes et

tâches.

3. L’environnement de géométrie dynamique modifie les stratégies de résolution de la

tâche en contrôlant les possibilités d’utilisation des outils de construction

géométrique. Par exemple, la construction d’un parallélogramme sans pouvoir

utiliser l’outil « droites parallèles » amène à considérer d’autres propriétés des

parallélogrammes, comme celles sur les diagonales et à utiliser la transformation

« symétrie » centrale comme un outil de construction de base pour les points (sorte

d’inverse de l’outil milieu).

4. L’environnement de géométrie dynamique permet de concevoir de nouvelles tâches

mathématiques, qui n’auraient pas de « raison d’être » (Laborde, 2001, p 293) sans

la technologie numérique. Par exemple les tâches de type boîte noire (Charrière,

1995), pour lesquelles il s’agit de reproduire une figure dynamique, qu’il est

possible d’explorer mais dont le processus de construction n’est pas connu. La

reproduction concerne non seulement les différents états statiques, mais également

les phénomènes dynamiques produits de façon continue au cours du déplacement

des points.


Ces différentes façons d’utiliser la géométrie dynamique dans une tâche mathématique font

appel à des genèses instrumentales distinctes qui nécessitent de la part des enseignants une

mise en œuvre particulière avec leurs élèves. La gestion par l’enseignant des genèses

instrumentales des élèves est modélisée par l’orchestration instrumentale (Trouche 2003).

2. Les orchestrations instrumentales associées aux tâches

L’orchestration instrumentale montre un aspect de la complexité de l’intégration des

technologies numériques et permet d’anticiper les difficultés des enseignants et des élèves

dans leur utilisation.

Une orchestration instrumentale est définie par la façon dont les enseignants organisent

leur classe avec les différents artefacts disponibles, pour aider les élèves dans leur

apprentissage (Trouche, 2003 ; Drijvers et al., 2010). Pour notre étude, nous considérons

comme artefact les tâches mathématiques proposées et l’environnement de géométrie

dynamique disponible. Elle est décrite à travers trois éléments différents et leur mise en

relation : la configuration didactique, le mode d’exploitation et la performance didactique. La

configuration didactique correspond aux « agencements des artefacts dans l’environnement à

chaque phase de la situation » (Trouche 2003, p. 39). Le mode d’exploitation décrit le

scénario de la mise en œuvre, les régulations et les articulations entre les interventions de

l’enseignant et des élèves, les interactions collectives et individuelles et le recours aux

différents artefacts. L’idée de performance didactique a été introduite (Drijvers et al., 2010)

pour tenir compte des adaptations nécessaires des configurations et exploitation au cours du

déroulement effectif de la classe, en ce qui concerne l’accompagnement des genèses

instrumentales des élèves.

Cette contribution étudie les deux premiers éléments : la configuration didactique qui

décrit les choix de l’enseignant pour l’utilisation des tâches mathématiques avec la géométrie

dynamique et leur configuration et mise en œuvre en classe ; le mode d’exploitation qui

permet de prendre en compte la séquence de tâche conçue et proposée aux élèves, avec le rôle

qu’y joue l’environnement de géométrie dynamique.

II. DEUX EXEMPLES CHINOIS ET FRANÇAIS ET ANALYSE

Pour répondre à notre question sur les connaissances des enseignants, nous avons choisi

d’analyser deux exemples de tâches mathématiques scolaires, utilisant la géométrie

dynamique, à l’aide du cadre présenté ci-dessus. Nous avons choisi une série de tâches venant

de Chine, présentées dans une courte vidéo affichée sur un réseau social officieux

d’enseignants (weechat group, réseau social très populaire en Chine). Cette vidéo montre une

situation de résolution de problème de lieu géométrique, avec le logiciel Geometer Sketchpad.

La vidéo en ligne ne s’adresse pas directement aux étudiants, donc rend difficile son analyse

du point de vue des orchestrations instrumentales. Nous avons également analysé une série de

tâches de construction de triangle avec GeoGebra, présentée dans une fiche adressée à des

élèves de 5e en France, fiche communiquée par un enseignant de collège.

Une partie de la méthodologie prévue inclut l’analyse des tâches, l’observation du

déroulement de la classe et deux interviews de l’enseignant avant et après la classe. En

particulier, nous souhaitons l’interviewer avant la classe pour recueillir ses intentions quant à

l’ordre des tâches proposées et ses objectifs. Lors de l’interview après la classe, nous

souhaitons recueillir son avis à propos d’autres types de tâches, notamment en effectuant un

croisement entre la Chine et la France, et les possibilités qu’il aurait de les utiliser ou pas, en


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les modifiant éventuellement. Nous ne présentons ici que l’analyse préalable d’exemples de

séries de tâches, pour valider la faisabilité et l’intérêt d’une telle analyse.

1. Les séquences de tâches

L’exemple chinois (figures 1, 2) présente un problème de lieu à partir de deux triangles

donnés, un triangle rectangle ABC et un triangle équilatéral DBE, avec AB=BC. Le point D

bouge entre les points A et C. La question posée est de trouver le lieu du point E et sa

longueur. Les tâches successives sont constituées du même problème avec une variation des

propriétés du triangle BDE. Au cours de la vidéo, l’enseignant décrit la figure, pose la

question puis déplace le point D sur la figure dynamique de façon à faire apparaître la

trajectoire de E. La construction du lieu de E n’est pas montrée à l’écran.

Figure 1 – Images de la vidéo chinoise sur la résolution d’un problème de lieu avec Geometer Sketchpad

Figure 2 – Les autres quatre tâches dans la vidéo chinoise de lieu avec Geometer Sketchpad

L’exemple français est constitué d’une fiche élève qui liste les instructions pour construire

un triangle avec GeoGebra (figure 3). Une première partie guide la première tâche en

indiquant pas à pas les instructions pour construire un triangle à partir de la donnée des

mesures des longueurs de ses trois côtés. Une deuxième partie contient la même tâche, sans le

guidage pas à pas. Le déplacement des sommets des triangles construits n’est pas sollicité

dans la fiche.

Figure 3 – Fiche élève niveau 5e pour la construction d’un triangle avec GeoGebra


2. Analyse des deux exemples

La tâche chinoise relève d’une utilisation de la géométrie dynamique pour générer des

nouveaux usages. En effet, l’observation directe de la génération d’un lieu géométrique n’est

pas possible sans la technologie. Sans la technologie, ces tâches ne sont pas résolues de la

même manière. Chacune des quatre tâches est une déclinaison du même problème, sans

changement du rôle que joue la géométrie dynamique. L’existence de la vidéo permet de

prévoir qu’une façon possible d’utiliser ces tâches est de présenter le problème et sa

résolution comme dans la vidéo. D’après cette vidéo, la façon dont l’enseignant utilise la

technologie est traditionnelle, avec une centration du côté de l’enseignant.

Dans l’activité décrite par la fiche française, les tâches font un usage de la géométrie

dynamique pour amplifier le papier-crayon. La précision des instructions pas à pas montre

que l’enseignant anticipe le fait que la résolution n’est pas une simple transposition de la

procédure papier-crayon. Cependant l’enjeu est bien uniquement de produire une figure de

triangle, sans que le choix des outils de construction soit problématisé pour l’élève. Pour un

même type de construction, d’autres séquences de tâches avec la géométrie dynamique

permettent de donner un autre rôle à la technologie, comme dans l’exemple des constructions

de triangle par Voltolini (2014). L’usage de la technologie reste le même dans les deux

tâches, qui ne varient que par le détails des instructions de construction, la seconde étant

considérée comme l’application à l’identique de la procédure décrite pour la première tâche.

Ces tâches sont orientées sur la technologie, mais contrairement à l’exemple chinois, il est

bien prévu que les élèves manipulent directement l’environnement de géométrie dynamique.

III. UN USAGE DES TECHNOLOGIES NUMERIQUES ENCORE LIMITE EN

MATHEMATIQUE

Du point de vue de la recherche, la géométrie dynamique est encore utilisée de façon

limitée dans les classes. Deux rôles importants de la géométrie dynamique dans les tâches

mathématiques ont été identifiés : rôle d’amplificateur et rôle de générateur.

Dans l’exemple chinois, la technologie de géométrie dynamique est utilisée pour générer

de nouvelles façons de résoudre un problème, mais est accompagnée d’une orchestration

basée sur une organisation de classe centrée sur l’enseignant, qui seul manipule la technologie

et contrôle l’avancée de la résolution du problème. Le rôle joué par la géométrie dynamique

dans les tâches de l’exemple français est plus celui d’un amplificateur d’une activité qui

pourrait être réalisée en papier-crayon. Elle favorise une orchestration basée sur une

organisation de classe plus centrée sur l’élève. Ces deux exemples permettent d’envisager les

analyses à conduire à partir des données que nous soumettrons aux enseignants participant à

notre recherche.

Les développements à prévoir concernent l’élaboration d’un modèle d’analyse qui mette en

relation plus directement le rôle de la géométrie dynamique dans les tâches et la complexité

que cela représente du point de vue des enseignants, avec les différentes orchestrations et le

contrôle charrière ou moins fort de l’enseignant. En effet, dans l’exemple chinois, la tâche

dans laquelle la géométrie dynamique joue un rôle de générateur de nouvelles stratégies de

résolution s’accompagne d’un contrôle renforcé par l’enseignant, alors que dans l’activité

française, la tâche peu problématique, très technique, s’accompagne d’une autonomie plus

importante laissée aux élèves. Les enseignants ne peuvent-ils faire un usage avancé de la

géométrie dynamique qu’au prix d’une moindre autonomie des élèves ?


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REFERENCES

Charrière, P.-M. (1995). Boîtes noires, 9. Retrieved from http://icosaweb.ac-

reunion.fr/GeomJava/abraCAda/M_abra.html

Drijvers, P., Doorman, M., Boon, P., Reed, H., & Gravemeijer, K. (2010). The teacher and

the tool: Instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom.

Educational Studies in mathematics, 75(2), 213-234.

Goos, M., & Soury-Lavergne, S. (2010). Teachers and teaching: theoretical perspectives and

classroom implementation. In C. Hoyles & J.-B. Lagrange (Eds.), Mathematics Education

and Technology-Rethinking the Terrain (pp. 311–328). Springer.

Hadas, N., Hershkowitz, R., & Schwarz, B. B. (2000). The role of contradiction and

uncertainty in promoting the need to prove in dynamic geometry

environments. Educational studies in Mathematics, 44(1), 127-150.

Laborde, C. (2000). Dynamic geometry environments as a source of rich learning contexts for

the complex activity of proving.Educational Studies in Mathematics, 44(1), 151-161.

Laborde, C. (2001). Integration of technology in the design of geometry tasks with Cabri-

Geometry. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6(3), 283-

317.

Soury-Lavergne, S. (2017). Duos d’artefacts tangibles et numériques et objets connect és

pour apprendre et faire apprendre les mathématiques (HDR dissertation, Ecole Normale

Supérieure de Lyon-ENS LYON; Institut Français de l'Education).

Trouche, L. (2003). Construction et conduite des instruments dans les apprentissages

mathématiques: nécessité des orchestrations.

Voltolini, A. (2014). Un duo d'artefacts virtuel et matériel pour apprendre à construire un

triangle à la règle et au compas. Grand N, 94, 25–46.


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Espace mathématique francophone 2018...ACHTAICH * Naceur ± DIYER * Okacha ± NAJIB ** Khalid Résumé Dans ce travail, nous proposons d' étendre le PRGqOHG DSSUHQWLVVDJH de M. Marcel