FARE MATEMATICA FARE MATEMATICA

Anna Paola Longo Esperienza e ragione

nello sviluppo della geometria 9 maggio 2017

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Da oggetti reali a immagini idealizzate

Nel mondo antico (Egitto, oriente) la geometria appare collegata alle esigenze di: capire e descrivere il mondo fisico, rappresentarlo nell’arte, intervenire nella tecnica. I greci inoltre: studiano le figure geometriche da un punto di vista teorico, astratto, indipendente dalle finalità pratiche; sviluppano il metodo della dimostrazione per condurre ragionamenti di validità generale.

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Henri Poincaré (1902)

Poincarè chiama spazio rappresentativo il quadro delle nostre sensazioni e delle nostre rappresentazioni. Lo spazio geometrico si discosta dallo spazio rappresentativo. “La geometria ha per oggetto certi solidi ideali, assolutamente invariabili, i quali non sono che un’immagine semplificata e molto lontana dei solidi reali. La nozione di questi corpi ideali è interamente frutto della nostra mente e l’esperienza non costituisce che l’occasione che ci spinge a farla emergere”.

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Ragione e esperienza

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Fare geometria comincia dunque dall’esperienza, ma non si esaurisce a questo livello. La fantasia crea immagini e concetti astratti, sui quali opera la ragione. Nota: la ragione vive nelle strutture del corpo, opera dentro l’esperienza. Lo sviluppo della geometria nella storia ci fa comprendere come opera la ragione, ci permette di cogliere meglio l’intreccio tra esperienza e ragione.

Ragione e esperienza

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La geometria è legata alla misura, ma lo studio della geometria non può ridursi al calcolo di lunghezze, aree e volumi, trasformando problemi geometrici in problemi aritmetici. Questi problemi sono limitativi perché accentuano l’uso di formule e in questo modo riducono il valore geometrico. Quanto vedremo oggi, riprende e amplia l’articolo: «Geometria nella scuola primaria: sintesi dei contenuti e della loro successione temporale» Quaderno Ma.P.Es 2011 sulla geometria

Proprietà e relazioni: come guardiamo gli oggetti

Questa pera è matura (è una proprietà) Il burro è giallo (è una proprietà) La penna è sopra al tavolo (è una relazione) Le matite possono essere ordinate secondo la loro lunghezza, cioè secondo una relazione d’ordine. In un piano, il parallelismo tra rette è una relazione di equivalenza. Un fascio di rette parallele definisce una direzione .

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Transitività Per ordinare 3 segmenti A, B, C operiamo i possibili confronti tra le loro lunghezze: ………………………….. A …………………… B ……………… C Verifica diretta: A > B e B > C; il confronto tra A e C è una conseguenza: A > C. Questa è la “proprietà transitiva della relazione d’ordine”. Viene afferrata dal bambino in modo intuitivo nella ripetizione di esperienze, come conoscenza implicita, sperimentata come un comportamento conveniente. Esplicitazione del sapere: si riconosce che la transitività è verificata da tutte le relazioni d'ordine e si impara ad esprimerla con il linguaggio tecnico.

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Relazione d’ordine La relazione d’ordine permette di stabilire una gerarchia tra gli elementi di un insieme senza che vi siano mai due elementi nello stesso posto. Ha le proprietà: antisimmetrica, transitiva, antiriflessiva. Esempio: “è a sinistra di” è una relazione d’ordine. Se A è a sinistra di B, B non è necessariamente a sinistra di A, in realtà si può invece affermare cha B è necessariamente a destra di A. Quindi non è simmetrica ma antisimmetrica. Se A è a sinistra di B, B certamente non è a sinistra di A, anzi esiste una relazione reciproca «è a destra di» (antisimmetria)

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Altri esempi

Altre relazioni di questo tipo con figure ritagliate: possiamo mettere in ordine una serie di piccoli quadrati, secondo la lunghezza del lato; Serie di figure, alcuni quadrati e alcuni rettangoli. Non va bene il criterio precedente: il rettangolo è caratterizzato da due misure indipendenti; Un criterio possibile: l’estensione. Come confrontare le estensioni delle figure ritagliate? Occorre definire una via operativa per il confronto

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Ordine e misura

Gli insiemi di grandezze in cui si può porre la misura, sono dotati di ordine, infatti il primo passo della misura è il confronto. E’ utile studiare il confronto in molti insiemi di oggetti di diverso tipo, in vista della misura, perché diversi sono i criteri effettivi per il confronto. Ogni insieme concreto ha una sua propria relazione d’ordine, secondo la quale dobbiamo confrontare le coppie di elementi.

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Simmetria: una relazione binaria R è simmetrica se, e soltanto se, ogni volta che R vale tra un elemento x e un elemento y, vale necessariamente anche tra y e x. «Abita nella stessa città di», se Andrea abita nella stessa città di Piero, Piero abita nella stessa città di Andrea Transitività : una relazione binaria R è transitiva se, e soltanto se, ogni volta che vale tra x e y e tra y e z, allora vale necessariamente tra x e z. Riflessività: una relazione binaria è riflessiva se, e solo se, ogni elemento è necessariamente in relazione con se stesso. «E’ alto come», Andrea è necessariamente alto come se stesso Antiriflessiva: nessun elemento dell’insieme è in relazione con se stesso, esempio: «è figlio di», nessuno è figlio di se stesso

Proprietà delle relazioni

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…continua…

Antisimmetria: se xRy e yRx, allora risulta x=y. «E’ all’interno di», se la scatola rossa è all’interno della scatola blu, la scatola blu non è certamente all’interno della scatola rossa. Antitransitività: se vale tra x e y e anche tra y e z, non vale tra x e z; esempio «è padre di»; x è padre di y e y è padre di z, x è nonno di z .

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Relazione di equivalenza Concetto matematico che esprime in termini formali quello intuitivo di «oggetti che condividono una stessa proprietà». Ogni rel. di eq. è simmetrica, riflessiva, transitiva, suddivide l’insieme I su cui è data in «classi di equivalenza» tra loro separate. Ogni elemento a di I appartiene ad una classe, due classi non hanno elementi comuni: se b fosse elemento comune, le due classi coinciderebbero. L’insieme delle classi di equivalenza su I si chiama «insieme quoziente» di I rispetto alla relazione R ed esprime una nuova definizione

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Relazione di equivalenza

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Esempio I: insieme di tutte le automobili del Piemonte, R: «ha lo stesso colore di» Una classe di equivalenza: quella delle automobili verdi La perpendicolarità tra rette nel piano non è una relazione di equivalenza, infatti non è transitiva: se r è perpendicolare ad s e se inoltre s è perpendicolare a t, la prima retta r e l’ultima t non sono tra loro perpendicolari. Esercizio Fare alcune verifiche usando le definizioni delle proprietà delle relazioni. Ripetere la dimostrazione per il parallelismo di rette nello spazio.

Perpendicolarità

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Ricordare: due rette nel piano sono perpendicolari se incontrandosi formano angoli uguali. E’ utile che ogni bambino abbia un modello di angolo retto con cui esplorare la realtà che lo circonda. Distanza di un punto P da una retta r: 1. Insieme D delle distanze di P dai punti Q, S, H di r 2. d(P,r) è PH, la minima delle distanze precedenti H H

Q

P

S

Parallelismo

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Il parallelismo tra rette nel piano è una relazione simmetrica: se la retta r è parallela alla retta s, allora s è necessariamente parallela ad r. Il parallelismo è una relazione riflessiva: una retta r si può ritenere parallela a se stessa; Ricordare: due rette r ed s di un piano sono parallele se non si incontrano; se sono parallele la loro distanza è costante, cioè i punti di r hanno tutti la stessa distanza da s. Le classi di equivalenza sono i fasci di rette parallele (direzioni)

Altri esempi

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La relazione “è a sinistra di” non è simmetrica, perché se Piero è a sinistra di Laura, allora necessariamente Laura è a destra di Piero (e quindi non a sinistra); la relazione “è a sinistra di” non è riflessiva perché non si può considerare una persona a sinistra di se stessa. Anche la perpendicolarità non è riflessiva.

Dall’equivalenza…

La relazione di equivalenza nell’insieme delle frazioni permette di definire i numeri razionali: ogni classe di equivalenza, cioè ogni frazione insieme a tutte quelle ad essa equivalenti, è un numero razionale (unico), rappresentato con uno degli elementi della classe. Nella definizione di direzione e di numero razionale si vede bene in cosa consiste la creatività della matematica, dare vita a nuovi enti.

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Equiscomponibilità Misura dell’area di una figura piana: Secondo la definizione, ricoprire la figura con la stessa unità di misura (per esempio tanti quadrati uguali), è facile nel rettangolo con misure dei lati intere. Unità della lunghezza del lato: cm ; unità dell’ area del rettangolo cm2

Rettangolo con misure decimali: si operano cambiamenti di unità di misura Altre figure? Tentativo: equiscomponibilità, che è una relazione di equivalenza

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Con uno stesso tangram: costruiamo figure di “forma” diversa, composte con gli stessi pezzi, esse hanno la stessa area. E’ un utile esercizio per i bambini costruire figure equiscomponibili, una volta assegnato un gruppo di figure base. Per il cerchio non è più possibile, entriamo nel mondo della approssimazione, verso idee molto generali

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Equiscomponibilità

Geometria montessoriana: provoca i bambini alla scoperta Maria Montessori applica i suoi criteri educativi all’insegnamento dell’aritmetica e della geometria. Spagna, 1934, pubblica Psico Aritmetica e Psico Geometria. «Psicoaritmetica» è tradotto in Italia nel 1971 da Garzanti, «Psicogeometria» è tradotto solo nel 2011 (Opera Nazionale Montessori). Nel testo sulla geometria studia le figure piane attraverso «incastri» fatti di diversi materiali.

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In un incastro (nome dato dall’autrice) una figura geometrica piana è contenuta in una cornice, che favorisce la distinzione tra l’estensione e la forma, partendo dal livello sensoriale.

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Geometria montessoriana

Chiama “valore” di una figura l’estensione della superficie occupata, distingue figure uguali da figure simili (diverso valore, stessa forma) considera equivalenti le figure piane che hanno la stessa area; pone interessanti esercizi su figure uguali, simili, equivalenti.

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Geometria montessoriana

Esercita la ragione senza indulgere sui calcoli, ma chiedendo di riconoscere figure equivalenti a causa della proprietà transitiva Suddivide un quadrato secondo la mediana in due rettangoli uguali, ciascuno di questi viene suddiviso in due quadrati uguali che valgono ¼ del quadrato grande e hanno il lato metà di esso. Ripete la suddivisione e trova una successione di coppie di figure uguali: due rettangoli, due quadrati, due rettangoli, due quadrati. I rettangoli sono simili tra loro e ugualmente i quadrati sono simili tra loro.

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Geometria montessoriana

Ripete la suddivisione usando le diagonali del quadrato: genera due triangoli uguali, ciascuno è la metà del quadrato, ha lo stesso valore del primo rettangolo ottenuto nella prima suddivisione. “Con le due diagonali, si divide il quadrato in quattro triangoli che sono tutti uguali tra loro: ciascuno di questi triangoli ha come valore la metà del triangolo precedente, cioè la quarta parte del quadrato” (pag. 67)

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Geometria montessoriana

….ancora….

Nelle suddivisioni successive si hanno triangoli che sono la metà di quelli nella precedente serie. Svolge considerazioni sulla “somiglianza” dei triangoli ottenuti e conclude. “Ora è tempo di fare una considerazione sul valore delle figure. Abbiamo una serie di figure quadrangolari e triangolari che hanno una corrispondenza tra loro: il valore rispetto al quadrato, da cui derivano.

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Il rettangolo grande che viene dalla prima suddivisione lungo una mediana, è metà del quadrato. E il triangolo che risulta dalla prima suddivisione secondo una diagonale è pure metà del quadrato. Essi dunque hanno lo stesso valore, benché siano di forme tanto diverse che senza questo ragionamento, non si troverebbe nessun rapporto tra loro (vedi slide 23).

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Geometria montessoriana

I sensi ci direbbero solo che sono figure assolutamente diverse. E’ il ragionamento che ci fa capire indirettamente quanto sono invece vicine: esse sono uguali in valore: hanno la identica estensione. Le figure che essendo dissimili, hanno però lo stesso valore, si chiamano equivalenti (cioè hanno uguale valore)”. “Quella della equivalenza è una ricerca che porta molte riflessioni; e non basta più guardare – osservare – per vederle, ma occorre ragionare per scoprirle” (pag. 69)

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Geometria montessoriana

Infinito Euclide concepiva la retta come un segmento indefinitamente prolungabile. Sul piano operativo facciamo un’esperienza semplice: suddividiamo una corda in due parti uguali, consideriamo poi una delle due parti e ripetiamo la suddivisione in due parti uguali. Domanda: quante suddivisioni successive possiamo operare?

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Le condizioni materiali diventano ben presto un ostacolo per l’azione. Se idealizziamo la corda in un segmento, l’ostacolo posto dagli strumenti viene meno e possiamo immaginare di continuare a suddividere quante volte vogliamo. Ecco l’intuizione di un procedimento senza fine, se riuscissimo a liberarci degli ostacoli posti dagli strumenti. Come dare forma razionale a questa intuizione? Il lavoro prosegue per secoli, esplicitando l’intuizione del continuo

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Infinito

Invece di suddividere il segmento, possiamo prolungarlo e disegnare sulla retta che lo contiene alcuni segmenti uguali ad esso. Segnando sulla retta gli estremi di questi segmenti, si individua una successione di punti equidistanti. Quando abbiamo esaurito lo spazio dobbiamo fermarci. Questo è il momento in cui proseguiamo con l’immaginazione e scopriamo che il processo idealizzato non ha termine. Ecco il mondo fantastico della geometria, anzi della matematica. Una vera sorpresa: con i modelli ideali della geometria comprenderemo meglio i fenomeni reali.

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Infinito

Contiamo i punti di segmenti e rette

Stabiliamo una corrispondenza biunivoca tra due segmenti. Tra essi, uno sembra molto più lungo dell’altro, ma si può concludere che “i punti” di uno sono “tanti-quanti” i punti dell'altro. La nostra idea di punto resiste a questa sorpresa? Le due rette AC e BD che passano per gli estremi dei segmenti, si incontrano in P (non sono parallele). Ogni retta per P incontra ciascuno dei due segmenti , che si corrispondono. Questa corrispondenza è biunivoca (uno-uno)

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conseguenza

Un’immagine troppo vincolante ostacolerebbe l'ampliamento successivo del modello. Questo è un esempio dell’analisi critica della ragione, che guida l’evoluzione storica della geometria.

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Contiamo i punti di segmenti e rette

Possiamo mettere in corrispondenza biunivoca anche i punti di un segmento e i punti di una retta, che quindi sono ancora “tanti-quanti” nonostante che il confronto intuitivo suggerisca il contrario. Una contraddizione non è un pericolo, ma un ponte di lancio per raffinare le nostre rappresentazioni mentali.

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L’infinito è spesso contro-intuitivo, e può generare ostacoli didattici. D’Amore: certi enti in geometria, come punto, retta, piano, si chiamano «primitivi» perché si è deciso di non definirli in modo esplicito, ma solo di darne descrizioni e poi usarli. E’ il loro uso che li fa costruire mentalmente come concetti. (D’Amore, 2008, pag. 108). Sono diffuse false concezioni sul punto e le distorte idee intuitive riescono a vincolare l’apprendimento matematico successivo. “Nel parlare dei punti matematici riferiti ad una retta, un insegnante di scuola primaria afferma: “Anche se si fanno piccoli piccoli, i punti, più di tanti non ce ne stanno in una retta (ma intende dire segmento)”.

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Contro l’intuizione

La differenza tra un oggetto fisico e il modello ideale elaborato dalla geometria è oggetto di discussione nel «Dialogo sui massimi sistemi» di Galileo. L’argomento è il contatto di una sfera con una sua tangente, si tratterà di in solo punto anche nel caso reale?... Non è facile accordare i due piani, ma l’esempio serve a distinguerli Nasce dalla geometria il concetto di approssimazione, che porterà alla definizione di nuovi numeri. E’ significativa l’esperienza di Danila Miserotti: «Area di figure irregolari a contorno curvilineo» pubblicata sugli Atti del Seminario Ma.P.Es del 2011 dedicato alla geometria.

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Tra reale e ideale…

La retta numerica La “retta numerica” è la corrispondenza biunivoca tra i punti di una retta geometrica (orientata) e l’insieme dei numeri reali. Nell’insegnamento si costruisce per tappe successive. Nella scuola primaria, diventa spesso una semiretta con tante tacche equidistanti e non è chiaro se ai numeri corrispondono punti o segmenti: i segmenti sono uno strumento indispensabile per costruire la corrispondenza, che però è posta tra numeri e punti. E' un inizio accettabile, se non ostacola successivi ampliamenti. Per ora sarà uno strumento utile.

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Diventerà davvero la retta numerica, quando si arriverà a concludere che l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei punti di una retta hanno la stessa natura. E’ un esempio di costruzione a lungo termine del pensiero matematico attraverso ampliamenti successivi.

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La retta numerica

L’inizio è nell’esperienza fisica: fare passi su una linea “dritta” segnata sul pavimento in aula o in palestra, specificando la differenza tra direzione (la retta) e verso (i due modi possibili di percorrerla), camminando come fanno i bambini piccoli sul bordo del marciapiede quando sperimentano l'equilibrio. Si contano i passi muovendosi su quella direzione ma su versi opposti, secondo le direttive ricevute a voce o con una rappresentazione del percorso su un foglietto, mediante frecce o altri simboli.

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La retta numerica

Si passa alla rappresentazione grafica sulla lavagna o sul quaderno ponendo attenzione alla posizione di inizio, a cui si attribuisce un segno, che diventerà poi “0” secondo le abitudini comuni. Ci sarà un passaggio da convenzioni personali o della classe, a convenzioni universali. Facciamo passi uguali, interpretiamo i passi in avanti come somme e i passi indietro come sottrazioni. Agganciamo così le operazioni di somma e sottrazione al movimento del corpo e alle rappresentazioni geometriche. Questo modello è particolarmente usato con gli allievi in difficoltà, ma l’esperienza del corpo è strumento di apprendimento per tutti.

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La retta numerica

Le proposte di esplorazione dello spazio attraverso il corpo vanno inserite all’interno della programmazione comune rivolta alla classe. La didattica basata sull’esperienza e sul fare è alla base di una vera inclusione. “Se si mira giustamente alla forma operativa della conoscenza, non c’è scelta più ragionevole di mettere gli allievi in situazioni che propongano il più possibile le proprietà che si vogliono vedere padroneggiate; e di analizzare la loro attività in situazione.” (Vergnaud, 2008).

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La retta numerica

Geometria in palestra )

Classe quinta, uso del corpo per insegnare la geometria. (Torino) Alcuni bambini sdraiati a terra hanno la funzione di bastoncini. Altri, gli architetti, devono spostarli per disegnare angoli e figure geometriche. Per farlo, discutono le relazioni che devono rappresentare e completano con l’immaginazione alcune imprecisioni. Ad esempio se un bambino sdraiato é troppo lungo o troppo corto, si accordano per inventare soluzioni nel comporre la figura desiderata, iniziando a distaccarsi dalle condizioni reali per idealizzare la configurazione che stanno eseguendo.

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E’ proprio questo il momento in cui nasce l’astrazione, si parla di un oggetto reale ma si pensa ad un oggetto idealizzato. Successivamente in classe descrivono l’esperienza fatta, guardandola da due punti di vista diversi: quello materiale (i bambini, gli spostamenti eseguiti) e quello dell’immaginazione in cui gli oggetti sono ideali. I due punti di vista generano due linguaggi diversi ma corrispondenti, su cui procedono in parallelo anche nella registrazione sul quaderno.

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Geometria in palestra

Verticale e orizzontale Nel mondo fisico esiste una direzione speciale, la verticale, che vediamo nella direzione del filo a piombo usato nelle costruzioni. E’ la direzione del nostro corpo mentre camminiamo, la direzione del tronco di un albero o della caduta libera di un corpo. Sono tutti fenomeni legati alla forza di gravità. Nello spazio geometrico, isotropo, non ci sono invece direzioni privilegiate. Da un diario della scuola di Castione

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Verticale e orizzontale

Grazie alla forza di gravità, non siamo fluttuanti nello spazio come se fossimo dentro una navicella spaziale. In ogni punto dello spazio immaginiamo un piano perpendicolare alla retta verticale, detto piano orizzontale (su cui è il nostro orizzonte). Il primo piano orizzontale di cui facciamo esperienza è quello su cui camminiamo.

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Verticale e orizzontale Vicino a Viterbo, nel Parco di Bomarzo, si incontra un edificio singolare, la Casa Pendente, un’abitazione (visitabile) costruita sopra un masso inclinato. Non appena varcata la soglia, la prospettiva inganna i nostri occhi fino a farci perdere l’equilibrio. Un’esperienza sensoriale spiazzante che ci rivela il nostro legame con la forza di gravità!

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Figure appese a un filo Nella geometria le proprietà sono indipendenti dalla posizione nello spazio. Ci aiutano: Uso di carta bianca piegature della carta Origami Non esiste più la coppia «retta verticale, piano orizzontale»

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Base e altezza di un rettangolo Vertice di una piramide Base di un cono Queste parole si possono usare in geometria se semplificano, ma occorre senso critico. Resta la configurazione «piano, retta perpendicolare» indipendentemente dalla direzione della retta

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Tracce di evoluzione, scoperte nel linguaggio

L’altezza di un triangolo o le altezze?

Esperienza in prima media, trasferibile alla primaria. L’insegnante chiede di tracciare l’altezza su ciascuno dei triangoli di cartoncino che stavano osservando. Non riescono! L’indagine rivela che per i bambini la parola «altezza» è legata alla loro altezza personale e quindi alla direzione verticale. L’insegnante «fa uscire» dal piano i triangoli, appoggiati lungo uno dei lati. Tracciata l’altezza, si incollano sul quaderno a occhi chiusi. Con la guida dell’insegnante, avvengono molte scoperte!

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