L’irrazionalitànellamatematicagreca ... · Quello che segue è il testo originale della dimostrazione dell’incom-mensurabilità del lato e della diagonale di un quadrato tratta

Alma Mater Studiorum middot Universitagrave di Bologna

FACOLTArsquo DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALICorso di Laurea Specialistica in Matematica

Lrsquoirrazionalitagrave nella matematica grecaparticolarmente in Aristotele

Tesi di laurea in Storia della Matematica

Relatore Chiarmo Prof Presentata da

SALVATORE COEN PATRIZIA AMERISE

terza SessioneAnno Accademico 200910

Alla mia famiglia

Introduzione

Egrave ormai universalmente accettato che furono i Greci a scoprire lrsquoesi-stenza dellrsquoαλoγoν cioegrave dellrsquoirrazionalitagrave Tuttavia essi non introdusseromai questo concetto tra i numeri nessun autore antico infatti usa mailrsquoespressione αλoγoς αριτmicrooς (numero irrazionale) Il numero irraziona-le non esiste nella Grecia antica i termini stessi αρρητoς (indicibile) eαλoγoς (che non si puograve esprimere come λoγoς cioegrave come rapporto di duenumeri interi) stanno ad indicare questo fatto Lrsquoirrazionalitagrave per i Grecisignificograve incommensurabilitagrave cioegrave impossibilitagrave di trovare un sottomultiplocomune a due grandezze lrsquoaritmetica dunque rimase limitata ai numeriinteri e razionali positivi mentre la geometria poteacute cogliere la nuova real-tagrave ed avere nuovi ed importanti sviluppi Per rendere conto della primadimostrazione dellrsquoesistenza di una grandezza irrazionale gli storici dellascienza e i commentatori di Aristotele fanno riferimento ad un testo sul-lrsquoincommensurabilitagrave della diagonale che si trova nei Primi Analitici (41a24- 50a 37) In questo testo Aristotele fa un cenno a quella che dovevaessere la dimostrazione dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diagonaledel quadrato Si tratta di una dimostrazione per assurdo se lato e dia-gonale fossero commensurabili un numero dovrebbe essere insieme pari edispari In uno scolio allrsquoultima proposizione del libro X degli Elementi diEuclide (nellrsquoedizione di Heiberg si trova in appendice) egrave sviluppata unadimostrazione che segue la traccia aristotelica tuttavia gli editori modernia partire dal 1829 con E F August lrsquohanno omessa dal testo euclideo nontrovando alcun legame tra la dimostrazione e il resto del libro XNel primo capitolo vengono presentate le dimostrazioni usuali proposte chefanno tutte riferimento al modello che si trova alla fine del libro X degliElementiNel secondo capitolo presenteremo alcune dimostrazioni geometriche ed unaricostruzione alternativa che si basa sul metodo dellrsquoanthyphairesis Tut-tavia per quanto seducente possa apparire questa ricostruzione essa nontrova alcun riscontro nelle fonti Le prime testimonianze relative allrsquoirra-zionalitagrave collegano sempre la scoperta agli studi del rapporto tra lato e

i

ii

diagonale del quadratoIl problema egrave che le dimostrazioni proposte nel primo capitolo passanotutte attraverso la rappresentazione delle frazioni come rapporto di dueinteri relativamente primi vale a dire attraverso la proposizione VII22 de-gli Elementi e questo non corrisponde agli scritti aristotelici Infatti laproposizione VII22 egrave dimostrata per assurdo ma neacute Platone neacute Aristoteleparlando dellrsquoincommensurabilitagrave fanno riferimento ad una dimostrazionein cui si annidano lrsquouno dentro lrsquoaltro due ragionamenti per assurdo ilprimo per dimostrare la proprietagrave di rappresentazione dei rapporti tra duenumeri interi tramite due interi relativamente primi poi da ligrave lrsquoimpossibi-litagrave della razionalitagrave di radice quadrata di 2Nel terzo capitolo verragrave proposta allora una nuova dimostrazione ricostrui-ta da Salomon Ofman conforme al testo dei Primi Analitici e fondata sulmetodo molto antico della decomposizione pari e dispari Non passandoattraverso la proposizione VII22 neacute attraverso nessunrsquoaltra proposizionedimostrata per assurdo questa irrazionalitagrave appariragrave come il primo risul-tato che non si puograve dimostrare attraverso nessun altro metodo Grandeimportanza ha quindi questa dimostrazione che rende conto della centrali-tagrave che acquista il ragionamento per assurdo prima in matematica poi intutti i tipi di discorsi razionali

Indice

Introduzione i

1 Dimostrazioni Standard 111 Sulle origini della scoperta degli irrazionali 112 Le dimostrazioni dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della dia-

gonale del quadrato 3121 Dimostrazione tratta dallrsquoedizione degli Elementi di

Heiberg 4122 Dimostrazione degli Elementi 6123 Dimostrazione di Alessandro drsquoAfrodisia 8124 Dimostrazione alternativa degli Elementi 10

13 Sullrsquoautenticitagrave delle dimostrazioni precedenti 10

2 Dimostrazioni geometriche 1321 La scoperta dellrsquoincommensurabile nel Menone di Platone 1422 Dimostrazione pari-dispari - variante geometrica 1823 Dimostrazione per successive sottrazioni reciproche anthy-

phairesis 21231 Applicazione al quadrato 23232 Applicazione al pentagono regolare 26

24 (In)Fondatezza della tesi precedente 2725 Numeri laterali e numeri diagonali 3026 Numeri laterali e diagonali e successioni di Cauchy 3427 Origine dei numeri laterali e diagonali 35

3 Lrsquoirrazionalitagrave diradic

2 in Aristotele Una nuova ipotesi 3931 Il testo di Aristotele 3932 Il metodo di decomposizione paridispari 4233 Proprietagrave della decomposizione paridispari 4434 La dimostrazione dellrsquoincommensurabilitagrave della diagonale al

lato del quadrato 44

iii

iv Indice

35 Conseguenze 4636 Una dimostrazione che non si espone alle critiche aristoteliche 4837 Origine del ragionamento per assurdo 51

4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1

Dimostrazioni Standard

11 Sulle origini della scoperta degli irrazio-nali

La data e le modalitagrave della scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave non sonoconosciute esattamente anche se molto si egrave scritto a sostegno di questa o diquella ipotesi Tre autori circa settecento anni dopo la scoperta ci dannoalcune informazioni sulle origini della teoria dellrsquoincommensurabilitagrave ma egravedifficile stabilire quanta validitagrave storica abbiano queste informazioniSecondo Pappo1 la teoria dellrsquoincommensurabilitagrave ha avuto origine nellascuola Pitagorica egli riporta la tradizione secondo cui il membro di questasetta che per primo divulgograve il segreto dellrsquoincommensurabilitagrave fu fatto mori-re in mare e raccontando questa storia gioca sul termine per ldquoincommensu-rabilerdquo αλoγoς (aacutelogos) o αρρητoς (aacuterretos) che possono significare entrambildquoirrazionalerdquo e ldquoineffabilerdquo indicando quindi sia il significato tecnico che reli-gioso della scoperta2 Un secondo testimone Proclo (Costantinopoli 410 ca- Atene 485) in un passo molto citato3 ascrive a Pitagora stesso la ldquoteoriadegli irrazionalirdquo laquoegli infatti iniziograve la trattazione delle grandezze irrazio-nali e trovograve la costruzione delle figure cosmicheraquo [65-66 ed it pp 71-72]La prima parte dellrsquoaffermazione di Proclo τ ην τ ων αλoγων πραγmicroατειαν(ldquola teoria degli irrazionalirdquo) egrave stata centro di vari dibattiti si egrave infatti moltodiscusso sul significato del termine αλoγων Fabricius sembra essere stato

1Fu uno dei piugrave importanti matematici del periodo tardo ellenistico Della sua vita siconosce ben poco e anche le date della sua nascita e della sua morte sono assai incerteSembra accertata solo la data del 320 d C anno intorno al quale ha scritto un commentoallrsquoAlmagesto di Claudio Tolomeo

2Pappo The Commentary of Pappus on Book X of Euclidrsquos Elements3Proclo Commento al 1 libro degli Elementi di Euclide

1

2 1 Dimostrazioni Standard

il primo a registrare la variante αναλoγων che egrave stata notata anche daE F August αναλoγων non egrave la forma corretta della parola ma il suosignificato egrave ldquoproporzionerdquo o ldquoproporzionalerdquo e la vera lettura puograve esseresia τ ων αναλoγιων (ldquoproporzionirdquo) o piugrave probabilmente τ ων ανα λoγoν(ldquoproporzionalirdquo) Diels legge τ ων ανα λoγoν e sembrerebbe come ha sot-tolineato T Heath4 che vi sia un accordo generale sul fatto che αλoγων egraveerrato e la teoria che Proclo intende attribuire a Pitagora sia la teoria del-le proporzioni o proporzionali non degli irrazionali Heath ha sottolineatoanche come lrsquoattribuzione della teoria degli irrazionali a Pitagora si verifi-ca in una proposizione che ha lrsquoaspetto di una glossa Il fatto che questocommento sia stato omesso in unrsquoaltra versione del sommario di Eudemorafforza la tesi che si tratti di una aggiunta tardiva Ad ogni modo il testodi Proclo egrave evidentemente una fonte discutibile sulla quale basare qualsiasiconclusione circa le origini della teoria dellrsquoincommensurabilitagraveIl terzo testimone Giamblico (Calcide 245 ca - 325 ca dC) dagrave unaserie di notizie sui Pitagorici e le origini di questa teoria permutando econfondendo in diversi modi varie differenti leggende quali la scoperta del-lrsquoirrazionale la costruzione del dodecaedro la carriera di Ippaso e la mortein mare di qualche empio Pitagorico

Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici ma che per averdivulgato per primo la costruzione della sfera di dodici penta-goni perisse in mare come empio (246)Colui che per primorivelograve la natura delle grandezze commensurabili e incommensu-rabili agli indegni di partecipare a tali cognizioni si dice cheincorresse in tanto odio che non solo fu escluso da ogni compa-gnia e convivenza ma anche gli fu costruita una tomba come secolui chrsquoera una volta un compagno avesse davvero cessato divivere (247)Altri dicono che anche la divinitagrave si adirasse con idivulgatori delle dottrine di Pitagora Perigrave infatti come empioin mare colui che rivelograve come srsquoiscrive nella sfera lrsquoicosagonocioegrave il dodecaedro una delle cinque figure dette solide Alcuniperograve narrano che questo accadesse a colui che aveva propagatola dottrina degli irrazionali e degli incommensurabili5

La tradizione che Giamblico conserva fornisce tuttavia poco da utilizzareper la datazione delle origini della teoria dato che praticamente nientrsquoaltroegrave noto di Ippaso Tuttavia un certo numero di storici ha scelto di leggerein questi resoconti un intrinseco collegamento tra la scoperta dellrsquoincom-mensurabilitagrave e quella della costruzione del dodecaedro attraverso lo studio

4 [10] pp84-855Vit Pyth 88 de comm math sc 25 p 77 18-24

12 Le dimostrazioni dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diagonale del quadrato 3

della suddivisione dei segmenti in estrema e media ragione conosciuto nellaletteratura moderna come ldquosezione aureardquo Ma vedremo anche che il conte-sto della prima scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave puograve essere visto solo comelo studio del lato e della diagonale del quadrato

12 Le dimostrazioni dellrsquoincommensurabili-tagrave del lato e della diagonale del quadrato

In contrasto con Giamblico che associa lrsquoirrazionale al dodecaedro e aisegmenti divisi in estrema e media ragione gli scrittori del quarto secoloPlatone e Aristotele parlano sempre dellrsquoincommensurabilitagrave nel contestodel lato e della diagonale del quadrato Lrsquouso che Aristotele fa di esem-pi di incommensurabilitagrave mostra che esso era un risultato familiare al suopubblico Esso era giagrave presumibilmente entrato nella tradizione dei ma-nuali di geometria del suo tempo Ma egli non accredita mai la scopertaai Pitagorici nonostante le sue frequenti discussioni sulle loro dottrine Alcontrario parlando dei principi cosmologici Aristotele riferisce cosigrave il puntodi vista pitagorico

laquoI Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le fe-cero progredire e nutriti dalle medesime credettero che i prin-cipi di queste fossero principi di tutti gli esseri E poicheacute nellematematiche i numeri sono per loro natura i principi primi eappunto nei numeri essi ritenevano di vedere piugrave che nel fuocoe nella terra e nellrsquoacqua molte somiglianze con le cose che so-no e che si generano [] pensarono che gli elementi dei numerifossero elementi di tutte le coseraquo6

e questo dogma che puograve essere riassunto ldquotutte le cose sono numerirdquo egrave in-compatibile con lrsquoaccettazione dellrsquoirrazionale7 Da Platone invece si puogravericavare lrsquoimpressione che la diffusione della conoscenza delle grandezze in-commensurabili fosse ai suoi tempi abbastanza recente Ma dal momentoche egli sembra accreditare a Teodoro dei progressi nella teoria dellrsquoincom-mensurabilitagrave e poicheacute Platone molto probabilmente egrave venuto a conoscen-za di questo lavoro durante il suo viaggio a Cirene un porsquo di tempo dopoil 390 aC possiamo tranquillamente affermare che lrsquoincommensurabilitagrave egrave

6Metafisica A 5 985b24- 986a27Infatti in questo caso si dovrebbe abbandonare lrsquoidea pitagorica del punto-monade

occupante una porzione di spazio in favore del punto concepito come punto ideale cheoccupa una posizione ma che egrave privo di estensione


stata scoperta prima Ma egrave difficile determinare quanto primaAristotele in aggiunta per mostrarci che lrsquoesempio caratteristico dellrsquoin-commensurabilitagrave era quello del lato e della diagonale del quadrato ci dagraveun indizio sulla natura della dimostrazione dalla quale questa incommensu-rabilitagrave egrave stata stabilita Nella sua esposizione del metodo di ragionamentoper assurdo egli rimanda alla dimostrazione in questo modo se il lato ela diagonale sono supposti commensurabili si puograve dedurre che i numeridispari sono uguali ai numeri pari 8 questo assurdo ci dagrave lrsquoincommensura-bilitagrave delle grandezze considerate Come si vede questa indicazione egrave moltoscarna ma riporta i tratti fondamentali della dimostrazione e come OskarBecker ha osservato9 ogni variante possibile della dimostrazione effettivadeve seguire questa descrizione In uno scolio allrsquoultima proposizione dellibro X degli Elementi di Euclide egrave sviluppata una dimostrazione moltonota (numerata a volte X117) che segue la traccia aristotelica Conside-rando inoltre che lrsquoinclusione di questa dimostrazione negli Elementi puograveessere giustificata solo per interesse storico della dimostrazione poicheacute lasua collocazione non ha alcuna incidenza sullo sviluppo delle proposizionidel libro X egrave stato generalmente sostenuto che si dovrebbe accettare que-sta versione come la forma originale da cui lrsquoincommensurabilitagrave egrave statascoperta egrave dimostrataPoicheacute questo testo egrave importante per i discorsi seguenti lo riportiamo quidi seguito

121 Dimostrazione tratta dallrsquoedizione degli Elemen-ti di Heiberg

Quello che segue egrave il testo originale della dimostrazione dellrsquoincom-mensurabilitagrave del lato e della diagonale di un quadrato tratta dallrsquoedi-zione di JLHeiberg dellrsquoopera Euclidis Elementa libro X appendice 27pp408-411

Προκείσδω ἡμῖν δεῖξαι ὅτι ἑπὶ

τῶν τετραγώνων σχημάτων ἀσύμ-

Propositum sit nobis demon-strare in figuris quadratis diame-

μετρός έστιν ἡ διάμτρος τῇ πλευρᾷ trum latusque longitudine incom-μήκει mensurabilia esse

8Vedremo in seguito che sono i dispari che crollano nei pari9 [2]


῎Εστω τετράγωνον τὸ ABΓ∆διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ AΓ λέγω

Sit ABΓ∆ quadratum diame-trus autem eius AΓ dico ΓAAB

ὅτι ἡ ΓA ἀσύμμετρός ἐστι τῇ AB longitudine incommensurabiles es-μήκει seΕἰ γὰρ δυνατόν ἔστω σύμμε-

τρος λέγω ὅτι συμβήσεται τὸν

Nam si fieri potest commensu-raliles sint dico fore ut idem nu-

αὐτὸν ἀριθμὸν ἄρτιον εἶναι καὶ πε- merus et par et impar sit mani-ρισσόν φανερὸν μὲν οὖν ὅτι τὸ festum igitur esse AΓ 2 = 2AB2

ἀπὸ τῆς AΓ διπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς [I47] et quoniam ΓAAB com-AB καὶ ἐπεὶ σύμμετρός ἐστιν ἠ mensurabiles sunt ΓA AB ratio-ΓA τῇ AB ἡ ΓA ἄρα πρὸς τὴν AB nem habet

λόγον ἔχει ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθ-

quam numerus ad numerum[propVI] sit

μόν ἐχέτω ὂν ὁ EZ πρὸς H καὶ ΓA AB = EZ H

ἒστωσαν οἱ EZ H ἐλάχιστοι τῶνet EZH minimi sint eorum

qui eandem rationem habent [cfrτὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς VII 33] itaque EZ unitas non estοὐκ ῎ρα μονὰς ἐστὶν ὁ EZ εἰ γὰρ si enim est unitas etἔσται μονὰς ὁ EZ ἔχει δὲ λόγον EZ H = AΓ AB

πρὸς τὸν H ὃν ἔχει ἡ AΓ πρὸςet AΓ gt AB erit etiam EZ gt

H unitas numero [V 14] quod ab-τὴς AB και μείξων ἡ AΓ τῆς AB surdum est quare EZ unitas nonμείξων ἄρα καὶ ἡ EZ τοῦ H ἀριθ- est ergo numerus est et quoniamμοῦ ὅπερ ἄτοπον οὐκ ἄρα μονάς est ΓA AB = EZ H erit etiamἐστιν ὁ EZ ἀριθμὸς ἄρα καὶ ἐπεί ΓA2 AB2 = EZ2 H2

ἐστιν ὡς ἡ ΓA πρὸς τὴν AB οὕτος[VI 20 coroll VIII11] uerum

ΓA2 = 2AB2 itaque etiam EZ2 =ὁ EZ πρὸς τὸν H καὶ ὡς ἄρα τὸ 2H2 quare EZ2 par est itaqueἀπὸ τῆς ΓA πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς AB etiam ipse EZ par est nam si im-οὕτως ὁ ἀπὸ τοῦ EZ πρὸς τὸν ἀπὸ par esset etiam quadratum eiusτοῦ H διπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς impar esset quoniam si numeriΓA τοῦ ἀπὸ τῆς AB διπλασσίων impares componuntur et multitu-ἄρα καί ὁ ἀπὸ τοῦ EZ τοῦ ἀπὸ do eorum impar est totus imparτοῦ H ἄρτιος ἄρα ἐστὶν ὁ ἀπὸ τοῦ est [IX 23] ergo EZ par est in ΘEZ ὥστε καί αὐτὸς ὁ EZ ἄρτιός in duas partes aequales secetur etἐστιν εἰ γὰρ ἦν περισσός καὶ quoniam EZ H minimi sunt eo-ὁ ἀπ᾿ αὐτοῦ τετράγωνος περισσὸς rum qui eanden rationem habentἦν ἐπειδήπερ ἐὰν περισσοὶ ἀριθ- inter se primi sunt [VII 21] etμοὶ ὁποσοιοῦν συντεθῶσιν τὸ δὲ EZ par est itaque H impar estπλῆθος αὐτῶν περισσὸν ᾖ ὁ ὅλος nam si par esset binas numerosπερισσός ἐστιν ὁ EZ ἄρα ἄρτί- EZ H metiretur (omnis enim nu-


ος ἐστιν τετμήσθω δίχα καρὰ τὸ merus par partem dimidiam habetΘ κα` ἐπεὶ οἱ EZ H ἐλάχιστοί [VII def 6]) qui inter se primiεἰσι τῶν τὸν αὐτὸν λὸγον ἐχόν- sunt quod fieri non potest er-των [αὐτοῖς] πρῶτοι πρὸς ἀλλή- go H par non est impar igiturλους εἰσιν καὶ ὁ EZ ἀρτιος πε- est et quoniam EZ = 2EΘ eritρισσὸς ἄρα ἐστὶν ὁ H εἰ γὰρ [VIII 1] EZ2 = 4EΘ2 est autemἦν ἄρτιος τοὺς EZ H δυὰς ἐμέ- EZ2 = 2H2 itaque H2 = 2EΘ2τρει πᾶς γὰρ ἄρτιος ἔχει μέρος ἥμι- quare H2 par est itaque propterσυ πρώτους ὄντας πρὸς ἀλλὴλους ea quae diximus [p 408 23 sq]ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον οὐκ ἄρα H par est at idem impar est quodἄρτιός ἐστιν ὁ H περισσός ἄρα fieri non potest ergo ΓA ABκαὶ ἐπεὶ διπλάσιος ὁ EZ τοῦ EΘ longitudine commensurabiles nonτετραπλάσιος ἀρα ὁ ἀπὸ EZ τοῦ sunt quod erat demonstrandumἀπὸ EΘ διπλάσιος δὲ ὁ ἀπὸ τοῦEZ τοῦ ἀπὸ τοῦ H διπλὰσιος ἄραὁ ἀπὸ τοῦ H τοῦ ἀπὸ EΘ ἄρτιοςἄρα ἐστιν ὁ ἀπὸ τοῦ H ἄρτιος ἄραδιὰ τὰ εἰρημένα ὁ H ἀλλὰ καὶ πε-ρισσός ὄπερ ἐστὶν αδύνατον οὐκ

άρα σύμμετρός ἐστιν ἡ ΓA τῇ ABμήκει ὅπερ ἔδει δεῖξαι

122 Dimostrazione degli Elementi

Dimostriamo che nei quadrati la diagonale egrave incommensurabile con illato10

Fig 11

10Traduzione dal testo latino di JLHeiberg presentato nel paragrafo 121


Dimostrazione Sia ABΓ∆ un quadrato dove AΓ egrave la diagonale Dimo-striamo che AΓ egrave incommensurabile in lunghezza con ABIpotesi Per assurdo supponiamo che AΓ sia commensurabile con ABSeguiragrave allora che lo stesso numero egrave pari e dispariOra egrave chiaro che il quadrato costruito su AΓ egrave il doppio del quadrato co-struito su AB11 cioegrave AΓ 2 = 2AB2 Poicheacute AΓ egrave commensurabile con ABallora AΓ avragrave con AB lo stesso rapporto che un numero ha con un altro12Sia ΓA AB = EZ H e siano questi numeri EZ e H i piugrave piccoli numeriche abbiano questo rapporto [cfr VII33]Allora EZ non egrave lrsquounitagrave Se EZ fosse lrsquounitagrave e EZ H = AΓ AB essendoAΓ piugrave grande di AB allora anche EZ sarebbe piugrave grande di H il che egraveimpossibile13 Cosigrave EZ non egrave lrsquounitagrave quindi egrave un numeroRisultato 1 EZ egrave pariPoicheacute ΓA AB = EZ H cosigrave anche ΓA2 AB2 = EZ2 H2 14 OraΓA2 = 2AB2 cosigrave anche EZ2 = 2H2 Quindi EZ2 egrave un numero pari cosigraveanche EZ egrave pari Se fosse dispari il suo quadrato sarebbe anche disparipoicheacute se sommiamo un numero dispari di termini dispari il tutto egrave dispa-ri15 Cosigrave EZ egrave pari Sia diviso in due parti uguali in ΘRisultato 2 H egrave dispariPoicheacute EZ e H sono i piugrave piccoli numeri che hanno questo dato rapportoessi sono relativamente primi [VII21]16 Poicheacute EZ egrave pari allora H egrave di-spari Se fosse pari sarebbero entrambi multipli di 2 [VII def6] e quindinon sarebbero relativamente primi contro lrsquoipotesi Quindi H egrave dispariConseguenzaPoicheacute EZ = 2EΘ 17 EZ2 = 4EΘ2 Ma EZ2 = 2H2 cosigrave H2 = 2EΘ2 Co-sigrave H2 egrave pari e quindi H egrave pari Ma H egrave anche dispari il che egrave impossibileQuindi ΓA egrave incommensurabile in lunghezza con ABChe egrave ciograve che dovevamo dimostrare

Knorr ha messo in evidenza18 come nei passi intermedi lrsquoautore di que-sta versione abbia usato un metodo che ci si aspetterebbe in una provapitagorica anche se non lrsquoha esattamente capita cioegrave il fatto che EZ nonpossa essere unrsquounitagrave I Pitagorici in particolare Filolao e Archita vede-

11Segue dal teorema di Pitagora Elementi I4712Elementi X513Percheacute stiamo supponendo che EZ egrave lrsquounitagrave e quindi non egrave divisibile14Elementi X915Elementi IX2316Nel testo si fa riferimento alla proposizione VII21 degli Elementi che nella

numerazione moderna corrisponde a VII2217Percheacute per ipotesi Θ divide in due EZ18 [12] p 24


vano lrsquounitagrave come una sorta di ibrido contemporaneamente dispari e parianche se non come un numero propriamente parlando19 Quindi in questadimostrazione il risultato che H egrave contemporanemante dispari e pari nonsarebbe mai di per seacute possibile per H che non egrave lrsquounitagrave Cosigrave lrsquoautore do-vrebbe avere dimostrato che H non egrave lrsquounitagrave non che non lo egrave EZ Questopasso infatti egrave dato correttamente in una dimostrazione alternativa delteorema presente negli Elementi (vedere 124) Ma egrave importante osservareche il passo in entrambi i casi egrave inutile in questa particolare forma delladimostrazione in cui lrsquounitagrave egrave stata considerata un termine dispari20

123 Dimostrazione di Alessandro drsquoAfrodisia

Nella ricerca delle origini dellrsquoirrazionalitagrave egrave importante sottolinea Knorrutilizzare testi che non derivino unicamente dagli Elementi che egrave ciograve ag-giunge che non hanno fatto gli storici precedentiSi trova una tale dimostrazione nei Commentari agli Analitici Primi diAlessandro drsquoAfrodisia (III secolo dC)

Dimostrazione Dimostriamo che la diagonale di un quadrato egrave incommen-surabile in lunghezza con il latoIpotesi Per assurdo supponiamo che la diagonale e il lato del quadratosiano commensurabiliSe la diagonale e il lato del quadrato fossero commensurabili essi avrebberoil rapporto di numeri interi diciamo a b 21 Sia questo rapporto ridotto aiminimi termini cioegrave a e b sono relativamente primiOra anche a2 e b2 saranno relativamente primi22

19Aristotele nella Metafisica (A 5 986a 16-20) riportando la concezione Pitagoricaafferma

laquoEssi pongono poi come elementi costitutivi del numero il pari e il dispa-ri di questi il primo egrave illimitato il secondo egrave limitato LrsquoUno deriva daentrambi questi elementi percheacute egrave insieme pari e dispari DallrsquoUno poiprocede il numero e i numeri come si egrave detto costituirebbero tutto quantolrsquouniversoraquo

Cioegrave lrsquoUno ha in seacute sia la natura del pari che quella del dispari percheacute se egrave sommato adun dispari dagrave un pari se egrave sommato ad un pari dagrave un dispari

20Questa concezione dellrsquounitagrave come dispari egrave consistente con le definizioni di Euclideed egrave stata utilizzata da alcuni matematici ma non dai Pitagorici giagrave questo quindi mettein dubbio che questa possa essere la dimostrazione vista dai Pitagorici

21Alessandro fa riferimento alla proposizione X4 che nella numerazione modernacorrisponde a X5

22Elementi VII27


Risultato 1rsquo a2 egrave pariDalla costruzione fatta si vede che a2 e b2 si trovano nella medesima propor-zione che il quadrato sulla diagonale al quadrato sul lato cioegrave a2 b2 = 2 123 Quindi a2 egrave pari percheacute egrave il doppio del numero b2Risultato 1rsquobis b2 egrave pariSe un numero quadrato egrave divisibile per 2 anche la sua metagrave lo egrave Quindianche b2 (metagrave di a2) saragrave pariRisultato 2rsquo b2 egrave disparib2 egrave anche dispari poicheacute a2 e b2 sono relativamente primi e a2 egrave pari duenumeri pari non possono essere relativamente primi dal momento che ilnumero 2 li dividerebbe entrambiConseguenzaDallrsquoipotesi di relativa primalitagrave uno o entrambi i numeri a2 e b2 devonoessere dispari ma dallrsquoipotesi di commensurabilitagrave segue che a2 e b2 sonoentrambi pari Questa contraddizione dimostra lrsquoincommensurabilitagrave del la-to e della diagonale e rende chiara lrsquoosservazione di Aristotele che lrsquoipotesidella commensurabilitagrave rende i numeri dispari uguali ai numeri pari

Questa dimostrazione egrave una prova basata sul pari e dispari ma si vede ab-bastanza chiaramente che la sua origine non egrave la versione euclidea (X117)che abbiamo ricevuto Alessandro fa qui delle citazioni dagli Elementi chesono drsquoaccordo parola per parola con la tradizione manoscritta conserva-ta Questo porta a pensare che egli possedesse una copia degli Elementisostanzialmente della stessa forma del manoscritto in nostro possesso mache la sua copia non includesse una dimostrazione di incommensurabilitagravedel lato e della diagonale basata sulle proprietagrave dei numeri pari e dispari eche quindi egli abbia ricavato questa dimostrazione da qualche altra fonteCome sottolinea Knorr24 egrave come se Alessandro avesse avuto a disposizioneuna prova piugrave generale e lrsquoavesse modificata per soddisfare le esigenze delpassaggio di Aristotele Si puograve anche vedere dove questa dimostrazionediverge dalla sua fonte Per tutta la prima parte della dimostrazione Ales-sandro cita Euclide per spiegare i suoi passaggi Ma non appena introducei numeri pari e dispari le citazioni degli Elementi sono omesse e Alessandrousa anche un teorema le metagrave di numeri quadrati pari sono pari che noncompare in Euclide

23Indicata con d la diagonale e con l il lato del quadrato si ha che se d l = a b allorad2 l2 = a2 b2 Ora poicheacute i quadrati costruiti sulla diagonale e sul lato stanno tra lorocome 21 cioegrave il quadrato costruito sulla diagonale egrave il doppio del quadrato costruito sullato a2 e b2 devono stare nella stessa proporzione (si assume qui che se due rapporti sonouguali tra loro sono uguali anche i rapporti duplicati)

24 [12] pp228-229


Inoltre contrariamente alla dimostrazione degli Elementi la contraddizione(essere pari e dispari) e piugrave generalmente la dimostrazione non riguardapiugrave i due numeri il cui rapporto egrave uguale al rapporto tra lato e diagonaledel quadrato ma i quadrati di questi numeri

124 Dimostrazione alternativa degli Elementi

Unrsquoaltra dimostrazione dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diago-nale egrave stata conservata in alcuni manoscritti dellrsquoopera di Euclide Questadimostrazione puograve essere parafrasata nel modo seguente

Dimostrazione Sia A la diagonale di un quadrato e B il latoIpotesi A e B sono commensurabiliEsisteranno allora un intero c e un intero d tali che A B = c d Possiamoprendere c e d ridotti ai minimi termini cioegrave c e d relativamente primiRisultato 1rdquo d non egrave lrsquounitagraveDallrsquoipotesi A B = c d segue A2 B2 = c2 d2 ma A2 = 2B2 cosigravec2 = 2d2 Quindi se d fosse lrsquounitagrave allora c2 sarebbe uguale a 2 Ma questoegrave impossibile poicheacute 2 non egrave quadrato di un intero quindi d non egrave lrsquounitagraveRisultato 2rdquo c e d non sono relativamente primiDal momento che A2 B2 = c2 d2 e B2 egrave misura di A2 cosigrave anche d2 egravemisura di c2 Ma quando un numero quadrato misura un altro numero qua-drato il corrispondente lato del primo misura il lato del secondo25 Cioegrave degrave misura sia di c che di d e abbiamo dimostrato che d non egrave lrsquounitagrave Quindic e d non sono relativamente primiConseguenza Siamo giunti ad un assurdo Quindi A e B sono incom-mensurabili

13 Sullrsquoautenticitagrave delle dimostrazioni precedenti

Sulla dimostrazione che si trova alla fine del libro X degli Elementi nel-lrsquoedizione di Heiberg (cf sopra 122) gli storici adottano punti di vistadifferenti La maggior parte pensa che essa non sia di Euclide O Bec-ker osserva anzi che gli editori moderni (a cominciare da E F August nel1829) hanno omesso la proposizione in questione dal corpo principale deltesto percheacute non vedevano alcuna connessione tra essa e il resto del libroX

25Euclide VIII14 Se un numero quadrato ne divide un altro anche il lato del pri-mo divideragrave il lato del secondo [ ] Letteralmente Se un numero quadrato misura unquadrato anche il lato misureragrave il lato [ ]


Secondo Becker26 e anche secondo Aacute Szaboacute27 si tratta di una proposi-zione molto antica molto anteriore allrsquoopera di Euclide Sarebbe stato lui(o i suoi primi editori) che lrsquoavrebbe(ro) aggiunta allrsquoopera percheacute ritenu-ta degna di essere conservata per ragioni storiche eo come testimonianzaessenziale delle origini della matematica e sarebbe proprio questa la provacui fa riferimneto AristoteleA favore dellrsquoantichitagrave di questa dimostrazione vi egrave la sua applicazione del-la decomposizione paridispari in accordo con il breve cenno di Aristotelealla dimostrazione Tuttavia vari aspetti non avrebbero potuto essere parteintegrante dellrsquooriginale scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave Innanzitutto ladimostrazione (come anche le successive due dimostrazioni presentate) egravemessa nel formato di una reductio ad absurdum Il risultato lrsquoincommen-surabilitagrave del lato e della diagonale egrave enunciato in via preliminare Questonon poteva essere vero per la scoperta originaria dellrsquoincommensurabilitagraveI Pitagorici hanno postulato gli interi come fondamento di tutte le coselrsquoesistenza di grandezze incommensurabili avrebbe sovvertito questo pre-supposto filosofico Quindi lrsquoaffermazione dellrsquoincommensurabilitagrave del latoe della diagonale sarebbe difficilmente lrsquoadeguato punto di partenza per glistudi pitagorici di queste grandezze Anzi secondo Knorr i primi studidevono avere assunto la forma di ricerche per i numeri che esprimessero ilrapporto di tali grandezze Cioegrave la commensurabilitagrave egrave stata unrsquoipotesiimplicita in questo studio e la contraddizione dedotta che tutti i numeridispari sono pari egrave sorta in modo imprevisto Nel riesaminare tale ragio-namento i Pitagorici avrebbero infine riconosciuto lrsquoipotesi errata che ledue grandezze sono state prese commensurabiliUna seconda prova della rielaborazione in questa dimostrazione egrave lrsquoutilizzodi teoremi che sono troppo generali per i loro fini I numeri EZ e H sonopresi come i piugrave piccoli termini che danno quel rapporto Viene quindirichiamata la proposizione VII22 degli Elementi che afferma i piugrave piccolitermini fra quanti abbiano tra loro uno stesso rapporto sono relativamenteprimi Ma la dimostrazione non richiede questa condizione in tutta la suageneralitagrave Tutto ciograve che serve egrave che i termini EZ e H non siano sceltientrambi pari Unrsquoaltra indicazione di una mano editoriale successiva egraveil modo di dimostrare che il quadrato di un dispari egrave dispari Il testo citaIX23 Se si somma un numero dispari di numeri dispari pure il totale saragravedispari Ma ancora questo richiamo egrave troppo generale per il caso attua-le I Pitagorici avrebbero fatto piuttosto riferimento alla rappresentazionegrafica puntiforme di un numero dispari quadrato dal quale il risultato ne-

26 [2] p 53427 [18] p 233


cessario egrave ovvio Certamente non crsquoegrave stato un appello a un teorema comeIX23 parte di una teoria formalizzata del dispari e del pariVi egrave un ulteriore modo piugrave profondo in cui la prova egrave stata rivista peressere conforme con lo stile degli Elementi Seguendo la prassi di Euclidenel libro X numeri e grandezze sono attentamente distinte Per esempionella prova citata lrsquoautore trasferisce la supposta commensurabilitagrave di AΓe AB in una condizione aritmetica con lrsquoappello a X5 le grandezze com-mensurabili hanno fra loro il rapporto che un numero ha con un numeroe questrsquoultimo egrave un rapporto di numeri interi Dopo ottiene la condizioneessenziale EZ2 = 2H2 tramite X9 quadrati di rette commensurabili in lun-ghezza hanno fra loro il rapporto che un numero quadrato ha con un numeroquadrato [ ] cioegrave AΓ AB = EZ H se e solo se AΓ2 AB2 = EZ2 H2e poicheacute AΓ2 = 2AB2 si ha il risultato Abbastanza chiaramente questaesplicita espressione della relazione di grandezze commensurabili e interinon sarebbe stata disponibile nel momento delle prime scoperte e studi sul-lrsquoincommensurabilitagraveCome sostiene Knorr egrave solo a partire dallrsquoepoca euclidea che ha avutoluogo una separazione rigorosa tra numeri e grandezze quando lrsquoautore diquesta dimostrazione distingue con molta cura tra di essi28 Lrsquoapprocciopitagorico saragrave stato piugrave ldquoingenuordquo nel senso che grandezze e interi saran-no stati interscambiati senza tener conto delle difficoltagrave formali coinvolteQuindi gli studi pitagorici portando a questo riconoscimento non avrebbe-ro separato le grandezze dai numeri come egrave stato fatto nella dimostrazionedellrsquoincommensurabilitagrave degli Elementi Egrave per questo che egli propone unaricostruzione della prova pitagorica laquopurificata di questi tratti anacronisti-ciraquo a partire dal Menone di Platone29Secondo S Ofman30 il fatto stesso che Alessandro costruisca la dimostra-zione data in 123 egrave unrsquoulteriore dimostrazione del fatto che la dimostra-zione dellrsquoincommensurabilitagrave data in 122 non egrave quella cui fa riferimentoAristotele Infatti se questa dimostrazione fosse giagrave esistita giagrave ai tempidi Alessandro egli non avrebbe avuto bisogno di ricostruirla ma avrebbepotuto fare esplicito riferimento ad essa

28La motivazione per la separazione delle grandezze e dei numeri risiede nelriconoscimento dellrsquoesistenza di grandezze incommensurabili

29Questa dimostrazione verragrave proposta in 2130 [13] p 92

Capitolo 2

Dimostrazioni geometriche

Le dimostrazioni per assurdo presentate nel capitolo precedente hannoun carattere troppo evoluto e astratto per costituire il primo passo nellaconoscenza scientifica dellrsquoirrazionaleA proposito della prima dimostrazione fondata sullo schema aristotelicoFrajese afferma laquoegrave troppo elaborata per avere valore euristico ha infatti piugravela finezza di un sottile gioco sui numeri che la spontaneitagrave e lrsquoimmediatezzadi un processo di ricercaraquo Secondo altri autori tra cui F Franciosi egrave piugravenaturale pensare che la scoperta abbia le sue radici nellrsquoambito dellrsquoarit-mogeometria I Pitagorici infatti erano soliti rappresentare i numeri conciottoli disposti in modo da formare figure geometriche1 Cosigrave i numeri1 3 6 e 10 erano detti triangolari percheacute i corrispondenti punti potevanoessere disposti a triangolo

Fig 21 Numeri triangolari

I numeri 1 4 9 16 venivano detti numeri quadrati percheacute intesi comepunti potevano essere disposti in un quadrato

1In questo senso il numero si confonde con lrsquoinsieme numerato e questrsquoultimo egrave addirit-tura disposto secondo forme geometriche facilmente riconoscibili si ha quindi una formadi corrispondenza fra aritmetica e geometria e per questo alcuni critici hanno definito lamatematica pitagorica aritmogeometria

13

14 2 Dimostrazioni geometriche

Fig 22 Numeri quadrati

Egrave verosimile secondo Franciosi che nel tentativo di disporre i ciottoli di duequadrati uguali in un terzo quadrato i Pitagorici laquoalmeno intuitivamenteabbiano concluso che non ce nrsquoera nessuno nella constatazione di questaimpossibilitagrave fu il seme della scoperta dellrsquoirrazionale2raquoAgrave Szabograve suggerisce che la scoperta sarebbe avvenuta sempre dal tentativodi raddoppiare il quadrato perograve in campo geometrico anzicheacute nel campodellrsquoaritmo-geometria Lrsquoautore basa questa sua ipotesi su due fatti

1 Il problema del raddoppiamento del quadrato egrave la versione nel pianodi quello della duplicazione del cubo che ebbe grande importanza peri Greci del V e del IV secolo aC

2 In un passo del Menone di Platone viene effettivamente consideratoil problema del raddoppiamento del quadrato

Presentiamo allora di seguito il passo geometrico del dialogo platonico cuifa riferimento Szabograve

21 La scoperta dellrsquoincommensurabile nelMenone di Platone

In un celebre passo (819d) delle tarde Leggi Platone rimprovera ai Grecilrsquoignoranza di una scoperta cosigrave grande quale quella dellrsquoincommensurabi-litagrave appare quindi naturale che nei suoi Dialoghi sempre ricchi di allusionie riferimenti allo sviluppo della matematica debba aver trovato lrsquooccasio-ne di trattare della scoperta in questione Poicheacute nel Teeteto (147d-148b)vengono presentati proprio i risultati raggiunti in materia di incommensu-rabilitagrave da Teodoro di Cirene e da Teeteto lrsquoAteniese certamente Platoneavragrave fatto un cenno allrsquoimportantissima scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave

2F Franciosi Lrsquoirrazionalitagrave nella matematica greca arcaica Bollettino dellrsquoIstituto difilologia greca suppl 2 Roma 1977 p21

21 La scoperta dellrsquoincommensurabile nel Menone di Platone 15

anche se non si trattava di un fatto recentissimoIn veritagrave nel brano del Teeteto la teoria degli irrazionali si trova giagrave ad unostadio evoluto Teeteto fornisce un criterio generale per riconoscere lrsquoirra-zionalitagrave mentre Teodoro viene rievocato per aver indicato un metodo perriconoscere lrsquoirrazionalitagrave delle radici quadrate dei numeri da 3 fino a 17 3 Egravestato osservato da tutti che egrave significativo il fatto che Platone faccia comin-ciare le ricerche di Teodoro da

radic3 e non da

radic2 Secondo lrsquointerpretazione

piugrave comune questo egrave una testimonianza del fatto che dellrsquoirrazionalitagrave diradic2 cioegrave dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diagonale del quadrato si

3Nel dialogo Teeteto si assiste ad un colloquio che avrebbe avuto luogo ad Atene traSocrate il matematico Teodoro di Cirene e il giovinetto Teeteto Questrsquoultimo egrave presen-tato da Teodoro come estremamente intelligente e precoce e Socrate vuole metterlo allaprova chiedendogli di definire che cosa sia la scienza (epistegraveme) Teeteto comincia conlrsquoenunciare alcune scienze ma Socrate insiste egli non vuole conoscere quali siano alcunescienze particolari ma che cosa sia la scienza Teeteto risponde allora che questo modo diporre la questione egrave simile a quello che si egrave presentato a lui e al suo compagno Socrate ilgiovaneA loro Teodoro aveva presentato alcune costruzioni geometriche dimostrando che il latodel quadrato di area 3 (piedi quadrati) e quello del quadrato di area 5 non sono commen-surabili col lato del quadrato di area 1 (cioegrave con il segmento lungo 1 piede assunto comeunitagrave di misura)In linguaggio moderno diremmo che Teodoro aveva dimostrato lrsquoirrazionalitagrave di

radic3 e diradic

5 cioegrave aveva dimostrato in sostanza lrsquoimpossibilitagrave di trovare un numero razionale (in-tero o frazionario) che moltiplicato per seacute stesso desse come prodotto 3 o 5Ma Teodoro non si era limitato ai quadrati di area 3 e 5 ma aveva trattato tutti i casifino al quadrato di area 17Cioegrave Teodoro secondo il racconto di Teeteto aveva fornito tante dimostrazioni separatedellrsquoirrazionalitagrave delle radici quadrate di 3 5 6 7 17 senza fornire una dimostrazionegenerale che valesse a stabilire lrsquoirrazionalitagrave o meno di qualunque radiceCosigrave Teeteto nel rispondere a Socrate aveva enunciato tante scienze particolari senzadare una definizione generale di scienzaMa Teeteto prosegue informando Socrate degli studi da lui compiuti per riconoscere inlinea generale se un quadrato avente lrsquoarea espressa da qualsiasi numero intero abbia illato commensurabile con lrsquounitagrave di misura delle lunghezzeTeeteto narra appunto che egli divise tutti i numeri (interi) in due gruppi quello dei nu-meri quadrati e quello dei numeri non quadrati che chiamograve rettangolariStabilita una unitagrave di misura per le lunghezze egli distinse i quadrati (geometrici) aventiper area un numero quadrato da quelli aventi per area un numero rettangolareI lati dei primi risultano commensurabili con lrsquounitagrave di lunghezza e furono da lui chiamatilunghezze i lati dei secondi risultano incommensurabili con lrsquounitagrave di lunghezza (e contutte le lunghezze) e furono detti potenze(=radici)Cioegrave Teeteto ha riconosciuto lrsquoirrazionalitagrave di tutte le radici quadrate dei numeri che nonsiano quadrati perfetti Con un colpo solo si riconosce cosigrave lrsquoirrazionalitagrave della radice di2 di 3 di 5 etc escludendo soltanto le radici di 4 di 9 e cosigrave via cioegrave le radici quadratedei numeri quadrati


siano occupati altri matematici antecedenti a Teodoro A Frajese osserva4come da un lato lrsquoomissione della radice quadrata di 2 da parte di Platonecostituisca una delle prove piugrave significative dellrsquoantichitagrave della scoperta madallrsquoaltro come questo spinga a pensare che Platone nellrsquoomettere la radicequadrata di 2 faccia un implicito riferimento ad un argomento da lui giagravetrattato in un dialogo precedenteViene subito in mente la lezione di geometria del Menone5 (82b-85b) in cuiSocrate guida lo schiavo di Menone nella costruzione del quadrato doppiodi un quadrato datoSocrate disegna un quadrato avente il lato di due piedi e fa constatare alragazzo che esso ha lrsquoarea di 4 piedi quadrati gli propone quindi di rad-dopiare il quadrato stesso cioegrave di costruire un secondo quadrato che abbiaarea doppia del primo ossia lrsquoarea di 8 piedi quadrati In due tentativifalliti di specificare il lato del quadrato doppio lo schiavo sceglie prima ildoppio del lato del quadrato dato ossia 4 Quindi lrsquoarea del nuovo quadra-to sarebbe 4 volte 4 ossia 16 mentre lrsquoarea del quadrato doppio di quelloiniziale deve essere 8 Il lato 4 egrave dunque troppo grande Il ragazzo proponeallora di provare con il lato 3 Ma si osserva che 3 volte 3 fa 9 e che quindineppure questa volta si egrave ottenuta lrsquoarea 8 Fino a qui quindi si egrave cercatauna soluzione aritmetica del problema vale a dire se sia possibile trovareun numero quadrato che sia doppio di un altro numero quadratoConducendo lo schiavo alla scoperta Socrate accenna al fatto che la dia-gonale e il lato del quadrato sono incommensurabili quando consiglia alragazzo di provare a indicare il lato del quadrato doppio se non puograve fare ilcalcolo numerico

SOCR Da una di tre piedi non puograve dunque costruirsi un qua-drato la cui superficie sia di otto piediSERVO No certo

4 [8] p 765In questo dialogo Platone intraprende una discussione sulla natura della conoscenza

La conoscenza per Platone egrave reminiscenza o anamnesi non deriva dallrsquoesperienza ma egraveinnata

laquoLrsquoanima dunque poicheacute immortale e piugrave volte rinata avendo veduto ilmondo di qua e quello dellrsquoAde in una parola tutte quante le cose noncrsquoegrave nulla che non abbia appreso Non vrsquoegrave dunque da stupirsi se puograve fareriemergere alla mente ciograve che prima conosceva della virtugrave e di tutto il restoPoicheacute drsquoaltra parte la natura tutta egrave imparentata con se stessa e lrsquoanima hatutto appreso nulla impedisce che lrsquoanima ricordando (ricordo che gli uominichiamano apprendimento) una sola cosa trovi da seacute tutte le altre quandouno sia coraggioso e infaticabile nella ricerca Sigrave cercare ed apprendere sononel loro complesso reminiscenza [anamnesi]raquo (81d)


SOCR Da quale linea allora Cerca di rispondermi con preci-sione e se non vuoi fare il calcolo numerico indicacelo (84a)

Nella seconda parte interviene la geometria che risolve il problema Socra-te disegna quattro quadrati uguali al dato uno accanto allrsquoaltro cosigrave darealizzare la figura del quadrato quadruplo cioegrave di lato doppio Tracciapoi una diagonale in ciascun quadrato in modo che le quattro diagonalivengano a costituire un quadrato quello costruito appunto sulla diagonaledel quadrato dato Ma in tal modo ciascun quadrato egrave stato diviso dalladiagonale in due triangoli rettangoli isosceli uguali mentre il nuovo quadra-to costruito mediante le diagonali contiene quattro di tali triangoli dunqueesso egrave doppio del quadrato dato quindi il problema egrave risolto

Fig 23 Costruzione del quadrato doppio del quadrato dato

Ecco il contrasto fondamentale tra aritmetica e geometria con i numerinon si riesce a raddoppiare il quadrato mentre un tale problema viene ri-solto immediatamente con una semplicissima costruzione geometricaQuindi come suggerisce Frajese la scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave dellato e della diagonale del quadrato puograve essere avvenuta da una parte conla constatazione dellrsquoimpossibilitagrave di trovare un numero quadrato che siadoppio di un altro numero quadrato oppure la scoperta potrebbe ancheessere stata incidentale e aver seguito il tentativo di costruzione geometricadel quadrato di area doppia In ogni caso i mezzi utilizzati nella dimostra-zione non vanno oltre quelli posseduti dai Pitagorici ed egrave certo pitagoricaanche la dottrina della reminescenza che Platone vuole provare


22 Dimostrazione pari-dispari - variante geo-metrica

Vi sono poi diverse teorie sulla scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave chefanno uso di un meccanismo iterativo in cui una stessa figura si ripete iden-tica a se stessa e in scale diverse secondo precisi rapportiUna dimostrazione di questo tipo egrave quella proposta da Wilbur KnorrKnorr ritiene verosimile supporre che la scoperta dellrsquoesistenza di grandezzeincommensurabili sia avvenuta in un contesto geometrico nel quale la sud-divisione del quadrato - come nel Menone di Platone - conduce a quadratisempre piugrave piccoli Egli ricostruisce la seguente variante geometrica basatasulle proprietagrave dei dispari e dei pari6 della dimostrazione dellrsquoincommen-surabilitagrave del lato di un quadrato alla sua diagonale

Dimostrazione Si considera un quadrato ABCD e un quadrato piugrave piccoloEFGH con i vertici nei punti medi dei lati di ABCD7

Fig 24

Supponiamo che venga chiesto quante volte il lato EF puograve essere inclusosulla diagonale EGIpotesi Per assurdo supponiamo che il lato EF e la diagonale EG delquadrato piugrave piccolo siano commensurabiliAllora il loro rapporto deve essere uguale al rapporto tra due numeri inte-ri rispettivamente l e d Si puograve esigere che questi numeri siano ridotti aiminimi termini quindi che non siano entrambi pari

6Questa dimostrazione puograve essere considerata una variante geometrica di quella basatasullrsquoimpossibilitagrave per un numero di essere simultaneamente pari e dispari

7Il lato del quadrato piugrave grande egrave uguale alla diagonale del quadrato piugrave piccolo

22 Dimostrazione pari-dispari - variante geometrica 19

I quadrati ABCD e EFGH sui lati AB e EF rispettivamente rappresen-tano cosigrave numeri quadrati rispettivamente l2 e d2Risultato 1 EG egrave pariCome egrave chiaro dalla figura 24 ABCD egrave il doppio di EFGH cioegrave 2l2 = d2Cosigrave ABCD rappresenta un numero quadrato pari Il suo lato AB (che egraveuguale a EG) deve essere pariRisultato 2 EF egrave pariPoicheacute ABCD egrave un numero quadrato pari allora deve essere divisibile perquattro Essendo AFKE un quarto di ABCD esso rappresenta un nume-ro Il suo doppio egrave il numero quadrato EFGH Quindi EFGH e il suolato EF sono numeri pariConseguenza Si egrave dimostrato contrariamente allrsquoipotesi che i numeriEF e EG sono entrambi pariDalla contraddizione segue che i due segmenti devono essere incommensu-rabili

Knorr giustifica il passo in cui egrave richiesta lrsquoipotesi dei minimi termini at-traverso lrsquoimpossibilitagrave di una bisezione infinita di un intero finito geo-metricamente si dovrebbe poter continuare allrsquoinfinito percheacute il lato e ladiagonale sono segmenti continui ogni volta bisecabili ma aritmeticamentenon si puograve procedere oltre un certo limite quello in cui si ottengono lrsquounitagraveo un numero dispari La difficoltagrave consiste appunto nel fatto che lrsquoindefini-ta bisecabilitagrave di un segmento di retta diventa incompatibile con lrsquoipotesiche la diagonale e il lato del quadrato iniziale siano rappresentati da duenumeri interiKnorr suggerisce di rifare la dimostrazione incorporando questo argomentocome segueABCD egrave un numero quadrato che si egrave dimostrato essere pari La sua me-tagrave il quadrato EFGH egrave stato dimostrato in seguito essere anche esso unnumero quadrato pari Continuando con lo stesso argomento la sua metagraveil quadrato AFKE rappresenta anchrsquoesso un numero quadrato pariQuesto procedimento concepito geometricamente ovviamente prosegue in-definitamente producendo ad ogni passo un numero quadrato pari piugrave pic-colo Ma se ABCD rappresenta un numero finito la sua divisione successivain due deve alla fine terminare In questo modo lrsquoipotesi iniziale che siaEG che EF rappresentano numeri ha portato ad un assurdoIn questa versione la capacitagrave di scegliere i numeri EG e EF ridotti ai mi-nimi termini non egrave richiesta Successivamente questa versione della dimo-strazione utilizzante la regressione infinita potrebbe essere stata ritoccatanella forma piugrave ldquoeconomicardquo data precedentemente


Entrambe le versioni evitano gli anacronistici tratti euclidei Nella secondaversione lrsquoinfinito ripetersi delle immagini in scale diverse puograve ricordarele piugrave famose argomentazioni basate su un processo di bisezione protrat-to laquoallrsquoinfinitoraquo quelle di Zenone di Elea8 Aristotele ci avverte perograve chenon si tratta della medesima cosa9 rivelando cosigrave implicitamente che era-no note dimostrazioni dellrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diagonale diun quadrato che facevano uso di una regressione allrsquoinfinito fondata sullabisezione (bencheacute lrsquoargomentazione di Zenone in quanto argomentazionecontro il moto non potesse essere usata come prova dellrsquoincommensurabili-tagrave di due grandezze)Knorr sostiene che questo ldquotrattamentordquo del lato e della diagonale del qua-drato in entrambe le forme date sopra era familiare agli scrittori del quar-to secolo I suoi principi non includono nulla oltre lrsquoambito di una ingenuageometria metrica certamente accessibile ai Greci del quinto secolo e che ilproblema dellrsquoincommensurabilitagrave potrebbe sorgere come una conseguenzaimprevista di un tale studio metrico del quadrato10 Secondo Knorr unragionamento geometrico di questo tipo avrebbe potuto indurre come percaso la consapevolezza del paradosso implicito nellrsquoipotesi di valori interiper il lato e la diagonale del quadratoI Pitagorici hanno dovuto elaborare le implicazioni insite per il concettodi numero e di grandezza Lrsquoincommensurabilitagrave implicava un divorzio tra

8Zenone di Elea discepolo ed amico di Parmenide per sostenere lrsquoidea del maestroche la realtagrave egrave costituita da un Essere unico e immutabile propose alcuni paradossi checi sono stati tramandati attraverso la citazione che ne fa Aristotele nella sua Fisica perdimostrare lrsquoimpossibilitagrave della molteplicitagrave e del moto nonostante le apparenze della vitaquotidiana Il primo argomento contro il movimento egrave quello sulla dicotomia Esso affermache un oggetto in movimento prima che possa percorrere una data distanza deve primapercorrere la metagrave di tale distanza ma prima di far ciograve deve innanzitutto percorrere la metagravedella metagrave e cosigrave via attraverso un numero infinito di suddivisioni Essendo impossibilepercorrere uno spazio infinito in un tempo finito lrsquoinizio del movimento saragrave impossibile

9Negli Analitici Primi (II 65b 16-21) egli critica chi tenta di assumere i parados-si di Zenone sullrsquoimpossibilitagrave del movimento come causa dellrsquoincommensurabilitagrave delladiagonale

In realtagrave il fissare come causa ciograve che non egrave causa consiste in ciograve e si ve-rifica ad esempio quando qualcuno volendo provare lrsquoincommensurabilitagravedella diagonale metta mano allrsquoargomentazione di Zenone che conduce al-lrsquoimpossibilitagrave del movimento e consideri tale conclusione come assurda laconclusione falsa difatti non si collega assolutamente in alcun modo conlrsquoaffermazione iniziale

10La dimostrazione di Knorr consiste nel dividere per 2 fincheacute egrave possibile cioegrave fino a chenon si arriva ad un numero dispari egrave questa egrave proprio la decomposizione paridispari dicui parleremo nel prossimo capitolo

23 Dimostrazione per successive sottrazioni reciproche anthyphairesis 21

numero e grandezza non tutti i rapporti tra grandezze sono rapporti tranumeri interi Lrsquoincommensurabilitagrave (ασυmicromicroετρια) determina quindi unalaquoasimmetriaraquo tra numero e grandezza geometrica i numeri possono esseretrattati come grandezze geometriche ma non tutte le grandezze possonoessere rappresentate da numeri11Le ricerche successive furono incentrate principalmente sul tentativo di ldquorad-drizzarerdquo questa asimmetria La teoria delle proporzioni per i rapporti in-commensurabili e per tutti i tipi di grandezze egrave attribuita tradizionalmentead Eudosso e trova la sua sistemazione nel libro V degli Elementi QuiEuclide per superare lrsquoincertezza provocata dallrsquoesistenza di grandezze in-commensurabili il cui rapporto non egrave esprimibile come rapporto tra interinon definisce esplicitamente cosrsquoegrave un rapporto ma si limita a specificare lecondizioni per cui due rapporti sono uguali12 La scoperta dellrsquoincommen-surabilitagrave avrebbe portato a riconoscere che si deve distinguere tra due tipidi grandezze Se alcuni segmenti sono supposti come unitagrave allora un seg-mento che egrave esprimibile come un multiplo parte o parti di esso puograve esserechiamato ldquorazionalerdquo Ma ogni segmento che non ha misura comune conlrsquounitagrave egrave chiamato ldquoirrazionalerdquo Per esempio nel contesto paradigmaticodel triangolo rettangolo isoscele o del quadrato un lato razionale avragrave unadiagonale irrazionale (cf Repubblica 546c) Da una elaborazione succes-siva si puograve considerare la relazione tra due segmenti senza rifersi ad unaunitagrave Se i segmenti hanno una misura comune verranno detti ldquocommen-surabilirdquo altrimenti verranno chiamati ldquoincommensurabilirdquo13

23 Dimostrazione per successive sottrazio-ni reciproche anthyphairesis

Alcuni autori in particolare K von Fritz e S Heller propongono unaricostruzione alternativa per la scoperta dellrsquoincommensurabilitagrave centratasullrsquoalgoritmo euclideo della divisione chiamato ανθυφαιρεσις (anthyphai-resis) o ανταναιρεσις (antanairesis) Il loro parere merita attenzione

11Zelloni Gnomon cit pag 14912Elementi libro V def V13ldquoIncommensurabilerdquo non coincide nella teoria di Euclide con ldquoirrazionalerdquo per Euclide

egrave razionale un qualsiasi prefissato segmento di retta che funge da grandezza di riferimento isegmenti commensurabili in lunghezza o anche solo in potenza con esso si dicono razionaliquelli incommensurabili sia in lunghezza che in potenza si dicono irrazionali Il termineldquoirrazionalerdquo denota quindi una condizione di inconfrontabilitagrave metrica piugrave radicale deltermine ldquoincommensurabilerdquo


visto che molti storici hanno finito per accettare lrsquoanthyphairesis come basedella prima teoria dellrsquoincommensurabilitagraveLrsquoalgoritmo dellrsquoanthyphairesis procede come segue

Algoritmo dellrsquoanthyphairesis

Siano date due grandezze omogenee a e b con a gt bSi sottrae b da a quante volte egrave possibile lasciando un resto c lt b Sequesto resto egrave nullo allora lrsquounitagrave di misura comune di a e b egrave b se il restonon egrave nullo si riapplica il procedimento alla coppia di grandezze b e cSe la grandezza maggiore b non egrave un multiplo della minore c si ottiene unnuovo resto d e questo egrave usato nello stesso modo rispetto al precedentesottraendo c producendo un nuovo resto eIl procedimento continua in questo modo

Quando lrsquoalgoritmo egrave applicato a dei numeri naturali esso termina dopoun numero finito di passi e lrsquoultimo resto (non nullo) egrave il massimo comundivisore dei due numeri dati14 Allo stesso modo il procedimento applicatoalle grandezze commensurabili termina risolvendosi nella piugrave grande misu-ra comune15Possiamo visualizzare come procede lrsquoanthyphairesis per due grandezzecommensurabili immaginando che a e b siano due segmenti e riportando-li uno sullrsquoaltro Supponiamo ad esempio che a e b siano i lati di unrettangolo

14Euclide sviluppa questo metodo in VII1 e VII2 Lrsquoesistenza del massimo comundivisore egrave assicurata dal fatto che i due numeri sono presi non relativamente primi

15Euclide dimostra questo in X3 Se il metodo egrave applicato ai segmenti le sottrazionisuccessive non portano necessariamente al loro massimo comun divisore Il metodo puograveessere applicato ai segmenti di retta solo in teoria Crsquoegrave una grande differenza tra i numerie i segmenti di retta che li rappresentano I primi sono composti da unitagrave mentre i secondino Questo metodo delle sottrazioni successive non egrave un metodo pratico e concreto eccettoche quando egrave applicato a numeri interi Si puograve vedere meglio questo considerando VII1Non ci sono difficoltagrave circa questo teorema se teniamo presente che Euclide lavora solo connumeri interi e che secondi i Greci questi sono costituiti da unitagrave che non possono esseredivise in parti piugrave piccole Cosigrave la sottrazione successiva di due numeri relativamenteprimi termineragrave una volta che lrsquounitagrave egrave stata raggiunta Il metodo puograve essere applicato aisegmenti di retta soltanto se questi sono multipli di una unitagrave dataCrsquoegrave solo una proposizione (X2) dove Euclide fa riferimento a questo metodo Questaproposizione dagrave un criterio di incommensurabilitagrave in termini di sottrazioni successive valea dire se il processo va avanti allrsquoinfinito le due grandezze alle quali egrave applicato sonoincommensurabili Questo criterio tuttavia egrave solo teorico non puograve essere applicato inpratica Gli antichi sembrano non avere mai fatto uso della X2 nelle loro dimostrazionimatematiche


Fig 25 Algoritmo dellrsquoanthyphairesis applicato ai lati a e b di unrettangolo

Nellrsquoesempio dato in figura 25 riportiamo b su a il primo segmento egravecontenuto nel secondo un numero n0 = 2 di volte la parte rimanente egrave ilsegmento c = aminus2b Ora riportiamo c su b lo possiamo sovrapporre n1 = 3volte e la parte rimanente egrave il segmento d = b minus 3c Alla fine riportiamod su c e troviamo che d puograve essere sovrapposto esattamente n2 = 2 voltesenza lasciare alcun ldquorestordquo Quindi d misura c cioegrave se prendiamo d comeunitagrave di misura c egrave esattamente 2 unitagrave b = 3c+ d = 3times 2 + 1 = 7 unitagrave ea = 2b+ c = 2times 7 + 2 = 16 unitagrave Quindi a e b sono commensurabili dallamisura comune dLa successione di numeri n0 n1 n2 egrave definita ldquoanthyphairesis di a e brdquo(o spettro di a e b) e si denota di solito con [n0 n1 n2 ]16

231 Applicazione al quadratoNel caso delle grandezze incommensurabili il procedimento dellrsquoanthy-

phairesis continua ad infinitum diventando i resti delle divisioni successivealla fine piugrave piccoli di qualsiasi grandezza finita preassegnata come Euclidedimostra in X1 e X2La dimostrazione del fatto che il procedimento puograve non avere termine cioegrave

16Lrsquoanthyphairesis egrave costituita da una serie di sottrazioni che portano allo sviluppo diuna frazione continuaCosigrave nellrsquo esempio dato sopra dei due segmenti a e b la loro anthyphairesis puograve scriversicome seguea = 2b+ cb = 3c+ dc = 2dquindi a b = [2 3 2] = 2 +

1

3 +1

2


che ogni resto egrave diverso da zero produce come conseguenza lrsquoassenza di unamisura comune cioegrave lrsquoincommensurabilitagrave delle grandezze considerateSe ad esempio si applica lrsquoalgoritmo dellrsquoanthyphairesis al lato e alla dia-gonale di un quadrato si trova che le due grandezze sono incommensurabili

Infatti riportiamo AB su AC (una volta n0 = 1) la parte rimanente egrave ECOra bisogna riportare questrsquoultima su BC consideriamo la circonferenzadi centro E e raggio EC e determiniamo il punto F intersezione di questacirconferenza e del lato BC EC = EF per costruzione e quindi il triangoloCEF saragrave isoscele e lrsquoangolo ECF egrave uguale allrsquoangolo CFE Ma lrsquoangoloECF egrave metagrave di un angolo retto quindi lrsquoangolo ECF = CFE = π4

Fig 26

Segue allora che lrsquoangolo CEF egrave retto possiamo quindi costruire il quadratoECHF di lato EC la sua diagonale saragrave CF Riportiamo ora EC su BC

Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

segue che poicheacute i triangoli ABF e AEF sono uguali17 BF = EF =EC quindi occorre riportare di nuovo EC su BC minus BF = CF 18 quindin1 = 2 essendo CF la diagonale del quadrato che ha per lato EF ci siamodi nuovo ricondotti al caso di riportare il lato di un quadrato sulla suadiagonale il procedimento quindi non ha mai fine e pertanto le duegrandezze considerate sono incommensurabili e lrsquoanthyphairesis del lato edella diagonale del quadrato egrave [1 2 2 ]19

Fig 29 Anthyphairesis applicata al lato s e alla diagonale d di un quadrato

17Essendo due triangoli rettangoli che hanno lrsquoipotenusa in comune e uguali i due catetimaggiori

18Cioegrave il segmento EC egrave contenuto nel segmento BC 2 volte con resto non nulloQuando lo riportiamo la prima volta otteniamo il segmento BF = EF la seconda voltaEF andragrave riportato sul segmento rimanente FC e questo equivale di nuovo a riportare illato di un quadrato sulla sua diagonale

19Infatti dalla figura 29 si vede che se consideriamo il segmento LF si vengono a crearedue triangoli uguali EFL e FKL quindi EL = LK = CK e quindi il segmento CK egravecontenuto in EC due volte cioegrave n2 = 2


232 Applicazione al pentagono regolareK von Fritz propone la tesi secondo cui i Pitagorici20 scoprirono ini-

zialmente lrsquoincommensurabilitagrave applicando lrsquoanthyphairesis al lato e alladiagonale del pentagono in modo da determinarne il rapporto21La ricostruzione di von Fritz non egrave inverosimile per varie ragioni

1 Il pentagono stellato compare giagrave nellrsquoarte babilonese

2 Il pentagramma o stella a cinque punte era probabilmente il simbolodella scuola pitagorica

3 Il dodecaedro egrave uno dei tre poliedri regolari noti ai Pitagorici

4 Crsquoegrave inoltre la testimonianza di Giamblico che associa la costruzionedel dodecaedro regolare allo sfortunato Ippaso (cf 11)

Vediamo allora in che modo lrsquoalgoritmo euclideo puograve portare alla scopertaConsideriamo il pentagono di figura 210Applicando il metodo dellrsquoanthyphairesis al lato BC e alla diagonale ABsi ha poicheacute BC = BD che il primo resto ottenuto egrave

AB minusBC = AB minusBD = AD

20Kvon Fritz Discovery pp 256-260 In particolare von Fritz associa la scoperta aIppaso di Metaponto in occasione della costruzione del pentagono regolare che egrave la figurache forma le facce del dodecaedro regolare

21Il rapporto tra la diagonale e il lato del pentagono regolare egrave uguale al laquonumeroirrazionaleraquo Φ = 1+

radic5

2 il numero laquoaureoraquo che individua il rapporto tra le due parti in cuisi divide un segmento in laquomedia ed estrema ragioneraquoPer definizione due segmenti A e B con A gt B sono in questo rapporto se il piugrave grandeA egrave il medio proporzionale tra il piugrave piccolo e la loro somma cioegrave

(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)

Ora se A e B sono in questo rapporto allora si trovano nello stesso rapporto anche A+Be A (Elementi XIII5) Infatti dati A e B in media ed estrema ragione dove A egrave il piugravegrande allora A2 = B(A + B) Sommando A(A + B) ad ogni membro dellrsquouguaglianzasi ottiene A(A+B) +A2 = A(A+B) +B(A+B) da cui A(A+A+B) = (A+B)2 cioegraveA+B e A sono in estrema e media ragioneMa egrave vero anche il contrario vale a dire se A e B sono in estrema e media ragione alloralo sono anche B e AminusBCosigrave da questo vediamo che lrsquoanthyphairesis di due segmenti in media ed estrema ragio-ne produce sempre due grandezze nello stesso rapporto (medio ed estremo) Quindi ilprocedimento per grandezze in questo rapporto continua indefinitamente

24 (In)Fondatezza della tesi precedente 27

Fig 210

Dal momento che BD = AE il resto successivo egrave

BD minus AD = AE minus AD = DE

Ma il primo resto ottenuto AD egrave uguale a DF che egrave la diagonale del pen-tagono che viene formato allrsquointerno del primo da tutte le sue diagonalimentre il secondo resto DE egrave il lato del pentagono interno Quindi nellatappa successiva dellrsquoantanairesi ci siamo ricondotti nuovamente a riportareil lato di un pentagono regolare sulla sua diagonaleDal momento che le diagonali di ciascun pentagono formano sempre unaltro pentagono regolare egrave evidente che la possibilitagrave di continuare la se-quenza per produrre pentagoni sempre piugrave piccoli contraddice lrsquoipotesi cheil rapporto iniziale d l possa essere uguale ad un rapporto tra interi peril fatto che la riduzione successiva degli interi si arresta necessariamenteallrsquounitagrave e non puograve proseguire allrsquoinfinito Quindi le grandezze sono in-commensurabili

24 (In)Fondatezza della tesi precedenteCome osservato da Frajese22 il fatto che il procedimento antanairetico

non abbia mai termine e che possa quindi essere spinto innanzi quanto sivuole richiede che le grandezze siano inesauribili per sottrazione cioegrave nelsenso che sottraendo da una delle grandezze metagrave o piugrave della metagrave e ancorametagrave o piugrave della metagrave dal resto e cosigrave via si possa continuare quanto sivuole

22[6] nota 2 pp 598-599


Se si considera il caso particolare dei segmenti di retta questa ineusaribilitagravealla sottrazione implica che Tra due punti di una retta egrave sempre possibileinserire almeno un punto intermedio cioegrave la retta egrave densa in seacute Questaproposizione corrisponde alla inesauribilitagrave della retta cioegrave alla proprietagraveche un segmento di retta per quanto piccolo contiene infiniti puntiQuindi i punti dovendo essere contenuti in numero infinito in un segmentofinito sono privi di dimensioni in particolare privi di lunghezza Siamoquindi alla concezione degli enti geometrici idealizzatiSe quindi lrsquointroduzione degli enti idealizzati ebbe luogo come conseguenzadella scoperta della prima coppia di linee incommensurabili (lato e diago-nale del quadrato) la dimostrazione di tale incommensurabilitagrave non potevaessere compiuta con il metodo della X2 (fondato sugli enti idealizzati) senzacommettere una specie di petizione di principio23 Questa potrebbe esserela spiegazione del fatto messo in evidenza sia da Knorr che da Frajese cheneacute presso Euclide neacute presso altri matematici Greci si trova la dimostrazio-ne dellrsquoesistenza di grandezze irrazionali secondo il metodo dellrsquoalgoritmoeuclideo della X2 (applicazioni a casi specifici si devono solo ad alcuni sco-liasti)Unrsquoaltra possibilitagrave egrave che questo criterio appaia negli Elementi solo comeresiduo24 di una precedente concezione algoritmica del rapporto che la teo-ria delle proporzioni avrebbe sostanzialmente occultato A questa teoriaalluderebbe una dichiarazione esplicita di Aristotele che in un passo deiTopici (158 b 29) espone in modo piugrave esplicito di quanto non faccia Eu-clide che cosa egrave un rapporto25 Per Aristotele un rapporto egrave precisamenteunrsquoantanairesis

23Fu proprio la scoperta dellrsquoesistenza di grandezze incommensurabili a spingere aduna separazione delle grandezze e dei numeri I Pitagorici prima di questa scoperta nondistinguevano i numeri dai punti geometrici Aristotele infatti descriveva il punto pitagoricocome ldquounitagrave dotata di posizionerdquo o come ldquounitagrave considerata nello spaziordquo

24BL van der Waerden Geometry and Algebra Civilizations cit p 13725Euclide nel libro V ne dagrave la seguente definizione

III Rapporto (λoγoς) fra due grandezze omogenee egrave un certo modo di comportarsirispetto alla quantitagrave

Questa definizione egrave stata molto criticata in quanto tautologica Frajese dice a pro-posito laquoegrave evidente che in essa Euclide non pretende di definire il rapporto ma enunciaanzitutto una condizione (lrsquoomogeneitagrave) alla quale le grandezze devono soddisfare affincheacutesi possa parlare di rapporto fra di esseraquo La successiva definizione elabora il concetto dirapporto evidenziandone unrsquoaltra condizione quella di applicarsi a grandezze archimedee

IV Si dice che hanno fra loro rapporto le grandezze le quali possono se moltiplicatesuperarsi reciprocamente


Pare che anche nelle scienze matematiche alcune proposizioninon si dimostrino facilmente per la mancanza di una defini-zione cosigrave avviene ad esempio quando si afferma che la rettaparallela al lato di un parallelogramma e condotta sul lato diquesto divide in modo simile il lato e la superficie Tuttaviauna volta enunciata lrsquoespressione definitoria diventa senzrsquoaltrochiaro quanto si vuol dire Infatti il numero di parti che vie-ne sottratto alla superficie dal taglio della parallela egrave eguale alnumero di parti che viene sottratto ai lati ( ossia superfici e la-ti hanno la stessa antanairesis) orbene questa egrave appunto ladefinizione di stesso rapporto

Alessandro di Afrodisia ha commentato la dichiarazione di Aristotele nelmodo seguente

Questa egrave la definizione di proporzionale usata dagli antichi sonoin proporzione lrsquouna con lrsquoaltra (e simili lrsquouna con lrsquoaltra) quellegrandezze che possiedono la stessa anthyphairesis Ma egli hachiamato antanairesis lrsquoanthyphairesis26

Il significato del termine greco antanairesis che Alessandro di Afrodisiaconsidera sinonimo di anthyphairesis si spiega soprattutto in base al sensodi anti e ana vi si allude ad una specie di ldquoantagonismordquo a un confrontoreciproco di due grandezze e alla risoluzione di questo confronto per viadi un processo che comporta la ripetizione (ana) di una stessa operazioneelementare di sottrazione applicata a diverse grandezze che ubbidiscono auna formula ricorsivaLa procedura quindi puograve servire eventualmente per dimostrare che duegrandezze sono incommensurabili per calcolare le approssimazioni numeri-

26Alexandri Aphrodisiensis In Aristotelis Topicorum libros octo commentaria MWallies Berolini 1891 p545


che del loro rapporto27 e infine per definire il concetto di logos28Tuttavia il fatto che le prime testimonianze relative allrsquoirrazionalitagrave - al-cuni passi matematici in Platone e Aristotele - pongono invariabilmentelrsquoaccento sul caso considerato paradigmatico della diagonale e del lato delquadrato e su un tipo di dimostrazione indiretta mina gravemente la tesisecondo cui il metodo dellrsquoanthyphairesis ha avuto un ruolo di primo pianonella scoperta pitagorica dellrsquoincommensurabilitagrave

25 Numeri laterali e numeri diagonaliUna stretta combinazione di proprietagrave di figure geometriche e di strut-

ture algoritmiche si puograve trovare in uno dei piugrave importanti strumenti diapprossimazione del rapporto tra diagonale e lato di un quadrato e cioegravenei numeri ldquolaterali e diagonalirdquo che sono stati trattati da Teone di Smirnee da Proclo il secondo dei quali associa il loro sviluppo ai PitagoriciTeone di Smirne ne parla in questo modo

Esattamente nel modo in cui i numeri sono studiati nella lo-ro capacitagrave di produrre triangoli quadrati pentagoni e le altrefigure cosigrave troviamo anche i rapporti tra lati e diagonali nellaloro funzione di princigravepi di generazione poicheacute da essi dipendela disposizione ordinata delle figure Quindi poicheacute lrsquounitagrave inaccordo con il principio generativo supremo dagrave luogo a tutte lefigure cosigrave ancora nellrsquounitagrave saragrave trovato il rapporto tra diago-nale e lato Per chiarezza si prendano due unitagrave delle qualiuna sia una diagonale e lrsquoaltra un lato in quanto lrsquounitagrave comeprincipio (αρχη) di tutte le cose deve essere in potenza sia latoche diagonale Quindi si aggiunga al lato una diagonale e alla

27Nella consueta rappresentazione dellrsquoalgoritmo lo spettro di una coppia di grandezzecorrisponde ad una frazione continua f di cui i numeri n0 n1 n2 costituiscono iquozienti o laquodenominatori parzialiraquo e successive approssimazioni del rapporto a b siottengono troncando in diversi punti la corrispondente frazione continua f Si puograve alloradenotare la frazione continua f con il simbolo che ne indica lo spettro e definire il rapportocome la frazione continua generata dallrsquoantanairesis

f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b

28Infatti lrsquoantanairesis dagrave luogo ad una sequenza di quozienti e di resti e questa se-quenza finita o infinita secondo la definizione di Aristotele egrave il logos il rapporto tra duegrandezze commensurabili o incommensurabili

25 Numeri laterali e numeri diagonali 31

diagonale due lati poicheacute la potenza del lato va presa due voltecome quella della diagonale una volta La diagonale diventeragraveallora piugrave grande mentre il lato diventeragrave piugrave piccolo29

Proclo invece afferma

I pitagorici proposero questo elegante teorema sulle diagonalie i lati e cioegrave che quando la diagonale riceve il lato di cui egravediagonale diventa un lato mentre il lato quando egrave aggiunto ase stesso e riceve la sua diagonale diventa una diagonale Equesto egrave da lui [da Euclide] dimostrato graficamente nel secondolibro degli Elementi30

Vale che se s1 e d1 sono rispettivamente il lato e la diagonale di un quadratoallora si puograve costruire un nuovo quadrato avente lato s = s1+d1 e diagonaled = 2s1 + d1 Questo si puograve vedere dalla figura 211

Fig 211

Partendo con il quadrato ABCH il cui lato AB = s1 si costruisce un nuovoquadrato piugrave grande BDGF il cui lato BD = s1 + d1 Si puograve facilmentevedere che i triangoli ABC e DCE sono congruenti cosigrave AB = CE =DE = s1 Cosigrave la diagonale del quadrato piugrave grande egrave DF = 2s1 + d1Quindi abbiamo ottenuto un nuovo lato e una nuova diagonale dal lato edalla diagonale date come affermatoLa legge di ricorsione egrave quindi la seguente

sn+1 = sn + dn (21)

dn+1 = dn + 2sn (22)29I Thomas Greek Mathemathical Works cit vol I pp 132-13330Ibid pp 136-139


Applicando queste formule si ottengono numeri laterali e diagonali positivie sempre piugrave grandiTeone di Smirne cita diverse coppie (s d) di numeri laterali e diagonalicalcolati in base ai valori iniziali s = 1 e d = 1 precisamente

(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)

e aggiunge lrsquoimportante osservazione che in ogni diade della successione ilquadrato della diagonale dn egrave alternativamente piugrave piccolo e piugrave grandedi unrsquounitagrave rispetto al doppio del quadrato del lato sn31

d2n = 2s2n + (minus1)n (23)

Lrsquouguaglianza (23) si puograve dimostrare per induzionePer n = 1 lrsquouguaglianza egrave certamente vera infatti 12 = 2times 12 minus 1Supponendo che la relazione (23) valga per un certo n si dimostra che valeanche per n+ 1 infatti

d2n+1 minus 2s2n+1 = (dn + 2sn)2 minus 2(dn + sn)2

= d2n + 4dnsn + 4s2n minus 2d2n minus 4dnsn minus 2s2n= minusd2n + 2s2n = minus(d2n minus 2s2n)

= minus(minus1)n = (minus1)n+1

La relazione dunque vale anche per n+ 1 quindi vale per ogni nDalla (21) e dalla (22) si ha che le due successioni sn+1 e dn+1 sono en-trambe strettamente crescenti e poicheacute sn+1 ge 1 + sn e dn+1 ge 1 + dn le dueserie sono divergenti dallrsquouguaglianza d2n = 2s2n + (minus1)n dividendo per s2nsi ottiene (

dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n

31Questa proprietagrave che egrave valida per la diade monadica e si trasmette per ereditagrave ricorsivaa tutti i suoi successori egrave il risultato dellrsquoimpossibilitagrave dellrsquoesistenza di un numero quadratoil cui doppio sia uguale ad un altro numero quadrato In queste condizioni egrave estremamentesignificativo che si possa costruire una successione ricorsiva di numeri quadrati s2n il cuidoppio 2s2n sia il piugrave vicino possibile cioegrave di una monade indivisibile con un altronumero quadrato d2n In effetti egrave proprio questa proprietagrave della diade ∆2 = [3 2] cheviene verificata nel Menone quando Socrate fa notare al giovane schiavo che il quadratod2 = 32 egrave piugrave grande di una monade rispetto a 2s2 = 2 middot 22 = 8 Per il caso della diagonaleeffabile ∆3 = [7 5] Platone cita esplicitamente nella Repubblica la stessa uguaglianza2 middot 52 minus 72 = 1 Essa si verifica anche per lrsquoesempio ∆4 = [17 12] al quale Platone alludenel Teeteto 172 minus 2 middot 122 = 1


che ci dice che poicheacute per nrarrinfin sn rarrinfin e quindi(minus1)n

s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2

e quindi per la continuitagrave della radice

limnrarrinfin

dnsn

=radic

2

Corrispondentemente si avragrave una serie infinita di diadi effabili32 il cui lo-gos (d s) approssima sempre meglio il valore della radice quadrata di 233 I termini di ordine pari della successione (minus1)n(s2n) tendono a 0 dadestra mentre quelli di ordine dispari vi tendono da sinistra e in effettise riscriviamo i numeri laterali e diagonali esplicitando il valore di ciascunrapporto otteniamo

∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156

cioegrave il rapporto dei termini di ciascuna diade approssima sempre meglio ilvalore di

radic2 = 1 41421356237 e si vede in particolare come le diadi di

32Con il termine diade effabile si intende coppia di numeri esprimibile cioegrave di cui si puograveparlare che egrave pensabile razionale

33Il rapporto d s egrave uguale ogni volta ad una frazione [1 2 2] nella quale il 2 compareun certo numero finito di volte Cioegrave data la frazione continua

radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +

che rappresenta lrsquoanthyphairesis del lato e della diagonale di un quadrato i numeri lateralie diagonali si possono ottenere come segue

1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5


ordine pari tendano al valore diradic

2 per eccesso mentre le diadi di ordinedispari vi tendano per difetto

17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2

26 Numeri laterali e diagonali e successionidi Cauchy

I numeri laterali e diagonali definiti in precedenza possono essere definitianche in un altro modo Se considero la sottosuccessione costituita dallediadi di ordine pari

(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)

questa puograve essere definita induttivamente nel modo seguentes1 = 2 d1 = 3 e per ogni n ge 2

sn = 3snminus1 + 2dnminus1 (24)

dn = 4snminus1 + 3dnminus1 (25)

si dimostra per induzione che d2nminus 2s2n = 1 che egrave la proprietagrave fondamentaledelle diadi (23) per n pari34Dividendo nella formula precedente tutto per s2n si ottiene(

dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)

Ora snnge1 egrave una successione di numeri naturali divergente cosigrave(dnsn

)2

converge a 2Questo modo di definire le successioni dei numeri laterali e diagonali egrave utile

34Allo stesso modo la successione delle diadi di ordine dispari

(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)

puograve essere definita induttivamente nel modo seguentes1 = 5 d1 = 7 e per ogni n ge 2

sn = 3snminus1 + 2dnminus1

dn = 4snminus1 + 3dnminus1

si dimostra per induzione che d2n minus 2s2n = minus1

27 Origine dei numeri laterali e diagonali 35

per dimostrare che il campo dei numeri razionali ammette successioni diCauchy35 non convergenti nel campo stessoInfatti se consideriamo una successione di numeri razionali positivi bnnge1tale che

limnrarrinfin

b2n = 2

(cioegrave b2nnge1 egrave una successione di Cauchy) anche la successione bnnge1 egravedi Cauchy36 in Q e non converge in QEgrave sufficiente infatti considerare due successioni xnnge1 ynnge1 di nume-ri naturali definite rispettivamente come in (24) e in (25) e porre bn =

ynxn

allora per quanto detto in precedenza b2nnge1 converge a 2 bnnge1 egrave an-chrsquoessa di Cauchy e non egrave convergente in Q 37 in quanto il suo limite egrave

radic2

che non appartiene a Q

27 Origine dei numeri laterali e diagonaliPer quanto riguarda lrsquoorigine dei numeri laterali e diagonali si possono

formulare solo ipotesi Knorr ritiene verosimile che essi derivino da espe-rienze con lrsquoespansione antifairetica del rapporto tra lato e diagonale del

35Una successione annge1 in un anello ordinato (Ale) egrave di Cauchy in A se per ogniε gt 0 in A esiste un indice p tale che per ogni n m ge p si abbia |an minus am| lt εSi diragrave che annge1 a termini in A converge in A ad un elemento a isin A quando per ogniε gt 0 in A esiste un indice p tale che per ogni n ge p si abbia |an minus a| lt ε In questo casosi scrive limnrarrinfin an = a

36Per assurdo supponiamo che esista un numero razionale c gt 0 tale che per ogni nesistano m n ge n con

|bm minus bn| gt c

Ne segueb2m + b2n minus 2bmbn gt c2

quindi supponendo bm ge bn ge 0

|b2m minus b2n| = b2m minus b2n gt c2 + 2bmbn minus 2b2n = c2 + 2bn(bm minus bn) ge c2 gt 0

assurdo per lrsquoipotesi che b2nnge1 sia di Cauchy37Infatti se bnnge1 convergesse a q isin Q per ogni ε gt 0 ε isin Q esisterebbe un indice p

tale che per ogni n gt p si avrebbe

|bn minus q| lt ε |bn + q| lt q + q + ε

pertanto |b2n minus q2| lt ε(2q + ε) e la successione b2nnge1 convergerebbe a q2 da cui q2 = 2che egrave assurdo


quadrato38 Proclo parla per due volte della regola per generare i numerilaterali e diagonali e tutte e due le volte dice che la regola risale ai Pi-tagorici Egli riporta la dimostrazione aritmetica effettuata dai Pitagoricidella proprietagrave (23) Ma questo teorema egrave come si esprime Proclo ele-gante percheacute se ne puograve dare una dimostrazione geometrica istituendo cosigraveuna perfetta corrispondenza tra Numero e Figura39 La forma geometri-ca puograve essere provata ci dice come fa Euclide ldquoper mezzo di segmentirdquo

38S Heller ha proposto una tesi in cui collega lrsquoanthyphairesis ai numeri laterali e dia-gonali per dimostrare lrsquoincommensurabilitagrave del lato e della diagonale del quadratoInfatti egrave possibile invertire le formule (21) e (22) cosigrave che il quadrato piugrave piccolo in figura211 sia derivato da quello piugrave grande cioegrave se s e d sono il lato e la diagonale dati alloras1 = dminus s e d1 = 2sminus d sono il lato e la diagonale del quadrato piugrave piccoloE in questo caso la legge di ricorsione egrave la seguente

sn+1 = dn minus sn (26)

dn+1 = 2sn minus dn (27)

Ora supponiamo di eseguire lrsquoanthyphairesis sul lato e sulla diagonale dati s e d Il primoresto r0 saragrave

r0 = dminus s = s1

cioegrave il lato del quadrato (piugrave piccolo) ottenuto Poicheacute s1 egrave minore di s il secondo restosaragrave

r1 = sminus s1 = d1

cioegrave il diametro del quadrato ottenuto Procedendo allo stesso modo dal momento ched1 e piugrave grande di s1 il prossimo resto saragrave

r2 = d1 minus s1 = s2

cioegrave il lato del successivo quadrato piugrave piccolo ottenuto nello stesso modo dai segmentis1 e d1 Il resto successivo saragrave

r3 = s1 minus s2 = d2

cioegrave la diagonale del secondo quadrato ottenutoEgrave ovvio da questo che i resti saranno alternativamente i lati e le diagonali di una sequenzainfinita di quadrati decrescenti generati dalla nostra formula Quindi lrsquoanthyphairesiscontinua ad infinitum e il lato e la diagonale dati sono incommensurabiliTuttavia una tale investigazione di questi rapporti implica giagrave una competenza teoricaabbastanza avanzata per gestire questa procedura algoritmica piuttosto sottile Si sa percerto che un tale livello era stato raggiunto dai geometri degli inizi del quarto secolo - inparte stimolati da un interesse nello studio delle rette incommensurabili ma lrsquoaritmeticadel quinto secolo difficilmente tradisce segni di una simile finezza

39Toth afferma

Quello che i Pitagorici hanno scoperto egrave che lrsquoantanairesi della diagonale edel lato di un quadrato laquogenera per necessitagrave intrinseca la successione infinitadei numeri diagonali e laterali delle diadiraquo delle laquodiagonali effabiliraquo


(γραmicromicroικως) mentre la forma Pitagorica egrave dimostrata ldquoper mezzo di nu-merirdquo (δια τ ων αριϑmicroων)Il teorema cui fa riferimento Proclo egrave il II10 degli Elementi che puograve esseretradotto algebricamente dalla formula

(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante

(2a+ x)2 minus 2(a+ x)2 = 2a2 minus x2

esprime la proprietagrave fondamentale (23) dei numeri laterali e diagonali In-fatti se a e x soddisfano una delle due relazioni x2 minus 2a2 = plusmn1 allora sipossono costruire a+x e 2a+x che soddisfano lrsquoaltra relazione La formulaldquoeuclideardquo (28) egrave drsquoaltra parte la chiave della costruzione di una sequenzainfinita autosimilare di quadrati che riproduce graficamente il meccani-smo di generazione dei numeri laterali e diagonali Infatti la dimostrazionegeometrica egrave la seguente si costruisca un quadrato di lato AB e si pro-lunghi il lato di una quantitagrave uguale (BC = AB) si aggiunga un segmentouguale alla diagonale (CD = BE) e su questi due segmenti si costruisca unsecondo quadrato si prolunghi ancora il lato di questo secondo quadrato diBD e DF che vengono a formare il lato di un terzo quadrato (fig 212)

Fig 212

Ponendo AB = a e CD = x per la relazione (28) risulta che

(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2

Poicheacute 2AB2 = EB2 = CD2 si ottiene AD2 = 2BD2 e quindi AD egrave ladiagonale del quadrato di lato BD Poicheacute AD = 2a + x e BD = a + x siverifica graficamente che se x egrave la diagonale corrispondente ad a allora in


corrispondenza al lato a+x si ha una diagonale 2a+x Questa costruzioneci dagrave quindi il procedimento per generare i numeri laterali e diagonaliTuttavia egrave verosimile che questi numeri siano stati scoperti dai Pitagoriciprima di Euclide e quindi potrebbero essere stati scoperti per una via di-versa da quella indicata sopraCiograve che si evince dai discorsi di Proclo e degli altri scrittori egrave che i numerilaterali e diagonali sono un algoritmo progettato per approssimare il rap-porto geometrico del lato e della diagonaleChe questo fosse lrsquoutilizzo che si faceva dellrsquoalgoritmo risulta evidente dallaterminologia Teone e Giamblico parlano del πλευρικoς και διαmicroετρικoςλoγoς ldquorapporto lato e diagonalerdquo e i numeri nella sequenza sono chia-mati ldquolateralirdquo e ldquodiagonalirdquo Platone (Repubblica 546c) e Proclo seguendoquestrsquoultimo distinguono la ldquodiagonale razionalerdquo ρητ η διαmicroετρoς dal-la ldquodiagonale irrazionalerdquo αρρητoς διαmicroετρoς il cui quadrato egrave proprio ildoppio del quadrato del lato corrispondente40 Una conferma dellrsquoutilizzodellrsquoalgoritmo per lrsquoapprossimazione egrave il fatto che Aristarco usi 75 per ilrapporto e Erone usi il valore 1712Risulta cosigrave che i Pitagorici utilizzarono lrsquoalgoritmo non come un dispo-sitivo teorico per dimostrare lrsquoirrazionalitagrave della diagonale ma come undispositivo pratico per approssimarla Ma egrave concepibile secondo Knorrche la scoperta di tale algoritmo portando ad una infinitagrave di valori sem-pre approssimanti ma che non eguagliavano mai il valore limite potreb-bero inizialmente essere stati mal interpretati come una dimostrazione diincommensurabilitagrave

40Platone parla delle diagonali razionali e irrazionali di 5 pensando a 7 e aradic

50rispettivamente

Capitolo 3

Lrsquoirrazionalitagrave diradic2 in

Aristotele Una nuova ipotesi

In questo capitolo presenteremo una nuova dimostrazione dellrsquoirrazio-nalitagrave di radice quadrata di 2 presentata recentemente da Salomon Ofmansulla rivista Philosophie Antique1

31 Il testo di Aristotele

La principale difficoltagrave cui vanno incontro le interpretazioni laquostandardraquosi trova nella testimonianza aristotelica La conclusione (impossibile) allaquale si approda nel testo non egrave che un numero dispari sarebbe uguale a unnumero pari o che un numero sarebbe contemporaneamente pari e dispariche egrave ciograve cui giungono le altre dimostrazioniLrsquoasserzione di Aristotele egrave molto piugrave forte percheacute dallrsquoipotesi per assurdoegli conclude che i numeri dispari diventerebbero pariAristotele lo ripete due volte in termini identici

γιγνεσϑαι τα περιττα (i dispari) ισα (uguali) τoις αρτ ιoις (aipari)i (numeri) dispari diventano uguali ai (numeri) pari(An pr I 23 41a27)

e una riga piugrave in basso

ισα γιγνεσϑαι τα περιττ α τoις αρτ ιoις (An pr I 23 41a28)

1cf [13]

39

40 3 Lrsquoirrazionalitagrave diradic2 in Aristotele Una nuova ipotesi

E ancora un porsquo dopo passa dalla modalitagrave di movimento (γιγνεσϑαιdiventano) a quella di riposo (ειναι sono)

τα περιττα ισα ειναι τoις αρτ ιoις laquoi numeri dispari sonouguali ai numeri pariraquo (An pr I 44 50a38)

In queste tre frasi la contraddizione non egrave mai presentata sotto forma diun doppio predicato (pari e dispari) associato ad un numero ma sottoforma di una relazione di uguaglianza (attraverso il termine ισα) tra latotalitagrave dei numeri dispari e la totalitagrave dei numeri pari i neutri plurali(περιττα αρτ ιoις) designano la classe generale definita dal nomeEgrave importante la struttura stessa della frase Le frasi usate dai commentatoridi Aristotele laquoun pari egrave uguale a un dispariraquo o laquoun numero egrave contempo-raneamente pari e dispariraquo sono frasi simmetriche percheacute egrave la stessa cosadire che un numero egrave laquopari e dispariraquo o laquodispari e pariraquo o ancora che laquounpari egrave uguale a un dispariraquo o che laquoun dispari egrave uguale a un pariraquoAl contrario la frase di Aristotele egrave asimmetrica Essa non indica almenodirettamente una identificazione tra i pari e i dispari ma piuttosto che idispari sarebbero pari cioegrave si avrebbe un ldquocrollordquo dei dispari nei pari (e nonviceversa)Aristotele usa il termine ισα ma non nel senso di uguaglianza numericainfatti lrsquoinsieme dei numeri pari e lrsquoinsieme dei numeri dispari sono dueinsiemi infiniti e Aristotele per rigettare il carattere numerico dellrsquoinfinitonella Metafisica sfrutta proprio il fatto che ogni numero deve essere o pario dispari mentre lrsquoinfinito non egrave neacute lrsquouno neacute lrsquoaltro2In matematica lrsquouguaglianza egrave una relazione simmetrica ma se Aristoteleriprende un risultato matematico lo fa in un quadro filosofico e lrsquougua-glianza nel linguaggio comune non egrave una relazione simmetrica3 Aristoteleutilizza il termine ισα nel senso di un attributo i dispari diventerebberopari (sono sempre i dispari che ricevono lrsquoattributo) Da cui la asimme-tria sistematica dei tre enunciati aristotelici dove sono sempre i dispari aricevere lrsquoassegnazione Lrsquoambiguitagrave della frase egrave che i dispari una voltadivenuti pari vengono identificati con questi ultimi e assistiamo cosigrave aduna scomparsa dei dispari in favore dei pari

2Metafisica M 8 1084a1-23Ofman fa lrsquoesempio dellrsquouguaglianza dei diritti

Quando gli amici degli animali chiedono che i laquoloro diritti siano uguali aquelli degli uominiraquo non lo fanno al fine di ridurre quelli degli uomini eriportare questrsquoultimi a delle bestie Al contrario si tratta di chiedere che idiritti dei primi diventino uguali a quelli dei secondi

31 Il testo di Aristotele 41

Resta da vedere qual egrave la dimostrazione vista da Aristotele che gli permet-te di concludere lrsquoinclusione dei dispari nei pariLe dimostrazioni laquostandardraquo di irrazionalitagrave si basano sulla proposizioneVII22 degli Elementi di Euclide

I numeri piugrave piccoli fra quanti abbiano tra loro a due a due lostesso rapporto sono primi tra loro

la cui prova egrave ottenuta tramite un ragionamento per assurdoOra Aristotele usa lrsquoesempio dellrsquoirrazionalitagrave come esempio paradigmaticodi dimostrazione per assurdo (An pr I 23 41a23-31)

In realtagrave tutti coloro che sviluppano una prova mediante ridu-zione allrsquoassurdo da un lato deducono sillogisticamente una pro-posizione falsa e dallrsquoaltra provano la conclusione - che da prin-cipio si egrave stabilito di dedurre - partendo da una ipotesi quandocioegrave dallrsquoassunzione della premessa contraddittoria a tale con-clusione discende qualcosa di assurdo Una prova di questo ti-po ad esempio egrave quella che stabilisce lrsquoincommensurabilitagrave delladiagonale fondandosi sul fatto che quando viene supposta la suacommensurabilitagrave i numeri dispari risultano uguali ai numeripari Orbene da un lato che i numeri dispari diventino eguali ainumeri pari viene dedotto sillogisticamente e drsquoaltro lato chela diagonale sia incommensurabile viene provato con lrsquoappoggiodi unrsquoipotesi in quanto dallrsquoassunzione della premessa contrad-dittoria discende una proposizione falsa Come infatti abbiamovisto il ragionamento sillogistico mediante la riduzione allrsquoas-surdo consiste appunto in questo cioegrave nel provare qualcosa diassurdo attraverso lrsquoipotesi iniziale

Se la prova primitiva dellrsquoincommensurabilitagrave passava attraverso la pro-posizione VII22 allora il tipo di ragionamento per assurdo non sarebbeapparso per trattare dellrsquoirrazionalitagrave ma in un quadro numerico (intero)per dimostrare questo risultato ogni rapporto (intero) egrave rappresentabiletramite il rapporto di due interi relativamente primi Quindi Aristoteleavrebbe scelto lrsquoesempio dellrsquoirrazionalitagrave arbitrariamente dando cosigrave pro-va di incoerenza dal momento che lrsquoesempio fondamentale per illustrare ilmodo di ragionamento per assurdo richiederebbe lrsquouso di un risultato inter-medio anchrsquoesso dimostrato per assurdo Per evitare ogni circolaritagrave nellapresentazione egrave la proposizione VII22 che avrebbe dovuto scegliere essen-do il caso piugrave semplice


Eppure sia in Platone che in Aristotele non troviamo alcuna allusionead una costruzione comprendente due ragionamenti per assurdo lrsquouno cheprova la proprietagrave di rappresentazione dei rapporti interi tramite due interirelativamente primi poi da ligrave lrsquoimpossibilitagrave della razionalitagrave della radicequadrata di 2Per evitare queste difficoltagrave S Ofman dagrave una dimostrazione di irraziona-litagrave che non passa attraverso un risultato dimostrato per assurdo e chesoprattutto si accorda con i testi aristotelici

32 Il metodo di decomposizione paridispariLa dimostrazione data da Ofman si basa sul metodo molto antico del

pari e del dispari che risale ad almeno 4000 anni fa Si tratta non solo didividere i numeri tra pari e dispari ma di considerare il numero massimo divolte che un numero puograve essere diviso per 2 prima di arrivare a un numerodispariIn linguaggio moderno il metodo puograve essere descritto nel modo seguentePer ogni intero n pari4 abbiamo n = 2hu dove h egrave il numero massimo didivisioni di n per 2 e u egrave un dispariCosigrave ad esempio28 = 2times 14 = 2times 2times 7 egrave divisibile 2 volte per 2 vale a dire h = 2 o ancora28 = 22 times 7La scrittura di ogni intero pari nella forma n = 2hu deriva naturalmentedalla distinzione dei numeri in pari e dispari e permette di suddividerelrsquoinsieme dei numeri in maniera ancora piugrave precisa ripetendo ulteriormentequesta suddivisione sui pariIl metodo viene chiamato decomposizione paridispari di n e h viene chia-mato grado di paritagrave di nSe poniamoN lrsquoinsieme degli interi D lrsquoinsieme dei dispari P lrsquoinsieme dei pari2D lrsquoinsieme dei dispari moltiplicati per 2 2P lrsquoinsieme dei pari moltipli-cati per 24D lrsquoinsieme dei dispari moltiplicati per 4 4P lrsquoinsieme dei pari moltipli-cati per 4e cosigrave di seguito otteniamo la tabella della figura 31

4Oggi lrsquoipotesi n pari egrave superflua percheacute per h = 0 si ha 20 = 1

32 Il metodo di decomposizione paridispari 43

16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31

Questa tabella5 descrive i pari sotto forma di una successione

2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)

Una tale successione di potenze di 2 si ritrova nei piugrave antichi testi greci nonmatematici Giagrave il ragionamento per dicotomia di Zenone si fonda sulle

potenze di due e sui loro inversi vale a dire le frazioni della forma(1

2

)n

E lrsquoAteniese delle Leggi di Platone propone di fissare la pena per le recidivenel modo seguente

Se qualcuno nellrsquoambito di qualche arte che esercita partecipadel commercio al minuto indegno di un uomo libero sia accu-sato davanti ai cittadini giudicati primi per virtugrave da chiunquevuole farlo con lrsquoaccusa di disonorare la sua stirpe e se risultiinsudiciare con una pratica indegna il focolare suo e dei suoi pa-dri condannato a un anno di carcere sia allontanato da quellaoccupazione se recidivo saragrave condannato ad altri due anni dicarcere e ad ogni ricaduta nella condanna continueragrave a fare deiraddoppi in relazione al tempo di detenzione precedente6

Piugrave in generale il metodo diairetico o dicotomico utilizzato da Platone per laricerca delle definizioni prende come modello questa successione7 Il proce-dimento egrave cosigrave sintetizzabile preso un laquotutto unoraquo (oacutelon) lo si divide nelle

5Egrave essenzialmente dovuta a Nicomaco ma gli storici la fanno risalire ai pitagorici antichi6Platone Leggi 919e6-920a37Vedere per esempio la quasi totalitagrave del Sofista Fedro 266a


due partiaspetti complementari che in esso sono riconoscibili e di questedue parti si sceglieragrave quella che interessa per la ricerca in corso dividendolaa sua volta in due Cosigrave facendo ripetendo la divisione per ogni aspetto dinostro interesse fino a giungere allrsquooggetto drsquoindagine lrsquointero di partenzasaragrave alla fine diviso nelle sue varie forme (eidos) Da qui risalendo a ritrososeguendo le varie ramificazioni ottenute egrave possibile ritrovare la definizionedellrsquooggetto studiato unificando i vari aspetti di nostro interesseIn un testo in cui critica la procedura dicotomica platonica Aristoteleosserva che questa conduce a ciograve

le differenze ultime sarebbero dellrsquoordine di 4 o ci sarebbe qualchealtro tra i numeri binari successivi [dunque le potenze di 2]

Egli rimprovera inoltre a Platone di affermare che le sole divisioni naturalisarebbero di potenze di 2 lrsquoerrore che questrsquoultimo commette egrave dimenticareil fattore dispari che interviene quando si considera un numero in generale

33 Proprietagrave della decomposizione paridispari(a) Il grado di paritagrave di un prodotto egrave la somma dei gradi di paritagrave di

ciascuno dei termini del prodotto vale a direm = 2ku (con u dispari) e n = 2hv (con v dispari)alloramtimes n = 2k+hw (con w dispari w = utimes v)Questa proprietagrave egrave chiamata additivitagrave del grado di paritagrave8Da questa proprietagrave consegue che il grado di paritagrave di m2 = m times m egraveil doppio del grado di paritagrave di m Si ha dunque la proprietagrave seguentechiamata proprietagrave dei gradi di paritagrave dei quadrati il grado di paritagrave di un quadrato egrave sempre pariAllo stesso modo il grado di paritagrave di un cubo egrave sempre un multiplo di 3che chiameremo proprietagrave dei gradi di paritagrave dei cubi

34 La dimostrazione dellrsquoincommensurabi-litagrave della diagonale al lato del quadrato

Si procede tramite una dimostrazione per assurdoSi tratta di dimostrare che supporre lrsquoesistenza di due interi m e n di rap-

8Se uno dei due numeri egrave dispari il grado di paritagrave del prodotto egrave uguale al grado diparitagrave del numero pari

34 La dimostrazione dellrsquoincommensurabilitagrave della diagonale al lato del quadrato 45

porto uguale aradic

2 conduce ad unrsquoimpossibilitagraveSupponiamo dunque che

radic2 =

m

n

Elevando al quadrato si ottiene 2 = (m

n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)

Per lrsquoadditivitagrave dei gradi di paritagrave il grado di paritagrave di 2n2 egrave uguale a quellodi n2 aumentato di uno Per la proprietagrave dei gradi di paritagrave dei quadratiil grado di paritagrave di n2 e di m2 sono pariI termini di sinistra e di destra dellrsquouguaglianza (31) rappresentano lo stes-so numero quindi hanno lo stesso grado di paritagraveSi ha quindi che un numero pari aumentato di 1 egrave uguale ad un numeropariLrsquounitagrave differenza di due pari egrave dunque pari9Per definizione un numero dispari egrave la somma di un pari e di una unitagrave10Essendo ora lrsquounitagrave pari allora ogni dispari egrave somma di due pari e poicheacutela somma di due pari egrave ancora pari si ottiene che ogni dispari egrave pari equindi il crollo dei dispari nei pari che egrave proprio la contraddizione indicataper tre volte nei Primi Analitici di AristoteleQuesta dimostrazione non utilizza la proposizione VII22 degli Elementiche egrave il centro della prova generale dellrsquoirrazionalitagrave degli interi non qua-dratiOfman afferma11

Dal punto di vista matematico la tendenza egrave in effetti la ge-neralizzazione e lrsquooblio delle tappe storiche intermedie

per mettere in evidenza il fatto che una volta che il risultato egrave stato ot-tenuto lrsquoattenzione si egrave spostata dalla paritagrave alla primalitagrave e il risultatoparticolare riguardante 2 cosigrave come il metodo basato sulla paritagrave sono scom-parsi

9Lrsquounitagrave sarebbe allora divisibile per 2 e cosigrave la piugrave grande paura dei matematicigreci sarebbe realizzata lrsquounitagrave apparirebbe non piugrave come una ma un insieme di parti(Repubblica VII 525e5) Per i Greci antichi lrsquounitagrave era precisamente concepita perdefinizione come indivisibile Drsquoaltra parte poicheacute 1 egrave il piugrave piccolo dispari e 2 il piugravepiccolo pari si avrebbe 1=2 ed essendo lrsquounitagrave ciograve tramite cui il numero egrave definito valea dire una laquopluralitagraveraquo di unitagrave se 1 fosse uguale a 2 tutti i numeri sarebbero pari e siritroverebbe lrsquoassurditagrave che tutti i dispari diventano pari

10Elementi libro VII def VII Numero dispari egrave quello che non egrave divisibile in due parti(=numeri) uguali ossia quello che differisce di una unitagrave da un numero pari

11cf [13]


Invece nella costruzione proposta da Ofman la paritagrave gioca un ruolo es-senziale tramite la decomposizione paridispari Nella dimostrazione essainterviene in modo molto speciale concludendo che lrsquounitagrave diventa pariDa qui segue il crollo della nozione stessa di paritagraveSi possono allora interpretare letteralmente questi testi dei Primi AnaliticiSi conclude in effetti non piugrave che un numero dispari egrave uguale a un pari oancora che un numero egrave contemporaneamente pari e dispari che egrave ciograve cuigiungono le altre dimostrazioni ma che ogni dispari egrave pari O ancora intermini aristotelici che (il genere) dispari egrave (il genere) pari

35 Conseguenze

(a) Il risultato resta vero per ogni numero pari il cui grado di paritagrave egravedispariEgrave sufficiente ripetere la dimostrazione precedenteSia x = 2is un intero con i e s dispariSupponiamo per assurdo che esistano due interi m e n il cui rapporto siauguale a

radicx

Elevando al quadrato si ottiene

x = (m

n)2 =

m2

n2

o ancoraxtimes n2 = m2 (32)

Questa uguaglianza significa che i termini di sinistra e di destra rappresen-tano lo stesso numero quindi hanno lo stesso grado di paritagrave Il grado diparitagrave di x times n2 = m2 egrave uguale al grado di paritagrave di x (cioegrave i) sommatoal grado di paritagrave di n2 Il grado di paritagrave di n2 e di m2 egrave pari quindi lasomma di un numero dispari i e di un numero pari (il grado di paritagrave din2) egrave uguale ad un numero pari (il grado di paritagrave di m2)Ma la somma di un dispari e di un pari egrave dispari si ha quindi unrsquougua-glianza tra un pari e un dispari da cui unrsquoimpossibilitagrave12

12A differenza del paragrafo precedente lrsquoassurdo cui si arriva qui non egrave che lrsquounitagrave egravepari ma che la somma di un dispari e di un pari egrave pari Poicheacute questo risultato inglobacome caso particolare quello di x = 2 esso avrebbe potuto far ldquodimenticarerdquo ai matematiciposteriori la conclusione impossibile della prima dimostrazione (lrsquounitagrave egrave pari) a favoredellrsquouguaglianza tra un dispari e un pari che ritroviamo nelle dimostrazioni standard

35 Conseguenze 47

Applicazioni

Le radici quadrate di tutti i numeri pari come 2 6 8 10 14 (ma non4 12 1613) sono irrazionali(b) Lrsquoirrazionalitagrave egrave ricondotta al solo caso dei numeri dispariSi utilizza qui una proprietagrave dei quadrati se moltiplichiamo il lato di unquadrato per un intero a otteniamo un quadrato la cui area egrave a2 volte piugravegrande di quella del primo14Dal momento che

radict egrave il lato di un quadrato di superficie t in scrittura

moderna questo dagraveradica2t = a

radict dove a et sono degli interi

Consideriamo ora il caso di un intero dispari y con grado di paritagrave paricioegrave la sua decomposizione paridispari dagravey = 22is dove s egrave dispari1 Dire che la radice quadrata di y egrave razionale vuol dire che esistono dueinteri p e q tali che

radicy =

p

q

o ancora che radic22is = 2i

radics =

p

q

vale a dire cheradics egrave razionale15

Quindi per ogni intero pari z = 2jw sono possibili due casi

- j egrave dispari quindiradicz egrave irrazionale

- j egrave pari quindiradicz egrave razionale (o irrazionale) a seconda che lo egrave

radicw

(o che non lo egrave)

2 Lrsquoesistenza della radice quadrata di w (intero dispari) razionale egraveequivalente a dire che w egrave il quadrato di un numero razionale cioegrave esistonodue interi m e n tali che

w = (m

n)2 =

m2

n2

13Il senso di questa parentesi non egrave cheradic

4radic

12radic

16 non sono irrazionali ma soloche questo risultato non puograve essere ottenuto dal discorso precedente in quanto il grado diparitagrave di questi numeri non egrave dispari

14Cosigrave duplicando il lato di un quadrato otteniamo un quadrato 4 volte piugrave grandecome Socrate mostra al giovane servitore del Menone di Platone (82e-83b) che pensavainvece di duplicare il quadrato iniziale

15La razionalitagrave di radicy equivalente a quella diradics stesso discorso vale per la loro

irrazionalitagrave


o ancoraw times n2 = m2

Se m = 2hu (con u dispari) e n = 2kv (con v dispari) allora il grado diparitagrave di m2 = 2h e il grado di paritagrave di n2 = 2kEssendo lrsquointero w dispari il grado di paritagrave di w times n2 egrave uguale a quellodi m2Si ha quindi 2h = 2k vale a dire h = k da cui

w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2

e w egrave il quadrato di un rapporto di due dispariCosigrave da 1 e 2 segue che la questione riguardante le radici quadrate egrave inte-ramente ricondotta al caso degli interi dispariConcludendo la dimostrazione standard richiede di ricorrerre alla propo-sizione VII22 degli Elementi secondo la quale ogni razionale puograve essererappresentato come rapporto di due interi primi i numeri piugrave piccoli traquelli il cui rapporto dagrave quel numero razionale Questa proposizione non egraveassolutamente banale e inoltre pone un problema cronologico difficile fareintervenire questa proposizione aggiunge un grado di incertezza molto fortealla datazione della scoperta dellrsquoirrazionalitagrave di

radic2 e di conseguenza a

quella delle altre radici irrazionali di interi Inversamente la datazione del-la conoscenza dellrsquoirrazionalitagrave di

radic2 influenzeragrave quella della proposizione

VII22 e quindi di tutto il libro VII con un rischio evidente di circolaritagraveCon la dimostrazione proposta da Ofman al contrario queste due questionisono indipendenti

36 Una dimostrazione che non si espone al-le critiche aristoteliche

Lrsquouso della proposizione VII22 nelle dimostrazioni standard pone unproblema nei confronti della teoria aristotelica della scienza in quanto egravetroppo generale per il risultato cercato e dagrave una soluzione per tutti gliinteri non quadrato (di interi)16 Si espone cosigrave ad una doppia critica Epi-stemologica in quanto contravviene allrsquoadeguatezza richiesta da Aristotele

16Secondo Aristotele la conoscenza non consiste nellrsquoenunciare una proprietagrave vera manel determinare la causa al fine di ottenere una conoscenza vera o universale Dal puntodi vista dimostrativo questo si traduce in un ragionamento che deve essere precisamenteadattato neacute troppo generale neacute troppo particolare Nellrsquouno o lrsquoaltro caso afferma laconclusione egrave sbagliata anche se considerata laquoin se stessaraquo egrave vera (Secondi Analitici I24)

36 Una dimostrazione che non si espone alle critiche aristoteliche 49

tra il mezzo (la dimostrazione) e il fine (il risultato ottenuto) cronologicain quanto le testimonianze testuali impongono un periodo sufficientementelungo tra il risultato particolare dellrsquoirrazionalitagrave di radice quadrata di 2 eil caso generaleLa dimostrazione proposta da Ofman invece non si espone alle stesse criti-cheInnanzitutto non si espone alla critica aristotelica dellrsquoinadeguatezza delmezzo al fine infatti se si prova a generalizzare la dimostrazione della se-zione 34 questa generalizzazione fallisce

Sia x un intero qualunque Riprendiamo la dimostrazione della sezione34 sostituendo 2 con xOgni intero n si puograve scrivere sotto forma di un prodotto n = xhu dove hegrave il numero massimo di divisioni possibili di n per x e u egrave un intero nondivisibile per x17Supponiamo che la radice quadrata di x sia razionale vale a dire

radicx =

m

n

con n = xhu e m = xkv dove u e v degli interi non divibili per x da cui

x =m2

n2

e dunquextimes n2 = m2

e poicheacute n = xhu e m = xkv si ottiene

x2h+1t = x2ks (33)

con t = u2 e s = v2Per concludere lrsquounicitagrave bisogna dimostrare come nel caso x = 2 che t e snon sono divisibili per x18Per x = 2 egrave evidente percheacute gli interi e i loro quadrati hanno la stessaparitagraveIn generale invece questo egrave falso se un intero non egrave divisibile per un altrointero questo non significa che non lo sia neanche il suo quadrato19

17Dalla definizione di h segue immediatamente la sua unicitagrave cosigrave come quella di useguono anche le proprietagrave di additivitagrave dei gradi di paritagrave

18Ma sappiamo solo che u e v non lo sono19Ad esempio 4 non egrave divisibile per 8 ma il suo quadrato 42 = 16 lo egrave Per trattare questa

questione egrave stata elaborata la teoria che compare alla fine del libro VII degli Elementiin particolare le proposizioni dalla 26 alla 32 Questa egrave essenzialmente la teoria delladecomposizione degli interi in fattori primi


Per concludere il ragionamento per assurdo che prova lrsquoirrazionalitagrave diradicx

bisogna dimostrare lrsquoimpossibilitagrave che il risultato (33) si verifichi Questopuograve riscriversi nel modo seguente

- Se 2h+ 1 egrave maggiore di 2k

x2h+1minus2k =s

t=v2

u2

vale a dire radicx2h+1minus2k =

v

u

- Se 2h+ 1 egrave minore di 2k

x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2

vale a dire radicx2kminus2hminus1 =

u

v

Ma questo egrave equivalente (quasi) a dimostrare lrsquoirrazionalitagrave della radicequadrata di non importa quale potenza dispari di x20 cioegrave a provare laquestione da cui siamo partiti21 Siamo quindi in un circolo e la generaliz-zazione fallisce

Quindi la dimostrazione proposta da Ofman non incorre nelle critichearistoteliche dellrsquoinadeguatezza del mezzo al fine in cui invece incorrono lealtre dimostrazioni e non incorre neanche nella critica cronologica mossada coloro i quali ritengono che sia inverosimile che un intervallo di tempomolto lungo sia intercorso tra la dimostrazione standard dellrsquoirrazionalitagravediradic

2 e la prova generale22 Nel caso della dimostrazione di Ofman invecequesto problema non si presenta come egrave stato giagrave sottolineato nella sezione(35)

20Come nel caso x = 2 lrsquoirrazionalitagrave di x egrave equivalente a quella di tutte le potenzedispari di x

21Questo non egrave del tutto esatto percheacute allrsquoinizio di questa dimostrazione abbiamo dettocheradicx egrave razionale se si scrive come rapporto di due interi qualunque m e n ora invece

consideriamo due interi u e v non divisibili per x22Heath ad esempio pensa che la prima prova dellrsquoirrazionalitagrave di

radic2 sia molto antica

e sia quella di cui si parla negli Analitici Ma poicheacute egli pensa che egrave stata utilizzatala dimostrazione standard per spiegare il lungo tempo intercorso tra la dimostrazionestandard dellrsquoirrazionalitagrave di

radic2 e la prova generale afferma che i matemetici greci a

quel tempo erano presi con altri problemi quali la quadratura del cerchio la trisezionedellrsquoangolo e la duplicazione del cubo

37 Origine del ragionamento per assurdo 51

37 Origine del ragionamento per assurdoLa dimostrazione drsquoirrazionalitagrave proposta da Ofman oltre a rendere con-

to adeguatamente delle testimonianze testuali presenta un ulteriore interes-se ci fornisce delle informazioni sullrsquoorigine del ragionamento per assurdoEssa spiega il carattere paradigmatico della dimostrazione geometrica diincommensurabilitagrave in quanto modello di dimostrazione per assurdo Ladimostrazione proposta non utilizzando alcun risultato intermedio giagrave di-mostrato per assurdo appare come il primo teorema che non si puograve ottenereattraverso alcun metodo diretto Da cui la relazione tra irrazionale e provaper assurdo che ritroviamo nei testi aristoteliciCi si puograve chiedere se questa relazione tra dimostrazione per assurdo e provadi incommensurabilitagrave sia stata stabilita da Aristotele o se egli non abbiafatto altro che riportare il punto di vista dei matematiciIl seguente brano tratto dalla Metafisica

Tutti cominciano con il meravigliarsi che le cose stiano in undeterminato modo cosigrave ad esempio di fronte alle marionetteche si muovono da seacute nelle rappresentazioni o di fronte alle ri-voluzioni del sole o alla incommensurabilitagrave della diagonale allato infatti a tutti coloro che non hanno ancora conosciuto lacausa fa meraviglia che fra lrsquouna e lrsquoaltro non vi sia una unitagraveminima di misura comune Invece bisogna pervenire allo statodi animo contrario il quale egrave anche il migliore secondo quantodice il proverbio E cosigrave avviene appunto per restare agli esem-pi fatti una volta che si sia imparato di nulla un geometra simeraviglierebbe di piugrave che se la diagonale fosse commensurabileal lato

in cui Aristotele fa una presentazione in due tempi (prima tutti si stupi-scono dellrsquoincommensurabilitagrave della diagonale poi si stupirebbero se fosseil contrario) fa propendere per il secondo casoTuttavia la dimostrazione per assurdo non egrave relegata solo alla sfera mate-matica infatti essa egrave molto utilizzata nei dialoghi platonici e da Aristoteleche le consacra una forma di sillogismo Questo ha portato Szaboacute a for-mulare una doppia tesi23 Da una parte la causa della singolaritagrave dellamatematica greca antica egrave da ricercarsi in questa forma di ragionamentoDrsquoaltra parte questa forma di ragionamento sarebbe nata presso gli Eleatiil primo testo dove si troverebbe un tale ragionamento sarebbe il Poema diParmenide Szaboacute conclude allora che la matematica greca antica ha un

23 [18] pp 336-337


fondamento filosofico e che Aristotele non avrebbe avuto alcuna influenzasulla matematica della sua epoca Per difendere la sua tesi Szaboacute si basasul discorso di Parmenide che fa un ragionamento per assurdo nellrsquooperaeponima di Platone Ma non egrave detto che tutti i discorsi che Platone fapronunciare ai suoi personaggi siano da attribuirsi realmente a questiKnorr a proposito di questa tesi di Szaboacute afferma che qualora una ta-le direzione esiste il suo senso egrave generalmente opposto sono i filofosi chesi impadroniscono del lavoro dei risultati delle definizioni o dimostrazio-ni matematiche al fine di sfruttarle NellrsquoEutidemo sono i dialettici cheSocrate vede ldquocucinarerdquo i risultati matematici

[ ]E quando appunto abbiano conquistato ciograve di cui vannoa caccia non sanno servirsene tanto egrave vero che cacciatori epescatori offrono il bottino ai cuochi i geometri gli astronomi imaestri del calcolo (anche questi sono cacciatori cheacute in effettociascuno di loro non costruisce le figure ma rintraccia quelleche giagrave sono) tutti costoro come quelli che non sanno servirsidelle loro arti ma solo cacciarle consegnano le loro scoperte aidialettici percheacute ne usino24

Comunque sia presso Platone che presso Aristotele non crsquoegrave alcuna allusio-ne ad unrsquoorigine filosofica meno ancora parmenidea del ragionamento perassurdo Se questa relazione esistesse questo silenzio sarebbe inspiegabilevista lrsquoimportanza accordata ai rapporti tra matematica e filosofiaInoltre un gran numero di pensatori presocratici sono stati matematici co-sigrave Talete Democrito Anassimandro e Pitagora Egrave quindi improbabile cheuna nuova forma di ragionamento sia stata utilizzata per un lungo periodoin uno dei due campi senza passare nellrsquoaltroCiograve non toglie che si puograve seguire Szaboacute quando questi propone di legarela nascita della matematica greca al ragionamento per assurdo Szaboacute hacertamente ragione nel sottolineare lrsquoimportanza di questo tipo di ragiona-mento in matematica Questo metodo sarebbe allrsquoorigine della costruzionedimostrativa nel senso ipotetico deduttivo Lrsquointroduzione delle grandezzeirrazionali superando i calcoli sui soli numeri interi esigeva questo nuovoapproccio Infatti come sostiene WKnorr

questo settore della matematica non puograve fare appello alla prati-ca per sostenere le sue affermazioni ( ) La sua giustificazionenon puograve essere basata che su una deduzione logica e una teo-ria di tali quantitagrave non puograve avere che un criterio di validitagrave la

24Eutidemo 290c


coerenza logica

Questo egrave il motivo per cui lrsquoirrazionalitagrave si ritrova al centro della dimostra-zione per assurdo

Capitolo 4

Conclusioni

Il modo in cui avvenne la scoperta dellrsquoesistenza di grandezze incom-mensurabili egrave incertoLe ricostruzioni si basano essenzialmente su due fonti La piugrave antica egrave unpasso di Aristotele (An pr I 23 41a26-27) in cui si dice che la diagonalenon egrave commensurabile [con il lato] percheacute se lo fosse i numeri dispari do-vrebbero coincidere con i pari La seconda fonte egrave negli Elementi di Euclide(X pp 408-411 ed Heiberg) Si tratta di un brano probabilmente spurioche contiene una prova completa dellrsquoincommensurabilitagrave coerente con labreve esposizione di AristoteleSulla base di queste fonti molti autori hanno accettato che lrsquoincommen-surabilitagrave sia stata per la prima volta scoperta nellrsquoambito degli studi sullato e sulla diagonale del quadrato soprattutto percheacute Platone e Aristotelene parlano sempre in relazione a questo esempio Le dimostrazioni basatesu questa ipotesi sono state presentate nel primo capitoloTuttavia alcuni autori hanno formulato altre ipotesi tra cui quella basa-ta sullrsquoapplicazione del metodo dellrsquoanthyphairesis (sottrazioni successive)che come abbiamo visto nel capitolo 2 se applicato al lato e alla diagonaledi un pentagono regolare (o anche al lato e alla diagonale di un quadrato)dagrave lrsquoincommensurabilitagrave delle grandezze considerate come conseguenza delfatto che il procedimento continua ad infinitumAbbiamo visto come le dimostrazioni dellrsquoirrazionalitagrave proposte nel primoe nel secondo si espongano a diverse criticheIn particolare le dimostrazioni standard sono soggette a critiche di natura

1 Epistemologica in quanto lrsquouso della proposizione VII22 pone unproblema nei confronti della scienza come concepita da AristoteleInfatti questa proposizione egrave troppo generale per il risultato cercatoe dagrave una soluzione per tutti gli interi non quadrato di interi e una

55

56 4 Conclusioni

dimostrazione dellrsquoirrazionalitagrave diradic

2 che secondo un metodo che per-mette di stabilire altrettanto bene lrsquoirrazionalitagrave degli altri numeri egraveuna conoscenza laquoalla maniera dei sofistiraquo1 Essa non rende conto del-la sola natura del numero 2

2 Di inadeguatezza del mezzo (la dimostrazione) al fine (la conclusio-ne) infatti tutte queste dimostrazioni sfruttano la VII22 che egrave unaproprietagrave non di paritagrave ma di relativa primalitagrave per ottenere la con-clusione non egrave necessario che tutte le frazioni possano essere messesotto forma di un rapporto tra due numeri interi ma egrave soltanto suffi-ciente che non siano simultaneamente pari2

3 Cronologica in quanto il fatto che la dimostrazione standard ammet-ta una generalizzazione immediata non spiega percheacute sia intercorsotanto tempo tra la dimostrazione del risultato particolare riguardantelrsquoirrazionalitagrave di

radic2 e il caso generale

In effetti presso gli autori antichi lrsquoirrazionalitagrave diradic

2 appare sottola forma dellrsquoincommensurabilitagrave della diagonale del quadrato comeun risultato in seacute E in un testo del Teeteto di Platone (147d-148b)riguardante lrsquoirrazionalitagrave delle radici di interi il numero 2 si trovaesplicitamente distinto dagli altri interi Allrsquoepoca di Socrate dove sisvolge il racconto non si ha quindi una dimostrazione unica validaper tutti gli interi3Quindi se la dimostrazione vista da Aristotele egrave la piugrave antica dimo-strazione di irrazionalitagrave non puograve essere una dimostrazione generaledi cui 2 sarebbe un caso particolare

1Secondo Aristotele il sapere consiste nel conoscere la causa di un oggetto sapendo chesi tratta della sua causa (Sec An I 2 71b 9-12)

Noi pensiamo di conoscere un singolo oggetto assolutamente - non giagrave in modosofistico cioegrave accidentale - quando riteniamo di conoscere la causa in virtugravedella quale lrsquooggetto egrave sapendo che essa egrave causa di quellrsquooggetto e crediamoche allrsquooggetto non possa accadere di comportarsi diversamente Egrave dunquechiaro che il sapere egrave qualcosa di simile

2Cfsezione 223Questo egrave un elemento a favore della tesi secondo cui quella degli Elementi non egrave la

dimostrazione originale infatti egrave cosigrave immediata la generalizzazione della dimostrazio-ne tradizionale riguardante la radice quadrata di 2 che difficilmente Platone lrsquoavrebbemenzionata come una nuova scoperta

57

Invece la critica principale contro le dimostrazioni geometriche egrave quella dinon trovare riscontro nelle testimonianze testuali in nostro possessoLa dimostrazione proposta invece nellrsquoultimo capitolo non si espone allestesse criticheNon si espone alla critica di inadeguatezza del mezzo al fine in quanto que-sta dimostrazione non sfrutta la proposizione VII22 ma si basa sul metododella decomposizione paridispariNon si espone neanche alla critica epistemologica e cronologica in quantola dimostrazione proposta non puograve essere generalizzata e ciograve spiegherebbeanche il tempo intercorso tra la dimostrazione del caso particolare e quelladel caso generale e drsquoaltra parte non si espone neanche alla critica di nontrovare riscontro nelle fonti visto che questa dimostrazione si basa sullaproprietagrave dei pari e dei dispari ed egrave dimostrata tramite una reductio adabsurdum in accordo quindi con il testo aristotelicoLrsquointeresse di tale dimostrazione egrave anche la sua neutralitagrave cronologica In-fatti lrsquoutilizzo della proposizione VII22 degli Elementi impone un terminuspost quem alla datazione della scoperta dellrsquoirrazionalitagrave di radice quadratadi 2 al contrario lrsquoantichitagrave dei risultati necessari alla dimostrazione pro-posta da Ofman non impone alcun limite superiore di datazione evitandocosigrave le speculazioni sul momento della scopertaCi si puograve interrogare sulla tradizione riportata da Aristotele e da nume-rosi altri testi dellrsquoantichitagrave che collega lrsquoirrazionalitagrave agli antichi Greci epiugrave precisamente a Pitagora o ai primi pitagorici vale a dire autori del VIsecolo a CLa dimostrazione proposta nel primo capitolo sfrutta il teorema di Pitagorainvece i risultati matematici necessari per la dimostrazione di Ofman era-no disponibili giagrave molto tempo prima essendo conosciuti quasi certamentedai Mesopotami e dagli Egizi4 cioegrave risalgono almeno a due millenni a CNon crsquoegrave perograve alcuna traccia di questi risultati prima di quelli della Grecia

4La serie di potenze di 2 era comunemente utilizzata per la moltiplicazione tra interiSecondo il papiro di Rhind questa scrittura come somma di potenze di 2 era alla basedella tecnica moltiplicatica egizianaPer moltiplicare due numeri si decompone il moltiplicatore sotto forma di una sommadi tali potenze dopodicheacute si procede alla moltiplicazione del primo termine della molti-plicazione per ogni elemento di questa somma e infine si sommano i risultati Cosigrave adesempio

15times 13 = 15times (8 + 4 + 1) = 15times 8 + 15times 4 + 15times 1 = 120 + 60 + 15 = 195

Certamente i Greci erano a conoscenza di questa tecnica moltiplicativa visto che le coloniegreche confinavano con lrsquoEgitto e visto anche che Platone nelle Leggi propone lrsquoeducazionematematica dei ragazzi egiziani come modello per quella dei ragazzi greci (VII 819a-d)

58 4 Conclusioni

classica ma come fa notare Ofman questo non invalida necessariamentequanto egrave stato stabilito altrove Infatti Ofman osserva

Gli antichi Greci e Platone in particolare cosigrave smaniosi di fararrivare agli Egizi le loro scoperte piugrave sorprendenti (e non soloin matematica) non fanno mai riferimanto a questa questione

Per quanto riguarda il teorema di Pitagora questo egrave indipendente dal risul-tato e non interviene nella dimostrazione la quale egrave una dimostrazione dinon esistenza non esistono numeri (razionali) di quadrato uguale a 2 Malrsquoesistenza stessa nel quadro geometrico di una grandezza il cui quadratoegrave uguale a 2 egrave una conseguenza del teorema di Pitagora o piugrave esattamentedi un caso particolarmente semplice di questo cioegrave il caso di un triangolorettangolo isoscele La dimostrazione egrave data nel Menone di Platone Que-sta esistenza egrave preliminare alla dimostrazione di qualche risultato che inqualche modo la riguardaLrsquoirrazionalitagrave di

radic2 suppone dunque questo teorema5 La sua attribuzione

a Pitagora pone dei problemi essendo le testimonianze tardive posterioridi almeno un mezzo millennio e poco sicure Gli Egizi e i Mesopotamipotevano anche essere in possesso di una forma piugrave o meno primitiva delteorema di Pitagora ma ciograve che egrave completamente assente dalla loro ma-tematica egrave lrsquouso del metodo detto di dimostrazione per assurdo in altritermini di una nuova concezione della matematica che permette di elabo-rare questa forma di dimostrazioneConcludendo seguendo la prospettiva proposta nel terzo capitolo lrsquoirrazio-nalitagrave si trova intrinsecamente collegata con il metodo per assurdo non solocome caso di applicazione fondamentale ma logicamente e cronologicamen-te in accordo con la stretta relazione che troviamo nei testi aristotelici esempre seguendo questa impostazione lrsquoincommensurabilitagrave della diagonaleegrave necessariamente anteriore alla prova generale

5Per le dimostrazioni del primo capitolo in quanto esso interviene nella dimostrazio-ne invece per la dimostrazione del terzo capitolo solo per una questione di esisten-za in effetti senza il teorema di Pitagora non si avrebbe neanche ragione di pensareallrsquoincommensurabilitagrave

Bibliografia

[1] Aristotele Organon (a cura di Giorgio Colli) Adelphi 2003

[2] Oskar Becker Die Lehre vom Geraden und Ungeraden im neuntenBuch der Euklidischen Elemente Versuch einer Wiederherstellung inder urspruumlnglichen Gestalt Quellen und Studien zur Geschichte derMathematik Abteilung B (Studien)pp 533ndash553 1936

[3] Carl B Boyer Storia della matematica Mondadori 2006

[4] Jacques Brunschwig and Geoffrey ERLloyd Il sapere greco Einaudi2007

[5] Salvatore Coen Matematiche elementari da un punto di vistasuperiore note preliminari cap VIII 2010

[6] Euclide Gli Elementi (a cura di A Frajese - L Maccioni) UTET1970

[7] D H Fowler Ratio in early greek mathematics Bulletin of theAmerican Mathematical Society vol 1(num 6)pp 807ndash846 1979

[8] Attilio Frajese La scoperta dellrsquoincommensurabile nel dialogo MenoneBollettino Unione Matematica Italiana vol 9(num 1)pp 74ndash80 1954

[9] Livia Giacardi and Silvia Clara Roero La matematica delle civiltagravearcaiche Stampatori didattica 1978

[10] Thomas Heath A history of greek mathematics Dover 1981

[11] Morris Kline Storia del pensiero matematico Einaudi 1999

[12] Wilbur Knorr The evolution of the Euclidean Elements Reidel 1975

[13] Salomon Ofman Lrsquoirrationaliteacute deradic

2 dans les Analytiques drsquoAristotePhilosophie antique (num 10)pp 81ndash138 2010

59

60 Bibliografia

[14] Platone Opere Complete Laterza 1984

[15] Proclo Commento al 1 libro degli Elementi di Euclide Giardini 1978

[16] Giovanni Reale Metafisica di Aristotele Bompiani 2004

[17] Lucio Russo La rivoluzione dimenticata Feltrinelli 2001

[18] Arpad Szabograve The beginnings of Greek mathematics Reidel 1978

[19] William Thomson The Commentary of Pappus on Book X of EuclidrsquosElements Harvard University Press 1930

[20] Imre Toth Lo schiavo di Menone Vita e Pensiero 1998

[21] Kurt von Fritz The Discovery of Incommensurability by Hippasus ofMetapontum Annals of Mathematics XLVIpp 242ndash264 1945

[22] Kurt von Fritz Le origini della scienza in Grecia Il Mulino 1988

[23] Gabriele Zaffagnini Il duplice parricidio di Platone Technical reportCollegio Superiore di Bologna 2006-07

[24] Paolo Zellini Gnomon una indagine sul numero Adelphi 1999

Alla mia famiglia

Introduzione


i

ii


Indice

Introduzione i











iii

iv Indice


4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Introduzione


i

ii


Indice

Introduzione i











iii

iv Indice


4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












ii


Indice

Introduzione i











iii

iv Indice


4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Indice

Introduzione i











iii

iv Indice


4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












iv Indice


4 Conclusioni 55

Bibliografia 59

Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Capitolo 1






1













































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
























































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia



















































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia











































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia


































Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia

















Fig 11

















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia



























22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia






















22Elementi VII27





24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
















24 [12] pp228-229











26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia






















26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














26 [2] p 53427 [18] p 233





Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
















Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Capitolo 2






13












radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia























radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














radic3 e non da




radic3 e diradic

















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia



























Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia





















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
















Fig 24
































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia








































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia





































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia































1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia

























1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia


















1

3 +1

2




Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia















Fig 26


Fig 27


Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia













Dalla figura 28

Fig 28

















radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia























radic5


(A+B) A = A B

da cuiA2 = B(A+B)



Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia













Fig 210






22[6] nota 2 pp 598-599




















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia































f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
























f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia


















f = n0 +1

n1 +1

n2 +1

n3 +

= [n0 n1 n2 ] = a b







Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia

















Fig 211


sn+1 = sn + dn (21)




(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














(1 1) (2 3) (5 7) (12 17)


d2n = 2s2n + (minus1)n (23)






dnsn

)2

= 2 +(minus1)n

s2n




s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














s2nrarr 0

limnrarrinfin

(dnsn

)2

= 2


limnrarrinfin

dnsn

=radic

2


∆1 1 1 1∆2 3 2 1 5∆3 7 5 1 4∆4 17 12 1 416∆5 41 29 1 4137931 ∆6 99 70 1 4142857 ∆7 239 169 1 4142011 ∆8 577 408 1 4142156





radic2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +


1

1 1 +

1

2=

3

2 1 +

1

2 +1

2 +1

2

=7

5




17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia















17

5

41

29rarr rarr

radic2 larr larr 99

70

17

12

3

2



(2 3) (12 17) (70 99) (408 577)





dnsn

)2

= 2 +

(1

s2n

)


)2



(5 7) (29 41) (169 239) (985 1393)







limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














limnrarrinfin

b2n = 2


ynxn


radic2






|bm minus bn| gt c














r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia


















r0 = dminus s = s1


r1 = sminus s1 = d1






39Toth afferma




(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














(2a+ x)2 + x2 = 2a2 + 2(a+ x)2 (28)

che nella variante



Fig 212


(2AB + CD)2 + CD2 = 2AB2 + 2(AB + CD)2





50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia















50rispettivamente

Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Capitolo 3









1cf [13]

39



















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia






























16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
























16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia


















16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia













16D 16P

8P8D

4D

2D

D

4P

2P

P

N

Fig 31


2(2n+ 1) 4(2n+ 1) 8(2n+ 1) 16(2n+ 1)



2

)n















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia






















porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia













porto uguale aradic


radic2 =

m

n


n)2 =

m2

n2 o ancora

2n2 = m2 (31)






11cf [13]



35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia














35 Conseguenze


radicx


x = (m

n)2 =

m2

n2




35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












35 Conseguenze 47

Applicazioni






radicy =

p

q


radics =

p

q





radicw



w = (m

n)2 =

m2

n2


4radic

12radic




irrazionalitagrave




w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia















w = (m

n)2 =

22ht

22kr=t

r=u2

v2= (

u

v)2












radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia















radicx =

m

n


x =m2

n2



x2h+1t = x2ks (33)









x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia
















x2h+1minus2k =s

t=v2

u2


v

u


x2kminus2hminus1 =t

s=u2

v2


u

v
















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia

















23 [18] pp 336-337






24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia

















24Eutidemo 290c


coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia













coerenza logica


Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Capitolo 4

Conclusioni



55

56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












56 4 Conclusioni












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












57





58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












58 4 Conclusioni







Bibliografia















59

60 Bibliografia












Bibliografia















59

60 Bibliografia












60 Bibliografia












Documents

L’irrazionalitànellamatematicagreca ... · Quello che segue è il testo originale della dimostrazione dell’incom-mensurabilità del lato e della diagonale di un quadrato tratta