Esquemas multiplicativos y manifestaciones de conducta cognitiva: condición para mirar las rutas de estudio y aprendizaje seguidas por los estudiantes de grado séptimo de algunas instituciones educativas para captar el significado de proporcionalidad

Orlando Lurduy, Neila Sánchez, Pedro Rocha, Diana Gil, Fernando Guerrero1

Grupo Crisalida Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá - Colombia

La característica principal del pensamiento humano, es ser una propiedad interna de los sujetos, y por tanto sólo son observables sus conductas cuando se enfrenta a situaciones problema. Estas conductas son reacciones en forma de respuestas cognitivas a estímulos bajo la forma de acciones físicas y mentales. A ellas les subyacen procesos cognitivos, necesarios en la búsqueda de solución a la situación planteada, normalmente se les ha denominado procesos de pensamiento.

1 Profesores de planta del proyecto curricular de Licenciatura en Educación básica con enfasis en Matemáticas, miembros del grupo de investigación Crisalida

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Ahora bien, como las conductas son resultado de estímulos externos o internos, las respuestas cognitivas se objetivan en forma de esquemas.Para algunos autores como Piaget (1991) la idea de esquema cognitivo está relacionada con los algoritmos inventados por los niños puestos en acción para resolver tareas. Otros autores como Glansersferd (1985) relaciona esta idea con la de actividad cognitiva del individuo.Piaget (1994) define operación del pensamiento como la acción, bien sea física o mental, del sujeto para transformar un objeto de un estado a otro y seguir sus consecuencias. Al respecto, este autor afirma: “En efecto, un sistema de operaciones como las operaciones elementales de la aritmética o de la geometría, o como los seriamientos y encajonamientos lógicos, puede ser concebido como un conjunto de transformaciones objetivas reproducidas sucesivamente por experiencia mental o como sistema de combinaciones debidas a al actividad asimilativa del sujeto” (Piaget, 1994, p.394).Tanto los esquemas como las operaciones del pensamiento son condiciones para explicar desde esta perspectiva desarrollante la comprensión y la competencia cognitiva2.Algunos autores como Skemp (1993) define la comprensión en términos de esquema así: “comprender algo significa asimilarlo dentro de un esquema adecuado”. Para este autor la idea de esquema adecuado es aquella que toma en cuenta la tarea de aprendizaje a largo plazo.Godino (2002) sugiere que la comprensión matemática es de dos tipos: relacional o sistémica e instrumental o competencia.El socio constructivismo de Paul Ernest Para estudiar la idea de esquema cognitivo ligada a una teoría sobre la comprensión en matemáticas, la perspectiva asumida es el paradigma constructivista.El constructivismo como concepción filosófica sostiene que la experiencia y la reflexión de un sujeto sobre la realidad constituyen el medio de configuración de su realidad. Se postula entonces la necesidad de asumir la inexistencia de una realidad dada y además que el sujeto la edifica a partir de sus conocimientos personales, aceptando que éstos son resultado de las determinaciones culturales.Algunas posturas son consideradas variedades de esta misma concepción, entre los que se reconocen a sus mejores exponentes como Piaget3 y Vigotsky4.En esta misma dirección Ernest (1991)5, citado por Ruiz (1998) ha sugerido al igual que para todos los constructivistas que “el sujeto edifica sus teorías con base en su experiencia y luego éstas se ajustan al ser sometidas a nuevas experiencias con el mundo y la sociedad.

2 Skemp, R (1993). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: Morata. p.50. Godino, J (2002). Perspectiva semiótica de la comprensión y competencia matemática. Disponible en red en http://www.godino/ugr.es/local/jgodino/html3 Algunos autores identifican a Piaget como un constructivista radical. En este mismo grupo se encuentran investigadores en Educación Matemática como Glansersferd, Confrey, entre otros.4 Vigotsky es el psicólogo cognitivo que contemporáneamente desde su enfoque genético histórico cultural ha contribuido a reconocer la importancia de la educación sobre el desarrollo intelectual. Para muchos autores Vigotsky inauguro para la psicología actual y en particular para la Educación Matemática un enfoque que ofrece posibilidades para la investigación de la interacción social en el aula y el papel de la cultura en la constitución de conocimiento.5 La cita es de Ruiz, A (1998). En: Boletín 1. Comité interamericano de Educación Matemática. Año 6. Junio de 1998. Disponible en red en http://www.furb.br/ciaem/boletins/1998_Junho.htm

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Ernest sostiene que el conocimiento subjetivo es entonces objetivizado cuando es sometido a las reglas y condiciones que establece la comunidad matemática: lo que da objetividad a los conceptos de las matemáticas es el acuerdo con estas reglas; la sociedad da la objetividad. La práctica matemática descansa en ese ir y venir entre el conocimiento subjetivo y el objetivo, definido por ese sostén sociogremial; no obstante, en las matemáticas el otro criterio adicional -por su naturaleza, inteligimos nosotros- es la consistencia lógica de los resultados”La perspectiva interaccionista de BauersfeldEl enfoque del interaccionismo simbólico se ubica entre estas perspectivas teóricas al considerar que el sujeto construye su propia realidad y que ésta es resultado de la experiencia de relacionar su experiencia y conocimiento matemático con el mundo social. En este sentido el interaccionismo es un enfoque de afuera a adentro, social-individual, colectivo de personas – individuo. Godino y Llinares (2000)6, siguiendo a Bauersfeld y otros, sostienen que esta perspectiva teórica en Educación Matemática debería entenderse como una aproximación que “ (…) se apoya en el supuesto de que se generan diferentes prácticas en el aula si se toma las matemáticas como un conjunto de verdades objetivas, como algo existente y documentado objetivamente, o si se ve la práctica en el aula como un proceso de matematización compartida, guiada por reglas y convenios que emergen de la misma práctica. Esta segunda perspectiva subraya la importancia de la “constitución interactiva” del significado en las aulas y convierte en objeto de investigación las relaciones entre las características sociales de los procesos de interacción, así como las existentes entre el pensamiento del profesor y el de los estudiantes (Bauersfeld, Krummheuer & Voigt, 1988)” (Godino y Llinares, 2000, p.1).Estos mismos autores enfatizan el hecho de cómo esta perspectiva teórica promueve entonces una visión compartida del significado de cultura de aula al afirmar que: “Según la síntesis que realizan Sierpinska y Lerman (1996) del programa interaccionista aplicado a la educación matemática el interaccionismo es una de las aproximaciones a la investigación sobre el desarrollo intelectual que promueve una visión sociocultural sobre las fuentes y el crecimiento del conocimiento. Se enfatiza como foco de estudio las interacciones entre individuos dentro de una cultura en lugar de sobre el individuo.El énfasis se coloca en la construcción subjetiva del conocimiento a través de la interacción, asumiendo el supuesto básico de que los procesos culturales y sociales son parte integrante de la actividad matemática (Bauersfeld, 1995-b). Los fundamentos de la perspectiva interaccionista se pueden esquematizar en:- el profesor y los estudiantes constituyen interactivamente la cultura del aula,- las convenciones y convenios tanto en lo relativo al contenido de la disciplina, como en las regularidades sociales, emergen interactivamente, y- el proceso de comunicación se apoya en la negociación y los significados compartidos.Bauersfeld (1994) indica que, para comprender los logros individuales de los alumnos y las regularidades sociales que se generan en determinadas culturas de aula, es necesario considerar puntos de vista psicológicos y sociológicos sin dar preferencia a ninguno de ellos.

6 Disponible en red en http://www.ugr.es/local/godino en yahoogroups

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En cierto sentido se identifica una reciprocidad entre,- el cambio individual y el desarrollo a través de la participación en la interacción social, incluyendo la inevitable subjetividad de las construcciones personales; y- la realización permanente de la cultura del aula y el cambio de las regularidades sociales a través de los miembros individuales (Bauersfeld, 1994; p. 138).” (Godino y Llinares, 2000, p.2) Los estudios sobre el pensamiento matemático escolar

Desde la década de los 80s y con la conformación de grupos internacionales como el PME (Psychology Mathematical Education), en la psicología de la Educación Matemática se han definido avances con relación con estudios postpiagetianos. Entre los que se destacan investigadores como Skemp, Fischbein, Sierpinska, Lerman, Vergnaud, Glansersferd entre otros.

La característica más relevante de estos estudios tiene que ver con profundizar y aportar conocimiento sobre la formación de los conceptos matemáticos adquiridos por los estudiantes durante el periodo de escolarización obligatorio en las aulas de clase, destacando la importancia que tiene para los educadores matemáticos y demás agentes educativos, en las culturas, las matemáticas escolares.

Por ejemplo, Vergnaud (1986) postula la epistemología de la Educación Matemática como una posibilidad de ahondar sobre la comprensión matemática escolar de los niños y adolescentes (estudiantes) y abre la posibilidad para el estudio de la evolución del campo de la Educación Matemática como una disciplina autónoma. Para ellos se propone desarrollar lo que denomina la Teoría de los Campos Conceptuales. Vergnaud propone una nueva aproximación para el estudio de la comprensión matemática y su propia visión del desarrollo cognitivo en Matemáticas tomando en cuenta los avances en el campo de estudio.

Esta teoría es una síntesis de dos enfoques que dan importancia al desarrollo cognitivo en matemáticas (Piaget) vinculando al lenguaje y demás instrumentos culturales como mediadores en su conceptualización (Vigotsky).

Vergnaud, los esquemas y manifestaciones de conducta cognitiva

Vergnaud concede especial importancia a los esquemas y al desarrollo de las competencias cognitivas como resultados de ponerlos en marcha frente a una variedad de situaciones (para cada situación un esquema distinto), así como a la descripción de las conductas automáticas y conscientes de los individuos.Ruiz Higueras (2003)7 sigue a Vergnaud para establecer que un campo conceptual está conformado por la terna (S, E, R) donde S representa el conjunto de situaciones problema8, E representa el conjunto de esquemas9 y R

7 Ruiz H, M (2003). Aprendizaje y matemáticas. En: Chamorro, C (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson. p.

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el conjunto de representaciones simbólicas10 en estrecha conexión. (Vergnaud, 1995, p.184)

Las conductas automáticas sugiere Vergnaud son resultado de poner en marcha esquemas que los individuos ya los ha interiorizado, generalmente el individuo no tiene consciencia de ellos, se ejecutan y reproducen a voluntad sin ningún tipo de esfuerzo intelectual en cualquier momento (por ejemplo, cálculos mentales, destrezas algorítmicas de tipo aritmético, espacial, algebraico, etc.)

Por otro lado, están las conductas conscientes, que caracterizan propiamente el pensamiento conceptual. Puesto que la solución no se muestra evidente a los ojos del sujeto, debe poner en marcha un esquema de pensamiento tentativo y reelaborar los conocimientos que dispone para dar respuesta a las situaciones propuestas. Por ello, la acción mental y física tiene como característica principal la planificación de las ideas y de los recursos disponibles para la elaboración de respuestas.

Los primeros esquemas usados para buscar la solución al problema pueden indicar al sujeto que son poco efectivos y demandar nuevos conocimientos, por lo que los conceptos sólo son adecuados en la medida que produzcan los resultados deseables.

De aquí que se consideren los conceptos adecuados para la acción y no poseer estatus de verdad o falsedad. Vergnaud denomina a dichos conocimientos como conceptos en acto. Las conexiones entre conceptos se expresan a través de propiedades matemáticas que por el mismo carácter de los conceptos sólo son susceptibles de ser verdaderas o falsas. A estos conocimientos matemáticos los denomina teoremas en acto. Estos dos tipos de conocimiento matemático los engloba Vergnaud en la componente del esquema llamado Invariante operatorio.

Los esquemas, según Vergnaud (1990), movilizados por los estudiantes tienen necesariamente que sufrir procesos de adaptación en el curso de su desarrollo. Un esquema primitivo, inicial, que funciona correctamente en una clase muy restringida de situaciones, debe evolucionar para ser válido en otra clase más amplia: “podemos hablar de una deslocalización, de una generalización de la clase de situaciones en las cuales el esquema primitivo era operatorio hacia

8 Vergnaud (1986,1994) sostiene que son las situaciones las que le dan sentido a los conceptos. Además afirma que una situación no puede ser aborda a partir de un solo concepto ni tampoco que un concepto puede ser abordado a partir de una sola situación y que por tanto los esquemas se clasifican de acuerdo con las situaciones que hacen poner en marcha un determinado tipo de conducta. 9 Para Vergnaud los esquemas están organizados para hacer, siguiendo a Piaget, operatoria la conducta y el pensamiento. Por ello, describen acciones sobre los objetos en forma de invariantes operatorios (conocimientos en acto en forma de conceptos en acto y teoremas en acto), reglas de acción (de la forma si…. entonces), anticipaciones y metas (para evocar o para proyectar) y posibilidades de inferencia (que encierra los otros componentes del esquema).10 Las representaciones son para Vergnaud formas de poner para los demás nuestras construcciones mentales, para representar lo representado, para evocar nuevos o viejos esquemas, conductas y acciones. Las representaciones pueden ser palabras (escritas o habladas), dibujos, gráficos, figuras o dispositivos materiales como calculadoras graficadoras, computadores. Todos ellos cumplen la función de mediadores.

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otras situaciones nuevas a las que ampliarse” (Ruiz Higueras citando a Vergnaud, 2003, p.65).

Cuando los estudiantes abordan las distintas situaciones tiene que poner en juego distintos esquemas, ya que, para ellos, son realmente problemas distintos unos de otros. Para ello emplean uno o muchos conceptos en acto y teoremas en acto sin necesidad de explicitarlos. La comprensión progresiva de los conceptos matemáticos pasa así por un gran número de pequeñas etapas que Vergnaud las caracteriza por medio de invariantes operatorios de diferentes niveles.

Vergnaud, citado por Ruiz (2003), sostiene que estos invariantes comienzan siendo muy “modestos” y simples. Algunos de ellos se expresan o manifiestan en conceptos como por ejemplo, cardinal y medida, número natural, número relativo, cantidad, entre otros. Afirma este autor que estos conceptos no van solos, no tendrían efecto si teoremas verdaderos no le dieran su función en el tratamiento de las situaciones (Ruiz H, 2003, p.67). Tal es el caso de teoremas como:Card (A U B) = Card(A) + Card (B), si A B = O

Estos conocimientos implícitos (teoremas) actúan en la memoria del estudiante a modo de recordación de hechos matemáticos o estrategias de pensamiento. En el primer caso el esquema que actúa sobre la situación lo hace anticipando una acción (las relaciones entre el hecho causado y las causas que lo producen son siempre las mismas, se descubre una regularidad).En el segundo caso, el esquema produce un razonamiento en forma de conjetura (hipótesis o intuición).

Estas relaciones son posibles ya que en el funcionamiento cognitivo del estudiante se activan las operaciones hipotético-deductivas, características del pensamiento formal (de la forma si entonces…, formación de patrones y establecimiento de regularidades, generalización y simbolización) y del pensamiento creativo (producción de analogías, procesos de metaforización, procesos abductivos, procesamiento en paralelo distribuido). Estas son designadas por Vergnaud en el tratamiento de las situaciones como los esquemas inferenciales11 .

Por otra parte, en el campo conceptual la interiorización de los esquemas y el uso flexible de los mismos muestra que en el proceso de evolución progresiva (o modificación de los esquemas primitivos hacia otros más complejos) del conocimiento matemático del estudiante se manifiestan las operaciones del pensamiento para adaptarse a la pluralidad y diversidad de situaciones (semejanza) y para reconocer su historia (diferencia o distinción).

Estos esquemas permiten la conceptualización de los conocimientos matemáticos desde las acciones que realiza el estudiante sobre los objetos

11 Eco (1986) en su estudio de las formas de inferencia refiere a la deducción, inducción y abducción con el “signo de los tres”. De las tres formas de inferencia la que produce la idea original (hipótesis) es la inferencia abductiva. En tanto a la deducción y a la deducción las considera necesarias para el desarrollo de la hipótesis y elaboración de nuevos conocimientos.

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concretos (representaciones tangibles y manipulables) y hacia la descontextualización en forma de objetos abstractos o entidades mentales (representaciones imaginadas y gráfico-textuales).

La representación puede servir de contenido para el pensamiento (sistema de signos y símbolos) o como procesos cognitivos (haciendo, construyendo imágenes, teniendo imágenes, observando propiedades, formalizando, observando, estructurando, inventando)12. Algunos autores como Hiebert y Lefevre (1993) definen la comprensión matemática como la conexión entre redes de representaciones internas y externas.Por su parte Duval (1998) estable la condición para la comprensión matemática con relación a que la semiosis (el lenguaje) es condición para la noesis (actividad mental). La representación semiótica desde su perspectiva implica operaciones de congruencia y conversión entre registros de representación y al interior de cada registro.Godino (2003) por su parte señala que la faceta psicológica de la representación debe ser complementada por la faceta antropológica. (Godino, 1993, p. )

Para Vergnaud la representación simbólica (bien sea entendida como contenido o proceso) cumple tres funciones primordiales para el pensamiento matemático: Función de evocaciónLos conceptos matemáticos son representaciones matemáticas que al activarse o ponerse en marcha en un esquema se traen del pasado al presente a través de la memoria relacional o la experiencia. Función de designaciónLos sistemas de signos y símbolos que constituyen el lenguaje matemático sirven para rotular, llamar, producer sintaxis de los conceptos y propiedades y para la modelización y matematización de los mismos. Son parte importante de la actividad matemática del estudiante. Función de apoyoLa representación sirve como vehiculo del pensamiento para razonar, para traducir una forma de conocimiento en otra, como medio de interacción comunicativa.

La proporcionalidad como manifestación de conducta cognitiva del campo conceptual multiplicativo

La aplicación de la técnica de la regla de tres no es una manifestación de razonamiento proporcional, si lo es el índice de comparación relativa entre razones, entre cantidades de una misma magnitud.

Se afirma que dos razones están en proporción (propiedad fundamental de la proporción) si la relación que las compara es el mismo índice o escalar. En este caso se dice que se establece una relación de proporcionalidad entre

12 Fuente: Kieren (1993) Racional and fraccional numbers. Cita de Llinares, S (2003). Fracciones, decimales y razón. Desde la relación parte-todo al razonamiento proporcional. En: Chamorro, C (2003). Didáctica de las matemáticas en primaria. Madrid: Pearson. P.203

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cantidades y por lo tanto constituyen contextos en los que se pueden manifestar los procesos de razonamiento proporcional. Se suele expresar comúnmente de la siguiente manera:a : b :: c : d ó a / b = c / d y esto implica que a . d = b . c

Dicho de otra manera, dos cantidades son proporcionales si la primera es equimúltiplos de la otra.Este aspecto vincula la proporción con la noción de variación, de modo que variación en una magnitud implica variación en la otra (covariación), considerando que el índice comparativo entre cantidades correspondientes es constante. La idea del cambio de unidad se da respecto a la cantidad de magnitud respecto a la misma unidad.

Llinares (2003) en este sentido afirma que las relaciones de proporcionalidad contienen relaciones estructurales. Una relación funcional que vincula magnitudes diferentes y que refleja el sentido de la “unidad razón” (18/12 es el precio de 1 kilo de naranjas). Por otra parte, existe una relación entre cantidades de la misma magnitud, generando una razón escalar (12/9). El razonar usando estas relaciones tanto de manera cualitativa como cuantitativa caracteriza el razonamiento proporcional. (Llinares, 2003, p.209)13.

Una relación de proporcionalidad es una relación cuaternaria. Este tipo de relaciones son las más simples, ya que implican la búsqueda de un cuarto término conocidos otros tres.

Este autor sostiene que la generación de razonamiento proporcional es una “pieza clave en el paso de los estudiantes de la primaria a la secundaria. Este razonamiento consolida el conocimiento matemático escolar de las fracciones, números decimales y razones.

El esquema de variación en la proporción puede ser de dos tipos: Problemas en los que ambas cantidades aumenten o disminuyan. Problemas en los que una cantidad aumente y la otra disminuya

El primer caso se conoce como proporcionalidad directa, ya que no hay cambio de signo entre las magnitudes y las cantidades de magnitud.

Magnitud 2

d

b

Magnitud 1a c

13 Desde la relación parte-todo al razonamiento proporcional. En: Chamorro, C (2003). Didáctica de las matemáticas en primaria. Madrid: Pearson.

8

+ +

En el segundo caso sucede lo contrario, se dice variación inversa entre cantidades de magnitud y a la proporcionalidad se designa por proporcionalidad inversa.

Magnitud 2

b

dMagnitud 1

a c

+ __

Para Vergnaud (1986) la multiplicación se expresa como relaciones cuaternarias, y se desarrollan como esquemas multiplicativos simples en el campo conceptual. Según este autor el aprendizaje de este campo conceptual es de distinta naturaleza a aquel de las estructuras aditivas. Vergnaud establece tres tipos de esquemas para la multiplicación:

1. Isomorfismo de medida2. Producto de medidas3. Isomorfismo con un único espacio de medida

El isomorfismo de medida vincula dos espacios de medida para magnitudes de distinta naturaleza y el cambio de unidad se da al interior del mismo espacio de medida (operador escalar) o entre espacios de medida (operador funcional).En los casos de multiplicación simple y división simple el esquema multiplicativo es 1 a tantos como tantos a tantos.

M1 M2 M1 M21 a 1 a b x x b

En el caso de la cuarta proporcional el esquema multiplicativo es:

M1 M2 a b c x

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El producto de medidas no es una función proporcional que asocia dos espacios de medida. Se tiene dos espacios de medida que se componen para conformar otro mediante un proceso análogo al producto cartesiano. El producto de medida encierra situaciones que para su solución requieren de una especie de “producto”. Los esquemas multiplicativos son: producto cartesiano, área, arreglos rectangulares (filas y columnas).

Los problemas con un único espacio de medida se suelen asociar con los problemas de comparación multiplicativa en donde un espacio de medida está conformado por la magnitud y el otro por las relaciones multiplicativas (veces más). Este es un caso particular del isomorfismo de medida. Esquemas multiplicativos de los niñosHay que tener en cuenta que las compensaciones multiplicativas se relacionan directamente con la noción de proporción, puesto que si se tiene ab = a’b’;

también se tiene por definición . Pero, y como afirman Inhelder y Piaget

(1955), desde el punto de vista psicológico, comprender la proporción empieza siempre por el descubrimiento de una compensación, pero en cambio parece que comprender una compensación multiplicativa no tiene por qué pasar por la compensación inicial de la proporción.

Por otra parte, la familiaridad de los niños con los números <<pequeños>>, les permite pasar con cierta familiaridad a compensaciones multiplicativas del tipo abc = nmp. Pero, hay que tener en cuenta que cuando se trata de magnitudes poco conocidas es difícil conseguirlo en estas edades.

3.

EL ESTUDIO DE LAS MANIFESTACIONES DE CONDUCTA COGNITIVA EN TORNO A LA PROPORCIONALIDAD INVERSA. UN EJEMPLO.

10

Pasa por

b

b

a

a '

' ''baab

No necesita''baab b

b

a

a '

'

Cada elemento constituyente del campo conceptual se expresa en el diseño de esta fase de la investigación como Instrumento de análisis cognitivo, en el sentido de que la indagación de las manifestaciones se obtiene registrando las actuaciones de los estudiantes en el aula de clase cuando los estudiantes abordan situaciones de proporcionalidad en el campo conceptual multiplicativo.Los momentos de la indagación corresponden a una adaptación del tipo ABA o mejor Pretest-Post-test, que para el caso se ha denominado de la siguiente manera:Al momento A o de actividad de iniciación o introducción ó acción Al momento B o de actividad de reestructuración y desarrollo ó formulación y comunicaciónAl momento B’ o fase de profundización y aplicación ó validaciónAsí se denomina ABA’ a la secuencia didáctica gestionada según corresponda a la articulación de unos u otros tipos de gestión en el aula.De esta manera, la adaptación al método ha correspondido según los modelos de práctica docente asumidos durante la planeación y diseño, gestión y evaluación, éstos son el Modelo DECA y el Modelo Brousseau14 .

14 Ver Marco teórico Ruta de estudio y aprendizaje. Modulo 3. En prensa. También ver: La práctica docente a partir de los Modelos DECA y teoría de las situaciones didácticas. En: Memorias RELME 19. VII Congreso internacional en Investigación en didáctica de la ciencia. V Festival de Matemáticas.

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Se asumió que la mejor secuencia didáctica debería recoger aspectos de los dos modelos, por ello, esta decisión influyo en que se adapten las situaciones, se mantengan los esquemas y se prevean instrumentos de análisis para las representaciones, como constituyentes del campo conceptual multiplicativo.Se indaga las características del razonamiento proporcional de los estudiantes de grado séptimo de varias instituciones educativas distritales. En los instrumentos de análisis un nivel de complejidad en las construcciones que lleva a a cabo el estudiante se entiende como la manera hacer intervenir distintos elementos de significado (acciones, proposiciones, argumentos, etc). Dado el carácter sistémico de la estructura conceptual, la complejidad se define con base en la cantidad de relaciones y procesos cognitivos considerados en la solución.Las actividades de iniciación e introducción y reestructuración y desarrollo corresponden a situaciones de proporcionalidad directa, es decir, que los cambios en los esquemas cognitivos (estados cognitivos) de los estudiantes entre el momento A y B se visualizan en los niveles de complejidad en los distintos elementos de los esquemas (anticipaciones y metas, invariantes operatorios y reglas de acción, e inferencias) junto con las representaciones. Que según Brousseau corresponderían con los momentos de la secuencia didáctica como situación a-didáctica o de aprendizaje (acción, formulación y comunicación y validación).El momento A` corresponde a la modificación de estado cognitivo entre B y A`, denominado de profundización y aplicación determinado por la comprensión y complejidad en la transición de los esquemas de proporcionalidad simple directa a proporcionalidad simple inversa. Como en el caso anterior los momentos son situaciones a-didácticas (acción, formulación y comunicación y

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validación). Este momento A` es el momento de la fase de investigación más importante debido a que la caracterización de la ruta de estudio y aprendizaje tiene su foco de investigación justamente en este punto, luego para que se cumplan los objetivos de la investigación deben darse las condiciones para observar la ruta de aprendizaje.

Los instrumentos de análisis de conducta cognitiva de los estudiantes para el campo conceptual multiplicativo con relación a la proporcionalidad inversa son los siguientes, se muestran las características más relevantes.

Situaciones de proporcionalidad simple directa

Granja SpringfieldGemelosDesafío 2006Los simpson

Situaciones de proporcionalidad simple inversa

Construyendo balanzaPrueba de equilibrioBalanza mortalAcuabalancín

Anticipaciones y metas

Evocaciones irreflexivasEvocaciones reflexivas

Invariantes operatorios

Conceptos en acto (Conocimientos en forma de definiciones o funciones proposicionales)Teoremas en acto (Propiedades)

Reglas de acción e inferencias

Razonamiento deductivo (Premisa general- premisa menor-conclusión)Razonamiento inductivo (Premisa menor – conclusión – ley)Razonamiento abductivo (Conclusión – principio general - premisa menor)

Representaciones

RealistaDescontextualizada

UN EJEMPLO

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INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS

ANTICIPACIONES TEOREMAS EN ACTO

CONCEPTOS EN ACTO

REGLAS EN ACCIÓN

INFERENCIAS

Entre más lejos este Elodia de la mitad del tronco y Catalina también, de pronto un poco más que la distancia para mantenerla equilibrada.

Propone como solución un acercamiento a la ley de la palanca

pero no es correcta

Uno tiene que captar la equilibración con el tronco para que las dos puedan pasar

Propone una falsa solución

3. Evocaciones de solución

Podrían haber utilizado unos palos en las manos para el equilibrio, la otra es que pueda sostenerse en algo o alguien. Cuando pequeñas se habrían sostenido de las piernas o sea agacharse

Propone como solución la utilización de otros objetos que

permitan hallar el equilibrio.Situación ficticia

2.5. Evocaciones reflexivas y de

solución

La enseñanza de la fuerza de gravedad con balanceo de equilibrio

Situaciones referidas a otro tipo de equilibrio

Situaciones referidas al modelaje (colocarse un libro en la cabeza)

Juegos de equilibrio o pruebas parecidas a la mencionada en la situación.

Aprender a caminarSituaciones referidas a

equilibrio2. Evocaciones

reflexivas

Juegos de equilibrio que cuando era pequeña jugaba. Recordar que en su infancia era flaca. Recordar que cuando estaba en el colegio le ponían pruebas de equilibrio y siempre las ganaba. Cuando se besaron con sus novios. Cuando jugaban al equilibrio. Cuando estaba en el bachillerato con sus amigos. Cuando aprendió a caminar.

Situaciones referidas a equilibrio

Situaciones ficticias

1.5. Evocaciones no reflexivas y

reflexivas

Mantenerse de pie 5 minutos en el tronco y manteniéndose en equilibrio ambas pueden superar la prueba

Hacen referencia nuevamente a la situación presentada en el

enunciado

Recordar cuando eran niñas, cuando jugaba con sus padres o cuando tuvieron como una fiesta importante como por ejemplo sus cumpleaños, su primera comunión

Referidas al recuerdo de amigos, familiares, etc.

Situaciones ficticias1. Evocaciones no reflexivas

EJEMPLOSDESCRIPTORESRESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES

NIVEL

ANTICIPACIONESUn esquema se dirige siempre a una clase de situaciones en las cuales el sujeto puede descubrir una posible finalidad de su actividad y, eventualmente, submetas; pueden tambiénesperar ciertos efectos o ciertos eventos.

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Entre más lejos este Elodia de la mitad del tronco y Catalina también, de pronto un poco más que la distancia para mantenerla equilibrada.

Propone como solución un

acercamiento a la ley de la palanca pero no

es correcta

Uno tiene que captar la equilibración con el tronco para que las dos puedan pasar

Propone una falsa solución

3. Evocaciones de solución

Situaciones referidas al modelaje (colocarse un libro en la cabeza)

Juegos de equilibrio o pruebas parecidas a la mencionada en la situación.

Aprender a caminar

Situaciones referidas a equilibrio

2. Evocaciones reflexivas

Recordar cuando eran niñas, cuando jugaba con sus padres o cuando tuvieron como una fiesta importante como por ejemplo sus cumpleaños, su primera comunión

Referidas al recuerdo de amigos, familiares,

etc.Situaciones ficticias

1. Evocaciones no reflexivas

EJEMPLOSDESCRIPTORESRESPUESTAS DE LOS ESTUDIANTES

NIVEL

ANTICIPACIONESUn esquema se dirige siempre a una clase de situaciones en las cuales el sujeto puede descubrir una posible finalidad de su actividad y, eventualmente, submetas; pueden tambiénesperar ciertos efectos o ciertos eventos.

5.4 Ley de la palanca

5.3 El objeto de menor peso a menor distancia y el de mayor peso a mayor distancia

5.2 El objeto de menor peso tiene que estar más lejos al punto de equilibrio para hallar el equilibrio

5.1 El objeto de mayor peso tiene que estar más cerca al punto de equilibrio para hallar el equilibrio

5. Ley de la palanca

4.3 A distancias desiguales y pesos desiguales la balanza se desequilibra

4.2 Para encontrar el equilibrio se varían las distancias reconociendo el peso (igual o desigual)

4.1 Para encontrar el equilibrio se varían las distancias

4. Magnitud (desigualdad)

3.2 A distancias iguales y pesos desiguales la balanza se desequilibra

3.1 A distancias iguales y pesos desiguales la balanza está en equilibrio 3. Magnitud (Igualdad y

desigualdad)

2.3 A pesos iguales, distancias iguales

2.2.1 Colocar los objetos a la misma distancia

2.2 Igualdad en la distancia

2.1.2 Repartir o compensar el peso para encontrar el equilibrio2.1.1 Para que haya equilibrio los pesos tienen que ser iguales

2.1 Igualdad de pesos

2. Magnitud (Igualdad)

1.3 Realiza operaciones sin sentido por lo que no permite evidenciar teorema alguno

1.2 la situación los lleva a pensar otras cosas relacionadas con el problema pero no pertinentes

1.1 No se evidencia

1. Ninguno

DESCRIPTORESNIVEL

TEOREMASEN

ACTO

Conocimientos contenidos en los

esquemas, específicamente proposiciones consideradas

como verdaderas sobre lo real.

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7. PROPORCION6. CORRELACION5. RAZON4. EQUILIBRIO3.DESIGUALDAD2. IGUALDAD1. VARIACION

CONCEPTOS EN ACTO

Conocimientos contenidos en los

esquemas.

NIVELELEMENTO-ESQUEMA

Realiza ejemplificaciones3.ABDUCTIVA

Se inicia a partir de la existencia de una definición; esta se aplica a un nuevo caso, y esta aplicación produce una conclusión.

2. DEDUCTIVA

Es empirista, empieza con la observación de casos, en cada uno de los cuales reconoce algún resultado común, para finalmente formular una definición.

1. INDUCTIVA

REGLAS EN ACCIONSon del tipo “si...entonces”que constituyen la parte verdaderamente generadora del esquema, aquella que permite la generación y la continuidad de secuencias de acciones del sujeto; son reglas de búsqueda de información y de control de los resultados de acción.

DESCRIPTORNIVELELEMENTO-ESQUEMA

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El lado donde se colocó el objeto de 10 Kg bajó porque pesa más que el objeto de 5 Kg que está en el otro extremo de la balanza

En un lado pesaba más que el otro para que quedara nivelada le tenía que colocar más peso en el objeto 2.

El objeto 1 que es más pesado al estar a la misma distancia que el objeto 2 queda en desequilibrio haciendo más favorecido al objeto 1.

Si hay más peso a un lado de la balanza, la balanza queda desbalanceada como haciendo un eje de 45o

Como los objetos pesan igual y están a la misma distancia esto debe hacer el equilibrio.

Al hacer la prueba en la balanza comprobé que mientras este más lejos el de menos peso y más cerca el de mayor peso la balanza se puede equilibrar

Como en la balanza hay 2 tapas o cositas donde se pesan los objetos entonces como la balanza estaba en equilibrio y le metieron un objeto muy pesado en una tapa y en la otra no, entonces la balanza se desequilibro, y en donde estaba el objeto bajó y la otra como no tenía peso subió.

INDUCTIVAS

Si un objeto menos pesado está cerca del punto del partida estaría pesando más y el otro objeto como está el doble de lejos que el objeto anterior estaría pesando igual según las condiciones de si está cerca o no lo está.

La balanza se equilibro (queda pareja, balanceada, en equilibrio) porque:

Tenía más peso el objeto 1 que el objeto 2La balanza se equilibro más del lado derecho porque:

Pesa un objeto más que el otro

Colocaron el objeto 1 en la balanza y al otro lado nada 10 Kg están en una parte y en la otra no hay nada de peso

La balanza se desequilibro (se inclinó, quedó sin equilibrio, se fue de lado, se opuso, se mueve) porque:

DEDUCTIVAS

ELEMENTO DEL ESQUEMA: INFERENCIAS

REGLAS

EN

ACCIÓN

Colocaron el objeto 1 y pesa más y también lo colocaron a distancia de 40 cm al punto de apoyo

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