Esra Ozkan Kompleks Analiz 1

Bu notlar

rgn retimde Uzaktan retim Destei (UDES)

lisans altndadr. Ders notlarna eriim iin:

http://udes.iku.edu.tr

CC BY: H. Esra zkan $\ C

Matematik-Bilgisayar Blm

stanbul Kltr niversitesi

Bakrky 34156 stanbul

[email protected]

KOMPLEKS ANALZ I

H. Esra ZKAN

www.matematikce.com

indekiler

1 Kompleks Dzlem ve Elemanter Fonksiyonlar 1

1.1 Kompleks saylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Bir kompleks saynn reel ve sanal ksmlar, kompleks dz-

lem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Kompleks elenik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Bir kompleks saynn modl . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 gen eitsizlii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.5 Kompleks saylarn aritmetik ve cebirsel zellikleri . . . . 6

1.2 Kutupsal Gsterilim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Bir kompleks saynn kutupsal gsterilimi . . . . . . . . . 7

1.2.2 Euler forml ve Moivre forml . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.3 Bir kompleks saynn kklerinin bulunmas . . . . . . . . . 9

1.3 Stereograk izdm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Kompleks dzlemde blgeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Analitik fonksiyonlar 21

2.1 Limit ve sreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Analitik fonksiyon kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Diferansiyellenebilme ve kompleks trev . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Zincir kural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Bir ak cmle zerinde analitik fonksiyonlar . . . . . . . 24

2.3 Cauchy-Riemann denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Kompleks diferansiyel operatrler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Ters tasvirler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6 Harmonik fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Kompleks ntegrasyon ve Analitiklik 35

3.1 Kompleks izgisel integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 izgisel integralin zellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Cauchy-Goursat teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

www.matematikce.com

iv

indekiler

3.3 Cauchy integral forml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Darboux teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Liouville teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Morera teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Analitik fonksiyonlar iin cebirin temel teoremi . . . . . . . . . . 41

3.8 Cauchy eitsizlii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.9 Maksimum prensibi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Kuvvet Serileri 47

4.1 Sonsuz say seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 Yaknsaklk ve raksaklk kavram . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.2 Mutlak yaknsaklk kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Yaknsaklk kriterleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Fonksiyon dizileri ve serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.1 Noktasal ve dzgn yaknsaklk kavramlar . . . . . . . . 49

4.3.2 Weierstrass M-testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Kuvvet serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.1 Kuvvet serilerinin yaknsakl ve yaknsaklk yarap kav-

ram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5 Analitik fonksiyonlarn kuvvet serisi almlar . . . . . . . . . . . 55

4.6 Analitik fonksiyonlarn zel noktalar . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.1 Sfr yeri kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.2 zole nokta kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.3 Kutup noktas kavram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Laurent Serileri 59

5.1 Singler noktalarn snandrlmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Laurent paralan ve Laurent serisi alm . . . . . . . . . . . . 59

Kaynaka 61

stanbul, ubat 2011 H. Esra zkan

1 Kompleks Dzlem ve Elemanter Fonksiyonlar

1.1 Kompleks saylar

x2 + 1 = 0 denkleminin zm kmesi aratrldnda, bu denklemin zmkmesinin buraya kadar grlen say sistemleri ierisinde mevcut olmad g-

rlmtr. Bu tr denklemlerin zmlerini ihtiva eden say sistemine kompleks

saylar sistemi ad verilmektedir. Kompleks saylar cmlesi reel saylar cm-

lesini iine alan bir say sistemidir. Genel olarak; bir z kompleks says x ve yreel saylar olmak zere z = x + iy = (x, y) (i =

1) ile gsterilir. Dolay-syla kompleks saylar cmlesi C =

z = x+ iy| x, y R, i = 1

eklinde

tanmlanmaktadr.

1.1.1 Bir kompleks saynn reel ve sanal ksmlar, kompleks dzlem

x ve y reel saylar olmak zere bir z kompleks says z = x+ iy = (x, y) ile ifadeedilmektedir. Burada x'e z kompleks saysnn reel ksm, y'ye de sanal ksm adverilmektedir.

ki boyutlu analitik dzlemde sral ikiliyi ifade eden z kompleks says komp-leks dzlemde bir noktay ifade etmektedir. Kartezyen koordinat sistemdeki xekseninin reel eksen, y ekseninin de sanal eksen olarak alnmasyla elde edilendzleme kompleks dzlem denilmektedir.

z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 iki kompleks says gznne alnsn. Bu durumda,ki kompleks saynn eitlii: z1 = z2 x1 + iy1 = x2 + iy2 x1 =

x2, y1 = y2. (ki kompleks saynn eit olabilmesi iin gerek ve yeter art reel vesanal ksmlarnn eit olmasdr.)

ki kompleks saynn toplam: z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 +x2) + i(y1 + y2) eklindedir.ki kompleks saynn fark: z1 z2 = (x1+ iy1) (x2+ iy2) = (x1x2)+

i(y1 y2) eklindedir.ki kompleks saynn arpm: z1.z2 = (x1 + iy1).(x2 + iy2) = x1x2 +

ix1y2 + iy1x2 + i.iy1y2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2) eklindedir.Remark 1.1.1. i =

1 i2 = i.i = 1.1 = 1 dir.Sfr kompleks says: z = 0+0i biiminde reel ve sanal ksmlar sfr olan

kompleks saydr.

1

www.matematikce.com

2 1 Kompleks Dzlem ve Elemanter Fonksiyonlar

Srf reel (sanal) olan kompleks say: z = x + 0i(z = 0 + iy) eklindekikompleks saydr.

1.1.2 Kompleks elenik

z = x + iy saysnn kompleks elenii ya da ksaca elenii z ile gsterilirve z = x iy eklinde tanmlanr.Geometrik olarak; z = x iy says (x, y) noktasnn reel eksene gre simetrii

olan (x,y) noktasn iaret eder.

PSfrag replacements

0x

y

(x, y)

(x,y)

z

z

ekil 1.1

Ayrca her kompleks say iin

z = z ve |z| = |z|

eitlikleri vardr.

z1 = x1 + iy1 ve z2 = x2 + iy2 iki kompleks say olmak zere

z1 + z2 = (x1 + x2) i(y1 + y2) = (x1 iy1) + (x2 iy2) = z1 + z2eitlii gereklenir. Bunun genelletirilmi hali;

z1 + z2 + + zm = z1 + z2 + + zm (m N)

eklinde gereklenmektedir. Benzer ekilde fark ilemi zerinde elenik

z1 z2 = z1 z2eklinde tanmlanmaktadr. Ayrca

z1.z2 = z1.z2

1.1 Kompleks saylar 3

olup bunun da genelletirilmesiyle

z1.z2. .zm = z1.z2. .zm (m N)eitlii gereklenmektedir. Bunlarn yansra;

z1z2

=z1z2, z2 6= 0

(zn) = (z)n, n N(z) =

z

eitlikleri de yazlabilir.

z = x+ iy kompleks says iin

z + z = 2x, z z = 2iyolduundan

Rez =z + z

2, Imz =

z z2i

eitlikleri dorudur.

Bir z = x+iy kompleks says ile eleniinin arpmndan aadaki nemli eitlikelde edilir:

z.z = |z|2 = x2 + y2() (1.1.1)ki kompleks saynn blm ise elenik kavramndan yararlanarak aklanabil-

mektedir:

z1z2

=x1 + iy1x2 + iy2

=x1 + iy1x2 + iy2

.x2 iy2x2 iy2 =

x1x2 + y1y2 + i(x2y1 x1y2)x22 + y

22

=x1x2 + y1y2x22 + y

22

+ ix2y1 x1y2x22 + y

22

(1.1.2)

rnek 1.1.2.

1+3i2i =

(1+3i)(2+i)(2i)(2+i) =

23+6ii4+1 =

5+5i5 = 1 + i.

(1.1.1) yardmyla kompleks saylarn modllerine dair pek ok zellik elde

edilebilir.(*) rnein;

|z1z2| = |z1||z2| (1.1.3)

z1z2

=|z1||z2| (z2 6= 0) (1.1.4)

imdi (1.1.3) eitliinin doruluunu gsterelim:

|z1z2|2 = (z1z2)(z1z2) = (z1z2)(z1z2) = (z1z1)(z2z2) = |z1|2|z2|2 = (|z1||z2|)2.Benzer ekilde (1.1.4) eitlii de ispatlanabilir.

(*) Burada |z| ile verilen modl kavram blm 1.1.3'te detayl olarak incelenecektir.


1.1.3 Bir kompleks saynn modl

z = x + iy kompleks saysnn modl ya da mutlak deeri |z| ile gsterilir ve z =p

x2 + y2 eklinde tanmlanr. Buradan karlacak bir sonu bir kompleks saynnmodlnn negatif olmayacadr. Geometrik olarak ise |z| says orijin ile (x, y) noktasarasndaki mesafeyi, ya da vektr gsterilimi ile z'nin uzunluunu ifade eder. y = 0olmas durumunda modl, reel saylardaki mutlak deere karlk gelmektedir.

z1 < z2 eitsizlii, z1 ve z2'nin reel olmamas durumunda bir anlam ifade etmez, |z1| ||z1| |z2|| (1.1.6)ifadesi elde edilebilir. Ayrca (1.1.5) ve (1.1.6) eitsizliklerinde z2 yerine z2 yazarakaadaki eitsizlikler elde edilir:

|z1 z2| 6 |z1|+ |z2|

|z1 z2| > ||z1| |z2||.rnek 1.1.5. z noktas orijin merkezli |z| = 1 birim emberi zerinde bir nokta ise

|z 2| 6 |z|+ 2 = 3

ve

|z 2| > ||z| 2| = 1dir.

gen eitsizlii, matematiksel indksiyon yardmyla herhangi sayda terim ieren

toplamlara

|z1 + z2 + + zn| 6 |z1|+ |z2|+ + |zn| (n = 2, 3, )


eklinde genelletirilebilir:

n = 2 iin eitsizlik dorudur.n = m,m N iin eitsizlii doru kabul edelim ve m+1 iin doruluunu aratralm.|(z1 + z2 + + zm) + zm+1| 6 |z1 + z2 + + zm|+ |zm+1|(n=2 iin doruluundan)

6 |z1|+ |z2|+ + |zm|+ |zm+1|(m iin doruluundan)sonucuna ulalr, dolaysyla ifade m+ 1 iin de dorudur.

1.1.5 Kompleks saylarn aritmetik ve cebirsel zellikleri

Kompleks saylarn cebirsel pek ok zellii reel saylarnki ile ayndr. Bu cebirsel zel-

liklerden temel olanlar bu blmde incelenip, reel saylar yardmyla ispatlanacaktr:

z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 ve z3 = x3 + iy3 kompleks say gznne alnsn.

a) z1 + z2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) = (x2 + x1) + i(y2 + y1) =(x2 + iy2) + (x1 + iy1) = z2 + z1

b) z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + y1y2 + i(x1y2 + x2y1) = x2x1 + y2y1 +i(x2y1 + x1y2) = (x2 + iy2)(x1 + iy1) = z2z1

c) (z1+z2)+z3 = (x1+iy1+x2+iy2)+x3+iy3 = (x1+x2)+x3+i[(y1+y2)+y3] =x1 + (x2 + x3) + i[y1 + (y2 + y3)] = z1 + (z2 + z3)

d) Benzer ekilde (z1z2)z3 = z1(z2z3) eklinde arpmann birleme zellii de gs-terilebilir.

e) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

f) Reel saylarda toplamann etkisiz eleman olan 0 = 0 + i0 kompleks says olupkompleks saylarda da toplamann etkisiz elemandr.

g) Reel saylarda arpmann birim eleman olan 1 = 1 + i0 kompleks saylarda daarpmann birim elemandr. (Bu admda bahsedilen 1 ve bir nceki maddedesz geen 0 elemanlar tek trl belirlidir.)

h) Her z = x+iy kompleks saysnn z+(z) = 0 eitliini salayan z = x+i(y)eklinde toplamsal bir tersi vardr. Toplamsal ters her z = x+ iy kompleks saysiin x+ iy+ u+ iv = 0+ 0i eitlii, u = x ve v = y iin salanacandan tektrl belirlidir.

i) Sfrdan farkl her z = x + iy kompleks says iin zz1 = 1 eitliini salayanbir z1 says vardr. rnein; z = x + iy kompleks saysnn arpmsal tersit = u+ iv olsun. Bu durumda

z.t = (x+ iy)(u+ iv) = xu yv+ i(xv+ yu) = 1 xu yv = 1, xv+ yu = 0olup, buradan elde edilebilecek tek zm

u =x

x2 + y2, v = y

x2 + y2

1.2 Kutupsal Gsterilim 7

olduundan

z1 = t =x

x2 + y2 i y

x2 + y2

saysdr.

z = 0 olduunda x2+y2 = 0 olacandan bu durumda z1 tanml olmayacaktr.

j) z1z2 = 0 ise z1 ve z2 arpmlarndan en az biri sfrdr: z1z2 = 0 ve z1 6= 0 olsun.Bu halde

z2 = 1.z2 = (z11 z1)z2 = z

11 (z1z2) = z

11 0 = 0

elde edilir.

k) z1 ve z2 herhangi iki kompleks say olmak zere binom forml

(z1 + z2)n =

nX

k=0

n

k

znk1 zk2 (n = 1, 2, )

eklindedir. Burada 0! = 1 olduu kabul edilir ve

n

k

=n!

k!(n k)!eklinde verilir. Bu ifadenin doruluu matematiksel indksiyon metodu kulla-

nlarak gsterilir.

1.2 Kutupsal Gsterilim

1.2.1 Bir kompleks saynn kutupsal gsterilimi

(x,0)=A

(0,y)

PSfrag replacements

0x

y

z = x+ iy = C

r = |z| =px2 + y2

ekil 1.2

ekilde de grld gibi analitik dzlemin her noktasna bir kompleks say tekabl

ettirilebilir. Dolaysyla analitik dzlemin noktalar ile kompleks saylar cismi arasnda


birebir bir tekabliyet vardr. OAC dik geni iin;

cos =x

|z| =x

p

x2 + y2, sin =

y

|z| =y

p

x2 + y2

dr. Bu bilinenler nda

z = x+ iy =z

|z| .|z| = |z|.1

|z| (x+ iy) = |z|

x

|z| + iy

|z|

= |z|(cos + i sin )

= rei

elde edilir. Bu yazla bir kompleks saynn kutupsal gsterilimi ad verilir.

Dzlemde her noktaya bir kompleks saynn tekabl ettirilmesi gerei ve dzlemde

her noktann bir yer vektrne sahip olma gerei birletirilecek olursa, bir kompleks

sayya daima bir yer vektr gzyle baklabilir ve bu gsterilim gznne alnarak

kompleks saylar cmlesinin reel saylar cmlesi zerinde (1, i) bazna gre iki boyutlubir vektr uzay olduu grlr.

Bir kompleks saynn kutupsal gsteriliminde r = |z| pozitif says z kompleks say-snn yarap vektrnn uzunluudur. reel says z'nin yarap vektrnn x ek-seni ile pozitif ynde yapt ann radyan cinsinden deerini ifade eder. pozitifveya negatif olmak zere sonsuz sayda deere sahiptir. Bu deerler 2pi'nin tamsaykatlar eklindedirler ve bulunduu drtte birlik blge gznne alnarak tan = y

x

forml ile bulunurlar. deerine z kompleks saysnn (primitif) argman de-nir ve bu saylarn cmlesi arg z ile gsterilir. pi < 6 pi aralnda kalan tektrl belirli argmanna arg z'nin esas deeri denir ve Argz ile gsterilir. Buhalde arg z = Argz + 2npi (n = 0,1,2, )'dir. Ayrca z negatif reel say iseArgz = pi'dir.

rnek 1.2.1. z = 1 i kompleks saysn kutupsal formda yazmak istersek;

z = 1 i = x+ iy, x = 1, y = 1

|z| = r = 1 + 1 =2

cos =x

r=

12

(+), sin =y

r= 1

2()

= pi4

(4. blge) z =2

cos

pi4

+ i sinpi

4

Ayrca = pi4+ 2npi (n = 0,1,2, ) olduundan

1 i =2h

cos7pi

4+ i sin

7pi

4

i

elde edilir.

1.2 Kutupsal Gsterilim 9

1.2.2 Euler forml ve Moivre forml

Her reel says iin ei ya da exp(i) ile gsterilen

ei = cos + i sin

ifadesi Euler Forml olarak bilinir. Sfrdan farkl z kompleks saysnn kutupsalformda

z = r(cos + i sin )

yazlnda Euler forml kullanlarak z kompleks saysn stel formda

z = rei

eklinde ifade ederiz.

(cos + i sin )n = cosn + i sin n (n = 0,1,2, )

ifadesine de Moivre Forml ad veilir.

1.2.3 Bir kompleks saynn kklerinin bulunmas

z = x + iy kompleks saysnn n. mertebeden kkleri wn = z w = z 1n denklemininzm cmlesidir. Bu denklemin zm cmlesini bulmak iin aadaki ekilde hareket

edilir:

w = Rei, z = rei kutupsal yazllarna sahip olsunlar. Bu durumda

w = Rei = (rei)1n = r

1n e

i

n Rei = r 1n e in

eitlii elde edilir. Bu eitlikten

R = r1n

(1.2.1)

ei = ei

n(1.2.2)

eitlikleri yazlabilir. Dolaysyla (1.2.2) eitliinden

ei = ei

n cos+ i sin = cos n+ i sin

n(1.2.3)

eitlii elde edilir. Bu eitlikte kompleks ve sanal ksmlarn eitliinden

cos = cos

n, sin = sin

n(1.2.4)

denklem sistemi elde edilir. Elde edilen bu iki trigonometrik denklem iftinin zlme-

siyle

cos = cos

n = 2kpi +

n=

2knpi +

n


=2(kn)pi +

n=

2k1pi +

n, n N, k1 = 0, 1, 2, , n 1.

elde edilir. Benzer ekilde sin = sin n

eitliinin de zlmesiyle ayn sonu elde

edilecektir. Bu halde w = z1ndenkleminin zm cmlesi

wk1 = r1n

cos + 2k1pi

n+ i sin

+ 2k1pi

n

, k1 = 0, 1, 2, , n 1.

ile elde edilir.

rnek 1.2.2. w = (1 + i)15denkleminin zm cmlesini bulunuz.

rnek 1.2.3. z4 = 1 kompleks saysnn kklerini bulunuz.

rnek 1.2.4. Kendisi eleniine eit olan kompleks sayy bulunuz.

rnek 1.2.5. z = 1 + i ise z60 kompleks saysn bulunuz.

rnek 1.2.6. z1 = r1ei1 , arg z1 = 1, z2 = r2e

i2 , arg z2 = 2 eklinde verildiinegre

(i) arg(z1z2) = arg z1 + arg z2

(ii) arg

z1z2

= arg z1 arg z2olduunu gsteriniz.

1.3 Stereograk izdm

Sonsuz noktasnn kompleks dzlemde gsterilmesi iin kullanlacak ynteme stereog-

rak izdm ad verilmektedir. Sonsuz noktas, geometrik olarak kompleks dzlemin

kreye izdm alnarak gsterilebilmektedir.

Bunun iin kre zerindeki noktalarla kompleks dzlemin noktalar arasnda bire-

bir rten bir iliki kurulmaldr. ncelikle z ekseninin zerinde 1 apl kre izil-sin. Krenin gney kutup noktas xy dzleminin orijininde, kuzey kutup noktas iseI = (0, 0, 1) noktasnda olsun. Kre zerinde kuzey kutup noktasndan farkl bir Pnoktas seilsin ve kuzey kutup noktasyla P noktasn birletiren IP dorusu izilsin.IP dorusu kompleks dzlemi bir tek M noktasnda keser ve M noktas bir komplekssay belirtir. Dolaysyla kre zerinde alnan her P noktas iin farkl bir komplekssay elde edilmektedir. z = 0 noktas ise gney kutup noktasna izdrlsn.Bu stereograk izdm altnda bir tek kuzey kutup noktas kompleks dzlemin her-

hangi bir noktasyla eletirilmemitir. Kompleks dzlemde bulunan sonsuz noktas da

bu kutup noktas ile eletirilirse yani bu izdm altnda kuzey kutup noktas I nokta-sna karlk getirilirse bu ekilde birim kre ile kompleks dzlem arasnda birebir rten

bir eleme salanm olur. Ayrca P noktas I 'ya yaklatka M noktas 'a yaklar.

1.3 Stereograk izdm 11

Kredeki enlem ve boylam izgilerinin kreden dzleme izdrldnde neler olabi-

leceini dnelim. Enlem dorularnn hepsi ekvatora paraleldir. Bylece hepsi z = 1/2merkezli birer ember olurlar. Boylam dorular ise sonsuzdan ve orijinden geen

(nk gney ve kuzey kutuplarnn her ikisinden geerler) dorular olacaktr.

Kompleks dzleme sonsuzdaki noktann eklenmesiyle geniletilmi kompleks dz-

lem elde edilir. Bu da matematikilerin kompleks dzlem hakknda konuurken neden

tek bir sonsuzdaki nokta aldklarn aklamaktadr. Reel say dorusunda negatif ve

pozitif olmak zere iki adet sonsuz varken, geniletilmi kompleks dzlemde sadece bir

tane sonsuz vardr.

Bu, bir krenin bir dzlem zerine olan tek stereograk izdm deildir. Kre-

nin ve dzlemin bulunduu konumu uygun ekillerde deitirerek yine ayn sonucu

elde edebiliriz. Neticede krenin dzleme olan herhangi bir izdm bir "sonsuzdaki

nokta" yaratacaktr ve bu izdm enlem ve boylam dorularn dzlemde srasyla

emberlere ve dorulara gnderecektir.

PSfrag replacements

p

x

y

z I(0, 0, 1)

Kx3

1/2

P (x1, x2, x3)

x2x1

0

z = x+ iy

M

ekil 1.3

IOM geninden IKIO

= KPOM

'dir.

K = (0, 0, x3), I = (0, 0, 1), P = (x1, x2, x3), 0 = (0, 0, 0)

IK = 1 x3, IO = 1, OM = |z|KP =

(x1 0)2 + (x2 0)2 + (x3 x3)2 =

x21 + x22

1 x31

=

p

x21 + x22

|z| |z| =p

x21 + x22

1 x3 (1.3.1)Kre denkleminden

(x1 0)2 + (x2 0)2 +

x3 12

2

=1

4

Merkez

0, 0,1

2

, r =1

2

x21 + x22 + x

23 x3 + 1

4=

1

4 x21 + x22 + x23 x3 = 0


x21 + x22 + x23 = x3 x21 + x22 = x3(1 x3)elde edilir. Bu ifade (1.3.1) denkleminde yerine yazlrsa

|z| =p

x3(1 x3)1 x3 |z| =

x31 x3

bulunur. ekildeki Ox1N geninden

sin =x2

p

x21 + x22

, cos =x1

p

x21 + x22

eitlikleri yazlr. Kompleks saylarn kutupsal yazllar gznne alnrsa

z = x1 + ix2 = |z|(cos + i sin ) =

x31 x3

x1p

x21 + x22

+ ix2

p

x21 + x22

(1.3.2)

olarak bulunur. x21 + x22 = x3(1 x3) olduundan (1.3.2) eitlii

z =x1

1 x3 + ix2

1 x3 (1.3.3)

olarak bulunur, bu tekabliyet birebirdir. Buradan

|z| =

x31 x3 |z|

2 =x3

1 x3 x3 =|z|2

1 + |z|2 1 x3 = 1|z|2

1 + |z|2 =1

1 + |z|2

bulunur. elde edilen bu eitlik (1.3.3)'de yerine yazlrsa

z =x1 + ix21 x3 =

x1 + ix21

1+|z|2= (1 + |z|2)(x1 + ix2)

olarak bulunur. O halde

z = (1 + |z|2)(x1 + ix2), z = (1 + |z|2)(x1 ix2)

x1 =1

2

z + z

1 + |z|2 , x2 =1

2i

z z1 + |z|2

bulunur. Kre yzeyindeki noktalar (x1, x2, x3) ve (x1, x

2, x

3) ise

d(z, z) =

(x1 x1)2 + (x2 x2)2 + (x3 x3)2

=

x21 + x22 + x

23 2(x1x1 + x2x2 + x3x3) + x12 + x22 + x32

(1.3.4)

dir. Ayrca z ve z noktalar kre yzeyinde olduklarndan kre denklemini salarlar.Buna gre

x21 + x22 + x

23 x3 = 0 x21 + x22 + x23 = x3

x12+ x2

2+ x3

2 x3 = 0 x12 + x22 + x32 = x3(1.3.5)

1.3 Stereograk izdm 13

elde edilir. (1.3.5) eitlikleri (1.3.4) eitliinde yerine yazlrsa eitlik

d(z, z) =

x3 + x3 2(x1x1 + x2x2 + x3x3) (1.3.6)

haline gelir. Dier yandan

x1 =1

2

z + z

1 + |z|2 , x1 =

1

2

z + z

1 + |z|2

x2 =1

2i

z z1 + |z|2 , x

2 =

1

2i

z z1 + |z|2

x3 =|z|2

1 + |z|2 , x3 =

|z|21 + |z|2

olduu bilinmektedir. (1.3.4) eitliindeki 2(x1x1 + x2x

2 + x3x

3) ifadesinin yerine yu-

kardaki deerleri yazarsak aadaki eitliklere ularz:

2(x1x1 + x2x

2 + x3x

3) =

1

2

z + z

1 + |z|2 .1

2

z + z

1 + |z|2 +1

2i

z z1 + |z|2 .

1

2i

z z1 + |z|2 +

|z|21 + |z|2 .

|z|21 + |z|2

=1

2

1

(1 + |z|2)(1 + |z|2) ((z + z)(z + z) (z z)(z z) + 4|z|2|z|2)

=1

2

1

(1 + |z|2)(1 + |z|2) (zz + zz + zz + zz zz + zz + zz zz

+ 4|z|2|z|2)=

1

2

1

(1 + |z|2)(1 + |z|2) (zz + zz + 2|z|2|z|2).

Dier taraftan

x3 + x3 =

|z|21 + |z|2 +

|z|21 + |z|2 =

|z|2 + 2|z|2|z|2 + |z|2(1 + |z|2)(1 + |z|2)

olduundan

d(z, z) =

x3 + x3 2(x1x1 + x2x2 + x3x3)


(d(z, z))2 = x3 + x3 2(x1x1 + x2x2 + x3x3)

=|z|2 + 2|z|2|z|2 + |z|2(1 + |z|2)(1 + |z|2)

(zz + zz + 2|z|2|z|2)(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=|z|2 + |z|2 zz + zz(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=zz + zz zz + zz(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=z(z z) z(z z)(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=(z z)(z z)

(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=(z z)(z z)

(1 + |z|2)(1 + |z|2)

=|z z|2

(1 + |z|2)(1 + |z|2)

d(z, z) =|z z|2

(1 + |z|2)(1 + |z|2)olarak bulunur. Bu ifadeye de kordal mesafe ad verilir.

1.4 Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar

w = f(z) = sin z =eiz eiz

2i, w = f(z) = cos z =

eiz + eiz

2

w = f(z) = tan z =sin z

cos z=

eiz eizi(eiz + eiz)

, w = f(z) = cot z =cos z

sin z= i

eiz + eiz

eiz eiz

w = f(z) = sec z =1

cos z=

2

eiz + eiz, w = f(z) = csc z =

1

sin z=

2i

eiz eizeklinde tanmlanan fonksiyonlara trigonometrik fonksiyonlar ad verilir. Bunlar

reel saylardaki trigonometrik zellikleri benzer ekilde gereklemektedirler. rnein;

sin z =eiz eiz

2i sin2 z = (e

iz eiz)24 =

e2iz 2eizeiz + e2iz4

cos z =eiz + eiz

2 cos2 z = (e

iz + eiz)2

4=e2iz + 2eizeiz + e2iz

4

sin2 z + cos2 z = 14[e2iz + 2 + e2iz e2iz + 2 e2iz] = 4

4= 1.

elde edilir. Benzer tarzda hareket edilerek;

1.4 Trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlar 15

sin(z1 z2) = sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 cos(z1 z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 tan(z1 z2) = tan z1tan z21tan z1 tan z2

w = f(z) = sinh z =ez ez

2, w = f(z) = cosh z =

ez + ez

2

w = f(z) = tanh z =sinh z

cosh z=ez ezez + ez

, w = f(z) = coth z =cosh z

sinh z=ez + ez

ez ezeklinde tanmlanan fonksiyonlara da hiperbolik fonksiyonlar ad verilir. Hiperbolik

fonksiyonlar da trigonometrik fonksiyonlar gibi birtakm eitliklere sahiptirler. rnein;

cosh =ez + ez

2 cosh2 z = (e

z + ez)2

4=e2z + 2 + e2z

4

sinh z =ez ez

2 sinh2 z = (e

z ez)24

=e2z 2 + e2z

4

cosh2 z sinh2 z = 14[e2z + 2 + e2z e2z + 2 e2z] = 4

4= 1.

Benzer ekilde

sinh(z1 z2) =? cosh(z1 z2) =? tanh(z1 z2) =? coth(z1 z2) =?

eitlikleri de gsterilebilir (Bunlarn gsterilmesi renciye altrma olarak braklm-

tr).

rnek 1.4.1. w = f(z) = sin z f(iz) =?

rnek 1.4.2.

w = f(z) = cos z f(iz) =? w = f(z) = tan z f(iz) =? w = f(z) = cot z f(iz) =? w = f(z) = sec z f(iz) =? w = f(z) = csc z f(iz) =? w = f(z) = sinh z f(iz) =? w = f(z) = cosh z f(iz) =? w = f(z) = tanh z f(iz) =?


w = f(z) = coth z f(iz) =?Trigonometrik Fonksiyonlarn Ters Fonksiyonlar:

cos1 z =1

ilog(z +

p

z2 1), sin1 z = 1ilog(iz +

p

1 z2)

tan1 z =1

2ilog

1 + iz

1 iz

, cot1 z =1

2ilog

z + i

z i

sec1 z =1

ilog

1 +1 z2z

, csc1 z =1

ilog

i+z2 1z

eklinde tanmlanan fonksiyonlara ters trigonometrik fonksiyonlar ad verilmek-

tedir. Bunlardan sin1 z'nin ispat verilecektir, dierleri renciye altrma olarak b-raklacaktr.

w = f(z) = sin z =eiz eiz

2i w = e

iz eiz2i

2iw = eiz eiz

eiz = t, e2iz 2weizi 1 = 0 t2 2wti 1 = 0 t1,2 = 2wi4w2 + 42

t1,2 = iw p

1 w2 (|w| < 1 w2 < 1 w2 > 1 1 w2 > 0) t = iw +

p

1 w2 = eiz iz = log(iw +p

1 w2)z = w1 = sin1 z =

1

ilog(iw +

p

1 w2)Hiperbolik Fonksiyonlarn Ters Fonksiyonlar:

cosh1 z = log(z +p

z2 1), sinh1 z = log(z +p

z2 + 1)

tanh1 z =1

2log

1 + z

1 z

, coth1 z =1

2log

z + 1

z 1

eklinde tanmlanan fonksiyonlara da ters hiperbolik fonksiyonlar ad verilmekte-

dir. Yine ters trigonometrik fonksiyonlarda olduu gibi birini ispatlayp dierlerinin

ispat renciye braklacaktr.

w = f(z) = tanh z =ez ezez + ez

tanh1 z =?

ez = t w = t2 1t2 + 1

wt2 + w = t2 1 t2(w 1) +w + 1 = 0

t2 =w + 1

1 w = e2z 2z = log w + 1

1 w z =1

2log

w + 1

1 w tanh1 z = 1

2log

w + 1

1 w .

1.5 Kompleks dzlemde blgeler 17

1.5 Kompleks dzlemde blgeler

Temel kavramlardan biri olan bir z0 noktasnn komuluu

|z z0| < (1.5.1)

ifadesi ile verilir. Bu komuluk z0 merkezli yarapl emberin iindeki z noktalarnierir. z0 hari, z0 noktasnn komuluundaki tm z noktalarn ieren komulua

PSfrag replacements

p

0

|z z0|

z z0

y

x

ekil 1.4

delikli komuluk denir ve

0 < |z z0| < (1.5.2)olarak gsterilir.

Verilen bir E cmlesi iin, z0'n sadece E cmlesinin noktalarn ieren bir komuluuvarsa z0'a E cmlesinin bir i noktas denir. E cmlesinin hibir noktasn iermeyenbir komuluu bulunan z0 noktasna da E'nin d noktas ad verilir. Eer z0 bu ta-nmlanan noktalardan biri deilse E'nin snr noktasdr. Dolaysyla snr noktasnnher komuluu hem E'nin hem de E'nin olmayan noktalarn ierir. E cmlesinin snrnoktalarnn cmlesine E'nin snr denir. rnein; |z| = 1 emberi

|z| < 1 ve |z| 6 1

cmlelerinin her ikisinin de snrdr. Hibir snr noktasn iermeyen bir cmle ak

cmle olarak adlandrlr. Bir cmlenin ak olmas iin gerek ve yeter art her nok-

tasnn bir i nokta olmasdr. Tm snr noktalarn ieren bir cmleye kapal cmle

denir. E cmlesindeki tm noktalarla birlikte E'nin snr noktalarn da ieren cmleE'nin kapan olarak adlandrlr ve E ile gsterilir.Baz cmleler ne ak ne de kapaldrlar. Verilen bir cmlenin ak olmamas iin en az

bir snr noktasn ihtiva etmesi, kapal olmamas iin ise cmle tarafndan ierilmeyen

bir snr noktasnn olmas gerekir. rnein; 0 < |z| 6 1 delikli diski ne ak ne dekapaldr. Dier yandan tm kompleks saylar cmlesi, snr noktas olmadndan hem

ak hem de kapaldr.


Ak bir E cmlesinin iinde alnan her z1 ve z2 noktas, tamamen E iinde kalacakekilde sonlu sayda ucuca eklenmi ok keli doru ile birletirilebiliyor ise bu cmleye

balantl denir. Bu tanma gre |z| < 1 ak cmlesi balantldr. Benzer ekilde1 < |z| < 2 halkas da ak ve ayn zamanda balantldr.Balantl bir ak cmle ise blge olarak adlandrlr. Dolaysyla her komuluk bir

blgedir.

Bir E cmlesinin her noktas |z| = R emberi iinde yer alyor ise E cmlesinesnrl, dier durumda snrsz denir. E cmlesi iinde alnan herhangi bir z0 nok-tasnn her delikli komuluu, E'nin en az bir noktasn ieriyor ise bu z0 noktasna Ecmlesinin ylma noktas ad verilir. Tanmdan hemen kan bir sonu kapal bir

E cmlesinin tm ylma noktalarn ierdiidir ve bunun tersi de dorudur. Yani, bircmlenin kapal olmas iin gerek ve yeter art tm ylma noktalarn iermesidir.

Balang ve bitim noktalar farkl olan ve kendi kendini kesmeyen bir eriye basit

balantl ak eri denir.

PSfrag replacements

p

0 0

y y

x x

ekil 1.5

Balang ve bitim noktalar farkl olan ve kendi kendini kesen bir eriye ok ba-

lantl ak eri denir.

PSfrag replacements

p

0 0

y y

x x

ekil 1.6

1.5 Kompleks dzlemde blgeler 19

Balang ve bitim noktalar ayn olan ve kendi kendini kesmeyen bir eriye basit

balantl kapal eri ad verilir.

PSfrag replacements

p

y y

x x

ekil 1.7

Balang ve bitim noktalar ayn olan ve kendi kendini kesen bir eriye ok ba-

lantl kapal eri ad verilir.

PSfrag replacements

p

x3

0

y y

x x

ekil 1.8

Basit balantl kapal bir erinin kapatt blgeye basit balantl (kapal) blge

ad verilir. ok balantl kapal bir erinin kapatt blgeye de ok balantl (ka-

pal) blge ad verilmektedir.

Bir Tek Kompleks Deikenli Fonksiyon Kavram

A ve B, C kompleks saylar cmlesinin herhangi iki alt cmlesi olsun.

f :A Bz w = f(z)

eklinde tanmlanan bir bantya bir tek kompleks deikenli fonksiyon ad ve-

rilir. Burada z'ye bamsz, w'ya da baml deiken ad verilir. A cmlesine, ffonksiyonunun tanm cmlesi, B cmlesine de deer cmlesi denir. Genellikle Ave B cmleleri birer blge olacaklar ve aksi sylenmedike A cmlesinin basit balantlbir blge olduu farzedilecektir.

rnek 1.5.1. w = f(z) = z2, w = f(z) = az+bcz+d

, (a, b, c, d C, sabit) eklindekifonksiyonlar tek kompleks deikenli fonksiyonlardr.


Aklama 1.5.2. w = f(z) eklindeki bir tek kompleks deikenli fonksiyon w =f(z) = u(x, y)+iv(x, y) eklinde iki deikenli, iki tane fonksiyonun lineer kombinezonuolarak yazlabilir.

Aklama 1.5.3. w = f(z) eklindeki bir tek kompleks deikenli fonksiyon aadagsterildii gibi bir zdzlemi zerindekiD blgesini wdzlemi zerindekiD1 blgesizerine resmeder.

PSfrag replacements

p

y y

x x

D blgesi D1 blgesi

zdzlemi wdzlemi

w=f(z)

ekil 1.9

rnek 1.5.4. w = f(z) = z2 fonksiyonu altndaD =

(x, y) |xy = 2, xy = 6, x2 y2 = 4, x2 eklinde tanmlanan D blgesinin hangi blge zerine resmedileceini aratrnz.

2 Analitik fonksiyonlar

2.1 Limit ve sreklilik

w = f(z) fonksiyonu basit balantl bir D blgesinde tanmlanm olsun. Bu fonksiyonbasit balantl D blgesini wdzleminde basit balantl bir D1 blgesine resmetsin.z0 D iin z z0 olduunda w = f(z) fonksiyonunun limiti u ekilde tanmlanr: > 0 saysna |zz0| < olduu mddete |f(z)L| < eitsizlii daima gereklenecekekilde > 0 says karlk getirilebilirse f(z) fonksiyonunun limiti L'dir denir velimzz0 f(z) = L eklinde yazlr.Geometrik (topolojik) ekilde anlam: z0 noktasnn resmi w0 = f(z0) olduu kabul

edildiinde |f(z) L| < |w L| < |w0 L| < olduklar gznne alnrsa

PSfrag replacements

p

z |

y y

x x

D blgesi D1 blgesi

zdzlemi wdzlemi

z0w0

ekil 2.1

limitin geometrik anlam zdzlemindeki bir D blgesinde z0 merkezli yarapl birak civara wdzleminde D1 blgesinde w0 merkezli yarapl bir ak civarn kar-lk getirilebilmesidir.

Limit Teoremleri:

Teorem 2.1.1. f(z) ve g(z) fonksiyonlar basit balantl D blgesinde tanmlanmve z0 D olmak zere limzz0 f(z) = L1, limzz0 g(z) = L2 limitleri var olsun. Buhalde

(i) limzz0(f(z) + g(z)) = limzz0 f(z) + limzz0 g(z) = L1 + L2

(ii) limzz0(f(z) g(z)) = limzz0 f(z) limzz0 g(z) = L1 L2(iii) limzz0(f(z)g(z)) = limzz0 f(z) limzz0 g(z) = L1L2

21

www.matematikce.com

22 2 Analitik fonksiyonlar

(iv) limzz0f(z)g(z)

=limzz0 f(z)

limzz0 g(z)= L1

L2, (g(z), L2 6= 0)

(v) limzz01

f(z)= 1

limzz0 f(z)= 1

L1, (f(z), L1 6= 0) eklindedir.

Teorem 2.1.2. w = f(z) fonksiyonu zdzleminde basit balantl bir D blgesindetanmlanm olsun. z0 D olmak zere limzz0 f(z) = L varsa bu limit tektir.Kant. spat derste yaplacaktr.

Teorem 2.1.3. w = f(z) fonksiyonu zdzleminde basit balantl bir D blgesindetanmlanm olsun. z0 D olmak zere limzz0 f(z) = L varsa |f(z)| < |L| + 1'dir(Limit mevcutsa fonksiyon stten snrldr).

Kant. spat derste yaplacaktr.

Teorem 2.1.4. w = f(z) fonksiyonu zdzleminde basit balantl bir D blgesindetanmlanm olsun. z0 D olmak zere limzz0 f(z) = L varsa |f(z)| > |L|2 'dir (Limitmevcutsa fonksiyon alttan snrldr).

Kant. spat derste yaplacaktr.

Aklama 2.1.5. w = f(z) fonksiyonunun tanml olduu blgedeki bir noktada limi-tinin var olmas halinde, bu nokta civarnda "snrl" olduu grlmektedir.

rnek 2.1.6. w = f(z) = z2 ise limzz0 f(z) = limzz0 z2 = z20 olduunu ispatlay-

nz.

rnek 2.1.7. w = f(z) = 2z+3 fonksiyonunun z0 = 2 iin limit tanmndan hareketlelimitini hesaplaynz.

rnek 2.1.8. w = f(z) = z2 ise z0 = 1 + i iin limit tanmndan hareketle limitihesaplaynz.

rnek 2.1.9. w = f(z) = iz2

fonksiyonu iin |z| < 1 blgesinde limz1 f(z) = i2olduunu gsteriniz.

w = f(z) fonksiyonu basit balantl D blgesinde tanmlanm bir fonksiyon, z0 Dolmak zere aada verilen koul gereklensin. Bu halde fonksiyona z0 noktasndasreklidir denir.

f(z) fonksiyonu z0'da tanml olmal,

limzz0 f(z) var olmal,

limzz0 f(z) = f(z0) olmal.

Dzgn Sreklilik:w = f(z) fonksiyonu basit balantl, kapal, snrl bir D bl-gesinde tanmlanm iki reel deikenli, tek deerli bir fonksiyon olsun. O halde ffonksiyonu tanmland bu blgede dzgn sreklidir, yani; sreklilik tanmndaki

says blge iindeki z0 noktalarndan bamszdr.

2.2 Analitik fonksiyon kavram 23

rnek 2.1.10. f(z) = z2 fonksiyonunun D = {z | |z| < 1} blgesinde dzgnsrekliliini aratrnz.

rnek 2.1.11. f(z) = 1zfonksiyonunun D = {z | |z| < 1} blgesinde dzgn

srekliliini aratrnz.

rnek 2.1.12. f(z) = z2 fonksiyonunun z0 = 1+i noktasnda srekliliini inceleyiniz.

2.2 Analitik fonksiyon kavram

2.2.1 Diferansiyellenebilme ve kompleks trev

w = f(z) fonksiyonu kompleks dzlemin basit balantl bir D blgesinde tanmlanm,srekli, tek deikenli bir fonksiyon olsun. Eer

limz0

f(z +z) f(z)z

(z = x+ iy)

limiti varsa, bu limit deerine f fonksiyonunun trevi ad verilir ve

f (z) =df

dz= lim

z0f(z +z) f(z)

z= limh0

f(z + h)

h

ile ifade edilir. Bu durumda f(z) fonksiyonu z noktasnda diferansiyellenebilirdirdenir.

Trev zerine Temel Teoremler: f(z) ve g(z) fonksiyonlar ayn basit balantlD blgesinde tanmlanm, trevlenebilir olsunlar. Bu halde

(i) (f(z) g(z)) = f (z) g(z),(ii) (f(z)g(z)) = f (z)g(z) + f(z)g(z),

(iii)

f(z)g(z)

= f

(z)g(z)f(z)g(z)(g(z))2

, (g(z) 6= 0).

Kant. (ii) iin ispat derste verilmektedir. Dierleri renciye braklmtr.

rnek 2.2.1. f(z) = azn f (z) = nazn1 olduunu trev tanmn kullanarakgsteriniz.

rnek 2.2.2. f(z) = c (c = a+ ib) f (z) = 0 olduunu trev tanmn kullanarakgsteriniz.

rnek 2.2.3. f(z) = sin z f (z) = cos z olduunu trev tanmn kullanarakgsteriniz.


2.2.2 Zincir kural

Kompleks bileke fonksiyonlarn diferansiyelenebilmesi iin zincir kural mevcuttur.

f fonksiyonunun z0 noktasnda ve g'nin f(z0) noktasnda treve sahip olduu kabuledilsin. Bu halde F (z) = g(f(z)) fonksiyonu da

F (z0) = g(f(z0))f

(z0)

eklinde treve sahiptir.

W = F (z) olmak zere, w = f(z) ve W = g(w) yazlrsa, zincir kural

dW

dz=dW

dw.dw

dz

biiminde elde edilir.

rnek 2.2.4. (2z2 + i)5 fonksiyonunun trevini zincir kuraln kullanarak yaznz.

2.2.3 Bir ak cmle zerinde analitik fonksiyonlar

z kompleks deikenli bir f fonksiyonu ak bir cmle zerindeki her noktada bir trevesahipse, fonksiyona analitiktir denir.

Bir f fonksiyonu ak olmayan bir S cmlesinde analitik ise, S'yi ieren bir akcmlede analitiktir. zel olarak, f fonksiyonu bir z0 noktasnn bir komuluundaanalitik ise, z0 noktasnda analitiktir. rnein; f(z) = 1/z fonksiyonu sonlu dzlemdesfrdan farkl her noktada analitiktir. Fakat f(z) = |z|2 fonksiyonu trevi olan yalnzcaz = 0 noktas dnda, bu noktann her komuluunda da analitik olmadndan analitikdeildir.

Sonlu bir blgenin her noktasnda analitik bir fonksiyon tam bir fonksiyondur. Bir

polinomun her yerde trevi olduundan, her polinom bir tam fonksiyondur.

Bir f fonksiyonu bir z0 noktasnda analitik olmasn, fakat z0'n her komuluundakinoktalarda analitik ise z0'a singler nokta veya f'nin singlaritesi denir. rnein;f(z) = 1/z fonksiyonunun z = 0 noktas bir singler noktasdr. f(z) = |z|2 fonksiynuanalitik olmadndan singler noktas yoktur.

te yandan iki fonksiyonun toplam ve arpmlarnn trevleri, trevi olan yerlerde

vardr. ki fonksiyon bir D blgesinde analitik ise, toplamlar ve arpmlar da D'deanalitiktir. Benzer ekilde blmleri, paydann sfrdan farkl olduu noktada analitik-

tir.

Zincir kuralndan da bir bileke fonksiyonun trevi iin, iki analitik fonksiyonun

bilekesinin analitik olduunu bulabiliriz.

Teorem 2.2.5. Bir D blgesinin her yerinde f (z) = 0 ise f(z) D'de sabittir.

Kant. spat Cauchy-Riemann Denklemleri'nin ardndan verilecektir.

2.3 Cauchy-Riemann denklemleri 25

2.3 Cauchy-Riemann denklemleri

w = f(z) = u(x, y)+ iv(x, y) fonksiyonu basit balantl bir D blgesinde tanmlanmbir fonksiyon; u(x, y) ve v(x, y) fonksiyonlar da birinci mertebeden ksmi trevleri varolan, srekli fonksiyonlar olsun. Bu halde f(z)'nin D'de analitik olmas iin gerek veyeter art D'nin btn noktalarnda

u

x=v

y,

u

y= v

x(2.3.1)

denklemlerini gereklemesidir. (2.3.1) ile verilen denklem takmna Cauchy-Riemann

Denklemleri ad verilmektedir.

Kant. () f(z), D'de analitik bir fonksiyon olsun, yani trevlenebilen bir fonksiyon-dur. Bu halde trev tanmndan;

f (z) = limz0

f(z +z) f(z)z

= limx0,y0

u(x+x, y +y) + iv(x+x, y +y) u(x, y) iv(x, y)x+ iy

z 0 iin x 0 ve y 0 olmaldr.1. Durum: y = 0,x 0 iin

f (z) = limx0

u(x+x, y) + iv(x+x, y) u(x, y) iv(x, y)x

= limx0

u(x+x, y) u(x, y)x

+ i limx0

v(x+x, y) v(x, y)x

=u

x+ i

v

x.

2. Durum: x = 0,y 0 iin

f (z) = limy0

u(x, y +y) + iv(x, y +y) u(x, y) iv(x, y)iy

= limy0

u(x, y +y) u(x, y)iy

+ limy0

v(x, y +y) v(x, y)y

=1

i

u

y+v

y= iu

y+v

y.

f(z) fonksiyonunun trevinin tekliinden de

u

x+ i

v

x= iu

y+v

y u

x=

v

y,

u

y= v

x


eitlikleri gereklenir.

() f(z) fonksiyonu Cauchy-Riemann Denklemleri'ni gerekleyen bir fonksiyon olsun.O halde Ortalama Deer Teoremi'ni kullanarak;

u = u(x+x, y +y) u(x, y) = u(x+x, y +y) u(x, y) + u(x, y +y) u(x, y += [u(x+x, y +y) u(x, y +y)] + [u(x, y +y) u(x, y)]

=

u

x+ 1

x+

u

y+ 2

y =u

xx+

u

yy + 1x+ 2y

eitliini elde ederiz. Benzer ekilde hareket edilerek;

v =v

xx+

v

yy + 1x+ 2y

sonucunu elde ederiz. Ayrca

= 1 + i1, = 2 + i2

yazalm. Bu halde

w = u+ iv =u

xx+

u

yy + i

v

xx+

v

yy

+ x+ y

=

u

x+ i

v

x

x+

u

y+ i

v

y

y + x+ y

=u

x(x+ iy) iu

y(x+ iy) + x+ y

=

u

x iu

y

(x+ iy) + x+ y

=

u

x+ i

v

x

(x+ iy) + x+ y

eitlii elde edilir. Bu eitliin her iki yan z = x + iy ile blnp z 0, (x 0,y 0) iin limit alnrsa (z 0 iin 0 ve 0);

limz0

w

z= f (z) =

u

x+ i

v

x

elde edilir. Bu da w = f(z) fonksiyonunun trevinin mevcut ve tek olduunu yanianalitik olduunu gsterir.

2.4 Kompleks diferansiyel operatrler

= x

+ i

y= 2

z(del) ve

2.4 Kompleks diferansiyel operatrler 27

= x

i y

= 2

z(del bar)

ifadelerine kompleks diferansiyel operatrler ad verilmektedir.

Gradyant. F (x, y) fonksiyonu basit balantl bir D blgesinde tanmlanm, sreklive srekli ksmi trevlere sahip bir fonksiyon olsun. Bu halde;

gradF = F =

x+ i

y

F =F

x+ i

F

y

eitliine F (x, y) fonksiyonunun gradyant denir.Geometrik olarak; F (x, y) = c fonksiyonu dzlemde bir eri gsteriyorsa, gradF ,

(x, y) noktasnda bu eriye izilen normalin dorultusunu vermektedir.A(x, y) = P (x, y)+iQ(x, y) kompleks fonksiyonunun gradyant ise;

gradA = A =

x+ i

y

(P + iQ) =

P

x Q

y

+ i

P

y+Q

x

eklindedir.

Diverjans.P (x, y) ve Q(x, y) fonksiyonlar basit balantl D blgesinde tanmlanm,srekli ve srekli ksmi trevlere sahip fonksiyonlar olsun. Bu halde A(x, y) = P (x, y)+iQ(x, y) eklinde kompleks fonksiyonun diverjans;

divA = Re(A) = Re

x i

y

(P + iQ)

=P

x+Q

y

eklindedir.

Rotasyonel.P (x, y) ve Q(x, y) fonksiyonlar basit balantl D blgesinde tanmlan-m, srekli ve srekli ksmi trevlere sahip fonksiyonlar olsun. Bu halde A(x, y) =P (x, y) + iQ(x, y) eklinde kompleks fonksiyonun rotasyoneli;

rotA = Im(A) = Im

x i

y

(P + iQ)

=Q

x P

y

eklindedir.

Kompleks Diferansiyel Operatrlerin Baz zellikleri:

A1, A2, A, P1, P2, P3, Q1, Q2 ve Q3 diferansiyellenebilir fonksiyonlar olmak zere,

(1) grad(A1 + A2) = gradA1 + gradA2

(2) div(A1 +A2) = divA1 + divA2

(3) rot(A1 + A2) = rotA1 + rotA2

(4) grad(A1A2) = A1gradA2 + A2gradA1

(5) A(x, y) fonksiyonu reel ise rot(gradA) = 0 dr.

(6) rot(gradA) = 0 ise ImA fonksiyonu harmoniktir.


(7) A(x, y) fonksiyonu srf sanal ksmdan oluuyorsa div(gradA) = 0 dr.

(8) div(gradA) = 0 ise ReA fonksiyonu harmoniktir.

Kant. spatlar derste verilecektir.

imdi teorem 2.2.5'in ispatn vermek uygun olacaktr.

Kant. spat yapmak iin f(z) = u(x, y) + iv(x, y) yazarz. f (z) = 0 farzedilirseux+ ivx = 0, bu eitlik iin Cauchy-Riemann Denklemleri kullanlrsa vy iuy = 0'dr.Sonu olarak; D'nin her noktasnda ux = uy = vx = vy = 0'dr. ux ve uy ; gradu

vektrnn x ve y bileenleri, u'nun bu dorultudaki dorultu trevleridir. ux ve uy'nindaima sfr olmas gradu'nun sfr olmas demektir, bylece u'nun her dorultu trevisfrdr. Sonuta, u, D iinde uzanan doru paras boyunca sabittir ve D iindekiherhangi iki noktay birletiren ucuca eklenmi sonlu sayda doru paras olduundan,

bu noktalarn deerleri ayn olmak zorundadr. O halde D'de u(x, y) = a olacak ekildea reel sabiti vardr. Benzer ekilde v(x, y) = b elde edilebilir, bunun ardndan D iindeher noktada f(z) = a+ ib elde edilir.

2.5 Ters tasvirler

nceki blmlerden bildiimiz zere birok elemanter fonksiyonun tersi de analitik

olmaktadr. rnein; w = ez fonksiyonunun tersi; z = rei olmak zere

z = logw = log r + i

fonksiyonudur ve 'nn deer blgesi w = 0 noktasn iermeyen herhangi basit ba-lantl bir blgede, bu fonksiyonu tek-deerli ve analitik yapacak ekilde belirlenebilir.

stelik

dz

dw=

1

w=

1

ez=

1

dw/dz

dir. imdi ise analitik fonksiyonlarn terslerine karlk gelen zellikleri gznne almak

gerekecektir.

Teorem 2.5.1. f (z0) 6= 0 olacak ekilde bir z = z0 noktasnda analitik olan bir ffonksiyonu olsun ve f(z0) = w0 olsun. O halde

w = f(z) (2.5.1)

fonksiyonunun w-dzlemi iinde bir w0 komuluu vardr, yle ki bu w0 komuluunda

z = F (w)

tek deerli, analitik F (w0) = z0 ve w = f(F (w)) olacak ekilde tek bir F ters fonksiyonuvardr. Ayrca;

F (w) =1

f (z)dir.

2.5 Ters tasvirler 29

Kant. (2.5.1) eitlii

u = u(x, y), v = v(x, y) (2.5.2)

biiminde yazlabilir. z0 = x0 + iy0 noktasnda w analitik olduu iin bu noktannkomuluunda da analitiktir. Bu komulukta u ve v fonksiyonlaryla bunlarn ksmitrevleri de sreklidirler.

u ve v fonksiyonlaryla bularn ksmi trevlerinin srekli olmas kouluna ek bir koulda u ve v fonksiyonlarna ait

ux

uy

vx

vy

jakobiyeninin (x0, y0) noktasnda sfrdan farkl olmasdr ki koul altnda, birlikte sa-lanan (2.5.2) denklemlerinde x ve y'nin u ve v'nin srekli fonksiyonlar olarak zmtektir. Cauchy-Riemann koullarnn nda, bu determinantn deeri

u

x

2

+

v

x

2

= |f (z)|2

olarak yazlabilir ve varsaym gereince z0 noktasnda sfrdan farkldr.Gerekten; z0'da f analitik olup f

(z0) 6= 0 olduundan z0 noktasnn, f nn hibirsfr yerini kapsamayan bir komuluu vardr. O halde; w0 = u0 + iv0 noktasnn

x = x(u, v), y = y(u, v) (2.5.3)

fonksiyonlar (2.5.2) eitliklerini salayacak ve

x0 = x(u0, v0), y0 = y(u0, v0)

olacak ekilde bir komuluunda x = x(u, v), y = y(u, v) srekli fonksiyon iftindenbir ve yalnz bir tane vardr.

F srekli bir fonksiyon olmak zere (2.5.3) eitlikleri kompleks biimde

z = F (w)

olarak yazlabilir. Bunun trevinin var olduunu gstermek iin

z

w=

1

w/z

yazarz. w, z'nin analitik bir fonksiyonu olduundan, w sfra yaklarken z de sfrayaklar ve kart da dorudur. Bylece

dz

dw= lim

w0z

w= lim

z01

w/z=

1

dw/dz

yazlr.

F (w), w0'n bir komuluunda var olduundan, F fonksiyonu burada analitiktir.


Kullandmz elemanter fonksiyonlarn terslerine ait trev alma formllerini bulmak

iin son eitlik kullanlabilir.

w = ez fonksiyonu kullanlarak; z = 0 ise w0 = e0 = 1 ve f (0) = 1 6= 0'dr. teoreme

gre, bu noktalara karlk gelen bir tek ters fonksiyon vardr.

ok deerli olan

z = logw = log r + i( + 2kpi) (r > 0,pi < < pi)fonksiyonunun, ez fonksiyonunun bir tersi olduunu biliyoruz. Fakat teoremde ifadeedildii gibi

F (w0) = z0

ise log 1 = 0'dr. w = 1 iin = 0 ve r = 1 olduundan logw'y veren yukardakiformlde k = 0 kar. O halde burada belirtilen tek ters fonksiyon

F (w) = log r + i (r > 0, pi < < pi)olur.

2.6 Harmonik fonksiyonlar

f(z) = f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) fonksiyonu zdzleminin basit balantl bir blge-sinde analitik olsun. O halde bu blgenin her noktasnda Cauchy-Riemann Denklem-

leri'ni salamaktadr; yani

u

x=v

y,

u

y= v

x

olur. kinci trevlerin var olmas koulu altnda

2u

x2=

2v

xy,

2u

y2=

2v

yx

elde edilir. f analitik olduu zaman, u ve v'nin her mertebeden ksmi trevlerinin varolduu ve bunlarn x ile y'nin srekli fonksiyonlar olduklarn gstereceiz. Bunlarbu noktada gsterilmi olarak kullanalm. Son verilen eitlikleri taraf tarafa toplad-

mzda;

2u

x2+2u

y2= 0

elde ederiz. Bu denklem iki bamsz deiken olan x ve y'ye gre Laplace diferansiyeldenklemi 'dir. kinci mertebeden ksmi trevleri srekli olan ve Laplace denklemini

salayan bir fonksiyona harmonik fonksiyon denir.

f fonksiyonu analitik olduunda u gibi, v de harmoniktir, yani u iin yaplan ilemlerbenzer ekilde v iin de yaplrsa

2v

x2+2v

y2= 0

2.6 Harmonik fonksiyonlar 31

elde edilir.

f = u+ iv fonksiyonu analitik ise; u ve v'ye harmonik elenik fonksiyonlar adverilir. Buradaki elenik kavram bata verilen, z kompleks saysnn elenii kavramn-dan farkldr.

Birbirinin harmonik elenii olan iki fonksiyondan biri verildiinde dierini bulmak

iin Cauchy-Riemann Denklemleri kullanlr. imdi, verilen bir harmonik fonksiyonun

harmonik eleniini bulmak iin bir yntem aklanacaktr:

u = y3 3x2yfonksiyonunun harmonik bir fonksiyon olduunu, Laplace denklemi'ne dorudan yer-

letirerek grebiliriz. u'nun v harmonik eleniini bulmak iin

u

x= 6xy

olduunu gznnde bulundurup Cauchy-Riemann Denklemleri'nden birini kullanarak

u

x=v

y= 6xy

elde ederiz. Bu eitlikte x'i sabit tutup y'ye gre integral alnrsa; (x); x'e gre rastgelebir fonksiyon olmak zere

v = 3xy2 + (x)bulunur. Ayrca

vx

= uy

olduundan

3y2 + (x) = 3y2 + 3x2 (x) = 3x2

ve c key sabit olmak zere(x) = x3 + c

elde edilir. Bu halde u = y3 3x2y fonksiyonunun harmonik eleniiv = 3xy2 + x3 + c

olarak elde edilir. Bu halde karlk gelen analitik fonksiyon

f(z) = u+ iv = y3 3x2y + i(3xy2 + x3 + c)eklindedir.

Teorem 2.6.1. w = f(z) fonksiyonu basit balantl C erisinin kapatt D blgesindetanmlanm, analitik bir fonksiyon olsun. a noktas D blgesinde bir i nokta olmakzere;

f (n) =n!

2pii

Z

C

f(z)

(z a)n1 dzeitlii vardr.

Bu eitlie Cauchy Trev Forml ad verilmektedir ve bize analitik bir fonksi-

yonun n. mertebeden trevinin varlnn garanti altna alnabildiini ifade etmektedir.


Problemler

1. z = 2, z = 3i, z = 4i, z = 23 2i noktalarn kutupsal formda yaznz.2. Aada verilen denklemlerin kklerini bulunuz.

(i) z3 = 1

(ii) z4 = 1(iii) z = 5

1(iv) z =

i

(v) z = 31 + i

(vi) z = 3p

1 cos i sin(vii) z = 3

2i 2

(viii) z =p

1 + i3

(ix) z =4p

8 83i(x) z4 =

223i3+i

7(1 i)6

3. Aada verilen kompleks saylara karlk gelen noktalarn geometrik yerlerini belirle-

yiniz.

(i) |z + 2 i| = 4(ii) |z 1| < 3(iii) |z 2| > 1(iv)

z3z+3

= 1

(v) |z + 3|+ |z 3| = 10(vi) |2z + 1| < |z|(vii)

zz3

= 1

(viii) |z| 6 24. Aada verilen denklemlerin zmlerini aratrnz.

(i) (z + i+ 1)3 + 1 = 0

(ii) z4 = 1(iii) z3 64i

1+i= 0

(iv) z2 = 5 12i(v) (z + 1)5 = (1 z)5(vi) 64z6 = (z i)6(vii) z6 + z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

(viii) z6 2z3 + 2 = 0(ix) z3 = i(z 1)3(x) (z + 1)2n + (z 1)2n = 0(xi) z2 + (4 6i)z = 9 + 15i(xii) z2 (3 + 5i)z + 8i 4 = 0

5. z =

3i3+i

4 1+i1i

5ifadesini sadeletiriniz.

2.6 Harmonik fonksiyonlar 33

6. z3 z ifadesi reel olacak ekilde modl 1 olan kompleks saylar bulunuz.7.

1+sin +i cos 1+sin i cos

n= cos

n

pi2

+ i sin

n

pi2

olduunu gsteriniz.

8. w = cos 2pin

+ i sin 2pin, (n > 1) ise 1 + w +w2 + +wn1 = 0 olduunu gsteriniz.

9. z = 6epi

3i |eiz | =?

10. x3 + ux2 + vx + t = 0 denkleminin kkleri x1, x2, x3 olsun. Bu halde

(i) u, v, t'yi x1, x2, x3 cinsinden ifade ediniz.

(ii) x1, x2, x3'n argmanlar pi/6 modlleri srasyla 1, 2, 3 olduuna gre u, v, t'yibulunuz.

11. a = 1+ cos + cos 2 + + cos(n 1) ve b = sin + sin 2+ + sin(n 1) olmakzere a ve b'yi hesaplaynz.

12.

2z > |Rez|+ |Imz| olduunu gsteriniz.

13.

z1+z2z3+z4

6|z1|+|z2|||z3||z4|| , (|z3| 6= |z4|) olduunu gsteriniz.

14. (1 + i)7 = 8(1 + i) olduunu gsteriniz.15. (1 + i

3)99 =?

16. Her w C iin |z| = 1 ise |z w| = |1 wz| olduunu gsteriniz.17. xn + iyn =

13i3+i

neitliinde xn ve yn'i hesaplaynz.

18. limz2i 1z = i2 olduunu limit tanmn kullanarak gsteriniz.19. limz0 zz limitinin varln aratrnz.

20. z 6= 1 olmak zere f(z) = z21z1 fonksiyonunun z 1 iin limitinin 2 olduunu gsteri-

niz.

21. limz1+i z22i

z22z+2 =?

22. limzi z41zi = 4i olduunu gsteriniz.

23. limz1+i(z2 2z + 1) = 1 olduunu gsteriniz.24. limz0 z

2

|z|2 'yi aratrnz.

25. limzi z(z + 2) = 1 + 2i (z 6= i) olduunu limit tanmn kullanarak gsteriniz.26. f(z) = z

3+2z+1z3+1

fonksiyonunun analitik olduu blgeyi belirleyip, analitik olduu yerde

trevini hesaplaynz.

27. f(z) = z fonksiyonunun analitik olmadn gsteriniz.

28. f(z) = z3 + 1 polinom fonksiyonunun Cauhy-Riemann Denklemleri'ni saladn gs-teriniz.

29. u = y3 3x2y fonksiyonunun harmonik olduunu gsteriniz.30. f = u + iv fonksiyonu basit balantl D blgesinde analitik olsun. Eer u sabit ise, f

fonksiyonu sabittir, gsteriniz.


31. f(z) fonksiyonu bir z0 noktasnda analitik ise bu noktada sreklidir, gsteriniz. Buifadenin tersinin doru olmadna dair bir rnek veriniz.

32. f = u+ iv fonksiyonu D blgesinde analitik olsun. Eer u ve v'nin D'de srekli ikinciksmi trevleri varsa gsteriniz ki u ve v D'de harmoniktir.

33. u = ex(x sin y y cos x) fonksiyonunun harmonik olduunu gsteriniz.34. w = f(z) = z2z fonksiyonunun analitik olmadn gsteriniz.

35. w = f(z) = sin z ve w = f(z) = sin 2z fonksiyonlarnn Cauchy-Riemann Denklemleri'nigereklediini gsteriniz.

36. w = f(z) = z2 fonksiyonu z = i noktasnda srekli midir?

37. w = f(z) = cos z fonksiyonunun analitik olduunu gsteriniz.

38. Cauchy-Riemann Denklemleri'ni kullanarak w = f(z) = ez fonksiyonunun trevininf (z) = ez olduunu gsteriniz.

39. Cauchy-Riemann Denklemleri'ni kullanarak w = f(z) = sin z fonksiyonunun trevinibulunuz.

40. Sanal ksm v = 2y(x+1) olan ve z = 0 iin w = 3 olan w = u+iv analitik fonksiyonunuz'ye bal olarak yaznz.

41. ve reel saylar ve C kompleks bir say olmak zere, zz+cz+cz+ = 0 olduunda;

(a) = 0 ve c.c > 0 ise bir doru denklemidir.

(b) 6= 0 ve c.c > ise bir ember denklemidir.gsteriniz.

3 Kompleks ntegrasyon ve Analitiklik

Reel deikenli fonksiyonlardaki integral kavram benzer ekilde kompleks deikenli fonksi-

yonlara geniletilebilir. Reel deikenli fonksiyonlar iin verilen integrasyon kurallar kompleks

deikenli fonksiyonlarda ayn ekilde kullanlmaktadr.

3.1 Kompleks izgisel integral

w = f(z) fonksiyonu basit balantl D blgesinde tanmlanm, analitik bir fonksiyon olsun.Bu fonksiyonun D blgesinde bulunan herhangi bir C erisi boyunca alnan integrali

Z

C

f(z)dz, dz = dx+ idy

eklinde tanmlanr. Bu tanmdan hareketle w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) olduundanZ

C

f(z)dz =

Z

C

[u(x, y) + iv(x, y)][dx+ idy]

=

Z

C

u(x, y)dx v(x, y)dy + iZ

C

v(x, y)dx + u(x, y)dy

yazlr.

rnek 3.1.1. w = f(z) = z2 fonksiyonunun y = x2 erisi zerinde x = 1'den x = 3'e kadarizgisel integralini bulunuz.

3.1.1 izgisel integralin zellikleri

D blgesini kapatan basit balantl bir C erisi zerinde alnanR

Cf(z)dz integrali aadaki

zelliklere sahiptir:

1. C erisi C = C1 + C2 + C3 + + Cn eklinde n tane erinin toplamndan oluuyorsaZ

C

f(z)dz =

Z

C1+C2++Cnf(z)dz =

Z

C1

f(z)dz +

Z

C2

f(z)dz + +Z

Cn

f(z)dz

eitliine sahiptir.

2.

R

C f(z)dz = R

Cf(z)dz eitlii C erisi zerinde pozitif dnme ynnn aksi ynden

dnmekle elde edilen izgisel integral anlamnda kullanlmaktadr.

Aklama 3.1.2. Pozitif dnme yn saat ynnn tersidir.

Aklama 3.1.3. (Reel deikenli fonksiyonlar iin Green Teoremi)P (x, y) ve Q(x, y)fonksiyonlar basit balantl bir D blgesinde tanmlanm, srekli ve integre edilebilirfonksiyonlar olmak zere, D blgesinde bulunan bir C erisi zerinde alnan izgiselintegral aadaki zellie sahiptir:

Z

C

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

Z Z

D

Q

x Py

dxdy

35

www.matematikce.com

36


Bunun basit bir sonucu; basit balantl bir D blgesinde tanmlanm, analitik w =f(z) fonksiyonu iin kompleks fonksiyonlar teorisinde ok nemli olan Cauchy GreenTeoremi olarak adlandrlr.

3. w = f(z) fonksiyonu basit balantl bir D blgesinde ve onun snr olan C erisizerinde tanmlanm, analitik bir fonksiyon olsun. C erisi de D blgesinde herhangikapal ikinci eri ise bu durumda

Z

C

f(z)dz =

Z

C

f(z)dz

dir.

4. w = f(z) fonksiyonu basit balantl blgesinde ve onun C snr zerinde tanmlanm,analitik bir fonksiyon olsun. Bu halde;

Z

C

dz

z a =

0, a noktas D'nin dnda ise

2pii, a noktas D'nin iinde ise

gereklenir.

3.2 Cauchy-Goursat teoremi

w = f(z) fonksiyonu basit balantl D blgesinde tanmlanm, analitik bir fonksiyon olsun.Bu halde w = f(z) fonksiyonunun D blgesinde bulunan her C erisi zerinde alnan izgiselintegrali sfrdr, yani

Z

C

f(z)dz = 0

dr.

Kant.

Z

C

f(z)dz =

Z

C

[u(x, y)dx + iv(x, y)dy][dx + idy]

=

Z

C

u(x, y)dx v(x, y)dy + iZ

C

v(x, y)dx+ u(x, y)dy

eitliini yazabiliriz. te yandan f(z) fonksiyonu analitik olduundan Cauchy-Riemann Denk-lemleri'ni gerekler, yani;

u

x=v

y,

u

y= v

x

dir. Ayrca srasyla;

Z

C

u(x, y)dx v(x, y)dyZ

C

v(x, y)dx + u(x, y)dy

izgisel integralleri iin Green Teoremi'nin uygulanmasyla

Z

C

u(x, y)dx v(x, y)dy =Z Z

D

vx

uy

dxdy

3.3 Cauchy integral forml 37

Z

C

v(x, y)dx + u(x, y)dy =

Z Z

D

u

x vy

dxdy

eitlikleri yazlabilir. Bu iki eitliin sa yanlar iin Cauchy-Riemann Denklemleri kullanlrsa

Z

C

u(x, y)dx v(x, y)dy = 0

Z

C

v(x, y)dx + u(x, y)dy = 0

elde edilir. Bu halde istenilen

Z

C

f(z)dz = 0

sonucu elde edilir.

3.3 Cauchy integral forml

w = f(z) fonksiyonu basit balantl C erisinin kapatt D blgesinde tanmlanm, analitikbir fonksiyon olsun. a noktas D blgesinde bir i nokta olmak zere

f(a) =1

2pii

Z

C

f(z)

z adz

forml vardr.

PSfrag replacements

p

blgesi

blgesi

dzlemi

dzlemi

y

x

D blgesi

C erisi

T emberi

ekil 3.1

Kant. ekilde grld gibi a merkezli yarapl ember izilerek elde edilen ve pozitifdnme yn gznne alnarak elde edilen C = C+T erisinin kapatt D blgesindeg(z) =

f(z)za fonksiyonu tanmlanm, analitik bir fonksiyon olduundan dolay Cauchy Goursat

Teoremi'ne gre

Z

C

g(z)dz = 0

38


dr ve C ve g(z) bu eitlikte kullanlrsa;

0 =

Z

Cg(z)dz =

Z

C+T

f(z)

z adz =Z

C

f(z)

z adz+Z

f(z)

z adzZ

f(z)

z adzZ

T

f(z)

z adz

0 =Z

C

f(z)

z adz Z

T

f(z)

z adz Z

C

f(z)

z adz =Z

T

f(z)

z adzelde edilir. Dier yandan a merkezli yarapl ember denklemi gznne alndnda;

|z a| = z a = ei dz = ieidolduu bilinmektedir. Bu eitlikler integral iinde kullanlrsa

Z

C

f(z)

z adz =Z

T

f(z)

z adz =Z 2pi

0

f(a+ ei)

eiieid

= i

Z 2pi

0

f(a+ ei)d Z

C

f(z)

z adz = iZ 2pi

0

f(a + ei)d

eitliini elde ederiz. Bu eitlikte 0 iin limit alnacak olursa;Z

C

f(z)

z adz = iZ 2pi

0

f(a)d

eitlii bulunur. Buradan integral alnrsa

Z

C

f(z)

z adz = if(a)|2pi0 = if(a)2pi = 2piif(a)

f(a) = 12pii

Z

C

f(z)

z adzeitlii elde edilir.

3.4 Darboux teoremi

w = f(z) fonksiyonu basit balantl D blgesinde tanmlanm analitik bir fonksiyon olsun.D blgesinde bulunan her C erisi zerinde alnan izgisel integral; eer |f(z)| 6 M eitsizliigerekleniyor ise C erisinin uzunluu L olmak zere

Z

C

f(z)dz

6ML

eitsizliini gerekler.

Kant.

Z

C

f(z)dz

6

Z

C

|f(z)dz| =Z

C

|f(z)||dz| 6Z

C

M |dz| = MZ

C

|dz|

= M

Z

C

|dx+ idy| = MZ

C

p

(dx)2 + (dy)2 =M

Z

C

r

(dx)2

1 +

dy

dx

2

= M

Z

C

r

1 +

dy

dx

2

dx = ML

Z

C

f(z)dz

6ML.

3.5 Liouville teoremi 39

3.5 Liouville teoremi

w = f(z) fonksiyonu geniletilmi kompleks dzlemde analitik ve snrl ise, bu fonksiyon sabitolmak zorundadr.

Kant. Teoremin ispat Cauchy ntegral Teoremi'ne dayanarak yaplabilmektedir. ekilde de

PSfrag replacements

p

0

blgesi

blgesi

dzlemi

dzlemi

a

bD blgesi

R

y

x

C emberi

ekil 3.2

grld gibi a merkezli, R yarapl C emberi ve C emberinin snrlad D blgesi g-znne alnsn. Ayrca D blgesinde a'dan farkl olmak zere ikinci bir b noktasn |b a| 0) gereklenir. te yandan

|z b| = |z b+ a a| = |z a (b a)| > |z a| |b a| |z b| > |z a| |b a|

eitliini yazlabilir. Ayrca a merkezli R yarapl ember gznne alndndan dolay

|z a| = R z a = Rei dz = iReideitlikleri yazlabilir.

|b a| < R/2ve

|z b| > |z a| |b a|olduundan ve |z a| = R eitliinden

|z b| > R/2eitsizlii yazlmaktadr.

40


te yandan; a ve b iin Cauchy ntegral Forml yazlacak olursa;

f(a) =1

2pii

Z

C

f(z)

z adz,

f(b) =1

2pii

Z

C

f(z)

z bdz

eitlikleri elde edilir. Bu iki eitlik taraf tarafa karlrsa;

f(b) f(a) = 12pii

Z

C

h

1

z b 1

z ai

f(z)dz =1

2pii

Z

C

z a z + b(z a)(z b)f(z)dz

=(b a)2pii

Z

C

f(z)dz

(z a)(z b)eitlii bulunur. Bu eitliin iki tarafnn da mutlak deeri alnrsa;

|f(b) f(a)| =

(b a)2pii

Z

C

f(z)dz

(z a)(z b)

eitlii elde edilir. Bu eitlie integraller iin Darboux Teoremi uygulanrsa;

|f(b) f(a)| 6 |b a|2pi

Z

C

|f(z)||dz||z a||z b|

eitsizlii elde edilir. Bu eitsizlikte daha nce elde edilen eitsizlikler kullanlrsa

|f(b) f(a)| 6 |b a|2pi

Z

C

M

R.R2

|dz| = |b a|2piRR

2

M

Z

C

|dz| = |b a|MpiR2

Z

C

|dz|

eitsizlii elde edilir. Dier taraftan

Z

C

|dz| = L = 2piR

ifadesinin C emberinin yay uzunluu olduu bilinmektedir. Bu da en son eitsizlikte kullan-lrsa;

|f(b) f(a)| 6 |b a|MpiR2

2piR =2M |b a|

Reitsizlii elde edilir.

Geniletilmi dzlemde alldndan dolay R iin bulunan eitsizlik |f(b)f(a)| 6 0ekline dnr ki bu eitsizliin zm kompleks saylarn modl zelliinden

|f(b) f(a)| = 0 f(b) = f(a)eklinde olacaktr. O halde fonksiyonun sabit olmas gerektii sonucuna ulalmaktadr.

3.6 Morera teoremi

Br f fonksiyonu basit balantl bir D blgesinin her yerinde srekliyse ve D'nin iindeki herkapal C evresi iin

Z

C

f(z)dz = 0

oluyorsa, D'nin her yerinde f fonksiyonu analitiktir.Bu teorem Cauchy Gorsat Teoremi'nin bir kart olarak kullanlmaktadr.

3.7 Analitik fonksiyonlar iin cebirin temel teoremi 41

3.7 Analitik fonksiyonlar iin cebirin temel teoremi

P (z), z'nin bir ya da daha yksek dereceden

P (z) = a0 + a1z + a2z2 + + amzm (m = 1, 2, , am6=0)

biiminde ok terimlisi ise P (z) = 0 denkleminin en az bir kk vardr.

Kant. Bu teoremin cebirsel yntemlerle ispat zordur, fakat Liouville Teoremi'nden kolayca

ispatlanabilmektedir.

P (z)'nin hibir z deeri iin sfr olmad (yani hibir kknn olmad) varsaylsn. Buhalde,

f(z) =1

P (z)

fonksiyonu her yerde analitik olur. Ayrca z sonsuza giderken |f(z)| de sfra yaklar, dolaysylatm z'ler iin |f(z)| snrldr. Liouville Teoremi'ne gre ise f(z) bu koullar altnda sabit birfonksiyondur.

Oysa m = 1, 2, ve am 6= 0 olmak zere P (z) fonksiyonu sabit deildir, dolaysyla f(z)fonksiyonu sabit olmamaktadr. O halde en az bir z deeri iin P (z) sfr olmaldr.

Elemanter cebir derslerinde bu temel teorem her zaman ispatsz verilmektedir. Bu teorem;

m. dereceden bir denklemin m'den fazla kknn olamayacan ifade etmektedir.

3.8 Cauchy eitsizlii

w = f(z) fonksiyonu R yarapl, a merkezli C emberinin zerinde ve kapatt D blgesindetanmlanm, analitik, |f(z)| 6 M eitsizlii ile verilen bir fonksiyon olsun. Bu halde

|f(n)(a)| 6 n!MRn

eitsizlii gereklenmektedir.

Kant. Teoremin ispat Cauchy Trev Forml'nden yararlanlarak yaplabilmektedir. Cauchy

Trev Forml

f(n)(a) =n!

2pii

Z

C

f(z)

(z a)n+1 dz

eklinde idi. Bu formlde a merkezli R yarapl ember iin

|z a| = R z a = Rei dz = iReid, z = a+ Rei

denklemleri kullanlrsa

|f(n)(a)| =

n!

2pii

Z

C

f(z)

(z a)n+1 dz

|f(n)(a)| 6 n!|2pii|

Z

C

|f(z)||dz||z a|n+1

eitsizlii elde edilir. Ayrca

|f(z)| < M|z a|n+1 = Rn+1

olduklar da gznne alnarak integraller iin Darboux Teoremi yardmyla

|f(n)(a)| 6 n!2pi

Z

C

M

Rn+1|dz| = n!M

2piRn+1

Z

C

|dz|

42


eitsizlii elde edilir. te yandan C emberinin evresi veya yay uzunluu

L = 2piR =

Z

C

|dz|

eklinde hesaba katlrsa

|f(n)(a)| 6 n!M2piRn+1

2piR =n!M

Rn

eklinde istenen sonuca ulalr.

3.9 Maksimum prensibi

Kompleks analizdeki maksimum prensibi aadaki gereklere dayanmaktadr:

Reel analizdeki Weierstrass Teoremi'ne gre; bir aralkta tanmlanm f(x) fonksiyonuiin aralk kapal ise f(x) fonksiyonu maksimum deerini bu aralkta alr. Eer f(x)fonksiyonunun bu aralkta trevi var ve sfrdan farkl ise f(x) fonksiyonu bu aralktamonotondur. Dolaysyla fonksiyon araln bir ucunda maksimum dier ucunda mini-

mum deerini alr.

Eer aralk ak ise, fonksiyon bu aralkta maksimum deerini alamaz.

f(z) fonksiyonu blgesinde sabitten farkl ve analitik bir fonksiyon olsun. Eer z0noktas snr noktas deilse, f(z) fonksiyonu, merkezi z0'da olan ve tamamen blge-sinde bulunan bir daireyi, merkezi f(z0)'da olan katl veya basit bir daireye dntrr.Dolaysyla bu ember zerinde yle bir nokta vardr ki,

|f(z)| > |f(z0)|eitsizlii gereklenir.

Teorem 3.9.1. (Maksimum Prensibi) f(z) fonksiyonu basit balantl bir blgesinde ta-nmlanm, sabit olmayan, analitik bir fonksiyon olsun. Bu takdirde |f(z)| ifadesi maksimumdeerini 'nn snrnda alr.

Kant. z0, blgesinde bir nokta ve , tamamen blgesi iinde kapal Jordan erisi olsun.` noktas da kapal Jordan erisinin iinde bir nokta olsun. Cauchy ntegral Teoremi'ne gre

f(z0) =1

2pii

Z

f(`)

` z0d` (3.9.1)

eitlii yazlabilir.

z0 noktas bir i nokta olduundan dolay z0 noktasnn uygun bir civar kapal erisininkapatt blgede bulunur. Dolaysyla z0' merkez kabul eden r yarapl bir ember kapalerisinin kapatt blgede alnabilir. O halde inceleme yapmak iin kapal erisi yerine buember alnabilir. Buna gre (3.9.1) ifadesini bu ember iin de yazabiliriz. Yani;

f(z0) =1

2pii

Z

|`z0|=r

f(`)

` z0d` (3.9.2)

ifadesini yazabiliriz. (3.9.2) eitlii ayn zamanda

|` z0| = r ` z0 = rei ` = z0 + rei d` = ireid (3.9.3)

3.9 Maksimum prensibi 43

olduu gznne alnarak

f(z0) =1

2pii

Z

|`z0|=r

f(`)

` z0d` =

1

2pii

Z 2pi

0

f(z0 + rei)

reiireid

f(z0) =1

2pi

Z 2pi

0

f(z0 + rei)d (3.9.4)

eitlii yazlabilir. (3.9.4) eitliinin anlam, f(z) fonksiyonunun, z0 merkezli r yarapl em-berin merkezdeki deeri f(z0) olduundan, merkezdeki bu deer, ember zerindeki deerlerinaritmetik ortalamasna eittir (Gauss Ortalama Deer Teoremi).

imdi (3.9.4) eitliinin altnda maksimum prensibini ispatlamaya alalm.

alma Hipotezi 1: Farzedilsin ki |f(z)| ifadesi maksimum deerini bir i nokta olan z0noktasnda alsn. Bu alma hipotezi

|f(z0)| > |f(z0 + rei)| (3.9.5)olarak ifade edilebilir (Yani i noktadaki deer, snr noktasndaki deerden byktr). (3.9.5)

eitsizlii, herhangi bir argman iin gereklendiinden ve |f(z)| ifadesinin srekliliindendolay uzunluu sfrdan farkl her yay iin bu eitsizlik gereklenir. Dolaysyla

8

|f(z0 + rei)| |f(z0)| |f(z0 + rei)| > 0R 2pi

0

|f(z0)| |f(z0 + rei)|

d > 0

(3.9.6)

eitlii yazlabilir (pozitif deerli bir fonksiyonun bir aralk boyunca alnan integrali pozitiftir).

(3.9.6) eitsizlii ayn zamanda

0 12pii

Z 2pi

0

|f(z0 + rei)|d (3.9.7)

eitsizlii elde edilir. Dier yandan Gauss Ortalama Deer Teorem'nden modl alnacak olursa

f(z0) =1

2pii

Z 2pi

0

f(z0 + rei)d |f(z0)| =

1

2pii

Z 2pi

0

f(z0 + rei)d

(3.9.8)

eitlii elde edilir. Ayrca izgisel integralin zelliklerinden

Z

C

f(z(t))dt

6

Z

C

|f(z(t))|dt

eitsizliini yazabiliriz. Bu ifadeyi (3.9.8)'de kullanrsak,

|f(z0)| =

1

2pi

Z 2pi

0

f(z0 + rei)d

61

2pi

Z 2pi

0

|f(z0 + rei)|d

44


f(z0) 61

2pi

Z 2pi

0

|f(z0 + rei)|d (3.9.9)

eitsizliini elde ederiz. (3.9.7) ve (3.9.9) eitsizliklerine dikkat edilecek olursa bir eliki olduu

grlr. Dolaysyla alma hipotezi ile elimi olunur yani, |f(z)| maksimum deerini bir inoktada alamaz.

alma Hipotezi 2:Her argman iin

|f(z0)| = |f(z0 + rei)| (3.9.10)olarak alalm. Yani bir i noktadaki deerin snrdaki deere eit olduunu kabul edelim. Bu

alma hipotezi altnda z0 merkezli ve

r1 < r2 < r3 < < rn1 < rn < (3.9.11)yarapl emberleri dnrsek (3.9.10) eitlii bu ekilde sralanan yarapl emberler ze-

rinde srekli olarak gerekleniyorsa, gstermeliyiz ki f(z) analitik fonksiyonu ancak sabittir.Gerekten;

w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

w0 = f(z0) = u(x0, y0) + iv(x0, y0)

olduunu gznne alarak

|f(z0)| =p

[u(x0, y0)]2 + [v(x0, y0)]2 |f(z0)|2 = [u(x0, y0)]2 + [v(x0, y0)]2 (3.9.12)

eitsizliini yazabiliriz. z0 noktas herhangi bir nokta olduundan (3.9.12) ifadesi bir sabiteeit olacaktr (Yani, f(z0) bir z0 noktasnn bir civarnda sabit kaldndan |f(z0)| ifadesi desabit kalacaktr). te yandan z0 noktas blgesinde key nokta olduundan (3.9.12) ifadesiayn zamanda

|f(z0)|2 = [u(x0, y0)]2 + [v(x0, y0)]2 = u2 + v2 = c (3.9.13)eklinde olacaktr. (3.9.13) eitliinden srasyla x'e ve y'ye gre tretirsek;

2uu

x+ 2v

v

x= 0 ve 2u

u

y+ 2v

v

y= 0 (3.9.14)

denklem sistemi elde edilir. Ayrca f(z) D'de analitik olduundan Cauchy-Riemann Denklem-leri'ni gerekler. Cauchy-Riemann Denklemleri'nin (3.9.14) eitliklerinde kullanlmasyla

2uu

x+ 2v

v

x= 0 ve 2u

u

y+ 2v

v

y= 0 2uv

x+ 2v

u

x= 0 (3.9.15)

sistemi elde edilir. (3.9.15) lineer homojen denklem sisteminin zmnn var olabilmesi iin

katsaylar determinantnn sfr olmas lazmdr. Buradan,

ux

vx

vx

ux

=

u

x

2

+

v

x

2

= 0

bants elde edilir.

Tamamen benzer ekilde hareket ederek (3.9.14) denklem sisteminde Cauchy-Riemann Denk-

lemleri'nin kullanlmasyla;

vy

uy

uy

vy

=

u

y

2

+

v

y

2

= 0

3.9 Maksimum prensibi 45

bulunur.

u

x

2

+

v

x

2

= 0

ve

u

y

2

+

v

y

2

= 0

ifadeleri u(x, y) ve v(x, y) fonksiyonlarnn x'e ve y'ye bal olmadklarn gsterir ki bu haldesabit fonksiyonlardr. Bunun sonucu olarak f(z) = u(x, y)+iv(x, y) fonksiyonunun sabit olduusonucuna ulalr.

O halde balangta sabitten farkl alnan f(z) fonksiyonu |f(z0)| = |f(z0+rei)| varsaymaltnda bir sabite eit olmaktadr, bu ise eliki dourur. Bu durumda |f(z0)| 6= |f(z0 + rei)|olmaldr.

Dier taraftan |f(z)| fonksiyonu reel deikenli bir fonksiyon olup 'da analitik, srekliolduundan |f(z)| fonksiyonu maksimum deerini 'nn snrnda alr. Ancak yukarda gste-rildi ki bu nokta hibir zaman i nokta olmayacaktr. O halde |f(z)| maksimum deerini ancaksnrda alr.

Bu sonu ise teoremi ispatlamaktadr.

Problemler

1. C = z(t) = aeit, (a > 0 reel, 0 6 t 6 2pi) olmak zereR

Cz2dz'yi hesaplaynz.

2.

R

C(z + 2)eizdz izgisel integralini, (0, 0)'dan (pi, 1) noktasna kadar C : pi2y = x2

parabol boyunca hesaplaynz.

3.

R

Cz2dz izgisel integralini C : y = x2 erisi boyunca hesaplaynz.

4. yolu merkezi a merkezli ve 1 yarapl pozitif dnme ynl bir ember olmak zereI =

R

(z a)ndz integralini hesaplaynz.

5.

R (2,4)

(0,3)(2y + x2)dx+ (3x y)dy integralini;

(a) x = 2t, y = t2 + 3 parabol boyunca,

(b) (0, 3)'den (2, 3)'e ve sonra (2, 3)'den (2, 4)'e kadar olan dorular boyunca,

(c) (0, 3)'den (2, 4)'e kadar olan dorular boyunca hesaplaynz.

6.

R

Czdz integralini z = 0 noktasndan z = 4 + 2i noktasna kadar,

(a) z = t2 + it parabol boyunca,

(b) z = 0'dan z = 2i'ye ve sonra z = 2i'den z = 4 + 2i'ye kadar olan yol boyuncahesaplaynz.

7. y = x3 erisinin (1,1), (1, 1) noktalar arasndaki yay boyuncaR

(x2+y)dx+x2ydy

integralini hesaplaynz.

8. erisi x = t, y = t(t + 1) denklemleri ile verilmi olsun. t parametresi 0 6 t 6 1aralnda deitiine gre, 'nn bu paras boyunca

R

4xydx + (y2 x2)dy izgisel


9.

R

Csinpiz3+cospiz3

(z1)(z2) dz integralini C : |z| = 3 erisi zerinde hesaplaynz.

46


10.

R

Ce2z

(z+1)4dz integralini C : |z| = 3 erisi zerinde hesaplaynz.

11.

R

Csin 3zz+ pi

2

dz integralini C : |z| = 5 erisi zerinde hesaplaynz.

12.

R

Ce3z

zpiidz integralini

(a) C : |z 1| = 4 emberi,(b) C : |z 2|+ |z + 2| = 6 blgesi

zerinden hesaplaynz.

13. t > 0 olmak zere C : |z| = 2 ise 12pii

R

Cezt

z2+1dz = sin t olduunu ispatlaynz.

14. C : |z| = 2 olmak zereR

Ceiz

z3dz integralini hesaplaynz.

15.

R

Ccos pizz21 dz integralini

(a) C : i, 2 i blgesinde,(b) C : 2 i, 2 i blgesinde

hesaplaynz.

16. C : |z| = 2 olmak zereR

Csin6 z

(zpi6)3dz integralini hesaplaynz.

17.

R

Ccos pizz2+1

dz integralini keleri,

(a) 2 i,2 + i, 2 i, 2 + i olan C dikdrtgeni boyunca,(b) i, i, 2 i, 2 + i olan C dikdrtgeni boyunca

hesaplaynz.

18. Pozitif ynl |z + i| = 1 yolu boyuncaR

dzz2+1


4 Kuvvet Serileri

Yaknsak bir dizinin veya analitik fonksiyonlarn dizisinin limitinin analitik bir fonksiyon ol-

duunu ve bunun gibi birtakm zellikleri bu ksmda gstermek iin Cauchy ntegral Forml

kullanlacaktr. Burada alacamz yaknsaklk tr dzgn yaknsaklk tipinde olup, bu

yaknsakl belirlemek iin de Weierstrass M-Testi kullanacaz.

4.1 Sonsuz say seriler

Analitik bir fonksiyonu tanmlamak iin buraya kadar rendiimiz yntemler dnda bir yol

daha vardr. Bu da; f fonksiyonunun analitik olmas iin gerek ve yeter artn, yerel olarakbir noktann komuluunda yaknsak bir kuvvet serisine alabilmesidir. Bu seriye, f fonk-siyonunun Taylor serisi veya Taylor alm ad verilir. Delikli bir komulukta analitik olan

bir fonksiyonun ifade edildii seriye de Laurent serisi veya Laurent alm denilmektedir. Bu

seri, fonksiyonun ayrk tekil noktas civarnda nemli bilgiler verir. Daha ileride gsterilecek

olan rezidler ve uygulamalarna da bir balang olacaktr. Bu blm, serilerin yaknsakl

ve dzgn yaknsakl ile balayp, kuvvet serilerinin zel durumlarnn incelenmesi zerinde

younlamaktadr.

4.1.1 Yaknsaklk ve raksaklk kavram

Tanm 4.1.1. Kompleks saylarn bir zn dizisi, her > 0 iin n > N olduunda, |znz0| < olacak ekilde bir N tamsays varsa, z0 kompleks saysna yaknsyor denir. zn dzisinin z0noktasna yaknsamas zn z0 biiminde gsterilir. Eer

Sn =

nX

k=1

ak

eklinde olan paral toplamlarnn dizisi S saysna yaknsyorsa,

X

k=1

ak

sonsuz serisi S saysna yaknsyor denir ve

X

k=1

ak = S

eklinde yazlr.

Bir zn dizisinin z0 gibi limitinin var olmas durumunda bu limit tektir. Ayrca zn z0olmas iin gerek ve yeter art Rezn Rez0 ve Imzn Imz0 olmasdr.Tanm 4.1.2. Her > 0 iin n,m > N alndnda, |zn zm| < oluyorsa, zn dizisineCauchy dizisi denir. Reel saylar cisminden bilindii zere her Cauchy dizisi yaknsaktr,

tersine her yaknsak dizinin Cauchy dizisi olaca gerei de dorudur.

47

www.matematikce.com

48 4 Kuvvet Serileri

Gerekten zn z0 olmas iin gerekli ve yeterli koulun Rezn Rez0, Imzn Imz0olmas gerektiini belirtmitik. Buradan herhangi bir Cauchy dizisinin C kompleks saylar

cisminde yaknsak olduu sonucu karlr.

Teorem 4.1.3. Bir zn kompleks dizisinin yaknsak olmas iin gerek ve yeter art, bu dizininbir Cauchy dizisi olmasdr.

4.1.2 Mutlak yaknsaklk kavram

Reel serilerde olduu gibi,

X

k=1

|ak|

serisi yaknsaksa

X

k=1

ak

kompleks serisine mutlak (deerce) yaknsaktr denir.

4.2 Yaknsaklk kriterleri

Teorem 4.2.1.

(i)

Pk=1

ak serisi mutlak yaknsak ise verilen seri yaknsaktr.

Bunun tersi genel olarak doru deildir.

Eer |r| < 1 ise,X

n=0

rn

serisi 1/(1 r) ifadesine yaknsar. |r| > 1 ise seri raksaktr.(ii) (Karlatrma Kriteri)

Pk=1

ak yaknsak bir seri olsun. ak > 0, 0 6 bk 6 ak iseP

k=1bk serisi de

yaknsak olur.

Pk=1

ck serisi raksaksa, ck > 0, 0 6 ck 6 dk ise,P

k=1dk serisi de raksak

olur.

(iii) (pserisi Kriteri)p > 1 ise

X

n=1

np

serisi yaknsak, p 6 1 ise raksaktr. Yani; p 6 1 ise verilen seri snrszdr.

(iv) (Blm Kriteri)

limn

an+1

an

4.3 Fonksiyon dizileri ve serileri 49

var ve birden kkse;

X

n=1

an

serisi mutlak yaknsaktr. Blmn bu limiti 1'den bykse, seri raksak olur. Eer 1ise de serinin yaknsakl veya raksakl hakknda test yant vermez.

(v) (Kk Kriteri)

limn(|an|) 1n var ve 1'den kkseX

n=1

an

serisi mutlak yaknsak, 1'den bykse raksaktr. Yine benzer ekilde 1'e eit ise de testyant vermemektedir.

4.3 Fonksiyon dizileri ve serileri

4.3.1 Noktasal ve dzgn yaknsaklk kavramlar

fn; fn : A C olan tm A cmlesinde tanml fonksiyonlarn bir dizisi olsun. Bu dizininnoktasal yaknsak olmas iin gerek ve yeter art, her z A iin dizinin yaknsak olmasdr.Buradaki limit A cmlesi zerinde yeni bir f(z) fonksiyonu tanmlar.

Bu admda verilmesi gereken dier bir nemli kavram ise dzgn yaknsaklktr ve tanm

u ekilde verilmektedir:

fn : A C olan tm A cmlesinde tanml fonksiyonlarn bir dizisi olsun. Her > 0ve tm z A'lar iin n > N alndnda |fn(z) f(z)| < olacak ekilde bir N tamsaysvarsa, fn fonksiyon dizisi f fonksiyonuna dzgn olarak yaknsyor denir (fn f , A cmlesizerinde dzgn olarak yaknsyor denir).

Sn(z) =

nX

k=1

gk(z)

paral toplam noktasal olarak yaknsyorsa

X

k=1

gk(z)

serisi de noktasal olarak yaknsyor denir.

X

k=1

gk(z)

serisinin dzgn olarak yaknsamas iin gerek ve yeter art, Sn(z) paral toplam dizisinindzgn olarak yaknsamasdr.

Dzgn yaknsamann noktasal yaknsamay gerektirdii aktr, yani; her dzgn yakn-

saklk ayn zamanda bir noktasal yaknsaklktr. Noktasal yaknsama ile dzgn yaknsama

arasndaki fark yledir: Noktasal yaknsamada verilen > 0 says iin bulunmas istenilen


N tamsays noktadan noktaya deimesine karn, dzgn yaknsamada tm z deerleri iinverilen > 0 saysna karlk bir tek N tamsays bulunur. Dzgn yaknsakl en iyi ekildeCauchy Kriteri ile ifade edebiliriz. Bu aadaki teoremle aklanmaktadr:

Teorem 4.3.1.

(i) fn(z) fonksiyon dizisinin bir A cmlesi zerinde dzgn olarak yaknsamas iin gerekve yeter art her > 0 says iin, p = 1, 2, 3, ve tm z A deerleri alndnda,n > N ifadesiyle |fn(z) fn+p(z)| < olacak ekilde bir N tamsaysnn olmasdr.

(ii)

Pk=1

gk(z) serisinin A cmlesinde dzgn olarak yaknsamas iin gerek ve yeterart, her > 0 says iin, tm z A ve p = 1, 2, 3, deerleri alndnda, n > Nolduunda,

n+pX

k=n+1

|gk(z)| <

olacak ekilde bir N tamsaysnn olmasdr.

Teorem 4.3.2. fn fonksiyon dizisi bir A cmlesinde srekli ve fn f , A cmlesi ze-rinde dzgn olarak yaknsyorsa, f fonksiyonu A cmlesinde sreklidir. Benzer olarak, gk(z)fonksiyonu srekli ve

g(z) =

X

k=1

gk(z)

toplam A cmlesinde dzgn olarak yaknsyorsa, g fonksiyonu A cmlesinde sreklidir.

4.3.2 Weierstrass M-testi

Bu test, serilerin dzgn olarak yaknsayp yaknsamadn bulmak iin uygulanabilir ve kul-

lanl bir testtir.

Teorem 4.3.3. gn, A C cmlesindeki fonksiyonlarn bir dizisi olsun ve Mn > 0 reelsabitlerin bir dizisi alnsn.

(i) Tm z A deerleri iin |gn(z)| 6Mn ve,(ii)

Pn=1

Mn serisi yaknsak

olacak ekilde iki koul gerekliyorsa

X

n=1

gn(z)

serisi mutlak ve dzgn olarak A cmlesinde yaknsar.

rnek 4.3.4. g(z) =P

n=1zn

nserisini gznne alalm. Her 0 6 r < 1 iin, bu serinin Ar =

{z| |z| 6 r} cmlesi zerinde dzgn olarak yaknsadn gsterelim. Bunun iin gn(z) = znndiyelim. |z| 6 r olduundan

|gn(z)| = |z|n

n6rn

n

4.3 Fonksiyon dizileri ve serileri 51

yazlr. Bylece Mn =rn

nolsun. r, 0 6 r < 1 olduu iin, r

n

n6 rn yazlr. Buradan karla-

trma testine gre

X

n=1

rn

serisi yaknsaktr. Bylece

P

Mn serisi de yaknsak olur. Buna gre W.M.T.'nden, verilenseri Ar cmlesi zerinde dzgn olarak yaknsar. 1 saysna yeterince yakn r says iin herz A noktas baz Ar cmlesinin eleman olacandan, bu seri A = {z| |z| < 1} cmlesindenoktasal yaknsaktr. imdi ekli inceleyelim:

PSfrag replacements

p

blgesi

blgesi

dzlemi

dzlemi

x

y

A

Ar

1

r

ekil 4.1

Bu seri A blgesinin tmnde dzgn yaknsak deildir. Gerekten, bu seri A blgesinintmnde dzgn yaknsak olsayd

X

n=1

xn

n

serisi [0, 1) aralnda dzgn yaknsak olacakt. Bunun doru olduunu kabul edelim. Yani;yukardaki seri [0, 1) aralnda dzgn yaknsak olsun. Bu halde dzgn yaknsaklk tan-mndan, her > 0 says iin n > N alndnda, tm x [0, 1) ve p = 0, 1, 2, deerleriiin

xn

n+xn+1

n+ 1+ + x

n+p

n+ p<

olacakt. Oysa

1

N+

1

N + 1+

serisi sonsuza raksar. Yani bu serinin paral toplamlar sonsuza gider. Bylece p saysn

1

N+

1

N + 1+ + 1

N + p> 2

olacak ekilde seebiliriz. kinci olarak, x saysn 1 saysna o kadar yakn seelim ki, xn+p >1/2 olsun. Bu halde,

xN

N+xN+1

N + 1+ + x

N+p

N + p> xN+p

1

N+

1

N + 1+ + 1

N + p

>


olur. Bu da yukardaki

xn

n+xn+1

n+ 1+ + x

n+p

n+ p<

olmas ile eliir. O halde bu seri A blgesinin tmnde dzgn olarak yaknsamaz.Buna karn, g(z) fonksiyonu her z noktasnda srekli olduundan A cmlesinde de s-

reklidir. Her bir z noktas, baz Ar cmlesinde olduundan, bu cmlede her zaman dzgnyaknsaklk vardr.

4.4 Kuvvet serileri

Bu ksma 1860 yllar civarnda Karl Weierstrass tarafndan formlletirilen, analitik fonksi-

yonlarn yaknsakl ile ilgili bilgi veren temel teoremlerden birini vermekle balayabiliriz.

Teorem 4.4.1.

(i) A, C dzleminde bir blge ve fn, A blgesinde tanml, analitik fonksiyonlarn bir dizisiolsun. Eer fn, A blgesinde kapsanan her kapal dairede f fonksiyonuna dzgn olarakyaknsyorsa, f analitik bir fonksiyondur. Ayrca f n, f ye noktasal olarak yaknsar veA cmlesindeki her kapal dairede dzgn yaknsaktr.

ii gn ler A cmlesinde analitik fonksiyonlar

g(z) =

X

k=1

gk(z)

fonksiyonu A blgesindeki her kapal dairede dzgn olarak yaknsyorsa, g fonksiyonuA cmlesinin tmnde analitiktir ve

g(z) =X

k=1

gk(z)

fonksiyonu A cmlesinde noktasal yaknsaktr. Ayn zamanda, A cmlesinde kapsanankapal her dairede dzgn yaknsak olur.

Dzgn yaknsaklk reel fonksiyonlarda terim terime trevlenebilmeyi gstermeye yetmedii

halde, analitik fonksiyonlar iin bu koul yeterlidir.

Teorem 4.4.2. C : [a, b] A fonksiyonu, A blgesinde bir eri olsun. fn, C([a, b]) erisizerinde tanml ve srekli fonksiyonlarn bir dizisi ve bu fonksiyon dizisi yine bu C([a, b])erisi zerinde f fonksiyonuna dzgn olarak yaknsasn (4.3.2 teoremine gre f fonksiyonusreklidir). Bu halde

Z

C

fn Z

C

f

olur. Benzer olarak,

X

n=1

gn(z)

toplam C erisi zerinde dzgn yaknsaksa;Z

C

X

n=1

gn(z)

dz =

X

n=1

Z

C

gn(z)dz

4.4 Kuvvet serileri 53

yazlr.

Bu blmde bir fonksiyonun analitik olmas iin gerek ve yeter artn, yerel olarak bu

blgede yaknsak bir kuvvet serisi eklinde ifade edilmesi gerektiini gstereceiz. Bunu elde

etmek iin Taylor Teoremi'ne ihtiya duyulmaktadr. Bir f fonksiyonunun z0 merkezli ak birdairede analitik olduunu kabul edelim. Bu halde, f fonksiyonunun z0 noktasndaki Taylorserisi, bu dairede

X

n=0

f(n)(z0)

n!(z z0)n

serisine yaknsar ve bu dairenin her yerinde

f(z) =

X

n=0

f(n)(z0)

n!(z z0)n

eklindedir. Bu zellik reel deikenli fonksiyonlarda bulunmamaktadr. Yani; x R oldu-unda f(x) fonksiyonu sonsuz kere trevlenebildii halde, yaknsak bir Taylor serisi olarakgsterilmesi gerekmeyebilir. rnein;

f(x) =

e1/x2

, x 6= 0;0, x = 0;

fonksiyonunu tanmlayalm. Bu fonksiyonun x'e gre her mertebeden trevi vardr ve bu t-revlerin x = 0'daki deerleri sfrdr. Fakat sfra zde deildir. Bylece, f fonksiyonu aldTaylor serisine eit deildir. Buradan; x R olduunda, fonksiyon sonsuz kez trevlenebil-dii halde Taylor serisine eit olmadndan; kompleks saylarn bu zellii genel olarak reel

deikenli fonksiyonlarda yoktur.

Buraya kadar olan blmlerde, fonksiyonlarn analitikliini kompleks z deikenine greinceledik. Yani; f(z) fonksiyonunun z deikenine gre trevi varsa, f fonksiyonu z0 noktascivarnda f(z) fonksiyonuna yaknsayan bir Taylor serisi vardr. Biz, bu ekilde kompleks dz-lemdeki analitik fonksiyonlarla ilgileneceiz.

rnek 4.4.3. f(z) =P

n=1zn

n2serisinin A = {z| |z| < 1} blgesinde yaknsak olduunu

gsteriniz. f (z) trevi iin bir seri

Documents

Esra Ozkan Kompleks Analiz 1