Estabilidad

Derechos Reservados Dr. Gilberto Carrillo Caicedo, M.E., PhD Página.

257

CAPÍTULO 7 ESTABILIDAD

7.1. INTRODUCCIÓN El fenómeno de la oscilación inestable reside especialmente en el equipo de generación; en efecto todo comienza con un desequilibrio energético interno: cuando la red se hace incapaz de transferir a la carga la energía que las plantas le abastecen, ya sea por la presencia de un cortocircuito simétrico o asimétrico o por la salida repentina o injustificada de líneas de transmisión; entonces las plantas y especialmente las más cercanas a la falla, están recibiendo una energía mecánica desde la maquina motor superior a la que entregan a la red. Este exceso se convierte en energía interna acelerante que por la naturaleza elastico-resistiva del sistema afectado provoca una perturbación de tipo oscilatorio tal que el ángulo de par de cada maquina (estacionario en el sincronismo) adquiere una variación de tipo senoidal amortiguado, tal como un péndulo que anteriormente recibe un impulso de un agente externo. Esta oscilación por la similitud mencionada se llamaría “penduleo”. En la figura 7.1. se ilustra una oscilación pendular de un sistema mecánico para asimilarlo a un sistema eléctrico.

FIGURA 7.1. Oscilación pendular de un sistema mecánico.


258

El vehículo automotor arrastra un carro que lleva un cargamento de arena. Entre ellos hay un resorte suficientemente robusto. Todo marcha bien y la distancia “d” entre vehículo y carga se mantiene constante, si repentinamente se deja caer un saco adicional de arena sobre el carro de la carga, el freno adicional por la inercia de la carga hará que la distancia “d” aumente aunque este mismo aumento implica un incremento lineal de la fuerza elástica. La reacción elástica del ligamento hará que “d” deje de crecer y que disminuya, sucediéndose entonces una oscilación como se ve en la gráfica de la figura 7.1, señalada como estable. Si el saco que cayó sobre el carro de carga hubiera sido muy grande o si el vehículo llevase una velocidad alta el aumento de “d” podría haber sido tan violento que el resorte pasaría de la zona elástica a la plástica, y a la ruptura. En este caso el movimiento sería inestable (ver figura 7.1). En los fenómenos eléctricos de un sistema de potencia sucede algo similar, aunque la oscilación es altamente controlable. 7.2. SOLUCION CUALITATIVA Antes de entrar a analizar tanto el fenómeno de estabilidad estacionaria como el de la transitoria se hará un recuento de los principales parámetros que intervienen en los modelos matemáticos, considérese para ello la red mostrada en la figura 7.2. Allí se presenta solamente un sistema lineal alimentado por un generador síncrono y que lleva energía hasta un motor síncrono de gran capacidad.


259

FIGURA 7.2. a. Red que va a ser sometida a un estudio de estabilidad.

b. Diagrama de impedancias.

c. Diagrama factorial.


260

Para efectuar el análisis de estabilidad se han de tener en cuenta las siguientes consideraciones: a. El análisis se efectúa para un equivalente sincrónico que va desde el punto g hasta el

punto m, incluyendo la impedancia de las maquinas. En efecto la estabilidad es un fenómeno generador-carga.

b. La reactancia de las maquinas adecuada para el estudio de la reactancia transitoria de

eje directo ya que el fenómeno de penduleo, especialmente el más severo ocurrido bajo la falla trifásica, será altamente inductivo y representa una oscilación de tipo transitorio.

c. La potencia mecánica Pm inyectada al generador alimentador se considera constante

durante todo el fenómeno de la oscilación transitoria. d. El valor de Pi , la potencia eléctrica a la red, se puede considerar igual a Pm en el

instante previo a la perturbación asumiendo nulas las perdidas internas en el generador. Además los valores de Pj y Pi se consideran iguales introduciéndose un error despreciable en perdidas en la red.

e. El fenómeno de oscilación inestable comienza con cualquier desequilibrio entre Pm y Pi.

Si Pi se hace nula, porque la transmisión se hace incapaz de transferencia de energía falla trifásica, salida de la línea a, b, c, etc. o se reduce a un pequeño valor; al exceso (Pm-Pi) de potencia, se convierte en energía cinética interna lo cual provoca la aceleración de la máquina.

El valor de Pi esta dado por la expresión:

PEg

Zgm

Eg EmZgmi = − +

2

2 cos( ) cos( )ϑ ϑ ∂


261

PEg

Zgm

Eg EmZgmi = − +

2

2 cos( ) sen( )ϑ ϑ ∂ Ec. 7.1

Donde:

θ es el ángulo de la impedancia Zij

ji VV Son los módulos de los voltajes extremos de la transmisión.

Zij su impedancia (desde g hasta m).

δ: el ángulo par de la transmisión (desde g hasta m)

(θi - θj)

( ) ( )αϑ +∂−

+−

= sencos2

ZgmEgEm

ZgmEm

Pj Ec. 7.2.

Pj está dado por: ( ) ( )ϑϑ coscos2

ZgmEm

ZgmEgEm

−∂−

Ambas ecuaciones demuestran no-linealidad del fenómeno ya que su característica es senoidal.

f. Matemáticamente se juzga si ha habido estabilidad o no según varíe δ con respecto al

tiempo. Una oscilación amortiguada se dice que es estable, pero cuando tiene una

variación de δ siempre creciente se dice que la oscilación es inestable, como se

puede apreciar en la figura 7.3.


262

FIGURA 7.3. Variación del ángulo de par para una oscilación estable y otra inestable.

Las ecuaciones 1.6 simplificadas asumiendo nulas las perdidas en la transmisión (R=0,

θ=2π

π , α=0) se convertirán en:

E ji PXgmEmEg

P == )sen(δ Ec. 1.7

ésta expresión se grafica en la figura 7.4.


263

FIGURA 7.4. Variación aproximada (Rij=0) de P Vs δ

De esta gráfica se puede observar que generalmente siendo δ0 un ángulo tan pequeño y para

variaciones leves del ángulo (estabilidad estacionaria) ∆δ→0 el fenómeno se puede linealizar

siguiendo el régimen expresado por la línea continua T, cuya ecuación es:

∂∆=∆ KP Ec. 7.3.

donde [ )cos( 00∂=

∂∂∂

= ∂ PmaxPK

K ≈ Pmax

En caso de variaciones grandes (estabilidad estacionaria) no es posible considerar la simplificación de la linealidad. De la gráfica puede notarse también que la potencia transmitida

se puede elevar elevando el nivel de tensión iV o disminuyendo el valor de la reactancia Xij

(sección 1.3.2.). Ahora bien, a mayor capacidad de transmisión más estable será la red analizada y mayor será el limite de estabilidad.


264

Con el fin de aclarar mas la estabilidad, y de comprender mejor el significado físico de los parámetros que intervienen así como la interrelación energética, se hará un análisis puramente cualitativo de una oscilación leve de un sistema correspondiente al enlace de un oscilador sincrónico con motor sincrónico. Las perdidas del conector se consideran nulas así que las ecuaciones validas son la 1.3. y 7.3. En al figura 7.5semuestra el sistema elemental de transmisión que se analizará. En él se tiene que Pm en la energía mecánica (altamente inercial), Pi=Pj es la potencia eléctrica transmitida (sin perdidas) Po y Pi (ver figura 7.4) son los valores iniciales de la operación y en forma paulatina aparece

en la barra del motor sincrónico un cambio en carga igual a ∆Pi.

FIGURA 7.5. Sistema elemental de transmisión que será sometido a una tensión leve.


265

La secuencia es la siguiente: a. El rotor asociado con EMS se frena ya que la nueva carga se mantiene a expensas de su

energía cinética. EMS se atrasa hasta lograr un a posición correspondiente a al vector EMS

(punteado). El resultado es ∆δ positivo, y según (7.3) aumenta ∆P transferida, esto es Pj

y Pi aumentan (Pj↑, Pi ↑). En la figura 7.6 se anota el decrecimiento de θj, pero θi se

mantiene constante debido a que por la naturaleza inductiva de la transmisión no se ha

hecho sensible el extremo I, el cambio ∆P. Se está sobre el punto t=ta.

b. Con el extremo de Pi, y cuando la onda de cambio llega al extremo generador se provocará un desequilibrio energético en el generador: Pm es constante igual a Po, pero Pi e mayor que Po; la diferencia Pm-Pi será negativa provocándose un freno sobre el

generador y una disminución de θi. Por el contrario aumenta Pj ocurrido en el paso de

acelerar la maquina de carga (y el vector EMS) haciendo que θj aumente. El nuevo

δb=θδib-θjb e pequeño y la transferencia de energía disminuye a tal punto que resulta

inferior a la del estado estacionario inicial. En resumen;

θi↓,θj↑,δ↓,Pj↓,Pi↓ Pm-Pi > 0


266

FIGURA 7.6. Variación de los ángulos de fase θi, θy el del ángulo par.

c. En forma análoga a (a) la secuencia de fenómenos será para t=tc:

θi↑,θj↓,δ↓,Pj↑,Pi↑, Pm-Pi <0

d. Y en forma análoga a (b), para t=Tc: θi↓,θj↑,δ↓,Pj↓,Pi↓ Pm-Pi > 0 y así sucesivamente

hasta que las variaciones se amortiguan, llegando al estadio estacionario definido por el nuevo equilibrio energético tal que:

Pm ≈Pi

Pj ≈ P0 + ∆Pj


267

Solo es posible que la oscilación descrita llegue a un nuevo estado estacionario si se desarrollo en la maquina un par de freno. En efecto el devanado amortiguador principalmente generará torque contra la oscilación y este tópico será tratado a continuación:

7.3 AMORTIGUAMIENTO El sistema elemental de la figura 7.5 puede mirarse como un sistema sincrónico, tal que el origen de la energía entregada a la red (Tm = Pm w) desde el (o los) motor primario radica en

un rotor equivalente que sobre el que se desarrolla un flujo magnético φm, que soporta el

torque Tm y gira a la velocidad w (ver figura 7.7).

De igual forma sobre el estator equivalente se da el flujo φj asociado con la carga de potencia

Pj = Tj Ws. La red de transmisión se ha convertido en una supermáquina sincrónica, que lograría el sincronismo solo en w= Ws. Realmente para una transferencia dada de energía, se podrían precisar las disposiciones de este dispositivo equivalente, tanto geométricos como mecánicos. También el torque de freno generado en las diversas maquinas constituyentes en la alimentación tendrá su equivalente de un devanado amortiguador adecuado que se debe ubicar sobre la pieza polar y solidaria con ella. Para el estado de perfecto sincronismo el flujo

φj e estático con respecto a las barras del devanado amortiguador (equivalente) y la inducción

electromagnética es nula.


268

FIGURA 7.7. Maquina sincrónica equivalente del trabajo sincrónico de la red de la figura 7.5

Para corrientes nulas en las barras del devanado amortiguador se tendrá también Tfreno = 0.

Pero para un estudio de oscilación transitorio el flujo de φm ya no estará estático respecto a al

flujo φj del rotor y por consiguiente el devanado amortiguador se moverá también respecto al

estator y su flujo, se tendrá entonces que:

sWwt

≠=∂∂θ y WamFamWw s ==− *2π

Originándose, 0≠iam y fuerzas y torques se freno obre el sistema. Por la naturaleza reactiva

del devanado este freno opondrá el cambio impuesto, tal que para Wam>0, Tfreno<0 y para Wam <0, Tfreno >0.

Para ala evaluación del torque de freno se hará referencia a la figura 7.8 a. De acuerdo a la definición de torque sobre el conductor n se genera un par de freno igual a:


269

Tfreno= BjniamLeqqtangencialnFfrenoq n**Re2)(*Re2 =−

Sabiendo que Fam es pequeño (oscilación inestable) se tendrá:

FamKeam 1= nXam ≈ rameamian =

a)

FIGURA 7.8. maquina sincrónica equivalente para el análisis del Tfreno.

Además:


270

tteam nn

∂∂

∂∂

−=∂

∂−=

ααφφ Ec. 7.8

Y BjndqLeq

d n =α

φ*Re*

ó LeqqBjn *Re=∂∂

αφ Ec. 7.9

y Famt

πα 2=∂∂

llevando (7.7), (7.8), (7.9) y (7.10) a la ecuación del Tfreno (7.5) se tendrá:

Bjntram

LeqqT Rfreno ∂

∂∂∂

−=α

αφ1*Re2

ramBjnFamLeqq

Tfreno222 *2Re2 π−

= Ec 7.11

En el limite para un amortiguador liso (ver figura 7.8 b.) se tendrá:

αρ

∆∆=

*Re* qRLeqamram Y ( )αcosBjBjn = Ec 7.12.

y llevando (7.12) a (7.11):

RBjam

FamLeqqTfreno ∆∆−

=∆ ααρ

π *cos2*Re2 223

Ec 7.13

llevando al limite e integrando (para 0→∆R , 0→∆α )


271

∫ ∫−

∆+−=

2

2

232

cosRe4

π

π

ααρ

π RR

Rfreno dRdqam

FamBjlLeqT

y efectuando la integral se tendrá:

+

−

∆+

= απ

πρ

π 2sen41

21

4Re 2

2

2 44 q

RR

R

freno amFamBjlLeq

T Ec 7.14

Evaluando ( ) RRRRRRRRRRRR ∆=∆+∆+∆+∆=−∆+ 34322344 4464

2Re

4 3 πρ

πRq

amFamBjLe

Tfreno ∆−=

FamDFamam

RqLeqBjTfreno '

Re2 322

−=∆

−=ρ

π Ec. 7.15

La expresión 7.15establece que el torque de freno es proporcional a la frecuencia adquirida por el devanado amortiguador. Sin embargo, el resultado de eta expresión corresponde a una situación irreal, planteada cuando se estableció (después de la ecuación 7.11) que el amortiguador era liso tal como se observa también en la figura 7.8b. Con la finalidad de corregir la expresión para hallar una más correcta, el resultado teórico ha de multiplicarse por un factor de diversidad (dv) quedando entonces:

FamDFamdvam

RqLeqBjTfrenocorregido '*

Re2 322

−=∆−

=ρ

π Ec 7.16

Donde D’ se llamará la constante de amortiguamiento.


272

Un valor típico de dv e de 1/20 para explicar la presencia de 6 sectores amortiguadores en un cuadrante de 90º, cada uno cubriendo un arco de aproximadamente 1.5ºy de luz entre ellos de 13.5º.

Las dimensiones de la constante dvam

RqLeqBjD

ρπ ∆

=322 Re2

' serán:

4

2

MWb , 2

2

2225 )()( segcoul

mnewsegvoltWbm

MΩ−

−=

Ω−

=Ω

=−Ω

segmnewcoulAmpsegmnew )()( 2

−=−Ω−

− Ec. 7.17

ó en unidades de energía eléctrica:

22

segAmpvoltsegvolt−−=

Ω−

Nótese que el valor de la constante D’ resulta ser un numero pequeño como se comprobará posteriormente. 7.4. ESTABILIDAD ESTACIONARIA 7.4.1. Ecuación de oscilación Una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes, describirá la oscilación electromagnética entre los rotores de la maquinas alimentadoras y la red alimentada. Por ser la misma naturaleza de oscilación de un péndulo (definida por parámetro inercial, elástico y de perdidas) se ha dado en llamar a esta ecuación como la ecuación de penduleo. No es mas que la segunda ley de Newton aplicada a movimientos rotacionales. Esta expresión con las suposiciones debidas en cada caso va a ser útil en el análisis


273

estacionario como en el de la estabilidad transitoria. Si se recurre al equivalente puramente mecánico de la red representada en la figura 7.7 o en la figura 7.8, se tendrá entonces que:

∑ = αITorque

Donde I es el momento de inercia global de la máquina y α es la aceleración angular

adquirida. Designando el valor de un torque por la letra T y haciendo referencia a la figura 7.9 se tendrá:

αITTT frenojm =−− Ec. 7.18

FIGURA 7.9. Equivalente sincrónico de la red de potencia.

Y recurriendo a la ecuación 7.16 para expresar el freno producido en la oscilación por el devanado amortiguador (suponiendo cero los demás vectores de perdidas) se tendrá:

FamDITT jm '+=− α Ec. 7.19


274

sabiendo que:

dtdw

dtd

== 2

2θα dtdw θ

=

WsdtdFam −=θπ2

(7.2) se convertirá en:

−+=− WsdtdD

dtdITT jm

θπ

θ2

'2

2

Ec. 7.20

ahora bien, de la figura 7.9 se desprende que:

Wst+= δθ Wsdtd

dtd

+=δθ Ec. 7.21

Y 2

2

2

2

dtd

dtd δθ

= Ec. 7.22

sustituyendo 7.21 y 7.22 en la ecuación 7.20 se tendrá:

πδδ

21'2

2

dtdD

dtdITT jm +=− Ec. 7.23

multiplicando ambos miembros de la ecuación 7.23 por el valor actual de la velocidad angular w del rotor y asumiendo que los productos Iw y D’w son valore aproximadamente constante, ya que la pequeña variación de w será absorbida ya sea por el valor más grande de I, o por el más pequeño D’, se tendrá:


275

πδδ

21'2

2

dtdwD

dtdIwwTwT jm +=− Ec. 7.24

En la ecuación 7.24 los valores Tmw y Tjw son iguales, respectivamente a los valores de potencia inyectada y entregada por la unidad a la red, el valor inercial de Iw de llamará M; Iw = w constante de inercia del sistema de potencia.

Y el valor DwD =π2

' es la constante de freno del sistema de potencia.

Quedando 7.24:

dtdD

dtdMPP jm

δδ+=− 2

2

Ec. 7.25

Esta ecuación con dimensión de Mw (o en puMw si se dividen todos los términos por una potencia de referencia o base) expresa el balance energético instantáneo en termino más comprensibles para la mentalidad de los ingenieros, la ecuación 7.25 e denomina ecuación de

penduleo y proporciona la solución δVs tipo que define el nivel de estabilidad de la red

analizada. El valor Pm se supone constante durante toda la oscilación y el valor Pj asumiría los valores expresados mediante las ecuaciones 7.2, 7.3, o según sea el caso. 7.4.2. Solución de la ecuación de penduleo para estabilidad estacionaria El valor de la potencia eléctrica inyectada a la red, Pj, está dado en forma aproximada por la ecuación (1.7);


276

∂= senmáxPPj (Pj entrando a la barra)

y linealizando esta expresión para el trabajo correspondiente a una oscilación leve de estado estacionario se tendrá:

Pj = kδ Ec.7.26

Donde: ∂ ∂=∂

=ddPI

k0

Llevando el valor de la ecuación 7.26 a la ecuación 7.25 se tendrá una ecuación diferencial no lineal de segundo orden con coeficientes de fácil solución, a saber:

mpkdtdD

dtdM =∂+

∂+

∂2

2

o dividiendo por M:

MP

Mk

dtd

MD

dtd m=∂+

∂+

∂2

2

Ec. 7.27

La solución completa de esta ecuación consta de do soluciones. La solución a la ecuación homogénea o repuesta natural de la red y la solución particular. Para hallar la solución homogénea se procede igualando el miembro izquierdo de la ecuación a cero y procediendo en la forma acostumbrada para este tipo de ecuaciones, a saber: Ecuación homogénea:

02

2

=∂+∂

+∂

Mk

dtd

MD

dtd Ec 7.28


277

Ecuación asociada a la ecuación homogénea:

02 =++Mkp

MDp Ec. 7.29

La solución de esta ecuación cuadrática (Pj1 P2) conformará los exponentes de la ecuación homogénea del tipo:

tPtP BeAeH 21 +=∂ Ec. 7.30

resolviendo 7.30 se tendrá:

Mk

MD

MDp −

±−=

22 Ec. 7.31

el termino dentro del radical de 7.31 muy seguramente será un numero negativo, debido a lo reducido que resulta ser D, configurándose entonces para p una solución compleja, a saber:

βα jDkMMj

MDp ±−=−±=

41

2

2

Ec. 7.32

Definiendo:

MD

2=α Y

41 2DkMM

−=β Ec. 7.33


278

α se llamará la constante de amortiguamiento y su valor depende en forma directamente

proporcional de la constante de freno e inversamente de la constante inercial. De esta

constante dependerá el grado de amortiguamiento de la función δ vs tiempo para determinar

finalmente el índice de estabilidad de la red analizada. Llevando el resultado de la ecuación 7.32 a la ecuación 7.30 se tendrá la solución homogénea:

δh =tjtj BeAe

)()( βαβα −−+− + Ec. 7.34

Donde B = A Llamando A = a + jb, y B = a – jb y elaborando algebraicamente la expresión 7.34 se tendrá:

δh = ee tjtj jbajba )()( )()( βαβα −−+− −++

2

22

2j

bah eeeeetjtjtjtj

tββββ

αδ−−

− −−

+=

sen2cos2 tbtah e t ββδ α −= − Ec. 7.35

Definiendo un parámetro angular tal que:

);)2()2((

2sen22 ba

a+

=φ );)2()2((

2cos22 ba

a+

=φ

))2()2(( 22 baPh +=

7.35 se convertirá en:

)sencoscos(sen ttPhh e t βφβφδ α −= −


279

sen φβδ α −−= − tPhh e t Ec. 7.36

Donde Ph y φ son parámetros de las condiciones de la red.

Además del resultado encontrado en la ecuación 7.36 correspondiente al estado natural de la red en oscilación (estacionaria) es necesario encontrar una solución particular, mediante inspección directa de la ecuación 7.28. Basta encontrar una función tal que cumpla 7.28. En el caso particular cuando el miembro derecho es una constante, la inspección dará como resultado:

kPmp =δ Ec. 7.37

las derivadas segunda y primera de pδ serán cero y el miembro derecho se convertirá en

identidad con el izquierdo

MPm

Mkp ≅δ

la solución completa será: phtf δδδ +== )(

o sea:

)sen( φβδ α −−= − tPhkPmp e t

Ec. 7.38

La función derivada dtdδδ = será:

)cos(sen φββφβαδ αα −−−= −− tPhtPh ee tt Ec. 7.39

Para condiciones iniciales: δοδ =)0( Ec. 7.40

0)0( =δ como se encontraba en sincronismo su velocidad era cero


280

Aplicando 7.40 a 7.38 y 7.39 se obtiene:

φδ senPhkPmp += Ec. 7.41

φβφα cossen0 PhPh +=

Resolviendo 7.41 para Ph y φ se tiene:

)/(1 αβφ −= −tan ( próximo a - π/2 para α→0 ) Ec. 7.42

δοφ

δο−=

−=

kPmkPmPh

sen/

Donde los valores de α y β se han expresado mediante la ecuación 7.35.

El valor final de δ puede hallarse mediante la evolución del límite siguiente:

KPmphLimLimf

tt=+==

→→)( δδδδ

αα

Otros valores como δmax (W-Ws)max se puede encontrar mediante el análisis de la función

δ(t) encontrada.

En la figura 7.10 aparece la representación gráfica de la ecuación 7.38 teniendo en cuenta los

valores de los parámetros de Ph y Φ expresados mediante la ecuación 7.42. Nótese la

similitud del resultado mostrado en la figura 7.10 con lo anteriormente logrado en forma cualitativa y que se muestra en la figura 7.6b.


281

FIGURA 7.10. Oscilación δ= F(t) para una oscilación de estado estacionario

7.4.3 Evaluación practica de las constantes M(inercial) y D (de freno). La constante M se definió como el momento inercial de la red analizada. En efecto:

M = ℑW (ver ecuaciones 7.24 y 7.25)

Adicionalmente se ha definido para un sistema de potencia eléctrica la componente H, como la relación entre la energía cinética de los elementos rotativos de los alimentadores de la red, al valor de la potencia nominal del sistema.

)(segstemaminaldelsiPotenciano

otativoselementosréticaenlosEnergíacinH = Ec. 7.43

en términos algebraicos:


282

GMW

GIWH 2/12/1 2

== Ec. 7.44

G = Potencia nominal del sistema. De la expresión 7.44 se deduce fácilmente el valor de M:

W

GHM2/1

o simplificando

)(

)(180180

)(*)/()/(2*2/1

)()( 2

οο

segMWf

GHradsegciclofciclorad

segHMVAGM ==π

π Ec 7.45

El empleo de la ecuación 7.45 se hace mediante tablas de H vs G preparados por los fabricantes. Así en la figura 7.11 aparece una de estas tablas mediante la cual, conociendo la potencia nominal de cada máquina generadora, se puede averiguar su Mi y el momentum de toda la red (M) será la suma de los diversos componentes:

∑= MiMred Ec. 7.46

Donde Mi es el momento inercial de cada máquina componente. Para la evaluación de la constante de freno D, se recurre a la expresión hallada en la ecuación 7.16 según la cual

am

RdvqLeqBjDρ

π ∆=

322 Re.//2`

Además, sabiendo que fsDgWsDD '2

' == se tendrá para los siguientes valores típicos

de trabajo en las máquinas sincrónicas:

/Bj/ = 1 Wb/m 2 fs = 60 ciclos/segundo dv = 1/20

mR 01.0=∆


283

mam /*284.20 10 8 Ω= −ρ

reemplazando se obtiene:

34

26

Re/*9191.2 10 q

Leqsegm

WbDΩ

=

FIGURA 11. Variación de H vs G para diversos tipos de generadores

donde: ______ Turbogeneradores A –1800 rpm con condensadores B –3600 rpm con condensadores C –3600 rpm sin condensadores ------ Hidrogeneradores


284

A`-450 a 600 rpm B`-200 a 450 rpm C`-150 a 200 rpm

Pero segVAsegVolt

segsegWb

=Ω

=Ω

//

/ 2

2

2

Y 34 Re1*/9191.2

qLeq

mradsegMVAD = Ec. 7.47

El resultado de esta expresión coincide casi exactamente con el encontrado para una transmisión elemental según la fórmula de Park, según la cual:

2

2

)'('')''')((

dxxeddxdxpuED

+−

=τ

radsegpuMW / Ec. 7.48

Ejemplo 7.1 Evalúense las constantes M y D para una red alimentada por 2 unidades generadoras. Cada unidad tiene una potencia de 200 MVA y las siguientes reactancias: X´d=0.23, X´´d=0.12. La

constante de tiempo subtransitoria es de τ´´d=0.035 y la tensión detrás de cada reactancia es

de 1 pu. La reactancia Xe= 0.4; 1800 rpm con condensadores. La potencia nominal de la red es de 200* 2 MVA = 400Mva. Para el cálculo de M, se procede utilizando las curvas de l figura 7.11. Para una potencia por máquina de 200 MVA se lee sobre la característica A, un valor de H= 5 seg; con este valor se calcula:

)(

/0926.0)(

/60*1805*200

180

22

οο

segMWsegMWf

GHMi ===

∑ ====rad

segpuMWradsegMWsegMWMiM

222 /0265.0/6103.10)(

/1852.0 ο


285

Note que el valor en puMW definida para una máquina como para toda la red resulta igual, siempre las unidades sean idénticas. Para el cálculo de D se produce con base en las curvas de la figura 7.12 tomando como potencia base el valor total de la potencia manipulada por la red. En efecto para 400MVA, se leen Leq = 0.7m y Req=1.25m y

rad

segpuMWradsegMWD

23 /0100.0/)25.1(*7.0*9194.2 ===

También se podría emplear la fórmula de Park resultando para cada máquina:

rad

segpuMWD /0097.0)23.04.0(

035.0*)12.023.0.(12 =

+−

=

Un valor casi idéntico, al encontrado para toda la red, mediante la aproximación geométrica. En efecto la constante de freno efectiva de cada máquina (pu) es igual a la constante de freno para toda la red (pu) como sucedía para la constante M Mediante el cálculo de las constantes M y D se puede predecir en forma aproximada el tiempo que tarde la oscilación del penduleo para llegar a amortiguarse. En efecto el parámetro de amortiguamiento definido en la ecuación 7.33 tiene como valor:

segpuMWsegrad

radpuMWsegMD /1885.0

0265.0*2*.`010.0

2 2 ===α

α

τ 1=am = 5.3052 seg.

(tiempo que tarda la onda para llegar a un valor amortiguado del 63% aproximadamente) segam 6104.102 =τ

(tiempo que tarda la onda par llegar a un valor amortiguado del 86% aproximadamente)


286

Otra forma de calcular la constante M resulta fácil de PD 2 (momento de inercia de la máquina) si este es un dato de placa. Así por ejemplo, cual será la constante M para la

máquina de 400MVA nominales con un PD 2 de:

2.07 *10 4 slug/ft 2 .

242

224

/10*816.228.3*2.2*1

1*1*2.32*/10*07.2 mkgftLmbslug

mkgLmbftslugI ==

segradmkgIWM /60*2*/10*816.2 24 Π==

22

6 *1**/10*62.10 segseg

msegmkg

=

rad

segpuMWradsegMW 22 /0265.0/62.10 ==

Valor que coincide con el encontrado para la misma máquina anteriormente.


287

FIGURA 7.12 Variación de Leq y Req vs G para un SP

Ejemplo 7.2 Dada una máquina oscilando alrededor de una barra infinita (ver figura /.13) y con parámetros reflejados al lado de baja tensión de los transformadores:

KVEE 2521 ==

55.021 ==−XX T

P=200 MW Fp = 1.0

)(//15.0 ο

segjoulMM =


288

FIGURA 7.13 Esquema de una transferencia de energía.

Si para += 0t una operación de interrupción aumenta x de 0.55 a 0.60 determinar:

a. oδ (ángulo de torque inicial)

b. fδ (ángulo torque final después de que todo el transitorio ha pasado)

c. mδ (ángulo máximo de oscilación)

d. Frecuencia y Período de oscilación. e. Sobrevelocidad máxima en pu. de la frecuencia normal. f. Tiempo necesario para que la oscilación se amortigüe en un 90%. Solución: a. Para evaluar (a) y (b) es útil la definición de las características de transferencia.

δsenmaxji PPP ==

donde:

)(21MW

XEE

PT

max = y )(MWGPP max

maxpu =

Para no falla,

upMW

KVPmaxpu .682.5200*55.0

1*)25( 2

=Ω

=ο

Para la salida de línea,

upMW

KVPmaxpu .208.5200*60.0

1*)25( 2

=Ω

=+


289

En la figura 7.14 se esquematizan los dos resultados, de allí se obtiene:

oδsen682.51 =

ο137.100682.51sen 1 =

= −

oδ

b. Nótese que al pasar de 55.0=TX a 0.60 Pm permanece constante. Sin embargo, la

transferencia de energía pasa a la curva de 0.60 sobre el punto “a” tal que inicialmente hay un desequilibrio energético en la planta: recibe mayor volumen de energía mecánica que la energía eléctrica que entrega lo que se traduce en una aceleración angular sobrepasándose el punto “f ” y llegando hasta el punto “b” punto en el cual se producirá un freno. La oscilación se efectuará sobre la porción de curva a-f-b hasta que finalmente debido a las pérdidas y frenos existentes se detendrá en “f ”. Debido al estrecho rango de oscilación el fenómeno se puede considerar como lineal y la ecuación 7.38 es válida para

aplicar en este caso. El valor de fδ se podrá encontrar entonces de dos maneras a

saber:

b1) de la curva de 0.60Ω.

oδsen208.51 =

ο07.11208.51sen 1 =

= −

fδ

b2) de la ecuación 7.38

)sen( φβδ α −−= − tPhkPm e t

of

t

PiPjdondeKKPmLimf

δδα δδδδ

∂∂

≅∂∂

===→

οο ,

οο

176.11180*127.51127.5cos ====

radf

radPuMWoPKo fmax π

δδ

Valor aceptable con respecto al resultado encontrado en (b1).


290

e) y d) para la evaluación de βτβδ ,,mx es conveniente evaluar los parámetros que definen

la ecuación, )(tf=δ , así:

radsegpuMW

radMVApuMWsegMjal

M2/

0430.0180

*200

*)(

/15.0 ==

π

ο

ο

FIGURA 7.14 Curvas de transferencia de energía para el SP de la figura 7.13

GqLeqD

3Re*9194.2= de la figura 12

Leq =0.15m, Req = 1.80m y

radsegpuMW

radsegpuMWmmD /

0128.0/

200)80.1(*15.09194.2

3

==

segMD 11485.0

043.0*20128.0

2===α

segradparaD

segradDKM

M923.10,0(9184.10)

4(1 2

===−= ββ )


291

seg05762==

βπτ β

)90(221.891485.0

9184.1011 οο casitantan −=

−

=

−

= −−

αβφ

οο

ο

039.1)221.89sen(

176.11137.10sen

/=

−−

=−

=φ

δ KPmoPh

La ecuación )(tf=δ será entonces:

)221.89180*9184.10sen(039.1176.111485.0

οο

οο +−=−

radsegtrade seg

t

Para encontrar el valor de mxδ se procedería estrictamente, derivando δ igualando a cero

encontrando t para mxδ y sustituyendo en 7.38 El proceso, sin embargo, resulta

complicado. Al inspeccionar la gráfica de la figura 7.15 se observa que el primer pico de la

oscilación debe corresponder al valor máximo. Asumiendo que ο90=φ el primer pico se

presentaría en un valor de 2/βτ a saber:

)388.269sen(288.0039.1176.11)2/(11485.0 οο segmx e sg

−−=≅ βτδδ

ο171.12=mxδ


292

FIGURA 7.15 Variación )(tf=δ para el problema propuesto

e. Se define por Sobrevelocidad el valor WsW − y el valor máximo en pu será:

Ws

maxdtd

WsmaxWW

δ

=− 2

El valor maxdtdδ se puede hallar mediante un proceso de derivación de la ecuación 7.38 y

segundas derivadas que resulta complicado. De manera fácil se puede obtener por inspección de la figura 7.15. En efecto el valor máximo de la derivada corresponde a la

pendiente mayor de la curva senoidal que se presenta en 4βτ

=t entonces:

ο

οο

ο

180*)221.89*1809184.10sen(54.0 1485.0 rad

segt

raddtd e t πδ

+= −

οο

ο

180)221.89*1809184.10cos(344.11 1485.0 π

π+− − te t


293

)00514.0(194.04/

puWssegrad

dtd

dtd

maxt

===

δδ

τβ

f. el tiempo para que la onda se amortigüe en un 90% se evalúa de la siguiente manera: (

ver figura 7.16)

FIGURA 7.16 Amortiguamiento de la onda )(tf=δ

e tPhPh α−=1.0 tLn α−=1.0

segLnPht 150511.01%)90( =−

=α

En un período βτ n períodos = 15.51/0.576 = 27 períodos

En ciclos eléctricos N ciclos = 930 ciclos.


294

7.4.4 Límite de Estabilidad Estacionaria. Mediante observación de la figura 7.17 (curva a) se puede concluir que la oscilación de δ

alrededor de 1δ es similar a la analizada en el problema anterior y, por consiguiente, el

estudio final sobre el punto f será de un nuevo sincronismo. En este caso la secuencia de eventos será:

FIGURA 7.17 Muestra de dos oscilaciones una estable (b) y otra inestable (d)

Sobre el punto a la planta alimentadora de la red se acelera ya que recibe una energía

mecánica (P1) mayor que la energía eléctrica de entrega (pa). Sobre f, hay equilibrio de energía pero el momento inercial es alto, así que seguirá

aumentando lo cual supondrá un desbalance contrario de energía.


295

Sobre el punto b, la planta entrega un valor de energía (Pb) mayor que el que recibe (P1)

lo cual implica la acción de un freno restaurador. Sobre B el crecimiento de δ se detiene

y comenzará el sentido de retroceso en el balance. Finalmente, debido a la acción de las pérdidas internas y del freno en el devanado

amortiguador la oscilación se detiene sobre f, estableciéndose un nuevo equilibrio. Como conclusión se puede asegurar que el nuevo equilibrio es debido a la posibilidad de que

se cree un desbalance de freno en la máquina de tal forma que δ creciente, pare y vuelva a

decrecer como sucedía en f.b y f.a.

Para la curva (a) y para una potencia mecánica inyectada muy alta (P2) se tiene un δ

final elevada δ2. La aceleración de δ desde a´ hasta f´ hace que δ vaya desde f´ hasta

b´ casi sin desequilibrio de freno ya que en este caso la potencia eléctrica entregada a la

red (pf´ o Pb´) es casi igual a la energía mecánica inyectada P2. δ Creciente no parará y

se irá más delante de b´ por ejemplo, hasta c´ donde se encuentra un desequilibrio: P2 >

Pc´ haciendo finalmente que se pierda la estabilidad. De acuerdo a la definición de límite de estabilidad se puede decir que este corresponde en

el análisis de estabilidad estacionaria a un valor de δ cercano (teóricamente) a los 90 ο , o

sea, de acuerdo a la curva puramente senoidal, la máxima potencia transferible se dá cuando

el valor de δ va sobre los 80 ο . Ahora bien, las curvas de transferencia de energía si se

considera además el efecto de saliencia en Turbogeneradores contiene un segundo armónico representativo como se aprecia en la figura 7.18.

El valor máximo de la curva senoidal se atrasa hasta los 75 ο haciendo retroceder también el

límite de estabilidad. En efecto se considera que a un valor de 65 ο es posible que se encuentre una aceleración acumulativa, sin embargo, en la operación de las redes no se deja

pasar un ángulo par de los 50 ο valor que se considera en la práctica demasiado elevado.


296

FIGURA 7.18 Curva )(δfPj = considerando el efecto de saliencia en máquinas hidráulicas.

Volviendo a la figura 7.17 en el caso de la oscilación a´-f´-b´-c´ que resultó inestable ya que Pj superó el límite de estabilidad, es posible mediante el cambio de la red hacer que el límite de estabilidad aumente y que para la misma P2 se trabaje sobre un ángulo δ menor.

Basta levantar uno de los niveles extremos de tensión o disminuir la reactancia de la transferencia de energía, en tal caso Pmax aumenta y el trabajo pasaría de la curva (a) a la curva (b) de P vs, allí se encuentra posiblemente una oscilación estable sobre la porción de curva a´´-f´´-b´´.


297

Las conclusiones finales son pues, que a más alto nivel de tensión emisora (y, por consiguiente, el despacho de reactivos) mayor pendiente de la curva senoidal para un Pmecánico dado, mayor será el límite de estabilidad estacionaria. El límite de estabilidad es el máximo flujo de potencia posible en un punto particular del SP para que el SP o la parte de él a la que el límite de estabilidad se refiere, opere con sincronismo. 7.5. ESTABILIDAD TRANSITORIA

7.5.1. Criterio de áreas iguales En un sistema en que una máquina oscila respecto a una barra infinita (sistema muy grande) no es necesario representar y estudiar las curvas de oscilación para determinar si el ángulo de par de la máquina aumenta indefinidamente u oscila alrededor de una posición de equilibrio. En el cálculo de ingeniería, en general, es suficiente definir si se mantuvo o no la estabilidad. Esto se conoce como ¨ criterios de estabilidad ¨ Haciendo referencia a la figura 7.19 (criterio del primer pico) se ve es creciente, llega a un máximo (el pico es más severo) y luego comienza a decrecer; por el contrario la curva siempre creciente describa un régimen transitorio inestable. Para cualquier pico se tiene que:

0=dtd δ

EC. 7.47

Con base en la ecuación 7.47 se va a establecer aquella que comúnmente se denomina como el criterio de las áreas iguales. Para desarrollar las ecuaciones correspondientes se hará caso omiso del devanado amortiguador ya que no interesa definir con precisión la expresión


298

= f(t) además de hacer que el primer pico calculado presente un valor más crítico que el real, debido a la falta de amortiguamiento. Vale la pena observar que este pico puede sobrepasar

los 90° (grados) sin que se pierda la estabilidad, como sucedía en la estabilidad estacionaria.

La resolución de la ecuación con las hipótesis usuales de pi constante, red puramente reactiva y tensión constante detrás de la reactancia transitoria demuestra que oscila alrededor del punto de equilibrio con amplitud constante, si no sobrepasa el limite de estabilidad del régimen transitorio.

A partir de la ecuación de oscilación para D= 0 se tiene

2

2

dtdMPjPm δ

=−


299

FIGURA 7.19. OSCILACION TRANSITORIA a) Estables b) Inestable

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por: dtd δ

−

( )dtd

dtdM

dtdPjPm δδδ

=− 2

2

dtdx

dtxd δ2)( 2

=


300

( )2

2

2

2

=−dtd

dtdM

dtdPJPm δδ

EC. 7.48

Reagrupando, multiplicando por dt e integrando, se tendrá:

( ) δδ dPjPmMdt

dd −=

22

( )∫ −=δ

δδδ

O

dPjPmMdt

d 2 EC. 749

De acuerdo a la ecuación 7.47. la oscilación estable, supone la igualdad a cero en la derivada y por lo tanto el miembro derecho de la ecuación 7.49., obteniéndose que para que exista oscilación estable se requiere que:

( ) 0=∫ −δ

δδ

O

dPjPm EC. 750

La cual indica que el área barrida por la curva debe ser cero, o que el área acelerante debe ser igual al área decelerante (negativa). Para aclarar la ecuación 7.50. suponga que la transmisión (figura 7.20) consta solo de dos líneas en paralelo. La pérdida de una línea de transmisión obliga a Pj a descender el punto a (cambia la característica de potencia pues cambia la reactancia), sitio en el cual la potencia mecánica de entrada que se mantiene, es mayor que la potencia eléctrica exigida a la máquina (Pja) por lo


301

cual la máquina se acelera, pasa por el punto “b” (energía acelerante) (Pm – Pjb = 0) hasta llegar a cero en donde la velocidad de cambio se hace cero. En este punto, la potencia eléctrica exigida es mayor que la potencia mecánica de entrada (Pm) por lo cual el incremento de velocidad se hace negativo (efecto decelerante), volviendo al punto “a” nuevamente, de ahí al “c” y así sucesivamente. Si se considera la amortiguación, éstas oscilaciones decaerán con el tiempo hasta que se estabilice el balance energético (punto b). Esto se puede expresar como:

( )∫ =−δ

δδ

O

dPjPm 0

( ) ( ) 0=∫ −−∫ − δδδ

δ

δ

δdPJPmdPjPm

M

S

S

O

( ) ( )∫ −=∫ −M

S

S

O

dPjPmdPjPmδ

δ

δ

δδδ EC. 7.51

Esta igualdad se puede plantear de una forma más sencilla notando que el miembro izquierdo corresponde al valor del área a-b-d de la figura 7.20.b (A1) y el derecho al área b-c-e (A2). Para mantenerse estable se requiere, por tanto, que el área A2 sea igual al área A1. Si esto

no es posible (punto de operación a un ángulo δ mayor ), o sea potencia mecánica de entrada

mayor, la máquina se desestabilizará.


302

a)

FIGURA 7.20. Salida de una línea de la transmisión de la figura 20 a, con las gráficas de

transferencia correspondientes.

La ecuación 7.51. (Áreas iguales) puede cumplirse o no cumplirse caso en el cual el criterio arroja como resultado que no hay estabilidad para aclarar ésta situación se hace referencia a la figura 7.21


303


304

FIGURA 7.21. Casos de oscilación transitoria a) Estable b)Críticamente estable, c)Inestable.

En la figura 7.21.a se presenta un caso cuya área de frenado ( A2) es suficiente para anular el área acelerante ( A1 ), en la figura 7.21.b, solo queda el área A2 para anular a A1 acelerante, en este caso se presenta una condición crítica de estabilidad. Finalmente el sistema con Pm3 es inestable ya que no existe sino una reducida área de freno sobre la línea Pm 7.5.2. Aplicaciones


305

7.5.2.1. Pérdida de potencia mecánica Un caso común es la pérdida repentina de toda o parte de la energía mecánica que alimenta al sistema generador. Este caso se indica en la figura 7.22, la potencia mecánica Pm1, cae al valor de Pm2. El punto “a” cae sobre el punto “d” casi instantáneamente presentándose un

déficit de energía mecánica: Pm2 < Pj; el ángulo δ decrece desde δO hasta δS, punto en el

cual la nueva potencia mecánica (Pm2) se iguala con la potencia eléctrica entregada a la red

(Pj), haciéndose nula la aceleración angular. La velocidad adquirida, sin embargo, es alta y δ

seguirá decreciendo, pero siempre tendrá suficiente área de freno A2 para compensar el área acelerante adquirida A1.

FIGURA 7.22. Criterio de las áreas iguales para análisis de pérdida de potencia mecánica.

7.5.2.2. Cambios violentos de carga


306

Caso similar al anterior. En efecto en la pérdida de potencia mecánica el punto “a” ver figura 7.22., Cayó violentamente al punto “d” produciendo una oscilación acabada con el aumento de la carga de transferencia de energía eléctrica Pj pasa, figura 7.22. del punto “b” donde habrá equilibrio con Pm2, hasta el punto a donde Pj menor que Pm2 provocando un desequilibrio negativo para llegar a una oscilación sobre los puntos “babcba”. El área de aceleración A1 es compensada por el área de freno, figura 7.22, para una oscilación inicial en que se consideran Pm2 constante. La demanda adicional de energía obligará eventualmente a que la válvula principal del motor primario se vaya abriendo, ascendiendo de Pm2 a Pm1.

Pocelerante = 2

2)(

dtdMGePm δ

= EC. 752

MPm

dtd

=2

2 δ integrando

1CtMPm

dtd

+=δ

EC. 7.53

2121 2 CtCt

MPm

++

=δ EC. 754

C1 y C2 son constantes de integración, su valor se obtiene de condiciones iniciales: δ(0) =0.

De la ecuación 7.52. C1=0 y de la ecuación 7.53 C2=δO reemplazando ésta en la ecuación

7.54 se tiene:


307

2

21 t

MPm

O

=− δδ

2

21 tMPm

=∆δ

δ∆=PmMt 2

EC. 7.55

Esta ecuación permite establecer el tiempo tomado por el ángulo δ para avanzar

Desde “b” hasta “c” 7.5.2.3. Desconexión de falla trifásica

Para una transmisión dada por: 1.3senδ y Pm=0,445 pu,y para M=0.027 pu Mseg /rad, D

=0.01 pu (MW seg) /rad. Obtener el tiempo máximo que puede permanecer una falla trifásica (pi=0) sin que se pierda la estabilidad.

El valor de tmáx estará definido por el ∆δmax. para que A2 = A1 la situación se ilustra en la

figura 7.23


308

FIGURA 7.23. Caso extremo de duración de una falla trifásica

A1 = A2

( ) ( )∫ −=−;

445.sen3.1445.0δ

δδδδδ

C

doOC

( ) ( )MCMCOC oo δδδδδδ −+−=− 445.cos3.1cos3.1445.

∴

−+= −

3.1445.445.0cos3.1cos 1 OMM o

cδδδ

para:


309

°=

= − 203.1

445.0sen 1Oδ

m =180° -20° = 160°

°=∴ 928.95Cδ

y entonces: ∆δmax =75.928°

segradpuMWrad

puMWsegt 401.0180

928.75*445.0*

027.0*2máx2

=°

∏°

=

ó 24 ciclos eléctricos (0.401 seg * 60 ciclos/seg) Si se mantiene el sistema, el cortocircuito debe desaparecer antes de 24 ciclos. 7.5.2.4. Desconexión de una falla trifásica con recierrre: Los relés de protección actúan para que los interruptores extremos se abran en caso de los elementos de recierre, conecten la línea dos o tres veces para chequear sí la falla continua. En este caso se supone que después del primer recierre desaparece la falla, volviendo el sistema de transmisión a la normalidad. En la figura 7.24 aparece el diagrama de reactancias

correspondientes a esta situación y en la figura 7.25 con diagrama de Pj vs δ para transmisión

con dos líneas, con una sola línea con la falla trifásica. El estado original de trabajo se

caracterizaba por los valores Pm, δO, sobre el punto “a”. Al aparecer la falla trifásica el valor


310

de Pj cae a “b”, δ comienza a crecer rápidamente de “b” a “c” instante en el cual desaparece la

línea fallada en un extremo por acción de los interruptores extremos.

FIGURA 7.24 Falla Trifásica en el extremo de la transmisión 2.

El tiempo gastado por δ para pasar de “b” a “c” se puede calcular considerando que Pj sube

hasta el punto “d” sobre la curva correspondiente a la transmisión con una sola línea habiendo

ya potencia (Pj – Pm)> cero, y el área de freno para disminuir la velocidad adquirida por las

piezas rotativas del sistema de generación. Al poner en funcionamiento la segunda línea hay una doble posibilidad: que aún esté la falla en el extremo de la línea o que haya desaparecido (por ejemplo porque el elemento de cortocircuito se fundió completamente). En este caso se asume que la falla desapareció, tal que en el punto “d” pasa a “f” al entrar la segunda línea sin

falla. En esta circunstancia se presenta freno mayor haciendo que δ se detenga sobre el

punto “g”. De ahí en adelante habrá una nueva oscilación estable g-f-a... para parar después que desaparezca los transitorios en el punto “a”.


311

FIGURA 7.25 Análisis de áreas iguales para salidas y entradas de una línea en caso de falla

trifásica

7.6. ESTABILIDAD MULTIMAQUINA 7.6.1. Principios de análisis de Estabilidad Multimáquina

El resultado de una oscilación multimáquina corresponde a la variación de los ángulos δ de

cada una de las plantas abastecedoras de la red. Por lo general las plantas cercanas al punto de falla, resultan considerablemente afectadas, pero todas las demás sufren desequilibrios más o menos grandes que les provocan perturbación electromagnéticas proporcionales. La siguiente es una analogía mecánica para entender la situación:


312

FIGURA 7.26 Suspensión mecánica estable de esferas metálicas sostenidas por ligamentos

elásticos en tramados.

En la figura 7.26 se representa un conjunto de esferas metálicas suspendidas de un cuerpo rígido mediante ligamentos elásticos y en quietud estacionaria. Si por accidente uno de los ligamentos de suspensión se rompiese ocurriría un balanceo posiblemente muy fuerte para alguno de los ligamentos de la red. Puede suceder que los ligamentos sean suficientemente fuertes y soporten la oscilación recuperándose finalmente o que uno de ellos se rompa provocando sobreoscilaciones en las esferas, rupturas adicionales y más sobreoscilaciones, tal que las esferas comenzarán a caer, significando una pérdida total de la estabilidad. Las esferas más cercanas al ligamento roto sufrirán un balanceo más fuerte la ruptura, por ejemplo, del ligamento 5.6 de suspensión, puede ser más crítico que la ruptura del ligamento 1-2 de tensión transversal.


313

En el sistema eléctrico sucede algo similar: se soportan cargas activas y reactivas mediante el conjunto de transmisiones de tipo elástico R-L, que pueden llegar a presentar oscilaciones electromecánicas que finalmente representan la pérdida del abastecimiento o la inestabilidad. Para el estudio de la estabilidad multimáquina se hace referencia la figura 7.27.

FIGURA 7.27 Red Generación – carga

Para ella, mediante el método de voltajes se puede establecer el flujo de energía inyectando en cada una de las barras de planta, a saber:

( ) ( )( )iii VYI =

∑==

NB

jjiji VYI

1 i=l, 2,...

NB: número de barras de la red


314

La ecuación diferencial no lineal de segundo orden con coeficientes constantes (o aproximadamente constantes) que expresa el balance energético (MW) entre las diversas plantas componentes del sistema de potencia y las cargas abastecidas, se denomina la ecuación de Oscilación. Su expresión aparece en la ecuación 7.56

( )MWdtd

Ddtd

MPPm ii

iiii

δδ+=− 2

2

EC. 756

Donde: Pmi(MW) es la potencia mecánica inyectada a la planta “i” a través de un motor primario y supuesta constante durante todo el fenómeno de la oscilación transitoria, varía por acción del control de frecuencia. Pi(MW) es la potencia eléctrica entregada por la planta “i” a la red. Su valor está dado por la ecuación (74) e introduce la no-linealidad en la ecuación 1.7. debido a su característica senoidal; el desbalance expresado por la diferencia Pmi – Pi se convierte en un cambio de energía cinética, pérdidas de fricción y cambio transitorio de la carga pasiva. Mi (MW * seg 2/rad) es la cantidad de movimiento inercial de la planta “i”, cuyo valor está

dado por

∏ fHG

** donde G es el valor de la potencia nominal de la red (MW), H es la

constante de inercia de la planta en cuestión (seg.), y F es la frecuencia de trabajo actual considerada como constante e igual a la frecuencia nominal.


315

Di (MW – seg./rad) es la constante de amortiguación, de valor reducido y debido a la presencia del devanado amortiguador; generalmente se asume igual a cero. Si (rad) es el ángulo par, cuyo resultado dará la medida de la estabilidad. Evaluaciones sucesivas de la ecuación 1.7 y la ecuación 7.55 después de hacer doble integración, darán como resultado el valor adecuado de cada Si sabiendo la complejidad matemática de este proceso se recurre por ello al uso de las computadoras y a una técnica numérica útil para la solución de una ecuación diferencial. El proceso se debe comenzar con

valores iniciales de δi obtenidos mediante un flujo de cargas y correspondientes al trabajo

estacionario de la recta, inmediatamente antes de aparecer una perturbación que afecta el

valor de los δi.

El valor de θ correspondiente a la barra oscilante (generalmente cero) se asume que

permanecerá constante y los demás resultados darán la oscilación correspondiente de cada ángulo respecto a esa referencia angular. El ángulo detrás de la reactancia transitoria de la planta en la barra oscilante puede variar según sea afectada esta planta por la perturbación aparecida en la red. Generalmente se emplea el método de Euler (modificado) para resolver el problema de estabilidad multimáquina mediante el uso del computador digital. 7.6.2. Solución por el Método de Euler- modificado. Conocida la derivada correspondiente a una variación, es fácil obtener la función original si se emplea la técnica de Euler –modificado. En efecto, haciendo referencia a la figura 7.28, el Yitt


316

puede obtenerse en forma aproximada con base en el valor conocido de Yi mediante la relación:

( ) xXYYY iiit ∆+= *1 EC. 7.57

FIGURA 7.28 Proyección de Y mediante tangentes: algoritmos de Euler modificado.


317

El valor de Y dado por la ecuación 7.57 corresponde a una ordenada del punto “c” (ver figura 7.28) introduciéndose un error igual al valor “be”. Este error es tanto menor cuanto menor sea

el valor de ∆X. El algoritmo de proyección de Y según la ecuación 7.57 dá lugar a la técnica

numérica de Euler. Un valor más exacto de Yi+1 se puede obtener mediante la ecuación 7.58, que establece:

( ) ( )X

XXYSYYY iiii ∆

∆++=+

2`

1 EC. 7.58

Esta ecuación hace la proyección lineal de Y sobre la tangente AD de pendiente promedia en la correspondiente al punto “A” y la de la tangente en “B”. En efecto, si se proyectara

linealmente con una recta dependiente de Y prima (Xi + ∆X) la proyección pasará por el punto

“E” introduciendo un error apreciable. En conclusión el mínimo error BD se obtiene mediante la proyección intermedia, y este error es cada vez menor, a medida que tiende a cero. El algoritmo de Y mediante el uso de la ecuación 7.57 se conoce como método de Euler- modificado. En la figura 7.29 se muestra en forma general el proceso iterativo a seguir para

encontrar el valor de δi= fi (t). El programa además del uso de subrutinas correspondientes a

la ecuación 1.7 y de la ecuación 7.55, hace uso de otras mediante las cuales se construye la matriz Y, la modifica, etc., y de un flujo de carga mediante el cual se establece las condiciones iniciales de la red. La aplicación de la ecuación 7.58 a la ecuación de oscilación se hace doblemente, sabiendo que:

( )PjiPmMdt

dWtd

di

i

ii −==1

2

2δ

Donde: Pj es el valor encontrado en la ecuación 1.7.


318

Con los valores anteriores se puede establecer el siguiente punto de W, a saber:

( )

( )

tdtdwi

dtdwi

WiW

uu

uui ∆

+

+=

+

+

2

1

1 EC. 7.59

Siendo la significada de Wi:

Wsdtd

Wi i +=δ

WsWidtd i −=

δ

Un empleo adicional de la técnica de Euler modificado permite establecer:

( )

( )

tdtd

dtd u

iui

ui

ui ∆+=

+

+

2

*1

1

δδ

δδ

En el numeral siguiente se ilustra el empleo de las ecuaciones 7.58 y 7.59 en un programa digital que resuelve la ecuación de penduleo para cada planta “i”. A continuación se muestra el esquema para la evaluación digital del problema de estabilidad multimáquina.


319

Definir los datos mediante un flujo de cargas, establecer las condiciones iniciales de la red

analizada.

¿Hay algún problema en la red¿

Modificar la matriz Y de barras para introducir el efecto de la perturbación.

Revaluar el perfil de voltajes mediante un flujo de cargas (simplificado) y definir, además, los nuevos flujos de energía de la ecuación.

Resolver la ecuación de penduleo mediante la técnica de Euler-modificado para establecer el

nuevo estado angular (ecuaciones 7.58 y 7.59).

¿t=tmax de cálculo?

t=t +∆t

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