Fundamentos Matemáticos para Controle e Servomecanismos.

Sistemas de Equações LinearesMatrizesTransformada de LaplaceTransformada Inversa de LaplaceEquações DiferenciaisTransformada ZTransformada Z Inversa )( 1Z

)( 1L

Sistemas de Equações Lineares.

1352214

5342312

433221

xxx

xxx

xxx

Considere os seguintes sistemas de equações lineares:

Definindo a matriz de coeficientes A e a matriz vetor B, temos:

1

5

4

;

524

432

321

BA

Podemos escrever o sistema na forma matricial: AX = B.AX = B.

Sistemas de Equações Lineares.

4.1

524

432

321

521

435

324

)1( X 6.0

524

432

321

124

532

421

)3( X

O uso desta regra nos auxilia a obter as variáveis desejadas do sistema e seu emprego é recomendado quando este possuir um número equações superior à ordem 3 ou igual a esta, pois o processo de substituição sucessiva, de modo a eliminar as variáveis, torna-se bastante longo e enfadonho.Para o sistema exemplificado temos:

8.1

524

432

321

514

452

341

)2( X

Sistemas de Equações Lineares.Para empregar o Matlab como recurso computacional temos que definir os seguintes passos:- Declarar matriz de coeficientes;- Declarar matriz vetor de entradas.

No exemplo citado temos:A=[ 1 2 3;2 3 4;4 2 5] e B=[4;5;1]; - define que uma linha terminou e uma nova será iniciada.

Para aplicar a regra de Cramer e obter as demais matrizes devemos seguir a rotina abaixo:- Declarar nova matriz, onde esta receberá o conteúdo da matriz de coeficientes;- A nova matriz gerada terá suas respectivas colunas substituídas pela matriz de entradas, conforme a variável a ser calculada.

Sistemas de Equações Lineares.

Temos então que:X1=A;X1(:,1)=BX2=A;X2(:,2)=BX3=A;X3(:,3)=B 1

5

4

;

524

432

321

BA

4.1

524

432

321

521

435

324

)1( X 6.0

524

432

321

124

532

421

)3( X8.1

524

432

321

514

452

341

)2( X

Sistemas de Equações Lineares.

6.0

8.1

4.1

)det(

)3det();2det();1det(

XA

XXXX

A solução, usando a regra de Cramer pode, também, ser obtida por:

Para comprovar a solução podemos multiplicar AA por XX que obteremos a matriz vetor BB.

Matrizes.

Matrizes.

11

1001

3

10

2

13

3

1

)

ss

ss

ssa

40

43

010

03

100

22

)

b

1) Para as matrizes abaixo, determine o que se pede:

32

310

30

65)

c

Matrizes.

0322513

13231

1321

xxx

xxx

xxx

2) Para os sistemas descritos abaixo, determine as incógnitas:

02212

13231

1321

xx

xxx

xxx

Transformada de Laplace.

Transformada de Laplace.

1) Encontre a transformada de Laplace das funções abaixo:

t

tt

t

t

t

etgf

eetge

tttgd

ttetgc

tetgb

tetga

2

2

2

2

5

5)()

)()

2cos*2sin)()

2sin)()

2sin*2)()

5)()

Transformada de Laplace.

2) Encontre a transformada inversa de Laplace das funções abaixo:

552*5.1

122)()

22*

12)()

3*21

10)()

31

1)()

*3*42

2100)()

3*21

)()

ssss

sssGf

sss

ssGe

sssGd

ssGc

sesss

ssGb

ssssGa

Transformada de Laplace.3) Solucione as equações diferenciais das funções abaixo usando a técnica de transformadas de Laplace:

52 vdt

dvCom v=0 quando t=0

92 vdt

dvCom v=0 quando t=0

652 xdt

dxCom x=0 quando t=0

48 xdt

dxCom x=0 quando t=0

0642

2

xdt

xdCom dx/dt=0 e x=2 quando t=0

0642

2

xdt

xdCom dx/dt=2 e x=0 quando t=0

Aplicações:1) Para os sistemas físicos abaixo, encontre a resposta usando as

técnicas matemáticas apresentadas. Considere uma entrada degrau unitário aplicada aos sistemas, ou seja, R(t)=u(t).

a) i1(t) e i2(t).

Aplicações:

b) i1(t) e i2(t).

Aplicações:

c) Vc(t).

i1i2

i3

Aplicações:

d) i1(t), i2(t) e i3(t).

Aplicações:

e) Vo(t), i1(t), i2(t) e i3(t).

Aplicações:

f) x1(t) e x2(t).

Aplicações:

g) x1(t) e x2(t).

Aplicações:

h) x1(t), x2(t) e x3(t).

Sem atrito

Aplicações:

i) x1(t), x2(t) e x3(t).

Sem atrito