ESTADISTICA - Probabilidades

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INDICE

UNIDAD ACADMICA I

ESTADSTICA GENERALIDADES

1. Definicin de Estadstica 07 2. Clases de Estadstica 08 3. Conceptos Bsicos 08 4. Variable y tipos 10 5. Regla de Redondeo 14 6. Notacin Cientfica 15 7. Cifras Significativas 15 8. Sumatoria 16 UNIDAD ACADMICA II

ORGANIZACIN DE DATOS Y GRFICOS

1. Tabla de Frecuencia 19 2. Clases de Frecuencias 20 3. Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas 21 4. Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas 21 5. Construccin de Intervalos o Reduccin de Datos 23 6. Grficos 28 7. Clases de Grficos 28 8. Anlisis Exploratorio de Datos 31 UNIDAD ACADMICA III

MEDIDAS DE POSICIN O DE TENDENCIA CENTRAL (I) 1. La Medida o Promedio Aritmtico 37 2. Mediana 39 3. La Moda 43 4. Relacin Entre en Promedio Aritmtico, Mediana y Moda 47

UNIDAD ACADMICA IV

MEDIDAS DE POSICIN O DE TENDENCIA CENTRAL (II)

1. Media Geomtrica 53 2. Media Armnica 55 3. Relaciones Entre los Promedios 56 4. Cuarteles 57 5. Deciles 58 6. Percentiles 58 7. Aplicacin de Cuartiles, Deciles y Percentiles 59

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UNIDAD ACADMICA V

DISPERSIN, ASIMETRA Y APUNTAMIENTO 1. Medidas de Dispersin o Variabilidad 065 2. Rango 066 3. Desviacin Media 066 4. Varianza 068 5. Desviacin Estndar 070 6. Caractersticas de la Varianza y Desviacin Estndar 071 7. Coeficiente de Variacin 072 8. Variable Estandarizada 073 9. Medida de Asimetra 073 Medida de Apuntamiento 076 UNIDAD ACADMICA VI

CORRELACIN Y REGRESIN 1. Correlacin 079 2. Coeficiente de Correlacin 080 3. Regresin 082 4. Serie de Tendencia Rectilnea 082 5. Serie de Tendencia Parablica 084 6. Aplicacin de la Ecuacin Exponencial 087 UNIDAD ACADMICA VII

PROBABILIDAD (I) 1. Introduccin a la Teora de la Probabilidad 091 2. Concepto de Probabilidad 091 3. Experimento 092 4. Espacio Muestral 092 5. Evento o Suceso 093 6. Anlisis Combinatorio 098 7. Factorial de un Nmero 101 8. Permutacin 101 9. Variacin 104 10. Combinacin 105 11. Diagramas de rbol 106

UNIDAD ACADMICA VIII

PROBABILIDAD (II) 1. Definicin Clsica de Probabilidades 111 2. Probabilidad de Frecuencia Relativa 115 3. Probabilidad Subjetiva 118 4. Probabilidad Frente a Apuestas 118 5. Probabilidades de Espacios Muestrales Finitos 119 6. Probabilidad Condicional 121 7. Sucesos Independientes 124 8. Teorema de Bayes 125

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ESTADSTICA GENERALIDADES

Este primer fascculo esta diseado para ayudar al lector a hacerse una idea de la estadstica, para que sepa los principales conceptos, variables y sus tipos, regla de redondeo, notacin cientfica y cifras significativas. Hoy las estadsticas estn presentes en casi todas las profesiones, se han convertido en una herramienta de suma utilidad.

Al finalizar el estudio del presente fascculo el estudiante:

- Define la estadstica y conoce sus clases. - Concepta lo que es poblacin, muestra, parmetro, estadgrafo y dato. - Define lo que es una variable, conoce y determina sus tipos. - Aplica la regla de redondeo y las cifras significativas; as como, la notacin cientfica. - Resuelve problemas de sumatoria.

1. Definicin de Estadstica

La Estadstica es la ciencia de la: - Sistematizacin, recogida, ordenacin y presentacin de datos referentes a un

fenmeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metdico, con el objeto de (Descriptiva)

- deducir las leyes que rigen esos fenmenos, (Probabilidad)

- y poder de esa forma hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones (Inferencia)

Definiciones etimolgicas: El origen etimolgico de la palabra estadstica, no est bien determinado. Para algunos viene de la voz griega STATERA que significa Balanza, equilibrio, otros dicen que

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deriva del latn STATUS que significa situacin mientras que algunos autores afirman que procede del alemn STAAT cuyo significado es Estado por su funcin de registrar: poblacin, nacimiento, defuncin, etc. Y finalmente, otros autores dicen que proviene de una voz italiana STATISTA que significa estadista y que acuo Gottfried Achenwall (1719 1772), un profesor en Marlborough y Gottingen.

2. Clases de Estadstica

Estadstica Descriptiva y Deductiva Es la Estadstica que nicamente se ocupa de describir y analizar un conjunto determinado sin extraer ningn tipo de conclusin o inferencia sobre un conjunto mayor. El anlisis se limita a si mismo a los datos coleccionados. Las grficas, las tablas y diagramas que muestran los datos y facilitan su interpretacin son ejemplos de este tipo de Estadstica.

Estadstica Inferencial o Inductiva

Es la Estadstica que estudia las condiciones bajo las cuales tales inferencias son vlidas, para cuyo estudio se requiere un alto nivel de conocimiento de estadstica descriptiva, probabilidades y matemticas. Comprende la teora de estimacin, prueba de hiptesis y anlisis de varianza. Aqu, la influencia estadstica incluye generalizaciones y afirmaciones sobre probabilidades de su validez.

3. Conceptos Bsicos

Poblacin Es el conjunto mayor o coleccin completa de todos los elementos que posee al menos una caracterstica comn observable, cuyo estudio nos interesa o acerca de los cuales se desea informacin. La poblacin puede ser segn su tamao de dos tipos: - Poblacin Finita: cuando se tiene un nmero determinado de elementos.

Ejemplo. El conjunto de todos los alumnos de la UPLA

- Poblacin Infinita: Cuando el nmero de elementos es indeterminado o tan grande que pudiesen considerarse infinitos.

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Ejemplo. El conjunto de Insectos El conjunto de estudiantes

Tamao de la poblacin: es el nmero total de elementos que tiene la poblacin estudiada y se denota con la letra N (ene mayscula).

Muestra

Es un subconjunto de la poblacin a la cual se le efecta la medicin con el fin de estudiar las propiedades con el fin de estudiar las propiedades de la poblacin de la cual es obtenida. Ejemplo. Un grupo de alumnos del total de estudiantes de la UPLA. Tamao de la muestra: Es el nmero de elementos de la muestra y se denota con la letra n (ene minscula).

Parmetro

Es un nmero que describe alguna caracterstica de la poblacin o medida de resumen de una poblacin. Se considera como un valor verdadero de la caracterstica estudiada y para determinar su valor es necesario utilizar la informacin poblacional completa y por lo tanto la decisin se toma con certidumbre total. Los parmetros se representan con letras griegas. Ejemplo: La media aritmtica con

La desviacin estndar con

Estadgrafo o Estadstico Es el nmero que describe alguna caracterstica de la muestra o medida de resumen de

una muestra y la toma de decisin contiene un grado de incertidumbre. La estadstica se representa con letras latinas. Ejemplo: La media aritmtica con x

Dato Es el valor, respuesta o registro que adquiere una caracterstica o variable asociada a un elemento de la poblacin o muestra, como resultado de la observacin, entrevista o recopilacin en general. Puede ser un smbolo, una palabra o un nmero.

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Los datos pueden ser:

A. Segn su naturaleza

a. Datos cuantitativos: Consiste en nmeros que representan conteos o mediciones. Ejemplo. El nmero de soldados del Per

La talla de los estudiantes de la UPLA

b. Datos Cualitativos: Se pueden dividir en diferentes categoras que se distinguen por alguna caracterstica no numrica. Ejemplo. Los grados del ejrcito

Los colores del arco iris

B. Segn su procedencia. a. Datos Primarios: Son aquellos que se obtienen directamente de la misma

realidad, sin sufrir ningn proceso de elaboracin previa. Ejemplo: Lo que se recoge directamente de un muestreo o de un censo.

b. Datos Secundarios: Son registros escritos que proceden tambien de un contacto con la prctica, pero que ya han sido recogidos y muchas veces procesados por los investigadores. Ejemplo: Lo que se obtiene de textos, revistas, etc.

4. Variable

Es una caracterstica estudiada de las unidades estadsticas (elementos de la poblacin) Tipos de Variable

Segn la Naturaleza de la Variable

a) Variables Cualitativas

Cuando expresan una cualidad, caracterstica o atributo, sus datos se expresan mediante palabras, no es numrica. Ejemplo: Estado civil, lugar de nacimiento, profesiones, causas de accidentes,

colores, etc.

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b) Variables Cuantitativas Cuando el valor de la variable se expresa por una cantidad, es de carcter numrico. El dato o valor puede resultar de la operacin de contar o medir. Ejemplo: Nmero de hijos, ingresos, talla, peso, produccin, edad, utilidades,

etc. Las variables cuantitativas pueden ser Discretas y Continuas b.1. Variable Discreta

Cuando el valor de una variable resulta de la operacin de contar, su valor est representado solo por nmeros naturales (entero positivo). Ejemplo: Nmero de hijos, habitaciones por vivienda, poblacin por pas.

Etc. b.2. Variable Continua

Cuando la variable es susceptible de medirse, es toda variable cuyo valor se obtiene por medicin o comprobacin con una unidad o patrn de medida. Se expresa por cualquier nmero real. Ejemplo: rea de terreno, ingresos monetarios, peso, estatura, tiempo,

etc. Segn la relacin entre variables

a) Variables Dependientes

Son aquellas que se explican por otras variables, son los efectos o resultados respecto a los cuales hay que buscar su motivo, causa o razn de ser. Ejemplo: El consumo. Esta variable depende de los ingresos personales.

La produccin. Esta variable depende del tiempo (ao, meses, etc.) b) Variables Independientes

Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociacin, relacin o influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigacin. Tambin, son causas o antecedentes. Ejemplo: Los ingresos personales, relacionado con el consumo.

El tiempo, relacionado con la produccin.

c) Variables intervinientes o interferentes Son aquellas que coparticipan con la variable independiente condicionando el comportamiento de la variable dependiente.

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Ejemplo: El caso del Presupuesto familiar que es una variable dependiente, con relacin a los ingresos que es una variable independiente y con otras variables que seran la conducta de consumo, edad de la familia, etc. stos ltimos son variables intervinientes.

Segn la escala de medicin

a) Variables Nominales Son aquellas variables que establecen la distincin de los elementos en diversas categoras, sin explicar algn orden entre ellas. Ejemplo: Sexo, estado civil, profesiones, lugar de nacimiento, deportes de

prctica.

b) Variables Ordinales Son aquellas variables que implican orden entre sus categoras, estn referidas a un orden de jerarqua, donde la categora expresa una posicin de orden. Ejemplo: Grado de instruccin, clases sociales, rango de agresividad, orden

de mrito, etc.

c) Variable de Intervalo Son aquellos que suponen a la vez orden y grados de distancia iguales entre diversas categoras, pero no tienen origen natural, sino convencional, tiene un cero relativo. Ejemplo: Coeficiente de inteligencia, temperatura, puntuacin obtenida en una

escala, etc.

d) Variables de Razn Estas variables comprenden a la vez todos los casos anteriores, distincin, orden, distancia y origen nico natural; el valor se expresa con un nmero real, tiene un cero absoluto. Ejemplo: Accidentes de trnsito, edad, peso, ingresos, nmero de hijos, etc.

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Segn Amplitud de las Unidades de Observacin

a) Variables Individuales Son referidas a caractersticas de individuos o personas, una empresa, centro educativo, etc. Son variables para estudio de casos, donde se pueden subdividir en variables pblicas y privadas. a.1. Variables Pblicas

Son aquellas en que los valores individuales son conocidos por otras personas y se saben que son conocidos. Ejemplo: Edad, sexo, ocupacin, estado civil, etc.

a.2. Variables Privadas Son aquellos valores individuales que pueden ser conocidos por otros, una vez averiguados. Ejemplo: Coeficiente de inteligencia, opiniones frente a la poltica,

conducta de consumo, etc.

b) Variables Colectivas Son aquellas que se refieren a caractersticas de las unidades cuando estas son colectivas, conjuntos o grupos (ciudades, empresas, escuelas, etc.) Ejemplo: Tasa de mortalidad, urbanizacin, tasa de crecimiento demogrfico,

escolaridad, etc.

Las variables dependientes en un momento o caso pueden ser variables independientes y viceversa.

1.1 Determinar la clase de variable que nos dan los datos de las siguientes fenmenos o hechos:

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a) Temperatura. b) Razas. c) Nacionalidad. d) Precio del dlar en un mes. e) Nmero de habitaciones por familia.

5. Regla de Redondeo

Cuando el nmero que se quiere redondear le sigue una cifra mayor que 5, este tomar el valor inmediato superior. Ejemplo:

57,8 58 (redondear al entero) 1,036 1,04 (redondear a 2 decimales) 36,8079 36,808 (redondear a 3 decimales)

Cuando al nmero que se quiere redondear le sigue una cifra menor que 5, se quedar

en el mismo valor. Ejemplo:


Cuando al nmero que se quiere redondear le sigue una cifra igual que 5, se tomar dos

criterios: a) Si la cifra es par, queda sin alterar.

Ejemplo:


b) Si la cifra es impar, pasa al inmediato superior. Ejemplo:

85,5 86 (redondear al entero)

En la prctica por lo general, cuando a la cifra que se desea redondear le sigue 5

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1,315 1,32 (redondear a 2 decimales) 57,5435 57,544 (redondear a 3 decimales)

6. Notacin Sistmica o Cientfica

La notacin cientfica se utiliza cuando una informacin es seguida o antecedida de ceros. Ejemplos:

)(1080800000001067,5000000567,0

108,300038,0103,9930000000

10880000000

6

7

4

8

7

cientficanotacinesno

7. Cifras Significativas

Son los dgitos que no precisan una medicin, se consideran como cifras significativas los ceros a la derecha; no as los ceros a la izquierda. Ejemplo:

1,630 4 cifras significativas 0,008 1 cifras significativas 2,003 4 cifras significativas 1,0000 5 cifras significativas

1.2 1. Redondear al entero

a) 4,97 b) 38,49 c) 127,511 d) 36,59 e) 288,71

2. Redondear a un decimal

a) 36,55 b) 123,45 c) 0,06 3. Redondear a 3 decimales

a) 0,0034 b) 137,0056 c) 0,01351

La notacin cientfica solo tiene un entero

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4. Realizar la notacin cientfica de: a) 7 000 000 b) 9 430 000c) 0,002 937 d) 0,000 005

5. Cuntas cifras significativas tienen los siguientes nmeros:

a) 23,000 2 b) 0,23 c) 90,000 00 d) 0,000 895 4

8. Sumatoria

Es un operador que representa una suma de trminos cuyos elementos se encuentran formados de acuerdo a una ley dada. NOTACIN: El operador sumatoria vienen representado por la letra griega sigma ( ) Ejemplo:

a) Desarrollar:

7

4aaax

La expresin dada tiene la siguiente lectura: Sumatoria de a por x elevado a la a, variando a desde 4 hasta 7.

7

47654 7654

a

a xxxxax

b) Desarrollar:

40

11k

kk x

La expresin dada tiene la siguiente lectura: Sumatoria de -1 elevado a la k por x elevado a la (k+1), variando k desde 0 hasta 4.

54325443322

1441331221111004

01

1111

111111

xxxxx

xxxxx

xxxxxxk

kk

c) Desarrollar:

3

0kkna

kn

La expresin dada tiene la siguiente lectura: Sumatoria del coeficiente binmico n sobre k por a elevado a la n-k, variando k desde 0 hasta 3.

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32103

0 3210

nnnn

k

kn an

an

an

an

akn

1.3

1. Desarrollar

9

3bbby

2. Desarrollar

6

1112

P

PP y

3. Desarrollar

4

0MxMc

xM

En este fascculo estudiamos la definicin de Estadstica como ciencia y sus clases, como la Estadstica Descriptiva y la Estadstica Inferencial. Tambin se analiz los conceptos bsicos de poblacin, muestra, parmetro, estadgrafo y dato; asimismo, de variable y sus tipos. Luego se plante la Regla de Redondeo, la Notacin cientfica y cifras significativas.

AVILA A., Roberto. Estadstica Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CAPUAY C. Abelino. Sumatoria y Binomio de Newton. Editorial Ingeniera. Lima 1984. JONSON, Robert. Estadstica Elemental, Editorial Trillas. 2 edicin. Mxico. 1991. MOOD, Alexander M. Introduccin a la Teora Estadstica. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadstica Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadstica: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2 Edicin. Lima 1993.

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En el siguiente fascculo estudiaremos la organizacin de datos a travs de la Tabla de Frecuencias, la interpretacin de los cuadros y los grficos. Se desarrollar los pasos para elaborar una tabla de Frecuencia.

Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Determinar la clase de variable que nos dan los datos de los siguientes fenmenos o

hechos: a) Colores b) Nivel de desempleo c) Accidentes de Trnsito d) Orientacin en el tiempo

2. De los siguientes enunciados. Cul probablemente exija el empleo de la Estadstica Descriptiva y cul de la Estadstica Inferencial? a) En un campeonato de ftbol se desea conocer el promedio de goles de los equipos

que participan. b) Un comit para la prevencin de la contaminacin del aire, analiza la disminucin del

trfico automotriz y el grado de polucin. c) Un psiclogo estudia el efecto de la asesora personal sobre el rendimiento de un

estudiante. d) Un Economista registra el crecimiento de la poblacin en un rea determinada.

3. Redondear los siguientes nmeros a las cifras significativas siguientes: a) 23,5 a 2 cifras significativas b) 0,0008532 a 1 cifra significativa c) 0,05 a un decimal y una cifra significativa d) 90000455 a 7 cifras significativas

4. Desarrollar:

a)

7

2aa yabcx

b)

5

323

N

NN x

c)

6

1MMYk

YM

5. Por qu la Estadstica es probabilstica e Inferencial? 6. De 4 Ejemplos de variable discreta 7. De 4 Ejemplos de Variable continua

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ORGANIZACIN DE DATOS Y GRFICAS

Los datos recogidos sobre una variable conducen, muchas veces, a una gran cantidad de nmeros que presentados directamente dificultan su interpretacin. Este problema se evita si la informacin se presenta en las llamadas TABLAS DE FRECUENCIA. Estas tablas permiten analizar la distribucin de los elementos de la poblacin de acuerdo al carcter en estudio y ayudan en la bsqueda del modelo terico que mejor ajustar a los datos. A partir de la tabla de frecuencia se puede hacer representaciones grficas.

- Organiza datos originales en una distribucin de frecuencia. - Representa la distribucin de frecuencia en graficas. - Interpreta las frecuencias relativas y absolutas. - Desarrolla una representacin de tallo y hoja. 1. Tabla de Frecuencia

Representacin organizada de los datos que muestra el nmero de observaciones del conjunto de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyentes La tabla de frecuencia consta de:

a) Clase y Marca de Clase

Clase Esta constituido por nmeros o descritos por algn atributo cualitativo o cuantitativo de muestras de objetos. La informacin conforme a caractersticas cualitativas son: raza, religin y sexo. As mismo, puede estar formado por intervalo de clase. Marca de Clase ( Xi ) Es la semisuma del limite inferior ( Li ) y limite superior ( Ls ) de cada intervalo de

clase.

2LsLiXi

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Los atributos cualitativos y cuantitativos deben ser exhaustivos y mutuamente excluyentes.

b) Frecuencia Es el nmero de observaciones provenientes del conjunto de datos que caen dentro de cada una de las clases. Si podemos determinar la frecuencia con que ocurren los valores en cada clases de un conjunto de datos, estaremos en condiciones de construir una distribucin de frecuencia.

2. Clases de Frecuencias a) Frecuencia Absoluta Simple ( fi )

Es el nmero de observaciones que presentan una modalidad perteneciente a la clase.

b) Frecuencia Absoluta Acumulada ( Fi ) Representacin tabular de los datos que muestra cuantas observaciones se hallan encima o debajo de ciertos valores. Estas son ascendente y descendente. - Frecuencia Absoluta Acumulada Ascendente ( )1(F )

Sirven para decir si son iguales o menores.

- Frecuencia Absoluta Acumulada Desscendente ( )2(F ) Sirven para decir si son iguales o mayores

c) Frecuencia Relativa Simple ( hi ) Son datos que muestran la fraccin del conjunto total de datos que caen dentro de cada conjunto de clases mutuamente excluyente.

d) Frecuencia Relativa Acumulada ( Hi ) Es el tanto por uno de los elementos de la poblacin que estn en alguna clase y que presentan una modalidad inferior o superior a la clase. Estas son ascendente y descendente. - Frecuencia Relativa Acumulada Ascendente ( )1(H )

Nos indica la fraccin de los datos que son iguales o menores. - Frecuencia Relativa Acumulada Descendente ( )2(H )

Indica la fraccin de los datos que son iguales o mayores.

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e) Frecuencia Porcentual ( Pi ) Es el producto de las frecuencias relativas por 100.

3. Tabla de Frecuencia para Variables Cualitativas Clase fi hi Pi (%)

mC

CCC

3

2

1

mf

fff

3

2

1

mh

hhh

3

2

1

mP

PPP

3

2

1

Total n 1.00 100 Ejemplo: Consideremos la muestra formada por 50 personas y en esta, la variable sexo. Si se observa que hay 30 varones y 20 mujeres, podemos trasladar esta informacin a la siguiente tabla de frecuencias.

Clase fi hi Pi (%) Varn Mujer

30 20

0.6 0.4

60 40

Total 50 1.0 100 4. Tabla de Frecuencia para Variables Cuantitativas

Clase fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H 1C 1f 1h 11)1( fF nF 1 )2( 11 )1( hH 0.11 )2( H 2C 2f 2h 212)1( ffF 12)2( fnF 212 )1( hhH 12 )2( 0.1 hH 3C 3f 3h 31)1(3)1( fFF 22 )2(3 )2( fFF 32 )1(3 )1( hHH 22 )2(3 )2( hHH mC mf mh nFm )1( mm fF )2( 0.1)1( mH mm hH )2(

Total n 1.0 Ejemplo: Caso cuantitativo discreto Para estudiar la produccin de artculos de una fbrica se tomaron 100 lotes de 250 artculos cada uno. El nmero de artculos defectuosos en cada lote fue como sigue:

1 4 3 5 5 2 5 4 2 3 5 3 5 1 3 5 3 3 7 5 2 4 5 8 3 4 2 3 8 5 7 7 4 3 3 4 5 5 5 4 2 3 3 2 4 1 5 4 4 2 2 5 5 2 4 3 4 4 6 5 5 2 6 4 6 2 4 6 5 2 4 7 6 2 3 6 4 4 1 3 3 2 1 5 8 6 4 4 5 6 4 5 3 3 4 4 7 6 6 4

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Xi fi hi Pi (%) 1 5 0,05 5 2 14 0,14 14 3 18 0,18 18 4 25 0,25 25 5 20 0,20 20 6 10 0,10 10 7 5 0,05 5 8 3 0,03 3

Total 100 1.00 100

Ejemplo: Caso cuantitativo contino Se desea estudiar la cantidad de kilmetro que recorre un automvil modelo A por cada galn de gasolina que consume; para tal fin se anotaron las distancias recorridas por 36 automviles de tal modelo usando un galn de gasolina. Los resultados, en kilmetros fueron as:

34,51 31,54 35,40 38,24 34,60 38,20 35,61 36,70 35,47 31,60 36,57 34,50 37,85 33,15 30,16 36,96 35,93 33,80 36,80 33,29 36,88 34,00 40,00 31,57 37,10 32,91 36,23 34,90 33,00 33,20 36,20 30,00 34,55 33,98 38,10 36,00

Distancia Recorrida Xi fi hi Pi (%) [ 30,00 - 31,25 [ 30,6250 2 0,0556 5,6 [ 31,25 - 32,50 [ 31,8750 3 0,0833 8,3 [ 32,50 - 33,75 [ 33,1250 5 0,1389 13,9 [ 33,75 - 35,00 [ 34,3750 8 0,2222 22,2 [ 35,00 - 36,25 [ 35,6250 7 0,1944 19,4 [ 36,25 - 37,50 [ 36,8750 6 0,1667 16,7 [ 37,50 - 38,75 [ 38,1250 4 0,1111 11,1 [ 38,75 - 40,00 ] 39,3750 1 0,0278 2,8 TOTAL 36 1,0000 100

fi= Cantidad de Autos

2LsLiXi Marca de Clase

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Por convencin, cada intervalo es tomado cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, a excepcin del ltimo, que es cerrado en ambos extremos. 5. Construccin de Intervalos o Reduccin de Datos

Regla: 1. Ordenamiento de datos (segn magnitud) en forma creciente o decreciente. 2. Determinar

- Valor mximo ( maxX ) - Valor mnimo ( minX )

3. Calcular el Rango( R )

1minmax XXR para variable discreta minmax XXR para variable continua

4. Determinar el numero de clases o intervalos (m)

- Mtodo de STURGES ( 50n )

)log(322,31 nm

- Mtodo de PORTUGAL )10050( n

)log(991,38914,1 nm )100( n

)log(815,5766,2 nm

- Mtodo de la RAIZ 45,2 nm

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nm

mdebe ser entero ( ), si sale decimal se redondea.

5. Calcular la amplitud Intervlica (a )

mRa

6. Correccin (D ) RamD )*(

Si el resultado de D es:

Se Continua

Se rehace (En la amplitud intervlica se redondea por exceso)

7. Intervalo de Clase aXIi min

Ejemplo: Se tiene las tallas de 41 alumnos de la facultad de Derecho de la UPLA siguientes; dados en metros:

1,73 1,80 1,70 1,74 1,87 1,59 1,70 1,87 1,72 1,70 1,75 1,71 1,87 1,70 1,78 1,75 1,70 1,87 1,71 1,71 1,75 1,60 1,55 1,65 1,60 1,86 1,65 1,55 1,60 1,85 1,73 1,61 1,55 1,67 1,82 1,57 1,64 1,55 1,68 1,80 1,75

A continuacin vamos a aplicar la regla para construir los intervalos y elaborar la tabla de frecuencia. Regla:

000

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25

1. Ordenamiento de Datos

Se obvia por ser una muestra pequea

2. Determinar mt 1.87max X mt 1.55min X

3 Calcular el Rango ( R )

minmax XXR (variable continua). 32,055,187,1 R

4 Determinar el numero de clases; (m) por ser n

Excelencia Acadmica

26

)(002,032,0318,0

032,0)053,06()(

negativoserporrehaceSeDDD

RamD

Entonces se corrige 054,0a

)(004,032,0324,0

32,0)054,06(

continuasepositivoesDDD

El valor 0,004 se distribuye en la variable mximo y mnimo (se suma y se resta para ampliar el rango)

Teniendo los datos siguientes se elabora la tabla de frecuencia:

6054,0872,1max548,1min

mmtamtXmtX

7 Intervalo de Clase

602,1054,0548,1

min

1

1

II

aXIi

Talla(Intervalo) Tabulacin fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H Xi [ 1.548 - 1.602 [ ||||| |||| 9 0.22 9 41 0.22 1.00 1.575 [ 1.602 - 1.656 [ |||| 4 0.10 13 32 0.32 0.78 1.629 [ 1.656 - 1.710 [ ||||| || 7 0.17 20 28 0.49 0.68 1.683 [ 1.710 - 1.764 [ ||||| | 11 0.27 31 21 0.76 0.51 1.737 [ 1.764 - 1.818 [ ||| 3 0.07 34 10 0.83 0.24 1.791

-0,002 1,548 1,55

+0,002 1,87 1,872

1,548 1,872 R=0,324

Excelencia Acadmica

27

[ 1.818 - 1.872 ] ||||| || 7 0.17 41 7 1.00 0.17 1.845 TOTAL 41 1.00

Tabulacin: es ubicar los datos de la muestra en la clase intervlica correspondiente.

2.1 1. Los hbitos de trabajo de la mano de obra( llevan trabajo a casa) en Huancayo se

muestran a continuacin:

c b a b a c b c a a a b a a a d d a b b b a c b d b b c b b a b b c c a c a c a c a d b a d a d d a

Donde a= Nunca, b= Menos de una vez al mes, c= Una vez al mes, d= todos los das. Construya un cuadro que presente la informacin recolectada.

LLEVAN EL TRABAJO A CASA N de trabajadores ( fi ) hi pi Nunca Menos de una vez al mes Una vez al mes Todos los das TOTAL

2. En una muestra de 40 pequeas empresas se recoge informacin a cerca del nmero de trabajadores en cada una de ellas. Los datos fueron los siguientes:

16 15 14 14 14 13 13 14 14 15 12 15 16 12 12 13 14 17 15 13 14 13 13 14 14 15 17 16 18 13 13 14 14 15 16 15 14 16 15 14

Complete la siguiente tabla de frecuencias.

Nmero de Trabajadores Empresas( fi ) hi pi 12 13 14 15 16

Excelencia Acadmica

28

17 18

Totales

3. En el departamento de produccin de una fbrica los sueldos mensuales de los empleados son los siguientes

440 560 335 587 613 400 424 466 565 393 453 650 407 376 470 560 321 500 528 526 570 430 618 537 409 600 550 432 591 428 224 340 558 460 560 607 382 667 512 492 450 530 501 417 660 470 364 634 580 450 574 500 462 380 518 480 625 507 645 382

Complete la siguiente tabla de frecuencias

Sueldo Mensual Xi ConteoEmpleado

s )1(

F ih )1(H ip TOTAL

6. Graficas Es otra forma de presentar los datos referentes a un fenmeno. Una grafica es el idioma universal que bien presentado e ilustrado evita la fraseologa. En estadstica se emplea una diversidad de tipos de graficas, cuya forma depender de la naturaleza de los datos y de los objetivos de la presentacin. Antes de elegir el tipo de grafico conviene imaginarse de antemano, el grafico a construir que en general debe tener rasgos simples y de fcil comprensin.

7. Clases de Graficas

Grafica de Coordenadas Ortogonales o Cartesianos

a) Diagrama de Segmentos

Excelencia Acadmica

29

b) Histograma

c) Polgono de Frecuencia

d) Polgono de Frecuencia Acumulada u OJIVA

e) Diagrama de Barra

- Simple - Compuesta - Agrupadas

Simple

020406080

100

01020304050

01020304050

Marca de clas

020406080

100

0 2 4 6

Punto de equ

Excelencia Acadmica

30

Compuesta

Agrupadas

Grafica No Ortogonales

a) De Superficie Circular o Torta

020406080

100

Canti

dad

020406080

100120

1995 2000

Canti

dad Exportacin

Demanda InternaProduccin

Demanda de Alg

05

1015202530354045

2000 2001

Canti

dad

Varon Mujer

Asistencia al

Excelencia Acadmica

31

b) Pictrica

Con los problemas de la actividad 2.1 elaborar graficas 8. Analisis Exploratorio de Datos

El Diagrama de Tallo y Hoja Un mtodo para iniciar el anlisis exploratorio de los datos, que proporcione informacin rpida, visual y es relativamente nueva, es el Diagrama de Tallo y Hoja. Esta representacin se basa en la ordenacin de los datos a manera de grafico, pero sin llegar a ello, utilizando las decenas y las unidades.

Ejemplo: Los siguientes datos son las calificaciones obtenidas en una prueba de Historia:

78 93 61 100 70 83 88 74 97 72 66 73 76 81 83 64 91 70 77 86

Costa10%

Sierra30%

Selva60%

10

20

40

0 10 20 30 40 50

Excelencia Acadmica

32

La representacin del tallo y hoja se elabora de manera que las decenas se pondrn en una columna, en forma vertical y las unidades a la derecha:

6 1 6 4 7 8 0 4 2 3 6 0 7 8 3 8 1 3 6 9 3 7 1

10 0 Para entender un poco mas, hemos de decir que le primer rengln que dice 6|1 6 4 quiere decir que entre la lista de datos se encuentran los valores 61, 66, 64.

La representacin de Tallo y Hoja, donde cada rengln es una posicin de tallo y cada digito de la derecha es una hoja. Reforzamiento del Aprendizaje 1. Dado la siguiente tabla de frecuencia que significa:

a) 3f d) 4)2(F b) 4h e) 6)1(H c) 5)1(F f) 5 )2(H

TABLA DE FRECUENCIA DE SALARIOS POR TRABAJADOR

i Salario(Intervalo) fi hi )1(F )2(F )1(H )2(H 1 [ 82 - 89 [ 4 0.05 4 80 0.05 1.00 2 [ 89 - 96 [ 6 0.08 10 76 0.13 0.95 3 [ 96 - 103 [ 9 0.11 19 70 0.24 0.87 4 [ 103 - 110 [ 13 0.16 32 61 0.40 0.76 5 [ 110 - 117 [ 15 0.19 47 48 0.59 0.60 6 [ 117 - 124 [ 13 0.16 60 33 0.75 0.41 7 [ 124 - 131 [ 12 0.15 72 20 0.90 0.25

Excelencia Acadmica

33

8 [ 131 - 138 [ 5 0.06 77 8 0.96 0.10 9 [ 138 - 145 ] 3 0.04 80 3 1.00 0.04

TOTAL 80 1.00

Respuesta: a) 3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario entre 96 y 103 nuevos soles.

3f = Hay 9 trabajadores que tienen un salario de 96 a 102.99 nuevos soles. b) 4h = El 16% de los trabajadores ganan de 103 109.99 nuevos soles. c) 5)1(F = 47 trabajadores ganan menos de 117 nuevos soles. d) 4)2(F = 61 trabajadores ganan ms o igual a 103 nuevos soles. e) 6)1(H = 75% de los trabajadores ganan menos de 124 nuevos soles. f) 5 )2(H = 60% de los trabajadores ganan ms o igual que 110 nuevos soles.

2. Una distribucin de frecuencia consta de 5 intervalos de igual amplitud y de ella se conoce los siguientes datos: n=110; limite inferior de la 1 clase 12.5; f4-f5=10; f4-f1=0; f2=f4; f1=f5 y L4f4=975, donde L4 es el limite superior de la cuarta clase.

Elaborar la tabla de frecuencia

i Intervalo fi hi %iP 1 [ 12.5 - 17.5 [ 20 0.1818 18.182 [ 17.5 - 22.5 [ 30 0.2727 27.273 [ 22.5 - 27.5 [ 10 0.0909 9.0914 [ 27.5 - 32.5 [ 30 0.2727 27.275 [ 32.5 - 37.5 ] 20 0.1818 18.18

TOTAL 110 1.0000 100.00

10010010

1001010

14414251

54213

314134

145154

ffffffyffSifffffSi

ffffffSiffffyffSi

Excelencia Acadmica

34

Entonces:

50100)(210022

14

14

14

ffffff

30301050

224

41414

fffSi

fffyffSi

Luego 2051 ff

5.3230975975 444 LfLSi

Entonces

5420

0.205.125.324

a

R

Luego los intervalos de clases son:

12.5 + 5 = 17.5 17.5 + 5 = 22.5 22.5 + 5 = 27.5 27.5 + 5 = 32.5 32.5 + 5 = 37.5

AVILA A., Roberto. Estadstica Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., Jos. Estadstica General. Editorial Jurdica S.A., Lima, 1966. JONSON, Robert. Estadstica Elemental, Editorial Trillas. 2 edicin. Mxico. 1991. MOOD, Alexander M. Introduccin a la Teora Estadstica. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadstica Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991.

Excelencia Acadmica

35

VELIZ C., Carlos. Estadstica: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2 Edicin. Lima 1993.

En el siguiente fascculo se calcular los estadgrafos de posicin o de tendencia central y se explicara las caractersticas y empleo de estas medidas.

N 2 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________

1. Se realiza una encuesta a los alumnos de la UPLA acerca de la preferencia de marcas

de gaseosas, los resultados fueron los siguientes: PE IK KR PE PE IK IK PE CC CC IK PE IK IK PE PE KR CC IK KR O KR CC KR IK PE PE IK O CC PE O PE PE CC CC KR CC PE IK IK IK CC PE KR IK IK PE PE CC

Donde

IK= Inca Kola PE= Pepsi O= otras CC= Coca Cola KR= Kola Real

a) Construya una tabla de frecuencia b) Qu porcentaje de estudiantes de la UPLA prefiere Kola Real? c) Cuntos estudiantes prefieren otras gaseosas? d) Realizar un tipo de grafico

2. los siguientes datos muestran velocidades en km/h de 48 carros que pasaron por un punto de control de velocidad.

60 30 31 60 45 34 54 38 35 27 45 40 45 83 30 40 46 105 29 102 60 82 72 63 36 70 31 8165 80 25 70 108 24 85 45 120 65 39 83 72 60 70 100 55 50 64 61

a) Elabore una tabla de frecuencia. b) Que significa: 4f ; 5h ; 3)1(F ; 5 )2(F ; 4)1(H ; 5)1(H c) Represente la tabla mediante un polgono de frecuencia

Excelencia Acadmica

36

3. Los puntajes de una aprueba de aptitud se tabularon en una distribucin de frecuencias de 6 intervalos de amplitud constante. Si las marcas de clases del segundo y cuarto intervalo son 40 y 80, las frecuencias relativas estn relacionadas de la siguiente manera: del primero es igual al sexto intervalo, la tercera y quinta frecuencia son iguales, la cuarta frecuencia es igual a 0.25, del segundo intervalo es igual al cuarto menos el primero, el tercer intervalos es igual al primero mas 0.10 y la frecuencia absoluta acumulada del sexto intervalo es igual a 60. Completar la distribucin de frecuencias.

Excelencia Acadmica

37

Excelencia Acadmica

38

MEDIDAS DE POSICIN O DE TENDENCIA CENTRAL (I) En el fascculo anterior aprendimos a construir tablas y grficos donde se usaba datos brutos. Las representaciones resultantes de las distribuciones de frecuencia nos permitieron discernir las tendencias y patrones de datos. Los valores mas caracterizados corresponden a la parte central de la distribucin, pero entre ellas iniciamos en este fascculo la Media o promedio aritmtico, la mediana y la moda.

- Calcula e interpreta la media aritmtica, la mediana y la moda. - Explica las caractersticas y propiedades de las medidas. - Relacin de media, la mediana y la moda.

Las medidas de centralizacin son valores que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados segn magnitud. 1. La Media o Promedio Aritmtico

La media es el valor representativo de la serie; pudiera decirse que es el punto de equilibrio o centro de gravedad de la serie. Se representa por x para una muestra y para la poblacin

La Media simple

nxxxx

n

xx n

n

ii

3211

Ejemplo: x: 18, 24, 45, 12, 89, 12

33.336128912452418 x

Excelencia Acadmica

39

La Media Ponderada

n

fxx

n

iii

1 Ejemplo: x: es la talla de 65 obreros de una empresa, se quiere saber cual es la estatura promedia.

i iX (metros) if ii fx 1 1.55 3 4.652 1.60 8 12.83 1.65 22 36.34 1.70 17 28.95 1.75 10 17.56 1.80 5 9.00

65 109.15

.68.1679.16515.109

1

mtx

n

fxx

n

iii

El promedio de la estatura de los obreros de la empresa, es de 1.68 metros.

Propiedades de la Media Aritmtica a) La media de una constante es la misma constante.

cc b) La media del producto de una constante por una variable es igual al producto de la

constante por la media de la variable. xccx

c) La media de una variable mas o menos una constante, es igual a la media de la variable mas o menos la constante.

cxcx d) La media de la suma o diferencia de dos o mas variables e igual a la suma o

diferencia de las medias de cada una de las variables. yxyx

Excelencia Acadmica

40

3.1 1. Las edades de los componentes de una familia de 7 miembros, es como sigue: 52, 42,

26, 24, 13, 8 y 1 aos, se pide determinar el promedio de edad de esta familia. 2. Hallar el salario promedio correspondiente a los trabajadores de cierta fabrica,

extrayendo datos de la tabla de frecuencia:

i Salario(S/.) fi ix ii fx 1 [ 70 - 80 [ 202 [ 80 - 90 [ 303 [ 90 - 100 [ 604 [ 100 - 110 [ 905 [ 110 120 [ 1006 [ 120 130 [ 857 [ 130 140 [ 70

TOTAL

2. Mediana La mediana es el punto medio de un conjunto de datos; o es aquel valor de la variable que divide al conjunto de valores en dos partes iguales.

Caractersticas de la Mediana

a) Localiza mejor el centro de distribucin para lo cual es necesario ordenar. b) Su clculo es fcil y poco sensible a los valores extremos. c) Puede ser calculado inclusive cuando los intervalos son abiertos. d) Pueden ser calculados cuando las variables son cualitativos, susceptibles de

ordenar de acuerdo a alguna propiedad, categora, etc. e) No puede ser manejada algebraicamente para clculo posteriores. f) Se halla inclusive cuando las amplitudes son diferentes.

La Mediana simple o No Agrupados a) Datos Impar

21 nxMe

Excelencia Acadmica

41

Ejemplo: Se tiene los gastos de 7 personas siguientes: x: s/. 120, s/. 140, s/. 100, s/. 150, s/. 145, s/. 135, s/. 160 Calcular la mediana. Solucin PASOS: 1. En la mediana se ordenan los datos:

x: s/. 100, s/. 120, s/. 135, s/. 140, s/. 145, s/. 150, s/. 160

2. En datos impar se toma el valor centradle acuerdo a la formula.

140./42

172

1S

n xxxMe

Interpretacin: el 50% gastan menos de s/140 y el otro 50% restante gasta mas de s/140

b) Datos Par

22

221

nn xxMe

Ejemplo: Se tiene los pesos de 8 personas siguientes: x: 70, 65, 83, 62, 94, 75, 79, 86 kg Calcular la mediana.

Solucin PASOS: 1. Se ordenan los datos

x: 62, 65, 70, 75, 79, 83, 86, 94 kg 2. Se aplica la formula

KgMe

xxMe

xxxxMe nn

772154

797521

21

21

21

54

228

28

22

2

Excelencia Acadmica

42

Interpretacin: el 50% de personas pesan menos de 77kg y el restante 50% pesan mas de 77kg.

La Mediana Agrupada o Ponderado

k

k

f

Fn

aLiMe)1(12

Li = limite inferior de la clase mediana a = intervalo de clase n = nmero de elementos (tamao de la muestra)

)1(1kF = frecuencia absoluta acumulada ascendente anterior a la clase mediana.

kf = frecuencia absoluta de la clase mediana. Pasos Para Hallar la Mediana

1. Determinar la clase mediana, a travs del cociente de 2n cuyo resultado se la

ubica en la frecuencia acumulada absoluta ascendente )1(F , que le contenga mas prximo.

2. determinar la amplitud del Intervalo a , restando el Limite superior menos el

Limite inferior de la clase mediana. LiLsa

O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.

ii XXa 1

3. Determinar en la clase mediana el Lmite inferior del intervalo o clase. LsLi

Si solo tuviera la marca de clase ix entonces el lmite inferior seria:

2aXiLi

ix = valor de la marca de clase de la clase mediana. a = amplitud del intervalo

Excelencia Acadmica

43

4. Determinar la Frecuencia Acumulada Absoluta ascendente anterior a la clase mediana )1( 1kF

5. Determinar la frecuencia absoluta simple de la clase mediana kf 6. Remplazar los valores en la formula de la mediana.

Ejemplo: Se tiene la tabulacin de los pesos en kg., de 110 obreros de una fabrica se pide determinar la mediana.

Peso

ix if )1(F

50 5 5 55 15 20 60 28 48 )1( 1kF 65 22 70 Clase mediana 70 19 89 75 11 100 80 10 110

110

k

k

f

Fn

aLiMe)1(12

PASOS

1. 552110

2 n

55 esta contenido 70)1( F este determina la clase mediana. 2. 121111 xxxxxxa ii

55055 a

3. 2axLi i

5.2652565 Li KgLi 5.62

4. 48)1( 1 kF

Excelencia Acadmica

44

5. 22kf

6. 22485555.62 Me KgMe 1.6409.64

Interpretacin: el 50% de los obreros pesan menos de 64.1 kg y el otro 50% de

los obreros pesan mas de 64.1 kg

3.2 1. Hallar la mediana de los salarios mensuales de 6 trabajadores:

s/1000, s/1300, s/1100, s/1150, s/1200, s/970 2. hallar la mediana de las alturas de 100 alumnos de la UPLA

Altura (m) Intervalo if )1(F

[ 1.57 - 1.61 [ 4 [ 1.61 - 1.65 [ 28 [ 1.65 - 1.69 [ 43 [ 1.69 - 1.73 [ 18 [ 1.73 - 1.77 ] 7 TOTAL 100

3. La Moda

La moda es el valor de la variable que mayor veces se repite o con mayor frecuencia sucede. Un grupo de datos puede tener una moda, dos modas, etc. En tales casos la distribucin se llama, respectivamente, unimodal, bimodal, etc. Tambin, la moda puede no existir, en caso de haber valores que se repitan.

3.1. La Moda Serie Simple

Ejemplo: Hallar la moda de los nmeros: 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7

Excelencia Acadmica

45

El nmero que ms veces se repite es 5. Por consiguiente, 5 es la moda (unimodal). Ejemplo: Hallar la moda de los nmeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Ningn nmero se repite ms que los otros. Por consiguiente, no hay moda. Ejemplo: Las calificaciones de un estudiante en 8 asignaturas fueron: 6, 5, 7, 6, 8, 5, 9, 10 Hallar la moda de las calificaciones. Las calificaciones que ms veces se repiten son 5 y 6. Por consiguiente, 5 y 6 son las calificaciones moda (bimodal)

3.2. La Moda serie Ponderada o agrupada:

211

aLiMo

Li = Limite inferior de la clase modal a = Amplitud del intervalo de clase

1 = Variacin 1 2 = Variacin 2

Pasos Para Hallar la Moda

1. Determinar la clase modal, a travs de la frecuencia absoluta simple mayor. 2. Determinar la amplitud del intervalo a restando el limite superior menos el limite

inferior de la clase modal. LiLsa

O si se tuviera la marca de clase, restar una de ella con respecto al siguiente inmediato.

ii XXa 1 3. Determinar en la clase modal el limite inferior de la clase.

Excelencia Acadmica

46

LsLi Si solo tuviera la marca de clase ix entonces el lmite inferior seria:

2aXiLi

ix = valor de la marca de clase de la clase modal. a = amplitud del intervalo

4. Determinar la variacin 1, 1 , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de la

clase modal menos la frecuencia de la clase anterior inmediata. 11 MoMo ff

5. Determinar la variacin 2, 2 , restando el valor de la frecuencia absoluta simple de

la clase modal menos la frecuencia de la clase posterior inmediata. 12 MoMo ff

6. Remplazar los valores en la formula. Ejemplo: Las temperaturas tomadas en la ciudad de Huancayo, cada semana, durante un ao, hallar la temperatura Moda.

Temperaturas (C) if

5 12

10 8 15 16 Clase modal 20 7 25 5 30 4

211

aLiMo

PASOS 1. La clase modal queda determinada por la frecuencia absoluta simple que mas

veces se repite, en este caso es 16.

Excelencia Acadmica

47

2. 343131 xxxxxxa ii 51520 a

3. 2axLi i

5.2152515 Li CLi 5.12

4. 11 MoMo ff 8161

81 5. 12 MoMo ff

7162 92

6. Reemplazando en la frmula

CMo

Mo

85.1498

855.12

Interpretacin: la temperatura que mayor veces se repite en el ao es 14.85C

Cuando en una frecuencia absoluta simple ( if ) existen 2 o mas frecuencias mayores iguales, se toma cualquiera para determinar la clase modal.

3.3

1. Al finalizar sus estudios de Derecho, 60 estudiantes tenan 22 aos, 50 tenan 23 aos, 17 tenan 24aos, y 8 tenan 25 aos. Hallar la moda de las edades.

2. Hallar la moda del cuadro siguiente:

Excelencia Acadmica

48

Intervalo if [ 220 - 240 [ 48[ 240 - 260 [ 60[ 260 - 280 [ 60[ 280 - 300 ] 30TOTAL 198

4. Relacion Entre el Promedio Aritmtico, Mediana y Moda

a) Para curvas de frecuencias unimodales que sean ligeramente asimtricas, se tiene la siguiente relacin emprica:

)(3 MexMox b) Cuando la curva de frecuencia es unimodal y simtrica:

MoMex c) La Media aritmtica esta influenciada por los valores extremos, en cambio la

Mediana y la Moda no lo estn.

d) Una curva de distribucin solo tiene una x y una Me , pero puede tener mas de una Mo .

Reforzamiento de Aprendizaje 1. La inversin anual ( en niveles de soles) de un grupo de pequeas empresas de la

ciudad fueron:

10 38 30 16 25 30 30 18 23 25 38 13 21 14 27 14 13 18 30 25 18 37 12 10 15 20 28 26 10 17 26 28 17 14 19 22 11 15 20 39 23 38

Calcular:

a) Media b) Mediana c) Moda

Excelencia Acadmica

49

Solucin Tenemos que desarrollar una tabla de frecuencia

1. minmax XXR

291039 R

2. nm log322.31 42log322.31m

64.6 m

3. 629

mRa

83.4a

4. RamD )( 29)83.46( D

02.02998.28 D Por ser negativo se rehace Entonces 84.4a

29)84.46( D

02.0

02.004.02904.29D

Resumen:

684.4

02.39max98.9min

maXX

Tabla de Frecuencia

-0,002 9.98 10

+0,002 39 39.02

Excelencia Acadmica

50

Intervalo Tabulacin fi )1(F Xi ii fX

[ 9.98 - 14.82 [ ||||| 10 10 12.40 124.00 [ 14.82 - 19.66 [ ||||| |||| 9 19 17.24 155.16 [ 19.66 - 24.5 [ ||||| | 6 25 22.08 132.48 [ 24.5 - 29.34 [ ||||| ||| 8 33 26.92 215.36 [ 29.34 - 34.18 [ |||| 4 37 31.76 127.04 [ 34.18 - 39.02 ] ||||| 5 42 36.60 183.00 TOTAL 42 937.04

Luego, calculamos: a) La Media

n

fxx

n

iii

1 En la tabla determinamos ii fx

solesdemilesx

x

31.2242

04.937

Interpretacin: la inversin anual de las pequeas empresas de la ciudad fue de

22.31 (miles de soles) = s/22,310.00 b) La Mediana

k

k

f

Fn

aLiMe)1(12

21242

2 n Determina la clase mediana en )1(F de la tabla que es 25

619

66.1984.4

)1(1

fkFLia

k

Excelencia Acadmica

51

solesnuevosdemilesMe

Me

27.216

192184.466.19

Interpretacin: el 50% de las pequeas empresas invierten menos de s/21,270.00 y

el otro 50% invierten ms de s/21,270.00 c) La Moda

211

aLiMo

Determinamos la clase modas en if mayor = 10

191010010

98.984.4

2

1

Lia

solesdemilesMo

Mo

38.14110

1084.498.9

Interpretacin: la inversin mas frecuente es de 14.38 (miles de soles) =

s/14,380.00

AVILA A., Roberto. Estadstica Elemental. Editorial R.A. Lima, 1998. CALZADA B., Jos. Estadstica General. Editorial Jurdica S.A., Lima, 1966. JONSON, Robert. Estadstica Elemental, Editorial Trillas. 2 edicin. Mxico. 1991. MOOD, Alexander M. Introduccin a la Teora Estadstica. Editorial Aguilar. Madrid 1972. MOYA, Rufino. Estadstica Descriptiva. Editorial San Marcos. Lima 1991. VELIZ C., Carlos. Estadstica: Aplicaciones. Editorial Servicios Copias Graficas S.A. 2 Edicin. Lima 1993.

Excelencia Acadmica

52

En el siguiente fascculo continuamos con medidas de posicin, como otros promedios, cuartiles, deciles y percentiles.

N 3 Nombre____________________________________________________________ Apellidos_________________________________________Fecha ______________ Ciudad _______________________________________Semestre______________ 1. En el departamento de produccin de una fbrica tienen los siguientes sueldos hasta

fines del mes de julio. Sueldo Mensual (S/.) Empleados

485 - 585 15 585 - 685 25 685 - 785 30 785 - 885 20 885 - 985 5 985 - 1085 5 TOTAL

Calcular e interpretar: a) La Media b) La Mediana c) La Moda d)

2. Los siguientes datos dan las cantidades gastadas (en nuevos soles) en alimentacin de una muestra de familia.

22.7 7.6 29.5 15.19 31.9 19.9 26.6 16.2 27.9 23.2 24.6 30.9 5.0 32.1 4.0 47.4 24.0 17.0 15.1 18.8 29.9 34.2 43.4 57.0 12.3 33.7 27.1 36.3 25.0 17.7 27.9 20.5 32.5 27.8 42.9 18.1 32.0 29.7 19.2 10.0 30.3 23.5 11.6 29.4 33.5

Excelencia Acadmica

53

Calcular e interpretar: a) La Media b) La Mediana c) La Moda

3. De un total de 100 nmeros, 15 eran 4; 45 eran 5; 25 eran 6; 15 eran 7

Calcular:

a) La Media b) La Moda c) La Mediana

Excelencia Acadmica

54

MEDIDAS DE POSICIN O DE TENDENCIA CENTRAL (II)

Continuando con las medidas de tendencia central, en el presente fascculo se desarrolla otros tipos de promedios como la geomtrica y la armnica, luego complementaran con otras medidas como cuartiles, deciles y percentiles cuyos valores dividen a la distribucin en grupos de igual numero de trminos.

- Identifica y aplica los medios geomtricos y armnica. - Reconoce y calcula los conceptos de cuartil, decil y percentil.

1. Media Geomtrica El promedio geomtrico se usa cuando hay que promediar razones o proporciones. Asimismo, se aplica cuando en la serie interviene el factor tiempo, como sucede en el cmputo de intereses; en el clculo de nmeros ndices y en series que presentan una progresin geomtrica. La media geomtrica de una serie de n nmeros es la raz ensima del producto de dichos nmeros.

nnxxxxgX 321

Ejemplo: Hallar la media geomtrica de los nmeros 3, 9 y 27

9729

27933

3

gXgX

gX

Para simplificar los clculos es necesario aplicar logaritmos (recurdense que con logaritmos, la multiplicacin se transforma en suma y la raz en divisin).

Excelencia Acadmica

55

Media Geomtrica Serie Simple

n

xantigX

n

ii

1log

log Ejemplo: x: 2, 4, 6, 8, 10

ix ixlog 2 0.301034 0.60206 6 0.77815 8 0.90309 10 1.00000 Total 3.58433

21.571687.0log5

58433,3log

gXantigX

antigX

La Media Geomtrica serie Ponderada

n

fxantigX

n

iii

1)(log

log Ejemplo: En un examen de Psicologa, 6 alumnos obtuvieron un 3; 8 obtuvieron un 4; 13 un 5; 8 un 6; 5 un 7; 3 un 8 y 1 un 9. Hallar la media geomtrica.

Calificacin ix

Alumnos if ixlog ii fx )(log

3 6 0.47712 2.86272 4 8 0.60206 4.81648 5 13 0.69897 9.08661 6 8 0.77815 6.22520 7 5 0.84510 4.22550 8 3 0.90309 2.70927 9 1 0.95424 0.95424

Total 44 30.88002

Excelencia Acadmica

56

570182.0log

4488002.30log

gXantigX

antigX

4.1 1. Las velocidades de 100 metros planos de 6 estudiantes de una clase son: 11.6; 12.4;

11.8; 13.5; 13.0; 12.8 segundos. Hallar la media geomtrica de las velocidades. 2. Cuatro grupos de estudiantes, formados por 2, 10, 12, 10 alumnos, registraron una

media de pesos de 65, 70, 75 y 80kg, respectivamente. Hallar la media geomtrica de los pesos de los estudiantes.

3. En una fbrica hay 50 empleados, 30 de los cuales son casados y 20 solteros. Si el

salario mensual de un empleado casado es de s/1200 y el de un soltero s/1000 Cul es la media geomtrica del salario de un empleado de la fbrica?

2. Media Armnica Es el reciproco del promedio aritmtico de los recprocos de los valores de la serie. Se utiliza para promediar velocidades y cuando los datos de la serie siguen una progresin armnica.

2.1. La Media Armnica Serie Simple

1

11

n

xaX

n

ii

Ejemplo: x: 2, 4, 6, 8, 10

ix 1ix

142.155142.1 1

aX

aX

2 0.500 4 0.250 6 0.167 8 0.125

Excelencia Acadmica

57

10 0.100 Total 1.142

2.2. La Media Armnica Serie Ponderada

1

11

n

fxaX

n

iii

Ejemplo

ix if 1ix ii fx 1 3 8 0.333 2.664 6 22 0.167 3.674 9 30 0.111 3.330

12 25 0.083 2.075 15 5 0.067 0.335

Total 90 12.078

45.7078.12

9090078.12 1

aX

aX

aX

4.2 Hallar la media armnica de los problemas de la actividad 4.1 3. Relaciones Entre los Promedios

El promedio aritmtico esta ms influenciado por los elementos grandes de la serie, que el promedio geomtrico y el promedio armnico. Los tres promedios quedan ordenados por su magnitud del siguiente modo.

aXgXx

Excelencia Acadmica

58

4. Cuartiles Los cuartiles, son tres valores que dividen la distribucin (ordenada en forma creciente) en cuatro grupos de igual nmero de trminos. El primer valor se denomina primer cuartil ( 1Q ) y los otros segundo cuartil ( 2Q ) y el tercer cuartil ( 3Q ). El segundo cuartil es igual a la mediana. O sea MeQ 2 Cuartiles Serie Simple

a) Primer Cuartil

41

1 nQ

n es el nmero de trminos

b) Segundo Cuartil

21

2 nQ

c) Tercer Cuartil

4)1(3

3 nQ

Ejemplo: x: 2, 5, 6, 8, 11, 14, 15, 17, 21, 24, 26

4111

1Q = 3 trmino de la serie

61 Q

2111


142 Q

4)111(3


213 Q

Excelencia Acadmica

59

Cuartiles Serie Ponderada

a) Primer Cuartil

k

k

f

Fn

aLiQ)1(1

14

b) Segundo Cuartil (Mediana)

k

k

f

Fn

aLiQ)1(1

22

c) Tercer Cuartil

fk

Fn

aLiQk

)1(1

34

3

Los pasos de solucin de los problemas de cuartiles, son iguales a los aplicados para obtener la mediana.

5. Deciles

Llmese deciles a 9 valores que se dividen la distribucin (ordenada en forma creciente) en 10 grupos de igual nmero de trminos.

Para Deciles de serie ponderada, la formula es:

k

k

d f

Fdn

aLiD)1(110

La solucin es igual a los pasos de la Mediana 6. Percentiles

Los percentiles son 99 valores que se dividen la distribucin (ordenada en forma creciente) en 100 grupos de igual numero de trminos. Para percentiles de serie ponderada la formula es:

Excelencia Acadmica

60

k

k

p f

Fpn

aLiP)1(1100

La solucin es igual a los pasos de la Mediana

7. Aplicacin de Cuartiles, Deciles y Percentiles Se tiene los sueldos mensuales de 60 empleados del departamento de ventas de una compaa de seguros, cuya Tabla de Frecuencia es:

Sueldo Mensual

(S/.) ix if )1(F

[ 319 - 369 [ 344 4 4 [ 369 - 419 [ 394 8 12 [ 419 - 469 [ 444 12 24 [ 469 - 519 [ 494 11 35 [ 519 - 569 [ 544 10 45 [ 569 - 619 [ 594 9 54 [ 619 - 669 ] 644 6 60 TOTAL 60

Halla:

a) Cuartil 1 b) Cuartil 3 c) Decil 3 d) Decil 8 e) Percentil 27 f) Percentil 83 g) Percentil 1

Solucin a) Cuartil 1

- Hallamos la clase cuartil 1

Excelencia Acadmica

61

15460

4 n

La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 15

1212

41950

)1(1

k

k

fFLia

solesNuevosQ

Q

f

Fn

aLiQk

k

50.43112

12460

50419

4

1

1

)1(1

1

b) Cuartil 3

- Hallamos la clase cuartil 3

454)60(3

43 n


103551950

)1(1

k

k

fFLia

solesnuevosQ

Q

fk

Fn

aLiQk

00.56910

354)60(3

50519

43

3

3

)1(1

3

c) Decil 3

- Hallamos la clase decil 3

1810)60(3

103 n

Excelencia Acadmica

62


121241950

)1(1

k

k

fFLia

solesNuevosD

D

f

Fn

aLiDk

k

d

00.44412

1210)60(3

50419

103

3

3

)1(1

d) Decil 8

- Hallamos la clase decil 8

4810)60(8

10 dn


94556950

)1(1

k

k

fFLia

solesNuevosD

D

f

Fdn

aLiDk

k

d

67.5859

4510)60(8

50569

10

8

8

)1(1

e) Percentil 27 - Hallamos la clase percentil 27

20.16100)60(27

100 pn

La clase se ubica en la frecuencia acumulada 24 por contener a 16.20

Excelencia Acadmica

63

121241950

)1(1

k

k

fFLia

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

50.43612

12100)60(27

50419

100

27

27

)1(1

f) Percentil 83 - Hallamos la clase percentil 83

80.49100)60(83

100 pn


94556950

)1(1

k

k

fFLia

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

67.5959

45100)60(83

50569

100

83

83

)1(1

g) Percentil 1 - Hallamos la clase percentil 1

60.0100)60(1

100 pn


4031950

)1(1

k

k

fFLia

Excelencia Acadmica

64

solesNuevosP

P

f

Fpn

aLiPk

k

p

50.3264

0100)60(1

50319

100

1

1

)1(1


En el siguiente fascculo estudiaremos las medidas de variabilidad o estadgrafos de dispersin, medidas de asimetra y de apuntamiento, sus conceptos, frmulas y solucin de problemas.

Excelencia Acadmica

65

N 4 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Dado la distribucin de frecuencia de alturas de 449 plantas en centmetros.

Clases if [ 45 - 50 [ 2 [ 50 - 55 [ 7 [ 55 - 60 [ 18 [ 60 - 65 [ 36 [ 65 - 70 [ 59 [ 70 - 75 [ 74 [ 75 - 80 [ 88 [ 80 - 85 [ 72 [ 85 - 90 [ 44 [ 90 - 95 [ 30 [ 95 - 100 [ 11 [ 100 - 105 [ 5 [ 105 - 110 ] 3 TOTAL 449

En forma hipottica calcular: a) Media geomtrica b) Media armnica c) Media aritmtica d) Cuartil 1 e) Cuartil 3 f) Decil 4 g) Decil 7 h) Percentil 2 i) Percentil 93 j) La Moda y Cuartil 2

if

Excelencia Acadmica

66

MEDIDAS DE DISPERSIN, ASIMETRA Y APUNTAMIENTO

Una de las caractersticas comn a todas las poblaciones es la variabilidad, dispersin o falta de uniformidad de datos de los individuos que constituyen las poblaciones. Para conocer el tipo de curva de una distribucin, es necesario calcular tres valores. El primero es la medida del grado en que los datos de la distribucin discrepan del valor central o promedio, esto se consigue con la determinacin de la Desviacin Estndar. El segundo valor es la medida del grado de asimetra de la distribucin, o sea la falta de equilibrio sobre el promedio aritmtico. El tercer valor es la medida de la Kurtosis o grado de concentracin en los valores centrales de la curva.

- Calcula varias medidas de dispersin para datos simples y agrupados. - Explica las caractersticas, uso de las medidas de dispersin. - Calcula y explica el uso del coeficiente de variacin. - Calcula, explica y determina los coeficientes de Asimetra y Apuntamiento. 1. Medidas de Dispersin o Variabilidad

Las medidas de dispersin dan idea de la separacin de los datos numricos alrededor de un valor medio (estadgrafos de posicin), mide el grado de concentracin o dispersin de los valores. Clases de Medidas de Dispersin que estudiaremos:

A. Dispersin Absoluta

a) Rango b) desviacin Media c) Varianza d) Desviacin estndar

B. Dispersin Relativa

Excelencia Acadmica

67

a) Coeficiente de Variacin b) Variable Estandarizada

2. Rango (R)

El rango o recorrido es la diferencia entre los valores extremos, mximo y mnimo. minmax XXR

Ejemplo: Hallar el rango de la siguiente serie de nmeros: 4, 5, 7, 9.9, 10, 12, 15

11415

RR

La dispersin de los datos ser mayor cuanto mayor sea el recorrido. El rango no es una buena medida de dispersin, puesto que basta con que un dato se aleje mucho de la media para que el rango resulte muy afectado, ya que nicamente depende de dos valores, sin que influyan para nada los datos restantes. 3. Desviacin Media (DM)

La desviacin media es una buena medida de dispersin. Desviacin Media Simple

n

xxDM

n

ii

1 (Valor Absoluto)

ix = elementos o la observacin x = media n = nmero de elementos Ejemplo: Hallar la desviacin media de las tallas 1.47; 1.58; 1.60; 1.62; 1.53 metros. Hallamos:

Excelencia Acadmica

68

56.15

53.162.160.158.147.1

x

x

metrosDM

DM

DM

DM

048.0524.0

503.006.004.002.009.0

503.006.004.002.009.0

556.153.156.162.156.160.156.158.156.147.1

Desviacin Media Ponderada

n

fxxDM

i

n

ii

1 Ejemplo:

KgpesoXi if ii fx xxi ii fxx 40 4 160 5.88 23.52 43 5 215 2.88 14.40 46 8 368 0.12 0.96 49 6 294 3.12 18.72 52 3 156 6.12 18.36

Total 26 1193 75.96 Hallamos: 1.

Kgx

n

fxx

n

iii

88.45261193

1

2.

Excelencia Acadmica

69

KgDM

DM

n

fxxDM

i

n

ii

92.226

96.751

4. Varianza

La varianza es la medida del cuadrado de la distancia promedio entre las media y cada elemento de la poblacin. Varianza Simple

a) Varianza de una Poblacin

N

xN

ii

12

2

b) Varianza de una Muestra

n

xxS

n

ii

12

2

Ejemplo: Calcular la varianza de 4, 5, 6, y 7.

nx

x i 5.54

224

7654 x

n

xxS

n

ii

12

2

Excelencia Acadmica

70

25.135

425.225.025.025.2

45.575.565.555.54

2

2

22222

S

S

S

Varianza Ponderada

a) Varianza de Una Poblacin

N

fxN

iii

12

2

b) Varianza de Una Muestra

301

30

1

2

2

1

2

2

nparan

fxxS

nparan

fxxS

n

iii

n

iii

Ejemplo:

Talla(mts) ix i

f ii fx xxi 2xxi ii fxx 2 1.52 3 4.56 -0.08 0.0064 0.0192 1.56 5 7.80 -0.04 0.0016 0.0080 1.60 9 14.40 0 0 0 1.64 6 9.84 0.04 0.0016 0.0096 1.68 4 6.72 0.08 0.0064 0.0256

Total 27 43.32 0.0624

Excelencia Acadmica

71

60.12732.431

n

fxx

n

iii

metrosS

S

nserporn

fxxS

n

iii

0024.0260624.0

1270624.0

301

2

2

1

2

2

5. Desviacin Estandar

Es la Raz cuadrada positiva de la varianza; una medida de la dispersin, expresada en las mismas unidades que los datos originales y no en las unidades cuadradas de la varianza. En general, la Desviacin Estndar es la raz cuadrada de la varianza.

2 para poblacin 2SS para muestra

Ejemplo: (de los ejemplos de la varianza)

12.125.12

SS

SS

Ejemplo:

metrosSS

SS

049.00024.02

Excelencia Acadmica

72

Las formulas de las Desviacin Estndar son iguales a la Varianza pero aplicndole la raz cuadrada. 6. Caractersticas de la Varianza y Desviacin Estandar

a) Son siempre un valor positivo. b) Son influenciado por todos los valores de la muestra o poblacin. c) Mayor influencia ejercen los valores extremos que los que estn prximo a los

promedios. d) Si en una distribucin normal se levanta una ordenada a uno y otro lado del

promedio a una distancia igual a la desviacin estndar.

%73.993%46.952%26.68

SxSxSx

El porcentaje de esos valores quedan incluidos dentro de estos lmites. e) La varianza y la desviacin estndar de una constante es cero. f) La desviacin estndar del producto de una constante por una variable, es igual al

producto de la constante tomada en valor absoluto por la desviacin estndar de la variable.

g) La varianza del producto de una constante por una variable, es igual al cuadrado de la constante por la varianza de las variables.

h) La desviacin estndar de la suma de una variable y una constante, es igual a la desviacin estndar de las variables.

i) La varianza de una funcin lineal, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

7. Coeficiente de Variacin (CV) Es una medida relativa de dispersin, semejante entre las distribuciones, que expresa la desviacin estndar en un porcentaje de la media.

100CV para poblacin

100xSCV para muestra

Excelencia Acadmica

73

Ejemplo: Si la desviacin estndar de la poblacin P es 5 y media poblacin es 40 el coeficiente de variacin es:

%5.1210040

5

CV

CV

8. Variable Estandarizada La variable estandarizada se calcula:

ii xZ para poblacin

SxxZ ii

para muestra Ejemplo: En un examen de Estadstica, la nota media fue de catorce y la desviacin estndar de 1.6. Determinar las variables estandarizadas para los valores o notas de X: 12, 17, 20, 13

ii xZ

25.16.12

6.11412

1 Z

87.16.13

6.11417

2 Z

7.36.16

6.11420

3 Z

625.06.11

6.11413

1 Z

La variable estandarizada se aplica en la probabilidad de la Distribucin Normal.

Excelencia Acadmica

74

5.1

1) Las ventas diarias (miles de dlares) de una tienda de artefactos elctricos es:

Ventas ix

Dias if Calcular:

a) Rango b) Desviacin Media c) Desviacin Estndar d) Varianza e) coeficiente de Variacin

[ 20 - 24 [ 9[ 24 - 28 [ 12[ 28 - 32 [ 8[ 32 - 36 [ 3[ 36 - 40 [ 3[ 40 - 44 ] 2TOTAL 37

2) Las estaturas de 12 estudiantes de una clase son: 165, 160, 164, 155, 160 y162 cm.

Calcular: a) Rango b) Desviacin Estndar c) Coeficiente de Variacin

9. Medida de Asimetra La medida o estadgrafo de asimetra indica el grado de deformacin de la curva de frecuencia, puede ser inclinada a la derecha o izquierda. La curva de frecuencia puede ser simtrica, caso determinado por la posicin de la media, mediana y moda (

MoMex ) Tipo de Medida de Asimetra.

a) Curva asimtrica positiva o con cola a la derecha, hay predominio de los valores menores.

if

(F

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75

f x

b) Curva asimtrica negativa o con cola a la izquierda, indica predominio de los valores mayores.

c) Curva simtrica o campana de GAUSS (curva terica de anlisis).

Coeficiente de Asimetra de PEARSON

a) En funcin de la moda.

SMoxAs 1

x = Media aritmtica

0102030405060708090

100

0 0.5 1 1.5

0102030405060708090

100

0 0.5 1 1.5

0102030405060708090

0 0.5 1 1.5

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76

Mo = Moda S = desviacin estandar

Resultados: - Si el valor es cero, la curva es simtrica. - Si el valor es igual a 1.0 , la curva es asimtrica moderada positiva o

negativa. - Si el valor es igual a 3.0 , la curva es asimtrica muy marcada positiva o

negativa. - Si el valor es igual a 1 , la curva es asimtrica mxima positiva o negativa.

Ejemplo: La media de los salarios es s/.109.50, la moda s/.108.30 y su desviacin estndar s/.4,00 calcular el coeficiente de asimetra

3.000.4

30.10850.109

1

1

As

As

Como el valor es positivo es una curva asimtrica positiva muy marcada. b) En Funcin de la Mediana

SMexAs )(32

x = Media aritmtica Me = Mediana S = desviacin estandar

Resultados: - Si el valor es igual a cero, la curva es simtrica. - Si el valor es mayor que cero, la curva es asimtrica positiva. - Si el valor es menor que cero, la curva es asimtrica negativa. Ejemplo: La media de los pesos de los trabajadores de una fabrica es de 68kg, la mediana 71kg y la desviacin estndar de 3.5kg. Calcular el coeficiente de asimetra.

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77

57.25.39

5.3)7168(3

2

2

As

As

Como el valor es menor que cero, la curva es asimtrica negativa. 10. Medida de Apuntamiento

La medida de apuntamiento o estadgrafo de Kurtosis es el grado de deformacin vertical de una curva de distribucin de frecuencia. Se analiza comparando la curva de distribucin con una curva normal o campana de Gauss. Tipos de Curvas de Distribucin

a) Leptokurticas (LK) Es cuando su elevacin es muy pronunciada o sea superior a la curva normal. Se presenta cuando la desviacin estndar de dicha distribucin es mnima.

b) Mesokurticas (MK) Es cuando la elevacin es la de una curva normal.

c) Platikurticas (PK) Es cuando la elevacin es inferior o queda por debajo de una curva normal, se presentan cuando la desviacin estndar de la distribucin es relativamente grande.

Coeficiente de Kurtosis

109013

2 PPQQK

3Q = Cuantil 3 3Q = Cuantil 1

90P = Percentil 90 10P = Percentil 10

Resultados El valor de K no pasa de 1 tampoco puede ser negativo.

020406080

100120140

0 0.5 1 1.5

LK

MK

PK

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78

Si K esta de cero a1/8 la curva es platikurtica Si K esta de 1/8 a 3/8 la curva es mesokurtica Si K esta de 3/8 a1/2 la curva es leptokurtica

Ejemplo: Se tienen las tallas de los estudiantes de la UPLA, cuyos cuartiles 1 y 3 son 1.575 y 1.725 metros, respectivamente, y los percentiles calculados son: 90P = 1.77m y 10P =1.53m Calcular el coeficiente de kurtosis.

3125.0

48.015.0

53.177.12575.17525.1

K

K

El valor se encuentra en intervalo de mesokurtosis

5.2

La inversin anual (miles de dlares) de un grupo de empresarios de Huancayo, fueron:

12 10 16 28 32 18 40 14 16 27 13 19 38 18 13 32 22 31 10 37 18 15 24 14 23 36 42 14 27 28 21 3722 19 15 17 29 25

Determinar e interpretar.

a) Coeficiente de Kurtosis b) Coeficiente de Pearson

- Por la moda - Por la mediana

83 21 0 81 41

PK MK LK

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79


En el siguiente fascculo estudiaremos las relaciones que existen entre variables y los ajustes de curvas para poder inferenciar.

N 5 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. El consumo mensual de agua en m3 de 80 familias se tabul en una distribucin de frecuencias de 7 intervalos de amplitud iguales a 3, siendo la marca de clase del cuarto intervalo igual a 19. Si las frecuencias del primer y tercer intervalo son iguales al 5% y 15% del total respectivamente, y si la quinta frecuencia porcentual acumulada es 85% del total. Calcule e interprete: a) Rango. b) Desviacin Media. c) Varianza. d) Desviacin Estndar. e) Coeficiente de Variacin. f) Coeficiente de Asimetra de Pearson. g) Coeficiente de Kurtosis.

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80

CORRELACIN Y REGRESIN En el presente fascculo se estudiara el caso en el que tomar dos variables o caractersticas, una puede ser considerada como independiente y la otra como dependiente de la anterior. Por medio de la correlacin se puede estudiar la interrelacin entre dos caractersticas con el fin de medir el grado de asociacin que existe entre ellos. Con frecuencia se desea saber si las variaciones de una caracterstica provocan variaciones en la magnitud de otra caracterstica, esta se puede representar de acuerdo a su tendencia: lineal o parablica, finalmente, se estudiar la aplicacin de la ecuacin exponencial.

- Define, calcula e interpreta al coeficiente de correlacin. - Calcula, interpreta e infiere las tendencias de las variables o caractersticas. - Calcula e interpreta la aplicacin de la ecuacin exponencial.

1. Correlacin

Se llama correlacin entre las variables a la relacin que existe entre las variables de una distribucin bidimensional. Dependiendo de esta aproximacin de la nube de puntos a la recta de regresin, tendremos tres clases de correlacin. a) Correlacin Positiva

Es cuando al aumentar una variable, la otra tambin aumenta. La recta de regresin en este caso es una recta creciente.

0

50100150200250300

0 0.5 1 1.5

y

x

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81

b) Correlacin negativa Es cuando aumentan una de las variables, la otra disminuye. En este caso la recta de regresin es decreciente.

c) Correlacin Nula

Se da cuando no hay dependencia de ningn tipo entre las variables.

2. Coeficiente de Correlacin

Trata de determinar matemticamente la existencia de la relacin entre dos factores o fenmenos, averiguar si uno de ellos influye en el otro o si no hay ninguna relacin o dependencia entre un hecho y el otro. Ejemplo: Se trata de establecer si estn relacionados: - El alcoholismo y la criminalidad - El analfabetismo y el bajo ingreso. - La temperatura veraniega y enfermedades intestinales. - La edad y la presin arterial.

050

100150200250300

0 0.5 1 1.5

y

x

0

50

100

150

200

250

0 0.5 1 1.5

y

x

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82

2222

)(

yy

nx

x

nyx

xyr

Donde: r = Coeficiente correlacin x = Variable independiente y = Variable dependiente n = numero de datos Resultados: El coeficiente de correlacin vara de los valores 1 para la correlacin perfecta al valor cero, para ausencia absoluta de correlacin. Ejemplo: Hallar la correlacin entre los siguientes datos referentes a edades y presin sangunea de un grupo de mujeres.

n Edad x

Presin Sanguneay xy

2x 2y

1 56 147 8232 3136 21609 2 42 125 5250 1764 15625 3 72 160 11520 5184 25600 4 36 118 4248 1296 13924 5 63 149 9387 3969 22201 6 47 128 6016 2209 16384 7 55 150 8250 3025 22500 8 49 145 7105 2401 21025 9 38 115 4370 1444 13225

10 42 140 5880 1764 19600 11 68 152 10336 4624 23104 12 60 155 9300 3600 24025

Total 628 1684 89894 34416 238822 Aplicando la formula

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83

12168423882212

6283441612168462889894

22

r

25017.15501765r

896.0r

Interpretacin: existe una fuerte relacin entre la edad y la presin sangunea por que 0.896 esta cerca de 1

6.1 Experimentalmente se han encontrado las siguientes cifras, durante el proceso de estudio del secado de cierta madera por el mtodo del vapor recalentado, el tiempo ha sido medido en medias horas.

Tiempo x

Contenido de humedady

0 50% 1 34% 2 24% 3 18% 4 14% 5 11%

Calcular e interpretar el coeficiente de correlacin. 3. Regresin

Proceso general de predecir una variable a partir de otra con medios estadsticos, usando datos anteriores.

Regresin Lineal Lnea ajustada a un conjunto de puntos de datos para estimar la relacin entre dos variables.

4. Series de Tendencia Rectilinea

bxay Ecuacin General

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84

y = variable dependiente x = variable independiente ayb = parmetros Para hallar los parmetros a y b, aplicamos:

xxxnxyxyn

b

nxby

a

2

Ejemplo: En el cuadro representa las ventas anuales el los aos indicados.

Aos 1998 1999 2000 2001 2002 2003 Venta (millones de soles) 4 6 8 10 12 14

Ao x

Ventas Anuales (millones de soles) y

1x xy 2x 1998 4 1 4 1 1999 6 2 12 4 2000 8 3 24 9 2001 10 4 40 16 2002 12 5 60 25 2003 14 6 84 36

54 21 224 91

- Los aos con la finalidad de reducir nmeros grandes se remplaza por la serie

correlativa de 1 al, siempre que los aos seas correlativo de 1 en 1. - Definir siempre, que variable es dependiente e independiente. - Graficar los datos, con la finalidad de determinar la tendencia de la serie. Para encontrar los parmetros a y b determinamos los componentes de las frmulas en el cuadro y luego planteamos la ecuacin general.

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85

2105210

44154611341344

)21(21)91(6)21(542246

b

b

b

26

126

42546

)21(254

a

a

a

Ecuacin general

xybxay22

Si uno desea proyectar las ventas, por ejemplo al 2005, se hace lo siguiente.

)8(222005 y Como se denota en el cuadro: Al 2001 le corresponde el 4 Al 2002 le corresponde el 5 Al 2003 le corresponde el 6 Al 2004 seria el 7 Al 2005 es el 8

18)8(222005 y Interpretacin: las ventas al 2005 seria de 18 millones de soles.

5. Serie de Tendencia Parablica

Si despus de graficar una serie estadstica en un plano coordenado y unir los diversos puntos, observamos que ha formado una figura parablica, la ecuacin de ajuste ser.

2cxbxay Ecuacin General Para hallar los parmetros aplicamos.

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86

224

22

2

2

xxxnyxyxn

c

xxy

b

nxcy

a

Ejemplo: Las paredes de un horno de una ladrillera varia de espesor y con el auxilio de un pirmetro se han encontrado las siguientes temperaturas.

Espesor de la pared

(dm) x Temperatura

(En centenar C) y

0 1.0 1 1.3 2 2.0 3 3.1 4 4.6 5 6.5

1. Graficamos

Es una parbola

2 Aplicamos la ecuacin 2cxbxay

3 Hallamos los parmetros a, b y c, a partir de los datos y componentes de las

ecuaciones.

01234567

0 0.5 1 1.51 2 3 4 5 6

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87

n Espesor x Temperatura

y xy 2x yx2 4x

1 0 1.0 0 0 0 02 1 1.3 1.3 1 1.3 13 2 2.0 4.0 4 8.0 164 3 3.1 9.3 9 27.9 815 4 4.6 18.4 16 73.6 2566 5 6.5 32.5 25 162.5 625

Total 15 18.5 65.5 55 273.3 979

224

22

xxxnyxyxn

c

)55(55)979(6)5.18(55)3.273(6

c

0.28493.622

0.30250.58745.10178.1639

c 22.0c

nxcy

a 2

6)55(22.05.18 a

64.6

61.125.18 a

1.1a

2x

xyb

555.65b

2.1b Luego

222.02.11.1 xxy

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88

Ahora si queremos saber cuanto seria la temperatura en una pared de 9dm.

72.2982.178.101.1

)9(22.0)9(2.11.1 2

yyy

Interpretacin: en un horno de 9 dm. De grosor de la pared, la temperatura se elevara

a 29.72 centenares de c

6.2

La densidad del agua d varia con la temperatura t (en grados centgrados), tal como se muestra en el cuadro.

t d Hallar e interpretar a) El coeficiente de correlacin. b) Cuanto seria la densidad del agua a una

temperatura de 30c

0 0.9998 5 0.9999 10 0.9997 15 0.9992 20 0.9983 25 0.9971

6. Aplicacin de la Ecuacin Exponencial

Caso Poblacin tot rPP 1

tP = poblacin final oP = poblacin ao base r = tasa de crecimiento medio poblacional t = nmero de periodos

Deduccin de Formulas

10 t t

PP

r

)1log(loglogrPPt ot

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89

La tasa de crecimiento medio r puede ser negativo, si una ciudad baja su poblacin.

Caso de Inters Compuesto niCM 1

M = Monto C = Capital i = Tasa de intereses n = numero de periodos

Ejemplo: La poblacin del departamento de Junn hipotticamente en 1983 fue 849300 habitantes y en 1998 fue de 1010700 habitantes. Cunto seria la poblacin en el 2005? 1 Hallamos la tasa de crecimiento medio.

8493001010700

1519831998

o

t

PPt

anualpromedioocrecimientderpormultiplicaser

r

PPr to

t

%17.1)100(0117.0

18493001010700

1

15

2 Proyectamos

0117.01010700

719982005

o

t

PPt

habitantes1096439

0117.0110107001

2005

72005

PP

rPP tot

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90

Luego, la poblacin crece a 1.17% promedio anual y en el 2005, Junn tendra 109643 habitantes.


En el siguiente fascculo iniciamos el estudio de la teora de la probabilidad, conceptos bsicos; anlisis combinatorio y diagrama de rbol.

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91

N 6 Nombre____________________________________________________ Apellidos______________________________Fecha _______________ Ciudad_______________________________Semestre______________ 1. Los gastos de publicidad de una empresa y las ventas efectuadas vienen dadas por la

siguiente tabla(los datos estn expresados en millones de nuevos soles). Publicidad 1 2 5 6 7 9 12 14 Venta 10 12 15 16 17 18 22 24

a) Obtenerla recta de regresin. b) Calcular e interpretar el coeficiente de correlacin. c) Calcular las ventas estimadas si se invierten 10 millones de nuevos soles en

publicidad.

2. Demostrar que la correlacin es perfecta entre el tiempo y el capital de s/1,00 impuesto a una tasa de inters del 6% anual a inters compuesto.

Ao 1 2 3 4 5 6 7 Monto a inters compuesto 1.00 1.060 1.124 1.191 1.262 1.338 1.419

3. La poblacin de Jauja hipotticamente fue de 42350 habitantes en 1993 y para el ao 2000 tuvo 38970 habitantes. a) Cunto ha sido su tasa de crecimiento medio anual? b) Cunto seria la poblacin en el ao 2006?

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92

PROBABILIDAD (I)

El propsito de este fascculo es determinar los modelos matemticos que permita descubrir concretamente las pruebas regidas por el azar y que proporcione un apoyo terico en el tratamiento de la Estadstica Inferencial. En esta primera parte nos orientaremos a la teora de la probabilidad, a los principales conceptos y al anlisis combinatorio.

- Define lo que es probabilidad. - Explica los trminos experimento, espacio muestral y evento. - Maneja los principios de probabilidad. - Cuenta el nmero de subconjunto que se puede armar a partir de un conjunto. - Analiza y calcula problemas de permutacin, variacin y combinacin. 1. Introduccin a la Teora de la Probabilidad

Jacob Bernoulli, Abraham de Moure, Thomas Bayes y Joseph Lagrange inventaron frmulas y tcnicas de probabilidad. En el siglo XIX Pierre Simon, Marquis de Laplace, unific esas primeras ideas y formul la primera teora general de la probabilidad. La teora de la probabilidad fue aplicada con buenos resultados a las mesas de juegos y, lo que es ms importante para nuestro estudio con el tiempo, tambin se aplic a otros problemas socioeconmicos. La teora ma

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ESTADISTICA - Probabilidades