Estática de Corpos e Estruturas 2D

Mecânica TécnicaMecânica Técnica

Prof. João Pombo

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FormulárioFormulário

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Cálculo de Forças

Força Gravítica – Fg [N]

.gF = m g m [kg] – Massa do Corpog [m/s2] – Aceleração da Gravidade

Força de Atrito – Fa [N]

.a nF = R – Coeficiente de AtritoRn [N] – Reacção Normal

Força de uma Mola F [N] Força de uma Mola – Fk [N]

.kF = k k [N/m] – Rigidez linear da mola [m] Deformação da Mola

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[m] – Deformação da Mola

Cálculo de Forças

Força de Pressão – Fp [N]

pF = P . A P [Pa N/m2] – PressãoA [m2] – Área de acção da Força

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Cálculo de Momentos

Momento de Força em relação a um Ponto O – MO [N.m]

M = F br

F [N] – Força que provoca o Momento

br [m] – Braço da Força – Distância, OM = F . br [ ] ç ç

Medida na Perpendicular, do Ponto O à Linha de Acção da Força

FO

Mo

br

Mo

br

oFO

Mo

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br

Cálculo de Momentos

Momento de Força em relação a um Ponto O – MO [N.m]

1 F . br

o 2 2

M = ou F . br = F . cos α . bry

br1

FO

1

Mo

OMo Fx

FO

FFbr2

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Fy

Funções Trigonométricas

Seno

Cateto Opostosin = Hipotenusa

A Soma dos Ângulos

Coseno

A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo é 180o

Cateto Adjacentecos = Hipotenusa

Tangenteg

Cateto Oposto sin Tg = = Cateto Adjacente cos

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j

Funções Trigonométricas

Lei dos Cosenos – Válido para Triângulos

A

B

A

C

2 2 2C = A B 2 A B cos

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Funções Trigonométricas

Lei dos Senos – Válido para Triângulos

A

B

A

C

sin sin sin A B C sin sin sin = = A B C A B C = =

sin sin sin

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Diagrama de Corpo Livre (DCL)Diagrama de Corpo Livre (DCL)

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Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Quando se resolve um problema envolvendo o ilíb i d í id é i l idequilíbrio de um corpo rígido é essencial considerar

todas as forças que actuam sobre o corpo

Portanto, como primeiro passo na direcção da solução do problema, deve-se desenhar um DCL

No DCL mostra-se o corpo em estudo e todas as forças que actuam sobre ele – tanto as conhecidas como qaquelas a determinar

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Diagrama de Corpo Livre (DCL)

E

B C D

F1

A

F21 2

DCL 1DCL 2

C D RFB

A

E

RH E

DCL 2

FB

C D

F R

RH-DARV-E

RH-EFB

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F1 F2 RV-DB

Condições de Equilíbrio Estáticode um Corpo ou Estrutura

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Condições de Equilíbrio Estático

No plano (2D) um corpo ou estrutura solicitado por f / t t tá ilíb iforças e/ou momentos externos está em equilíbrio se verificar as três equações de equilíbrio estático:

xF = 0 yF = 0 OM = 0

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Condições de Equilíbrio Estático

Quanto ao nº de incógnitas e equações da estática di í i i t l ifidisponíveis, os sistemas classificam-se em:

Hipoestáticos: O nº de incógnitas é menor que o número de equações. Os sistemas são instáveis, i.e., só se mantêm em equilíbrio para determinadas solicitações externassolicitações externas.

Isostáticos: O nº de incógnitas é igual ao nº de õequações.

Hiperestáticos: O nº de incógnitas é maior que o nº de equações. Os sistemas possuem mais ligações que as que seriam necessárias para estarem em equilíbrio

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equilíbrio.

Exercícios de RevisãoExercícios de Revisão

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Revisões – Exercício 1

Calcular a Força Exercida pela Corda de modo a manterCalcular a Força Exercida pela Corda de modo a manter o Sistema em Equilíbrio

Coeficiente de Atrito Estático: Estático:

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Solução: T= m.g.(sin - .cos )

Revisões – Exercício 2

Calcular a Deformação da Mola após a Aplicação daCalcular a Deformação da Mola após a Aplicação da Carga m

m

k k

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Solução: = m . g / k

Revisões – Exercício 3

Calcular a massa do Carro para o sistema em EquilíbrioCalcular a massa do Carro para o sistema em Equilíbrio

mHmC = ? Dados:H

d1

C

d d1 = 0 5 m

mH = 80 kg

A2

1A1

d2d1 0.5 m

d2 = 3.0 m

P = F / A

S l ã 2885 k

A1 = 0.2 m2 A2 = 7.1 m2

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Solução: mC = 2885 kg

Revisões – Exercício 4

Calcular a Força Necessária para Elevar a MassaCalcular a Força Necessária para Elevar a Massa

Dados:F1

d1 = 1 0 m

m = 100 kgF2d1 1.0 m

d2 = 2.0 mO

F3

d3 = 2.0 mmO

S l ã

d1 d2 d3

F 245 3 N F 490 5 N F NProf. João Pombo MT – 01 – Estática de Corpos e Estruturas 2D 20

Solução: F1 245.3 N F2 490.5 N F3 = N

Revisões – Exercício 5

Calcular a Força Necessária para Elevar a MassaCalcular a Força Necessária para Elevar a Massa

Dados:

d1 = 1 0 m

m = 100 kgF1

F2d1 1.0 m

d2 = 4.0 mm O

1

= 60o

d1 d2

S l ã F 245 3 N F 283 2 N

1 2

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Solução: F1 245.3 N F2 283.2 N

Reacções nos Apoios de um

Elemento ou Estrutura

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Tipos Ligações ao Exterior – Apoios

Apoio Simples ou Móvel

RV RV

Condiciona um Grau de Liberdade O deslocamento vertical

Origina uma reacção Na direcção vertical

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Tipos Ligações ao Exterior – Apoios

Apoio Duplo ou Fixo

RV RH RV RH

Condiciona dois Graus de Liberdade Os deslocamentos vertical e horizontal

Origina duas reacções Nas direcções vertical e horizontal

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Tipos Ligações ao Exterior – Apoios

Encastramento

RV RH

MMR

Condiciona três Graus de Liberdade Os deslocamentos vertical e horizontal A rotação em torno do ponto de encastramento

Origina três reacções Nas direcções vertical e horizontal

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Um momento

Tipos de Ligações InternasTipos de Ligações Internas

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Tipos Ligações Internas

Rótula

T it f (f ) d i tTransmite esforços (forças) de uma viga para a outra.Não transmite momentos de uma viga para a outra.

Logo, o somatório dos momentos produzidos pelas forças aplicadas à direita ou à esquerda da rótula tem de ser nulode ser nulo.

Condiciona dois Graus de Liberdade Os deslocamentos vertical e horizontal

Origina duas forças Internas

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Nas direcções vertical e horizontal

Tipos Ligações Internas

Cabo

F

Condiciona 1 Grau de Liberdade (Apenas num Sentido) O deslocamento relativo na direcção do Cabo O deslocamento relativo na direcção do Cabo Apenas funciona para Esforços de Tracção

Origina uma Força de Reacção Na direcção do Cabo e em Tracção

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ç ç

Tipos Ligações Internas

Pino Deslizante

F

Condiciona um Grau de Liberdade O deslocamento relativo na direcção perpendicular à calha onde o pino desliza

Origina uma Força de Reacção Na direcção perpendicular à calha do pino

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Na direcção perpendicular à calha do pino

Tipos de Carregamentos num

Elemento ou Estrutura

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Cargas Concentradas

F FA B A

Considera-se que estas forças estão aplicadas num só ponto da estrutura

Na prática é impossível aplicar uma força num ponto, por isso considera-se que uma carga é concentrada quando a área de aplicação é muito pequena, quando comparada com as dimensões do corpo

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Cargas Distribuídas

FA( )

C

A(w)w

A B

Uma carga distribuída w pode ser substituída por uma carga concentrada F igual em intensidade à área A por baixo da curva de carga e passando pelo centróide C d t ádesta área.

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Cargas Distribuídas

Carga Uniformemente Distribuída

A B

p0 F

A B

L

A B A B

L/2 L/2

0F = p . L

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Cargas Distribuídas

Carga Distribuída em Triângulo

p0 F

L

A B A B

2L/3 L/3L 2L/3 L/3

0p . LF = 2

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Cargas Distribuídas

Carga Distribuída Trapezoidal

Fp2p1

A B

LL

A B

x L - xL

1 2p + p . LF =

21 2

1 2

p + 2 p Lx = . p + p 3

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Vigas GerberVigas Gerber

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Vigas Gerber

AB C

A

É um sistema estrutural com vários apoios, tornada isostática mediante um número adequado deisostática mediante um número adequado de articulações (Rótulas).

É um sistema constituído por várias vigasÉ um sistema constituído por várias vigas.Têm, geralmente, um único apoio fixo e vários apoios

móveismóveis.Estas vigas são muito utilizadas em pontes e estruturas

de grande porte devido à sua resistência e flexibilidade

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de grande porte devido à sua resistência e flexibilidade.

Vigas Gerber

AB C

A

AB C D

A forma mais simples de garantir a isostaticidade de uma viga Gerber é partir de uma viga simplesmente g p g papoiada e acrescentar-lhe uma rótula por cada apoio móvel introduzido.

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Vigas Gerber

Regras para Assegurar a Estabilidade Geométrica d Vi G bdas Vigas Gerber

Estabilidade:Estabilidade: Não devem existir mais de duas articulações (rótulas) entre dois apoios(rótulas) entre dois apoios,

Isostaticidade: Não devem existir mais de dois apoios entre duas articulações (rótulas).

Os vãos das extremidades não podem conter duas articulações

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articulações.

Vigas Gerber

Articulações ou Rótulas

Cada rótula introduzida no sistema, acrescenta uma equação às equações de equilíbrio estáticoequação às equações de equilíbrio estático.

Uma rótula transmite esforços (forças) de uma viga para ta outra.

Uma rótula não transmite momentos de uma viga para a g poutra. Logo, o somatório dos momentos produzidos pelas g , p pforças aplicadas à direita ou à esquerda da rótula tem de ser nulo.

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Vigas Gerber

Métodos Determinação das Reacções nos Apoios

Método 1: Baseia-se no facto das rótulas transmitirem apenas Baseia se no facto das rótulas transmitirem apenas esforços (forças). Este método consiste em suprimir as articulações, Este método consiste em suprimir as articulações, substituindo-as pelas forças de ligação correspondentes. A viga é divida por secções separadas pelas articulações.

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Vigas Gerber

Métodos Determinação das Reacções nos Apoios

Método 2: Baseia-se no facto de as rótulas não transmitirem Baseia se no facto de as rótulas não transmitirem momentos. Assim, o somatório dos momentos produzidos Assim, o somatório dos momentos produzidos pelas forças situadas à esquerda ou à direita da articulação tem de ser nulo. Neste método a viga é considerada como um todo.

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Estruturas TriarticuladasEstruturas Triarticuladas

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Estruturas Triarticuladas

São estruturas que possuem três articulações: duas deSão estruturas que possuem três articulações: duas de apoio e uma de transmissão.

Para a determinação da reacção nos apoios destasPara a determinação da reacção nos apoios destas estruturas podem utilizar-se os dois métodos referidos para as vigas Gerber.

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para as vigas Gerber.

Exercícios Reacções nos ApoiosExercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Exercícios – Reacções nos Apoios

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Estruturas e MecanismosEstruturas e Mecanismos

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Estruturas e Mecanismos

Estruturas e Mecanismos

São sistemas compostos por elementos submetidos à acção de várias forças e/ou momentosç ç

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Estruturas e Mecanismos

Estruturas

E ME

B C D

F

AB C D

F

A E t t ã bid t

F1 F2

As Estruturas são concebidas para suportar cargasSão, em geral, estacionárias e têm os seus movimentos

l t t t idProf. João Pombo MT – 01 – Estática de Corpos e Estruturas 2D 54

completamente constrangidos

Estruturas e Mecanismos

Mecanismos

FF

Os Mecanismos são concebidos para transmitir e modificar forças

Podem ser, ou não, estacionários

Tê ó iProf. João Pombo MT – 01 – Estática de Corpos e Estruturas 2D 55

Têm sempre partes móveis

EstruturasEstruturas

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Estruturas

Estrutura 1E

AB C D

F1 F2

Para analisar uma estrutura, primeiro considera-se a , pestrutura completa como um corpo rígido e escrevem-se as três equações de equilíbrio estático da estrutura

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inteira

Estruturas

DCL da Estrutura InteiraETE

AB C D RH-D

F1 F2 RV-D

Se a estrutura possuir três reacções, estas envolvem p ç ,apenas três incógnitas que podem ser determinadas a partir das equações de equilíbrio estático da estrutura

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inteira

Estruturas

Estrutura 2

E ME

AB C D

F1

A

F2

Se a estrutura possui reacções que envolvem mais do p ç qque três incógnitas, estas não podem ser completamente determinadas a partir das equações de

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equilíbrio estático da estrutura inteira

Estruturas

DCL da Estrutura Inteira

E ME

B C DRV-E

R

RH-E

F

AB C D

F R

RH-D

4 ReacçõesF1 F2 RV-D

4 Incógnitas

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3 Equações

Estruturas

Se Eq. Equilíbrio não são Suficientes obter Reacções

1) Faz-se o DCL da estrutura inteira1.1) Determinam-se as reacções que for possível

obter1.2) Escrevem-se as restantes equações de equilíbrio

táti d t t i t iestático da estrutura inteiraE ME

B C D

E

RV-ER

RH-E

AB C D RH-D

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F1 F2 RV-D

Estruturas

Se Eq. Equilíbrio não são Suficientes obter Reacções

2) Faz-se o DCL de cada um dos elementos da estrutura2.1) Aplicam-se as equações de equilíbrio estático a ) p ca se as equações de equ b o estát co a

cada elemento que constitui a estrutura2.2) Estas equações permitem obter as forças

F

) q ç p çinternas e também as restantes reacções

E ME

RRH-E

FB C D RH-D

FBA

RV-E FB

F1 F2 RV-D

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B

Estruturas

Se Eq. Equilíbrio não são Suficientes obter Reacções

3) Observações

3 1) É aconselhável estudar em primeiro lugar o DCL3.1) É aconselhável estudar em primeiro lugar o DCL da estrutura inteira a fim de minimizar o número de equações a resolver no passo 2)de equações a resolver no passo 2)

3.2) No passo 2) é conveniente começar pelo DCL dos elementos sujeitos a mais do que duas forçaselementos sujeitos a mais do que duas forças

3.3) Quando uma força externa está aplicada na articulação entre dois elementos, esta força só é considerada no DCL de um dos elementos

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Estruturas

Se Eq. Equilíbrio não são Suficientes obter Reacções

3) Observações

3 4) Quando dois elementos se ligam através de uma3.4) Quando dois elementos se ligam através de uma articulação, exercem um sobre o outro forças iguais, de sentido oposto e direcçãoiguais, de sentido oposto e direcção desconhecida

3 5) Quando dois elementos sujeitos a várias forças3.5) Quando dois elementos sujeitos a várias forças são ligados à mesma barra sujeita a duas forças, esta exerce sobre eles forças da mesmaesta exerce sobre eles forças da mesma intensidade, sentidos opostos, mas de direcção conhecida

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Exercícios EstruturasExercícios – Estruturas

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Exercícios – Estruturas

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Exercícios – Estruturas

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Exercícios – Estruturas

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MecanismosMecanismos

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Mecanismos

F

Para analisar um Mecanismo procede-se do mesmo

F

pmodo que para a análise de Estruturas, assim:

1) Separa-se o mecanismo nos seus elementos1) Separa se o mecanismo nos seus elementos constituintes

2) Faz se o DCL de cada um dos elementos2) Faz-se o DCL de cada um dos elementos

3) Aplicam-se as correspondentes equações de eq ilíbrio estático

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equilíbrio estático

Mecanismos

F

Para analisar um Mecanismo procede-se do mesmo

F

pmodo que para a análise de Estruturas, assim:

4) Estas equações permitem obter as forças de saída4) Estas equações permitem obter as forças de saída exercidas pelo mecanismo em função das forças de entrada nele aplicadas

5) As equações de equilíbrio estático permitem também obter as forças internas nas várias articulações

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ç ç

Exercícios MecanismosExercícios – Mecanismos

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Exercícios – Mecanismos

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Exercícios – Mecanismos

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Exercícios de RevisãoExercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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Exercícios de Revisão

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