BIOESTADSTICAEstimacin de parmetros poblacionalesFacultad de Ingeniera Ambiental - UNIMSc. Beatriz Castaeda S.

POBLACIONE1 E2 E3 E4 E5 . . . ENX1 X2 X3 X4 X5 . . . XNEstadstica DescriptivaE1 E2 E3 . . . EnX1 X2 X3 . . . XnEstadstica DescriptivaMUESTRAProbabilidadMuestreoInferenciaMuestreo

Inferencia EstadsticaProcedimiento que consiste en utilizar la informacin obtenida en las muestras para proyectarla hacia la poblacin o poblaciones de donde stas provienen.Mtodos:Estimacin de parmetrosPrueba de hiptesis

ESTIMACIONProceso mediante el cual usando datos de una muestra se obtienen medidas aproximadas de los parmetros poblacionales Estimacin puntualConsiste en proporcionar un nico valor como aproximacin del parmetro. Estimacin intervlicaConsiste en proporcionar un intervalo para el cual se tiene una probabilidad, llamada confianza, de que el valor del parmetro est incluido en l.

ESTIMACION PUNTUALPara obtener una estimacin puntual utilizamos una medida de la muestra a la cual se denomina estimador y tiene la caracterstica de tomar valores alrededor del parmetro que se desea estimarParmetro PoblacionalEstimador

Estimacin por intervaloConsiste en utilizar la informacin de la muestra para obtener los lmites Li, Ls tales que al estimar el parmetro , tengamoslo que equivale a que Para obtener los lmites utilizaremos el Mtodo Cantidad Pivotal para lo cual definimos la Funcin Cantidad PivotalA la probabilidad 1- se denomina confianza

Funcin Cantidad PivotalEs una funcin de la muestra y nicamente del parmetro que se desea estimar, que tiene distribucin conocida y no depende de parmetro alguno.Ejemplo: Sea X una poblacin Normal N(, 2); = 2Parmetro a estimar: Muestra n: x1, x2, .., xnEs funcin cantidad pivotal para , puesto que =2, valor conocido, la funcin slo est en funcin de la muestra y del parmetro

FUNCIN CANTIDAD PIVOTAL

ParmetroRequisitosFuncin Cantidad PivotalDistribucinVarianza 2 conocida-Todo n de poblacin Normal- n grande de cualquier poblacinNormalN(0,1)Varianza 2 desconocida- n grande (n 30) de cualquier poblacinNormalN(0,1)Varianza 2 desconocida- n 30 de poblacin Normalt(n -1)2La poblacin es normalPMuestra grande, poblacin finitaSi la poblacin es grande el factor de poblacin finita se aproxima a 1NormalN(0,1)P1 - P2Muestras grandes de poblaciones independientes NormalN(0,1)1- 2Varianzas 21, 22 conocidas-Todo n1, n2 de poblaciones normales- n1 30, n2 30 de cualquier poblacin NormalN(0,1)

Mtodo Cantidad pivotalSea el parmetro a estimar, deseamos obtener los lmites Li, Ls tales que1. Determinar Q, la funcin cantidad pivotal para 2. Del recorrido de Q obtenemos q1, q2 de manera que 3. Por equivalencias obtenemos4. Luego dada la equivalencia De esta manera Li, Ls es el intervalo de confianza 1- para Procedimiento

Intervalo de confianza para la media poblacional A) Si la varianza poblacional (2) es conocida Para todo tamao de muestra de poblacin normal o Para muestra grande (n 30) de cualquier poblacin La funcin cantidadPivotal para Luego los lmites son:

Intervalo de confianza para la media poblacional B) Si la varianza poblacional (2) es desconocida, para muestra grande (n 30)La funcin cantidadPivotal para es N(0,1)Luego los lmites son:

Intervalo de confianza para la media poblacional C) Si la varianza poblacional (2) es desconocida, para muestra pequea de poblacin normalDonde t1- es la cuantila 1- de la distribucin t-Studentcon n-1 grados de libertad (g.l.)La funcin cantidadPivotal para es t(n-1)Luego los lmites son:

ESTIMACION INTERVALICAPara una estimacin intervlica, usamos los datos de la muestra para obtener los lmites del intervalo de manera que tengamos una probabilidad (1-) de que el intervalo contiene al parmetro poblacional, as por ejemplo El 95% de todas las muestras tiene en este intervalo Al considerar la distribucin de la media muestral

ESTIMACION INTERVALICALuego para el 95% de las muestras el intervalo obtenido con lmitesincluir entre sus valores el valor de la media poblacional

Intervalo de confianza para la media poblacional En un experimento diseado para estimar el nmero promedio de latidos por minuto del corazn para cierta poblacin, se encontr que el nmero promedio de latidos por minuto de 49 personas fue de 90 con una desviacin estndar de 10. Obtenga un intervalo de 90% de confianza para estimar el nmero promedio de latidos por minuto.n =49 personas (muestra grande) Confianza: 1 - = 0.90 , entonces Z0.95 = 1.645

Intervalo de confianza para la media Una muestra de 16 nias de 10 aos de edad proporcion un peso medio de 35,8 kg. y una desviacin estndar de 6 kg. Suponiendo que la distribucin de los pesos es normal, encuentre un intervalo de confianza 90% para estimar el peso medio de las nias de 10 aos.n = 16 nias de 10 aos ; = 35,8 kg ; S = 6 kg L = 35.8 1.753 (6/16) = 35.8 2.63 kgSe desea estimar el peso medio de las nias de 10 aos ()

Error de muestreo y tamao de muestraerror de estimacin puntual precisin o mximo error de estimacin puntual con probabilidad o confianza (1- )Tamao de muestra1-

Tamao de muestra1.El administrador de un hospital desea estimar el peso de los bebs nacidos en su hospital, cun grande debe tomarse una muestra de los registros de nacimientos si el administrador desea que el error mximo sea de 100 gr. con una confianza de 99%?. La desviacin estndar de los pesos se ha estimado en 200 gr.2. El mantenimiento de cuentas de crdito puede resultar demasiado costoso si el promedio de compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un almacn, con 500 cuentas de crdito, desea estimar el promedio de la cantidad comprada por mes por sus clientes y acepta un error de no ms de $ 2,50 al 95% de confianza. cuntas cuentas debe seleccionar del archivo de la compaa, s la desviacin estndar de las compras se estima en $15

Estimacin intervlica para 2Para muestras de poblacin normal la funcin cantidad pivotalpara 2 es

Estimacin intervalica para la proporcin poblacional Pa) Para muestras grandes de poblacin grande o infinitab) Para muestras grandes de poblacin finita

Estimacin intervlica para PEn una muestra de 200 pacientes, con enfermedades pulmonares, tratados con cierto medicamento se obtuvo que el medicamento fue efectivo en 180 de ellos. Construya un intervalo de 95% de confianza para estimar la efectividad del medicamento. 2. Una muestra de tamao 400 seleccionada de entre los 2000 alumnos que haban consultado el servicio de salud de una universidad el ao pasado indic que 80 tenan enfermedad de naturaleza psicosomtica.Obtenga una estimacin intervlica con 95% de confianza para el porcentaje de alumnos que tenan enfermedad psicosomtica.Proporcione una estimacin, con 95% de confianza, para el nmero de alumnos que consultaron el servicio de salud y tenan enfermedad psicosomtica.

Error de muestreo y tamao de muestraerror de estimacin puntual PpP+EpeP-EEprecisin o mximo error de estimacin puntual con confianza (1- )Tamao de muestra

Tamao de muestraEl Director de un hospital desea saber que porcentaje de los pacientes dados de alta estn inconformes con los cuidados recibidos durante su hospitalizacin.

a. Cun grande debe ser la muestra si se piensa que aproximadamente el 25% de pacientes est inconforme y se desea tener una precisin del 5% al 95% de confianza?

b. Cun grande debe ser la muestra si se considera que el error mximo deseado es de 0.05 para una confianza del 95% y no se dispone de alguna otra informacin?

Intervalo de confianza para la diferencia de mediasa) Si las varianzas 12 y 22 son conocidas Para muestras grandesdonde

Intervalo de confianza para la diferencia de mediasb) Si las varianzas 12 y 22 son desconocidas Para muestras grandes (n1 >30 y n2 >30)donde

Intervalo de confianza para la diferencia de mediasc) Si las varianzas son desconocidas, pero semejantes (12 = 22), entonces para muestras pequeas de poblaciones normalest1- es la cuantila 1- de la distribucin t-Studentcon (n1 + n2 2) grados de libertaddonde

Intervalo de confianza para la diferencia de medias1. En grupo de investigadores del cncer de mama reuni los siguientes datos en cuanto al tamao de los tumores:Tipo de tumor n (cm) S(cm) A413.85 1.95 B362.80 1.70Construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dimensiones del promedio de estos dos tipos de tumor. Interprete.

Intervalo de confianza para la diferencia de medias2.Con el objeto de comparar dos programas de capacitacin de obreros en un trabajo de precisin, se incluyeron 20 obreros en un experimento. De stos, se tomaron 10 al azar y fueron entrenados con el mtodo 1, el resto fue capacitado con el mtodo 2. Despus de completar sus respectivos cursos de capacitacin, los obreros fueron sometidos a una prueba de tiempo y ejecucin que expresaba la velocidad en el tiempo (minutos) de ejecucin de dicho trabajo. De obtuvieron los siguientes datos: Mtodo 1: 15 20 11 23 16 2118 16 2724Mtodo 2: 2331 13 19 23 1728 26 2528

Intervalo de confianza para la diferencia de medias3.Ocho personas obesas se pusieron a dieta durante un mes. Se observ mediante anlisis clnicos la cantidad de triglicridos al comienzo y al final del mes.Persona : A B C D E F G HTriglicrido inicial: 310 295 287 305 270 323 277 299Triglicrido final : 263 251 249 259 233 267 242 265 Estime la reduccin de triglicridos, debido a la dieta. Utilice un intervalo de confianza del 95%. Interprete sus resultados. Qu suposiciones deben hacerse?

Intervalo de confianza para P1-P2Para muestras grandes (n1 30 y n2 30) dondeEn un estudio diseado para conocer los efectos secundarios de dos medicamentos, se encontr que de los 50 animales a los que se les dio el medicamento A, 11 de ellos mostraron efectos secundarios no deseables; mientras que de los 50 animales que recibieron el medicamento B slo 8 mostraron efectos secundarios no deseables. Obtenga un intervalo de confianza 0.95 para la diferencia entre las proporciones.

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