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Estructuras Algebraicas

Trabajo final

Anillos y Modulos semisimples - Modulos f.g. sobre un d.i.p.

Salvatore, Flavia A. - Olea, Marıa M.Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

8 de febrero de 2009

Resumen

Se comenzara haciendo un breve repaso de algunos conceptos que se ven en los primeros cur-sos de algebra. En la segunda seccion se daran definiciones y propiedades de algunos modulosbasicos, ası como tambien de los morfismos que existen entre ellos. A continuacion se intro-duciran las nociones de modulos proyectivos e inyectivos; luego de modulos y anillos artinianosy noetherianos enunciando los teoremas mas importantes sobre los mismos.En la quinta seccion se abordara el primero de los temas de este trabajo los modulos semisimplescaracterizandolos, dando algunos ejemplos y resolviendo ejercicios relacionados con ellos.Por ultimo se definiran diferentes tipos de dominios existentes dando ejemplos y teoremas de losmismos; y luego de varios teoremas, sobre algunos de los modulos citados en la segunda seccionque seran de utilidad, se hara una caracterizacion de los modulos finitamente generados sobreun dominio de ideales principales.

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Estructuras Algebraicas Anillos y Modulos semisimples - Modulos f.g. sobre un d.i.p.

Indice

1. Preliminares 31.1. Monoides y Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Anillos e Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Modulos: Conceptos basicos 62.1. Modulos, Submodulos y Modulos Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2. Modulos finitamente generados y Modulos cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Modulo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. Morfismos de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Suma y producto de modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.6. Modulos libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3. Modulos proyetivos e inyectivos 143.1. Modulos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2. Modulos inyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Modulos noetherianos y artinianos 164.1. Modulos y anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2. Modulos y anillos artinianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5. Anillos y modulos semisimples 185.1. Modulos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Anillos semisimples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6. Modulos sobre un dominio principal 296.1. Dominios ıntegros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296.2. Modulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales . . . . . . . . 35

Departamento de Matematica - UNLP Hoja 2 de 49


1. Preliminares

1.1. Monoides y Grupos

Dado un conjunto M 6= ∅ y ∗ una operacion de M×M en M .

Definicion 1.1. El par (M, ∗) se denomina:

semigrupo si(i) para todo x, y, z ∈ M se verifica (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), asociatividad;

monoide si ademas(ii) existe e ∈ M tal que x ∗ e = e ∗ x = x para todo x ∈ M, existencia de elementoneutro.

grupo si cumple (i), (ii) y(iii) para todo x ∈ M, existe y ∈ M tal que x ∗ y = y ∗ x = e, existencia de opuesto.

grupo abeliano o conmutativo, si ademas se verifica(iv) para todo x, y ∈ M x ∗ y = y ∗ x, conmutatividad.

En (iii) a y se lo llama inverso de x. En general se lo anota x−1 o −x.

Observacion 1.2. Cuando ∗ haga referencia a un producto lo notaremos por · y cuando se refieraa una operacion aditiva lo notaremos por +.

1.2. Anillos e Ideales

Definicion 1.3. Un anillo es una terna (A,+, ·) que satisface:

(i) (A,+) es un grupo conmutativo,(ii) (A, ·) es un semigrupo,(iii) para todo a, b, c ∈ A,

(a+ b) · c = a · c + b · c ley distributiva a derecha yc · (a+ b) = c · a + c · b ley distributiva a izquierda.

Observacion 1.4. Notaremos 0 al neutro para + y 1 al elemento unidad para ·.

Definicion 1.5. Un anillo A se dice que es:

con unidad si 1 ∈ A;

de division si todo elemento distinto de 0 en A tiene inverso con respecto a ·;

conmutativo si la operacion · es conmutativa, es decir a · b = b · a para todo a, b ∈ A;

ıntegro si es conmutativo, 1 6= 0 y si para todo a, b ∈ A tales que a · b = 0 se tiene quea = 0 o b = 0.

Definicion 1.6. Sea A un anillo con unidad. Un elemento a ∈ A se llamara unidad, si existe unb ∈ A, tal que a · b = b · a = 1. Definimos entonces, el grupo de unidades de A como el conjunto



U(A)={ a ∈ A : ∃ b ∈ A, a · b = b · a = 1}.

Observacion 1.7. Todo anillo de division que sea conmutativo se llama cuerpo.

Definicion 1.8. Un subconjunto B ⊂ A se llama subanillo si:

(i) (B,+) es subgrupo;(ii) 1 ∈ B;(iii) si b1, b2 ∈ B, entonces b1 · b2 ∈ B.

Observacion 1.9. En tal caso B tambien es un anillo y las operaciones de B son las mismas quelas de A.

Ejemplo 1.10. El centro de un anillo A, C(A)={ a ∈ A: a · x = x · a ∀ x ∈ A}, es un subanillode A. �

Definicion 1.11. Un subgrupo (a, +) de un anillo A se dice:

ideal a izquierda si a · a ⊆ a para todo a ∈ A.

ideal a derecha si a · a ⊆ a para todo a ∈ A.

ideal o ideal bilatero si es a la vez ideal a derecha y a izquierda.

Observacion 1.12. Si A es conmutativo todo ideal es ideal a ambos lados.

Ejemplo 1.13. Sea A un anillo, {0} y A son ideales. �

Definicion 1.14. Si A es un anillo y a ∈ A, a = A · a (a ·A) es un ideal a la izquierda(respectivamente a la derecha), llamado ideal principal. Decimos que a es el generador de a(sobre A).Analogamente, A · a · A es ideal principal a ambos lados.

Definicion 1.15. Un anillo conmutativo tal que todo ideal es principal y 1 6= 0 se denomina anilloprincipal.

Definicion 1.16. Sea A un anillo, un ideal primo en A es un ideal p 6= A tal que A / p esdominio de integridad, es decir si para todo x, y ∈ A tales que x · y ∈ p implica x ∈ p o y ∈ p.

Definicion 1.17. Sea M un ideal, diremos que M es un ideal maximal si M 6= A y si no hayun ideal a 6= A que contenga a M y sea distinto de M.

Definicion 1.18. Un anillo se llama local si posee un unico ideal maximal.

Proposicion 1.19. Sea a 6= 0 un elemento de A y supongamos que el ideal principal 〈a〉 es primo,a es entonces irreducible.



1.3. Morfismos

Definicion 1.20. Sean (M, ∗) y (M ′, ∗′) monoides (o grupos). Una aplicacion f: M→M′ se denominamorfismo si, para todo m1, m2 ∈ M, cumple:

f(m1 ∗m2) = f(m1)∗′f(m2) y f(1M ) = 1M ′

siendo 1M el neutro de (M, ∗) y 1M ′ el de (M ′, ∗′).

Definicion 1.21. Sean (A,+, ·) y (A′,+′, ·′) anillos. Una aplicacion f: M→M′ se denomina mor-fismo de anillos si, para todo a1, a2 ∈ A, cumple:

f(a1 + a2) = f(a1) +′ f(a2) y f(1A) = 1A′

f(a1 · a2) = f(a1) ·′ f(a2) y f(1A) = 1A′.

Definicion 1.22. Un morfismo (de monoides, grupos o anillos) f: M→M′ se denomina:

monomorfismo si f es una aplicacion inyectiva.

epimorfismo si f es una aplicacion suryectiva.

isomorfismo si f es monomorfismo y epimorfismo.

endomorfismo si M = M′.

automorfismo si f es isomorfismo y M = M′.



2. Modulos: Conceptos basicos

2.1. Modulos, Submodulos y Modulos Simples

A lo largo de esta seccion A denotara un anillo.

Definicion 2.1. Un A-modulo a izquierda es un grupo abeliano aditivo M, junto con una funcionA×M→M tal que para todo a, b ∈ A y m, n ∈ M, se tiene:

(i) a · (m+ n) = a · m + a · n(ii) (a+ b) · m = a · m + b · m(iii) a · (b ·m) = (a · b) · m

Si M tiene el elemento identidad 1A y

(iv) 1A · m = m para todo m ∈ M, entonces M se dice que es un A-modulo unitario.

Si 0M es el elemento neutro de M y 0A el elemento neutro de A, se tiene que para todo a ∈ A,m ∈ M :

a · 0M = 0M y 0A · m = 0A

Tambien se verifica para todo a ∈ A, m ∈ M :

a · (-m) = -(a · m)

Observacion 2.2. Se puede definir un A-modulo a derecha, de manera similar a como se definio unA-modulo a izquierda.

Definicion 2.3. Sea M un A-modulo. N ⊂ M , N 6= ∅ es un submodulo de M si:

(i) N es un subgrupo aditivo de M,(ii) a · n ∈ N para todo a ∈ A y n ∈ N.

Definicion 2.4. Si un A-modulo M, tiene como submodulos solamente a {0} y a M, se dira eneste caso que es un modulo simple.

2.2. Modulos finitamente generados y Modulos cıclicos

Definicion 2.5. Sea X ⊂ M (M un A-modulo) entonces la interseccion de todos los submodulosde M que contienen a X, se llama submodulo generado por X.

Observacion 2.6. Si S es el submodulo generado por X, entonces S es el menor submodulo quecontiene a X.

Definicion 2.7. Dado un A-modulo M, cuando existan x1, x2, ..., xn ∈ M, llamados generadores,tales que M = 〈x1, x2, ..., xn〉, M se dira finitamente generado. Para el caso n = 1, se dira queM es un A-modulo cıclico.

Observacion 2.8. Los elementos de M seran de la forma: m =n∑

i=1ai · xi, con ai ∈ A y xi los

generadores de M , para todo i = 1, ..., n.



Toda vez que escribamos f.g. haremos referencia a finitamente generado.

Definicion 2.9. Un A-modulo M se dira finitamente cogenerado si posee alguna coleccion desubmodulos de M tal que su interseccion es {0}.

Observacion 2.10. Todo A-modulo M finitamente cogenerado tiene una subcoleccion finita cuyainterseccion es {0}.

2.3. Modulo cociente

Sea M un A-modulo. Las relaciones de equivalencias en M compatible con la estructura deA-modulo son las que satisfacen:

(i) m1 ∼ m′1 y m2 ∼ m′2 ⇒ m1 + m2 ∼ m′1 +m′2(ii) a ∈ A y m1 ∼ m′1 ⇒ a · m1 ∼ a ·m′1

Si ∼ es una relacion de equivalencia que satisface (i), entonces existe un subgrupo M ′ de M talque:

m1 ∼ m′1, si y solo si, m1 - m′1 ∈ M ′

Si ademas satisface (ii), se tiene que:

a ∈ A y m ∈ M ′ ⇔ a ∈ A y m ∼ 0⇒ a · m ∼ a · 0 ⇔ a · m ∈ M ′

de manera que M ′ es un submodulo de M .Reciprocamente, si M ′ es un submodulo de M , la relacion

m1 ∼ m′1, si y solo si, m1 - m′1 ∈ M ′

es una relacion de equivalencia con las estructuras de A-modulo.

Dado un submodulo M ′ de un modulo M y una relacion de equivalencia ∼ inducida por M ′

notaremos M/M ′ al conjunto cociente de M por ∼.

2.4. Morfismos de modulos

Definicion 2.11. Sean M Y M ′ dos A-modulos, una aplicacion f : M → M ′ se dice que es unmorfismo de modulos si cumple:

(i) es un morfismo de grupos, es decir, f(m1 +M m2) = f(m1) +M ′ f(m2) para todo m1 , m2 ∈ M.(ii) preserva operadores, es decir, f(a ·m) = a · f(m) para todo a ∈ A y todo m ∈ M.

Definicion 2.12. Un morfismo de A-modulos f: M→M′ se dira:

monomorfismo de A-modulos, si es una aplicacion inyectiva.

epimorfismo de A-modulos, si es una aplicacion suryectiva.

isomorfismo de A-modulos, si es una aplicacion biyectiva.



Definicion 2.13. Dado un morfismo de A-modulos f: M→M′ definimos:

Ker(f) = {m ∈ M: f(m) = 0}

Im(f) = {m′ ∈ M ′: m′ = f(m) para algun m ∈ M}

f−1(N ′) = {m ∈M : f(m) = n ∈ N ′}, siendo N ′ un submodulo de M ′.

Observacion 2.14. Si tenemos un morfismo de A-modulos f : M→M ′ y N ′ un submodulo de M ′

entonces:

(1) Ker(f) e Im(f) son submodulos de M Y M ′ respectivamente.(2) f−1(N ′) es un submodulo de M .

Teorema 2.15. Sea f: M→M ′ un morfismo de A-modulos

(i) f es un monomorfismo de A-modulos si y solo si Ker(f) = {0}.(ii) f es un isomorfismo de A-modulos si y solo si existe un g: M ′→M morfismo de A-modulos talque g ◦ f = IM y f ◦ g = IM ′.

Definicion 2.16. Sean M un A-modulo y N un submodulo de M. La aplicacion f: M → M/Ndefinida por f(m) = m para todo m ∈ M, se llamara morfismo canonico.

Proposicion 2.17. Sean M, M′, M′′ A-modulos y f: M → M′, g: M → M′′ morfismos. Entonces,la condicion necesaria y suficiente para que exista un morfismo h: M′′ → M′, tal que

Mf //

g

��

M ′

M ′′h

<<zzzzzzzz

f = h ◦ g, es que Ker(g) ⊂ Ker(f).El morfismo h que cumple con estas condiciones, es unico.

Corolario 2.18. Sean M, M′ A-modulos y sea N un submodulo de M; f: M → M′ un morfismoy p: M → M/N el morfismo canonico. Entonces existe un unico morfismo h: M/N → M′, tal quef = h ◦ p si y solo si N ⊂ Ker(f).(i) Si f es un epimorfismo, entonces h es un epimorfismo.(ii) h es un isomorfismo si y solo si, f es un epimorfismo y N = Ker(f).

Definicion 2.19. Sean M y N A-modulos definimos

HomA(M,N) = {f tales que f: M → N es morfismo}.

Sean M , M ′y M ′′ A-modulos y sean f : M ′→M y g: M→M ′′ morfismos de A-modulos.

Definicion 2.20. Se dice que la sucesion de modulos y morfismos

M ′f−→M

g−→M ′′



es exacta en M si Ker(g) = Im(f), es decir, para todo m ∈ M g(m) = 0 si y solo si, existem′ ∈ M′ tal que m = f(m′).

Definicion 2.21. Toda sucesion exacta del tipo

0→M ′f−→M

g−→M ′′ → 0

se llamara exacta corta.

Proposicion 2.22. Sean M un A-modulo, N un submodulo de M e i: N→ M el morfismo inclusion,entonces la sucesion

0→ Nf−→M

g−→M/N → 0

es exacta.

Definicion 2.23. Dos sucesiones exactas cortas son isomorfas si existe un diagrama conmutativode morfismos de modulos

0 // M ′1//

f��

M1

g

��

// M ′′1

h��

// 0

0 // M ′2// M2

// M ′′2// 0

tal que f, g y h son isomorfismos.

Teorema 2.24. Sea A un anillo y 0 → M ′f−→ M

g−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta corta demorfismos de A-modulos. Las siguientes condiciones son equivalentes:(i) Existe h: M” → M morfismo de A-modulos, tal que g ◦ h = IdM ′′.(ii) Existe k: M → M’ morfismo de A-modulos, tal que k ◦ f = IdM ′.(iii) La sucesion anterior es isomorfa (con los morfismos IdM ′′ y IdM ′) a la sucesion exacta corta0→ M ′

i−→ M ′ ⊕M ′′ p−→ M ′′ → 0 (siendo i la aplicacion inclusion y p la proyeccion sobre M”); enparticular M ∼= M ′ ⊕M ′′.

La sucesion exacta corta que cumple con las condiciones del teorema anterior se dice que separte, que es escindida, split o trivial.Siempre que exista h cumpliendo (i) se dira que g es una retraccion y cuando exista k cumpliendo(ii) se dira que f es una seccion.

Definicion 2.25. Sean M, M′ dos A-modulos, se entendera por extension de M por M′ a todasucesion exacta corta

0→Mf−→ X

g−→M ′ → 0

con X un A-modulo y f, g morfismos adecuados.



2.5. Suma y producto de modulos

Sea A un anillo con 1 6= 0, un M -modulo (a izquierda) unitario, es decir, 1 · m = m paratodo m ∈ M . Si {Mi}i∈I denota una familia de submodulos de M , I un conjunto de indices, seentendera que

∑i∈I

Mi es la totalidad de sumas en M y que m =∑i∈I

mi con mi ∈ Mi tal que mi = 0,

para casi todo i ∈ I, es un elemento de M .

Proposicion 2.26.∑i∈I

Mi es un submodulo de M.

Definicion 2.27.∑i∈I

Mi se denomina modulo suma de la familia {Mi}i∈I .

Ejemplo 2.28. Para todo A-modulo M , se tiene:

(i) M = {0} + M ;(ii) M = M + M ;(iii) M =

∑i∈I

Mi, si Mi = M para todo i ∈ I. �

Ejemplo 2.29. Sea M un A-modulo y sea X un subconjunto de M , X 6= ∅. Sea Pf (X) la familiade partes finitas de X. Si H ∈ Pf (X),

H = {h1, · · · , hr} para ciertos hi ∈ X, i = 1, · · · , r,

podemos formar el submodulo Mh de M generado por H.Si

MX =∑

H∈Pf (X)

MH ,

MX es un submodulo de M con las siguientes propiedades:

(i) X ⊂ MX .(ii) Sea M ′ un submodulo de M tal que X ⊂ M ′, entonces MX ⊂ M ′.MX se denomina submodulo de M generado por X. �

Definicion 2.30. Sea L =∑i∈I

Mi la suma de una familia {Mi}i∈I de submodulos de M. Diremos

que L es suma directa de {Mi}i∈I si se cumple la condicion:

0 =∑i∈I

mi con mi ∈ Mi si y solo si, mi = 0 para casi todo i ∈ I.

Proposicion 2.31. Sea L =∑i∈I

Mi. Las siguientes propiedades son equivalentes:

(i) L es suma directa de {Mi}i∈I .(ii) 0 =

∑i∈I

mi, mi ∈ Mi implica mi = 0 para todo i ∈ I.

(iii)∑i∈I

mi =∑i∈I

m′i implica mi = m′i para todo i ∈ I.

Cuando la suma de dos o mas modulos (o submodulos) sea directa, lo anotaremos con ⊕.



Definicion 2.32. Sea M un A-modulo y sea M′ un submodulo de M. Se dice que M′ es sumandodirecto de M si existe un submodulo M′′ de M tal que:

M = M′ ⊕ M′′

Ejemplo 2.33. Para todo modulo M ; M y {0} son sumandos directos. �

Sea I un conjunto de indices {Mi}i∈I una familia de A-modulos (a izquierda) y sea U =⋃i∈I

Mi

la union de la familia {Mi}i∈I .

Proposicion 2.34. Se llama funcion selectora de la familia {Mi}i∈I , o simplemente funcionselectora, a toda aplicacion

f: I→U

tal que para todo i ∈ I, fi = f(i) ∈ Mi.

Si f es una funcion selectora, se escribe tambien f = {fi}i∈I y notamos∏i∈I

Mi

a la totalidad de las funciones selectoras de la familia {Mi}i∈I .

Observacion 2.35. En el caso de que I sea finito, digamos I = {1, · · · , n}, escribiremos el productodirecto, ∏

i∈I

Mi =n∏

i=1Mi = M1 × · · · × Mn.

Observacion 2.36.∏i∈I

Mi 6= ∅, dado que f = {fi}i∈I , con fi = 0 para todo i ∈ I, es una funcion

selectora.

Observacion 2.37. Si f , g ∈∏i∈I

Mi, entonces f = g, si y solo si, fi = gi para todo i ∈ I.

Observacion 2.38. Si definimos:

(i) f + g = {fi + gi}i∈I

(ii) 0 = {fi}i∈I , con fi = 0 para todo i ∈ I(iii) −f = {−fi}i∈I ,

entonces∏i∈I

Mi se convierte en un grupo abeliano.

Proposicion 2.39. Sea a ∈ A, f ∈∏i∈I

Mi, si definimos a · f = {a · fi}i∈I , entonces∏i∈I

Mi es un

A-modulo a izquierda.

Definicion 2.40. Se llama producto directo de la familia {Mi}i∈I al conjunto∏i∈I

Mi con la

estructura de A-modulo definida anteriormente.



Consideremos para todo j ∈ I la aplicacion pj :∏i∈I

Mi→Mj definida por pj(f) = fj , que satisface:

(i) pj es suryectiva(ii) pj(f + g) = pj{fi + gi} = fj + gj = pj(f) + pj(g)(iii) pj(a · f) = pj{a · fi} = a · fj , para a ∈ A

es decir, pj es un epimorfismo.

Ahora, consideremos para todo j ∈ I la aplicacion ıj :Mj→∏i∈I

Mi definida por ıj(m) = f tal que

fi = 0 si i 6= j y fi = m si i = j; ıj es un monomorfismo que ademas satisface:

(i) pj · ıj = idMj

(ii) pi · ıj = 0 si i 6= j.

Definicion 2.41. Llamaremos:

a pj la proyeccion sobre Mj o tambien la proyeccion j-esima de∏i∈I

Mi.

a ıj la inclusion o inclusion canonica j-esima.

Ejemplo 2.42. Sea I = {1, · · · , n} y {Mi}i∈I una familia de modulos. El producto directo de Mi

consiste en todas las funciones que se pueden escribir como

f= (f1, · · · , fn), con fi ∈ Mi

llamadas n-uplas. Las operaciones de A-modulo en∏i∈I

Mi son

f + g = (f1 + g1, · · · , fn + gn)a · f = (a · f1, · · · , a · fn).

�

Sea {Mi}i∈I una familia de A-modulos y∏i∈I

Mi su producto directo. Sea S el subconjunto de∏i∈I

Mi que cumple

f ∈ S ⇔ fi = 0, para casi todo i en I.

Observacion 2.43. S 6= ∅ dado que 0 ∈ S.

Observacion 2.44. Si I es un conjunto finito entonces S =∏i∈I

Mi.

Observacion 2.45. S es un submodulo de∏i∈I

Mi, ya que:

si f , g ∈ S → f − g ∈ Sa ∈ A, f ∈ S → a · f ∈ S.

Definicion 2.46. Se llama suma directa o suma directa externa de la familia {Mi}i∈I alconjunto S con la estructura de A-modulo definida anteriormente.



Cuando la suma sea directa notaremos ⊕i∈I

Mi

y cuando I sea finiton⊕

i=1Mi.

Observacion 2.47. Si m ∈⊕i∈I

Mi, entonces m =∑i∈I

ıi(mi).

2.6. Modulos libres

Sea M un A-modulo a izquierda.

Definicion 2.48. Un subconjunto X ⊂ M, determinado por un conjunto de indices X = {xi}i∈I

con xi ∈ M, es una base de M como A-modulo o simplemente es una base de M si:

(i) X es un sistema de generadores de M, es decir para todo m ∈ M, existe {ai}i∈I con ai ∈ A, talque ai = 0 para casi todo i ∈ I y

m =∑i∈I

ai · xi

(ii) X es un conjunto A-linealmente independiente, es decir, si

0 =∑i∈I

ai · xi

con ai ∈ A y ai = 0 para casi todo i∈ I, entonces ai = 0 para todo i∈ I.

Observacion 2.49. (i) y (ii) equivalen a decir que A =⊕i∈I

〈xi〉

Definicion 2.50. Un A-modulo M se dice libre si posee una base, o bien si es igual a {0}.

Proposicion 2.51. Si L es un A-modulo libre entonces toda sucesion exacta corta de A-modulos

0→M ′g−→M

f−→M ′′ → 0

es split.

Corolario 2.52. Sea M un A-modulo:(i) Si N ⊆M es un submodulo con M/N libre, entonces M ∼= N ⊕ (M/N).(ii) Si L es un A-modulo libre y f : M → L es un epimorfismo, entonces M ∼= Ker(f)⊕ L.



3. Modulos proyetivos e inyectivos

3.1. Modulos proyectivos

Definicion 3.1. Sea A un anillo. Un modulo P se llama proyectivo si, dados un morfismof: P→M ′ y un epimorfismo g: M→M ′, existe un morfismo h: P→M tal que el siguiente diagrama:

P

f��

h

}}{{{{

{{{{

M g// M ′ // 0

conmuta.

Ejemplo 3.2. Los modulos libres son proyectivos. �

Proposicion 3.3. Todo A-modulo es proyectivo, si y solo si, existe un modulo M tal que P ⊕ Mes libre.

Proposicion 3.4. Si {Pi} i ∈ I es una familia de A-modulos, entonces⊕i∈I

Pi

es proyectivo, si y solo si, cada Pi es proyectivo.

Proposicion 3.5. Se verifica que:(i) Todo modulo M es parte de una sucesion exacta

0→ N → P →M → 0

donde P es proyectivo.(ii) Un modulo P es proyectivo, si y solo si, toda sucesion exacta

0→M ′ →M → P → 0

se parte.

3.2. Modulos inyectivos

Definicion 3.6. Sea A un anillo. Un modulo I se llama inyectivo si, dados un modulo N, unsubmodulo N′, dos morfismos f: N′→I y g: N′→N, existe un morfismo h: N→I tal que el siguientediagrama:

0 // N ′g //

f

��

N

h~~||||

||||

I

conmuta.

Proposicion 3.7. Un producto directo de A-modulos es inyectivo, si y solo si, cada factor delproducto es inyectivo.



Proposicion 3.8. Sea M un A-modulo. Supongamos que para todo ideal J a la izquierda de A,todo morfismo f: J → M puede extenderse a un morfismo de A en M. Entonces M es inyectivo.

Proposicion 3.9. Todo modulo es un submodulo de un modulo inyectivo.

Proposicion 3.10. Un modulo I es inyectivo si y solo si toda sucesion exacta

0→ I → N →M → 0

se parte.



4. Modulos noetherianos y artinianos

4.1. Modulos y anillos noetherianos

Sea A un anillo y M un A-modulo.

Definicion 4.1. Diremos que M es noetheriano si satisface alguna de las siguientes condiciones:

(i) todo submodulo de M es finitamente generado.(ii) toda sucesion creciente de submodulos de M

M1 ⊂M2 ⊂ ... ⊂Mn ⊂...

es estacionaria o finita, esto es, existe un n0 tal que para todo n ≥ n0, Mn=Mn0.(iii) todo conjunto S de submodulos de M tiene un elemento maximal, esto es, un submodulo M0

tal que para todo elemento N de S que contenga a M0 se tiene N = M0.

Observacion 4.2. De (i) se desprende que todo A-modulo noetheriano es finitamente generado.Pero no vale la reciproca, esto es, no todo A-modulo finitamente generado es noetheriano.

Proposicion 4.3. Sea M noetheriano. Todo submodulo y todo modulo cociente de M es noetheriano.

Proposicion 4.4. Sea M un modulo y N un submodulo. Si N y M/N son noetherianos, entoncesM tambien lo es.

Lema 4.5. Sea

0→M ′f−→M

g−→M ′′ → 0

una sucesion exacta corta de A-modulos. Entonces M es noetheriano, si y solo si, M ′ y M ′′ sonnoetherianos.

Corolario 4.6. Sea M un modulo, N y N ′ submodulos. Si M = N ⊕ N ′ y N, N ′ son noetherianos,entonces M es noetheriano.

Este ultimo resultado puede generalizarse diciendo que si M = N1⊕N2⊕...⊕Nn y Ni es noetherianopara todo i=1, ..., n, entoces se tiene que M es noetheriano.

Definicion 4.7. A un anillo A se lo llama anillo noetheriano si es noetheriano como modulo aizquierda sobre si mismo. Esto significa que todo ideal a la izquierda es finitamente generado.

Ejemplo 4.8. Todo anillo principal es noetheriano, ya que considerado como A-modulo, todos sussubmodulos son finitamente generados. �

Proposicion 4.9. Si A es un anillo noetheriano y M es un modulo finitamente generado entoncesM es finitamente generado.

Proposicion 4.10. Si A es un anillo noetheriano y ϕ: A→B es un epimorfismo de anillos, entoncesB es noetheriano.



4.2. Modulos y anillos artinianos

Sea A un anillo y M un A-modulo.

Definicion 4.11. Diremos que M es artiniano si satisface alguna de las siguientes condiciones:

(i) todo cociente M/N, siendo N un submodulo de M, es finitamente cogenerado.(ii) toda sucesion decreciente de submodulos de M

M1 ⊃M2 ⊃ ... ⊃Mn ⊃...

es estacionaria o finita.(iii) todo conjunto S de submodulos de M tiene un elemento minimal, esto es, un submodulo M0

tal que para todo elemento N de S que este contenido por M0 se tiene N = M0.

Definicion 4.12. A se dice anillo artiniano si es artiniano como modulo a izquierda sobre simismo. O equivalentemente, si toda sucesion decreciente de ideales a izquierda

A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃..., con Ai 6= Ai+1,

es estacionaria.



5. Anillos y modulos semisimples

A lo largo de esta seccion A sera un anillo.

5.1. Modulos semisimples

Recordemos que un modulo simple es aquel que tiene como submodulos solamente a {0} y a elmismo.

Observacion 5.1. Sea M un A-modulo. Todo submodulo propio N de M contiene un submodulosimple.

Definicion 5.2. Sea I un conjunto de ındices. Un A-modulo M se dice semisimple, si M =⊕i∈I

Mi

con Mi submodulos simples de M para todo i ∈ I.

Ejemplo 5.3. Todo modulo simple es semisimple. En particular el {0} es semisimple. �

Lema 5.4. Sea M =∑i∈I

Mi una suma (no necesariamente directa) de submodulos simples. Existe

un conjunto J ⊆ I tal que M =⊕j∈J

Mj.

Demostracion. Sea J un subconjunto maximal de I tal que la suma∑j∈J

Mj es directa. Tomemos

Mi con i ∈ I, si Mi ∩⊕j∈J

Mj = {0} contradice que J sea maximal, entonces esa interseccion es un

submodulo N de M no trivial contenido en Mi, pero al ser este simple resulta ser N = Mi ⊆⊕j∈J

Mj .

Luego, M =⊕j∈J

Mj . �

Proposicion 5.5. Sea M un A-modulo. M es semisimple si y solo si, todo submodulo de M es unsumando directo de M.

Demostracion.⇒ ) Supongamos que M es semisimple y tomemos N un submodulo propio de M . Como M es

semisimple, M =k⊕

i∈I

Mi con Mi modulos simples de M . Sea

S =

{J ⊆ I :

⊕j∈J

Mj ∩N = {0}

}.

Como N es propio, existe un i0 ∈ I tal que Mi0 * N , por lo tanto Mi0 ∩N = {0} ya que si tuvieranun elemento m 6= 0, m ∈ M en comun, A ·m ⊆ Mi0 y A ·m ⊆ N , pero Mi0 es simple entoncesMi0 = A · m ⊆ N , lo cual es absurdo pues Mi0 * N . Llamemos J0 al elemento maximal de S.Tenemos que

⊕j∈J0

Mj ∩ N = {0}, por lo que N esta en suma directa con los Mj con j ∈ J0. Es

claro que⊕

j∈J0

Mj ⊕N ⊂M .

Para ver que M ⊂⊕

j∈J0

Mj⊕N tomemos Mk con k ∈ I. Como Mk∩

(⊕j∈J0

Mj ⊕N

)es un submodulo



de M , debe ser igual a Mk pues es simple; si ocurriera que Mk ∩

(⊕j∈J0

Mj ⊕N

)= {0}, se tendrıa

que Mk ∩N = {0} con k /∈ J0 y ası, J0 no serıa maximal.Por lo anteriao resulta

M =⊕

j∈J0

Mj ⊕N ,

es decir N es un sumando directo de M.

⇐ ) Supongamos que todo submodulo de M es sumando directo de M . Sea I un conjunto deindices y N =

∑i∈I

Mi, la suma de todos los modulos simples de M . Por el lema anterior, existe un

J ⊆ I tal que N =⊕j∈J

Mj . Como N es un submodulo de M , por hipotesis, existe N ′ un submodulo

de M , de manera que M = N ⊕N ′ =⊕j∈J

Mj⊕ N ′. Debe ocurrir N ′ = {0}, ya que si no lo fuera,

este contendrıa un modulo simple que tambien serıa modulo simple de M , lo cual es absurdo puestodos los submodulos simples de M estan contenidos en N .Se tiene asi que M =

⊕j∈J

Mj con Mj modulos simples, por lo que M es un modulo semisimple. �

Corolario 5.6. Sea M un A-modulo semisimples y N un submodulo, entonces N y M/N son tambiensemisimples.

Demostracion. Sea N un submodulo de M y N0 a la suma de todos los submodulos simples deN . Como M es semisiple y N0 es un submodulo de M , existe N ′0 tal que M = N0 ⊕ N ′0. Ası, sitomamos n ∈ N (n ∈M), n = n0 + n′0 con n0 ∈ N0 y n′0 ∈ N ′0, entonces n′0 = n - n0 ∈ N . LuegoN = N0 ⊕ (N ′0 ∩ N). Ahora debe ocurrir (N ′0 ∩ N) = {0} o (N ′0 ∩ N) ⊇ S, siendo S un modulosimple, como lo segundo no puede ocurrir ya que todos los modulos simples contenidos en N seencuentran en N0, se tiene ası N = N0. Por lo tanto N es semisimple.Veamos ahora que M/N tambien es semisimple. Para ello escribamos a M = N⊕N ′ y consideremosla aplicacion canonica f : M → M/N . Sabemos por lo probado anteriormente que N y N ′ sonsubmodulos semisimples, como ademas N es el nucleo de f y f |N ′ es un isomorfismo de N ′ aM/N , entonces M/N es semisimple. �

Corolario 5.7. La suma directa de modulos semisimple es semisimple.

Demostracion. Sea I un conjunto de indices y sean Mi modulos semisimples para todo i ∈ I. Porser cada Mi semisimple Mi =

⊕ji∈Ji

Mji siendo Mji submodulos simples de Mi para todo i ∈ I (Ji

un conjunto de indices), luego M =⊕i∈I

Mi =⊕i∈I

( ⊕ji∈Ji

Mji

)=

⊕i∈I,ji∈Ji

Mji , con Mji submodulos

simples de M para todo ji ∈ Ji y todo i ∈ I.Por lo tanto M es semisimple. �

5.2. Anillos semisimples

Definicion 5.8. Un anillo A, se llama semisimple, si 1 ∈ A y si es semisimple como modulo ala izquierda sobre si mismo.



Proposicion 5.9. Un anillo A es semisimple si y solo si todo A-modulo no nulo es semisimple.

Demostracion.⇒ ) Sean A un anillo semisimple y M un A-modulo. Consideremos L =

⊕m∈M

Am siendo Am = A

para todo m ∈M . Por el corolario 5.7 L es semisimple ya que Am es semisimple para todo m ∈My por el corolario 5.6 L/A es semisimple. Definamos f : L→M dada por f(am) = m con am en Am,que es epimorfismo, ya que 0m ∈ Am y f(0m) = m para todo m ∈ M , cuyo nucleo es A0 (= A).Luego, tomando p: L → L/A y por el corolario 2.18 (ii), existe un unico f : L/A → M tal que elsiguiente diagrama

Lf //

p

��

M

L/Af

==zzzzzzzz

conmuta. Con lo cual M ∼= L/A y ası resulta semisimple.

⇐ )Sea A un anillo. Por hipotesis todo A-modulo es semisimple, en particular 〈1〉 = A · 1 = Aes semisimple. �

Proposicion 5.10. Un anillo A es semisimple si y solo si, todo A-modulo es proyectivo.

Demostracion.⇒ ) Supongamos primero que A es anillo semisimple. Sea M un A-modulo, sabemos que es

cociente de un A-modulo libre L tal que

0→M ′ → L→M ′′ → 0,

pero M ′ es sumando directo de L por ser A semisimple, es decir, L = M ′ ⊕M ′′ y entonces M ∼= M ′′.Ası pues, M resulta sumando directo de un modulo libre y, por consiguiente, M es proyectivo.

⇐ ) Supongamos ahora que todo modulo sobre el anillo A es proyectivo. En particular, todomodulo cociente de A es un A-modulo proyectivo. Sea I un ideal a izquierda de A, entonces lasucesion exacta

0→ I → A→ A/I → 0

de A-modulos determinada por el morfismo canonico A→ A/I es split. Por lo tanto, I es sumandodirecto de A y A es un anillo semisimple. �

Proposicion 5.11. A es semisimple si y solo si todo A-modulo libre es semisimple.

Demostracion.⇒ ) Como A es semisimple, por la proposicion 5.9 todo A-modulo es semisimple, en particular

todo modulo libre es semisimple.

⇐ ) Sea M un A-modulo.(i) Como en la proposicion anterior, existen un L modulo libre y un epimorfismo f : L → M talesque M ∼= L/Ker(f).



(ii) Como L/Ker(f) es un submodulo de L que, por hipotesis es semisimple, entonces existe un Nsubmodulo de L tal que L ∼= N ⊕ L/Ker(f).De (i) y (ii) L ∼= N ⊕ M , con lo que M es sumando directo de L y por la proposicion 3.4 esproyectivo. Luego, por la proposicion 5.10 resulta ser M un modulo semisimple. �

Proposicion 5.12. A es semisimple si y solo si toda extension de A-modulos es trivial.

Demostracion.⇒ ) Sean N y M dos A-modulos y 0 → N

f−→ Xg−→ M → 0 una extension de N por M .

Como A es semisimple, por la proposicion 5.10 M es proyectivo. Entonces, dado que g: X →M esepimorfismo, si consideramos IdM : M → M existe h: M → X tal que g ◦ h = IdM , con lo que laextension es trivial.

⇐ ) Sea M un A-modulo. Tomemos un A-modulo N cualquiera y una extension de N por M0→ N → X →M → 0. Por hipotesis, la extension anterior es trivial, ası por la proposicion 3.5 Mes proyectivo y de la proposicion 5.10, A es semisimple. �

Proposicion 5.13. A es semisimple si y solo si todo A-modulo es inyectivo.

Demostracion.⇒ ) Sea M un A-modulo. Consideremos N un A-modulo cualquiera y una extension de N por

M 0→ N → X →M → 0. Como por hipotesis A es semisimple, de la proposicion 5.12 la extensionanterior es trivial. Luego, por la proposicion 3.10 M es inyectivo.

⇐ ) Sea M un A-modulo inyectivo. Dado N un A-modulo cualquiera y cualquier extension0→ N → X → M → 0, de la proposicion 3.10 la extension es trivial, entonces como resultado dela proposicion 5.12 A es semisimple. �

Proposicion 5.14. A es semisimple si y solo si todo ideal a izquierda de A es inyectivo.

Demostracion.⇒ ) Como A es semisimple, de la proposicion anterior se sabe que todo A-modulo es inyectivo.

En particular, todo ideal a izquierda es inyectivo.

⇐ ) Sea I un ideal a izquierda. Por hipotesis I es inyectivo, entonces por la proposicion 3.10la sucesion exacta 0 → I → A → A/I → 0 se parte. Asi A ∼= I ⊕ A/I, con lo que I resulta sersumando directo de A. Por lo tanto A es semisimple. �

Proposicion 5.15. A es semisimple si y solo si todo cociente de A es proyectivo.

Demostracion.⇒ ) Sea I un ideal, veamos que A/I es proyectivo. Para ello consideremos la sucesion exacta

0 → I → A → A/I → 0. Por hipotesis A semisimple luego como resultado de la proposicion 5.12la sucesion se parte, se tiene entonces por la proposicion 3.5 que A/I es proyectivo.

⇐ ) Para ver que A es semisimple si todo cociente es proyectivo, consideremos I un idealcualquiera de A y nuevamente la sucesion 0 → I → A → A/I → 0. Por ser A/I proyectivo de laproposicion 3.5 la sucesion anterior se parte, con lo que A ∼= I⊕A/I, luego I es un sumando directoy ası resulta ser A semisimple. �



Proposicion 5.16. Si A es semisimple entonces A es artiniano y noetheriano.

Demostracion. Dado I un ideal de A, como A es semisimple por la proposicion 5.5 A ∼= I ⊕ A/I,luego I es cıclico y ası f.g. Por lo tanto A es noetheriano.Para ver que A es artiniano, consideremos la siguiente cadena descendente de ideales

I1 ⊃ I2 ⊃ I3 · · · .

Como I2 es un sumando directo de I1, entonces I1 ∼= I2 ⊕ C1. Pero tambien I3 es un sumandodirecto de I2, luego I2 ∼= I3 ⊕ C2, con lo cual, I1 ∼= I3 ⊕ C1 ⊕ C2.Ahora consideremos la siguiente cadena ascendente de ideales

C1 ⊂ (C1 ⊕ C2) ⊂ (C1 ⊕ C2 ⊕ C3) ⊂ · · ·

como A es noetheriano, existe un n0 tal que Cn = 0 para todo n ≥ n0 (la cadena ascendente se esta-ciona), lo que significa que In ∼= In+1 para todo n ≥ n0 y asi resulta ser A tambien artiniano. �

Ejercicio 1. Sean A1, · · · , Ar anillos semisimples entonces su producto directo A = A1 × · · · ×Ar

es tambien un anillo semisimple.

Como cada Ai para i = 1, · · · , r es anillo semisimple, a cada Ai se lo puede escribir como:

Ai = Ui1 ⊕ · · · ⊕ Uimi

donde cada Uij es un ideal minimal de Ai.Cada Ai es un ideal de R, Uij es tambien un ideal minimal de A. De

A = A1 ⊕ · · · ⊕Ar =⊕i,jUij

concluimos que A es anillo semisimple. �

Ejemplo 5.17. (Teorema de Maschke). Sea G un grupo finito, K un cuerpo tal que 1/ |G| ∈ Kentonces K[G] es un anillo semisimple.

Sea M un K[G]-modulo y S ⊆ M un submodulo. Para ver que K[G] es un anillo semisimple,veamos que S es un sumando directo.Como K es un cuerpo, existe una transformacion K-lineal p: M → S tal que p |S = IdS .Si p fuera K[G]-lineal, entonces S serıa un sumando directo y con esto, K[G] semisimple.Definimos ϕ: M → S dada por:

ϕ(x) := (1/ |G|) ·∑g∈G

g · p(g−1 · x)

Veamos que ϕ |S = IdS :



Sea s ∈ S, entonces tenemos

ϕ(s) = (1/ |G|) ·∑g∈G

g · p(g−1 · s)

= (1/ |G|) ·∑g∈G

g · (g−1 · s) pues p(g−1 · s) = g−1 · s

= (1/ |G|) ·∑g∈G

(g · g−1) · s

= (1/ |G|) ·∑g∈G

s

= (|G| / |G|) · s = s

Veamos ahora que es K[G]-lineal:Sean m ∈M y h ∈ G,

ϕ(h ·m) = (1/ |G|) ·∑g∈G

g · p(g−1 · h ·m)

= (1/ |G|) ·∑g∈G

h · g · p(g−1 ·m)

= h ·

(1/ |G|)∑g∈G

g · p(g−1 ·m)

= h · ϕ(m)

Por lo tanto K[G] es un anillo semisimple. �

Ejemplo 5.18. Sea D un anillo de division y A = M2(D). Definimos:

I1 :={(

a 0b 0

): a, b ∈ D

}I2 :=

{(0 a0 b

): a, b ∈ D

}(i) A ∼= I1 ⊕ I2 como A-modulos a izquierda.(ii) I1 es simple. Para ver esto, veamos que cualquier elemento de I1 genera a I1

Si(a 0b 0

)6= 0 entonces a 6= 0 o b 6= 0.

Supongamos que a 6= 0 entonces(a−1 00 0

)·(a 0b 0

)=(

1 00 0

)ademas:

(0 0a−1 0

)·(a 0b 0

)=(

0 01 0

)Luego,

(a 0b 0

)genera I1.

(iii) I2 es simple. Como hicimos en (ii), tomemos un elemento de I2 y veamos que lo genera.

Si(a 0b 0

)6= 0 entonces a 6= 0 o b 6= 0.



Supongamos que b 6= 0 entonces(

0 00 b−1

)·(

0 a0 b

)=(

0 00 1

)a su vez:

(0 b−1

0 0

)·(

0 a0 b

)=(

0 10 0

)con lo cual,

(0 a0 b

)genera I2

Por lo tanto, por (i), (ii) y (iii) podemos afirmar que M2(D) es semisimple.Mas generalmente, Mn(D) es semisimple para cualquier n ∈ N. �

Ejercicio 2. (Lema de Schur). Sean S y S′ dos A-modulos simples.(i) Si f : S →M es un morfismo no nulo, entonces f es un monomorfismo.(ii) Si g: M → S′ es un morfismo no nulo, entonces g es un epimorfismo.(iii) Todo morfismo no nulo h: S → S′ es un isomorfismo.En particular, EndA(S) es un anillo de division.

(i) Por ser f un morfismo no nulo, Ker(f) es un submodulo propio de S; y como ademas Ses un modulo simple resulta ser Ker(f) = {0}. Entonces f es monomorfismo.(ii) Como g es un morfismo no nulo Im(g) es un submodulo no nulo de S′; dado que S′ es unmodulo simple se tiene que Im(g) = S′. Con lo cual se ve que g es un epimorfismo.(iii) De (i) y (ii) podemos afirmar que h: S → S′ es un isomorfismo. �

Sean A un anillo y M un A-modulo.

Definicion 5.19. El radical r(M) es la interseccion de todos los submodulos maximos de M .

Ejemplo 5.20. Si M no tiene submodulos maximos entonces r(M) = M .Si M es f.g., se tiene que r(M) 6= M . �

Definicion 5.21. r(A) es el radical de A considerado como A-modulo izquierdo.

Ejercicio 3. Si A es semisimple entonces r(A) = {0}.

Consideremos a 6= 0 ∈ A, como A es semisimple A= A1⊕· · ·⊕An, siendo Ai ideales a izquierda mıni-mos, entonces a = a1+· · ·+an con ai ∈ Ai, podemos suponer que a1 6= 0. Luego, a /∈ A2 ⊕ · · · ⊕ An

que es un ideal maximo, entonces a /∈ r(A). Por lo tanto r(A) = {0} �

Proposicion 5.22. A es semisimple si y solo si es artiniano y r(A) = {0}.

Demostracion.⇒ ) Sea A semisimple, por la proposicion 5.16 A es artiniano y por el ejercicio 3 r(A) = {0}.

⇐ ) Veamos que todo ideal izquierdo I de A, es sumando directo de A.Sea J = { L ⊆ A, L ideal izquierdo de A tal que I+L = A}, A ∈ J dado que I+A = A, ası J 6= ∅.Ahora sea L0 un elemento minimal de J , existe ya que A es artiniano. Veamos que I∩L0 = ∅, para el-lo supongamos que I∩L0 6= ∅ y consideremos I0 ⊆ I∩L0 ideal a izquierda mınimo. Como r(A) = {0},existe un ideal izquierdo maximo M tal que I * M entonces A = I0 ⊕ M y L = I0 ⊕ (M ∩ L0).Llamemos L′ = M ∩ L, tenemos que L′ ⊂ L0. Luego, A = I + L0 = I + I0 + L′ = I + L′

lo cual es absurdo pues L0 es minimal de J .Ası, A = I ⊕ L0. �



Definicion 5.23. Sea M es un A-modulo:

si a ∈ A, el anulador de a es el ideal de A

an(a) = {a’ ∈ A tal que a’ · a = 0},

tambien notado Oa.

si X es un subconjunto de M, entonces el anulador de X, denotado por an(X) se definecomo:

an(X) = {a ∈ A : a · x = 0 para todo x ∈ X}.

Ejercicio 4. (Teorema) r(A) es un ideal bilatero de A.

Sea a ∈ r(A), veamos que a ∈ an(A/I) para todo ideal maximo I de A. Para ello sea u ∈ A/Iconsideremos el morfismo f : A→ A/I dado por f(a′) = a′ · u para todo a′ ∈ A. El nucleo de f esun ideal maximo J de A. Como a ∈ r(A), a ∈ J , entonces a · u = 0, es decir, a ∈ an(A/I).Tomemos ahora c ∈ A y sea c ∈ A/I la clase de c modulo I, por lo anterior a · c = 0, entoncesa · c ∈ I con lo que a · c ∈ r(A). Asi se ve que r(A) es ideal a izquierda.Si tomamos g: A → A/I dado por g(a′) = u · a′ para todo a′ ∈ A podemos ver de manera similara la anterior que r(A) es ideal a derecha.Con lo cual resulta ser r(A) un ideal bilatero. �

Corolario 5.24. Si A es artiniano entonces A/r(A) es semisimple.

Demostracion. Sea J = {I tal que I ⊆ A es ideal a izquierda maximo}, r(A) =⋂

I∈J

I. Como vimos

anteriormente r(A) es un ideal de A, luego A/r(A) es un anillo. Consideremos f : A → A/r(A) laaplicacion canonica. Si tomamos una cadena de submodulos de A/r(A)

N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ · · · ,

la preimagen de cada Ni es un submodulo de A, Mi para todo i ∈ N, que cumple

M1 ⊇M2 ⊇M3 ⊇ · · · ,

como A es artiniano existe un k ∈ N tal que para todo n ∈ N, n ≥ k, se tiene Mn = Mk, entoncesNn = f(Mn) = f(Mk) = Nk para todo n ∈ N, n ≥ k. Ası se ve que A/r(A) es artiniano.Veamos ahora que r(A/r(A)) = {0}.(i) Como Ker(f) es un ideal maximal, r(A) ⊆ Ker(f), entonces f(r(A)) ⊆ f(Ker(f)) = {0}.(ii) Dado que f(I) es un ideal maximal de A/r(A) para todo I ∈ J se tiene r(A/r(A)) ⊆

⋂I∈J

f(I).

(iii) Sea ahora r ∈⋂

I∈J

f(I) ⇒ r ∈ f(I), ∀ I ∈ J ⇒ r ∈ I, ∀ I ∈ J ⇒ r ∈⋂

I∈J

I = r(A) ⇒

⇒ f(r) = r ∈ f(r(A)). Con lo que⋂

I∈J

f(I) ⊆ f(r(A)).

De (i), (ii) y (iii)

r(A/r(A)) ⊆⋂

I∈J

f(I) ⊆ f(r(A)) ⊆ {0},

ası



r(A/r(A)) = {0}.

Dado que A/r(A) es artiniano y r(A/r(A)) = {0}, de la prposicion 5.22 concluimos que A essemisimple. �

Ejercicio 5. Demostrar que r(A/r(A)) = 0.

Resuelto en el Corolario 5.24. �

Ejercicio 6. Demostrar que r(A) = {a ∈ A : 1− x · a es inversible a izquierda para todo x}

Sea A = { a ∈ A tales que (1− x · a) es inversible para todo x ∈ A}. Veamos que r(A) = A.⊆ ) Sea a ∈ r(A). Por el absurdo supongamos que a /∈ A, esto es, existe un x ∈ A tal que

(1− x · a) no es inversible, entonces tenemos un ideal maximal M tal que (1− x · a) ∈M .Como a ∈ r(A), a ∈M y por ser M un ideal x · a ∈M .Por todo lo anterior tendriamos que (1− x · a) + x · a = 1 ∈M lo que es absurdo, pues contradicela maximalidad de M. Ası se tiene que si a ∈ r(A), (1− x · a) debe ser invertible para todo x ∈ Ay ası a ∈ A. Luego r(A) ⊆ A.

⊇ ) Por el contrarrecıproco, veamos que si a /∈ r(A), entonces a /∈ A.Sea a tal que a /∈ r(A), entonces existe un ideal maximal M de A tal que A = M + A · a. Luegopodemos escribir 1 = m + x · a para algun m ∈ M y algun x ∈ A, entonces 1 − x · a = m ∈ Mque no puede ser invertible porque contradice la maximalidad de M . Con lo que a /∈ A. Tenemosentonces que A ⊆ r(A).

Por lo tanto, r(A) = A. �

Ejercicio 7. Sea A un anillo. Probar que si a ∈ r(A) entonces, 1− a es una unidad de A.

Sea a ∈ r(A). Por el ejercicio anterior, existe un elemento y ∈ A tal que y · (1 − a) = 1,ası z = 1 − y = −y · a ∈ r(A) (por ser un ideal). De esto ultimo y nuevamente por el ejerci-cio anterior existe un y′ ∈ A tal que 1 = y′ · (1− z) = y′ · y, con lo que se tiene que y es una unidady que y′ = y−1 = (1− a). Por lo tanto (1− a) es una unidad. �

Definicion 5.25. Sea A un anillo. Un elemento e ∈ A, se dice que es idempotente si e · e = e.

Ejercicio 8. (Proposicion) Probar que si A es semisimple y L es un ideal a izquierda de A,entonces existe e ∈ A idempotente tal que L = A · e.

Sea L un ideal a izquierda de A, al ser A es semisimple existe L′ ideal a izquierda de A talque A = L⊕L′. Como 1 ∈ A, existen e ∈ L y e′ ∈ L′ tales que 1 = e+ e′. Luego, para todo x ∈ L,x = x · e+ x · e′ con x · e ∈ L y x · e′ ∈ L′; pero como x− x · e = x · e′ ∈ L se tiene que x · e′ ∈ L∩L′y ası resulta x · e′ = 0. Con esto e = e · e+ e · e′, siendo por lo visto anteriormente e · e′ = 0, y enconsecuencia e = e · eyL = L · e. Ademas, como A · e ⊂ L y L · e ⊂ A · e resulta L = A · e. �

Ejercicio 9. (Teorema) Sea M un A-modulo simple con A semisimple. Demostrar que M esisomorfo a un ideal de A.

Sea m 6= 0 un elemento del modulo M . Sean f : A→M un A-epimorfismo dado por f(a) = a ·m y



Ker(f) = I. Por ser A semisimple, el ideal izquierdo I es un sumando directo de A, entonces existeun ideal izquierdo J tal que A ∼= I⊕J . Ademas por la semisimplicidad de A tambien A ∼= I⊕A/I,siendo A/I un ideal simple (por la maximalidad de I). Por lo tanto J ∼= A/I ∼= M , quedandodemostrado el teorema. �

Ejercicio 10. Sean K un cuerpo y T2(K) ={(

a b0 c

)tal que a, b, c ∈ K

}. Calcular r(T2(K)) y

T2(K)/r(T2(K)).

Por el ejercicio 6,

r(T2(K)) = {M ∈ T2(K) tal que I2 −X ·M es invertible a izquierda para toda X ∈ T2(K)},

donde I2 es la matriz identidad de orden 2.

Sea X =(x1 x2

0 x3

)∈ T2(K), queremos una matriz M =

(a b0 c

)∈ T2(K) tal que I2−X ·M tenga

inversa a derecha (en este caso, pedimos que tenga inversa); para esto veamos bajo que condicionesdet(I2 −X ·M) 6= 0.

Dado que I2 −X ·M =(

1 00 1

)−(x1 x2

0 x3

)·(a b0 c

)=

=(

1 00 1

)−(x1 · a x1 · b+ x2 · c

0 x3 · c

)=(

1− x1 · a −(x1 · b+ x2 · c)0 1− x3 · c

),

entonces det(I2 −X ·M) = det

((1− x1 · a −(x1 · b+ x2 · c)

0 1− x3 · c

))= (1− x1 · a) · (1− x3 · c)

y para que esto sea no nulo, para todo x1, x3 ∈ K debe ocurrir que 0 = a = c.Por todo lo anterior se tiene que

r(T2(K)) ={(

0 b0 0

)tal que b ∈ K

}.

Sean ahora M,N ∈ T2(K) dadas por M =(m1 m2

0 m3

)y N =

(n1 n2

0 n3

). Se tiene la relacion de

equivalencia ∼ inducida por r(T2(K)) que esta dada por

M ∼ N ⇔M −N ∈ r(T2(K)),

es decir(m1 m2

0 m3

)−(n1 n2

0 n3

)=(

0 d0 0

)para algun d ∈ K, con lo cual deben ser m1 = n1 y

m3 = n3. Ası, en T2(K)/r(T2(K)) hay tantas clases como duplas (m1,m3) m1,m3 ∈ K, de lo queresulta T2(K)/r(T2(K)) ∼= K2. �

Ejercicio 11. ¿Para que n ∈ N es Zn un anillo semisimple?.

Todo grupo abeliano finito es suma directa de diversos Zp con p primo.Si p y q son primos distintos entonces

Zp ⊕ Zq∼= Zp·q

Ası, Zn puede descomponerse en grupos cıclicos de orden 1 siempre y cuando los primos no aparez-can mas de una vez en la factorizacion de n.



Si Zp ⊕ Zp fuera parte de la descomposicion, el grupo no serıa cıclico.Por lo tanto, Zn es semisimple si y solo si, n no tiene en su descomposicion prima elementosrepetidos. �

Ejercicio 12. Encontrar en Mn(A) una familia {e1, · · · , en} de elementos tales que ei · ej = 0 si

i 6= j, e2i = ei yn∑

i=1ei = 1Mn(A).

Sean

ei =

0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0...

. . . 1. . .

...0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0

con i = 1, · · · , n donde la unica unidad se encuentra en el (i, i)-esimo lugar.Los ei ası definidos cumplen con lo pedido:(i) ei · ej = 0 si i 6= j(ii) e2i = ei

(iii)n∑

i=1ei = e1 + e2 + · · ·+ en =

=

1 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0...

. . . 0. . .

...0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0

+

0 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...

. . . 0. . .

...0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0

+ · · · +

0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 0...

. . . 0. . .

...0 0 · · · 0 00 0 · · · 0 1

=

=

1 0 · · · 0 00 1 · · · 0 0...

. . . 1. . .

...0 0 · · · 1 00 0 · · · 0 1

= 1Mn(A)



6. Modulos sobre un dominio principal

6.1. Dominios ıntegros

Definicion 6.1. Un anillo con unidad, sin divisores de cero y conmutativo es llamado un dominioıntegro o dominio de integridad.

Ejemplo 6.2. El anillo Z de los numeros enteros posee unidad, es conmutativo para el productoy no posee divisores de cero, entonces es un dominio de integridad. �

Ejemplo 6.3. Si consideramos el anillo de las matrices ∈ Kn×n (K = N, Z, · · · ), no es un dominiode integridad pues el producto en general no es conmutativo. Ademas es posible encontrar divisoresde cero. �

Definicion 6.4. Sea D un dominio ıntegro. Un elemento d 6= 0 ∈ D que no es una unidad, sellama:

irreducible, si siempre que se pueda escribir d = d1 · d2, con d1, d2 ∈ D implica que d1 od2 es una unidad.

primo, si siempre que p | a · b implica p | a o p | b.

Definicion 6.5. Diremos que un dominio ıntegro D es un dominio euclideano si existe unafuncion v: D \ {0} → N0 llamada valuacion en D que satisface las siguientes dos propiedades:(i) para cada par a, b ∈ D, b 6= 0, existen (no necesariamente unicos) s, d ∈ D tales que

a = s · b+ r

donde r = 0 o bien v(r) < v(b). El valor r es llamado el resto de dividir a por b.(ii) para cada par a, b ∈ D \ {0}, se tiene que v(a) ≤ v(a · b). Abreviaremos d.e.

Ejemplo 6.6. Sean K un cuerpo y v: K \{0} → N0 tal que v ≡ 0.Dado que k ∈ K\{0} se puede escribir como:

k = k + 0 = k + (k · t - k · t) = k + k · t + (-k · t) = (k + k · t) + (-k · t) = k · (1 + t) + (-k · t)

y v(-k · t) = 0 pues v ≡ 0, se cumple entonces (i).Ademas como por definicion v(k) = 0 para todo k ∈ K y k · t ∈ K, se tiene v(k · t) = 0 = v(k),entonces (ii) se cumple.Por lo tanto se ve que K es un d.e. �

Ejemplo 6.7. Consideremos K[x] el anillo de los polinomios en la variable x con coeficientes en Kun cuerpo y v: K[x]\{0} → N0 definida por v(p) = gr(p), donde gr(p) indica el grado del polinomiop. Sean p, q ∈ K[x]\{0}.Sabemos que,• si gr(p) < gr(q) podemos escribir p = 0 · q + p y se cumple que v(p) ≤ v(q);• si gr(p) ≥ gr(q) existen c, r ∈ K[x] tales que p = c · q + r con r = 0 o gr(r) < gr(q) (en estecaso v(r) < v(q)).En ambos casos se cumplirıa (i).Como gr(p · q) = gr(p) + gr(q), se tiene gr(p · q) = gr(p) + gr(q) ≥ gr(p) por lo que (ii) se cumple.Tenemos entonces que K[x] es un d.e. �



Ejemplo 6.8. Sea

Z[i] = {z = z1 + z2i : z1, z2 ∈ Z}

el anillo de enteros Gaussianos y sea v: Z[i]\{0} → N0 dada por v(z1 + z2i) = z21 + z2

2 .Sean a,b ∈ Z[i] con b 6= 0, tales que a = a1 + a2i y b = b1 + b2i. Por propiedades de los numeros complejossabemos que:

a

b=a1 + a2i

b1 + b2i=

(a1 + a2i) · (b1 − b2i)b21 + b22

=(a1b1 + a2b2) + (a2b1 − a1b2)i

b21 + b22=a1b1 + a2b2b21 + b22

+(a2b1 − a1b2)

b21 + b22i

Llamemos x = Re(a/b) e y = Im(a/b). Sea q1 = [x] o q1 = [x]+1 el que cumpla |q1 − x| ≤ 1/2 ysea q2 = [y] o q1 = [y]+1 el que cumpla |q2 − y| ≤ 1/2. Ası

v(a/b− q) = (x− q1)2 + (y − q2)2 ≤ 1/2 < 1.

Luego si tomamos q = q1 + q2i se tiene

a = q · b+ (a− q · b)

con r = 0 o r = a− q · b que cumple v(r) = v(a− q · b) = v(a/b− q) · v(b) < v(b) (por lo probadoanteriormente). Ası, se verifica (i).

Tomemos ahora a, b ∈ Z[i]\{0} tales que a = a1 + a2i y b = b1 + b2i. Sabemos que,

(a1 + a2i) · (b1 + b2i) = (a1 · b1 - a2 · b2) + (a1 · b2 + b2 · b1)i

por lo quev(a · b) = v((a1 + a2i) · (b1 + b2i)) =v((a1 · b1 − a2 · b2) + (a1 · b2 + a2 · b1)i) = (a1 · b1 − a2 · b2)2 + (a1 · b2 + a2 · b1)2 =a2

1 · b21 + a22 · b22 - 2 · a1 · b1 · a2 · b2 + a2

1 · b22 + a22 · b21 + 2 · a1 · b2 · a2 · b1 =

a21 · b21 + a2

2 · b22 + a21 · b22 + a2

2 · b21 = a21 · (b21 + b22) + a2

2 · (b21 + b22) =(a2

1 + a22) · (b21 + b22) ≥ (a2

1 + a22) = v(a),

la desigualdad se da debido a que (b21 + b22) ≥ 1, por el hecho de que b ∈ Z[i]\{0} no puedepasar que b1 y b2 sean simultaneamente nulos, lo que implica que b21 ≥ 1 o b22 ≥ 1. Vemos ası quese satisface (ii).Como (i) y (ii) se cumplen, Z[i] es un d.e. �

Ejemplo 6.9. Tomemos p(x) = 3 · x y q(x) = 2 ∈ Z[x]. Como el unico polinomio que cumple que3 · x = c(x) · 2 es (por el Teorema de factorizacion unica) c(x) = (3/2) · x que no pertenece a Z[x],se ve que (i) no se cumple, con lo cual concluimos que Z[x] no es un d.e. �

Definicion 6.10. Un dominio ıntegro D se dice principal si todo ideal D de D es principal, estoes D = 〈d〉, para algun d en D. Lo anotaremos d.i.p..

Proposicion 6.11. Todo dominio euclideano D, es principal.

Demostracion. Tomemos un ideal I 6= {0} de D, queremos ver que este es principal. Consideremosel conjunto



v(I) = {v(x) : x ∈ I \ {0} ⊂ {0, 1, 2, 3, ...}}

y sea a ∈ I tal que v(a) = mın(v(I)); el cual existe al ser {0, 1, 2, 3, ...} discreto y bien ordenado.Podemos considerar el ideal principal generado por a, es decir 〈a〉, el cual esta contenido en I.Supongamos que podemos elegir x ∈ I \ 〈a〉. Sabemos que existen valores r, t ∈ D tales quex = t · a+ r, donde r = 0 o v(r) < v(a). Pero como x /∈ 〈a〉, r 6= 0. Ası, tenemos que r ∈ D es talque v(r) < v(a), pero r = (x− t) · a ∈ I, lo cual contradice la minimalidad de v(a).Luego, I = 〈a〉. �

Definicion 6.12. Un dominio ıntegro D es llamado un dominio de factorizacion unica (d.f.u.),si todo elemento a ∈ D \ {0} que no es invertible puede escribirse de manera unica como pro-ducto de elementos irreducibles, es decir, si a ∈ D \ {0} no es invertible, entonces existen irre-ducibles p1,..., pn ∈ D tales que a = p1... pn. Mas aun, si existe otra descomposicion en irreduciblesa = q1... qm, entonces n = m y pj = tj · qj, donde tj ∈ D son invertibles para todo j = 1,...,n.

Ejemplo 6.13. Sea A el anillo de numeros complejos, definido por:

A = {a + b ·√−5 tales que a, b ∈ Z}.

Para cada elemento x = a + b ·√−5 de A se define su norma mediante:

N(x) = (a + b ·√−5) · (a - b ·

√−5) = a2 + 5 · b2.

La norma ası definida satisface las propiedades:

(i) N(x) = 0 si y solo si, x = 0.(ii) N(x · y) = N(x) · N(y).

A es un dominio ıntegro y las unicas unidades de A son 1 y −1. En este anillo, un elementopuede tener 2 factorizaciones distintas como producto de elementos irreducibles. Por ejemplo:

6 = 3 · 2 = (1 +√−5) · (1 −

√−5)

3, 2, (1 +√−5) y (1 −

√−5) son irreducibles y no son asociados entre sı. Con esto, quedaria

probado que A no es un d.f.u.Comenzaremos por probar que 3 es irreducible. En efecto, si 3 = x · y para ciertos x, y en A setendra 9 = N(3) = N(x) · N(y).Luego, los posibles valores para N(x) son 1, 3 y 9.• Si N(x) = 1, entonces x es una unidad y estara probado que 3 es irreducible.• Si N(x) = 9 se demuestra que N(y) = 1 y, por lo tanto, y es una unidad, entonces tambien eneste caso estamos probando que 3 es irreducible.• Si N(x) = 3, tenemos una contradiccion. En efecto, tomando x = a + b ·

√−5 tendremos que

3 = N(x) = a2 + 5 · b2, lo cual no se puede resolver para a y b numeros enteros.De la misma forma se demuestra que 2 es irreducible.Para probar que 1 +

√−5 es irreducible, supongamos que 1 +

√−5 = x · y para ciertos x, y ∈ A,

entonces 6 = N(1 +√−5) = N(x) · N(y). Luego, las posibilidades para N(x) son 1, 2, 3 y 6.

• Si N(x) = 1 o 6, entonces x o y es una unidad.• Si N(x) = 2 o 3, tomemos x = a + b ·

√−5, entonces:

3 = N(x) = a2 + 5 · b2 o bien2 = N(x) = a2 + 5 · b2



lo cual es imposible para a y b enteros. Asi hemos probado que 1 +√−5 es irreducible.

La demostracion de que 1 −√−5 es irreducible, sigue los mismos pasos de la demostracion anterior.

Veamos ahora que ninguno de los elementos 2, 3, (1 +√−5), (1 −

√−5) son asociados. En efecto,

los elementos 2, 3 y (1 +√−5) tienen normas diferentes y por lo tanto, no puede haber asociados

entre ellos. Sin embargo, (1 +√−5) y (1 −

√−5) poseen la misma norma y debemos tratar este

caso aparte.Si existe una unidad u en A tal que

(1 +√−5) = u · (1 −

√−5)

se tendra:

1 +√−5 = 1 −

√−5 o 1 +

√−5 = −1 +

√−5

pues las unicas unidades de A son ± 1. Vemos que hemos llegado a una contradiccion.Por lo tanto, ninguno de los cuatro elementos dados, son asociados entre ellos. �

Ejercicio 13. (Proposicion) Si d es primo, entonces d es irreducible.

Supongamos que d es primo y que d = a · b entonces d | a · b y por ser primo d | a o d | b.• si suponemos que d | b, existe un c tal que b = d · c y ası d = a · (d · c) = d · (a · c) con lo cuala · c = 1, entonces a es inversible,• si suponemos que d | a, existe un c tal que a = d · c y ası d = (d · c) · b = d · (c · b) con lo cualc · b = 1, entonces b es inversible.Tenemos entonces que d es irreducible. �

Observacion 6.14. Si D es un dominio de factorizacion unica y d ∈ D es irreducible, entonces des primo.

Proposicion 6.15. Todo dominio de ideales principales es un d.f.u.

Demostracion. Sea D un d.i.p. y d ∈ D, d 6= 0 no inversible. Veamos que d se descompone enfinitos elementos irreducibles de D y que ademas esa descomposicion es unica salvo permutacionesy productos por invertibles.Para ver lo primero, sea d = d1 · d′1 donde d1 es irreducible y d′1 no lo es, entonces:

〈d〉 ( 〈d′1〉.

Escribamos d′1 = d2 · d′2 tal que d2 es irreducible y d′2 no lo es. Ası d = d1 · d2 · d′2 y

〈d〉 ( 〈d′1〉 ( 〈d′2〉.

Si para todo n ∈ N podemos escribir d = d1 · · · dn · d′n, donde di son irreducibles para todoi = 1, · · · , n y d′n no lo es, tendrıamos:

〈d〉 ( 〈d′1〉 ( 〈d′2〉 ( · · · ( 〈d′n〉 ( · · ·

una cadena infinita de ideales lo que es absurdo pues por ser D un d.i.p. es noetheriano. Luego,existe un n0 tal que d = ud ·d1 · · · dn0 , siendo ud una unidad y di irreducibles para todo i = 1, · · · , n0.Para ver que la descomposicion de d es unica supongamos ahora que d = p1 · · · pn y d = q1 · · · qm,siendo pi y qj no nulos e irreducibles para todo i = 1, · · · , n y para todo j = 1, · · · ,m, supongamosademas que n ≤ m. Entonces:



p1 · · · pn = q1 · · · qm.

Como q1 es irreducible y q1 | p1 · · · pn, q1 debe dividir a algun pi (i = 1, · · · , n). Supongamos queq1 | p1, entonces q1 = u1 · p1 siendo u1 una unidad en D, por ser q1 irreducible. Reemplazando q1,

p1 · p2 · · · pn = u1 · p1 · q2 · · · qm = p1 · u1 · q2 · · · qm

y por estar en un d.i.p.

p2 · · · pn = u1 · q2 · · · qm.

De lo anterior q2 | p2 · · · pn, entonces debe dividir a algun pi para i = 2, · · · , n y ası existe u2, unaunidad de D, tal que q2 = u2 · p2, con lo que

p2 · · · pn = u1 · u2 · p2 · q3 · · · qm = p2 · u1 · u2 · q3 · · · qm

y nuevamente, por estar en un d.i.p.

p3 · · · pn = u1 · u2 · q3 · · · qm.

Repitiendo el procedimiento, llegamos a que:

1 = u1 · · ·un · qn+1 · · · qm

ası, por ejemplo qm es invertible, lo que es absurdo. Luego, n = m y la factorizacion de d es unicasalvo asociados y permutaciones.Por lo tanto D es un d.f.u. �

Proposicion 6.16. Sea D un d.i.p. Si d ∈ D es primo, si y solo si, es irreducible.

Demostracion.⇒ )Idem al ejercicio 13.

⇐ )Supongamos que d | a·b y que d es irreducible, entonces existe un c ∈ D tal que a · b = d · c.Como D es un d.i.p. por la proposicion 6.15 D es un d.f.u. escribamos a a = ua · a1 · · · ar,b = ub · b1 · · · bs y c = uc · c1 · · · ct, siendo ua, ub, uc unidades y ai, bj , ck irreducibles, yası:

a · b = d · c⇔ ua · a1 · · · ar · ub · b1 · · · bs = d · uc · c1 · · · ct ⇔ ua · ub · a1 · · · ar · b1 · · · bs = uc · d · c1 · · · ct

y por la unicidad de la factorizacion d debe ser asociado a algun ai0 o bj0 entonces, ai0 = u′a · d obj0 = u′b · d para u′a, u

′b unidades en D, con lo que d | a o d | b.

Por lo tanto, d es primo. �

Definicion 6.17. Sea D un d.f.u. Un elemento d ∈ D es un maximo comun divisor (mcd) delos elementos a y b en D si d | a, d | b y ademas c | d para todo c ∈ D tal que c | a y c | b. Al mcdentre a y b lo notaremos d = (a, b).

Observacion 6.18. Sea D un dominio euclideano respecto a la valuacion v: D\{0} → N0. Entoncespara todo par p, q ∈ D \ {0}, existen a, b ∈ D tales que el (p, q) = a · p + b · q. En particular, si py q son coprimos, es decir (p, q)= 1, entonces existen a, b ∈ D tales que a · p + b · q = 1.

Teorema 6.19. (de Gauss) Si D es un d.f.u., entonces D[x] tambien es un d.f.u.



Demostracion. Sea K = {d/d′ tales que d, d′ ∈ D\{0}} ∪ {0}, entonces tenemos de manera naturalla inclusion D [x] ⊂ K[x]. Si P (x) in D [x], podemos escribir:

P (x) = d · P1(x)

donde P1(x) ∈D [x] tiene la propiedad de que sus coeficientes son relativamente primos y d ∈ D es elmaximo comun divisor de los coeficientes de P (x). ComoD es un d.f.u., tenemos una descomposicionunica:

d = p1 · p2 · · · pr

donde pj ∈ D son elementos irreducibles. Tambien tenemos una descomposicion unica en polinomiosirreducibles de K[x], digamos:

P1(x) = Q1(x) ·Q2(x) · · ·Qn(x)

donde Q1(x) · · ·Qn(x) ∈ K[x] son polinomios irreducibles. Ahora, cada polinomio Qj(x) puedeescribirse como:

Qj(x) = (aj/bj) · Tj(x)

donde Tj(x) ∈ D[x], de manera que los coeficientes de Tj(x) son relativamente primos. Es claro queTj(x) ∈ K [x] es irreducible (es un multiplo de Qj [x] por un invertible de K[x]).Luego, Tj(x) ∈ D[x] debe ser tambien irreducible en D[x]. Tenemos la igualdad:

P1(x) = [(a1 · · · an)/(b1 · · · bn)] · T1(x) · · ·Tn(x)

o de manera equivalente:

H(x) = b1 · · · bn · P1(x) = a1 · · · an · T1(x) · · ·Tn(x) = L(x)

Luego, un maximo comun divisor de los coeficientes del polinomio H(x) ∈ D[x] es b1 · · · bn ∈ D, yun maximo comun divisor del polinomio L(x) ∈ D[x] es a1 · · · an ∈ D. De esta manera tenemos laigualdad

a1 · · · an = b1 · · · bn · s

para cierto elemento invertible s ∈ D ya que D es dominio de factorizacion unica. Ası:

[(a1 · · · an)/(b1 · · · bn)] = s ∈ D

y en particular

P1(x) = s · T1(x) · · ·Tn(x)

con lo cual, finalmente tenemos la descomposicion en factores irreducibles en D[x]

P (x) = p1 · p2 · · · pr · s · · ·T1(x) · · ·Tn(x)

Con esto, verificamos la existencia de una factorizacion en irreducibles en D[x].Para ver la unicidad, consideremos dos factorizaciones en factores irreducibles de P (x):

P (x) = d1 · P1(x) · · ·Pm(x) y P (x) = d2 ·Q1(x) · · ·Qs(x)

de donded1 · P1(x) · · ·Pm(x) = d2 ·Q1(x) · · ·Qs(x) (1)

siendo d1 ∈ D y d2 ∈ D; Pi(x) ∈ D[x] y Qt(x) ∈ D[x] polinomios irreducibles en D[x] para todoi = 1, · · · ,m y todo t = 1, · · · , s. Supongamos que m ≤ s. De (1)



P1(x) | d2 ·Q1(x) · · ·Qs(x)

entonces

P1(x) | d2 ∨ P1(x) | Q1(x) ∨ P1(x) | Q2(x) ∨ · · · ∨ P1(x) | Qs(x)

pues P1(x) es un polinomio irreducible. Como P1(x) |/d2 tiene que pasar que P1(x) | Qt0(x) paraalgun t0, 1 ≤ t0 ≤ s. Tenemos que Qt0(x) tambien es polinomio irreducible, ası P1(x) = kt0 · Qt0(x)donde kt0 es una unidad de D. Supongamos que t0 = 1, entonces P1(x) = k1 ·Q1(x). Procediendoinductivamente nos queda que:

P2(x) = k2 ·Q2(x)...

Pm(x) = km ·Qm(x)

para ciertos k1, · · · , km unidades de K. Luego, reemplazando lo anterior en (1)

d1 · k1 · · · km = d2 ·Qm+1(x) · · ·Qs(x). (2)

Tenemos que d1 y d2 ∈ D[x] que es dominio ıntegro y que el grado del polinomio d1 · k1 · · · km

es cero, entonces para que se verifique (2) gr[d2 ·Qm+1(x) · · ·Qs(x)] tambien debe ser cero. Comoademas gr(d2) = 0 tenemos que gr[Qm+1(x) · · ·Qs(x)] = 0, con lo que Qm+1(x), · · · , Qs(x) ∈ D.Por lo tanto, m = s.Ahora, Pi(x) = ci · Qi(x) para alguna constante ci ∈ K y tenemos que ci = ai/bi con ai, bi ∈ D;de lo que se desprende que Pi(x) = (ai/bi) ·Qi(x). Con lo cual bi · Pi(x) = ai ·Qi(x). Sabemos quebi · Pi(x) tiene como factor a bi; de la misma manera, ai · Qi(x) tiene como factor a ai. Esto nosdice que ai y bi son elementos asociados y como ci = ai/bi tenemos que ci es una unidad en D.Entonces Pi(x) y Qi(x) son asociados en D[x].De esta manera, queda probada la unicidad de la factorizacion. �

Ejemplo 6.20. Z[x] es un d.f.u. pero no es principal. Si K es un cuerpo, K[x1, · · · , xn] es un d.f.u.,que no es principal a menos que n = 1. �

6.2. Modulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales

Recordemos que un modulo es libre si posee una base.

Proposicion 6.21. Sea M un D-modulo libre finitamente generado. Entonces dos bases de Mposeen el mismo numero de elementos.

Demostracion. Sean {e1, · · · , en} una base de M y H = HomD(M,Q), siendo Q el cuerpo decocientes de D. Consideremos q ∈ Q y f ∈ H, definiendo (q · f)(m) = q · f(m) para todo m ∈M ,q ·f ∈ H; de esta manera se le puede dar a H una estructura de Q-espacio vectorial. Sea fi : M → Qpara todo i = 1, · · · , n, definida por:(1) fi(ej) = 0 si i 6= j(2) fi(ej) = 1 si i = j.Veamos que {f1, · · · , fn} es una base de H.(i) Tomemos f ∈ H, entonces



f =n∑

i=1f(ei) · fi

dado que para todo j, j = 1, · · · , n, se tiene que (n∑

i=1f(ei) · fi)(ej) =

n∑i=1

f(ei) · fi(ej) = f(ej).

Con lo cual, {f1, · · · , fn} genera a H.(ii) Supongamos que

0 =n∑

i=1qi · fi

evaluando en ej tenemos que 0 = 0(ej) = (n∑

i=1qi ·fi)(ej) =

n∑i=1

qi ·fi(ej) = qj para todo j = 1, · · · , n

(siendo 0 ∈ H el morfismo nulo). Resultan ser entonces los fi linealmente independientes para todoi = 1, · · · , n.Concluimos ası que {f1, · · · , fn} es una base de H y que dim(H) = n.Como la dimension de un espacio vectorial es invariante, en este caso igual a n que era tambien elnumero de elementos de la base de M , se concluye que dos bases de M tienen el mismo numero deelementos. �

Definicion 6.22. Sea M un modulo libre finitamente y generado sobre un d.i.p D. Se llama rangode M al cardinal de la base de M si M 6= {0}. Lo notaremos rg(M). Si M = {0} se define rg(M) = 0.

Teorema 6.23. Sea M un D-modulo libre sobre un d.i.p. Entonces todo submodulo N de M tambienes libre y rg(N) ≤ rg(M).

Demostracion. La demostracion la haremos por induccion sobre n = rg(M).Si n = 0, es trivial.Supongamos verdadero que, para todo modulo libre de rango n − 1, todo submodulo tambien eslibre y de rango ≤ n− 1.Veamos ahora cuando el modulo libre tiene rango n. Tomemos M un modulo libre cuya base es{t1, t2, · · · , tn} y N un submodulo de M . Sea A = {a ∈ D tal que a · t1 + d2 · t2 + · · ·+ dn · tn ∈ N}.Como A es un ideal de D (d.i.p.), A = 〈d〉.• Si d = 0, todo elemento de N es de la forma d2 · t2 + · · · + dn · tn, entonces N es submodulo de〈t2, · · · , tn〉 que es libre de rango n− 1, con lo cual, N es libre de rango ≤ n− 1.• Si d 6= 0, sea x ∈ N tal que

x = d · t1 + d′2 · t2 + · · ·+ d′n · tn

y sea

y = d1 · t1 + d2 · t2 + · · ·+ dn · tn

un elemento cualquiera de N , de esto resulta que d1 ∈ A, con lo que existe s ∈ D tal que d1 = s · dy ası y = s · d · t1 + d2 · t2 + · · · + dn · tn. Consideremos z = y − s · x, z ∈ 〈t2, · · · , tn〉 pero comotambien z ∈ N , se tiene que z ∈ 〈t2, · · · , tn〉 ∩N = N ′.Como N ′ ⊂ 〈t2, · · · , tn〉, por hipotesis resulta ser libre y de rango ≤ n − 1. Supongamos en-tonces que {e2, · · · , em} es una base de N ′ siendo m ≤ n, ası existen r2, · · · , rm ∈ D tales quez = r2 · e2 + · · · + rm · em y resulta

y = s · x+ z = s · x+ r2 · e2 + · · ·+ rm · em.



Tenemos entonces que B = {x, e2, · · · , em} genera a N . Veamos que B es linealmente independiente,para ello supongamos que

0 = λ1 · x+m∑

i=2

λi · ei (3)

siendo λi elementos de D para todo i = 1, · · · ,m. Si reemplazamos x por d · t1 +d′2 · t2 + · · ·+d′n · tny a cada ei (i = 2, · · · ,m) por

n∑j=2

αij · tj (ya que ei ∈ 〈t2, · · · , tn〉), luego de algunas operaciones se

tiene

0 = λ1 · d · t1 +n∑

i=1βj · tj

para ciertos βj ∈ D(j = 2, · · · , n), pero como {t1, · · · , tn} es una base y d 6= 0 resulta ser λ1 = 0.La ecuacion (3) se transforma en

0 =m∑

i=2λi · ei

y como {e2, · · · , em} es una base de N ′ implica que λi = 0 para todo i = 2, · · · ,m.Por todo lo anterior, la ecuacion (3) se satisface si λi = 0 para todo i = 1, · · · ,m, resultando ser Blinealmente independiente. Tenemos entonces que B es una base para N .Por lo tanto N es libre y de rango m ≤ n. �

Observacion 6.24. Si M es un D-modulo libre finitamente generado y M ∼= M ′ ⊕M ′′ siendo M ′

y M ′′ submodulos de M , entonces rg(M) = rg(M ′) + rg(M ′′).

Teorema 6.25. Sea M un D-modulo libre con rg(M) = n, D un d.i.p. Sea S = {s1, · · · , sn} unconjunto de generadores de M, entonces S es una base para M.

Demostracion. Sean {e1, · · · , en} la base canonica de Dn y f : Dn →M un epimorfismo dado porf(ej) = sj para todo j = 1, · · · , n, como ademas M es libre del corolario 2.52(ii) se tiene:

Dn ∼= M ⊕K. (4)

Dado que K es un submodulo de Dn (que es libre de rango n), aplicando el teorema 6.23 K tambienes libre y rg(K) = k ≤ n. Luego por (4) y la observacion 6.24

n = rg(Dn) = rg(M) + rg(K) = n+ k

entonces se ve que rg(K) = k = 0, con lo cual resulta K = {0} y asi

Dn ∼= M .

Se tiene asi que f es un isomorfismo.

Sabemos que S genera a M entonces, para todo m ∈ M , m =n∑

i=1di · si siendo di ∈ D y si ∈ S

para todo i = 1, · · · , n. Sea

0M =n∑

i=1d′i · si

para ciertos d′i ∈ D con i = 1, · · · , n, entonces



0M =n∑

i=1d′i · f(ei)

pero como f es isomorfismo

0M = f(n∑

i=1d′i · ei)

siendon∑

i=1d′i · ei = 0Dn

luego d′i = 0 para todo i = 1, · · · , n debido a que {e1, · · · , en} es una base.Por lo tanto S resulta ser una base para M . �

Definicion 6.26. Sea M un modulo finitamente generado definimos µ(M) al numero mınimode generadores de M, esto es µ(M) ≤ card(S) para todo conjunto S de generadores de M, siendocard(S) el numero de elementos de S.

Corolario 6.27. Sea D un d.i.p., M un D-modulo finitamente generado y N un submodulo de M,entonces N es finitamente generado y µ(N) ≤ µ(M).

Demostracion. Sea SM = {v1, · · · , vn} un conjunto de generadores mınimo de M . Podemos tomar

L =n⊕

i=1Dvi un modulo libre, siendo Dvi = D para todo i = 1, · · · , n y {x1, · · · , xn} una base para

L. Consideremos el epimorfismo f : L → M dada por f(xi) = vi. Como N es un submodulo deM , entonces f−1(N) = L′ es un submodulo de L. Por consecuencia del teorema 6.23 L′ es librey rg(L′) = k ≤ n = rg(L), con lo cual existe {l1, · · · , lk} una base de L′. Tomemos un n ∈ N ,sabemos que existe d1 · l1 + · · · + dk · lk = l ∈ L′ (con dj ∈ D para todo j = 1, · · · , k), tal quef(l) = n; dado que f es un morfismo se tiene

n = f(l) = f(d1 · l1 + · · ·+ dk · lk) = d1 · f(l1) + · · ·+ dk · f(lk)

luego SN = {f(l1), · · · , f(lk)} resulta un conjunto de generadores para N . Se desprende de loanterior y de la definicion 6.26 que

µ(N) ≤ card(SN ) = k ≤ n = card(SM ) = µ(M).

Por lo tanto N es f.g. y µ(N) ≤ µ(M). �

Definicion 6.28. Sea D un d.i.p. y M un D-modulo. Un elemento m ∈ M se dice de torsion siexiste d ∈ D, d 6= 0, tal que d · m = 0.Sera ası t(M) = {m ∈ M : existe d 6= 0, d ∈ D tal que d · m = 0}, el submodulo de torsion deM.

Definicion 6.29. Un modulo M se dice sin torsion si t(M) = {0}. Se dice de torsion sit(M) = M.

Teorema 6.30. Si D es un d.i.p. y M es un D-modulo finitamente generado sin torsion, entoncesM es libre.



Demostracion. Supongamos que M es un modulo sin torsion y f.g. Sea S = {y1, · · · , ym} unconjunto dado de generadores de M . Tomemos S’ = {v1, · · · , vn} un subconjunto maximal de S talque sus elementos sean linealmente independientes.Si y ∈ S entonces existen d0, d1, · · · , dn ∈ D no todos nulos tales que

d0 · y + d1 · v1 + · · ·+ dn · vn = 0.

Supongamos que d0 = 0, en este caso serıan v1, · · · , vn linealmente dependientes y llegamos a unabsurdo. Resulta entonces d0 6= 0, con lo cual d0 · y ∈ 〈v1, · · · , vn〉. Ası, para cada j = 1, · · · ,mpodemos encontrar dj ∈ D, dj 6= 0, tal que dj · yj ∈ 〈v1, · · · , vn〉.Consideremos ahora el morfismo f : M → M dado por f(m) = d · m siendo d = d1 · · · dm,f es inyectivo ya que d · m = 0 implica m = 0 por ser M un modulo sin torsion. Luego,f(M) = d · M ⊂ 〈v1, · · · , vn〉 y por el teorema 6.23 f(M) es libre.Tenemos entonces que M ∼= f(M) = d · M (un modulo libre). Por lo tanto M es libre.

�

Teorema 6.31. Sea M un modulo sobre un dominio principal D. Existe entonces un modulo libreL, submodulo de M, tal que M ∼= t(M) ⊕ L.

Demostracion. Sabemos que t(M) es un submodulo de M . Consideremos el submodulo de M ,M/t(M) que es f.g. por el corolario 6.27. Veamos que M/t(M) es sin torsion; para ello consideremosm ∈ M y sea m su clase en el cociente. Tomemos d ∈ D no nulo tal que d · m = 0, entoncesd ·m ∈ t(M), por lo que existe un d′ ∈ D no nulo tal que d′ · d ·m = 0. Luego m ∈ t(M), con locual m = 0. Esto muestra que M/t(M) es un modulo sin torsion.Por lo probado anteriormente y como consecuencia del teorema 6.30 resulta ser M/t(M) un modulolibre.Tomemos ahora f : M → M/t(M), la proyeccion al cociente, que es un epimorfismo cuyo nucleoes t(M). Entonces por el corolario 2.52

M ∼= t(M)⊕M/t(M).

Por lo tanto podemos tomar L = M/t(M) y asi el teorema queda demostrado. �

Observacion 6.32. Para todo L′ submodulo de M tal que L′ ∼= M/t(M), se tiene

M ∼= t(M)⊕ L′.

Definicion 6.33. Sea M un D-modulo finitamente generado. Se llama rango de M, al rg(L) delmodulo L libre de la descomposicion del teorema anterior.

Lema 6.34. Sea D un d.i.p., si L es un D-modulo libre y M ⊆ L es un submodulo no nulo, entoncesexisten l ∈ L tal que l 6= 0, una f: L → D lineal y d 6= 0, d ∈ D tales que:

(i) f(M)=〈d〉 y f(l)=1.(ii) L = 〈l〉 ⊕ Ker(f).(iii) M = 〈d · l〉 ⊕ (Ker(f) ∩M).



Demostracion. Vamos a suponer que rg(L) = n ≥ 1.(i) Sea J = {I ⊆ D, ideal no nulo tal que I = f(M) para f ∈ HomD(L,D)}. Tomemos {l1, · · · , ln}una base de L, luego L =

n⊕i=1〈li〉. Consideremos pi: L→ D las proyecciones sobre D, como M es no

nulo, existe i0 tal que pi0(M) es no nulo, ası J 6= ∅. Al ser D un d.i.p. sabemos que es noetherianoentonces existe un I0 = f0(M) (para alguna f0 ∈ HomD(L,D)) elemento maximal de J y porser todo ideal principal I0 = D · d para algun d ∈ D. Como pi0(M) es no nulo para algun i0,f0(M) 6= {0} y d 6= 0. Si ocurriera f0(M) = {0} tendrıamos f0(M) ⊂ pi0(M) con lo cual no seriamaximo. Como d ∈ I0 = f0(M) entonces existe un m ∈M tal que f0(m) = d.Tomemos ahora una g ∈ HomD(L,D) cualquiera, veamos que d divide a g(m). Como D es und.i.p., sabemos que D es un d.f.u., entonces existen d = mcd (d, g(m)) y b, c ∈ D tales qued = b · d + c · g(m) con lo que d = (b · f0 + c · g)(m). Llamemos w = b · f0 + c · g ∈ HomD(L,D).Tenemos que f0(M) = D · d ⊂ D · d ⊂ w(M), pero como I0 es maximal en J se tiene que,D · d = D · d. Por lo tanto, d divide a d y asi a g(m), en particular d divide a cada pi(m) para todoi= 1, · · · , n. Ası pi(m)= bi · d con bi ∈ D y como M ⊂ L, m = p1(m) · l1 + · · ·+ pn(m) · ln se tieneque m = d · l con l = b1 · l1 + · · ·+ bn · ln. Como d = f0(m) = f0(d · l) = d · f0(l), entonces f0(l) = 1.(ii) Como l ∈ L tenemos que 〈l〉 ⊂ L y como f0 : L → D Ker(f0) ⊂ L, asi se tiene que〈l〉 ⊕Ker(f0) ⊂ L.Tomemos ahora x ∈ L, x = x + f0(x) · l - f0(x) · l = f0(x) · l + (x - f0(x) · l), de donde clara-mente x − f0(x) · l ∈ Ker (f0), ası L ⊂ 〈l〉 + Ker(f0). Ademas como f0(l) = 1 se tiene que〈 l 〉 ∩ Ker (f0) = {0}, ası L ⊂ 〈l〉 ⊕Ker(f0).Por lo tanto L = 〈l〉 ⊕Ker(f0).(iii) Sabemos que d · l ∈M y Ker(f0) ⊆M , luego 〈d · l〉 ⊆M y Ker(f0)∩M ⊆M . Como ademasf0(d · l) = d 6= 0, se tiene 〈d · l〉 ⊕Ker(f0) ∩M ⊆M .Para cada y ∈M tenemos f0(y) ∈ f0(M) = D ·d, por lo que existe un b ∈ D tal que f0(y) = b · d ypodemos escribir y = y+b ·m−b ·m = b ·m+(y−b ·m) = b ·m+(y−b ·(d ·l)) = b ·m+(y−(b ·d) ·l) =b ·m+(y−f0(y) · l); de donde y−f0(y) · l = y−b ·m ∈M ∩Ker(f0), ası M ⊂ 〈d · l〉+(M ∩Ker(f0)).Pero como 〈d ·l〉∩(M∩Ker(f0)) ⊂ 〈l〉∩(M∩Ker(f0)) = {0}, tenemos 〈d ·l〉∩(M∩Ker(f0)) = {0}.Luego, M ⊂ 〈d · l〉 ⊕ (M ∩Ker(f0)).Por lo tanto M = 〈d · l〉 ⊕ (M ∩Ker(f0)).

�

Corolario 6.35. Sea D un d.i.p., L un D-modulo libre y M un submodulo finitamente generado conrg(M) = m ≥ 0 , entonces existe una base {ei}i∈I de L, una subfamilia {eij j= 1, · · · , m} de {ei}i∈I

y elementos d1, · · · , dn ∈ D \ {0} tales que dj | dj+1 (j = 1, · · · , n− 1) y M =⊕m

j=1

⟨dj · eij

⟩.

Demostracion. Como L es libre y M ⊆ L por el teorema 6.23, M es libre. Procedamos por induccionsobre el rg(M) = m:• Si m = 1, como por el lema anterior, M = 〈d · l〉 ⊕ (Ker(f) ∩M) para d 6= 0 ∈ D y l ∈ L, de laobservacion 6.24 rg(Ker(f) ∩M) = 0 con lo que (Ker(f) ∩M) = {0} y ası M = 〈d · l〉.• Supongamos que para m = k − 1, existen e′1, · · · , e′k−1 elementos de la base de L y d′1, · · · , d′k−1

elementos no nulos de D, tales que {d′1 · e′1, · · · , d′k−1 · e′k−1} es base para M y dj | dj+1 para todoj = 1, · · · , k − 2.• Sea ahora m = k, por el lema anterior, M = 〈d · l〉 ⊕ (Ker(f)∩M). Como (Ker(f)∩M) ⊆M quees libre entonces (Ker(f)∩M) es tambien libre y ademas por la observacion 6.24 rg(Ker(f)∩M)= k − 1. Se tiene entonces aplicando la hipotesis inductiva y llamando d1 = d, dj+1 = d′j , e11 = ly e1j+1 = ej (para todo j = 1, · · · , k − 1) que {d1 · e11 , · · · , dk · e1k

} es base para M .



Veamos ahora que d = d1 | d2. Como por el lema anterior f0(M) = 〈d1〉 y d2 · e12 ∈ M donde e12

es un elemento de la base de L, entonces f0(d2 · e12) = d2 ∈ 〈d1〉, con lo cual d1 | d2.Ası, si rg(M) = m, existen d1, · · · , dm ∈ D y e11 , · · · , e1m tales que {d1 · e11 , · · · , dm · e1m} es basede M y dj | dj+1 para todo j = 1, · · · ,m− 1, entonces M =

⊕mj=1

⟨dj · e1j

⟩. �

Teorema 6.36. (Estructura de modulos f.g. sobre un d.i.p.) Sea M un D-modulo finitamentegenerado, entonces:

(i) Existe una sucesion d1 | d2 | · · · | dn de elementos no inversibles de D tales que,

M ∼=n⊕

i=1

D

〈di〉.

(ii) Si {di}ni=1 y {ei}n′

i=1 son dos familias de elementos de D que verifican (i), entonces n = n′ yexisten unidades de D, u1, · · · , un tales que di = ui · ei para todo i = 1, · · · , n.

Demostracion. (i) Consideremos L un modulo libre f.g. de rango m, f : L → M un epimorfis-mo (podemos hacerlo ya que por ejemplo, L =

⊕ri=1 〈mi〉 (siendo {m1, · · · ,mr} el conjunto

de generadores de M) es libre, f.g. y tomemos el epimorfismo g:⊕r

i=1 〈mi〉 → M definido porg((d1 ·m1, · · · , dr ·mr)) = d1 ·m1 + · · ·+ dr ·mr. Sea N = Ker(f) que es un submodulo de L, porel teorema 6.23 y por el corolario 6.27, N es libre y f.g. de rango k ≤ m. Por el corolario anterior,existen {ej}mj=1 base de L, {ei}ki=1 una subfamilia de {ej}mj=1 y d1, · · · , dk ∈ D tales que {di · ei}ki=1

es base de N y N =⊕k

i=1〈di · ei〉; ademas tenemos que L =⊕m

i=1〈ei〉. Luego, por el corolario 2.18existe un isomorfismo f : L/N →M . Entonces:

M ∼=⊕m

i=1 〈ei〉⊕ki=1 〈di · ei〉

∼=⊕m

i=1 〈ei〉⊕mi=1 〈di · ei〉

(aquı di = 0 para todo i = k+1, · · · ,m). Consideremos el epimorfismo h :⊕m

i=1 〈ei〉 →⊕m

i=1〈ei〉〈di·ei〉

definido por h((d′1 · e1, · · · , d′m · em)) = (d′1 · e1 + D · d1 · e1, · · · , d′m · em + D · dm · em)cuyo nucleo es

⊕mi=1 〈di · ei〉 tenemos entonces por el corolario 2.18 que:⊕m

i=1 〈ei〉⊕mi=1 〈di · ei〉

∼=m⊕

i=1

〈ei〉〈di · ei〉

Por ultimo debido a que h : D → 〈ei〉〈di·ei〉 dada por h(d) = d · ei + 〈di · ei〉 es un epimorfismo y

Ker(h) = 〈di〉 nuevamente por el corolario 2.18 〈ei〉〈di·ei〉

∼= D(D·di)

y se tiene que:

m⊕i=1

〈ei〉〈di · ei〉

∼=m⊕

i=1

D

〈di〉.

Por todas las equivalencias anteriores resulta:

M ∼=m⊕

i=1

D

〈di〉.



Si los di son elementos de D no inversibles para todo i = 1, · · · ,m tenemos que n = m.Si existiera dj inversible se tendrıa D

〈di〉 = {0}, entonces tomamos io tal que di0 es no inversible, ası:

M ∼=m⊕

i=i0

D

〈di〉

se tiene entonces,

M ∼=n⊕

i=1

D

〈di〉

siendo n = m− i0 + 1 y di no inversible para todo i = 1, · · · , n.Por lo tanto (i) se satisface.

(ii) Sea M un D-modulo cuya torsion es no nula. Sabemos por el teorema 6.31 que M ∼= t(M)⊕Lsiendo t(M) la torsion de M y L un modulo libre. Supongamos que rg(M) = s, esto es rg(L) = s,entonces L ∼= Ds. Asi para probar la unicidad de este teorema bastara ver que t(M) ∼=

⊕ki=1

D〈di〉

para ciertos di ∈ D i = 1, · · · , k (no inversibles) tales que di | di+1 para todo i = 1, · · · , k − 1 yunicos salvo asociados.La existencia fue probada en la parte (i). Para probar la unicidad de {di}ki=1 con las propiedadesenunciadas, primero supongamos que

t(M) ∼=D

〈d〉para d ∈ D y que p es un elemento primo en D tal que d = p · d′ para cierto d′ ∈ D, ası

D

〈d〉∼=

D

〈p · d′〉.

Tomemos f : D〈p·d′〉 →

D〈p·d′〉 dada por f(x) = p · x para todo x ∈ D

〈p·d′〉 . Se tiene que Ker(f) = d′·D〈p·d′〉

y sabemos que es un submodulo de D〈p·d′〉 .

Ahora consideremos h: D → d′ ·D definida por h(x) = d′ · x para todo x ∈ D y g: d′ ·D → d′·D〈p·d′〉 la

proyeccion al cociente. Tenemos que g ◦ h: D → d′·D〈p·d′〉 es un epimorfismo cuyo nucleo es 〈p〉. Luego

por el teorema 2.18 resulta queD

〈p〉∼=

d′ ·D〈p · d′〉

.

Se tiene entonces queD

〈p〉∼= d′ · t(M).

Supongamos ahora que

t(M) ∼=k⊕

i=1

D

〈di〉

y llamemos

N =k⊕

i=1

D

〈di〉.



Consideremos f : N → N dada por f(x) = p · x para todo x ∈ N y siendo p un elemento primoen D. Notemos que un elemento n ∈ N , n = n1 + · · · + nk con ni ∈ D

〈di〉 para todo i = 1, · · · , k,

pertenece a Kerf si p · n = 0, es decir, p · n1 + · · ·+ p · nk = 0 y por tratarse de una suma directa

debe ser p ·ni = 0 para todo i = 1, · · · , k. Asi Kerf =k⊕

i=1Kerfi donde fi: D

〈di〉 →D〈di〉 esta definida

por fi(x) = p · x para todo x ∈ D〈di〉 y para todo i = 1, · · · , k. Entonces la dimension de Kerf es

igual al numero de di tal que p | di. Tenemos que si p | di para todo i = 1, · · · , k, entonces di = p ·d′ipara ciertos d′i y p · D

〈di〉∼= D

〈d′i〉

para todo i = 1, · · · , k. Luego por lo anterior y ser D un d.i.p.

p ·k⊕

i=1

D

〈di〉∼=

k⊕i=1

p ·D〈di〉

∼=k⊕

i=1

D

〈d′i〉. (5)

Resulta entonces,

p · t(M) ∼=k⊕

i=1

D

〈d′i〉.

Supongamos que N ∼=⊕k1

i=1D〈di〉 , N

∼=⊕k2

i=1D〈ei〉 cumpliendose las condiciones del teorema y que

k1 ≤ k2.Si p es un primo de D tal que p | d1, como di | di+1 para todo i = 1, · · · , k1 − 1, luego p | di paratodo i = 1, · · · , k1. Entonces p divide al menos a los k1 primeros ei, pero como ei | ei+1 para todoi = 1, · · · , k2 − 1 debe ocurrir que p | ei para todo i = 1, · · · , k2. Como puede pensarse tambienk2 ≤ k1 y obtenerse un resultado similar, tenemos que k1 = k2. Llamemos k = k1 = k2, se tiene ası

k⊕i=1

D

〈di〉∼=

k⊕i=1

D

〈ei〉.

Ahora supongamos que dk = uk · prk1

1 · · · prkt

t siendo pi primos de D y uk ∈ D invertible; ademasvamos a suponer que p1 | d1, entonces existen d′i ∈ D y e′i ∈ D tales que di = p1 · d′i y ei = p1 · e′ipara todo i = 1, · · · , k. De la ecuacion (5) tenemos p1 ·

k⊕i=1

D〈di〉∼=

k⊕i=1

D

〈d′i〉

y p1 ·k⊕

i=1

D〈ei〉∼=

k⊕i=1

D

〈e′i〉

,

entoncesk⊕

i=1

D

〈d′i〉∼=

k⊕i=1

D

〈e′i〉.

Si p1 | d′1 procedemos como lo hicimos recien. Si p1 |/d′1 buscamos otro pi0 i0 = 2, · · · , k tal quepi0 | d′1 y hacemos lo mismo de antes, supondremos que i0 = 2 para facilitar las operaciones. En elcaso de que d′1 sea una unidad D

〈d′1〉

= {0}, entonces

k⊕i=2

D

〈d′i〉∼=

k⊕i=1

D

〈e′i〉

y por argumentos similares a los usados para cuando la suma comienza desde 1,

k⊕i=2

D

〈d′i〉∼=

k⊕i=2

D

〈e′i〉



resultando d1 = u1·e1 siendo u1 ∈ D un elemento inversible. Repitiendo todo lo hecho anteriormentepuede verse que para todo j = 1, · · · , k − 1

k⊕i=j

D

〈d′i〉∼=

k⊕i=j

D

〈e′i〉

y que di = ui · ei siendo ui elementos no inversibles en D. Entonces existen unicos {di}ki=1 salvoasociados tales que

N ∼=k⊕

i=1

D

〈di〉

y ası

t(M) ∼=k⊕

i=1

D

〈di〉.

Como en principio teniamos M ∼= t(M)⊕ L y L ∼= Ds, entonces

M ∼=k⊕

i=1

D

〈di〉⊕

(s⊕

i=1

D

〈li〉

)

dado que Ds ∼=s⊕

i=1

D〈li〉 con li = 0 para todo i = 1, · · · , s, por lo tanto

M ∼=n⊕

i=1

D

〈di〉

para n = k + s y di = 0 y para todo i = k + 1, · · · , n, siendo {di}n1 unicos salvo asociados. �

Corolario 6.37. Sea D un d.i.p. Si M es un D-modulo finitamente generado, entonces existe una

familia {Ci}ni=1 de D-modulos cıclicos tales que M ∼=n⊕

i=1Ci.

Demostracion. Sea {v1, · · · , vn} un conjunto de generadores de M . Consideremos f : Dn → M

definida por f((d1, · · · , dn)) =n∑

i=1di · vi. Llamemos K = Ker(f), como Dn es libre y de rango n,

del teorema 6.23 K es libre y rg(K) = k ≤ n. Sabemos por el corolario 6.35 que existe {y1, · · · , yn}una base de Dn y elementos d′1, · · · , d′k ∈ D e y1, · · · , yk pertenecientes a la base de Dn, tales que{d′1 · y1, · · · , d′k · yk} es una base de K y d′i | d′i+1 para todo i = 1, · · · , k − 1.Sean mi = f(yi) ∈M para todo i = 1, · · · , n, ası tenemos que {m1, · · · ,mn} genera a M . Veamos

que M ∼=n⊕

i=1D ·mi. Para ello, sea d1 ·m1 + · · ·+ dn ·mn = 0, entonces:

0 = d1 ·m1 + · · ·+ dn ·mn = d1 · f(y1) + · · ·+ dn · f(yn) = f(d1 · y1 + · · ·+ dn · yn),

luego d1 · y1 + · · ·+ dn · yn ∈ K, con lo que existen r1, · · · , rk ∈ D tales que

d1 · y1 + · · ·+ dn · yn = r1 · d′1 · y1 + · · ·+ rk · d′k · yk

y por ser {y1, · · · , yn} una base debe ocurrir di = 0 para i = k + 1, · · · , n y di = ri · d′i parai = 1, · · · , k. Ası,



di ·mi = ri · d′i ·mi = ri · d′i · f(yi) = ri · f(d′i · yi) = 0

debido a que d′i · yi ∈ Ker(f), con esto resulta di = 0 para todo i = 1, · · · , k, dado que{d′1 · y1, · · · , d′k · yk} es una base de K. De lo anterior, di = 0 para todo i = 1, · · · , n,con lo que los D ·mi estan en suma directa.

Por lo tanto M ∼=n⊕

i=1Ci, siendo Ci = D ·mi modulos cıclicos para todo i = 1, · · · , n. �

Observacion 6.38. La reciproca es cierta para cualquier anillo, no necesariamente un d.i.p.

Corolario 6.39. Sea D un d.i.p., M un D-modulo finitamente generado, entonces existen n ∈ N0,una familia {pi}ri=1 de primos de D y numeros enteros no negativos s1i ≤ · · · ≤ sr

i (i = 1, · · · , r)tales que:

M ∼=n⊕

j=1

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉

⊕Dm.

Demostracion. Del teorema 6.31 M ∼= t(M)⊕ L, L un submodulo libre de M .(i) Sea m = rg(M) = rg(L), luego L ∼= Dm.(ii) Sabemos que si M es un modulo f.g., del corolario 6.27 t(M) es f.g. y por el teorema deestructura de modulos f.g sobre un d.i.p.,

t(M) ∼=n⊕

i=1

D

〈di〉,

para ciertos d1, · · · , dn ∈ D no inversibles y tales que di | di+1 para todo i = 1, · · · , n − 1. ComoD es un d.i.p., dn =

∏ri=1 p

sni

i siendo pi primos en D todos distintos y ademas di | di+1 para todo

i = 1, · · · , n− 1, tenemos que dj | dn y ası dj =∏r

i=1 psji

i con 0 ≤ sji ≤ sn

i para todo j = 1, · · · , n.Luego,

D

〈dj〉=

D

〈∏r

i=1 psji

i 〉(6)

Consideremos fj : D →r⊕

i=1

D

〈psji

i 〉dada por fj(d) = (d+ 〈psj

11 〉, · · · , d+ 〈psj

rr 〉). Sea K = Ker(fj), un

elemento d pertenece a K si d−0 ∈ 〈psji

i 〉, esto es psji

i | d, para todo i = 1, · · · , r o, consecuentemente,

si∏r

i=1 psji

i | d. Ası, Ker(fj) = 〈∏r

i=1 psji

i 〉 y como fj es un epimorfismo, del corolario 2.18

D

〈∏r

i=1 psji

i 〉∼=

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉,

para todo j = 1, · · · , n.De lo anterior y (6) se tiene,

D

〈dj〉∼=

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉,

para todo j = 1, · · · , n y ası,n⊕

j=1

D

〈dj〉∼=

n⊕j=1

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉

.



Luego,

t(M) ∼=n⊕

j=1

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉

.

Como consecuencia de (i) y (ii),

t(M)⊕ L ∼=n⊕

j=1

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉

⊕Dn,

por lo tanto,

M ∼=n⊕

j=1

r⊕i=1

D

〈psji

i 〉

⊕Dn.

�

Definicion 6.40. Sea D un d.i.p., P el conjunto de los elementos irreducibles de D y M un D- modu-lo de torsion. Para todo p ∈ P se define la componente p-primaria de M como:

Mp = {m : m ∈ M y existe n ∈ N tal que pn · m = 0}.

Diremos que M es p-primario, si M = Mp.

Teorema 6.41. Sea D un d.i.p. y M un D-modulo finitamente generado de torsion, entonces existeuna familia finita de D-modulos cıclicos {Ci}i∈I , con cada Ci pi-primario (donde los pi son primos,que en este caso es lo mismo que irreducibles).

Demostracion. Primero veamos el caso de un modulo cıclico.Sea N = 〈x〉 un modulo de torsion, entonces existe s ∈ D, s 6= 0 tal que s · x = 0 y an(x) = 〈s〉.Como D es un d.i.p. podemos factorizar a s como

s = pr11 · · · prn

n

siendo pi primos no asociados para todo i = 1, · · · , n. Consideremos qi = s/prii (es decir, s sin el

factor prii ). Se tiene entonces que (pri

i ,qi) = 1 y que (q1, · · · , qn) = 1. Como 1 es el maximo comundivisor entre los q1, · · · , qn, existen d1, · · · , dn ∈ D tales que

1 = d1 · q1 + · · ·+ dn · qnası

x = d1 · x · q1 + · · ·+ dn · x · qncon lo que

N = 〈x〉 = 〈x1〉+ · · ·+ 〈xn〉

siendo xi = di · x · qi.Veamos que la suma anterior es directa, para eso, tomemos y ∈ N tal que y ∈ 〈x1〉∩(〈x2〉+· · ·+〈xn〉)

y = a1 · x1 = a2 · x2 + · · ·+ an · xn

con ai ∈ D para todo i = 1, · · · , n. Entonces



pr11 · y = a1 · d1 · x · pr1

1 · q1 = a1 · d1 · x · s︸︷︷︸0

= 0

y

q1 · y = q1 · a2 · x2 + · · ·+ q1 · an · xn =

= a2 · d2 · x · q2 · pr22 · q2 + · · ·+ an · dn · x · qn · prn

n · qn =

= a2 · d2 · x · s︸︷︷︸0

·q2 + · · ·+ an · dn · x · s︸︷︷︸0

·qn = 0

luego de haber reemplazado xi por sus valores correspondientes y siendo qi = q1 | prii para todo

i = 2, · · · , n.Por lo anterior {pr1

1 , q1} ⊆ an(y) y como (pr11 , q1) = 1 se tiene que an(y) = D y asi y = 0. Tomando

yi ∈ 〈xi〉 ∩ (〈x1〉+ · · ·+ 〈xi−1〉+ · · ·+ 〈xi+1〉+ · · ·+ 〈xn〉) y procediendo como en el caso anteriorllegamos a que yi = 0 para todo i = 2, · · · , n. Se tiene entonces que

N = 〈x〉 = 〈x1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈xn〉

siendo los 〈xi〉 modulos cıclicos pi primarios para todo i = 1, · · · , n.Ahora sea M un modulo de torsion f.g. cualquiera. Siguiendo la notacion y la idea de la demostracion

del corolario 6.37 M =n⊕

i=1〈mi〉 siendo mi = f(yi) ∈M para todo i = 1, · · · , n; donde f : Dn →M

es un morfismo, {y1, · · · , yn} una base de Dn y {d′1 · y1, · · · , d′1 · yn} una base del Ker(f). Se veclaramente que 0 = f(d′i · yi) = d′i ·mi y asi 〈d′i〉 = an(mi) para todo i = 1, · · · , k; y como d′i | d′i+1,se tiene 〈d′i+1〉 = an(mi+1) ⊆ 〈d′i〉 = an(mi) para i = 1 · · · , k − 1 y asi

〈d′1〉 ⊇ · · · ⊇ 〈d′1〉.

Si 〈d′i〉 = an(mi) para todo i = 1, · · · , n y di | d′i+1 para todo i = 1, · · · , n − 1 siendo d′1 6= 1 yd′n 6= 0 tenemos

d′1 = u1 · ps11

1 · · · ps1r

r

......

......

...

d′n = un · psn1

1 · · · psnr

r

con 0 ≤ s1j ≤ · · · ≤ snj para todo j = 1, · · · , n.

Por la primer parte de la demostracion sabemos que

M (i) = 〈mi〉 = 〈m(1)i 〉 ⊕ · · · ⊕ 〈m

(r)i 〉

para todo i = 1, · · · , n, siendo 〈m(j)i 〉 = M

(i)pj las componentes pj-primarias de cada M (i) y m(j)

i ∈Mpara todo i = 1, · · · , n y para todo j = 1, · · · , r. Asi tenemos que

M (i) = M(i)p1 ⊕ · · · ⊕M

(i)pr

con lo que

M = M(1)p1 ⊕ · · · ⊕M

(1)pr ⊕ · · · ⊕M

(n)p1 ⊕ · · · ⊕M

(n)pr

donde cada M (i)pj son ciclicos pj-primarios para todo i = 1, · · · , n y para todo j = 1, · · · , r. �



Corolario 6.42. Si M es un D-modulo finitamente generado de torsion, entonces

M =k⊕

j=1Mpj

donde los pi son elementos irreducibles de D, para todo i = 1, · · · , k.

Demostracion. Basta con tomar

Mpj =n⊕

i=1M

(i)pj

para todo j = 1, · · · , r, siendo M (i)pj los submodulos cıclicos de M de la demostracion de teorema

anterior y asi resulta

M =m⊕

j=1Mpj

tomando k = r. �

Ejercicio 14. Listar las clases de isomorfismo de los grupos abelianos de orden 16, 18, 20, 189.

Sea G un grupo abeliano de tipo finito de orden n. Las componentes de G son de la formaZai∼= Z/(Z · ai), esto es, grupos cıclicos de orden ai. Debemos tener que ai | ai+1 para todo

i y que el orden de la suma directa sea producto de los ordenes de las componentes, es decir:a1 · · · ar = n.

(i) Supongamos primero que G es un grupo abeliano finito de orden 16. A 16 lo factorizamoscomo 24. Luego lista completa de clases de isomorfismos es:(1) a1 = 24 entonces G ∼= Z16;(2) a1 = 2 y a2 = 23 entonces G ∼= Z2 ⊕ Z8;(3) a1 = 22 y a2 = 22 entonces G ∼= Z4 ⊕ Z4;(4) a1 = 2, a2 = 2 y a3 = 22 entonces G ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z4;(5) a1 = 2, a2 = 2, a3 = 2 y a4 = 2 entonces G ∼= Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2.

(ii) Supongamos ahora que G es grupo abeliano finito de orden 18.En este caso, la factorizacion prima de 18 es 32 · 2, entonces la lista completa es:(1) a1 = 32 · 2 entonces G ∼= Z18;(2) a1 = 3 y a2 = 3 · 2 entonces G ∼= Z3 ⊕ Z6.

(iii) Supongamos ahora que G es grupo abeliano finito de orden 20.La factorizacion prima de 20 es 5 · 22, ası la lista completa es:(1) a1 = 5 · 22 entonces G ∼= Z20;(2) a1 = 2 y a2 = 5 · 2 entonces G ∼= Z2 ⊕ Z10.

(iv) Finalmente, consideremos a G un grupo abeliano finito de orden 189.La factorizacion prima de 189 es 33 · 7, entonces la lista completa es:(1) a1 = 33 · 7 entonces G ∼= Z189;(2) a1 = 3 y a2 = 7 · 32 entonces G ∼= Z3 ⊕ Z63;(3) a1 = 3, a2 = 3 y a3 = 7 · 3 entonces G ∼= Z3 ⊕ Z3 ⊕ Z21. �



Referencias

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[4] S. Lang, Algebra, 1971

[5] H. Cardenas, E. Lluis, Modulos semisimples y representacion de grupos finitos. So-ciedad Matematica Mexicana, 1970.

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[7] J. B. Fraleigh, Algebra Abstracta: Primer curso. Addison-Wesley Iberoamericana,1982.

[8] W. A. Adkins; S. H. Weintraub, Algebra. An appoach via module theory. Springer-Verlag, 1992.

[9] S. Roman, Advanced Linear Algebra. Springer-Verlag, 2008.

[10] T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings. Springer-Verlag, 1991.

[11] N. Bourbaki, Elements de Mathematique. Livre II: Algebre (XIV). Hermann, 1964.

[12] N. Bourbaki, Elements de Mathematique. Livre II: Algebre (XXIII). Hermann, 1958.

[13] N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra. University Series, 1953.


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