Étude d’Un Reservoir Cylindrique

ÉTUDED’UN RÉSERVOIR

CYLINDRIQUERéalisé par :

Younes EL-BOUZNANI

Mahdi FRIKEL

3IT1

Encadré par :

M. CHERRABI

Donnéesde l’étude

Géométrie :

Réservoir cylindrique de rayon r = 4 m, d’une hauteurH =12 m et d’épaisseur des parois latérales e = 20 cm

Matériau :

Béton de résistance 𝑓𝑐28 = 27𝑀𝑝𝑎 et donc d’un module de Young instantané 𝐸 = 33000 𝑀𝑝𝑎 et d’un coefficient de Poisson ʋ = 0.2

Les caractéristiques du sol sont : 𝛾𝑠= 18 𝐾𝑁/𝑚3

𝑒𝑡 𝜑𝑠= 30°

Données de liaisons et chargement:

Le réservoir est encastré au niveau de la base et libre en haut.

La charge appliquée sur le réservoir est la charge Hydrostatique (ρ = 1 t/m3)

Mini-projet Plaques et coques - 2015/2016 2

Calcul analytique des déplacements

Calcul des charges :

Calcul du poids de la couverture sphérique :

Pour déterminer le poids de la couverture on a besoin deson rayon. On note R le rayon, on a :

R² = a² + (R – d)²

Donc R = 𝑎2+𝑑²

2𝑑

A.N : R = 19.67 m

Soit Pc le poids de la couverture, on a :

Pc = 𝛼

𝛽𝛾𝑏 𝑒 2𝜋. 𝑅2. sin 𝜃 𝑑𝜃

cos 𝛼 =𝑅2−𝑟²

𝑅= 1 −

𝑑

𝑅; cos𝛽 =

𝑅 −𝑑

𝑅= 1 −

𝑑

𝑅

Pc = 𝛾𝑏 𝑒 2𝜋. 𝑅2. (cos𝛼 − cos𝛽)

A.N : Pc = 1045.52 KN

Pour la modélisation de ce poids, on le considéreracomme étant une charge uniforme appliquée sur lepérimètre de la paroi du réservoir. On notera cettecharge N0 . On a donc N0 = 20.80 KN/m.

Calcul de la poussée du sol :

La méthode de RANKINE permet de déterminer lecoefficient de la poussée, soit :

Ka = 1−sin 𝜑

1+sin 𝜑= 1

3


Avant de commencer le calcul des déplacements, il est amentionner qu’afin de se mettre dans une situation réelle d’unréservoir, on traitera deux cas. Le premier est celui d’unréservoir rempli d’eau, l’autre est lorsque le réservoir est vide.

Cas du réservoir rempli d’eau, soumis à la poussée du sol :

• Déplacement radial :

On commence d’abord par la partie enterrée d’eau.L’équation différentielles régissant la déformée we s’écritsous la forme suivante :

Avec : λ4 = 3 1 − ʋ²)(𝑎

𝑡

2= 6.727 et

λ

𝑎= 0.841

Cette équation différentielle a comme solution la sommede deux fonctions w0,1 et w1,1 .

Pour x Є [0;5] :

A.N : w1,1 = 6,46. 10-3 [-169.22 + 3.94x]

La résolution passe par le calcul des constantes C3,1 etC4,1 en tenant compte des conditions limites :

We (0) = 0 donc C3,1 = - 6,46. 10-3 x -169,22 = 1.093

We ‘(0) = 0 donc C4,1 = −6,46. 10-3 x (-169.22 +3.94

0.841)

= 1.062

Donc, pour x Є [0;5], le déplacement sur la partieenterrée du réservoir donné en mm est :

On trace la courbe de w, on constate que le max estatteint en x=3.5m et sa valeur correspondante est :

We,max = - 1.050 mm



Concernant la partie libre du réservoir, l’équationdifférentielles régissant la déformée wl est sous la formesuivante :

l’équation différentielle est la somme de deux foncions w0,2 etw1,2 .

Pour x Є [5;20] :

A.N : w1,1 = 6,46. 10-3 [-200,47 + 9,99x]

La résolution passe par le calcul des constantes C3,2 et C4,2 entenant compte des propriétés de la fonction déplacement.

wl(5) = we(5)

wl’(5) = we’(5)

Donc : C3,2 = -226.07 et C4,2 = 307.46

D’où, pour x Є [0;5], le déplacement sur la partie libre duréservoir donné en mm est :

wl,max = wl(5) = -0.988 mm



Cas du réservoir vide, soumis à la poussée du sol :

• Déplacement radial :

On commence d’abord par la partie enterrée d’eau.L’équation différentielles régissant la déformée we s’écritsous la forme suivante :

Cette équation différentielle a comme solution la sommede deux fonctions w0 et w1 .

Pour x Є [0;5] :

A.N : w1 = 6,46. 10-3 [25,73 – 5,81x]

La résolution passe par le calcul des constantes C3 et C4

en tenant compte des conditions limites :

We (0) = 0 donc C3 = - 6,46. 10-3 x25,73 = -0,166

We ‘(0) = 0 donc C4,1 = −6,46. 10-3 x (25,73 +−5,81

0.841)

= -1,121

Donc, pour x Є [0;5], le déplacement sur la partieenterrée du réservoir donné en mm est :

On trace la courbe de w, on constate que le max estatteint en x=3.5m et sa valeur correspondante est :

We,max = 0,072 mm



Concernant la partie libre du réservoir, l’équationdifférentielles régissant la déformée wl est sous la formesuivante :

l’équation différentielle est la somme de deux foncions w0 etw1 .

Pour x Є [5;20] :

A.N : w1 = 6,46. 10-3 [-4,27 + 0,19x]

La résolution passe par le calcul des constantes C3 et C4 entenant compte des propriétés de la fonction déplacement.

wl(5) = we(5)

wl’(5) = we’(5)

Donc : C3 = -496,87 et C4,2 = 244,01

D’où, pour x Є [0;5], le déplacement sur la partie libre duréservoir donné en mm est :

wl,max = 0,037 mm

Conclusion :

On déduit que le cas le plus défavorable est celui du réservoirrempli d’eau et soumis à la poussée des terres. Ce cas decharges donne un déplacement de l’ordre de : w = 1.06𝑚𝑚

Ainsi, dans tout ce qui suit, on ne s’intéresse qu’à ce cas decharges pour le calcul des sollicitations et le ferraillage duréservoir.



Calcul des sollicitations internes :

• Calcul de NѲ :

Pour x Є [0;5] :

Pour x Є [5;20] :

On calcule ainsi la valeur maximale de NѲ ,et on trouve :

NѲ,max = 1271,2 KN/m

• Calcul de Mx :

Pour x Є [0;5] :

Pour x Є [5;20] :

On calcule ainsi les valeurs maximales de Mx et on trouve :

M+x,max = 39,67 KN.m/ml

M-x,max = Mx

1

0,841arctan

169,22+164,53

169,22−164,53= Mx(1,85)

= -24,87 KN.m/ml

• Calcul de MѲ :

Pour x Є [0;5] :

Pour x Є [5;20] :

M-Ѳ,max = Mx(0) = 23,03 KN.m/ml

M+Ѳ,max = Mx

1

0,841arctan

169,22+164,53

169,22−164,53= Mx(1,85)

= -4,90 KN.m

Calcul analytique des sollicitations


• Calcul de Tx :

Pour x Є [0;5] :

Pour x Є [5;20] :

On calcule ainsi la valeur maximale de Tx , on trouve :

Tx,max = - 116,44 KN/m

Calcul analytique des sollicitations


Calcul des déplacements :

• Déplacement radial pour le réservoir rempli d’eau :

La modélisation et le calcul sur RSA donnent un déplacement radial maximal : wmax = we(3,5) = -1,051 mm

L’erreur relative entre les deux résultats est estimée de 2,3 % donc on peut conclure que les deux méthodes donnent les même résultats

Modélisationet calcul par

ROBOT



ROBOT

• Déplacement vertical pour le réservoir rempli d’eau :

La modélisation et le calcul sur RSA donnent un déplacement vertical maximal : umax = ul(3,5) = 0,60 mm


Calcul des sollicitations internes :

• Calcul de NѲ :

NѲ,max = 1208,42 KN/m

Commentaire : L’erreur relative entre le résultat trouvé par le calcul analytique et le résultat trouvé par RSA est de 0,72% donc les deux méthodes donnent le même résultat.

• Calcul de Mx :

Mx,max = 40,01 KN.m/ml

Commentaire : L’erreur relative entre le résultat du calcul analytique et celui trouvé par RSA est 0,85%. Donc les deux résultats sont les mêmes.

• Calcul de MѲ :

MѲ,max = 24,16 KN.m/ml

L’erreur relative est de 4,60%,donc les deux résultats sontles mêmes .


ROBOT


• Calcul de Tx :

Tx,max = -115,79 KN/m

L’erreur relative entre le résultat trouvé par le calculanalytique et le résultat trouvé par RSA est de 0,56%.Donc on peut conclure que les deux méthodes donnentles mêmes résultats.


ROBOT


Documents

Étude d’Un Reservoir Cylindrique