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Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Étudier le sens de variation d’une suite
TS
8 décembre 2007
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Exercice
1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3
2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3
3 ThéorieSens de variation d’une suite
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Question 1.
Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :
un =n2
n+1.
Théorie Corrigé
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Question 2.
Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :
un =(
23
)n
.
Théorie Corrigé
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Question 3.
Étudier le sens de variation de la suite suivante définie pour toutentier n par :
un =p
3n+1 .
Théorie Corrigé
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Corrigé
1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3
2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3
3 ThéorieSens de variation d’une suite
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Calcul de un+1−un.
On étudie le signe de la différence.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Calcul de un+1−un.
On étudie le signe de la différence.On a
un+1−un =
=
=
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Calcul de un+1−un.
On étudie le signe de la différence.On a
un+1−un =(n+1)2
n+2−
n2
n+1
=
=
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Calcul de un+1−un.
On étudie le signe de la différence.On a
un+1−un =(n+1)2
n+2−
n2
n+1
=(n+1)2(n+1)
(n+2)(n+1)−
n2(n+2)
(n+1)(n+2)
=
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Calcul de un+1−un.
On étudie le signe de la différence.On a
un+1−un =(n+1)2
n+2−
n2
n+1
=(n+1)2(n+1)
(n+2)(n+1)−
n2(n+2)
(n+1)(n+2)
=n2 +3n+1
(n+1)(n+2).
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
n2 Ê 0 ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
n2 Ê 0 ;
3nÊ 0 ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
n2 Ê 0 ;
3nÊ 0 ;
1> 0.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
n2 Ê 0 ;
3nÊ 0 ;
1> 0.
Donc, par somme, n2 +3n+1> 0.TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
1> 0.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
1> 0.
Donc, par somme, n+1> 0.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
+
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
2> 0.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Étude du signe de n2+3n+1
(n+1)(n+2).
un+1−un =n2 +3n+1
(n+1)(n+2)
+
+ +
Comme n ∈N, on a nÊ 0. Alors :
nÊ 0 ;
2> 0.
Donc, par somme, n+2> 0.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Conclusion.
On obtient le tableau de signes suivant :
0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +
n2+3n+1(n+1)(n+2)
+
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 1.Conclusion.
On obtient le tableau de signes suivant :
0 +∞n2 +3n+1 +n+1 +n+2 +
n2+3n+1(n+1)(n+2)
+
Ainsi, pour tout entier n ∈N, un+1−un > 0 c’est-à-dire
un+1 > un .
La suite est donc strictement croissante sur N. Retour
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 2.
La suite est une suite géométrique de raison q = 23 .
Cette raison vérifie0< q < 1 .
La suite est donc strictement décroissante sur N. Retour
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.
Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f la fonction définie par
f (x)=p
3x +1 .
On étudie le sens de variation de la fonction f sur [0;+∞[.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de f .
La fonction f : x 7→p
3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→
px .
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de f .
La fonction f : x 7→p
3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→
px .
La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de f .
La fonction f : x 7→p
3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→
px .
La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;+∞[.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de f .
La fonction f : x 7→p
3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→
px .
La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;+∞[.
Propriété
La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de f .
La fonction f : x 7→p
3x +1 est la composée de la fonctiong : x 7→ 3x +1 suivie de la fonction h : x 7→
px .
La fonction g : x 7→ 3x +1 est strictement croissante sur [0;+∞[à valeurs dans [1;+∞[ ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;+∞[.
Propriété
La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.
Donc f est strictement croissante sur [0;+∞[.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Correction 3.Sens de variation de (un).
Pour tout n ∈N, on a un = f (n) avec f strictement croissante sur[0;+∞[.La suite (un) est donc strictement croissante sur N.
Retour
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Théorie
1 ExerciceQuestion 1Question 2Question 3
2 CorrigéQuestion 1Question 2Question 3
3 ThéorieSens de variation d’une suite
TS Étudier le sens de variation d’une suite
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteDéfinitions.
Définition (Suite croissante)
Dire qu’une suite (un) est croissante sur N signifie que pour tout n,
un É un+1 .
u0 u1 u2 u3 u4 un un+1
Définition (Suite décroissante)
Dire qu’une suite (un) est décroissante sur N signifie que pour tout n,
un+1 É un .
u0u1u2u3u4unun+1
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteMéthodes.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut
étudier le signe de un+1 −un ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteMéthodes.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut
étudier le signe de un+1 −un ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un
et leréel 1 ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteMéthodes.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut
étudier le signe de un+1 −un ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un
et leréel 1 ;
si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteMéthodes.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut
étudier le signe de un+1 −un ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un
et leréel 1 ;
si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;
s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteMéthodes.
Pour déterminer le sens de variation d’une suite, on peut
étudier le signe de un+1 −un ;
si tous les termes sont strictement positifs, comparer un+1un
et leréel 1 ;
si la suite est arithmétique ou géométrique, déterminer saraison ;
s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n),étudier les variations de f sur [0;+∞[ ;
s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un+1 = f (un),étudier les variations de f et utiliser le principe de récurrence.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteSigne de un+1−un.
Propriété
Si pour tout n ∈N on a
un+1−un > 0 alors la suite est croissante sur N ;
un+1−un < 0 alors la suite est décroissante sur N.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où pour tout n ∈N, un > 0.
Propriété
Soit (un) une suite de termes strictement positifs.Si pour tout n ∈N on a
un+1un
> 1 alors la suite est croissante sur N ;
un+1un
< 1 alors la suite est décroissante sur N.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.
Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,
un+1 = un + r ou un = u0 +nr .
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.
Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,
un+1 = un + r ou un = u0 +nr .
Propriété
Une suite arithmétique est
strictement croissante sur N si r > 0 ;
n
un
0
u0
1
u1
2
u2
3
u3
r>0
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est arithmétique.
Définition
Une suite (un) est arithmétique s’il existe un réel r appelé raison telque pour tout n ∈N,
un+1 = un + r ou un = u0 +nr .
Propriété
Une suite arithmétique est
strictement croissante sur N si r > 0 ;
strictement décroissante sur N sir < 0. n
un
3
u3
2
u2
1
u1
0
u0
r<0
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.
Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,
un+1 = q un ou un = u0 qn.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.
Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,
un+1 = q un ou un = u0 qn.
Propriété
Une suite géométrique est
strictement croissante sur N siq > 1 ;
Elle n’est pas monotone si q < 0. n
un
0
u0
1
u1
2
u2
3
u3
4
u4
q>1
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où la suite est géométrique.
Définition
Une suite (un) est géométrique s’il existe un réel q appelé raison telque pour tout n,
un+1 = q un ou un = u0 qn.
Propriété
Une suite géométrique est
strictement croissante sur N siq > 1 ;
strictement décroissante si 0< q < 1.
Elle n’est pas monotone si q < 0. n
un
4
u4
3
u3
2
u2
1
u1
0
u0
0<q<1
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).
Propriété
S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors
si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;
x
un
Cf
u0
u1
u2u3u4
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un = f (n).
Propriété
S’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un = f (n) alors
si f est croissante sur [0;+∞[ alors la suite est croissante sur N ;
si f est décroissante sur [0;+∞[ alors la suite est décroissantesur N.
x
un
Cf
u0
u1
u2u3u4
x
un
Cf
0
u0
1
u1
2
u2
3
u3
4
u4
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Exercice (Corrigé)
On considère la suite (un) définie par :
u0 = 1 et pour tout naturel n, un+1 =√
un +1 .
On admet que pour tout n ∈N, on a 0< un < 2.
1 Étudier le sens de variation de la fonction f : x 7→p
x +1 sur[0;2].
2 Démontrer par récurrence que (un) est croissante sur N.
TS Étudier le sens de variation d’une suite
Étudier le sensde variationd’une suite
TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
1 La fonction f : x 7→p
x +1 est la composée de la fonction
g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p
x.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
1 La fonction f : x 7→p
x +1 est la composée de la fonction
g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p
x.
La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur
[0;2] à valeurs dans [1;3] ;
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TS
ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
1 La fonction f : x 7→p
x +1 est la composée de la fonction
g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p
x.
La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur
[0;2] à valeurs dans [1;3] ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;3[.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
1 La fonction f : x 7→p
x +1 est la composée de la fonction
g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p
x.
La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur
[0;2] à valeurs dans [1;3] ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;3[.
Propriété
La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
1 La fonction f : x 7→p
x +1 est la composée de la fonction
g : x 7→ x +1 suivie de la fonction h : x 7→p
x.
La fonction g : x 7→ x +1 est strictement croissante sur
[0;2] à valeurs dans [1;3] ;
la fonction h : x 7→p
x est strictement croissante sur [1;3[.
Propriété
La composée de deux fonctions strictement croissantes eststrictement croissante.
Donc f est strictement croissante sur [0;2].
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle
est vraie pour tout entier n.
Initialisation.
Comme u0 = 1 et u1 =p
u0+1=p
2, on a u0 < u1.
Ainsi la propriété est initialisée au rang 0.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle
est vraie pour tout entier n.
Hérédité.
Il existe donc au moins un entier ktel que :
uk < uk+1 .
Montrons que la propriété reste vraie au rang k +1.
On sait que la fonction f est strictement croissante sur [0;2]et que tous les termes de la suite (un) sont dans cet intervalle.
Donc si uk < uk+1 alors f (uk )< f (uk+1) i.e
uk+1 < uk+2
La propriété reste donc vraie au rang k +1.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Solution
2 Soit la propriété « un < un+1 ». Montrons par récurrence qu’elle
est vraie pour tout entier n.
Conclusion.
La propriété est donc héréditaire et initialisée au rang 0.
Elle est donc vraie pour tout entier n.
La suite (un) est strictement croissante sur N.
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ExerciceQuestion 1
Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Attention
Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.
x
un
Cf
y = x
u0x
un
Cf
y = x
u0
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Question 2
Question 3
CorrigéQuestion 1
Question 2
Question 3
ThéorieSens de variationd’une suite
Sens de variation d’une suiteCas où un+1 = f (un).
Attention
Le sens de variation d’une suite définie par récurrence dépend de sonpremier terme u0.
x
un
Cf
y = x
u0
(un) croissante
u0
u1u2
x
un
Cf
y = x
u0
(un) décroissanteu0u1u2
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