Leonardo ColzaniDipartimento di MatematicaUniversità di Milano - Bicocca

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100

�Les mathématiciens ont tâché jusqu�ici en vain à découvrir un ordre quel-conque dans la progression des nombres premiers, et on a lieu de croire, quec�est un mystère auquel l�esprit humain ne saurait jamais pénétrer. Pour s�enconvaincre, on n�a qu�à jeter les yeux sur les tables des nombres premiers, quequelques personnes se sont donné la peine de continuer au-delà de cent-mille: eton s�apercevra d�abord qu�il n�y règne aucun ordre ny règle. Cette circonstanceest d�autant plus surprenante, que l�arithmétique nous furnit des règles sûres,par le moyen desquelles on est en état de continuer la progression de ces nombresaussi loin que l�on souhaite, sans pourtant nous y laisser apercevoir la moindremarque d�un ordre quelconque.� (L.Eulero 1751)

�Primzahlen unter a (=1) a= log(a).Zahlen aus zwei Factoren a log (log (a)) = log(a),(wahrsch.) aus 3 Factoren a (log (log (a)))2 =2 log(a),...et sic in inf...� (C.F.Gauss 1792)

1

Euclide

Nel Libro VII degli Elementi di Euclide (III secolo a.C.), che qui proponiamonella traduzione di N.Tartaglia (1500-1557), si trovano le la seguenti de�nizioni.

Di¢ nitione.20. Numero primo, se dice quello, che della sola unità è mis-urato.

Il Tradottore. Si come .2.3.5.7.11.13.17.19.23.29. & in�niti altri simililiquali sono misurati over numerati solamente dalla unitade è per questo cadaunodi loro è detto numero primo...

Di¢ nitione.21. Numero composito se dice quello, che dall�altro numero èmisurato.

Il Tradottore. Sì come .15. ilquale per esser misurato dal .5. over dal .3.se dice numero composito perche il vien a esser composto da tre numeri quinari,overo da cinque numeri ternari...

Un numero intero è primo se è misurato solo da 1 e da se stesso, cioè èdivisibile solo per 1 e per se stesso, cioè se non è il prodotto di due o più numeridiversi da 1. Il numero 1 ha uno status a sè, c�è chi lo conta come primo e chino. Per generare tutti i numeri primi �no ad un dato limite, si scrivono in unatabella tutti i numeri da 2 a n. 2 è primo. Si eliminano dalla tabella tutti imultipli di 2 a partire da 4. Il primo sopravvissuto 3 è primo. Si eliminanodalla tabella tutti i multipli di 3 a partire da 9. Il primo sopravvissuto 5 èprimo. Si eliminano dalla tabella tutti i multipli di 5 a partire da 25. Il primosopravvissuto 7 è primo. Si eliminano dalla tabella tutti i multipli di 7 a partireda 49... Si itera il procedimento eliminando i multipli dei primi minori o ugualiapn. Tutti i sopravvissuti sono i primi tra 2 e n. Queste eliminazioni successive

possono essere interpretate come setacci con maglie di¤erenti.

2

Crivello di Eratostene(III secolo a.C.).

2 è primo. Si eliminanotutti i multipli di 2.

3 è primo. Si eliminanotutti i multipli di 3.

5 è primo. Si eliminanotutti i multipli di 5.

7 è primo. Si eliminanotutti i multipli di 7...Chi sopravvive è primo.

I numeri primi sono in�niti ed una bella dimostrazione di questo si trova giànel Libro IX degli Elementi di Euclide.

Theorema .21. Propositione .21. Dati quanti numeri primi si voglia, ènecessario esser alcuno numero primo da essi diverso.

Niente altro se intende da dimostrare salvo che li numeri primi siano in�niti,perche se a, b, c, numeri primi, dico esser alcuno altro numero primo diversoda quelli, perche se sia d, f, el minimo numero che numerano li predetti numeriprimi, al qual aggionta la unità sia fatto, d, g, el qual, d, g, o che egliè numeroprimo, over composito, se egliè primo è manifesto el proposito, se egliè compositoalcun numero primo numera quello elqual sia, h, elqual, h, non è possibile esseralcun di primi proposti...

Riformuliamo il risultato.

TEOREMA: I numeri primi sono in�niti.

Dimostrazione: Dati dei numeri primi a, b,..., c, ce n�è qualcun altro.Infatti, il numero a � b � ::: � c + 1 non è divisibile per a, b,..., c, quindi questonumero ha dei fattori primi diversi da a, b,..., c. �

2+1 = 3 è primo, 2�3+1 = 7 è primo, 2�3�5+1 = 31 è primo, 2�3�5�7+1 = 211è primo, 2�3�5�7�11+1 = 2311 è primo, ma 2�3�5�7�11�13+1 = 30031 = 59�509

3

non è primo... I numeri primi della forma 2 � 3 � 5 � ::: � p+1 sono �niti o in�niti?E i numeri composti? Una dimostrazione analoga con a � b � ::: � c� 1 mostra chel�n-esimo primo pn è minore di 22

n�1. Infatti,se pj � 22

j�1per j = 1; 2; :::; n,

allora p1 � p2 � ::: � pn�1 � 220 � 221 � ::: � 22n�1 = 22n .

Questo bel teorema ha molte altre dimostrazioni.P.Fermat (1601-1665) congettura che i numeri F (n) = 22

n

+1 sono primi: �Inumeri ottenuti aggiungendo una unità a quadrati iterati partendo da due sonosempre primi... 3, 5, 17, 257, 65537, e così via all�in�nito, sono primi.� Nel1732 L.Eulero (1707-1783) dimostra che ogni fattore di 22

n

+1 deve essere dellaforma m � 2n+2 + 1, e scopre subito che 225 + 1 = 4294967297 = 641 � 6700417.Non si conoscono altri primi di Fermat oltre i primi cinque, comunque nel 1730C.Goldbach (1690-1764) dimostra che tutti questi numeri sono primi tra loro.Infatti F (n)� 2 = F (0)F (1):::F (n� 1),

22n

� 1 =�22

n�1� 1��22

n�1+ 1�=�22

0

+ 1��22

1

+ 1�:::�22

n�1+ 1�:

Se p divide F (m) ed F (n), con m < n, allora p divide F (n) e F (n) � 2, edivide anche 2. Ma i numeri di Fermat sono dispari. Come corollario, i primidevono essere in�niti. Nel 1743 Goldbach osserva anche che �Non esistono for-mule algebriche che assumono solo valori primi�, cioè i polinomi con coe¢ cientiinteri non costanti non possono prendere solo valori primi per valori interi dellavariabile. Se P (a) = b, anche P (a+ nb) è un multiplo di b per ogni intero n. MaP (a+ nb) può prendere i valori �b solo un numero �nito di volte. Comunquenel 1772 Eulero osserva che il polinomio n2�n+41 è primo per n = 1; 2; 3; :::; 40.Nella memoria �Osservazioni varie sulle serie in�nite� (1737) Eulero mostra

che esistono in�niti numeri primi, provando che la serie degli inversi dei primidiverge. Più precisamente, la serie degli inversi dei primi si comporta come illogaritmo della serie armonica,

1=2 + 1=3 + 1=5 + 1=7 + 1=11 + 1=13 + 1=17 + :::

= log (1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + :::) = log (log(1)) :

La serie armonica diverge piano e con molta calma. La serie degli inversi deiprimi diverge piano piano, con molta molta calma.A.Thue (1863-1922) conta quanti numeri si possono ottenere moltiplicando

un numero �nito di numeri primi. DatiN primi p1, p2,..., pN , se n = p�11 p�12 :::p�NNe se n � x, allora 0 � �j � log (n) = log (pj) � log (x) = log (2). Le scelte degliesponenti sono al più (1 + log (x) = log (2))N , quindi i numeri n = p�11 p�12 :::p�NNcon n � x sono al più (1 + log (x) = log (2))N . Se ogni n � x è un prodotto di Nprimi, x � (1 + log (x) = log (2))N , cioè N � log (x) = log (1 + log (x) = log (2)).Nel 1955 H.Furstenberg scopre una curiosa dimostrazione topologica della es-

istenza di in�niti numeri primi. Nell�insieme degli interi relativi si può de�nireuna topologia con una base per gli aperti data dalle progressioni aritmetichefan+ bg, cioè un insieme è aperto se è l�insieme vuoto o se ogni suo punto è con-tenuto in una progressione aritmetica tutta contenuta nell�insieme. L�intersezione

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di un numero �nito di aperti e l�unione �nita o in�nita di aperti è ancora unaperto, quindi quella de�nita è una topologia. Gli aperti non vuoti in questatopologia contengono un numero in�nito di punti, perché contengono almenouna progressione aritmetica. Inoltre, una progressione aritmetica in questatopologia è sia aperta che chiusa. Infatti il complementare della progressionearitmetica fan+ bg è unione di a � 1 progressioni aritmetiche fan+ cg. Ogninumero diverso da �1 è contenuto in una progressione aritmetica fpng con pprimo, quindi Z�f�1g =

Sp primo fpng. Se i primi fossero �niti, l�unione dei

chiusi fpng sarebbe un chiuso, quindi il complementare f�1g sarebbe aperto.Ma un insieme �nito non è aperto.

Di¢ nitione .7. Numero perfetto se adimanda quello che è equale a tutte lesue parti delle quale è numerato.

Il Tradottore. Si come sono .6.28.496. & altri simili che sono equali atutte le sue parti che le numeranno, esempio le parti del .6. sono tre cioe lamità che è .3. la terza che è .2. la sesta che è .1. lequal parte summateinsieme fanno apponto .6. pero il .6. è numero perfetto per questa di¢ nitione ilmedesimo seguirà inel .28. & .496. se con diligentia trouerai tutte le sue partiche li numeranno & questi tal numeri perfetti sono piu rari de ogni altra speciedi numeri, pero che da uno insino a cento non se ne troua altri che duoi cioe.6. & .28. & da 100. assendendo gradatim per �n a .1000. se troua solamente.496. et da .1000. per �na a .10000. se troua solamente .8128.

Theorema .39. Propositione .39. Quando seranno assettati numeridalla unità continuamente doppii, liquali congiunti facciano numero primo, mul-tiplicato l�ultimo de quelli in lo aggregato de quelli produce numero perfetto.

Un numero è perfetto se è uguale alla somma dei suoi divisori. Il primonumero perfetto è 6 = 1+2+3 ed il secondo 28 = 1+2+4+7+14, poi ci sono 496,8128,... Euclide dimostra che se 2n � 1 è primo, allora 2n�1 (2n � 1) è perfetto.Poi Eulero dimostra che ogni numero perfetto pari ha questa forma. Non siconoscono numeri perfetti dispari. Da xmn � 1 = (xm � 1)

�xm(n�1) + :::+ 1

�si deduce che se x > 2 allora xn � 1 non è primo, e se 2n � 1 è primo allora nè primo. I primi più grandi conosciuti sono i primi di M.Mersenne (1588-1648)2p�1, con p primo. 22�1 = 3, 23�1 = 7, 25�1 = 31,... Il quarantaquattresimoprimo di Marsenne è 232582657 � 1 ed ha 9808358 cifre decimali.Torniamo per un momento ai primi di Fermat. I diari di C.F.Gauss (1777-

1855) iniziano il 30 Marzo 1796 con �I principi da cui dipende la divisione delcerchio e la divisibilità geometrica dello stesso in diciassette parti, etc�. Nelle�Disquisitiones Arithmeticae� (1801) Gauss dimostra che l�equazione zn = 1 èsempre risolubile per radicali. E se n = 2mp1p2::: con pj numeri primi distintidella forma 22

k

+ 1, l�equazione zn = 1 è risolubile con radicali quadratici, chesono costruibili con riga e compasso. In particolare, è possibile costruire conriga e compasso ogni poligono regolare con 2mp1p2::: lati se i pj sono numeriprimi distinti della forma 22

k

+ 1.

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I numeri primi sono gli atomi dei numeri interi, sono indivisibili ed ogninumero è una molecola composta da questi atomi.

TEOREMA: Ogni numero intero può essere scomposto nel prodotto dinumeri primi e la fattorizzazione è unica a meno dell�ordine.

Dimostrazione: Se un numero a non è primo, può essere scomposto nelprodotto bc, con 1 < b; c < a. Se i fattori b o c non sono primi, possono esserescomposti a loro volta nel prodotto di fattori più piccoli. Procedendo in questomodo, si ottengono fattori via via più piccoli e si arriva quindi a dei fattori primi.Se la scomposizione in fattori primi non è unica, esiste il più piccolo intero condue scomposizioni in fattori primi distinti, x = pr::: = qs:::, con p � r � :::,q � s � :::, p < q, e con p e r... distinti da q e s.... Allora

y = x� ps::: = p (r:::� s:::) = (q � p) s::::

p divide y, ma non divide q � p e non divide s... Quindi y < x e y ha duescomposizioni in fattori primi distinte. �

Data l�importanza del risultato, ne presentiamo un�altra dimostrazione, chesi basa sull�algoritmo di Euclide per la ricerca del massimo comun divisore tradue interi.

TEOREMA: (1) a diviso b è c con il resto di d. b diviso d è e con il restodi f . d diviso f è g con il resto di h....

a = bc+ d; c � 0; 0 � d < b;

b = de+ f; e � 0; 0 � f < d;

d = fg + h; g � 0; 0 � h < f; :::

L�ultimo dei resti d, f , h,... non nullo è il massimo comun divisore mcd (a; b)tra a e b.(2) Il massimo comun divisore tra a e b è il più piccolo valore positivo di

ax + by, al variare di x e y tra gli interi relativi. In particolare, esistono x ey tali che mcd (a; b) = ax + by. Più in generale, l�equzione ax + by = c, cona, b, c interi ha soluzioni intere (x; y) se e solo se c è un multiplo del massimocomun divisore tra a e b.

Dimostrazione: (1) Assumiamo a > b e

a = bc+ d; 0 < d < b;

b = de+ f; 0 < f < d;

d = fg + h; 0 < h < f;

f = hl:

Per l�ultima equazione, l�ultimo resto non nullo h divide f . Per la penultimaequazione, se h divide f , divide anche d. Per la seconda equazione, se h divide

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f e d, divide anche b. Per la prima equazione, se h divide d e b, divide anche a.Viceversa, se un numero m divide a e b, per la prima equazione m divide anched. Se m divide b e d, per la seconda equazione m divide anche f . Se m divide de f , per la terza equazione m divide anche h. Quindi ogni divisore comune traa e b divide anche h.(2) Un divisore comune di a e b divide anche ax+by per ogni x e y. Viceversa,

se f è il più piccolo intero positivo della forma ax+ by, dividendo a per f si haa = qf + r, con 0 � r < f , ed anche r = a � q (ax+ by) = a (1� qx) � bqy.Dalla minimalità di f segue che r = 0, quindi f divide a. E similmente, fdivide b. Gli interi x e y con mcd (a; b) = ax + by possono essere determinatiesplicitamente con l�algoritmo di Euclide:

h = d� fg= d� (b� de) g = �bg + d (1 + eg)

= �bg + (a� bc) (1 + eg) = a (1 + eg)� b (c+ g + ceg) : �

COROLLARIO: (1) Se un numero primo divide un prodotto di numeriinteri, allora divide almeno uno dei fattori.(2) La scomposizione in fattori primi è unica, a meno dell�ordine.

Dimostrazione: (1) Se un numero primo p divide il prodotto ab, ma nondivide b, allora 1 = mcd fb; pg = bx + py, e a = abx + py, da cui segue che pdivide a.(2) Date due scomposizioni in fattori primi pqr::: = stu:::, se p divide il

prodotto stu:::, deve dividere almeno uno dei fattori. In particolare, se p divides, allora p = s. Quindi, qr::: = tu::: ed iterando si ottiene che i fattori a destrasono uguali ai fattori a sinistra. �

La scomposizione in fattori primi si estende immediatamente dagli interiai razionali. Ogni razionale ha una ed una sola scomposizione in prodotto dipotenze positive o negative di primi:

m=n = �p��q��r� ::::

L�unicità della scomposizione in primi non è per niente ovvia o banale! Peresempio, nel semigruppo X = f1; 5; 9; 13; :::g degli interi congrui a 1 modulo 4i numeri f5; 9; :::; 21; :::; 49; :::g sono indecomponibili, ma 21 � 21 = 9 � 49. Glianelli Z [

pn] = fa+ b

png con n intero privo di quadrati in cui la scomposizione

è unica sono un numero �nito. Per esempio,�1 +

p�3� �1�

p�3�= 2 � 2 ed

i numeri 2 e 1 �p�3 sono indecomponibili in Z

�p�3�. Per convincersene,

basta elencare tutti i prodotti di elementi in Z�p�3�con modulo al più 2. Per

ripristinare l�unicità della decomposizione in primi si possono aggiungere deglielementi. Z

�p�3�è contenuto negli interi di F.G.M.Eisenstein (1823-1852)

Z��1 +

p�3�=2�=�a+ b

�1 +

p�3�=2e qui la decomposizione in primi è

unica. Si ha ancora�1 +

p�3� �1�

p�3�= 2 � 2, ma 1�

p�3 e 2 di¤eriscono

per una unità in Z��1 +

p�3�=2�. In un anello x divide z se esiste y tale che

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xy = z. Una unità è un divisore di 1. z è irriducibile se non è scomponibile inun prodotto xy, a meno di unità, cioè se z = xy allora x o y è una unità. z èprimo se quando divide un prodotto xy, allora divide almeno uno dei fattori xo y. In un anello senza divisori dello zero ogni primo è irriducibile, ma non ènecessariamente vero il viceversa. Un anello A è euclideo se esiste una funzione� : A�f0g N tale che per ogni x e y in A�f0g si ha � (x) � � (xy), e seper ogni x in A e y in A�f0g, esistono q e r tali che x = qy + r, con r = 0oppure � (r) < � (y). Cioè, negli anelli euclidei c�è la divisione con il resto.Negli anelli euclidei la scomposizione in fattori primi è unica, a meno di unità.Nell�anello dei polinomi C [x] si può de�nire �

�axn + bxn�1 + :::+ c

�= n il

grado del polinomio, c�è un algoritmo di divisione, e la scomposizione in fattoriprimi è unica. Negli interi di Gauss Z

�p�1�=�a+ b

p�1si può de�nire

��a+ b

p�1�= a2 + b2. Dati x e y in Z

�p�1��f0g, se qy è il punto del

reticolo y � Z�p�1�più vicino a x, allora � (x� qy) � � (y) =2. Quindi, negli

interi di Gauss la scomposizione in fattori primi è unica. I primi di Gauss sonosimmetrici rispetto agli assi reale e immaginario, ed alle bisettrici di questi assi.I primi di Gauss sono in�niti. La dimostrazione di Eulide vale ancora: Se u, v,w,..., z sono primi, u � v � w � ::: � z + 1 non è divisibile per u, v, w,..., z.

Un intero di Gauss x+p�1y nel quadrante fx > 0; y � 0g è primo

se e solo se y = 0 e x è un primo della forma 4n+ 3, oppure x e ynon sono non nulli e a2 + b2 è un primo della forma 4n+ 1.

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Un intero di Eisenstein x+ y�1 +

p�3�=2 nel sestante�

0 � Arg�x+ y

�1 +

p�3�=2�< �=3

è primo se e solo se y = 0 e x

è un primo della forma 3n+ 2, oppure x e y non sono non nulli ex2 + xy + y2 è un primo della forma 3n+ 1.

Come esempio di applicazioni della scomposizione in fattori primi, risolviamoqualche equazione diofantea. �Aritmetica, Libro VI, Problema 17 : Trovare unquadrato che addizionato a 2 diventa un cubo�. La soluzione di Diofanto (IIIsecolo d.C.) è 52 + 2 = 33. Fermat a¤erma che questa soluzione è unica, edEulero lo dimostra. Negli �Elementi di Algebra�Eulero cerca le soluzioni interedell�equazione ax2 + by2 = z3, fattorizzando il polinonio di secondo grado nelprodotto

ax2 + by2 =�p

ax+p�by

���p

ax�p�by

�:

Si può ipotizzare una fattorizzazione analoga per z,

z3 =�p

ap+p�bq

�3��p

ap�p�bq

�3:

Assumendo le due fattorizzazioni uguali, si ottiene( pax+

p�by =

�pap+

p�bq

�3=pa�ap3 � 3bpq2

�+p�b�3ap2q � bq3

�;

pax�

p�by =

�pap�

p�bq

�3=pa�ap3 � 3bpq2

��p�b�3ap2q � bq3

�:

Quindi, queste soluzioni di ax2 + by2 = z3 hanno la parametrizzazione8<:x = ap3 � 3bpq2;y = 3ap2q � bq3;z =

�ap2 + bq2

�3:

Con il metodo di Eulero, si possono cercare le soluzioni intere dell�equazioney2 + 1 = x3. Se (x; y) è una soluzione intera, x è dispari e y è pari. Infatti, se

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x è pari x3 è multiplo di 4, mentre se y è pari y2 + 1 diviso per 4 ha resto 1 ese y è dispari y2 + 1 diviso per 4 ha resto 2. In Z

�p�1�l�equazione diventa�

y +p�1���y �

p�1�= x3:

Il massimo comun divisore in Z�p�1�tra y +

p�1 e y �

p�1 è 1. Infatti,

se a + bp�1 divide y �

p�1, allora divide anche la di¤erenza 2

p�1, quindi

a2 + b2 divide y2 + 1 e 4. Ma se a2 + b2 non è 1 e divide 4 , è uguale a 2 o 4.E se a2 + b2 divide y2 + 1 = x3 con x dispari, a2 + b2 è dispari. Se y +

p�1

e y �p�1 sono primi tra loro e se

�y +

p�1���y �

p�1�= x3, per l�unicità

della scomposizione in primi, y +p�1 deve essere un cubo,

y +p�1 =

�a+ b

p�1�3=�a3 � 3ab2

�+�3a2b� b3

�p�1;�

a�a2 � 3b2

�= y;

b�3a2 � b2

�= 1;

�a = 0;b = �1;

�x = 1;y = 0:

Similmente, per risolvere l�equazione y2 + 2 = x3, Eulero la scompone inZ�p�2�, �

y +p�2���y �

p�2�= x3:

In Z�p�2�la scomposizione in fattori primi è unica, e y +

p�2 e y �

p�2

sono primi tra loro. Quindi y �p�2 sono cubi,

y +p�2 =

�a+ b

p�2�3=�a3 � 6ab2

�+�3a2b� 2b3

�p�2;�

a�a2 � 6b2

�= y;

b�3a2 � 2b2

�= 1;

�a = 1;b = 1;

�x = 3;y = �5:

Le equazioni y2 + n = x3 con n intero non nullo hanno un numero �nito disoluzioni intere. Le uniche soluzioni intere di y2+4 = x3 sono (2;�2) e (5;�11).Altre equazioni, y2 + 5 = x3, y2 + 6 = x3, y2 � 7 = x3,... non hanno soluzioniintere.

Leonhardo Eulero

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I numeri primi esercitano un fascino speciale sui matematici. Osserva Eulero:

�I matematici hanno cercato, �n qui invano, di scoprire un ordine qualunquenella successione dei numeri primi, e si è portati a credere che questo è un mis-tero che lo spirito umano non riuscirà mai a penetrare. Per convincersene bastagettare un occhio alle tavole dei numeri primi, che alcuni si sono dati la penadi calcolare �n oltre a centomila, e ci si accorge subito che non vi regna nessunordine o regola. Questo è tanto più sorprendente, quanto l�aritmetica ci forniscedelle regole certe per mezzo delle quali si può continuare la successione di questinumeri tanto lontano quanto si desidera, senza tuttavia lasciare intravedere ilminimo indizio di un ordine qualunque.�

Nelle �Variae observationes circa series in�nitas� ( 1737), dopo aver dis-cusso alcune serie di Goldbach e quasi nascosta tra 19 teoremi e 16 corollari,Eulero presenta un�altra dimostrazione dell�esistenza di in�niti numeri primi,che poi ripropone nel capitolo �De seriebus ex evolutione factorum ortis� della�Introductio in analysin in�nitorum�(1748).

TEOREMA: Se si continua all�in�nito la frazione

2 � 3 � 5 � 7 � 11 � 13 � 17 � 19 � :::1 � 2 � 4 � 6 � 10 � 12 � 16 � 18 � ::: ;

con al numeratore tutti i numeri primi ed al denominatore i primi meno unaunità, il risultato è uguale alla somma della serie

1 +1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+ :::;

che è in�nita.

Dimostrazione: Sia infatti

X = 1 +1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+ ::::

Allora1

2�X =

1

2+1

4+1

6+1

8+ ::::

e, sottraendo la seconda serie dalla prima,

1

2�X = 1 +

1

3+1

5+1

7+ ::::

In questa serie non compaiono denominatori pari. Sottraendo di nuovo aquesta serie la serie

1

2� 13X =

1

3+1

9+1

15+1

21+ :::;

11

si ricava1

2� 23�X = 1 +

1

5+1

7+1

11+1

13+ ::::

In questa serie non compaiono denominatori multipli di 2 o di 3. Per elim-inare anche i numeri multipli di 5, si sottrae la serie

1

2� 23� 15�X =

1

5+1

25+1

35+ :::;

e si ottiene1

2� 23� 45�X = 1 +

1

7+1

11+1

13+ ::::

Eliminando in modo simile i termini divisibili per 7, per 11, e per tutti glialtri numeri primi, si ottiene

1 � 2 � 4 � 6 � 10 � 12 � 16 � 18 � 22 � :::2 � 3 � 5 � 7 � 11 � 13 � 17 � 19 � 23 � ::: �X = 1:

Poiché X = 1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + 1=5 + 1=6 + :::, si ricava in�ne

1 +1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+1

8+ :::

=2 � 3 � 5 � 7 � 11 � 13 � 17 � 19 � 23 � :::1 � 2 � 4 � 6 � 10 � 12 � 16 � 18 � �22 � ::: :

In questa espressione al numeratore compare la successione dei numeri primied al denominatore i primi meno una unità. Q.E.D.

In particolare, se i numeri primi fossero �niti, anche il loro prodotto sarebbe�nito, ma questo prodotto è uguale alla serie armonica, che è in�nita,

1 +

�1

2

�+

�1

3+1

4

�+

�1

5+1

6+1

7+1

8

�+ ::: > 1 +

1

2+1

2+1

2+ ::::

In ogni passo di questa dimostrazione delle quantità in�nite sono manipolatecome veri e propri numeri, con somme e sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni.Per esempio, X=2 risulta essere uguale sia a 1+1=3+1=5+ ::: che a 1=2+1=4+1=6 + :::, ma ogni termine della prima serie è maggiore del corrispondente dellaseconda. Comunque nel teorema successivo compaiono solo quantità �nite e ladimostrazione diventa essenzialmente rigorosa.

TEOREMA: L�espressione formata con la successione dei numeri primi

2n

2n � 1 �3n

3n � 1 �5n

5n � 1 �7n

7n � 1 �11n

11n � 1 � :::

ha lo stesso valore della somma della serie

1 +1

2n+1

3n+1

4n+1

5n+1

6n+1

7n+ :::

12

Dimostrazione: ...

X = 1 +1

2n+1

3n+1

4n+1

5n+1

6n+1

7n+ :::�

1� 1

2n

�X = 1 +

1

3n+1

5n+1

7n+1

9n+

1

11n+ :::�

1� 1

2n

��1� 1

3n

�X = 1 +

1

5n+1

7n+

1

11n+ :::�

1� 1

2n

��1� 1

3n

��1� 1

5n

��1� 1

7n

�:::X = 1: Q:E:D:

E l�ultimo enunciato nella memoria di Eulero è il seguente:

TEOREMA: La somma dei reciproci dei numeri primi

1

2+1

3+1

5+1

7+1

11+1

13+ :::

è in�nitamente grande, ma è in�nite volte minore della somma della seriearmonica

1 +1

2+1

3+1

4+1

5+1

6+1

7+ :::

La somma della prima serie è il logaritmo della somma della seconda.

Cioè, per Eulero, la serie armonica è log (1) e la serie degli inversi dei primiè log log (1). La dimostrazione è, più o meno, la seguente:

+1Xn=1

1=n =Y

p primo

(1� 1=p)�1

= exp

0@� Xp primo

log (1� 1=p)

1A= exp

0@ Xp primo

+1Xk=1

k�1p�k

1A :

Quindi, passando ai logaritmi ed isolando i termini con k = 1,

log

+1Xn=1

1=n

!�

Xp primo

1=p =+1Xk=2

Xp primo

k�1p�k:

Per Eulero è ovvio che la serie doppia converge, per i comuni mortali è megliofare i conti:

+1Xk=2

Xp primo

k�1p�k < 2�1+1Xn=2

+1Xk=2

n�k

= 2�1+1Xn=2

�1

n� 1 �1

n

�= 1=2:

13

Nella memoria del 1734 �De progressionibus harmonicis observationes�Euleroformula anche una versione più precisa del fatto che la serie armonica è log (1):

N�1Xn=1

1=n =

Z N

1

dx

x+

Z +1

1

�1

[x]� 1

x

�dx�

Z +1

N

�1

[x]� 1

x

�dx

= log (N) + +O (1=N) ; = 0; 5772156649:::

Una versione più precisa del fatto che la somma degli inversi dei primi èlog log (1) è contenuta nei manoscritti di Gauss del Maggio 1796:

�(Pro x inf.)

1 +1

2+1

3+1

5+1

7+1

11+ :::+

1

x= log (log (x)) + V;

V esse constans suspicor ac prope 1; 266:::.�

Questo ed altri risultati sono poi ritrovati da F.C.J. Mertens (1840-1927):Xp primo; p<x

log (p) =p = log (x) +O (1) ;

Xp primo; p<x

1=p = log (log (x)) + �+O (1= log (x)) ; � = 0; 2614672128:::;

Yp<x

(1� 1=p) = e�

log (x)+O

�1= log2 (x)

�; = 0; 5772156649::::

Il signi�cato e l�importanza di queste formule, ed altre simili, è che perstudiare la distribuzione di certe quantità, in questo caso i primi, può essereopportuno considerare delle somme pesate di queste quantità.I numeri primi, 2 escluso, si dividono in due classi, quelli della forma 4n� 1

e quelli della forma 4n+1. È semplice mostrare che nessun numero 4n� 1 puòessere somma di due quadrati x2+y2. Se la somma è dispari, uno è pari e l�altroè dispari. Ma il quadrato di un pari è multiplo di 4, ed il quadrato di un dispariè multiplo di 4 più 1, quindi la somma è multipla di 4 più 1. Viceversa, Fermatasserisce che ogni primo della forma 4n+ 1 è somma di due quadrati, ma comesuo solito tiene per sè la dimostrazione. La prima dimostrazione pubblicata èdi Eulero. Poi Eulero torna ad occuparsi di questi numeri in un�altra memoria

�De summa seriei ex numeris primis formatae

1=3� 1=5 + 1=7 + 1=11� 1=13� 1=17 + 1=19 + 1=23� 1=29 + 1=31 etc:

ubi numeri primi formae 4n�1 habent signum positivum, formae autem 4n+1signum negativum�(1775).

14

Dalla convergenza di questa serie Eulero ricava la divergenza delle serie degliinversi dei primi nelle progressioni aritmetiche 4n� 1, poi accenna anche ad unrisultato analogo per la progressione 100n+ 1.

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Eulero asserisce che le successioni fan+ 1g contengono in�niti numeri primi,e A.M.Legendre (1752-1833) congettura che lo stesso vale per le successionifan+ bg, con a e b primi tra loro. Questi risultati sono ripresi e generaliz-zati da J.P.G.L.Dirichlet (1805-1859) nella �Dimostrazione di un teorema sulleprogressioni aritmetiche� (1837).

TEOREMA: Ogni progressione aritmetica, in cui il primo termine e ledi¤erenze non hanno fattori comuni, contiene in�niti numeri primi.

Se con Eulero c�è la nascita della teoria analitica dei numeri, con Dirichletc�è l�inizio dell�analisi armonica sui gruppi e la sua applicazione alla teoria deinumeri. Qui, per semplicità, dimostriamo il teorema di Dirichlet con a = 4 eb = �1, che è proprio il caso considerato da Eulero.Al gruppo moltiplicativo degli interi che hanno inverso modulo 4 sono asso-

ciati i caratteri

�+(n) =

�1 se n = 4k � 1,0 altrimenti,

��(n) =

��1 se n = 4k � 1,0 altrimenti.

I caratteri sono funzioni moltiplicative, ��(mn) = ��(m)��(n), un analogodelle funzioni esponenziali, ed a questi caratteri sono associate delle serie di

15

Dirichlet e dei prodotti di Eulero,

+1Xn=1

��(n)n�z

=X

p;q;r;::: primi; a;b;c;::: interi

���paqbrc:::

� �paqbrc:::

��z=

Yp primo

�1 + �� (p) p

�z + �� (p)2p�2z + :::

�=

Yp primo

�1� ��(p)p�z

��1:

Queste serie e prodotti convergono assolutamente in z > 1. Prendendo losviluppo in serie di potenze dei logaritmi dei prodotti e separando le potenzeuguali ad uno da quelle maggiori di uno, si ottiene

log

+1Xn=1

��(n)n�z

!= �

Xp primo

log�1� ��(p)p�z

�=

Xp primo

��(p)p�z +

+1Xk=2

Xp primo

k�1��(p)kp�kz:

Con i caratteri si possono ricostruire le funzioni caratteristiche delle succes-sioni 4n� 1. In particolare,

��+(n)� ��(n)

�=2 è uguale a uno se n = 4k� 1 e

si annulla altrimenti. Quindi,Xp=4k�1 primo

p�z =X

p primo

�+(p)� ��(p)2

p�z

=1

2log

+1Xn=1

�+(n)n�z

!� 12log

+1Xn=1

��(n)n�z

!

�12

+1Xk=2

Xp primo

k�1�+(p)kp�kz � 1

2

+1Xk=2

Xp primo

k�1��(p)kp�kz:

Tutte queste serie convergono assolutamente in z > 1 e le due serie doppiesi mantengono limitate anche se z 1+. Inoltre, se z 1+,

limz 1+

+1Xn=1

�+(n)n�z = 1 + 1=3 + 1=5 + 1=7 + ::: = +1;

limz 1+

+1Xn=1

��(n)n�z = 1� 1=3 + 1=5� 1=7� ::: = �=4:

Quindi la serieX

p=4k�1 primop�z risulta scomposta in quattro addendi, di

cui tre si mantengono limitati quando z 1+, mentre uno diverge. Questo

16

implica che Xp=4k�1 primo

1=p = +1:

La dimostrazione del teorema di Dirichlet per progressioni aritmetiche fan+ bgè simile. I caratteri di un gruppo commutativo �nito sono gli omomor�smi delgruppo nel gruppo dei numeri complessi di modulo 1, �(mn) = �(m)�(n).L�insieme di tutti i caratteri è un sistema ortonormale completo del gruppo conla misura equidistribuita e normalizzata. In particolare, i caratteri del gruppomoltiplicativo degli elementi che hanno inverso modulo a possono essere estesia tutti gli interi,

�(m) = 0 se (a; n) 6= 1, �(m+ a) = �(m), �(1) = 1, �(mn) = �(m)�(n).

Ai caratteri sono associate delle serie di Dirichlet e dei prodotti di Eulero,

+1Xn=1

�(n)n�z =Y

p primo

�1� �(p)p�z

��1:

In�ne, una opportuna combinazione lineare di questi caratteri è uguale allafunzione caratteristica della successione fan+ bg, eX

p=an+b primo

p�z =X

p primo

X�

c(�)�(p)p�z

=X�

c(�) log

+1Xn=1

�(n)n�z

!�+1Xk=2

Xp primo

X�

c(�)�(p)kk�1p�kz:

Poi si dimostra che la serie di Dirichlet associata al carattere banale divergese z 1+, mentre le serie di Dirichlet associate ai caratteri con media nullaconvergono a quantità non nulle. In�ne, la serie tripla si mantiene limitata. Ecome sopra si conclude che

Xp=an+b primo

1=p = +1.Il problema dell�esistenza di in�niti primi in altri tipi di progressioni, per

esempio�n2 + 1

, è aperto. Nel 2004 B.Green e T.Tao hanno dimostrato una

sorta di complementare del teorema di Dirichlet, cioè hanno mostrato che i primicontengono progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria. Una congetturaancora aperta è la seguente: Se

Xn2A

1=n = +1, allora A contiene delle

progressioni aritmetiche di lunghezza arbitraria.Un numero n = paqb:::rc con p, q,..., r primi e a, b,..., c interi positivi, ha

esattamente (a+ 1)(b+ 1):::(c+ 1) divisori. Il numero dei divisori di n dipendeda n in modo abbastanza irregolare, ma in media si può riacquistare un po�piùdi regolarità. Nel 1849 Dirichlet osserva che il numero d(n) dei dei divisori din è uguale al numero di punti (x; y) a coordinate intere e positive sull�iperbolexy = n, e d(1) + d(2) + ::: + d(n) è uguale al numero dei punti interi con0 < y � n=x. Una approssimazione di questo numero è l�area sotto l�iperboleZ n

1

n

xdx = n log(n), quindi in media il numero dei divisori di n è circa log(n).

17

Di fatto, il risultato di Dirichlet è più preciso. Scomponendo la regione sottol�iperbole nel quadrato di vertici (0; 0), (0;

pn), (

pn;pn), (

pn; 0), nel trapezio

curvilineo di vertici (0;pn), (

pn;pn), (1; n), (0; n), e nel trapezio curvilineo

di vertici (pn; 0), (n; 0), (n; 1), (

pn;pn), si vede che il numero di punti interi

sotto l�iperbole 0 < y � n=x è

nXj=1

d(j) =�pn�2+ 2

[pn]X

j=1

�[n=j]�

�pn��= 2

[pn]X

j=1

[n=j]��pn�2

= 2n

[pn]X

j=1

1=j � n+ 2[pn]X

j=1

([n=j]� n=j) +�n�

�pn�2�

:

Per stimareXn

j=11=j, si può sostituire alla serie un integrale,

nXj=1

1

j=

Z n

1

dx

x+

Z n

1

�1

[x]� 1

x

�dx+

1

n

=

Z n

1

dx

x+

Z +1

1

�x� [x]x [x]

�dx�

Z +1

n

�x� [x]x [x]

�dx+

1

n:

L�integraleZ +1

1

�x� [x]x [x]

�dx = limn!+1

�Xn

j=11=j � log(n)

�de�nisce

la costante di Eulero Mascheroni = 0; 577215:::. Quindi in media il numerodei divisori di n è uguale a log(n) + (2 � 1), e����d(1) + d(2) + :::+ d(n)n

� (log(n) + (2 � 1))���� � cp

n:

Dirichlet accenna anche all�esistenza di stime più precise, ma questo restaancora un problema aperto. E dopo aver contato i divisori, si possono contarei divisori primi. Gauss annota nei suoi quaderni: �Numerus factorum usquead n, (log (log (n)) + 1)n�. Per esempio, un generico numero con 100 decimaliha circa log

�10100

�� 230 divisori, ma circa circa log

�log�10100

��� 5 divisori

primi. Nel 1917 G.H.Hardy (1877-1947) e S.Ramanujan (1887-1920) dimostranoche il numero ! (n) dei primi che dividono n è in media log (log (n)), con unoscarto medio

plog (log (n)),

nXj=1

! (n) =nXj=1

Xp primo; pjj

1 =X

p primo; p�n[n=p]

=X

p primo; p�nn=p�

Xp primo; p�n

(n=p� [n=p])

= n (log (log (n)) + �) +O (n= log (n)) :

�I (Hardy) remember once going to see him (Ramanujan) when he was illat Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number

18

seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavorable omen.No, he replied, it is a very interesting number; it is the smallest number express-ible as the sum of two cubes in two di¤erent ways

�1729 = 13 + 123 = 93 + 103

��.

Georg Friedrich Bernhard Riemann

I risultati di Eulero sembrano suggerire delle relazioni tra primi e logaritmi.Dopo aver capito che i numeri primi sono in�niti, si può cercare di contare quellisotto una certa soglia.

DEFINIZIONE: �(x) è il numero dei primi minori o uguali ad x.

P.A.Cataldi (1552-1626), P.Guldino (1577-1643), F.van Schooten (1615-1660),J.Pell (1611-1685), ed altri, pubblicano delle tavole di fattori e numeri primi.Ed anche J.H.Lambert (1728-1777) si fa promotore della compilazione di nuovee più complete tavole. Nel �Saggio sulla teoria dei numeri� del 1808 Legendrescrive: �Benchè la successione dei numeri primi sia estremamente irregolare,si può tuttavia trovare con una precisione molto soddisfacente quanti di questiprimi siano sotto un dato limite x. La formula che risolve questa questione è

y =x

log :x� 1; 08366 :

log :x è il logaritmo iperbolico. In e¤etti, il confronto tra la formula e letavole più estese, come quelle di Vega, dà i seguenti risultati:

x y Formula y Tavole10000 1230 123020000 2268 226330000 3252 324640000 4205 420450000 5136 5134

x y Formula y Tavole60000 6049 605870000 6949 693680000 7838 783790000 8717 8713100000 9588 9592

�.

19

Anche il giovane Gauss annota nelle sue tavole: �Numeri primi minori di a(=1) a= log (a). Numeri con due fattori a log (log (a)) = log (a), (probabilità...)con tre fattori a (log (log (a)))2 =2 log (a),... et sic in inf...�. E nel 1849 scrivead un amico: �Nel 1792 o 1793, uno dei miei primi progetti è stata la frequenzadecrescente dei primi... Ho contato i primi in intervalli di 1000 ed ho subitonotato che, al di là di certe �uttuazioni, la loro frequenza è in media inversa-mente proporzionale ad un logaritmo iperbolico, quindi il numero di primi sotto

una certa soglia n è approssimativamenteZ

dn

log (n)�.

Legendre : �(x) � x

log(x)� 1 Gauss : �(x) �Z x

0

dy

log(y)

20

x �(x) x=�(x) �(x)� x= log(x)Z x

0

dy

log(y)� �(x)

10 4 2; 5 �0; 3 2; 2102 25 4; 0 3; 3 5; 1103 168 5; 9 23 10104 1229 8; 1 143 17105 9592 10; 4 906 38106 78498 12; 7 6116 130107 664579 15; 0 44158 339108 5761455 17; 3 332774 754109 50847534 19; 6 2592592 17011010 455052511 21; 9 20758029 3104

In questa tabella si osserva che se x cresce di un fattore 10, x=�(x) crescedi circa 2; 3, che è circa uguale a log(10). La tabella suggerisce anche chel�approssimazione di Legendre �(x) � x= log(x) è peggiore di quella di Gauss

�(x) �Z x

0

dy

log(y), in x = 1 l�integrale è in senso generalizzato. Il numero delle

cifre decimali dell�erroreZ x

0

dy

log(y)� �(x) è circa la metà delle cifre di x, cioè

l�errore ha un ordine di grandezzapx. La stima �(x) � x= log(x) è peggiore.

Comunque, in prima approssimazione, le due congetture coincidono. Infatti,delle integrazioni per parti mostrano che per ogni a > 1,Z x

a

dy

log(y)=

x

log(x)� a

log(a)+

Z x

a

dy

log2(y);Z x

a

dy

log2(y)=

Z px

a

dy

log2(y)+

Z x

px

dy

log2(y)�

px

log2(a)+

x

log2(px):

Più in generale, vale lo sviluppo asintoticoZ x

0

dy

log(y)� x

log(x)

+1Xn=0

n!

logn(x):

La congettura �(x) �Z x

0

dy

log(y)ha una giusti�cazione euristica. Come

suggerito da Eulero,Xp primo; p�x

1=p � log (log (x)) =Z x

e

dy

y log(y)�

X2�n�x

1

n log(n):

Questo suggerisce che un numero n è primo con probabilità 1= log(n). Eun�altra possibile giusti�cazione è la seguente. I numeri tra 1 ed n divisibili per

21

p sono circa n=p, quelli divisibili per p2 sono circa n=p2,... ed indicando con [n]pil più grande intero k tale che pk divide n, si ha

[n!]p = [1]p + [2]p + [3]p + :::+ [n]p � n=p+ n=p2 + n=p3 + ::: � n=p:

Quindi

log (n!) = log

0@ Yp�n; p primo

p[n!]p

1A � nX

p�n; p primo

log (p)

p:

D�altra parte, per la formula di Stirling,

log (n!) =nXj=1

log (j) � n log(n):

Confrontando le due approssimazioni di log (n!), si ottieneXp�x; p primo

log (p)

p� log(x):

In�ne, assumendo che i primi abbiano una densità D(x), si ottiene

log(x) �X

p�x; p primo

log (p)

p�Z x

2

log (y)

yD(y)dy:

E, derivando a destra e a manca,

1=x � D(x) log (x) =x:

Quindi, la densità dei numeri primi dovrebbe essere circa 1= log(x) ed i nu-

meri primi minori di x dovrebbero essere circaZ x

2

dx= log(x) � x= log(x). Il

difetto di questa derivazione euristica del teorema dei numeri primi è l�assunzionea priori dell�esistenza di una densità dei primi.Il primo passo verso una dimostrazione del teorema dei numeri primi è di

P.L.Cebicev (1821-1894), che nel 1851 ottiene le stime

0; 921::: � lim infx +1

�(x)

x= log(x)� 1 � lim sup

x +1

�(x)

x= log(x)� 1; 105:::;

Quindi, se il rapporto �(x)= (x= log(x)) ha limite questo limite è uno. Questorisultato di Cebicev può essere confrontato con quello di Eulero

Xp primo

1=p =

log (log (1)). Per ogni " > 0 esiste � tale che se x > �,Xp primo; p<x

1

p=

Z x

1

d� (x)

x=� (x)

x+

Z x

1

� (x)

x2dx

�Z �

1

� (x)

x2dx+

�lim inf

x +1�(x)= (x= log(x))� "

�Z x

�

dx

x log (x)

=

�lim inf

x +1�(x)= (x= log(x))� "

�log (log (x)) +O (1) :

22

Dalla stimaX

p primo; p<x1=p � log (log (x)) segue quindi che

lim infx +1

�(x)= (x= log(x)) � 1:

La dimostrazione che lim sup�(x)= (x= log(x)) � 1 è analoga.G.F.B.Riemann (1826-1866) leggendo i lavori di A.L.Cauchy (1789-1957)

sull�analisi complessa commenta: �È una nuova matematica�. Nel 1851 Rie-mann dedica a questa nuova matematica la sua tesi di dottorato: �Fonda-menti di una teorica generale delle funzioni di una variabile complessa�. Poi,nel 1859, nella memoria �Sul numero dei numeri primi minori di una dataquantità� collega la distribuzione dei numeri primi al comportamento della fun-

zione �(z) =X+1

n=1n�z nel campo complesso. Nonostante sia stata introdotta

da Eulero, che tra l�altro calcolaX+1

n=11=n2 = �2=6,

X+1

n=11=n4 = �4=90,X+1

n=11=n6 = �6=945,..., questa funzione prende il nome di funzione Zeta di

Riemann. Il punto di partenza è l�osservazione di Eulero

+1Xn=1

n�z =Y

p primo

�1� p�z

��1:

Se in Eulero z è un intero positivo, per Riemann z è un numero complesso equeste espressioni de�niscono una funzione �(z) olomorfa nel semipiano Re(z) >1. Si ha poiZ +1

0

xz�1 exp(�nx)dx = n�zZ +1

0

yz�1 exp(�y)dy = n�z�(z);

�(z)�(z) =+1Xn=1

Z +1

0

xz�1 exp(�nx)dx =Z +1

0

xz�1

exp(x)� 1dx:

Se una curva parte da +1 + i0, gira in senso antiorario intorno a 0, poitorna a +1+ i0, si ha

2 sin (�z) �(z)�(z) = i

Z +1+i0

+1+i0

(�x)z�1

exp(x)� 1dx:

Questa espressione fornisce il valore della funzione Zeta per ogni numerocomplesso z e mostra che la funzione ha un polo in z = 1 e degli zeri inz = �2;�4;�6; :::. Poi Riemann de�nisce � (z) = (z � 1)��z=2� (z=2 + 1) �(z).Questa funzione ha la simmetria � (z) = � (1� z) e molti zeri, tutti contenutinella striscia 0 � Re (z) � 1. Riemann a¤erma che il numero di zeri con0 < Im (z) < T è circa (T=2�) (log (T=2�)� 1) e congettura che tutti questizeri hanno parte reale 1=2: �È molto probabile che tutti gli zeri della funzione� (1=2 + it) siano reali�. In�ne Riemann asserisce che la funzione log (� (z)) è

23

completamente caratterizzata dalle sue singolatità, cioè gli zeri � (�) = 0,

� (z) = � (0)Y�

(1� z=�) ;

log (� (z)) = log (� (0)) +X�

log (1� z=�) :

Dopo queste premesse, si torna ai numeri primi.

log (�(z)) = �X

p primo

log�1� p�z

�=

Xp primo

+1Xn=1

n�1p�nz;

=+1Xn=1

Xp primo

n�1Z +1

pnzx�z�1dx =

Z +1

0

zx�z�1

0@+1Xn=1

n�1

0@ Xp�x1=n

1

1A1A dx:

La somma �(x) =X+1

n=1n�1�

�x1=n

�è �nita e coinvolge solo gli n con

x1=n � 2. Quindi,log (�(z))

z=

Z +1

0

x�z�1�(x)dx:

Con z = � + i� complesso Riemann riconosce un integrale di Fourier,Z +1

0

�(x)x�� cos (� (log(x))) d (log(x))+i

Z +1

0

�(x)x�� sin (� (log(x))) d (log(x)) :

E, per la formula di inversione di Fourier seguita da una integrazione perparti,

�(x) =1

2�i

Z �+i1

��i1

log (�(z))

zxzdz

=�1

2�i log(x)

Z �+i1

��i1

d

dz

�log (�(z))

z

�xzdz:

Nel calcolo di questo integrale entrano in gioco le singolarità della funzionelog (�(z)). Dallo sviluppo di log (� (z)) si ottiene

log (� (z)) =

� log (2)� log (z � 1) + z log(�)=2� log (� (z=2 + 1)) +X�

log (1� z=�) :

I corrispondenti integrali si possono calcolare utilizzando la teoria dei residui,deformando opportunamente i cammini di integrazione. Il termine principale èdato dal polo di � (z) in z = 1, poi c�è il contributo degli zeri di � (z), e gli altri

termini sono trascurabili. In de�nitiva, se li (x) =Z x

0

dy

log(y)e se f�g sono gli

24

zeri della funzione �(z) nella striscia 0 � Re (�) � 1,

+1Xn=1

n�1��x1=n

�= li (x)�

X�

li (x�)� log(2) +Z +1

x

dy

y (y2 � 1) log(y) :

La somma sugli zeri non converge assolutamente, ma si ha convergenza rag-gruppando gli zeri coniugati 1=2�i� ed ordinandoli per moduli crescenti. In�ne,si può invertire la relazione �(x) =

X+1

n=1n�1�

�x1=n

�utilizzando la funzione

di Möbius, �(n) = 0 se n è divisibile per il quadrato di un numero primo,�(n) = �1 se n è il prodotto di un numero dispari di primi distinti, �(n) = 1 sen è il prodotto di un numero pari di primi distinti,

�(x)� 2�1��x1=2

�=

+1X2-n

n�1��x1=n

�;

�(x)� 2�1��x1=2

�� 3�1�

�x1=3

�+ 6�1�

�x1=6

�=

+1X2;3-n

n�1��x1=n

�; :::

+1Xn=1

�(n)

n��x1=n

�= � (x) :

Questa è la formula esplicita per il numero di primi minori di una dataquantità. Di fatto la somma è �nita e coinvolge solo gli n con x1=n � 2. Itermini �

�x1=n

�contengono una parte principale li

�x1=n

�e delle oscillazioni

li�x(1=2+i�)=n

�indicizzate dagli zeri della funzione Zeta. Trascurando le oscil-

lazioni dei primi attorno alla loro posizione attesa, Riemann propone l�approssimazione

� (x) �X+1

n=1

�(n)

nli�x1=n

�. Se la stima di Gauss � (x) � li (x) con x =

1000000 è in errore di 130, l�errore di Riemann è 29. Se l�errore di Gausscon x = 2000000 è 122, quello di Riemann è �9. Se l�errore di Gauss conx = 3000000 è 155, quello di Riemann è 0. Però, contrariamente alle evidenze

numeriche, nel 1914 J.E.Littlewood (1885-1977) dimostra che �(x)�Z x

0

dy

log(y)cambia segno in�nite volte. Quindi, ogni tanto l�errore di Gauss deve essereminore di quello di Riemann. Si sa che che deve accadere in�nite volte, maancora non si sa quando accadrà la prima volta.

25

x �(x) li (x)� �(x)X+1

n=1

�(n)

nli�x1=n

�� � (x)

10 4 2; 2 0; 6102 25 5; 1 0; 7103 168 10 0; 4104 1229 17 �2105 9592 38 �5106 78498 130 29107 664579 339 88108 5761455 754 97109 50847534 1701 �791010 455052511 3104 �1820

Riemann congettura anche che la di¤erenza tra �(x) e li(x) è dell�ordine dipx. Infatti si può dimostrare che se tutti gli zeri non banali di �(z) hanno parte

reale all�interno della striscia 0 < z < 1, allora �(x)=li(x) 1 se x +1.Se poi hanno parte reale 1=2, allora j�(x)� li(x)j � 1

8�

px log(x) per ogni

x � 2657. Questa congettura ha molte formulazioni equivalenti. Per esempio,se P (x) e D(x) sono il numero dei numeri minori di x che sono prodotto di unnumero pari o dispari di primi distinti, la congettura è che per ogni " > 0 esistec tale che per ogni x � 2 si ha jP (x)�D (x)j � cx1=2+".Nel 1895 H.C.F.von Mangoldt (1854�1925) propone un�altra formula es-

plicita per i numeri primi minori di una certa quantità:Xpk<x; p primo

log(p) = x�X

�(�)=0; 0�Re(�)�1

x�

�� 12log�1� 1=x2

�� log (2�) :

Il teorema dei numeri primi è equivalente alla stima asintoticaX

pk<xlog(p) �

x, e gli zeri della funzione Zeta sono le frequenze delle oscillazioni intorno aquesto valor medio. Ogni zero � genera un�oscillazione di ampiezza xRe(�), edil teorema dei numeri primi è equivalente all�assenza di zeri della funzione �(z)sulla retta Re(z) = 1. Nel 1896 C.J.G.N.de la Vallée Poussin (1866-1962) eJ.Hadamard (1865-1963) dimostrano la funzione �(z) non ha zeri sulla rettaRe(z) = 1 da cui segue il teorema dei numeri primi:

�(x) � x

log (x):

Nel 1900 E.Landau (1877-1938) dimostra la congettura di Gauss sui numericon n fattori primi,

�n(x) �x (log (log (x)))

n�1

(n� 1)! log (x) :

Le dimostrazioni originali sono state ripetutamente sempli�cate. Poi, nel1948 A.Selberg (1917-2007) e P.Erdös (1913-1996) scoprono delle dimostrazioni

26

elementari del teorema dei numeri primi, che non utilizzano l�analisi complessa.Queste dimostrazioni utilizzano solo metodi elementari, ma sono piuttosto com-plicate. Elementare non è sinonimo di semplice!

Jacques Salomon Hadamard Charles Jean Gustave NicolasBaron de la Vallée Poussin

Vogliamo presentare la dimostrazione del teorema dei numeri primi di D.J.Newman, �Simple analitic proof of the prime number theorem�, American Math-ematical Monthly 87 (1980), 693-696. Vedi anche D.Zagier, �Newman�s shortproof of the prime number theorem�, American Mathematical Monthly 104(1997), 705-708. Questa dimostrazione utilizza l�analisi complessa, ma è rel-ativamente semplice. Il punto di partenza è come in Riemann. Si vuole sti-mare il comportamento asintotico della funzione che conta i numeri primi.Ma il comportamento asintotico di una funzione g(t) per t +1 è legatoal comportamento asintotico della sua trasformata di Fourier Mellin G(z) =Z +1

1

zt�z�1g(t)dt per z 1. Se g(t) = t, allora G(z) = + = (z � 1) è unafunzione olomorfa con un polo semplice in z = 1. Più in generale, se g(t) � tper t +1, allora G(z) � = (z � 1) per z 1. Di fatto, sotto opportuneipotesi, vale anche un viceversa: Se G(z) � = (z � 1) per z 1, allora g(t) � tper t +1.La serie geometrica

X+1

n=1zn converge nel cerchio fjzj < 1g alla funzione

1= (1� z), che è una funzione è de�nita in tutto C � f1g. Similmente, le serieed integrali considerati nel seguito saranno convergenti solo in una parte delpiano complesso, ma avranno un naturale prolungamento analitico a regioni piùgrandi.

LEMMA: (1) Se f(x) è una funzione localmente integrabile e limitata in

0 < x < +1 e se la trasformata di Laplace F (z) =Z +1

0

f(x) exp (�zx) dx hauna estensione olomorfa ad un aperto contenente il semipiano Re(z) � 0, allora

27

l�integrale generalizzatoZ +1

0

f(x)dx = limT +1

Z T

0

f(x)dx

esiste ed è uguale a F (0).(2) Se g(t) è una funzione localmente integrabile in 1 � t < +1, con

jg(t)j � ct, e se la trasformata di Mellin G(z) =

Z +1

1

zt�z�1g(t)dt ha una

estensione olomorfa ad un aperto che contiene il semipiano Re(z) � 1, eccettoun polo semplice in z = 1 con residuo , cioè G(z) � = (z � 1) è olomorfa inRe(z) � 1, allora esiste l�integrale generalizzatoZ +1

1

g(t)� tt2

dt = limT +1

Z T

1

g(t)� tt2

dt:

(3) Se g(t) è una funzione monotona non decrescente in 1 � t < +1, e seper un qualche > 0 esiste l�integrale generalizzatoZ +1

1

g(t)� tt2

dt = limT +1

Z T

1

g(t)� tt2

dt;

allora limt +1 g(t)=t = .

Dimostrazione: (1) L�integrale che de�nisce la trasformata di Laplace diuna funzione limitata è assolutamente convergente nel semipiano Re (z) > 0,Z +1

0

jf(x) exp (�zx)j dx

��

sup0<x<+1

jf(x)j�Z +1

0

exp (�Re(z)x) dx =�

sup0<x<+1

jf(x)j�=Re (z) :

Si può derivare sotto il segno di integrale, e la trasformata di Laplace è

olomorfa in Re (z) > 0. Se FT (z) =Z T

0

f(x) exp (�zx) dx, la tesi del teo-rema è che F (0) � FT (0) 0 quando T +1. Per ipotesi, per ogni R >0 se " > 0 è abbastanza piccolo la funzione F (z) è olomorfa nel dominiofjzj � R; Re(z) � �" > 0g e, se è il bordo di questo dominio, per la formulaintegrale di Cauchy,

F (0)� FT (0) =1

2�i

Z

(F (z)� FT (z)) exp (Tz)�1 + (z=R)

2�z�1dz:

Se z = R exp (i#), si ha���1 + (z=R)2��� =q(1 + cos (2#))2 + (sin (2#))2 = 2 jcos (#)j = 2 jRe(z)j =R:28

Quindi, nel semicerchio fjzj = R; Re(z) > 0g si ha���(F (z)� FT (z)) exp (Tz)�1 + (z=R)2� z�1���� R�1

���1 + (z=R)2��� Z +1

T

jf(x)j exp (Re(z)(T � x)) dx

� 2R�2�

sup0<x<+1

jf(x)j��

Re(z)

Z +1

T

exp (Re(z)(T � x)) dx�

= 2R�2�

sup0<x<+1

jf(x)j�:

Quindi il contributo del semicerchio all�integrale è trascurabile,����� 12�iZfjzj=R; Re(z)>0g

(F (z)� FT (z)) exp (Tz)�1 + (z=R)

2�z�1dz

������ R�1

�sup

0<x<+1jf(x)j

�:

Per valutare l�integrale sul rimanente tratto di curva, si possono consider-are le due funzioni F (z) e FT (z) separatamente. La funzione FT (z) è intera,è lecito deformare il cammino di integrazione e, come sopra, nel semicerchiofjzj = R; Re(z) < 0g si ha���FT (z) exp (Tz)�1 + (z=R)2� z�1���

� 2R�2 jRe(z)jZ T

0

jf(x)j exp (Re(z)(T � x)) dx

� 2R�2�

sup0<x<+1

jf(x)j�:

Quindi, ����� 12�iZ \fRe(z)�0g

FT (z) exp (Tz)�1 + (z=R)

2�z�1dz

�����=

����� 12�iZfjzj=R; Re(z)�0g

FT (z) exp (Tz)�1 + (z=R)

2�z�1dz

������ R�1

�sup

0<x<+1jf(x)j

�:

Queste stime sono indipendenti da T . In�ne, �ssato R, risulta �ssata la

funzione F (z)�1 + (z=R)

2�(2�iz)

�1, e questa funzione è integrabile in \fRe(z) � 0g, mentre jexp (Tz)j = exp (T Re(z)) 0 se Re(z) < 0 e T +1.Quindi,

limT +1

����� 12�iZ \fRe(z)�0g

F (z) exp (Tz)�1 + (z=R)

2�z�1dz

����� = 0:29

(2) segue dal punto precedente e dalla relazione tra le trasformate di Laplacee di Mellin. Dividendo g(t) per , si può assumere = 1. Posto f(x) =exp (�x) g (exp (x))� 1, si ha per ipotesi una funzione limitata e

F (z) =

Z +1

0

f(x) exp (�zx) dx

=

Z +1

0

g (exp (x)) exp (�(z + 1)x) dx�Z +1

0

exp (�zx) dx

=

Z +1

1

g (t) t�z�2dt� 1=z = (G (z + 1)� 1=z � 1) = (z + 1) :

Per ipotesi, questa funzione è olomorfa in Re(z) � 0. Quindi, per il punto

precedente, esiste l�integrale generalizzatoZ +1

1

g(t)� tt2

dt.

(3) Basta mostrare che

lim supt +1

g(t)=t � � lim inft +1

g(t)=t:

Se lim inft +1 g(t)=t < � < , allora per degli x arbitrariamente grandig(x) < �x e, per la monotonia di g(t),Z x

�x

g(t)� tt2

dt �Z x

�x

�x� tt2

dt =

Z 1

�

� � ss2

ds < 0:

In particolare, l�ultimo integrale non dipende da x ed è diverso da zero.

QuindiZ +1

1

g(t)� tt2

dt non è convergente. Se lim supt +1 g(t)=t > � > ,

allora per degli x arbitrariamente grandi g(x) > �x e, per la monotonia di g(t),Z �x

x

g(t)� tt2

dt �Z �x

x

�x� tt2

dt =

Z �

1

� � ss2

ds > 0:

QuindiZ +1

1

g(t)� tt2

dt non è convergente. �

LEMMA: (1) La serie �(z) =X+1

n=1n�z converge per ogni numero com-

plesso nel semipiano Re(z) > 1 ed in questo semipiano si ha

+1Xn=1

n�z =Y

p primo

�1� p�z

��1:

(2) La funzione �(z)� 1=(z � 1) è olomorfa in tutto il piano complesso.(3) La funzione �(z) non si annulla nel semipiano chiuso Re(z) � 1.(4) La funzione � 0(z)=�(z)+1= (z � 1) è olomorfa in un aperto che contiene

il semipiano chiuso Re(z) � 1.

30

(5) Se � (n) = log (p) se n = pk è una potenza di un primo p, e � (n) = 0se n non è una potenza di un primo, nel semipiano Re(z) > 1 si ha

� 0(z)

�(z)= �

+1Xn=1

� (n)n�z:

Dimostrazione: Nel campo complesso la funzione n�z è de�nita da n�z =exp (�z log (n)) = n�Re(z) exp (�in Im (z)). In particolare, jn�zj = n�Re(z),

quindi la serieX+1

n=1n�z converge assolutamente ed uniformemente in ogni

semipiano Re(z) > 1 + " > 1, e dove converge de�nisce una funzione olomorfa.Scomponendo poi ogni n in fattori primi si ottiene

+1Xn=1

n�z =X

p;q;r;:::; primi; a;b;c;:::; interi

�paqbrc:::

��z=

Yp primo

�1 + p�z + p�2z + p�3z + :::

�=

Yp primo

�1� p�z

��1:

Questo dimostra (1).(2) segue facilmente dalla formula di Eulero MacLaurin,

NXn=1

f (n) =

Z N

1

f (x) dx+1

2(f (1) + f (N)) +

Z N

1

(x� [x]� 1=2) ddxf (x) dx:

La formula si dimostra semplicemente spezzando gli integrali negli intervallin � x < n + 1. Si può poi integrare per parti l�ultimo integrale, derivandodf (x) =dx ed integrando x � [x] � 1=2 in modo da avere una primitiva period-ica con media nulla. E si possono anche iterare queste integrazioni per parti,osservando che

x� [x]� 1=2 = �2+1Xn=1

sin(2�nx)

2�n;

(x� [x])2 =2� (x� [x]) =2 + 1=12 = 2+1Xn=1

cos(2�nx)

(2�n)2; :::

In particolare, se f (x) = x�z e se N +1,

+1Xn=1

n�z =1

z � 1 +1

2� z

Z +1

1

(x� [x]� 1=2)x�z�1dx:

L�integrale converge assolutamente nel semipiano Re(z) > 0, che è l�estensioneolomorfa che servirà nel seguito. Integrando x� [x]� 1=2 e derivando x�z�1, siottiene l�estensione olomorfa nel semipiano in Re(z) > �1, ed iterando queste

31

integrazioni per parti si ottiene l�estensione olomorfa a tutto il pano complesso.La dimostrazione di Riemann è di¤erente.Z +1

0

xz�1 exp(�nx)dx = n�zZ +1

0

yz�1 exp(�y)dy = n�z�(z);

�(z) =+1Xn=1

�(z)�1Z +1

0

xz�1 exp(�nx)dx = �(z)�1Z +1

0

xz�1

exp(x)� 1dx:

La funzione Gamma soddisfa l�equazione funzionale � (z + 1) = z� (z), dacui segue che 1=� (z) è olomorfa in tutto il piano complesso, con zeri nei puntiz = 0;�1;�2; :::. La funzione 1= (exp (x)� 1) ha uno sviluppo in serie

1

exp (x)� 1 =+1Xn=0

B(n)

n!xn�1 = 1=x� 1=2 + x=12� x3=720 + x5=30240� ::::

Quindi,

� (z)�1Z +1

0

xz�1

exp (x)� 1dx

= � (z)�1

+1Xn=0

B(n)

n! (n+ z � 1) + � (z)�1Z +1

1

xz�1

exp (x)� 1dx:

In�ne, gli zeri di � (z)�1 cancellano i poli (n+ z � 1)�1, con l�eccezione delpolo in z = 1.Per dimostrare (3) nel semipiano aperto Re(z) > 1 basta osservare che �(z) =Yp primo

(1� p�z)�1 è un prodotto di termini non nulli. Resta da dimostrareche �(z) 6= 0 anche sulla linea Re(z) = 1. Il logaritmo della funzione Zeta è

log (�(z)) = log

0@ Yp primo

�1� p�z

��11A= �

Xp primo

log�1� p�z

�=

Xp primo

+1Xn=1

n�1p�nz:

Da n�(�+i�) = n�� (cos (� log (n))� i sin (� log (n))) segue che

Re�log��(�)3�(� + i�)4�(� + i2�)

��= 3Re (log (�(�))) + 4Re (log (�(� + i�))) + Re (log (�(� + i2�)))

=X

p primo

+1Xn=1

3 + 4 cos (�n log (p)) + cos (2�n log (p))

np�n�

= 2X

p primo

+1Xn=1

(1 + cos (�n log (p)))2

np�n� � 0:

32

Ma se �(1 + i�) = 0, lo zero del quart�ordine �(1 + i�)4 annulla il polo delterz�ordine �(1)3, e

lim� 1+

�Re�log��(�)3�(� + i�)4�(� + i2�)

��= �1:

Dai punti (2) e (3) segue che la sola singolarità di � 0(z)=�(z) nel semipianoRe (z) � 1 è in z = 1. Inoltre, in un intorno di questo punto, �(z) = (z � 1)�1+ + ::: e � 0(z) = � (z � 1)�2 + :::, quindi � 0(z)=�(z) = � (z � 1)�1 + + :::.Questo prova (4).In�ne, per dimostrare (5) basta derivare log (�(z)) = �

Xp primo

log (1� p�z),

d

dzlog (�(z)) = �

Xp primo

d

dzlog�1� p�z

�= �

Xp primo

p�z log (p)

1� p�z = �X

p primo

+1Xk=1

p�kz log (p) : �

TEOREMA: L�n-esimo numero primo è asintotico a n log (n) o, equiva-lentemente,

limx +1

�(x)

x= log(x)= 1:

Dimostrazione: Invece di studiare �(x) =X

p primo; p�x1, è conveniente

considerare altre somme sui primi. Oltre alla funzione Zeta di Riemann, pro-tagoniste della dimostrazione sono le funzioni di Cebicev

#(x) =X

p primo; p�xlog(p); (z) =

Xn�x

� (n) :

La trasformata di Mellin della funzione di Cebicev (z) è la derivata dellafunzione � log (�(z)), e queste funzioni soddisfano le ipotesi del lemma tauberi-ano precedente. Dividiamo la dimostrazione in una serie di passi.(1) 0 � (z)� #(x) �

px log (x).

(z)� #(x) =X

pk�x; p primo; k�2

log(p) �px log (x) :

(2) Le condizioni limx +1 �(x)= (x= log(x)) = 1 e limx +1 #(x)=x = 1 elimx +1 (x)=x = 1 sono equivalenti.Le condizioni #(x)=x � 1 e limx +1 (x)=x � 1 sono equivalenti per il

punto precedente. Basta quindi confrontare (x)=x con �(x)= (x= log(x)).

(x) =X

p�x; p primolog(p) +

Xpk�x; p primo; k�2

log(p)

� �(x) log(x) + x1=2 log (x) :

33

Se 0 < " < 1,

(x) �X

p primo; x1�"�p�x

log(p) ���(x)� �

�x1�"

��log�x1�"

�� (1� ")�(x) log(x)� (1� ")x1�" log(x):

Quindi,

(1� ") �(x)

x= log(x)� (1� ")x�" log(x) � (x)

x� �(x)

x= log(x)+ x�1=2 log(x):

(3) #(x) � cx e (x) � Cx.Per ogni n si ha

22n = (1 + 1)2n=

�2n

0

�+

�2n

1

�+ :::+

�2n

2n

�>

�2n

n

��

Yp primo; n<p�2n

p = exp (#(2n)� #(n)) :

Prendendo i logaritmi, #(2n)� #(n) � 2n log(2), e sommando,

#(2n) =

n�1Xj=0

�#(2j+1)� #(2j)

�� 2 log(2)

n�1Xj=0

2j = 2 log(2) (2n � 1) :

Quindi, #(x) � 4 log(2)x. In�ne,

(z) � #(x) +px log (x) � 4 log(2)x+

px log (x) :

(4) (x) è una funzione monotona non decrescente in 1 � x < +1, contrasformata di Mellin �� 0(z)=�(z),

Z +1

1

zx�z�1

0@Xn�x

� (n)

1A dx =+1Xn=1

� (n)n�z:

Basta osservare cheZ +1

1

zx�z�1

0@Xn�x

� (n)

1A dx =+1Xn=1

�� (n)

Z +1

n

zx�z�1dx

�:

Si può arrivare alla stessa conclusione anche integrando per parti,Z +1

1

zx�z�1 (x)dx =

Z +1

1

x�zd (x):

(5) limx +1 (x)=x = 1.Questo segue dal lemma tauberiano e dai punti precedenti. �

34

Il teorema precedente ha la formulazione più precisa suggerita da Legendre:Per ogni " > 0 esiste n tale che per ogni x > n,

x

log (x)� 1� " � �(x) � x

log (x)� 1 + " :

Questo segue dalla formulazione più precisa di Gauss,

�(x) �Z x

0

dy

log(y)

� x

log(x)+

x

log2(x)+ ::: =

x

log(x)� 1 �x�

ln2 x�(lnx� 1)

+ :::

Accenniamo alla dimostrazione della formula esplicita di Riemann e vonMangoldt, da cui segue un�altra dimostrazione del teorema dei numeri primi.

TEOREMA: Se � sono gli zeri della funzione Zeta nella striscia 0 �Re (�) � 1,Xpk<x; p primo

log(p) = x�X

�(�)=0; 0�Re(�)�1

x�

�� 12log�1� 1=x2

�� log (2�) :

Dimostrazione: Per ogni � > 0,

1

2�i

Z �+i1

��i1

xz

zdz =

8<: 0 se 0 < x < 1,1=2 se x = 1,1 se x > 1.

Se x = 1 l�integrale è un logaritmo. Se 0 < x < 1 l�integrale sul bordo di unrettangolo con vertici ��i� , !�i� , !+i� , �+i� , è zero. Se x > 1 l�integrale sulbordo di un rettangolo con vertici �� i� , �+ i� , �!+ i� , �!� i� , è il residuonell�origine. In�ne, se � ; ! +1 tre lati su quattro danno un contributotrascurabile all�integrale. Quindi, se Re (�) > 1 e se x non è la potenza di unprimo,

Xn�x

� (n) =1

2�i

+1Xn=1

� (n)

Z �+i1

��i1

�xn

�z dzz

=1

2�i

Z �+i1

��i1

+1Xn=1

� (n)n�z

!xz

zdz

=1

2�i

Z �+i1

��i1

���

0(z)

�(z)

�xz

zdz:

L�integrale è il limite della somma dei residui della funzione integranda inun rettangolo con vertici � � i� , � + i� , �! + i� , �! � i� , con � ; ! +1.Il polo della funzione Zeta in z = 1 dà un residuo x. Gli zeri non banali dellafunzione Zeta, �(�) = 0 con 0 � Re (�) � 1, danno dei residui �x�=�, e gli zeri

35

banali nei punti z = �2n danno i residui x�2n=2n. C�è poi un polo in z = 0con residuo �� 0(0)=�(0) = log (2�). �

Il teorema dei numeri primi è equivalente alla stima asintoticaX

pk<xlog(p) �

x, e gli zeri della funzione Zeta sono le frequenze delle oscillazioni intorno aquesto valor medio. Assumendo le stime Re (�) � �, per ogni " > 0 si avrebbeuna stima dell�errore �����(x)� Z x

0

dy

log(y)

���� � cx�+":

La congettura di Riemann è a = 1=2. Più precisamente, se gli zeri non banalidella funzione �(z) hanno tutti parte reale 1=2, allora, per ogni x > 2657,�����(x)� Z x

0

dy

log(y)

���� � px log (x)

8�:

Per ora si sa soltanto che per ogni n > 0 esiste c tale che, se x +1,�����(x)� Z x

0

dy

log(y)

���� � cx

logn(x):

Nel 1837 Dirichlet dimostra che ogni progressione aritmetica fan+ bg con(a; b) = 1 contiene in�niti numeri primi minori. Più in generale, i numeri primi sidistribuiscono a caso, e quindi in modo equo tra tutte le progressioni aritmetichefan+ bg con (a; b) = 1. Per esempio, il 25% dei primi termina con la cifra 1, il25% con la cifra 3, il 25% con la cifra 7, il 25% con la cifra 9. La dimostrazioneè simile alla precedente e ne presentiamo solo i passi, senza entrare nei dettagli.

TEOREMA: Se '(a) il numero degli interi tra 1 e a� 1 primi con a e seb è primo con a, il numero dei primi della forma an+b minori di x è asintoticoa x= ('(a) log(x)).

Dimostrazione: I caratteri del gruppo moltiplicativo degli elementi chehanno inverso modulo a sono le soluzioni delle equazioni funzionali �(m+ a) =�(m) e �(m � n) = �(m)�(n), con j�(n)j = 1 se (n; a) = 1 e �(n) = 0 se(m;a) 6= 1. Ci sono esattamente '(a) caratteri, e questi caratteri sono unsistema ortonormale completo del gruppo moltiplicativo. In particolare, la fun-zione caratteristica della successione an+ b ha lo sviluppo in serie di FourierX

�

'(a)�1�(b)�(n) =

�1 se n � b mod(a),0 altrimenti.

36

Protagonisti della dimostrazione sono le funzioni:

�(x; a; b) =X

p=an+b primo; p�x1; # (x; a; b) = '(a)

Xp=an+b primo; p�x

log(p);

L (z; �) =+1Xn=1

� (n)n�z; �(z; �) =X

p primo

� (p) p�z log(p);

(z) =X�

� (b)�(z; �) =X

p=an+b primo

p�z log(p):

(1)X+1

n=1� (n)n�z =

Yp primo

(1� � (p) p�z)�1.(2) Se �0 (n) è il carattere principale che vale 1 se (n; a) = 1 e 0 se (m;a) 6=

1, la funzione L (z; �0)�('(a)=a) (z�1)�1 è olomorfa nel semipiano Re(z) > 0.Se � (n) non è il carattere principale, L (z; �) è olomorfa nel semipiano Re(z) >0.(3) Le funzioni L (z; �) non hanno zeri nel semipiano Re(z) � 1.(4) La funzione (z)� 1=(z � 1) è olomorfa nel semipiano Re(z) � 1.(5) limx +1 �(x; a; b)= (x='(a) log(x)) = 1 e limx +1 # (x; a; b) =x = 1

sono equivalenti.(6) # (x; a; b) � cx.(7) # (x; a; b) è una funzione monotona non decrescente con trasformata di

Mellin (z).(8) limx +1 # (x; a; b) =x = 1. �

Negli interi di Gauss Z�p�1�c�è un teorema dei numeri primi del tutto

analogo al teorema in N.

TEOREMA: (1) I primi in Z�p�1�nel quadrante f0 � arg (z) < �=2g

sono i primi in N della forma 4n + 3, ed i numeri della forma a + bp�1 e

b+ ap�1 con a2 + b2 primo della forma 4n+ 1.

(2) Il numero dei primi in Z�p�1�nel settore

n0 � arg (z) < �=2; jzj2 � x

oè asintotico a x= log(x).

Dimostrazione: (1) Un primo in N non è necessariamente primo in Z�p�1�,

per esempio 2 =�1 +

p�1���1�

p�1�. Ma ogni primo in N, o è primo in

Z�p�1�o è il prodotto di due primi coniugati in Z

�p�1�. Infatti se p = w �z �:::

è la decomposizione di un primo in N in primi in Z�p�1�, p2 = jwj2 jzj2 :::. A

sinistra ci sono due fattori primi, quindi i fattori a destra non possono esserepiù di due. O p = z, o p = z � z. Se a + b

p�1 è un primo in Z

�p�1�, anche

a� bp�1 è un primo. Se la decomposizione di a2 + b2 in primi di N è pqr:::,�

a+ bp�1���a� b

p�1�= a2 + b2 = pqr:::

La scomposizione in fattori primi in Z�p�1�di a2 + b2 è unica a meno di

unità �1 e �p�1. A sinistra ci sono due fattori primi, quindi i fattori a destra

37

non possono essere più di due. Se c�è un solo primo, a2 + b2 = p. Se i primisono due, allora p = a+ b

p�1 e q = a� b

p�1, a meno di unità. In conclusione,

se a + bp�1 è primo in Z

�p�1�, allora a2 + b2 = p o a + b

p�1 = p, con p

primo in N. Da una scomposizione di a+ bp�1 si ricava una scomposizione di

a2+b2. Quindi, se a2+b2 è un primo in N, a+bp�1 è un primo in Z

�p�1�. In

particolare, per un teorema di Fermat, ogni primo in N della forma 4n+1 è unasomma di due quadrati, p = a2 + b2 =

�a+ b

p�1���a� b

p�1�, e a � b

p�1

sono primi in Z�p�1�. In�ne, una somma di quadrati non è mai della forma

4n+3. Quindi un primo in N della forma 4n+3 è anche un primo in Z�p�1�.

(2) I primi nel quadrante f0 � arg (z) < �=2g sono i primi p della forma4n+3, ed i numeri della forma a+b

p�1 e b+a

p�1 con a2+b2 = q primo della

forma 4n + 1. Quindi i prini nel settoren0 � arg (z) < �=2; jzj2 � x

osono i

primi p �px della forma 4n+ 3, ed il doppio dei primi q della forma 4n+ 1,

px

2 log (px)+ 2

x

2 log (x)� x

2 log (x): �

E.Landau (1877-1938), A.Beurling (1905-1986), ed altri, hanno anche datodelle versioni astratte del teorema dei numeri primi. In un semigruppo arit-metico G con identità 1 si assume l�esistenza di un sottoinsieme numerabile P dielementi tali che ogni elemento del semigruppo è un prodotto di questi primi, condecomposizione unica a meno dell�ordine. Si assume l�esistenza di una norma:j1j = 1, jpj > 1 se p 2 P, jabj = jaj jbj per ogni a; b 2 G. Si assume in�neuna formula asintotica per il numero di elementi con una data norma: EsistonoA > 0 e 0 � � < � tali che, se x +1,

jfa 2 G : jaj � xgj = Ax� +O�x��:

Si può introdurre una funzione Zeta associata al semigruppo,

�G (s) =+1Xg2G

jgj�s =Yp2P

�1� jpj�s

��1:

Con questa funzione si può dimostrare un teorema dei numeri primi: Sex +1,

jfp 2 P : jpj � xgj � x�

� log (x):

Per esempio, negli interi di Gauss Z�p�1�per il numero di prini in un

settoren� � arg (z) < �; jzj2 � x

osi ha la stima asintotica

� (�; �; x) � 2 (� � �)�

x

log (x):

38

Viggo Brun Lev Genrikhovich Shnirelmann

Nel 1742 Goldbach scrive ad Eulero: �Sembra che ogni numero maggioredi 2 sia somma di tre numeri primi�. Eulero risponde: �Ogni numero pari èsomma di due primi. Lo considero un teorema certo, ma non lo so dimostrare�.Goldbach congettura anche che ogni numero sia somma di un primo e del doppiodi un quadrato, n = p+ 2m2, ma questo non è vero, un controesempio è 5777.La congettura di Eulero implica quella di Goldbach, ma non viceversa. Nel 1849A. de Polignac (1826-1863) formula una congettura analoga con la di¤erenza alposto della somma, cioè congettura che ogni numero pari è di¤erenza di dueprimi in in�niti modi diversi. Più in generale, nell�ottavo problema presentatoal congresso internazionale dei matematici a Parigi nel 1900 D.Hilbert (1862-1943) chiede se l�equazione diofantea ax+ by + c = 0, con a, b, c relativamenteprimi, abbia sempre delle soluzioni prime x e y. Nel 1915 V.Brun (1885-1978)dimostra che la serie degli inversi dei primi gemelli convergeX

p e p+2 primi

�1

p+

1

p+ 2

�= 1; 902160:::

E dimostra anche che esistono in�nite coppie di numeri n e n+2 con al più 9fattori primi, e che ogni numero su¢ cientemente grande è somma di due numericon al più 9 fattori primi. Nel 1930 L.G.Shnirelmann (1905-1938) dimostra cheesiste una costante C < 800000 tale che ogni nuero intero maggiore di 1 puòessere scomposto nella somma di al più C numeri primi. La costante C viene viavia abbassata, e nel 2013 H.Helfgott dimostra che ogni numero dispari è sommadi tre primi. Se i pari siano somma di due primi resta ancora una congettura.Qui ci limitiamo a presentare il teorema Brun sulla serie degli inversi dei primigemelli, ed il teorema di Shnirelmann sulla partizione di un numero nella sommadi C primi con una costante C grande. Per far questo occorre partire un po�dalontano.

DEFINIZIONE: Una funzione aritmetica è una funzione de�nita sugliinteri positivi.

39

(1) Una funzione aritmetica è completamente moltiplicativa se f (mn) =f (m) f (n) per ogni m e n. Questo equivale a f

�p�q�r :::

�= f (p)

�f (q)

�f (r)

:::

per p, q, r,... primi distinti, e �, �, ,... interi positivi.(2) Una funzione aritmetica è moltiplicativa se f (mn) = f (m) f (n) per m e

n primi tra loro, (m;n) = 1. Questo equivale a f�p�q�r :::

�= f (p�) f

�q��f (r ) :::

per p, q, r,... primi distinti, e �, �, ,... interi positivi.

ESEMPIO: Per ogni esponente � la potenza n� è completamente molti-plicativa.

ESEMPIO: La funzione di Eulero ' (n) che conta i numeri minori di n eprimi con n è moltiplicativa. Se p, q,... sono primi e �; �; ::: > 0,

'�p�q� :::

�=�p� � p��1

� �q� � q��1

�:::; ' (n) = n

Yp primo; pjn

(1� 1=p) :

La funzione di Eulero non è completamente moltiplicativa, ' (p�) 6= ' (p)�

se a > 1. Il suo valor medio è 3n=�2,

' (1) + ' (2) + :::+ ' (n)

n� 3n

�2:

ESEMPIO: La funzione d (n) che conta i divisori di n è moltiplicativa, manon completamente moltiplicativa. Il valor medio è log (n).

ESEMPIO: La funzione ! (n) che conta i divisori primi distinti di n è molti-plicativa, ma non completamente moltiplicativa. Il valor medio è log (log (n)).

ESEMPIO: La funzione di Möbius � (n) è moltiplicativa,

� (n) =

8<:1 se n = 1,(�)k se n è prodotto di k primi distinti,0 se n è divisibile per il quadrato di un primo.

Si ha

1=� (z) =Y

p primo

�1� p�z

�=

+1Xn=1

� (n)n�z = z

Z +1

1

0@Xn�x

� (n)

1Ax�z�1dx:

Il valor medio della funzione di Möbius è 0, e questo è equivalente al teorema

dei numeri primi. Da���X

n�x� (n)

��� � cx� si ricava che 1=� (z) è analitica in

Re (z) > �. La congettura di Riemann è equivalente a���X

n�x� (n)

��� � cx� per

ogni � > 1=2. La disuguaglianza con c = 1 e � = 1=2 è falsa.

LEMMA: (1) Se (h; k) è il massimo comun divisore e [h; k] è il minimocomune multiplo, (h; k) � [h; k] = hk.

40

(2) Se g (n) è moltiplicativa, g((h; k)) � g([h; k]) = g(h) � g(k).

Dimostrazione: Queste identità possono essere dimostrate decomponendoh, k, (h; k)e [h; k] in fattori primi. �

Il prodotto formale delle serie di DirichletX+1

n=1f(n)n�z e

X+1

n=1g(n)n�z

associate alle funzioni aritmetiche f(n) e g(n) è +1Xn=1

f(n)n�z

!� +1Xn=1

g(n)n�z

!=

+1Xn=1

0@Xdjn

f (n=d) g (d)

1An�z:

LEMMA: La convoluzione di Dirichlet di due funzioni aritmetiche è de�nitada

f � g(n) =Xdjn

f (n=d) g (d) :

(1) La convoluzione è associativa, distributiva, commutativa.

(2) La funzione �(n) =�1 se n = 1,0 se n 6= 1, è l�unità dell�operazione di con-

voluzione, f(n) � � = f(n).(3) Se f(n) e g(n) sono funzioni aritmetiche moltiplicative, anche la con-

voluzione f � g(n) è moltiplicativa.

Dimostrazione: Le dimostrazioni di (1) e (2) sono immediate. (3) Se(m;n) = 1 e se d jmn , allora d = uv, con u = (d;m), v = (d; n), (u; v) = 1,(m=u; n=v) = 1. Quindi, se f(n) e g(n) sono moltiplicative,

f � g(mn) =Xdjmn

f (mn=d) g (d) =Xujm

Xvjn

f (mn=uv) g (uv)

=Xujm

f (m=u) g (u)Xvjn

f (n=v) g (v) = f � g(m) � f � g(n): �

LEMMA: (1) La funzione 1(n) identicamente uguale a 1 e la funzione diMöbius �(n) sono una l�inversa dell�altra, 1 � �(n) = � (n). Più esplicitamente,X

djn

� (d) =

�1 se n = 1,0 se n 6= 1.

(2) Se f(n) e g(n) sono funzioni aritmetiche, allora g(n) = 1 � f(n) se esolo se f(n) = � � g(n).

Dimostrazione: (1) Se n = p (1)�(1)

p (2)�(2)

:::p (N)�(N), i divisori che en-

trano in gioco nella sommaX

djn� (d) sono d = p (1)

�(1)p (2)

�(2):::p (N)

�(N),

con � (j) = 0; 1. I divisori sono tanti quanti i sottoinsiemi di f1; 2; :::; Ng. I

41

sottoinsiemi con un numero pari di elementi sono tanti quanti quelli con unnumero dispari di elementi. Quindi i termini con � (d) = 1 sono tanti quantiquelli con � (d) = �1. Più esplicitamente,X

djn

� (d) = � (1) +X

1�i�N� (p (i)) +

X1�i<j�N

� (p (i) p (j)) + :::

=

�N

0

���N

1

�+

�N

2

�� ::: = (1� 1)N = 0:

(2) Se g(n) = 1 � f(n), allora � � g(n) = � � 1 � f(n) = � � f(n) = f (n). Sef(n) = � � g(n), allora 1 � f(n) = 1 � � � g(n) = � � g(n) = g(n). �

Scopo di quanto segue è stimare il numero di elementi in un dato insiemeche soddisfano un certo numero di congruenze. Ricordiamo che jAj denota lacardinalità di un insieme A.

LEMMA: (1) Se A è un insieme di interi positivi e B un intero, e seA (d) = fa 2 A : a � 0 mod (d)g, il numero di elementi in A primi con B è

jfa 2 A : (a;B) = 1gj =XdjB

� (d) jA (d)j :

(2) Se fx (n)g+1n=�1 è una successione di numeri reali non negativi conX+1

n=�1x (n) = X < +1, se

X+1

n=�1x (nd) = X (d), e se B è un intero,X

�1<n<+1; (n;B)=1

x (n) =XdjB

� (d)X (d) :

Dimostrazione: (1) è un caso particolare di (2) con x (n) = 1 se n 2 A ex (n) = 0 altrimenti.(2) Per il principio di inclusione esclusione,X�1<n<+1; (n;B)=1

x (n) =X

�1<n<+1x (n)�

Xp primo

X�1<n<+1

x (np)

+X

p;q primi distinti

X�1<n<+1

x (npq)�X

p;q;r primi distinti

X�1<n<+1

x (npqr) + :::

Si può riscrivere la dimostrazione utilizzando le proprietà della funzione diMöbius,

X�1<n<+1; (n;B)=1

x (n) =X

�1<n<+1x (n)

0@ Xdj(n;B)

� (d)

1A=XdjB

0@� (d) X�1<n<+1; djn

x (n)

1A =XdjB

� (d)

X�1<n<+1

x (nd)

!: �

42

ESEMPIO: Se A = fx < n � x+ yg e B =Y

p primo; p�px+y

p, per il

crivello di Eratostene gli elementi in A primi con B sono i primi tra x e x +y, sono cioè � (x+ y) � � (x). I numeri tra x e x + y divisibili per d sono[(x+ y) =d]� [x=d]. Per contare gli elementi di A primi con B, ad A si devonotogliere tutti i multipli di un primo, aggiungere i multipli di due primi, toglierei multipli di tre primi,... Si ottiene così la formula di Legendre,

� (x+ y)� � (x) � y;

� (x+ y)� � (x) � y �X

p primo; p�px+y

��x+ y

p

���x

p

��;

� (x+ y)� � (x) � y �X

p primo; p�px+y

��x+ y

p

���x

p

��

+XX

p;q primi; p<q�px+y

��x+ y

pq

���x

pq

��; :::

In particolare, ponendo [x=d] = x=d + ([x=d]� x=d) ed osservando cheXdjB

� (d) =d = ' (B) =B, si ottiene

� (x+ y)� � (x) =XdjB

� (d)

��x+ y

d

��hxd

i�

= yXdjB

� (d)

d+XdjB

� (d)

��x+ y

d

�� x+ y

d�hxd

i+x

d

�

= y' (B)

B+XdjB

� (d)

��x+ y

d

�� x+ y

d�hxd

i+x

d

�:

ESEMPIO: Se A = f(2n� 1) (2n+ 1) ; n < x=2g e B =Y

p primo; p�pxp,

gli elementi in A primi con B sono prodotti di due primi gemelli 2n�1 e 2n+1.La cardinalità di A è il numero di coppie di primi gemelli tra

px e x.

ESEMPIO: Se A = fn (x� n) ; n < xg e B =Y

p primo; p�pxp, gli ele-

menti in A primi con B sono prodotti di due primi n e x� n con somma x. Lacardinalità di A è il numero di interi minori di x che sono somma di due primimaggiori di

px.

In molti esempi, jA (d)j = jAj g (d) + r (A; d), con jAj g (d) il termine princi-

43

pale e r (A; d) un resto minore del termine principale,

jfa 2 A : (a;B) = 1gj =XdjB

� (d) jA (d)j

= jAjXdjB

� (d) g (d) +XdjB

� (d) r (A; d) :

Nel 1915 Brun osserva che per stimare dall�alto di jfa 2 A : (a;B) = 1gj sipuò sostituire alla funzione di Möbius � (d) una funzione � (d) tale che � (1) = 1eX

djn� (d) � 0. Similmente, per una stima dal basso basta avere � (1) = 1

eX

djn� (d) � 0. Nel 1947 Selberg sostituisce a

Xdjn

� (d) un quadrato�Xdjn

� (d)

�2, con � (1) = 1. Una opportuna scelta della successione � (d)

permette poi di ottimizzare la stima. In particolare, quanto segue utilizza ilcrivello di Selberg.

LEMMA: Se A è una collezione �nita di interi e se B è il prodotto diun insieme �nito di primi distinti, si vuole stimare il numero di termini inA primi con B. Per ipotesi, si assume l�esistenza di una funzione aritmeticamoltiplicativa positiva con 0 < g (p) < 1 per ogni primo p che compare in B, edi una funzione aritmetica r (d), tali che per ogni intero d che divide B,X

a2A; dja

1 = jAj g (d) + r (d) :

(1) Per ogni successione di numeri reali f� (d)g con � (1) = 1, per il numerodi termini in A primi con B vale la stima:X

a2A; (a;B)=1

1 � jAjQ+R;

Q =XhjB

XkjB

g (h) g (k)

g ((h; k))� (h)� (k) ;

R =XhjB

XkjB

r

�hk

(h; k)

�� (h)� (k) :

(2) Se f(d) = � � 1=g(d), il minimo della forma quadratica Q con le con-dizioni � (1) = 1 e � (d) = 0 se d > z � 1 è 1=W , con

W =X

d�z; djB

1

f (d)=

Xd�z; djB

0@ Yp primo; pjd

g (p)

1� g (p)

1A :

(3) Per la successione f� (d)g che realizza il minimo della forma quadraticaQ, se jr (d)j � d � g (d),

jRj � z2W 2

min fd � g (d)g :

44

Il minimo è su tutti i divisori di B.(4) Nelle ipotesi precedenti, se d � g (d) è un intero positivo,X

a2A; (a;B)=1

1 � jAjW

+ z2W 2:

Dimostrazione: (1) Per qualunque successione f� (d)g con � (1) = 1 si haXa2A; (a;B)=1

1

�Xa2A

0@ Xdj(a;B)

� (d)

1A2

=XhjB

XkjB

0@� (h)� (k) Xa2A; [h;k]ja

1

1A= jAj

XhjB

XkjB

g ([h; k])� (h)� (k) +XhjB

XkjB

r ([h; k])� (h)� (k) :

Basta poi applicare le identità [h; k] = hk= (h; k) e g([h; k]) � g((h; k)) =g(h) � g(k) per funzioni moltiplicative.(2) Per la formula di inversione della convoluzione, f(d) = � � 1=g(d) se e

solo se 1=g(d) = 1�f(d). La funzione f(d) è moltiplicativa e per ogni d prodottodi primi distinti,

f(d) =Y

p primo; pjd

f (p) =Y

p primo; pjd

1� g(p)g(p)

:

In particolare, f(d) > 0. Con questa funzione si può diagonalizzare la formaquadratica Q, X

hjB

XkjB

g (h) g (k)

g ((h; k))� (h)� (k)

=XhjB

XkjB

0@ Xdj(h;k)

f (d)

1A g (h)� (h) g (k)� (k)

=XdjB

f (d)

0@ XnjB=d

g (nd)� (nd)

1A2

:

Questo suggerisce il cambio di variabili per gli indici d jB ,

� (d) =XnjB=d

g (nd)� (nd) ;

� (d) =1

g (d)

XnjB=d

� (n) � (nd) :

45

La relazione tra � (d) e � (d) segue delle proprietà della funzione di Möbius� (n),

XnjB=d

g (nd)� (nd) =XnjB=d

g (nd)

0@ 1

g (nd)

XmjB=nd

� (m) � (mnd)

1A=XnjB=d

XmjB=nd

� (m) � (mnd) =XkjB=d

� (kd)

0@Xmjk

� (m)

1A = � (d) :

Il vincolo � (d) = 0 se d > z diventa � (d) = 0 se d > z. Il vincolo � (1) = 1diventa

XdjB

� (d) � (d) = 1. Osservando che f (d) > 0, dalla disuguaglianza

di Cauchy Schwarz si ricava

1 =XdjB

� (d) � (d) �

8<: XdjB ; d�z

� (d)2

f (d)

9=;1=28<: X

djB ; d�z

f (d) � (d)2

9=;1=2

:

Se B è un prodotto di primi distinti e se d jB , allora � (d)2 = 1. Quindi,XdjB ; d�z

f (d) � (d)2 � 1X

djB ; d�z1=f (d)

:

Inoltre, con � (d) =�X

njB ; n�z1=f (n)

��1� (d) =f (d) la disuguaglianza

diviene una uguaglianza.(3) Se d jB e n jB=d , e se B è un prodotto di primi distinti, allora (d; n) = 1.

Quindi, � (nd) = � (n)� (d) e f (nd) = f (n) f (d). Quindi, per la successionef� (d)g che realizza il minimo della forma quadratica Q, se d divide B,

� (d) =1

g (d)

XnjB=d

� (n) � (nd)

=

XnjB=d ; n�z=d

� (n)� (nd) =f (nd)

g (d)X

njB ; n�z1=f (n)

=� (d)

XnjB=d ; n�z=d

1=f (n)

g (d) f (d)X

njB ; n�z1=f (n)

:

In particolare, se � (d) = 0 per d > z,

d j� (d)j � d

g (d) f (d)� z

g (d) f (d):

46

Quindi, dall�ipotesi jr (d)j � d � g (d) e dall�identità g ((h; k)) g ([h; k]) =g (h) g (k), si ricava

jRj =

������XhjB

XkjB

r

�hk

(h; k)

�� (h)� (k)

�������XhjB

XkjB

hk

(h; k)

g (h) g (k)

g ((h; k))j� (h)j j� (k)j

� 1

min fn � g (n)g

0@XdjB

dg (d) j� (d)j

1A2

�z2�X

djB1=f (d)

�2min fn � g (n)g =

z2W 2

min fn � g (n)g :

In�ne, (4) segue immediatamente dai punti precedenti. �

LEMMA: Se P (x) è un polinomio a coe¢ cienti interi e se d ed N sonointeri positivi, si vogliono contare gli interi 1 � n � N con P (n) � 0 mod (d).(1) Se s (d) è la funzione aritmetica che conta il numero di 1 � n � d con

P (n) divisibile per d, e se k è un intero positivo,X1�n�kd; djP (n)

1 = k � s (d) :

(2) Se per un dato intero N la funzione r (d) è de�nita daX1�n�N; djP (n)

1 = Ns (d)

d+ r (d) ;

allora jr (d)j � s (d).(3) La funzione s (d) che conta il numero di 1 � n � d con P (n) divisibile

per d è moltiplicativa.(4) Se P (x) = (x� a) (x� b) allora per ogni primo p, s (p) = 1 se p ja� b

e s (p) = 2 se p - a� b.

Dimostrazione: (1) Basta osservare che se d ed n sono interi positivi,P (n+ d)�P (n) è divisibile per d. Quindi in ogni intervallo hd+1 � n � (h+1)dil numero di soluzioni di P (n) � 0 mod (d) è costante.(2) L�intervallo 1 � n � N è l�unione di [N=d] intervalli di lunghezza d ed un

ultimo intervallo più corto. Ogni intervallo di lunghezza d contiene esattamentes (d) congruenze P (n) � 0 mod (d), e l�intervallo più corto ne contiene meno.

47

Quindi, per un qualche 0 � R (N; d) � s (d),

jfn = 1; 2; :::; N; P (n) � 0 mod (d)gj =�N

d

�s (d) +R (N; d)

= Ns (d)

d+

���N

d

�� N

d

�s (d) +R (N; d)

�:

In�ne,

�s (d) <��

N

d

�� N

d

�s (d) +R (N; d) � s (d) :

(3) Basta mostrare che se h e k sono primi tra loro, per ogni coppia (a; b),con 1 � a � h, 1 � b � k, P (a) � 0 mod (h), P (b) � 0 mod (k), esiste unoed un solo c, con 1 � c � hk e P (c) � 0 mod (hk). Per il teorema cinese delresto, per ogni a e b esiste uno ed un solo 1 � c � hk con c � a mod (h) ec � b mod (k). Se P (a) � 0 mod (h) e c � a mod (h), allora P (c) � 0 mod (h).Se P (b) � 0 mod (k) e c � b mod (k), allora P (c) � 0 mod (k). Da P (c) � 0mod (h) e P (c) � 0 mod (k) si deduce che P (c) � 0 mod (hk). Viceversa, seP (c) � 0 mod (hk), allora P (c) � 0 mod (h) e P (c) � 0 mod (k).(4) L�equazione (x� a) (x� b) = 0 ha le soluzioni x = a e x = b. Se p divide

a� b queste due soluzioni coincidono mod (p). �

LEMMA: Come nel lemma precedente, P (x) è un polinomio a coe¢ cientiinteri, s (d) è la funzione che conta il numero di 1 � n � d con P (n) di-visibile per d, e si assume anche che s (p) = 2 per ogni primo p > 2. Perogni " > 0 esiste C tale che per ogni intero x > 1 il numero di elementi infP (n) ; n = 1; 2; :::; xg non divisibili per nessun primo minore di x" soddisfa lastima������

8<:P (n) ; n = 1; 2; :::; x;0@P (n) ; Y

p primo; p<x"

p

1A = 1

9=;������ � C

x

log2 (x):

Dimostrazione: I P (n) non divisibili per nessun primo minore di x" sonomeno dei P (n) non divisibili per nessun primo maggiore di 2 e minore di x".Se B è il prodotto di tutti i primi 2 < p < x", se g (n) = s (n) =n e se f(n) =� � 1=g(n), per la stima di crivello di Selberg,

jfP (n) ; n = 1; 2; :::; x; (P (n) ; B) = 1gj � x

W+ z2W 2;

W =X

d�z; djB

1

f (d)=

Xd�z; djB

0@ Yp primo; pjd

g (p)

1� g (p)

1A :

48

Per ipotesi, g (p) = 2=p per ogni primo p che divide B. Quindi

W =X

n�z; njB

0@ Yp primo; pjn

(2=p)

1� (2=p)

1A=

Xn�z; njB

0@ Yp primo; pjn

�2

p+22

p2+23

p3+ :::

�1A :

La funzione d (n) che conta i divisori di n è moltiplicativa e, per ogni primop ed intero k,

d�pk�= k + 1 � 2k:

Quindi, se 2 � z � x",

Xn�z; njB

0@ Yp primo; pjn

�2

p+22

p2+23

p3+ :::

�1A�

Xn�z; njB

0@ Yp primo; pjn

d (p)

p+d�p2�

p2+d�p3�

p3+ :::

!1A�

Xn�z; 2-n

d (n)

n�

0@ Xn�

pz; 2-n

1

n

1A2

� C log2 (z) :

Questa stima si può invertire. La funzione f (d) è moltiplicativa, e

W =X

djB ; d�z

1

f (d)�

Yp primo; 2<p�z

�1 +

1

f (p)

�

=Y

p primo; 2<p�z

�1 +

g(p)

1� g (p)

�=

Yp primo; 2<p�z

�1

1� 2=p

�:

Per Eulero la serie degli inversi dei primi è log log (1). Più precisamente,per Mertens,X

p primo; p<x

1=p = log (log (x)) + �+O (1= log (x)) ; � = 0; 2614672128:::

49

Da questo segue che Yp primo; 2<p�z

�1

1� 2=p

�

= exp

0@� Xp primo; 2<p�z

log (1� 2=p)

1A= exp

0@ Xp primo; 2<p�z

X1�k<+1

(2=p)k

k

1A= exp

0@2 Xp primo; 2<p�z

1=p

1A � exp0@ Xp primo; 2<p�z

X2�k<+1

(2=p)k

k

1A� C

0@exp0@ Xp primo; 2<p�z

1=p

1A1A2

� C log2 (z) :

Quindi, c log2 (z) �W � C log2 (z) e, per la stima di crivello di Selberg,

jfP (n) ; n = 1; 2; :::; x; (P (n) ; B) = 1gj � C

�x

log2 (z)+ z2 log2 (z)

�:

La tesi segue scegliendo z =�x��, con 0 < � < min f"; 1=2g. �

TEOREMA: La somma degli inversi dei primi gemelli è �nita,Xp e p+2 primi

�1

p+

1

p+ 2

�< +1:

Dimostrazione: Se n (n+ 2) non è divisibile per nessun primo minore dipn+ 2 allora n e n+2 sono dei primi gemelli. Quindi, per il lemma precedente

con P (x) = x (x+ 2),���n (n+ 2) ; px+ 2 < n � x; n e n+ 2 primi��

=

������8<:n (n+ 2) ; 1 � n � x;

0@n (n+ 2) ; Yp primo; p�

px+2

p

1A = 1

9=;������

� Cx

log2 (x):

50

Quindi, Xp e p+2 primi

�1

p+

1

p+ 2

�

�+1Xk=1

0@21�k Xp e p+2 primi; 2k�1<p�2k

1

1A� C

+1Xk=1

k�2 < +1: �

C�è una de�nizione naturale di densità di un insieme di interi. Un insiemedi interi positivi ha densità � se la proporzione di interi tra 1 e n è asintoticaad � per n +1. Se A(n) è il numero degli interi in A compresi tra 1 ed n,limn +1 fA(n)=ng = �.La de�nizione di densità di Shnirelman è di¤erente.

DEFINIZIONE: Se A è un insieme di interi non negativi ed A(n) è ilnumero degli interi in A compresi tra 1 ed n, la densità di A è il più grandevalore di � tale che A(n) � �n per ogni n,

Densit�a (A) = inf

�A(n)

n

�:

TEOREMA: La somma A + B di due insiemi di interi non negativi èl�insieme dei numeri fa+ b; a 2 A; b 2 Bg.(1) Se A e B contengono 0,

Densit�a (A+B) � Densit�a (A) +Densit�a (B)�Densit�a (A)�Densit�a (B) :

(2) Se A e B contengono 0 e se Densit�a (A) + Densit�a (B) � 1, alloraA+B contiene tutti gli interi non negativi.(3) Se A contiene 0 e se 0 < Densit�a (A) < 1, ogni intero positivo si può

scomporre nella somma di al più 2�

log (1=2)

log (1�Densit�a (A))

�+ 2 elementi di A.

Dimostrazione: (1) Se i termini in B tra 0 e n sono b(0) < b(1) < b(2) <::: < b(k), si ha k � n�Densit�a (B). Tutti i termini della forma a+b(j) con a 2 Ae 0 � a < b(j + 1) � b(j) appartengono a (A+B) \ [b(j); b(j + 1)). I terminiin A con 0 � a < b(j + 1) � b(j) sono 1 se b(j + 1) � b(j) = 1, altrimenti sono1+A (b(j + 1)� b(j)� 1). In ogni caso, i termini in A con 0 � a < b(j+1)�b(j)sono almeno 1 +Densit�a (A) � (b(j + 1)� b(j)� 1). Quindi, i termini in A+Btra 0 e n sono almeno

k�1Xj=0

(1 +Densit�a (A) (b(j + 1)� b(j)� 1)) + (1 +Densit�a (A) � (n� b(k))

= 1 + k + (n� k) �Densit�a (A)� 1 + n � (Densit�a (A) +Densit�a (B)�Densit�a (A) �Densit�a (B)) :

51

Togliendo il termine 0 e dividendo per n si ottiene la tesi.(2) Gli interi in A tra 0 e n sono A (n)+1 e gli interi in n�B tra 0 e n sono

B (n) + 1, un totale di A (n) +B (n) + 2 interi tra 0 e n. Se A (n) +B (n) � n,qualche intero in A compare anche in n�B, quindi A+B contiene n.(3) Si può riscrivere (1) nella forma

1�Densit�a (A+B) � (1�Densit�a (A))� (1�Densit�a (B)) :

Quindi, se A contiene 0 e 1, per induzione segue che

1�Densit�a (nA) � (1�Densit�a (A))n :

Se 1�(1�Densit�a (A))n � 1=2, si haDensit�a (nA) � 1=2 e, per (2),Densit�a (2nA) =1. �

Di fatto H.B.Mann (1905-2000) ha mostrato un risultato più preciso:

Densit�a (A+B) � min f1; Densit�a (A) +Densit�a (B)g :

LEMMA: Se A� è un insieme di interi non negativi con eventuali molteplic-ità, con ! (a) la molteplicità di a in A, e se A è l�insieme senza molteplicità,allora

Densit�a (A) � inf

8><>:�X

1�a�n! (a)

�2nX

1�a�n! (a)

2

9>=>; :

Dimostrazione: Per la disuguaglianza di Cauchy Schwarz,

X1�a�n

! (a) �

8<: X1�a�n

! (a)2

9=;1=28<: X

1�a�n; !(a)�1

1

9=;1=2

;

�X1�a�n

! (a)�2

nX

1�a�n! (a)

2�

X1�a�n; !(a)�1

1

n=A (n)

n: �

In particolare, per stimare la densità di un insieme con molteplicità bastastimare da sotto

X1�a�n

! (a) e stimare da sopraX

1�a�n! (a)

2.

LEMMA: (1) Se ! (a) è il numero di rappresentazioni di a = p+ q comesomma di due primi p e q, esiste una costante positiva C tale che per ognia � 2,

! (a) � Ca

log2 (a):

(2) Esiste una costante positiva C tale che per ogni n � 2,X1�a�n

! (a)2 � C

n3

log4 (n):

52

(3) Esistono due costanti positive c e C tale che per ogni n � 2,

cn2

log2 (n)�

X1�a�n

! (a) � Cn2

log2 (n):

Dimostrazione: (1) ! (2) = ! (3) = 0 e ! (4) = 1. Se a è dispari ed èsomma di due primi, un primo è 2 e l�altro primo è a�2. Se a è pari e maggioredi 4, e se n (a� n) non è divisibile per nessun primo minore di

pa, allora n

e a � n sono dei primi dispari con somma a. Applicando il crivello di Selbergesattamente come nella dimostrazione del teorema di Brun, si ottiene la stima������8<:n (a� n) ; n = 1; 2; :::; a� 1;

0@n (a� n) ; Yp primo; p�

pa

p

1A = 1

9=;������ � C

a

log2 (a):

(2) Dalla stima ! (a) � a= log2 (a) si ricavaX1�a�n

! (a)2 � C

X1<a<

pn

a2 +C

log4 (pn)

Xpn�a�n

a2 � Cn3

log4 (n):

(3) La tesi segue dalla disuguaglianza di Cebicev cx= log(x) � �(x) �Cx= log(x), e dalle stimeX

1�a�n! (a) �

Xp primo; p�n=2

Xq primo; q�n=2

1 = �(n=2)2;

X1�a�n

! (a) �X

p primo; p�n

Xq primo; q�n

1 = �(n)2: �

La congettura di Hardy e Littlewood è che il numero di rappresentazioni diun numero pari n = p+ q come somma di numeri primi p e q sia asintotico a

2Y

p primo; p�3

1� 1

(p� 1)2

! Yp primo; p�3; pjn

�p� 1p� 2

�n

log2 (n):

TEOREMA: (1) L�insieme formato da 1 e dalle somme p + q di numeriprimi p e q ha densità positiva.(2) Esiste una costante C tale che ogni intero maggiore di 1 può essere

scomposto nella somma di al più C numeri primi.

Dimostrazione: La dimostrazione di (1) segue dai lemmi precedenti. SeA = f0; 1; p+ q; p e q primig,

Densit�a (A) � inf

8><>:�X

1�a�n! (a)

�2nX

1�a�n! (a)

2

9>=>; � inf

8>>><>>>:�c

n2

log2 (n)

�2n

�C

n3

log4 (n)

�9>>>=>>>; > 0:

53

(2) segue da (1). Se A = f0; 1; p+ qg ha densità positiva, per un certo n si hanA = N. In particolare, per ogni k > 3 si può decomporre k � 2 in una sommaa(1) + ::: + a(n), con a(j) 2 A. Raggruppando i termini 0 o 1, si può scriverek = (2 + j) + p + q + :::, con j � n e p, q,... primi. In�ne, si può decomporre2 + j in una somma limitata di numeri primi, per esempio tutti uguali a 2 o 3.�

Carl Friedrich Gauss Carl Harald Cramér

�The Ladies Diary: or, the Woman�s Almanack, For the Year of our Lord,1747. Containing many Delightful and Entertaining Particulars Peculiarly adaptedfor the Use and Diversion of the Fair Sex�. �Si richiede di trovare (con un teo-rema generale) il numero di frazioni distinte, minori dell�unità, con denomina-tore minore di 100�. Se ' (n) = n

Yp primo; pjn

(1� 1=p) è funzione di Euleroche conta i numeri minori di n e primi con n, ' (2)+' (3)+ :::+' (99) = 3003.Nel 1881 Ernesto Cesaro (1859-1906) descrive una curiosa relazione tra prob-

abilità, teoria dei numeri, ed il numero �. Se p è la probabilità che n interipositivi scelti a caso abbiano massimo comun divisore uguale ad uno, allora laprobabilità che il massimo comun divisore tra n numeri interi positivi sia ugualea k è p (k) = p � k�n. Infatti se a, b, c,... sono multipli di k, e se il massimocomun divisore tra a=k, b=k, c=k,... è 1, ciascuno dei primi eventi ha probabilità1=k e l�ultimo ha probabilità p. Questi eventi si possono assumere indipendenti.Sommando tutti i p (k), si ricava p,

1 =+1Xk=1

p (k) = p+1Xk=1

k�n:

In particolare, la probabilità che due numeri siano primi tra loro è 6=�2 =0; 607927::: Questa probabilità ha una interpretazione geometrica. Nel reticolodei punti a coordinate intere di un piano cartesiano si può vedere (a; b) da (c; d)se e solo se ja� cj e jb� dj sono relativamente primi, e 6=�2 è la percentuale deipunti visibili dall�origine. Di fatto questi risultati sono essenzialmente contenutinei diari di Gauss in data 6 Settembre 1796: �Il rapporto tra il numero di frazioni

54

distinte con denominatori al di sotto di un certo limite ed il numero di tutte lefrazioni con numeratori e denominatori al di sotto di questo limite all�in�nito è6 : ���.Nel 1935 H.Cramér (1893-1985) suggerisce un modello stocastico per la dis-

tribuzione dei numeri primi. Se fXng+1n=3 è una successione di variabili aleatorieindipendenti con Xn = 0; 1 e P fXn = 1g = 1= log(n) se n � 3, allora la succes-sione di interi aleatori fn; Xn = 1g è un modello della successione dei numeriprimi. La congettura è che se questa successione aleatoria ha quasi sicuramenteuna certa proprietà, allora anche la successione dei numeri primi ha questa pro-prietà. Cioè, la congettura è che i numeri primi hanno una distribuzione casuale!Si son trovati controesempi alla congettura, però questa conserva un notevoleinteresse euristico. Il modello stocastico ha costruito in sé il teorema del numeriprimi, ed è in accordo con la congettura di Gauss sui prodotti di n fattori primi,

E

8<:Xn�x

Xn

9=; =Xn�x

1

log(n)� x

log(x);

E

8<: X2�i�j�:::�h; i�j�:::�h�x

XiXj :::Xh

9=;=

X2�i�j�:::�h; i�j�:::�h�x

1

log (i) log(j)::: log(h)� x (log (log (x)))

n�1

(n� 1!) log(x) :

Il modello predice l�esistenza di in�niti primi gemelli, la convergenza dellasomma degli inversi di questi gemelli, l�esistenza di numero �nito di primi diFermat e di in�niti primi di Marsenne,

E

8<:Xn�x

Xn

9=; =Xn�x

1= log(n) � x= log(x);

E

8<:Xn�x

XnXn+k

9=; =Xn�x

1= log(n) log(n+ k) � x= log2(x);

E

(+1Xn=3

n�1XnXn+k

)=

+1Xn=3

1=n log(n) log(n+ k) < +1;

E

(+1Xn=0

X22n+1

)=

+1Xn=0

1= log(22n

+ 1) < +1;

E

(+1Xn=3

X2n�1

)=

+1Xn=3

1= log(2n � 1) = +1:

55

Il modello predice anche che con alta probabilità un numero pari è sommadi due primi. Infatti, la probabilità che n non sia somma di due primi è espo-nenzialmente bassa, ed il valore atteso delle eccezioni alla congettura è �nito,

P

(n�3\k=3

fXk �Xn�k = 0g)

=n�3Yk=3

�1� 1

log (k) log (n� k)

�

= exp

n�3Xk=3

log

�1� 1

log (k) log (n� k)

�!

� exp��Z n�3

3

dx

log (x) log (n� x)

�� exp

�� n

log2 (n)

�:

Inoltre il modello predice che la distanza massima tra primi successivi minoridi x cresce come log2(x). Se Pn è l�n-esimo primo aleatorio, con probabilità uno,

lim supx +1

Pn+1 � Pnlog2(n)

= 1:

In�ne, con probabilità uno,

lim supx +1

����jfn � x; Xn = 1gj �Z x

0

dy

log(y)

����s2xlog (log(x))

log(x)

= 1:

56