Kg Euclide

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TS. Lê Xuân ĐạiTrường Đại học Bách Khoa TP HCM

Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP. HCM — 2011.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 1 / 1

Không gian Euclide Định nghĩa

Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gianEuclide (thực) nếu< ·, · >: E × E → R

(x , y) 7−→< x , y > − gọi là tích vôhướng của 2 véctơ.Tích vô hướng < x , y > thỏa mãn 4 tiên đề

1 < x , y >=< y , x >, ∀x , y ∈ E2 < x + y , z >=< x , z > + < y , z >,

∀x , y , z ∈ E3 < αx , y >= α < x , y >,∀x , y ∈ E ,∀α ∈ R.4 < x , x >> 0, x 6= 0 và < x , x >= 0⇔ x = 0TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 2 / 1

Không gian Euclide Ví dụ

Ví dụR−kgv Rn là không gian Euclide nếu đã cho tíchvô hướng< ·, · >: Rn × Rn → R

(x , y) 7−→< x , y >=n∑

i=1

xiyi

với x = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn).



Ví dụKhông gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trênđoạn [a, b] là không gian Euclide nếu đã cho tíchvô hướng< ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R

(f , g) 7−→< f , g >=b∫a

f (x)g(x)dx



Chứng minh.

< f , g >=b∫a

f (x)g(x)dx =b∫a

g(x)f (x)dx =

< g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b]

< f + g , h >=b∫a

(f (x) + g(x))h(x)dx =

b∫a

f (x)h(x)dx +b∫a

g(x)h(x)dx =

< f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]



< αf , g >=b∫a

(αf (x))g(x)dx =

αb∫a

f (x)g(x)dx = α < f , g >,

∀f , g ∈ C[a,b],∀α ∈ R.

< f , f >=b∫a

(f (x))2dx > 0, f (x) 6= 0 và

< f , f >=b∫a

(f (x))2dx = 0⇔ f (x) ≡ 0



Ví dụTrong R2 cho quy tắc∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2

< x , y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2.

Tìm m để < x , y > là tích vô hướng.

< x , y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 +mx2y2 = y1x1 +

y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x , y ∈ R2



< x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 +

(x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 +

x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) =

< x , z > + < y , z >, ∀x , y , z ∈ R2

< αx , y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 +

m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) =

α < x , y >,∀x , y ∈ R2,∀α ∈ R.< x , x >= x21 + x1x2 + x2x1 + mx22 =

(x1 + x2)2 + (m− 1)x22 > 0, (x 6= 0)⇒ m > 1.

< x , x >= 0⇔ (x1 + x2)2 + (m− 1)x22 = 0⇔x1 = x2 = 0 hay x = 0 thì m 6= 1. Vậy m > 1.



Ví dụTrong không gian P2(x) cho tích vô hướng

< p, q >=

∫ 1

0

p(x)q(x)dx ,

∀p(x) = a1x2 + b1x + c1, q(x) = a2x

2 + b2x + c2.

Tính tích vô hướng củap(x) = x2 − 4x + 5, q(x) = x + 1



Tích vô hướng của p(x) và q(x) là

< p, q >=

∫ 1

0

p(x)q(x)dx =

=

∫ 1

0

(x2 − 4x + 5)(x + 1)dx =19

4


Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)

Định nghĩaCho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, tagọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là||x || =

√< x , x >

Ví dụTrong R2 cho tích vô hướng

< x , y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìmđộ dài của véctơ u.


Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)

Định nghĩaCho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, tagọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là||x || =

√< x , x >


< x , y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìmđộ dài của véctơ u.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 11 / 1


Độ dài của véctơ u là ||u|| =√< u, u >.

< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11

⇒ ||u|| =√

11



Ví dụTrong P2(x) cho tích vô hướng

< p, q >=1∫0

p(x)q(x)dx ,∀p, q ∈ P2(x) và

f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)||

Ta có ||f (x)|| =√< f , f > trong đó

< f , f >=1∫0

f 2(x)dx =1∫0

(x + 2)2dx =19

3. Do

đó ||f (x)|| =

√19

3




< p, q >=1∫0


f (x) = x + 2. Tìm ||f (x)||

Ta có ||f (x)|| =√< f , f > trong đó

< f , f >=1∫0

f 2(x)dx =1∫0

(x + 2)2dx =19

3. Do

đó ||f (x)|| =

√19

3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 13 / 1

Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ

Định nghĩaTrong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệud(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v ||.


< x , y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),

v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .


Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ

Định nghĩaTrong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệud(u, v). Vậy d(u, v) = ||u − v ||.


< x , y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),

v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .



Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v làd(u, v) = ||u − v || =

√< u − v , u − v >. Ta có

u − v = (1,−3)⇒< u − v , u − v >=

= 1.1− 2.1.(−3)− 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58.

Vậy d(u, v) =√< u − v , u − v > =

√58




< p, q >=1∫0


f (x) = x + 1, g(x) = 2x + m. Tìm m để khoảngcách giữa f (x), g(x) bằng 1

3



Ta có d(f , g) =√< f − g , f − g > trong đó

< f − g , f − g >=1∫0

(f (x)− g(x))2dx =

1∫0

(−x + 1−m)2dx = m2−m + 13. Để d(f , g) = 1

3

thì√m2 −m + 1

3 = 13 ⇔ m = 1

3 ∨m = 23.


Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ

Định lý(Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trongkhông gian Euclide E , ta có

| < x , y > | 6 ||x ||.||y ||, ∀x , y ∈ E .

Dấu ′′ = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyếntính.

Chứng minh. ∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có

< x − λy , x − λy >> 0



Định lý(Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trongkhông gian Euclide E , ta có

| < x , y > | 6 ||x ||.||y ||, ∀x , y ∈ E .

Dấu ′′ = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyếntính.

Chứng minh. ∀x , y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có

< x − λy , x − λy >> 0



⇔< x , x > −2λ < x , y > +λ2 < y , y >> 0.

⇔ ||x ||2 − 2λ < x , y > +λ2||y ||2 > 0.

Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên∆′ = (< x , y >)2 − ||x ||2.||y ||2 6 0

⇔ (< x , y >)2 6 ||x ||2.||y ||2

⇔ | < x , y > | 6 ||x ||.||y ||



Nếu | < x , y > | = ||x ||.||y || thì ∆′ = 0 khi đó

||x ||2 − 2λ < x , y > +λ2||y ||2 = (λ− λ0)2.

Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0

hay x − λ0y = 0⇔ x = λ0y ⇒ x , y phụ thuộctuyến tính.



Định nghĩaTa gọi góc giữa 2 véctơ x , y ∈ E là gócθ(0 6 θ 6 π) sao cho

cos θ =< x , y >

||x ||.||y ||

Hệ quảNếu x , y ∈ E , E là không gian Euclide thì

|||x || − ||y ||| 6 ||x + y || 6 ||x || + ||y ||




< x , y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1),

v = (1, 0). Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v .

Ta cócos θ =

< u, v >

||u||.||v ||




< x , y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1),

v = (1, 0). Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v .

Ta cócos θ =

< u, v >

||u||.||v ||



< u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5.1.0 = 3

||u|| =√< u, u > =

√1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5.1.1

=√

10

||v || =√< v , v > =

√1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5.0.0

= 1

Vậy cos θ =3√10⇒ θ = arccos

3√10




< p, q >=1∫0


f (x) = x2 + x , g(x) = 2x + 3. Tìm góc θ giữa 2véctơ f , g .

Ta cócos θ =

< f , g >

||f ||.||g ||




< p, q >=1∫0


f (x) = x2 + x , g(x) = 2x + 3. Tìm góc θ giữa 2véctơ f , g .

Ta cócos θ =

< f , g >

||f ||.||g ||



< f , g >=

1∫0

f (x)g(x)dx =

1∫0

(x2+x)(2x +3)dx

=11

3

||f || =√< f , f > =

√√√√√ 1∫0

(x2 + x)2dx =

=

√31

30TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 25 / 1


||g || =√< g , g > =

√√√√√ 1∫0

(2x + 3)2dx

=

√49

3

Vậy cos θ =11√

310

217⇒ θ = arccos

11√

310

217


Không gian Unita Định nghĩa

Định nghĩaC−kgv được gọi là không gian Unita.

Định nghĩaCho x , y ∈ Cn, vớix = (x1, x2, . . . , xn), y = (y1, y2, . . . , yn). Khi đó

ϕ(x , y) =< x , y >=n∑

i=1

xiyi

được gọi là tích vô hướng của 2 véctơ x , y trongkhông gian Unita.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 27 / 1

Sự trực giao Định nghĩa

Định nghĩaTrong không gian Euclide E với tích vô hướng< ·, · >

1 Hai véctơ x , y ∈ E được gọi là trực giao⇔< x , y >= 0. Kí hiệu x ⊥ y

2 Véctơ x được gọi là trực giao với tập hợpM ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M .Kí hiệu x ⊥ M .


Sự trực giao Ví dụ


< x , y >= 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),

v = (2,m). Tìm m để u ⊥ v .

Để u ⊥ v thì < u, v >= 0

⇔ 2.1.2− 1.m− (−1).2 + (−1).m = 6− 2m = 0

⇔ m = 3




< x , y >= 2x1y1 − x1y2 − x2y1 + x2y2

với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1,−1),

v = (2,m). Tìm m để u ⊥ v .

Để u ⊥ v thì < u, v >= 0

⇔ 2.1.2− 1.m− (−1).2 + (−1).m = 6− 2m = 0

⇔ m = 3




< p, q >=1∫−1


f (x) = x − 1, g(x) = x + m. Tìm m để f ⊥ g .

Để f ⊥ g thì < f , g >= 0

⇔1∫−1

(x − 1)(x + m)dx =2

3− 2m = 0 ⇔ m =

1

3




< p, q >=1∫−1


f (x) = x − 1, g(x) = x + m. Tìm m để f ⊥ g .

Để f ⊥ g thì < f , g >= 0

⇔1∫−1

(x − 1)(x + m)dx =2

3− 2m = 0 ⇔ m =

1

3



Ví dụTrong R3 cho tích vô hướng chính tắc

< x , y >= x1y1 + x2y2 + x3y3

với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), vàM =< (1, 1, 1), (2, 1, 3) >, u = (1,−1,m). Tìmm để u ⊥ M .



Để u ⊥ M thì u ⊥ v ,∀v ∈ M . Ta có v ∈ M nênv = α(1, 1, 1) + β(2, 1, 3) =

(α + 2β, α + β, α + 3β).

Với mọi α, β ∈ R ta có

u ⊥ v ⇔ 1.(α+2β)+(−1).(α+β)+m(α+3β) = 0

⇔ mα + (3m + 1)β = 0.

Vì α, β là những số tùy ý nên m = 0 và m = −13.

Điều này không thể xảy ra. Nên không tồn tại mthỏa yêu cầu bài toán.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 32 / 1

Sự trực giao Hệ trực giao, trực chuẩn

Định nghĩa1 Hệ véctơ {x1, x2, . . . , xn} được gọi là trực giao⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một.Ngoài ra, nếu ||xk || = 1, k = 1, 2, . . . , n thì hệvéctơ này được gọi là hệ trực chuẩn.

2 Hai tập M ,N ⊂ E được gọi là trực giao vớinhau

M ⊥ N ⇔< x , y >= 0,∀x ∈ M ,∀y ∈ N

Chú ý. Véctơ 0 trực giao với mọi véctơ. Ngược lại,véctơ x trực giao với mọi véctơ thì x = 0.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 33 / 1


Ví dụTrong R4 với tích vô hướng chính tắc, cho

M = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (2, 1, 1,m)}

Tìm m để M là hệ trực giao.

Véctơ (0, 0, 0, 0) trực giao với mọi véctơ. Nên đểM là hệ trực giao thì (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) trựcgiao với nhau, có nghĩa là< (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) >=

1.2 + 1.1 + 1.1 + 1.m = 4 + m = 0⇒ m = −4



Ví dụTrong R4 với tích vô hướng chính tắc, cho

M = {(1, 1, 1, 1), (0, 0, 0, 0), (2, 1, 1,m)}

Tìm m để M là hệ trực giao.

Véctơ (0, 0, 0, 0) trực giao với mọi véctơ. Nên đểM là hệ trực giao thì (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) trựcgiao với nhau, có nghĩa là< (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1,m) >=

1.2 + 1.1 + 1.1 + 1.m = 4 + m = 0⇒ m = −4TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 34 / 1

Sự trực giao Cơ sở trực giao

Định lýHệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lậptuyến tính.

Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trựcgiao, không chứa véctơ 0. Xétp∑

i=1

λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với

∀xk ∈ M , k = 1, 2, . . . , p ta có < xk ,p∑

i=1

λixi >=

λk < xk , xk >= 0⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. VậyM độc lập tuyến tính.



Định lýHệ véctơ trực giao không chứa véctơ 0 thì độc lậptuyến tính.

Giả sử M = {x1, x2, . . . , xp} là 1 hệ véctơ trựcgiao, không chứa véctơ 0. Xétp∑

i=1

λixi = 0, λi ∈ K , i = 1, 2, . . . , p. Với

∀xk ∈ M , k = 1, 2, . . . , p ta có < xk ,p∑

i=1

λixi >=

λk < xk , xk >= 0⇔ λk = 0, k = 1, 2, . . . , p. VậyM độc lập tuyến tính.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 35 / 1


Hệ quảTrong không gian Euclide E n chiều, tập gồm n

véctơ khác 0, trực giao từng đôi một tạo thànhmột cơ sở của E . Cơ sở này được gọi là cơ sở trựcgiao.



Ví dụTrong không gian Euclide R4 với tích vô hướngchính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1),

y = (3,−2, 1, 1), z = (3, 3,−4, 1). Hãy bổ sungthêm 1 véctơ để ta có 1 cơ sở trực giao của R4.

Để tạo được 1 cơ sở trực giao của R4 thì véctơu = (a, b, c, d) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3véctơ x , y , z .

u ⊥ x

u ⊥ y

u ⊥ z

⇔

a.0 + b.1 + c.1 + d .1 = 0

a.3 + b.(−2) + c.1 + d .1 = 0

a.3 + b.3 + c.(−4) + d .1 = 0



Ví dụTrong không gian Euclide R4 với tích vô hướngchính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1),

y = (3,−2, 1, 1), z = (3, 3,−4, 1). Hãy bổ sungthêm 1 véctơ để ta có 1 cơ sở trực giao của R4.

Để tạo được 1 cơ sở trực giao của R4 thì véctơu = (a, b, c, d) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3véctơ x , y , z .

u ⊥ x

u ⊥ y

u ⊥ z

⇔

a.0 + b.1 + c.1 + d .1 = 0

a.3 + b.(−2) + c.1 + d .1 = 0

a.3 + b.3 + c.(−4) + d .1 = 0TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 37 / 1


Hệ thuần nhất này gồm 3 phương trình và 4 ẩn sốnên có vô số nghiệm. Chọn d = 2 ta đượca = −1, b = −1, c = −1. Vậy véctơ thêm vào là(−1,−1,−1, 2)



Ví dụTrong không gian Euclide P2(x) với tích vô hướng

< u, v >=1∫0

u(x).v(x)dx , cho 3 véctơ

u1 = x2, u2 = −5x2 + 4x , u3 = ax2 + bx + c. Tìma, b, c để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giaocủa P2(x).

< u1, u2 >=1∫0

x2(−5x2 + 4x)dx = 0⇒ u1 ⊥ u2.

Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao củaP2(x) thì u1 ⊥ u3 và u2 ⊥ u3



Ví dụTrong không gian Euclide P2(x) với tích vô hướng

< u, v >=1∫0

u(x).v(x)dx , cho 3 véctơ

u1 = x2, u2 = −5x2 + 4x , u3 = ax2 + bx + c. Tìma, b, c để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giaocủa P2(x).

< u1, u2 >=1∫0

x2(−5x2 + 4x)dx = 0⇒ u1 ⊥ u2.

Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao củaP2(x) thì u1 ⊥ u3 và u2 ⊥ u3TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 39 / 1

Sự trực giao Ví dụ{< u1, u3 >= 0

< u2, u3 >= 0⇔

1∫0

x2(ax2 + bx + c)dx = 0

1∫0

(−5x2 + 4x)(ax2 + bx + c)dx = 0

⇔

a

5+

b

4+

c

3= 0

b

12+

c

3= 0

Hệ thuần nhất này có vô số

nghiệm, cho c = 3 ⇒ a = 10, b = −12.


Sự trực giao Sự trực giao hóa Gram-Schmidt

Cho không gian Euclide E và {x1, x2, . . . , xn} làmột hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E . Khiđó ta có thể chọn được các số λij ∈ R sao cho cácvéctơ

y1 = x1y2 = λ21y1 + x2y3 = λ31y1 + λ32y2 + x3. . . . . . . . .

yn = λn1y1 + λn2y2 + λn3y3 + λnn−1yn−1 + xn

tạo thành một hệ trực giao, gồm toàn các véctơkhác không.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 41 / 1


y1 ⊥ y2 nên< y1, y2 >=< y1, λ21y1 + x2 >= λ21 < y1, y1 >

+ < x2, y1 >= 0⇒ λ21 = −< x2, y1 >

< y1, y1 >Tương tự, y3 ⊥ y1, y2 nên< y3, y1 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y1 >

= λ31 < y1, y1 > +λ32 < y2, y1 > + < x3, y1 >

= λ31 < y1, y1 > + < x3, y1 >= 0

⇒ λ31 = −< x3, y1 >

< y1, y1 >



< y3, y2 >=< λ31y1 + λ32y2 + x3, y2 >

= λ31 < y1, y2 > +λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 >

= λ32 < y2, y2 > + < x3, y2 >= 0

⇒ λ32 = −< x3, y2 >

< y2, y2 >Quá trình cứ thế tiếp diễn, ta thu đượcλn1 = −< xn, y1 >

< y1, y1 >, λn2 = −< xn, y2 >

< y2, y2 >, . . . ,

λnn−1 = − < xn, yn−1 >

< yn−1, yn−1 >.



Theo cách xây dựng trên, yk là THTT củax1, x2, . . . , xk với hệ số của xk bằng 1 màx1, x2, . . . , xk ĐLTT nên xk không là THTT củanhững véctơ còn lại. Từ đó suy rayk 6= 0, k = 1, 2, . . . , n



Ví dụÁp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt đểxây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT. Ápdụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trựcgiao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1),

y2 = −< x2, y1 >

< y1, y1 >y1 + x2 = −2

3(1, 1, 1) + (0, 1, 1)

=

(−2

3,

1

3,

1

3

)



Ví dụÁp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt đểxây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT. Ápdụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trựcgiao hóa, ta có y1 = x1 = (1, 1, 1),

y2 = −< x2, y1 >

< y1, y1 >y1 + x2 = −2

3(1, 1, 1) + (0, 1, 1)

=

(−2

3,

1

3,

1

3

)TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 45 / 1


y3 = −< x3, y1 >

< y1, y1 >y1 −

< x3, y2 >

< y2, y2 >y2 + x3

= −1

3(1, 1, 1)− 1

2

(−2

3,

1

3,

1

3

)+ (0, 0, 1)

=

(0,−1

2,

1

2

)Vậy hệ (1, 1, 1),

(−2

3,

1

3,

1

3

),

(0,−1

2,

1

2

)là hệ

trực giao.



Ví dụTrong không gian P2(x) với tích vô hướng

< u, v >=1∫−1

u(x).v(x)dx . Trực giao hóa hệ

véctơ M = {1, x , x2}.

Hệ véctơ M ĐLTT. Theo công thức trực giao hóa,ta có v1 = u1 = 1

v2 = −< u2, v1 >

< v1, v1 >v1 + u2 = −

∫ 1

−1 xdx∫ 1

−1 1.dx.1 + x = x



Ví dụTrong không gian P2(x) với tích vô hướng

< u, v >=1∫−1

u(x).v(x)dx . Trực giao hóa hệ

véctơ M = {1, x , x2}.

Hệ véctơ M ĐLTT. Theo công thức trực giao hóa,ta có v1 = u1 = 1

v2 = −< u2, v1 >

< v1, v1 >v1 + u2 = −

∫ 1

−1 xdx∫ 1

−1 1.dx.1 + x = x



v3 = −< u3, v1 >

< v1, v1 >v1 −

< u3, v2 >

< v2, v2 >v2 + u3

= −∫ 1

−1 x2dx∫ 1

−1 1.dx.1−

∫ 1

−1 x2.xdx∫ 1

−1 x2.dx

.x +x2 = x2 − 1

3

Vậy hệ M ′ = {1, x , x2 − 1

3} là hệ trực giao.



Hệ quảTrong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao.Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn.

Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sởx1, x2, . . . , xn. Theo quá trình trực giao hóaGram-Schmidt, ta thu được 1 cơ sở trực giao.Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấye1 =

y1||y1||

, e2 =y2||y2||

, . . . , en =yn||yn||

.



Hệ quảTrong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao.Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn.

Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sởx1, x2, . . . , xn. Theo quá trình trực giao hóaGram-Schmidt, ta thu được 1 cơ sở trực giao.Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấye1 =

y1||y1||

, e2 =y2||y2||

, . . . , en =yn||yn||

.


Sự trực giao Bù trực giao

Định lýCho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗và F là không gian véctơ con của E . Khi đó

1 Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với một cơsở của F

2 Tập F⊥ gồm các véctơ của E trực giao với Flà một không gian véctơ con của E . Tập F⊥

được gọi là bù trực giao của F .3 dim(F ) + dim(F⊥) = n.



Ví dụTrong không gian R3 cho không gian conW = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}. Tìm cơ sởvà số chiều của W⊥.

Bước 1. Cơ sở của W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)

Bước 2. x = (x1, x2, x3) ∈ W⊥ nênx ⊥ (−1, 1, 0) và x ⊥ (−1, 0, 1). Do đó ta có{−x1 + x2 = 0

−x1 + x3 = 0⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒

(x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1). Vậy dim(W⊥) = 1 và 1cơ sở của nó là (1, 1, 1)



Ví dụTrong không gian R3 cho không gian conW = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0}. Tìm cơ sởvà số chiều của W⊥.

Bước 1. Cơ sở của W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1)

Bước 2. x = (x1, x2, x3) ∈ W⊥ nênx ⊥ (−1, 1, 0) và x ⊥ (−1, 0, 1). Do đó ta có{−x1 + x2 = 0

−x1 + x3 = 0⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒

(x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1). Vậy dim(W⊥) = 1 và 1cơ sở của nó là (1, 1, 1)TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 51 / 1

Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách

Trong không gian Euclide E cho không gian con F

và 1 véctơ v tùy ý.Véctơ v có thể biểu diễn duy nhất dưới dạngv = f + g , f ∈ F , g ∈ F⊥. Véctơ f được gọi làhình chiếu vuông góc của v xuống F . Kí hiệuf = prFv .

Khoảng cách từ v đến không gian F làd(v , F ) = ||g || = ||v − prFv ||.



Ví dụTrong R3 với tích vô hướng chính tắc, cho khônggian con F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và véctơx = (1, 1, 2). Tìm hình chiếu vuông góc prFx củax xuống F và khoảng cách từ x đến F .

Bước 1. Cơ sở của F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1)

Bước 2. x = f + g

= λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , g ∈ F⊥

Bước 3. < x , f1 >

=< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) >

= λ1(3) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= 4



Ví dụTrong R3 với tích vô hướng chính tắc, cho khônggian con F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và véctơx = (1, 1, 2). Tìm hình chiếu vuông góc prFx củax xuống F và khoảng cách từ x đến F .

Bước 1. Cơ sở của F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1)

Bước 2. x = f + g

= λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , g ∈ F⊥

Bước 3. < x , f1 >

=< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) >

= λ1(3) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= 4TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2011. 53 / 1


< x , f2 >

=< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (0, 1, 1) >

= λ1(2) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (0, 1, 1) >= 3

Từ đó suy ra λ1 = 1, λ2 =1

2. Vậy hình chiếu

vuông góc prFx của x xuống F là

f = 1.(1, 1, 1) +1

2(0, 1, 1) =

(1,

3

2,

3

2

)



Khoảng cách từ x đến F là d(x , F ) = ||g || =

||x − prFx || = ||(1, 1, 2)−(

1,3

2,

3

2

)|| =

||(

0,−1

2,

1

2

)|| =

√0.0 +

1

4+

1

4=

√1

2



THANK YOU FOR ATTENTION


Documents

Kg Euclide