Euclidean’s Geomery

Euclid’s Elements• Book 1: รู�ปสามเหลี่�ยม เส นตั้��งฉาก เส นขนาน

พื้��นที่�ของรู�ปเหลี่�ยม ตั้�างๆ แลี่ะที่ฤษฏีบที่พื้ที่ากอรู�ส• Book 2: การูแปลี่งพื้��นที่� พื้ชคณิ%ตั้เช%งเรูขาคณิ%ตั้• Book 3: วงกลี่ม คอรู'ด แลี่ะเส นส�มผั�ส• Book 4: รู�ปหลี่ายเหลี่�ยม แลี่ะวงกลี่ม การูสรู างรู�ป

หลี่ายเหลี่�ยมปกตั้%• Book 5: ส�ดส�วน• Book 6: การูน*าส�ดส�วนมาปรูะย+กตั้'ใช • Book 7: ที่ฤษฏีจำ*านวน

Euclid’s Elements• Book 8: ส�ดส�วนที่�ตั้�อเน��องก�น• Book 9: ที่ฤษฎีจำ*านวนตั้�อจำากเลี่�ม 7 แลี่ะ 8• Book 10: จำ*านวนอตั้รูรูกยะ• Book 11: เรูขาคณิ%ตั้ 3 ม%ตั้%• Book 12: ว%ธีแจำงกรูณิ• Book 13: ที่รูง 3 ม%ตั้%ปกตั้%

Elementary’s Book 1• ระบบสั�จพจน์ (Axiomatic Systems)

• บทน์�ยาม (Definitions)

• สั�จพจน์ (Axioms or Postulates)

• สั��งท��เห็�น์จร�งแล้�ว (Common Notions)

• ทฤษฎี�บท (Theorem)

Axiomatic Systems• Undefined term

• Defined term

• Axiom or postulate

• theorem

Postulate Properties• Consistency

• Independent

• Completeness

Definitions

Definitions

Definitions

Definitions

Postulates

Common Notions

Theorem• T-1: To construct an equilateral triangle on a

given finite straight-line.

พ�สั�จน์

Theorem• T-2: To place a straight-line equal to a given

straight-line at a given point (as an extremity).

พ�สั�จน์

Theorem• T-3: For two given unequal straight-lines, to cut

off from the greater a straight-line equal to the lesser.

พ�สั�จน์

Theorem• T-4: If two triangles have two sides equal to two

sides, respectively, and have the angle(s) enclosed by the equal straight-lines equal, then they will also have the base equal to the base, and the triangle will be equal to the triangle, and the remaining angles subtended by the equal sides will be equal to the corresponding remaining angles.

พ�สั�จน์

17

A

CB

D

E F

ก*าหนดให ABC แลี่ะ DEF เป0นสามเหลี่�ยมสอง รู�ปซึ่2�ง AB = DE, AC = DF, BAC = EDF

18

A

CB

D

E Fตั้ องการู พื้%ส�จำน'ว�า ABC, DEF เที่�าก�นที่+กปรูะการู

พื้%ส�จำน'โดยการูยกรู�ปที่�บก�น

19

พื้%ส�จำน' ยก ABC ที่�บ DEF โดยให จำ+ด A

ที่�บจำ+ด D แลี่ะ ให แขนของม+ม AB ที่�บไปตั้ามแขนของม+ม DE เพื้รูาะ

ว�า AB = DE เพื้รูาะฉะน��น จำ+ด B ที่�บจำ+ด E

เพื้รูาะว�า AB ที่�บ DE แลี่ะ BAC = EDF

ด�งน��น AC จำะที่�บไปตั้าม DF

20

แตั้� เพื้รูาะว�า AC = DF เพื้รูาะฉะน��น จำ+ด C ที่�บจำ+ด F

เพื้รูาะว�า จำ+ด B ที่�บจำ+ด E แลี่ะ จำ+ด C ที่�บจำ+ด F

ด�งน��น จำะได ว�าด าน BC ที่�บด านEF

ด�งน��น ABC ที่�บ DEF สน%ที่

จำะได ABC เที่�าก�นที่+ก ปรูะการูก�บ DEF 

แที่นด วย ABC DEF

Theorem• T-5: For isosceles triangles, the angles at the

base are equal to one another, and if the equal sides are produced then the angles under the base will be equal to one another.

พ�สั�จน์

22

A

CB D

ที่ฤษฎีบที่ ม+มที่�ฐานของสามเหลี่�ยมหน าจำ��วเที่�าก�น

พื้%ส�จำน'โดยพื้�บรู�ป

23

การูสรู างเพื้��อการูพื้%ส�จำน'โดยการูลี่าก เส น AD น��น เส น AD ควรูเป0น

(1) เส นตั้��งฉาก หรู�อ(2) เส นแบ�งครู2�งม+มยอด หรู�อ(3) เส นแบ�งครู2�งฐาน

ค*าตั้อบ ค�อ เส นแบ�งครู2�งม+มยอด

24

ก*าหนดให ก*าหนดให ABC เป0น สามเหลี่�ยมหน าจำ��ว มด าน AB =

AC ตั้ องการู พื้%ส�จำน'ว�า ABC = ACB พื้%ส�จำน' ลี่าก AD แบ�งครู2�งBAC พื้บ BC ที่�จำ+ด D พื้�บ ABC ตั้ามแนว

เส น AD เพื้รูาะว�า BAD = CAD ด�งน��น ด าน AB ที่�บ

ด าน AC

25

A

CBD

26

A

CBD

27

แตั้� AB = AC ด�งน��น จำ+ด B ที่�บจำ+ด C แลี่ะผัลี่ตั้ามมา

ค�อ DB ที่�บ DC ด�งน��น จำะได ว�า ABD ที่�บ ACD น��นค�อ ABC = ACB

กำ�าห็น์ดให็� จำากรู�ปสามเหลี่�ยมหน าจำ��ว ABC แลี่ะ AB = AC

ให BD แลี่ะ CE เป0นส�วนของเส นตั้รูงที่�ตั้�อไปจำาก AB แลี่ะ AC

สั��งท��จะต้�องพ�สั�จน์ คื%อ m(ABC) = m(ACB) แล้ะ

m(CBD) = m(BCE)

สัร�างเพ%�อพ�สั�จน์ : ให็� F เป็'น์จ(ดใดๆ บน์ BD ต้�ด AE ท��จ(ด G ให็�ได� AG = AF ล้ากำ FC แล้ะ GB

พ�สั�จน์

• พ�สั�จน์ เพื้รูาะว�า AF = AG แลี่ะ AB = ACแลี่ะ FAC = GAB (จำากส%�งที่�ก*าหนดให แลี่ะการูสรู าง)จำะได FC = GB, ACF = ABG แลี่ะ AFC = AGB (ที่บ.4)เพื้รูาะ AF – AB = AG – AC (C-3) จำะได ว�า BF = CGเน��องจำาก BF = CG แลี่ะ FC = GB แลี่ะ BFC = CGBด�งน��น BFC CGB (ที่บ.4)จำะได FBC = GCB แลี่ะ BCF = CBG (ที่บ.4)แลี่ะจำะได ACF – BCF = ABG – CBG (C-3)น��นค�อ ABC = ACB

Theorem• T-6: If a triangle has two angles equal to one

another then the sides subtending the equal angles will also be equal to one another.

พ�สั�จน์

32

A

CB

D

ก*าหนดให ABC เป0นสามเหลี่�ยม ที่�ม ABC = ACB

ตั้ องการู พื้%ส�จำน'ว�า AC = AB

33

พื้%ส�จำน' สมมตั้% AC AB ให AB ยาวกว�า AC ตั้�ด AB ที่�จำ+ด D ที่*าให BD =

AC ตั้�อ DC พื้%จำารูณิา DBC แลี่ะ ACB

เพื้รูาะว�า (1) DB = AC (2) BC เป0นด านรู�วม (3) DBC = ACB

จำะได ว�า DBC ACB

34

ด�งน��น DBC แลี่ะ ACB มพื้��นที่�เที่�าก�น เก%ดข อข�ดแย ง

เพื้รูาะว�า พื้��นที่�ส�วนหน2�งของ ที่��งหมด พื้��นที่�ที่� �งหมด

ด�งน��น AC = AB

Theorem• T-7:On the same straight-line, two other

straight-lines equal, respectively, to two (given) straight-lines (which meet) cannot be constructed (meeting) at a different point on the same side (of the straight-line), but having

the same ends as the given straight-lines.

Theorem

พ�สั�จน์

Theorem• T-8:If two triangles have two sides equal to two

sides, respectively, and also have the base equal to the base, then they will also have equal the angles encompassed by the

equal straight-lines.

Theorem

พ�สั�จน์

Theorem• T-9: To cut a given rectilinear angle in half.

พ�สั�จน์

Theorem• T-10: To cut a given finite straight-line in half.

พ�สั�จน์

Theorem• T-11: To draw a straight-line at right-angles to a

given straight-line from a given point on it.

พ�สั�จน์

Theorem• T-12: To draw a straight-line perpendicular to a

given infinite straight-line from a given point which is not on it.

พ�สั�จน์

Theorem• T-13: If a straight-line stood on a(nother)

straight-line makes angles, it will certainly either make two rightangles, or (angles whose sum is) equal to two rightangles.

Theorem

พ�สั�จน์

Theorem• T-14: If two straight-lines, not lying on the same

side, make adjacent angles (whose sum is) equal to two right-angles with some straight-line, at a point on it, then the two straight-lines will be straight-on (with respect) to one another.

Theorem

พ�สั�จน์

Theorem• T-15: If two straight-lines cut one another then

they make the vertically opposite angles equal to one another.

พ�สั�จน์