vektorski prostori, sistemi

8/18/2019 vektorski prostori, sistemi

1/33

M A T E M A T I K A

1

FON, 2008


2/33

13.10.2008.


3/33

VEKTORSKI PROSTORI I SISTEMI

•

•

•


4/33

VEKTORSKI PROSTORI

•

•

•


5/33

1 Definicija vektorskog prostora

V K + : V 2 → V

· : K × V → V

Algebarska struktura (V,K, +, ·) je vektorski ili

linearni prostor ako je:

1. (V, +) Abelova grupa,

2. α · (x + y) = αx + αy,

3. (α + β ) · x = α · x + β · x,

4. (αβ ) · x = α · (β · x),

5. 1 · x = x,

za sve x, y ∈ V i sve α, β ∈ K . Elementi skupa V su vektori , a

elementi skupa K su skalari .


6/33

Ako je K = R, vektorski prostor je realan , a ako je K = C ,

vektorski prostor je kompleksan .

V α · x αx


7/33

Primeri

V = C K = R + · C

V = Rn K = R + ·

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . . yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn),

α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , α xn),

V = P ≤n n K = R

+ ·

V = RR f : R → R K = R + ·

(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x),

V = C [a, b] [a, b] K = R

+ ·


8/33


9/33

2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora

Vektori x1, . . . , xn vektorskog prostora V su

linearno zavisni ako postoje skalari α1, . . . , αn iz K , od kojih je bar jedan razliqit od nule i za koje vai

α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0.

U protivnom, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni .

x1, . . . , xn

α1 = · · · = αn = 0

x1, . . . , xn

x1, . . . , xn, x


10/33


11/33

3 Baza i dimenzija vektorskog prostora

Skup linearno nezavisnih vektora je baza

vektorskog prostora ako je L(B) = V .

Primeri

Rn

{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}.

P ≤n(t)

{1, t , t2

, . . . , tn

}.


12/33

2 Svaki vektor vektorskog prostora moe se na

jedinstven naqin izraziti kao linearna kombinacija vektora

baze.

Dokaz. x ∈ V B = {x1, . . . . xn}

L(B) = V x ∈ L(B)

x = α1x1 + · · · + αnxn = β 1x1 + · · · + β nxn,

(α1 − β 1)x1 + · · ·( αn − β n)xn = 0,

α1 − β 1 = α2 − β 2 = · · · = αn − β n = 0,

α1 = β 1, α2 = β 2, . . . , αn = β n


13/33

3 Sve baze konaqno-dimenzionalnog vektorskog prostora

imaju jednak broj vektora.


14/33

Broj elemenata baze konaqno-dimenzionalnog

vektorskog prostora V = {0} je dimenzija tog prostora i

oznaqava se sa dimV . Za V = {0} je dimV = 0.

Primeri

dimRn = n

dimP ≤n = n + 1.


15/33

V n

B = {x1, . . . , xn}

Ako je za

x = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn

za x ∈ V , skalari α1, α2, . . . , αn su koordinate vektora x u bazi B.


16/33

SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA

•

•


17/33

4 POJAM SISTEMA LINEARNIHJEDNAQINA

4.1 Definicija sistema i rexeǌa

K aij, bi ∈ K i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n

Sistem S oblika

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

... = ...

am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm


18/33

je sistem linearnih jednaqina nad poǉem K sa nepoznatim

x1, x2, . . . , xn, koeficijentima aij i slobodnim qlanovima bi. Ako je

b1 = b2 = · · · = bn = 0 sistem je homogen , a u protivnom je

nehomogen . Sistem S je kvadratni za m = n, a pravougaoni za m = n.

n j=1

aijx j = bi, i = 1, 2, . . . , m .


19/33

Ureena n-torka (α1, α2, . . . , αn) ∈ K n je rexeǌe

sistema S ako zamenom u sistemu xk sa αk za k = 1, . . . , n dobijamo

m taqnih jednakosti. Sistem je rexiv (saglasan,

neprotivureqan, mogu) ako ima bar jedno rexeǌe, a u protivnom je nerexiv (nesaglasan, protivureqan, nemogu, kontradiktoran).

Ako sistem ima samo jedno rexeǌe, onda je odreen , a ako ima

vixe rexeǌa, onda je neodreen .

K = R S

RS

Sistemi S 1 i S 2 su ekvivalentni ako imaju iste

skupove rexeǌa, odnosno ako je RS 1 = RS 2.


20/33

Ekvivalentne transformacije sistema su:

1. zamena mesta jednaqinama,

2. ’mnoeǌe’ jednaqine brojem koji nije nula,

3. ’dodavaǌe’ jedne jednaqine drugoj jednaqini.

4 Ekvivalentne transformacije ne meǌaju skup rexeǌa

sistema.


21/33

4.2 Matriqni zapis sistema

A = (aij)m×n B X

AX = B,

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

am1 am2 · · · amn

x1

x2

xn

=

b1

b2

bm

.

A S A = (A|B)


22/33

A A1, . . . , An

A1 A2 · · · An

x1

x2

xn

=

b1

b2

bm

,

x1A1 + x2A2 + · · · xnAn = B.

A

X =

A−1

·B


23/33

Primeri

ax + by = α, cx + dy = β

AX = B

A =

a b

c d

, B =

α

β

, X =

x

y

.

ad = bc A

X = 1

ad − bc

d −b

−c a

α

β

= 1

ad − bc

αd − βb

−αc + βa

,


24/33

x = αd − βb

ad − bc , y =

βa − αc

ad − bc .


25/33

AX = B

A =

2 1 −1

1 3 −2

3 −3 1

, B =

2

−3

9

,

|A| = 2, A−1 = 1

2

−1 1 1

−7 5 3

−11 7 5

,

X = A−1B = 12

−1 1 1

−7 5 3

−11 7 5

2

−3

9

=

2

−1

1

.


26/33

5 KRAMEROVO PRAVILO

5.1 Kramerove formule

AX = B

A |A| = D

X = A−1B = adjA

|A| · B =

1

D

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

A1n A2n · · · Ann

·

b1

b2

bn


27/33

xk = 1

D

ni=1

biAik

k = 1, . . . , n

Dk

D k B

ni=1 biAik k

5 Ako je matrica sistema regularna, sistem ima

jedinstveno rexeǌe dato sa

xk = Dk

D , k = 1, 2, . . . , n .


28/33

Primer

x + y + 2z = 4, x + 2y + z = 2, 2z + y + z = 1

D =

1 1 2

1 2 1

2 1 1

= −4, D1 =

4 1 2

2 2 1

1 1 1

= 3,

D2 =

1 4 2

1 2 1

2 1 1

= −1, D3 =

1 1 4

1 2 2

2 1 1

= −9,

x = D1

D = −

3

4, y =

D2

D =

1

4, z =

D3

D =

9

4.


29/33

5.2 Diskusija rexeǌa sistema

D = 0

D = 0 Dk = 0

k ∈ {1, 2, . . . , n}

D = 0

Dk = 0 k ∈ {1, 2, . . . , n}

D Dk

D = 0


30/33

Primeri

x + y + az = a2, x + ay + z = a, ax + y + z = 1

D = −(a + 2)(a − 1)2, D1 = (a + 1)(a − 1)2,

D2 = −(a − 1)2, D3 = −(a − 1)2(a + 1)2.

a ∈ {−2, 1}

x = − a + 1a + 2

, y = 1a + 2

, z = (a + 1)2

a + 2 ,


31/33

a = −2 D2 = 0

a = 1

D = D1 = D2 = D3 = 0

x + y + z = 1


32/33

x + y + 2z = 0, x + 2y + z = 0, 2z + y + z = 0

(0, 0, 0)

D = −4 = 0


33/33

Documents

vektorski prostori, sistemi