Evklidovi Elementi

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

24. oktober 2012

Aleksandrija v 3. stol. pnš.

Slika: Mapa anticneAlexandrije

Slika: Rekonstrukcija knjižnicev Aleksandriji

Evklid iz Aleksandrije (∼ 323-283)

Slika: Evklid iz Aleksandrije

Evklidovo delo

Živel v Aleksandriji v 4. in 3. stoletju pnš. Po študiju naPlatonovi akademiji postal prvi profesor matematike naaleksandrijski univerzi in ustanovitelj najpomembnejšematematicne šole.

Slaven zaradi Elementov, napisal še druga dela, npr:- Podatki (za konstruiranje trikotnika)- Delitve (plošcin v danem razmerju)- Psevdaria (o geometrijskih napakah)- Porizmi, Stožnice (kasneje dopolnil Apolonij iz Perge)- Mesta ploskev- Fenomena (sferna geometrija in astronomija)- Optika (problem perspektive) ter- Elementi glasbe.

Prve izdaje in prevodi Elementov

iz Evklidvega casa ohranjeni le segmenti

Teonova grška izdaja iz 4. stoletja bila zelo vplivna

Boecijev latinski prevod v zacetku 6. stoletja se ni ohranil

arabski prevodi Teonove verzije v zacetku 9. stoletja(al-Hajjaj pod Harunom al-Rašidom)

Gerardov latinski prevod arabske verzije Tabita ibn Qurra(9. stol) v 12. stoletju (po Teonu) se ni ohranil

grška kopija nadškofa Aretasa iz Cezareje 888 (po Teonu)

prvi ohranjeni latinski prevod 1120 iz arabšcine (Adelard izBatha ) na osnovi Teona

Campanusov latinski prevod 1260 arabskega besedila jebil podlaga prvi tiskani izdaji

Prvi natisi in prevodi v druge jezike

1460 Regiomontanus izdal nepopolno tiskano verzijo

1482 prvi popolni natis v Benetkah v latinšcini (poCampanusu)

1543 prevod v italijanšcino (Nicoló Tartaglia )

1558 prevod v nemšcino (Johann Scheubel )

1564-66 prevod v francošcino (Pierre Forcadele deBéziers )

1570 prevod v anglešcino (Henry Billingsley )

1572 Federico Commandino prvi direktni (tiskani) prevodiz gršcine v latinšcino

Po letu 1482 vec kot 1000 izdaj v razlicnih jezikih

Elementi v sliki

Slika: Naslovna strannajstarejše ohranjene izdajelatinskega (Adelardovega)prevoda Elementov iz1309-1316

Slika: Naslovna stran prveangleškega prevoda iz 1570

Vsebina Elementov

13 knjig, 23 definicij, 465 trditev:

I. postulati, trikotnik, Pitagorov izrekII. plošcine, geometrijska algebra, kosinusov izrekIII. krogi, tetive, tangenteIV. konstrukcije z ravnilom in šestilom (npr. pravilni petkotnik)V. Evdoksova teorija sorazmernostiVI. podobni trikotniki, geometrijska rešitev kvadratne enacbe

Vsebina Elementov - nadaljevanje

VII., VIII., IX. elementarna teorija števil, Evklidov algoritem,praštevila, popolna številaX. iracionalna števila, pitagorejske trojiceXI. prostornina paralelepipeda, stožci, Menajhmovi presekistožcevXII. Evdoksovi izracuni prostornin (piramida, stožec, krogla)XIII. Platonova telesa

Aksiomatska metoda

Kako samo iz osnovnih trditev izpeljati vse nadaljnje trditvesamo z logicnim sklepanjem. Model za vso bodocomatematiko.

Evklid je poznal definicije, npr.:D1. Tocka je nekaj, kar nima delov.D2. Krivulja je dolžina brez širine.D3. Krajišci krivulje sta tocki.D4. Daljica je krivulja, ki v celoti leži znotraj svojih tock.D5. Ploskev je nekaj, kar ima le dolžino in širinoitd.

Aksiomi

Evklid je locil aksiome (splošna pravila) in postulate (posebnapravila v zvezi s snovjo).

Aksiomi:

A1. Reci, enake neki reci, so enake med seboj.A2. Ce enakim dodaš enako, sta celoti enaki.A3. Ce enakim odšteješ enako, dobiš enako.A4. Identicni reci sta enaki.A5. Celota je vecja od dela.

Postulati

P1. Mogoce je potegniti daljico od ene tocke do druge.P2. Daljico lahko nadaljujemo do neskoncne premice.P3. Mogoce je konstruirati krog s središcem v dani tocki inpolmerom enakim dani daljici.P4. Pravi koti so med seboj enaki.P5. Ce premica seka dve premici tako, da merita notranja kotana isti strani manj kot dva prava kota, se premici sekata na tististrani kot kota.

Peti postulat in rojstvo neevklidske geometrije

Sumljiv že Evklidu in Ibn Hajtamu (965-1040)Girolamo Saccheri (1667-1733), Johan Heinrich Lambert(1728-1777) in njuna štirikotnikaJohn Playfair (1748-1817): skozi dano tocko lahko potegnemonatanko eno vzporednico dani premiciNikolaj Ivanovi c Loba cevski (1793-1856), 1829-1830,nezapaženJanos Bolyai (1802-1860) leta 1832Eugenio Beltrami (1835-1899) konsistentnost geometrije zvec vzporednicamiBernhard Riemann (1826-1866) konsistentnost geometrijebrez vzporednicFelix Klein (1849-1925): hiperbolicna, parabolicna in elipticnageometrija

Lobacevski in Bolyai

Slika: Portret NikolajaIvanovica Lobacevskega(Benson)

Slika: Portret Janosa Bolyaia

Evklidov algoritem

Evklidov algoritem za iskanje najvecjega skupnega deliteljadveh naravnih števil a in b: deljenje z ostankom a = bc+ r , natob = dr +s itd. Zadnji delitelj, ki da ostanek nic, je najvecjiskupni delitelj števil a in b. Velja:

Ce je h najvecji skupni delitelj števil a in b, je c = hk (veckratnikh) natanko takrat, ko obstajata taki celi števili p in q, da jeap+bq = c.

V posebnem primeru, ko sta si a in b tuji števili, obstajata takiceli števili p in q, da je ap+bq = 1.

Konstrukcija pravilnih veckotnikov

Ce lahko konstruiramo pravilen n = rs kotnik in sta r ,s > 2,lahko konstruiramo tudi pravilna r in s kotnika.

Ce sta si r in s tuji števili, velja tudi obratno.Razlog: ker obstajata celi števili p in q, tako da je pr +qs = 1,lahko konstruiramo tudi kot 2π/rs = 2πp/s+2πq/r .

Izrek (Gauss-Wantzel) Z evklidskim orodjem lahkokonstruiramo pravilni n-kotnik natanko takrat, ko je njegov lihidel produkt samih razlicnih Fermatovih praštevil.

Nemški matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) je še kotdevetnajstleten študent leta 1796 dokazal zadostni pogoj,francoski matematik Pierre Laurent Wantzel (1814-1848) paleta 1837 potrebni pogoj.

Fermatova praštevila

Fermatova praštevila so praštevila oblike Fm = 22m+1, npr.

F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 itd.

Fermat je še mislil, da je vsako število take oblike praštevilo, aje Euler leta 1732 pokazal, da je že naslednje številoF5 = 4294967297= 641 ·6700417 sestavljeno.

Odprti problem: Ni znano, ce poleg prvih petih obstaja šekakšno Fermatovo praštevilo.

Plemljeva konstrukcija pravilnega sedemkotnika

Z daljšim izracunom pokažemo, da za 0 < t < 300 velja zastranico 7-kotnika s =

√3/2cos t , ce je tg3t = 1/3

√3.

V krogu s središcem v O in polmerom OA = 1 naj bo trikotnikOAB enakostranicni, tocka C naj razpolavlja stranico OB, tockaD pa naj od nje odreže eno tretjino v smeri od O proti B (glejsliko na naslednji prosojnici).Nacrtajmo še tocko E na daljici CD tako, da je kot CAE(oznacimo ga s t) ravno tretjina kota CAD (oznacimo ga s 3t).Potem je stranica pravilnega 7-kotnika enaka s = AE(izracunamo tg3t = CD/AC in izrazimo AE s kosinusom kota t).

Opomba . Ce namesto, da s tocko E tretjinimo kot CADtretjinimo daljico CD (kar je zaradi majhnega kota skoraj isto),dobimo približno evklidsko konstrukcijo pravilnega 7-kotnika.

Slika k Plemljevem sedemkotniku

B

D

A

C

O

E

Slika: Plemljeva konstrukcija pravilnega 7-kotnika

Saccherijev in Lambertov štirikotnik

( )a

A B

CD

( )b

A B|

CD

Slika: Saccherijev in Lambertov štirikotnik

AD = BC, kota pri A, B (in C) prava.

Koti v pravokotnem trikotniku v hiperbolicni geometriji

V vsakem Saccherijevem štirikotniku sta preostala dva kotaostra, v Lambertovem štirikotniku je cetrti kot oster.

Naj bo v pravokotnem trikotniku ABC tocka M razpolovišcehipotenuze AB. V tocki A konstruirajmo kot BAD, ki je enakkotu ABC in iz M potegnimo pravokotnico MP na CB, na AD paoznacimo tocko Q, tako da bo AQ = PB in narišimo MQ.Potem sta trikotnika AQM in BPM skladna, tako da je kot AQMpravi in tocke Q,M,P kolinearne. Torej je ACPQ Lambertovštirikotnik z ostrim kotom pri A.

Posledica: v hiperbolicni geometriji je vsota kotov v poljubnempravokotnem trikotniku manjša od π (dveh pravih kotov).

Koti v poljubnem trikotniku v hiperbolicni geometriji

V poljubnem trikotniku ABC iz oglišca, kjer je kot najvecji,spustimo višino in trikotnik razdelimo na dva pravokotnatrikotnika. Po prejšnjem je vsota vseh kotov α +β + γ vtrikotniku ABC manj od π.

Kolicina δ = π −α −β − γ se imenuje defekt trikotnika.

Pri transverzalni delitvi trikotnika (s premico skozi eno oglišce)se defekti posameznih delov seštevajo.

Koti v trikotniku

A

B

C

MP Q

D

Slika: V hiperbolicni geometriji je vsota kotov v trikotniku manjša oddveh pravih kotov

Skladnost trikotnikov v hiperbolicni geometriji

Naj bosta ABC in A′B′C′ trikotnika s paroma enakimi koti.Ovrzimo trditev, da je A′B′ < AB.

Odmerimo AD = A′B′ na AB in AE = A′C′ na AC. Potem statrikotnika ADE in A′B′C′ skladna.Tocka E ne sme pasti v C, sicer bi bil kot BCA vecji od kotaDEA.Prav tak E ne more pasti na stranico AC, sicer bi daljica DEsekala stranico BC v tocki F in vsota kotov v trikotniku FCE bibila vecja od π.Torej leži E zunaj daljice AC. Štirikotnik BCDE je konveksen,vsota kotov enaka 2π, kar pa v hiperbolicni geometriji nimogoce, zato tudi ne velja A′B′ < AB.Torej mora veljati enakost.

V hiperbolicni geometriji sta torej dva trikotnika skladna že, ceimata enake kote.