Zacetki inﬁnitezimalnega raˇ cunaˇ - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/ZacInfRac(b).pdf · Integralski racun Diferencialni raˇ ˇcun Newton Leibniz Zacetki inﬁnitezimalnega raˇ

Integralski racun Diferencialni racun Newton Leibniz

Zacetki infinitezimalnega racuna

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

12. december 2012


Predhodniki

Arhimed (287-212 pnš.), racunal plošcino parabolicnegaodseka

Simon Stevin (1548-1620)

Luca Valerio (1552-1618)

Johann Kepler (1571-1630), izracunal prostornine za 93vrtenin

Bonaventura Cavalieri (1598-1647) iz Milana, Galilejevštudent, profesor matematike v Bologni 1629-1647, tudiastronom in optik, vpliven (uvedel logaritme v Italijo),slaven zaradi Cavalierijevega nacela


Bonaventura Cavalieri

Slika: Bonaventura Francesco Cavalieri


Cavalierijev princip

Slika: Ilustracija Cavalierijevega principa


Konkreten zgled: prostornina krogle

rh

r - h2 2

h

h

r

r

Slika: Izracun prostornine krogle s Cavalierijevim nacelom


John Wallis (1616-1703)

Eden najbolj originalnih, vsestranskih in sposobnihmatematikov svojega casa:

- Racunal na pamet (tudi korene)- Deloval je na mnogih podrocjih in mnogo pisal (polegmatematike tudi o glasbi, teologiji, logiki, angleški gramatiki infilozofiji).- Iznašel sistem za ucenje gluhonemih.- Od 1643 do 1689 je bil glavni kriptograf angleškegaparlamenta.- Leta 1649 je postal profesor geometrije na Oxfordu, kjer jeostal vse do smrti.- Bil je eden od ustanoviteljev in prvih clanov angleške Kraljevedružbe leta 1662.


Wallisov portret

Slika: John Wallis


Wallisova matematika

Loteval se razlicnih problemov:

- na stožnice je gledal kot na algebrajske krivulje drugega reda(uporabljal analiticno geometrijo)- ukvarjal se s trigonometrijo, z analizo neskoncnih vrst, uvedelje pojem verižnega ulomka- v geometriji dokaz Pitagorovega izreka s podobnimi trikotniki(poznal je dela islamskih matematikov)- pod al Tusijevim vplivom se lotil problema petega Evklidovegapostulata in odkril ekvivalentno trditev (da plošcine trikotnikovniso navzgor omejene)


Integralski racun

Glavno delo: Artithmetica infinitorum 1656:

- izracunal plošcino kroga (današnji integral∫ 1

0

√1−x2dx)

- odkril ekvivalent formule za dolžino lika:

s =∫ b

a

√

1+(dy/dx)2 dx

- odkril formulo za izražanje števila π z neskoncnim produktom:

π2

=21· 23· 43· 45· 65· 67· . . .


Druga dejavnost

Drugo:

- fizika: statika (racunanje težišc), dinamika elasticnih trkov- filozofija: polemika s Thomasom Hobbsom (1588-1679) gledeosnov- zgodovina matematike:De algebra tractatus; historicus et practicus iz leta 1673,prvi angleški poskus resne zgodovine matematike- publiciranje: uredil dela grških matematikov- kriptografija


Fermatova metoda za iskanje maksimuma

Ideja: e majhen premik, v ekstremu f (x −e)≈ f (x), izenacimo,nazadnje postavimo e = 0.

Zgled: Kako razdeliti dano klicino B na dva dela A in B−A tako,da bo produkt delov najvecji?

Iz (A−E)(B−A+E) = A(B−A) dobimo 2AE −BE −E2 = 0oziroma 2A−B−E = 0.Postavimo E = 0, pa dobimo pogoj 2A = B.

(Fermat ni vedel, da je to samo potrebni pogoj, niti ni razlikovalmed maksimumom in minimumom).


Tangenta na krivuljo

O x

y

e

e

b

y

a

f( , ) = 0x y

( , )x y

Slika: Fermatova metoda iskanja tangente


Fermatova metoda za iskanje tangente na krivuljo

Poiskal subtangento a in primerjal trikotnik, ki ga doloca, spodobnim trikotnikom ob dotikališcu, dobljenim z majhnimpremikom (glej sliko): (x +e,y +b) = (x +e,y +ye/a);predpostavil, da je ta tocka na krivulji f (x ,y) = 0, izenacil in pokrajšanju postavil e = 0.

Zgled: Descartesov list ima enacbo x3 +y3 = 3bxy .Vstavimo vanjo x +e namesto x in y(1+e/a) namesto y , takoda dobimo (x +e)3 +y3(1+e/a)3−3by(x +e)(1+e/a) = 0;po krajšanju z e in postavitvi e = 0 najdemoa = −(y3 −bxy)/(x2 −by).


Isaac Barrow (1630-1677)

Rojen v Londonu, kljub težavnemu zacetku šolanja postal edennajbolj ucenih in klasicno izobraženih Angležev. Odlikoval se jev matematiki, fiziki, astronomiji in teologiji.

Kot prvi je leta 1663 zasedel na novo ustanovljeno Lucasovoprofesorsko mesto v Cambridgeu, vendar se je z njega leta1669 umaknil v korist mladega Newtona, katerega sposobnostje spoznal kot njegov ucitelj.


Portret Isaaca Barrowa

Slika: Portret Isaaca Barrowa


Delo Isaaca Barrowa

Najpomembnejše delo: Lectiones opticae et geometricae

V knjigi najdemo najboljši približek modernemu procesuodvajanja, npr. znameniti diferencialni trikotnik. Odvod v danitocki je izracunal na podoben nacin kot Fermat.

Barrow je v bistvu odkril:- Newton-Leibnizovo osnovno formulo integralskega racuna- da sta odvajanje in integral inverzni operaciji.- Znal je zamenjati spremenljivke v integralu.- Uvedel je postopek za reševanje diferencialnih enacb zlocljivimi spremenljivkami.

V optiki se je ukvatjal z lecami (dolocanje gorišcne razdalje).


Isaac Newton (1642-1727)

Rojen je bil leta 1642 v Woolsthorpu blizu Cambridgea. Ocemu je umrl že pred rojstvom, mati se je vdrugo porocila in jepustila malega Isaaca stari mami. Ker je v šoli izkazal velikonadarjenost, so mu omogocili nadaljnje šolanje.

Že v mladosti je izvedel veliko eksperimentov in konstruiralrazlicne naprave (npr. leseno uro, ki jo je poganjala voda). Odleta 1661 je študiral je na Trinity Collegu v Cambridgeu in se obtem zacel zanimati za matematiko (pod vplivom IsaacaBarrowa).

Prebral je Evklidove Elemente (prelahko), Descartesovo Lagéometrie (težko), dela Outhreda, Keplerja in Vièta terWallisovo Arithmetico infinitorum.


Newtonov portret

Slika: Knellerjev portret Isaaca Newtona iz leta 1689


Do prvih uspehov

Zacel je matematiko tudi odkrivati na novo:Leta 1665 je poznal splošni binomski obrazec in metodofluksov, temelj njegovega diferencialnega racuna.

Zaradi kuge je bila univerza vec kot leto zaprta, zato je živeldoma in razmišljal, kako poiskati tangento na krivuljo in njenpolmer ukrivljenosti. Zanimal se je za fizikalna vprašanja,gravitacijo in optiko.

Leta 1667 se je vrnil na univerzo in se ukvarjal z optiko.Naslednje leto je koncal magisterij in postal stalni clan TrinityCollegea. Leta 1669 mu je Barrow prepustil mesto profesorja.Predaval je optiko, leta 1671 izumil zrcalni teleskop, ki je dodanes ostal standard v astronomiji, kar je bil njegov prvi vecjijavni uspeh.


Kritike in rojstvo gravitacijske teorije

Clani Kraljeve družbe (Hooke in drugi) so njegovo teorijo barvin druga spoznanja v optiki tako mocno napadli, da po temskoraj ni hotel vec objavljati.

Leta 1679 je preveril svojo gravitacijsko teorijo z novimi merjenjiZemljinega polmera in gibanja Lune (ugotovil skladnost sKeplerjevimi zakoni). Na Halleyevo pobudo je leta 1684 tonapisal v obliki razprave, poslal Kraljevi družbi. Ob istem casuje tudi matematicno rešil problem gibanja tockaste mase vgravitacijskem polju.

Kompletna razprava Philosophiae naturalis principiamathematica, ki jo je financiral astronom Edmond Halley(1656-1742), je izšla sredi leta 1687 in naredila mocan vtis navso evropsko znanost.


Principia mathematica

Slika: Originalna Newtonova kopija Principie iz leta 1687z latnorocno pripisanimi popravki za drugo izdajo


Newtonova dela

Vsa objavljena z veliko zamudo (razen Principie):

Kubicne krivulje, Kvadratura in rektifikacija krivulj zuporabo neskoncnih vrst 1704

Arithmetica universalis 1707 v knjigi Opticks

Analysis per Series, Fluxiones etc. 1711 v knjigiMethodus differentialis

Lectiones opticae leta 1729

The Method of Fluxions and Infinite Series posthumno leta1736 v angleškem prevodu J. Colsona


Metoda fluksij

Slika: Naslovnica Newtonove knjige Method of Fluxions and InfiniteSeries, ki je izšla leta 1736


Fluksije in fluente

Idejo o fluksih je Newton sporocil Barrowu leta 1669, dokoncnoje napisal Method of Fluxions leta 1671, izšla pa je šele ponjegovi smrti, leta 1736.

Krivuljo vidi kot sled zveznega gibanja tocke, spremenljivokolicino y imenuje fluento, hitrost spreminanja y fluksijo, njendiferencial yo (o = dt) pa moment fluente.

Ce v enacbo krivulje pišemo x + xo namesto x in y + yonamesto y ter zanemarimo vse višje clene v o, dobimo zvezomed fluentami in fluksijami (kar je ekvivalentno našemuodvajanju oziroma diferenciranju). Obratni problem je iz takezveze spet poiskati zvezo med fluentami (kar ustreza reševanjudiferencialne enacbe).


Newtonovi prispevki k matematiki

- Znal iskati tangente, ekstreme, prevoje, ukrivljensti(vse z metodo fluksij).- Spretno reševal prve diferencialne enacbe (in iskalortogonalne trajektorije).- Izpeljal Taylorjeve vrste vseh elementarnih funkcij (z njimi jeracunal odvode in ne obratno).- Izumil numericno metodo za približno reševanje algebraicnihin transcendentnih enacb.- Našel ocene za meje korenov polinomov in odkril formule zavsoto n-tih potenc korenov (v Arithmetici universalis).- Obravnaval kubicne krivulje (v Optiki).- Izreki o tangentah na stožnico so celo v Principii, dokazal sklasicno (grško) metodo.


Newtonov izracun števila π

B

y

A

D

11 4 1 2 x

C D

y = x x 2

0

Slika: Newtonova aproksimacija števila π

Plošcina lika je π/24−√

3/32 =∫ 1/4

0

√x −x2 dx ≈ (z razvojem

v binomsko vrsto in integriranjem po clenih) 0.767731. Dobimoπ ≈ 3.141593.


Newtonova metoda obracanja

Vrsto oblike z = Ax +Bx2 +Cx3 + ..., kjer je A 6= 0 obrnitipomeni izraziti x s spremenljivko z. To je Newton storil tako, daje zanemaril višje potence za x in rešil preostalo enacbox = z/A, nato je iskal rešitev v obliki x = z/A+p, vstavil v vrsto,razvil po p, zanemaril višje potence p in rešil enacbo glede p vobliki ulomka dveh potencnih vrst, v katerih je spet zanemarilvišje potence z in izrazil p s kvadratom z2, itd.

Zgled: Obrni vrsto z = x −x2 +x3 −x4 + ...


Newtonova izpeljava sinusne vrste

B

y

A

GH

D

dx

dz

z

x

T

1

Slika: Newtonova izpeljava sinusne vrste

Iz podobnih trikotnikov DGH in ABD dobimo dz = dx/y . Ker jey =

√1−x2, dobimo z razvojem in integracijo z izražen s

potencno (arkus sinusno) vrsto v spremenljivki x . Vrstoobrnemo in dobimo znano vrsto za x = sin z.


Newtonov pomen

Sodi med vodilne matematike vseh casov.Skromnost, delavnost (tudi 18 ali 19 ur na dan).

Leibniz:Kar je naredil Newton, je vec od polovice tega, kar so naredilivsi matematiki pred njim.

Newton:Ne vem, kakšen se morda zdim svetu; sam sebi se zdim kotdecek, ki se igra na obali in se veseli najdbe bolj okroglegakamencka ali lepše školjke, medtem ko ocean resnice ležineodkrit pred menoj.

Ce sem kdaj videl dlje od drugih, je to zato, ker sem stal naramenih velikanov.


Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Veliki univerzalni um 17. stoletja in Newtonov tekmec je bilrojen v Leipzigu leta 1646. Kot otrok se je naucil brati grško inlatinsko, do dvajsetega leta je obvladal skoraj vse, kar sovsebovali standardni ucbeniki matematike, filozofije, teologije inprava. Že tedaj se je ukvarjal z univerzalnimi zakoni logike.

V Nürenbergu je napisal briljantno delo o poucevanju prava,zato so ga izbrali za kodifikacijo statuta. Vse svoje življenje odleta 1676 dalje je ostal v diplomatski službi najprej volilnegakneza v Mainzu in nato brunsviškega vojvode v Hannovru. Želeta 1672 so ga poslali v Pariz, kjer je za Ludvika XIV pripravilprojekt o zasedbi Egipta.


Leibnizov portret

Slika: Gottfried Wilhelm Leibniz


Življenje in delo

Leta 1672 se je v Parizu srecal s Huygensom, ki ga je navdušilza matematiko (zanjo se je zanimal že prej).

Leta 1673 je obiskal London, tam zasnoval svoj znamenitiracunski stroj in ga prikazal Kraljevi družbi.Predno se je vrnil v Hannover za knjižnicarja brunsviškegavojvode, je odkril osnovni izrek integralskega racuna,posreceno poenostavil notacijo (oznaka

∫

za integral, oznakidx , dy za diferencial) in izdelal skoraj vse elementarne formuleza odvajanje (zdaj se po njem imenuje samo ena, formula zavišji odvod produkta).

Leta 1682 je ustanovil casopis Acta eruditorum (v njem je vdesetih letih objavil vecino svojih matematicnih clankov).


Plošcina pod krivuljo

dx

P dy

O x

y

z

a b

ds

( )a

h

a b

( )b

h

ds

Slika: Izpeljava Leibnizove formule za plošcino pod krivuljo


Leibnizov transmutacijski izrek

Iz podobnih trikotnikov dobimo dy/dx = (y −z)/x oziromaz = y −xdy/dx , poleg tega pa še ds/dx = z/h oziromahds = zdx .

Seštejemo plošcine infinitezimalnih trikotnikov z vrhom vizhodišcu na sliki in geometrijsko odkrijemo transmutacijskiizrek za plošcino pod krivuljo:

∫

ydx = 12

∫

zdx + 12by(b)− 1

2ay(a).

Odtod dobimo s substitucijo z = y −xdy/dx formulo per partes∫

ydx = 12

∫

ydx −xdy + 12(by(b)−ay(a))


K izpeljavi Leibnizove vrste

O 1

y = 2x - x 2

( )a

O 1

z = x/ 2-x( )

( )b

Slika: Izpeljava Leibnizove vrste za π/4


Izpeljava Leibnizove vrste:π/4 = 1−1/3+1/5−1/7+ ...

Z diferenciranjem krožnice (x −1)2 +y2 = 1 dobimody/dx = (1−x)/y in potem z = x/y ; zato z2 = x/(2−x)oziroma x = 2z2/(1+z2).

Izrazimo plošcino pod krivuljo z = z(x) kot∫ 1

0 zdx = 1−∫ 1

0 xdzin z uporabo transmutacijskega izreka iz tocke (12a) zapišiπ/4 =

∫ 10 ydx = 1

2

∫ 10 zdx + 1

2 = 12(1−

∫ 10 xdz)+ 1

2 =

1− 12

∫ 10 xdz = 1−

∫ 10

z2dz1+z2 =

∫ 10

dz1+z2 .

Z razvojem integranda v geometrijsko vrsto in integriranjem poclenih izpeljem Leibnizov vrsto.


Lingvist, filozof in diplomat

Bil je nadarjen lingvist (poznal npr. sanskrt) in cenjen filozof(razvil je sistem matematicne logike).Leta 1700 je ustanovil Berlinsko Akademijo in nacrtovalpodobne akademije v Dresdenu, v St. Peterburgu in na Dunaju,

Lotil se je razlicnih globalnih projektov:- združitve vseh cerkva (vsaj prostestantske in katoliške)- skušal za carja Petra Vellikega prenoviti ruski pravni sistem

Kot filozof je iskal ti. karakteristike, univerzalne prvine vsehznanosti in univerzalno metodo za rešitev vseh problemov.

Leta 1714 je njegov delodajalec, brunsviški vojvoda, postal JurijI, (prvi nemški) kralj Anglije. Leibniz je ostal v Hannovru in umrlbolj ali manj osamljen.


Spor med Newtonom in Leibnizom

Kdo je bolj zaslužen za nastanek infinitezimalnega racuna?Spor v zadnjih letih njunega življenja, debata o tem trajala šestoletje in vec.

Danes zgodovinarji matematike pripisujejo enake zaslugeobema. Delala bolj ali manj neodvisno; Newton je prvi prišel doodlocilnih rezultatov, vendar jih je Leibniz leta 1684 prvi objavil.


Berkleyeva kritika

Newton se je skliceval na ’zadnji ulomek’, ultimo ratio, tj. nadiferencni kvocient tik predno prirastek o = dt izgine. Leibniz paje raje govoril o neskoncno majhnih kolicinah, infinitezimalah, kiše niso nic, ne more pa se jih še bolj zmanjšati.

To je ostro (in z dobro mero ironije) kritiziral filozof in škofGeorge Berkeley (1685-1753):

In kaj so ti fluksi? Hitrosti izginjajocih prirastkov? In kaj so tiizginjajoci prirastki? Niso niti koncne kolicine niti neskoncnomajhne kolicine niti niso še nic. Ali jih ne bi raje imenovaliduhovi odhajajocih kolicin? Matematiki so šele v 19. stoletjurazrešili ta vprašanja in diferencialni racun postavili na trdnetemelje.

Documents

Zacetki inﬁnitezimalnega raˇ cunaˇ - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/ZacInfRac(b).pdf · Integralski racun Diferencialni raˇ ˇcun Newton Leibniz Zacetki inﬁnitezimalnega raˇ