Srednji vek in renesansa - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/SrVek(b).pdf · Filozoﬁ, teologi in prevajalci Matematiki od 13. do 15. stoletja Kubiˇcna in kvarti ˇcna ena ˇcba Viète

Filozofi, teologi in prevajalci Matematiki od 13. do 15. stoletja Kubicna in kvarticna enacba Viète in drugi

Srednji vek in renesansa

Milan Hladnik

Predavanja iz zgodovine matematikeFMF, Univerza v Ljubljani

21. november 2012


Filozofi in cerkveni ocetje

Boecij (480-525) iz Rima, oce sholastike, pisal tudiucbenike aritmetike (po Nikomahu) in geometrije (poEvklidu)

Bede Castitljivi (673-735) iz Anglije, pisal o osnovahkoledarja

Alkuin (735-804) iz Yorka, ucitelj na dvoru Karla Velikega,napisal zbirko problemov Propositiones ad acuendosjuvenes (Problemi za bistrenje mladih)

Gerbert d’Aurillac (950-1003), kasnejši papež Silvester II,študiral v Franciji in Španiji, kjer se je seznanil z arabskimiteksti, v Evropo uvedel indijsko arabske številke (breznicle) in abakus, zelo izobražen


Prevajalci

V Toledu v 12. stoletju

Adelard iz Batha (1075-1164), prevedel EvklidoveElemente in al Hvarizmijeve astronomske tabele

Ivan iz Seville (1090-1150), direktno v kastiljšcino

Robert iz Chestra, prevedel al Hvarizmijevo algebro

Herman Koroški (1100-1160), prevedel PtolemajevPlanisferij in tudi Evklidove Elemente

Platon iz Tivolija (1132-1146 živel v Barceloni), prevedel alBatanijevo astronomijo in Teodozijeve Sferike

Gerardo iz Cremone (1114-1187), prevedel PtolemajevAlmagest, Evklidove Elemente, al Hvarizmijevo algebro indruga dela, skupaj vec kot 90


Herman Koroški (1100-1160)

Slika: Herman Koroški, ilustracija iz 13. stoletja


Drugi stiki z islamsko matematiko

Posrednik tudi Sicilija z zanimivo zgodovino (grška kolonija, delRimskega imperija, pod Bizancem, petdeset let pod Arabci v 9.stoletju, nato spet pod Bizantinci in nazadnje pod Normani).Njeni diplomati so stalno potovali na vzhod, v Bizanc inBagdad, govorili latinsko in arabsko, ter pridobili veliko grških inarabskih rokopisov. Podpornika Friderik II (1194-1250) innjegov sin Manfred (1231-1260).

Poleg tega so se v 12. in 13. stoletju zaradi trgovskih stikov zarabskim svetom razvila italijanska mesta Genova, Pisa,Benetke, Milano in Firence. Trgovci so se na svojih poslovnihpoteh seznanili z racunsko in algebrsko prakso vzhoda.


Leonardo Fibonacci (1170-1250)

Slika: Leonardo iz Pise, imenovan Fibonacci


Fibonaccijevo delo

Sin trgovca, poslovno potoval na Sicilijo, v Grcijo, Sirijo in Egipt.

Leta 1202 opisal v slavni knjigi Liber abbaci(Knjiga o racunanju)

Knjiga, posvecena aritmetiki in algebri, vpliv al Hvarizmija inAbu Kamila, uporaba indo-arabske notacije

V 15 poglavjih predstavlja racunanje s celimi števili in ulomki,kvadratnimi in kubicnimi koreni, reševanje linearnih inkvadratnih enacb (negativnih in imaginarnih korenov ne pozna)ter slavno zaporedje 1,1,2,3,5,.. števil, danes imenovano poavtorju.

Velika zbirka problemov v Liber abbaci je vec stoletij dobroslužila študentom matematike in trgovcem.


Liber abbaci

Slika: Stran iz knjige Liber abbaci, na desni so napisanaFibonaccijeva števila


Fibonaccijevo drugo delo

Practica geometriae 1220Liber quadratorum 1225(verjetno najgloblje delo o analizi nedolocenosti)

Zaradi talenta so ga povabili na dvor Friderika II, kjer je namatematicnem turnirju rešil razlicne težke probleme:- poiskal racionalno število x , tako da sta x2 −5 in x2 +5kvadrata racionalnih števil (takoj je našel rešitev x = 41/12 in jokasneje objavil v Liber quadratorum; omenimo, da je to možno,ker je 5 - najmanjše - ti. kongruentno število)- poiskal (na 9 decimalk natancno) približno rešitev1.3688081075 kubicne enacbe x3 +2x2 +10x = 20 terpokazal, da se rešitev ne izraža s koreni oblike

√a+

√b

(kar je kasneje objavil v delu Flos)


Drugi matematiki v 13. stoletju

Jordanus Nemorarius (1225-1260), delal v Franciji, prviuporabljal crke za obca števila

Johannes de Sacrobosco (1195-1256), angleški menih, sešolal in pouceval v Parizu, avtor astronomskega delaTractatus de sphaera (po Ptolemajevem Almagestu)

Johannes Campanus (1220-1296), iz Novare, prevajalecEvklidovih Elementov, prvi opisal planetarij


... in filozofi v 13. stoletju

Roger Bacon (1214-1294), angleški filozof in franciškan,zagovornik znanstvene metode, v svojem obsežnem deluOpus majus je pisal tudi o matematiki in optiki (poPtolemaju in ibn Haythamu)

Tomaž Akvinski (1225-1274), cerkveni ucitelj, sholastik,teoretiziral o neskoncnosti, gibanju in kontinuumu,diskretnosti in zveznosti

Thomas Bradwardine (1290-1349), angleški teolog incanterburyski nadškof, ukvarjal se je tudi z logiko,gibanjem teles, veckratno proporcionalnostjo(eksponentna rast), geometrijo in trigonometrijo


Prve srednjeveške univerze v Evropi

Bologna 1088

Pariz 1150

Oxford 1167

Cambridge 1209

Padova 1222

Toulouse 1229

Coimbra 1290

Madrid 1293


Nicole Oresme (1323-1382)

Najvecji matematik 14. stoletja, rojen v Normandiji in postalškof. Napisal je pet matematicnih del in prevedel Aristotela.

Prvi je govoril o lomljenih eksponentih in se približal ideji okoordinatnemu sistemu.

Znan je njegov dokaz (ki ga uporabljamo še danes in temelji nazdruževanju 2n zaporednih clenov), da divergira harmonicnavrsta

1+1/2+1/3+1/4+ ...


Matematiki v 15. stoletju

Nicolas Cusa (1401-1464), francoski ucenjak, kardinal inguverner Rima, ukvarjal se je s poskusi reformiranjakoledarja ter s klasicnimi problemi kvadrature kroga intretjinjenja kota

Nicolas Chuquet (1445-1500), iz Pariza, deloval kotzdravnik v Lyonu, najbolj nadarjen francoski matematik 15.stoletja, glavno delo Triparty en la science des nombres1484 o aritmetiki (racionalna in iracionalna števila, pozitivniin negativni eksponenti, imena za velika števila)

Georg von Peurbach (1423-1461), Cusov ucenec, profesorastronomije v Italiji in na Dunaju, zaslužen, da je dunajskauniverza, ustanovljena 1365, postala center raziskovanja.Sestavil je tabelo sinusov, pisal o aritmetiki in astronomiji,iz gršcine zacel prevajati Ptolemajev Almagest


Regiomontanus (1436-1476)

Slika: Johann Müller, imenovan Regiomontanus


Regiomontanusovo delo

Po rodu iz bavarskega Königsberga, študiral pri Peurbachu naDunaju, dokoncal prevod Almagesta ter iz gršcine prevedel šedela Apolonija, Herona in Arhimeda.

Najboljše delo: De triangulis omnimodis iz leta 1464(posthumno izdano leta 1533), prva evropska sistematicnapredstavitev ravninske in sfericne trigonometrije, neodvisna odastronomije (pet knjig o dolocanju trikotnika, sinusni zakonsferne trigonometrije). Kasneje je sestavil tudi tabelotangensov.

Potoval je po Italiji in Nemciji, v Nürenbergu ustanovilobservatorij in tiskarno ter bil nasploh zelo aktiven (pisalrazprave iz astronomije). Leta 1475 ga je papež Sikst IVpovabil v Rim, da bi sodeloval pri reformi koledarja, a je kmaluumrl, star komaj 40 let.


Regiomontanusova knjiga o tikotnikih

Slika: Naslovna stran knjige De Triangulis Omnimodis iz leta 1464


Luca Pacioli (1445-1517)

Slika: De Barbarijev portret Luca Paciolija

Vpeljal okrajšave: p (piu za +, m (meno) za −, co (cosa) zaneznanko x , ce (censo) za x2, cu (cuba) za x3, cece(censocenso) za x4, ae (aequalis) za = itd.


Matematicne osnove perspektive v slikarstvu

Na osnovi Alhazenove Optike je Lorenzo Ghiberti sestavilestetske kriterije, Philippo Brunelleschi pa okrog leta 1413eksperimentiral s perspektivo (z uporabo zrcal), pri cemer mu jepomagal matematik Paolo dal Pozzo Toscanelli, prijateljNicolasa Cusa. V Firencah so slikarji zaceli uporabljatiperspektivo.

Leta 1435/36 Leon Battista Alberti, ki je študiral AlhazenovoOptiko v Padovi, objavi teoreticno razpravo De pictura

Leta 1470 Piero della Francesca objavi razpravo DeProspectiva pingendi o osnovah perspektive in jo tudi uporabljav praksi. Bil je prvi, ki je npr. pravilno upodobil platonska telesa.


Da Vincijeva risba v Paciolijevi knjigi

Slika: Da Vincijeva risba rombicnega kubooktaedra v Paciolijevi knjigiDe divina proportione


Zgodnji aritmeticni tiski

Aritmetika iz Trevisa anonimnega avtorja (Treviso 1478), vbeneškem narecju, najstarejša tiskana knjiga sploh izmatematike (iz Plimptonove zbirke univerze Columbia),Aritmetika Piera Borgija (Benetke 1484), uspešno in vplivnokomercialno delo v italijanšcini, doživelo 17 izdaj,Aritmetika Johanna Widmanna (Leipzig 1489) v nemšcini, naNemškem zelo razširjena,Aritmetika Filippa Calandrija (Firence 1491), vsebuje prvi opispostopka dolgega deljenja in prve ilustrirane probleme v tisku,Summa de arithmetica, geometrica, proportioni etproportionalità Luca Paciolija (Benetke 1494), že opisana,Aritmetika Jacoba Köbela (Heidelberg 1514), zelo popularna,doživela 22 izdaj,Aritmetika Adama Rieseja (1522) v nemšcini, namenjenaposlovnežem in obrtnikom, doživela 114 izdaj ( "aritmetika poRieseju")


Aritmetika iz Trevisa 1478

Slika: Stran iz prve tiskane matematicne knjige Aritmetica di Treviso


Zacetki algebraicnega simbolizma

Johann Widmann, rojen 1460 na Ceškem, vpelje v svojiAritmetiki (1489) znaka + (iz latinskega et) in − (iz okrajšave mza minus. Gillis van der Hoecke je prvi, ki ju ima leta 1514 zaalgebrski operaciji.

Robert Recorde (1510-1558), študiral v Oxfordu (matematiko)in Cambridgeu (medicino),ucitelj matematike, osebni zdravnikkralja Edvarda IV in kraljice Marije (Queen Mary), nazadnjekontrolor državne kovnicePisal o astronomiji, geometriji, aritmetiki in medicini, dela:The Castle of Knowledge (1551), prvi opis Kopernikovegaheliocentricega sistema v anglešciniPathewaie to Knowledge (1551), skrajšana verzija EvklidaThe Whetstone of Witte (1557) prva uporaba enacaja:"bicause noe .2. thynges can be moare equalle"


Robert Recorde (1510-1558)

Slika: Robert Recorde


Christoff Rudolff (1499-1545) in Michael Stiffel(1486-1567)

Glavno Rudolffovo delo: Die Coss (1525), prva nemška knjigao algebri, vpeljan znak za kvadratni koren √ (nastal iz crke r zaradix).Matematiki, ki so v 16. stol. uporabljali te nove oznake, so seimenovali Cossisti.

Michael Stiffel je najvecji nemški algebraik 16. stoletja,s povezavo aritmeticnega in geometricnega zaporedjapredhodnik logaritmov, uporabljal posebne simbole in crke zaalgebrajske operacije in neznanke. Sicer je med prvimi sprejelluterantstvo in bil prav fanaticen reformator.


Zgodba

Okrog leta 1515 je Scipione del Ferro (1456-1526), profesormatematike na univerzi v Bologni (najbrž na osnovi arabskihvirov) našel rešitev splošne enacbe oblike x3 +mx = n;rezultata pa ni objavil, ampak ga je zaupal svojemu ucencuAntoniu Fioru.

Dvajset let kasneje je Niccolò iz Brescie (imenovan Tartaglia)trdil, da zna rešiti enacbo oblike x3 +px2 = n. Fior mu ni verjel,zato ga je povabil na dvoboj, kjer pa se je Tartaglia izkazal, sajje rešil vec tipov enacb kot Fior.


Nadaljevanje

Kasnje je Girolamo Cardano, zdravnik in matematik iz Milana izTartaglia izvabil skrivnost reševanja kubicnih enacb in jo (brezdovoljenja) objavil v svoji knjigi Ars magna, izdani v latinšcini vNürenbergu leta 1545. Tartaglia je protestiral, toda nipomagalo.

Cardanova rešitev:

Ker je (a−b)3 +3ab(a−b)= a3 −b3, lahko pišemo 3ab = m,a3 −b3 = n in x = a−b. Odtod dobimo rešitev:

a = 3√

(n/2)+√(n/2)2 +(m/3)3 in

b = 3√

−(n/2)+√(n/2)2 +(m/3)3.


Nadaljevanje

Leta 1540 je italijanski matematik Zuanne de Tonini da Coipredlagal Cardanu problem, ki je vodil do enacbe cetrtestopnje. Cardano ga ni znal rešiti, pac pa je v tem uspelLodovico Ferrari, Cardanov ucenec. Ferrari je enacbox4 +px2 +qx + r = 0 zapisal v obliki(x2 +p)2 = px2 −qx +p2− r ; z uvedbo dodatne neznanke jedobil (x2 +p+y)2 = (p+2y)x2 −qx +(p2 − r +2py +y2).Ce dolocimo y tako, da bo na desni popolni kvadrat, bomoenacbo za x znali rešiti. To pa je res natanko takrat, ko je4(p+2y)(p2 − r +2py +y2)−q2 = 0,kar pa je enacba tretje stopnje.

Kasneje sta François Viète in René Descartes ponudila šedrug nacin reševanja.


Girolamo Cardano (1501-1576)

Slika: Girolamo Cardano


Cardanovo življenje in delo

Rojen v Paviji, študiral medicino in postal ugleden in po Evropiiskan zdravnik. Potoval je na Škotsko, da je ozdravil astmenadškofa Hamiltona, po vrnitvi pa imel mesti profesorja nauniverzah v Paviji in Bologni. Za dodaten zaslužek se jeukvarjal tudi z astrologijo, postal astrolog na papeškem dvoru vRimu, kjer je umrl na isti dan, kot je napovedal.

Napisal je vec razprav o aritmetiki, astronomiji in fiziki,najpomembnejše delo: Ars magna iz leta 1545, velika razpravav latinšcini, posvecena samo algebri (v njej dopušca tudinegativne rešitve in uporabo imaginarnih števil, opisani sopribližni postopki itd.). Poznal je že kasnejše Descartesovopravilo predznakov.


Ars Magna 1545

Slika: Naslovna stran Cardanove knjige Ars Magna (1545)


Niccolò Tartaglia (1499-1557)

Slika: Niccolò Tartaglia


Napis v Bresci

Qui scampato agli accidi del 1512 un povero fanciullo ferito allelabbre ebbe in di nome dalla impedata favella. Quel nome èTartaglia, glorioso nella scienza dei numeri.

Per decr. mun. 1878


Rafael Bombelli (1526-1572)

Živel v Bologni

Glavno delo: Algebra (1572)

Reševanje kubicne enacbe x3 +mx = n v primeru, ko je(n/2)2 +(m/3)3 < 0 in ima enacba tri realne korene, ki se poCardanovih formulah izražajo z imaginarnimi števili (casusireducibilis).√

7+√

24 Pacioli: RV 7pR 14Bombelli: R �7p R 14�


Pravila racunanja z negativnimi in imaginarnimi števili

più via più fa piùmeno via più fa menopiù via meno fa menomeno via meno fa meno

più di meno via più di meno fa menopiù di meno via meno di meno fa piùmeno di meno via più di meno fa piùmeno di meno via meno di meno fa meno


François Viète (1540-1603)

Najvecji francoski matematik 16. stoletja, rojen v Fontenayu,pravnik in clan parlamenta, hugenot, svetovalec francoskihkraljev Henrika III in IV, umrl v Parizu.

Nizozemski ambasador je kralju Henriku IV prinesel problem, kiga je 1593 zastavil Adrianus Romanus (Adriaen van Roomen)(1561-1615) in se prevede na enacbo 45. stopnje. Viète jetakoj našel dva korena, kasneje pa še 21 drugih (pozitivnih).Romanusu, s katerim sta postala prijatelja, pa je sam zastavilApolonijev problem.

Viète je koristil Franciji v sporu s Španijo: leta 1590 je zlomil ti.špansko kodo, za katero je španski kralj Filip II mislil, da jenezlomljiva (Filip se je zaradi tega pritožil papežu, ceš da greza crno magijo).


Viètov portret

Slika: François Viète


Viètovo delo

Viète je napisal dela iz trigonometrije in geometrije:

Canon mathematicus seu ad triangula (1579) je prva knjiga vzahodni Evropi, ki razvija metode za reševanje trikotnika zuporabo vseh šestih trigonometricnih funkcij.

V knjigi o trigonometriji in geometriji Suplementaum geometriaeiz leta 1593 je predstavil tudi svojo rešitev podvojitve kocke intretjinjenja kota.

Znal je izracunati cos nθ kot funkcijo cosθ za n = 1,2, ...,94.

Skušal je obnoviti izgubljeno Apolonijevo delo o tangentah.


Vietova vpeljava simbolov

Predvsem pa je bil izjemen algebraik, najvecji po Diofantu inpred Fermatom. Najslavnejše delo

In artem analyticam isagoge (1591)

prinaša simbolicno algebro, uporablja samoglasnike zaneznanke in soglasnike za znane kolicine (naš sedanji dogovoro oznacevanju neznank s crkami s konca abecede je vpeljalDescartes leta 1637). Enacaja ni pisal, namesto njega jezapisal aequatur, je pa vcasih uporabljal znaka + in −.

Zgled: Enacba bx2 +dx = z v Viètovem zapisu:

"B in A quadratum, plus D plano in A, aequari Z solido"


Viètovo delo - nadaljevanje

V delu De numerosa potestatum resolutione (1600) jeobravnaval približno reševanje enacb (s precej nerodnometodo).

Leta 1615 je posthumno izšla njegova zadnja knjiga Deaequationum recognitione et emendatione, v kateri predstavljanovo metodo za reševanje kubicne enacbe x3 +3ax = 2b.Rešitev išce v obliki x = a/y −y in za y3 dobi kvadratno enacboy6 +2by3 = a3, ki jo reši, da najde y3 in nato y , torej tudi x . Zarešitev enacbe 4. stopnje ravna podobno kot Ferrari.


Viètovo delo - nadaljevanje

Znane so njegove formule, kako se koeficienti polinomaizrašajo z elementarnimi simetricnimi funkcijami korenov:

Za enacbo x2 +px +q = 0 imamo α +β =−p, αβ = q

Za enacbo x3 +px2+qx + r = 0 pa je α +β + γ =−p,βγ + γα +αβ = q, αβγ =−r , itd. Našel je formulo zneskoncnim produktom za število 2/π, namrec formulo

2π=

12

√2 · 1

2

√2+

√2 · 1

2

√2+

√2+

√2 · · · · ,


Drugi matematiki in astronomi 16. stoletja

Christopher Clavius (1537-1612), jezuit, rojen v Babmbergu naNemškem, umrl v Rimu, študiral na univerzi v Coimbri,ustanovljeni leta 1290, napisal ucbenika aritmetike 1583 inalgebre 1608, izdal Evklidove Elemente 1574, pisal otrigonometriji in astronomiji ter igral vodilno vlogo prigregorijanski reformi koledarja, ki jo je leta 1582 uzakonil papežGregor XIII (izpustili so 10 dni, 4. oktobru je sledil 15. oktober).

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), rojen v Bologni, ucilmatematiko in astronomijo v Firencah, Perugi in Bologni,napisal aritmetiko (popolna števila), uredil izdajo EvklidovihElementov in kratko algebro. Napravil je prve korake v teorijoverižnih ulomkov.


Drugi matematiki in astronomi 16. stoletja -nadaljevanje

Simon Stevin (1548-1620) je bil najvplivnejši matematik naNizozemskem, postal general, kot ekspert v statiki inhidrostatiki je vodil mnoga javna dela, napisal aritmetiko ssistematicno obravnavo decimalnih števil.

Nikolaj Kopernik (1473-1543), študiral v Krakovu, potem pravo,medicino in astronomijo v Padovi in Bologni. Svoj heliocentricnisistem je dognal leta 1530, objavljen pa je bil šele v letunjegove smrti 1543. Ni bil matematik, je pa napisal delo otrigonometriji.


Drugi matematiki in astronomi 16. stoletja -nadaljevanje

Georg Joachim Rhaeticus (1514-1576), Kopernikov ucenec,je bil vodilni nemški astronom 16. stoletja, dvanajst let je ssodelavci sestavljal natancne in koristne trigonometricne(10 in 15 mestne) tabele za sinus za vsakih 10 sekund.Prvi je definiral trigonometricne funkcije z razmerjem stranic vpravokotnem trikotniku.

Bartholomeus Pitiscus (1561-1613) je leta 1593 izpopolnilRhaeticusove tabele. Njegova razprava o trigonometriji je prva,ki res zasluži to ime.

Documents

Srednji vek in renesansa - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/SrVek(b).pdf · Filozoﬁ, teologi in prevajalci Matematiki od 13. do 15. stoletja Kubiˇcna in kvarti ˇcna ena ˇcba Viète