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8/15/2019 EX MAT I Febrero-07 Soluciones
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I EXAMEN DE FEBRERO-07
1. La funcióna x
x x f
−−
=13
)( tiene:
a) Un mínimo relativo si a ≠ 1/3
b) Una asíntota vertical para cualquier valor de a ≠
.c) Ninguna de las ane!i"!es#
!ol.
"")(
31
)(
13)(3)#(
a x
a
a x
xa x x f
−−
=−
+−−=
!i a ≠ 1/3 la derivada no se anula en nin$%n caso& la
función no puede tener mínimos
relativos (ni m'imos).
!i a 1/3& la función es
13
)13(3
3/1
13)(
−
−=
−
−=
x
x
x
x x f * que no est' definida
en 1/3
pero tiene una discontinuidad evitable. Lue$o no tiene
asíntota vertical.
". +l valor de x sen
x xelím
x
x "
cos−−→
es:
a) 1/" b) −1
c) Ninguna de las ane!i"!es$ su %al"! es& '
!ol.
x sen
x xelím
x
x
"
cos−−
→
(aplicando L#,-pital)
x senx
senxelím
x
x cos"
1
+−
→
(L#,)
1"
"
"coscos"
cos
==
−+
→ senxsenx x x
xelím
x
x
3. La curva 1"" +−= x x y la recta de
ecuación "" −= x y limitan un recinto
finitoen el plano cua 'rea es:
a) (* b) /3c) 0in$una de las anteriores& su valor es
!ol.
2omo tanto la par'bola como la recta pueden dibuarse
dando valores& el esquema $r'fico no presenta
dificultades.
!e obtiene la fi$ura si$uiente* el recinto es el coloreado.
+l 'rea viene dada por:
∫ ∫ =−+−=+−−−
dx x xdx x x x )34())1"(""(
"3
1
"
3
1
"3
3"3
−+− x x
x
3
43"
3
1 =
−+−−
4. La función"3
)("
""
++
−=
x x
p x x f tiene*
a) 5os asíntotas verticales para cualquier valor de p.
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b) Una asíntota vertical otra 6ori7ontal cualquiera que
sea p.
c) Ninguna de las ane!i"!es#
!ol.
La función pueden tener asíntotas verticales en los puntos que
anulan el denominador:
en las soluciones de "3" =++ x x & que son −1
−".
Lue$o)")(1(
))((
"3)(
"
""
+++−
=++
−=
x x
p x p x
x x
p x x f
• !i p 81& ""
1
)")(1(
)1)(1(
"3 11"
""
1−=
+−
=++−+
=++
−−→−→−→ x
xlím
x x
x xlím
x x
p xlím
x x x* pero
∞=+−
=++−+
=++
−−→−→−→ "
1
)")(1(
)1)(1(
"3 """
""
" x
xlím
x x
x xlím
x x
p xlím
x x x
!ólo 6abría una asíntota vertical en −"
• !i p 8"& 6abría una asíntota vertical en −1 (+l
ra7onamiento es an'lo$o.)
9ambin tiene una asíntota 6ori7ontal& la recta 1& pues
1"3
1"
"
=++
−±∞→ x x
xlím x
;. La función xe x f x
cos")( += a) C"!a +,s de d"s %eces al ee OX#
b) 0o corta al ee "cos")( −=+=− −−
π π π π
ee f ?
""cos")"( "" +=+=− −−
π π π π
ee f > "3cos")3( 33 −=+=− −−
π π π π
ee f ?
@
2orta infinitas veces al ee
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!ol.1)1()( +−=
xe x x f ⇒ 1)#(
+= x xe x f
⇒ 1)1()##( ++=
xe x x f
La función tiene un punto de infleión en −1. Iara ? −1 es
cóncava (∩)* para >
−1 es convea (∪).
G. +l valor de ∫ +∞
−
dx xe x es:
a) 3' b) ∞c) 0in$una de las anteriores.
!ol. ∫ +∞
−
dx xe x ( ) 11)()(
=+−−=−−= −−+∞→
−−
+∞→
−
+∞→ ∫ bbbb
x x
b
b x
bebelíme xelímdx xelím
J. La ecuación 433 =+− x x tiene& con
se$uridad& una raí7 al menos en el intervalo:a) B"& 3E
b) B−
1& 1Ec) 4 ($ *5
!ol.
2omo 43)( 3 +−=
x x x f es continua &
adem's& 1")4( −=− f "")3(
=− f & por el
teorema de Kol7ano& la función corta (una ve7 al menos) al
ee +≤+
=
")(
"
x sibax
x si x x x f
es derivable en el punto x cuando:
a) a b 1 b) a " b −1
c) a 6 8 b 6 0
!ol.
Iara continua:
!i H −& x x x f
")( " += H !i H D&
bax x f +=)( H b
⇒ b
5erivable:
>
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9ROBLEMAS
1. !ea x
x x f
""4
)( −= .
,alla:
a) !u dominio sus asíntotas. (1 punto) b) !u crecimiento
decrecimiento* así como sus m'imos mínimos relativos. (&;
puntos)
c) Un esbo7o de su $r'fica. (&; puntos)
S"luci:n&
a) La función dada est' definida para todo valor de distinto de
.
La curva tiene por asíntota vertical la recta & pues ∞=−
→ x
xlím x
"
"4.
9ambin tiene una asíntota oblicua& pues el $rado del
numerador es i$ual al del
denominador m's 1.
2omo x
x x
x x f
4"
"4)(
"
+−=−
= & la asíntota oblicua es x y "−= .
0ota: 9ambin podría obtenerse mediante límites.
La asíntota oblicua es y = mx + n& siendo:
m ""4)("
"
−=−
=∞→∞→ x
xlím
x
x f lím
x x n
4"
"4))((
"
==
+
−=−
∞→∞→∞→ xlím x
x
xlímmx x f lím
x x x
b) 5erivando: "
"
"
""4")"4(4
)#( x
x
x
x x x f
−−=−−−=
2omo la derivada toma valores ne$ativos en todo su dominio&
ser' decreciente para todo
≠ .
no se anula nunca& la función no tiene ni m'imos ni
mínimos.
!u $r'fica aproimada es la si$uiente.
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". ,alla el polinomio de 9alor de $rado 4 de la función )1ln()(
+= x x x f & en
el punto . (1 punto)
!ol.
)1ln()( +=
x x x f ⇒ )(
= f 1
)1ln()#(
+++= x
x x x f ⇒ )#(
= f
")1(
1
1
1)##(
++
+=
x x x f ⇒
")##( = f
3")1(
"
)1(
1)###(
+−
+−
= x x
x f ⇒ 3)###(
−= f
F3
)4
)1(
F
)1(
")(
++
+=
x x x f ⇒
G)(
)4 = f
43"43"
3
1
"
1
L4
G
L3
3
L"
")( x x x
x x x x P +−=+−=
3. 2alcula las si$uientes inte$rales.
a) ( )∫ −+ dx x x x "3
" (&4 puntos) b) ∫ dxe x
x"3
(&F puntos)
c) ∫
− dx x x sen ;cos
3
1" (&4 puntos) d) ∫ +−
+dx
x x
x
1"
""
(&F puntos)
S"luci:n&
a) ( )∫ −+ dx x x x
"3 " ∫ −+ dx x x x
"/1"3 ""1
c x
x x +−+"/3
""
1 "/3
"3
b) ∫ dxe x x"3
cee xdx xee x x x x x
+−=− ∫
""""
"
1
"
1
"
1 ""
Ior partes:" xu = ⇒ xdxdu
"=
dx xedv x"
= ⇒ "
"
1 xev =
c) ∫
− dx x x sen ;cos
3
1" c x sen x +−− ;
1;
1"cos
"
1
d) ∫ +−+
dx x x
x
1"
""
Ior descomposición en fracciones simples se tiene:
1)1(1"
"
"" −+−=+−
+ x
B
x
A
x x
x
")1(
)1(
−
−+ x
x B A
Lue$o:)1(" −+=+ x B A x
si x 1: 3 A ⇒ A 3
si x : " A M K ⇒ K 1
2on esto:
∫ ∫ ∫ −+−=+−+
dx x
dx x
dx x x
x
1
1
)1(
3
1"
""" c x
x+−+
−−
)1ln(1
3
