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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MAESTRÍA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN EXCLUSIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN DE SABERES MATEMÁTICOS EN
SITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLARSITUACIÓN ESCOLAR
EL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOSEL CASO DE LOS LOGARITMOS
Tesis que para obtener el grado de
Maestra en Ciencias en Matemáticas y su Didáctica
Presenta:
INGINGINGING. . . . MARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZMARÍA DE LOURDES PÉREZ RUIZ
DIRECTORESDIRECTORESDIRECTORESDIRECTORES:::: DR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERODR. CARLOS RONDERO GUERREROGUERREROGUERREROGUERRERO
DRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKODRA. ANNA TARASENKO
PACHUCA, HGO. FEBRERO 2012
ii
DEDICATORIAS Y AGRADECIMIENTOS
Les dedico a mis tres hijos Javier, Dibe y Faride, así como, a mis nietos
Dibe, Aldo, Aline, Malú y Javo la realización de esta tesis porque son lo que, en
este mundo más amo.
Agradezco de manera muy especial a mis compañeros Mtro. José Eduardo
Flores e Ing. Román Bravo Cadena por la motivación, ayuda, paciencia y
tolerancia que me ofrecieron en la realización de este proyecto
A mis directores de tesis Dr. Carlos Rondero Guerrero y Dra. Anna
Tarasenko mi agradecimiento por su comprensión y ayuda.
Finalmente gracias a todos los profesores que contribuyeron con su
enseñanza al logro de esta tesis.
iii
RESUMEN
En este trabajo se realiza una investigación acerca de la problemática
educativa que, en México se tiene, en relación al fenómeno de la exclusión de los
saberes acerca de logaritmos. Se parte de un análisis de las condiciones socio
históricas en las que se origina y desarrolla la educación en México, para
determinar si estas condiciones inciden en el fenómeno que se investiga, además
se analizaron los programas de estudio y los libros de texto, particularmente en
referencia al modo en que se tratan y la relevancia que se le da o no, a los
logaritmos. En la parte experimental, se llevó a cabo la elaboración y aplicación
de una evaluación diagnóstica, sobre lo que los estudiantes de los diversos niveles
educativos saben acerca de los logaritmos. Aunado a lo anterior, se incluye un
estudio epistemológico, lo que en conjunto permitió dar evidencias de las
consecuencias que tiene la exclusión de los logaritmos en el sistema educativo.
iv
ABSTRACT
This paper was done on research of educational issues that Mexico has in
relation to the phenomenon of exclusion of knowledge about logarithms. It starts
with an analysis of socio-historical conditions which originated and has been
developed in education in Mexico, and determines whether these conditions affect
the phenomenon under investigation also analyzed was the curriculum along with
textbooks, particularly in reference to the way they treat and give relevance to
logarithms. Development and implementation of a diagnostic evaluation on what
students of various educational levels know about logarithms was carried out in the
experimental part. An epistemological study, along with evidences of the
consequences of the exclusion of logarithms in the education system is also
included.
v
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN viii CAPÍTULO I
EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO 1.1 Planteamiento del problema exclusión y/o envejecimiento de los logaritmos
en situación escolar 11
1.1.1 Planteamiento del problema 11 1.1.2 Hipótesis 12 1.1.3 Objetivos 12
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO 2.1 Teorías de aprendizaje 14
2.1.1 Piaget y el constructivismo 14 2.2 Teorías sobre didáctica de las matemáticas 14
2.2.1 La Transposición Didáctica 14 2.2.2 El Obstáculo Epistemológico 16 2.2.3 Dialéctica Herramienta – Objeto 17 2.2.4 La teoría APOE 18 CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
3.1 Metodología 22
3.1.1 Ingeniería Didáctica 22
vi
CAPÍTULO IV
CONTEXTO SOCIO HISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS 4.1 Fundamentación 27
4.1.1 Acerca del fenómeno sobre la exclusión de saberes de los
logaritmos 27
4.2 Contexto socio histórico de la educación en México y sus repercusiones en los saberes de los logaritmos 28
4.2.1 Antecedentes históricos de la educación en México 28
4.3 Contexto epistemológico de los logaritmos 41
4.3.1 Estudios acerca del aprendizaje de los logaritmos 41 4.3.2 Epistemología del saber logaritmos 42 4.3.3 Usos sociales de los logaritmos 64
CAPÍTULO V
SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO 5.1 Investigación de los saberes previos para la conceptualización de
logaritmo 70
5.1.1 Mapa conceptual sobre la construcción del concepto logaritmo 70 5.1.2 Modelo de construcción del concepto logaritmo 71
CAPÍTULO VI
ACERCA DE LOS SABERES DE LOS LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
6.1 Análisis de los programas de estudio y
libros de texto 74
6.1.1. Análisis de programas y libros de texto de matemáticas en nivel secundaria 74
6.1.2 Análisis de programas y libros de texto de matemáticas de nivel medio superior 86
vii
6.1.3 Análisis de programas de matemáticas de nivel superior 112 6.1.4 Caracterización del fenómeno de la exclusión 116
CAPÍTULO VII
EXPERIMENTACIÓN 7.1 Evaluaciones diagnósticas 122
7.1.1 Sobre logaritmos en el nivel medio básico 122 7.1.2 Sobre logaritmos en el nivel medio superior 125 7.1.3 Sobre logaritmos en el nivel superior 128 7.1.4 Análisis de entrevistas 132
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES 136
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 143
ANEXOS 144
TRANSCRIPCIÓN DE LAS ENTREVISTAS 148
viii
INTRODUCCIÓN
En las instituciones educativas de nivel superior y particularmente en el
área de matemáticas, es frecuente escuchar que los profesores comentan, en
relación a los estudiantes que ingresan, que éstos, cada vez tienen menos
conocimientos sobre temas como inecuaciones y desigualdades, logaritmos,
números complejos, álgebra, trigonometría, teoría de conjuntos entre otros,
originando que tengan problemas de aprendizaje de algunos saberes matemáticos
en este nivel, lo cual provoca altos índices de reprobación sobre todo en las
asignaturas relacionadas con matemáticas avanzadas, por tal motivo, es
necesario investigar y dar solución a este problema, o por lo menos proponer una
solución, dado que el deterioro de los conocimientos matemáticos se va
agudizando.
Dado que investigar los temas antes mencionados sería muy amplio, se
eligió el tema logaritmos, y todo lo ocurrido con estos saberes en los programas de
matemáticas de los niveles anteriores al superior, para ser investigado, así como
también, los problemas de aprendizaje que enfrentan los estudiantes por la falta
de estos conocimientos.
En términos generales en el Capítulo I se plantea el problema, hipótesis y
objetivos, del fenómeno carencia de saberes acerca de logaritmos en los
estudiantes de nivel superior. En el Capítulo II, se hace referencia a las teorías de
aprendizaje, así como a las teorías de didáctica de las matemáticas que servirán
para dar sustento a la investigación.
En el Capítulo III, se describe la metodología de investigación, la cual
retoma algunos aspectos de la Ingeniería Didáctica. En el Capítulo IV, se realiza la
investigación sobre el inicio y desarrollo histórico de los niveles educativos de
secundaria y bachillerato, y acerca de la epistemología de los logaritmos.
En el Capítulo V, se muestra el análisis realizado, en relación a los
conocimientos previos que debe tener el estudiante para comprender el concepto
de los logaritmos y su aplicación, estableciéndose un modelo de aprendizaje de
ix
los logaritmos. En consecuencia en el Capítulo VI, se lleva a cabo la investigación
en los programas de estudio y libros de texto, sobre la presencia de estos saberes
necesarios para la comprensión de los logaritmos, así como el concepto, cálculo y
aplicación de los propios logaritmos.
Para concluir la investigación en el Capítulo VII, llamado experimentación,
se llevó a cabo la investigación acerca de los saberes sobre logaritmos que los
estudiantes de los diversos niveles educativos tienen, mediante la elaboración y
aplicación de un examen diagnóstico, a una muestra de estudiantes de cada uno
los niveles educativos mencionados. También se realizó una entrevista a un
docente y estudiante de nivel superior, para investigar acerca de estos saberes y
su repercusión en el estudio de matemáticas avanzadas, y así, con los resultados
obtenidos caracterizar el fenómeno de la “exclusión de saberes sobre logaritmos”,
si es que éste se presenta y sus posibles repercusiones en el estudio de
matemáticas de nivel superior.
Finalmente en el apartado de conclusiones y reflexiones, se expresan los
resultados de la investigación.
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO
En este capítulo se aborda la problemática a investigar así como la hipótesis y los
objetivos que guían la investigación.
CAPÍTULO I EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO
11
1.1 Planteamiento del problema exclusión de los logaritmos en situación escolar
1.1.1 Planteamiento del problema
En el correr del tiempo se ha observado, que los estudiantes que ingresan a
alguna escuela de nivel superior tienen cada vez una mayor carencia de
conocimientos sobre, conjuntos, logaritmos, números complejos, desigualdades,
entre otros saberes matemáticos, lo cual, por supuesto, tiene incidencia sobre los
aprendizajes de cálculo y otras asignaturas de matemáticas avanzadas, afectando
la adquisición y aplicación de nuevos conocimientos, por esta razón, se hace
necesario investigar lo que ocurre con estos saberes y sus aprendizajes, en los
niveles anteriores al superior. Sin embargo, investigar acerca de todos estos
saberes y sus correspondientes aprendizajes, sería muy amplio, razón por la cual,
la investigación se acota únicamente a los saberes sobre logaritmos.
La recurrente y cada vez mayor carencia de saberes de los logaritmos,
permiten intuir que sus efectos y consecuencias no han sido considerados en los
aprendizajes, no solamente de matemáticas, sino también, de otras asignaturas
como física, química, biología, entre otras; ya que, al no tener los estudiantes el
sustento conceptual sobre los mismos, esto les dificultará incorporar
conocimientos más avanzados del tema a su red cognitiva, en consecuencia, la
aplicación de estos conocimientos a la solución de problemas es muy difícil. Por
estas razones, es necesario investigar lo que ocurre con estos saberes en los
niveles educativos medio básico y medio superior, así como, sus consecuencias
en nivel superior, para que en caso que esto se convierta en un obstáculo para la
adquisición de nuevos conocimientos, se proponga una solución que sirva para
evitar este fenómeno, o por lo menos disminuirlo. Por otro lado dicha investigación
permite conocer el origen y desarrollo del fenómeno, identificando que tanto afecta
a los estudiantes, y con ello, determinar si se trata de una exclusión, o un
envejecimiento (o incluso ambos) de saberes de los logaritmos.
CAPÍTULO I EL PROBLEMA Y SU PLANTEAMIENTO
12
1.1.2 Hipótesis
En la medida que se tenga mejor caracterizado el fenómeno de exclusión
de los saberes matemáticos, llamados logaritmos, se podrán identificar sus
repercusiones sobre la didáctica y la formación de profesores.
1.1.3 Objetivos
Objetivo General
Identificar y caracterizar el fenómeno de exclusión de los logaritmos en
secundaria y bachillerato, así como sus repercusiones en la didáctica.
Objetivo Particular
Mostrar algunas de las repercusiones didácticas en el nivel superior,
propiciadas por la exclusión del saber de los logaritmos, en secundaria y
bachillerato.
Cabe mencionar que la realización de esta investigación permitirá conocer,
por qué la enseñanza y aprendizaje de ciertos saberes matemáticos se deteriora,
hasta el grado de desaparecer del currículo, ocasionando un problema en la
didáctica de las matemáticas, en la formación de profesores y estableciéndose un
círculo vicioso, en el que cada vez los estudiantes saben menos de esos saberes
o conocimientos matemáticos, afectando así, otras áreas de conocimiento que se
relacionan con ellos.
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
En este capítulo se abordan algunos elementos teóricos en relación al aprendizaje,
y otros que son propios de la Didáctica de las Matemáticas.
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
14
2.1 Teoría de aprendizaje
De la teoría del constructivismo solo se consideraran algunos aspectos para
explicar la situación que se presenta con respecto al aprendizaje de los logaritmos.
2.1.1 Piaget y el constructivismo
El constructivismo de Piaget es una teoría que sostiene que el individuo
construye su conocimiento al interaccionar con la realidad, permitiéndole que sus
esquemas vayan cambiando a medida que adquiere experiencia, en tanto que su
inteligencia se va desarrollando por la adquisición de esquemas y estructuras
nuevas, dando lugar a diversas fases cualitativas de la misma llamados
“estadios”.
En esta construcción, entran en juego distintos procesos como son
asimilación, acomodación y equilibración. Cuando el estudiante entra en contacto
con un nuevo conocimiento, se produce un desequilibrio cognitivo en éste y al
interaccionar con el mismo lo va asimilando incorporándolo a su red de
conocimientos produciéndose de esta manera la acomodación, que consiste en
una transformación del conocimiento que ya poseía en función del nuevo, así,
cuando la interacción entre estos dos procesos finaliza el nuevo conocimiento ha
quedado incorporado en su estructura cognitiva y ocurre la equilibración.
2.2 Teorías sobre didáctica de las Matemáticas
2.2.1 Chevallard y la trasposición didáctica
La teoría de Chevallard (1995), dice que el conocimiento generado por los
matemáticos, sufre un proceso de transformación para hacerlo llegar al aula
denominado transposición didáctica, es decir el “saber sabio” se convierte en un
“saber a enseñar”, luego de ser validado por la “noosfera” (es el grupo de
profesores, las autoridades de la institución, los matemáticos relacionados con la
institución), para ser abordado en la escuela. La transposición didáctica es el
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
15
producto de los ajustes didácticos al “saber sabio” para convertirlo en un “saber a
enseñar”, que lo hace diferir del saber original.
Dentro de su teoría Chevallard nos habla del desgaste de los saberes, de
su envejecimiento de la expulsión de los mismos, y del control del saber, cuando
dice:
“El saber enseñado envejece, pues un buen día se percibe que se ha
vuelto viejo en relación a la sociedad (saber sabio y saber banalizado), ya que el
envejecimiento biológico lo declara en desacuerdo con el desarrollo del saber no
escolarizado”
“El saber ofrece una variable de control muy sensible, que permite obtener
efectos espectaculares con menores gastos y sobre la cual la instancia política
tiene asegurado el control mediante sus programas, comentarios oficiales y
manuales que los explicitan”
“El desgaste del saber es el saber que deviene viejo en relación con la
sociedad, y dualmente, la sociedad que deviene vieja (desgastada), a través de
sus niños, en relación con el saber”.
“Concretamente, ese saber ya “no sirve”, los alumnos ya no llegan a
absorberlo, la frescura del (re)comenzar desaparece y a falta de poder cambiar a
los alumnos, se hace preciso cambiar al saber”.
“Así el desgaste del saber se diagnostica simultáneamente (y dualmente),
como crisis de la enseñanza”.
“Si surge una dificultad, a propósito de tal o cual noción o tipo de ejercicio,
es evidentemente posible suprimir esa noción o ese tipo de ejercicio”.
“Puede ser que incluso bloques enteros del saber enseñado pueden
resultar alcanzados por esta expulsión”.
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
16
“Fenómeno de vaciamiento de contenidos que se observa en ciertas
épocas de amplia apertura del sistema de enseñanza respecto de nuevos flujos
de alumnos”.
Como se puede apreciar estos fragmentos tomados de la teoría de
Chevallard pueden servir para explicar el fenómeno que se investiga.
2.2.2 Bachelard y el obstáculo epistemológico
De la teoría de Bachelard se retomaran algunos aspectos relacionados con
el obstáculo epistemológico y el espíritu científico.
Un obstáculo epistemológico no debe ser evitado en la práctica docente,
sino enfrentado proporcionándole al alumno los elementos necesarios para
superarlo.
Para aprender se debe ir en contra de lo que ya se conoce en contra de
creencias y preconcepciones, ésta y otras citas de Bachelard son también
importantes en relación al obstáculo epistemológico y la explicación del fenómeno
que se investiga. A continuación las citas.
“La educación científica es una ardua tarea, en la que no es suficiente
pensar qué es lo que el alumno debe aprender sino, también, qué y cómo debe
desaprender lo que ya sabía”.
“Tarea doblemente dificultosa ya que lo que denomina paradoja pedagógica
consiste en que “todo lo que es fácil enseñar es inexacto” (1993:24).
Lo fácil no enseña, “cuanto más difícil es una tarea, tanto más educadora
es” (1948:47)
“El espíritu científico debe formarse en contra de la naturaleza, en contra
de lo que es, dentro y fuera de nosotros, impulso y enseñanza de la naturaleza,
en contra del entusiasmo natural, en contra del hecho coloreado y variado”.
(1948:27)
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
17
Bachelard encuentra que “existe un conjunto de obstáculos pedagógicos
que ponen en riesgo el aprendizaje y que pueden impedir que se haga efectivo”.
“El conocimiento científico nos prohíbe tener opiniones sobre cosas que no
conocemos bien, sobre cuestiones que no sabemos formular claramente”.
“Es necesario romper con el sentido común. El enemigo del conocimiento
científico es la opinión”.
“La opinión piensa mal porque no piensa, es el primer obstáculo que hay
que eliminar”. Bachelard (1971:159)
“La utilidad se convierte en una razón, en un principio de explicación y da
lugar a explicaciones finalistas sin ser científicas”.
“Lo que es verdadero sostiene Bachelard, lo es no porque sea útil, sino
porque es verdadero”.
“frente a lo real, lo que cree saberse ofusca lo que debiera saberse”
(1948:16)
“En la enseñanza de la ciencia si no hay problema no hay aprendizaje. Una
enseñanza desprovista de problemas desconoce el sentido real del espíritu
científico”.
La teoría de Bachelard permite caracterizar el fenómeno desde el punto de
vista del espíritu científico.
2.2.3 Douady y la dialéctica herramienta - objeto
Douady (1986,1995,1996) mediante su constructo teórico “dialéctica
herramienta-objeto y juegos de marcos o contextos” propone la comprensión de
las implicaciones y significados de aprender en situación escolar centrando su
interés en el aprendizaje dentro del aula y en el análisis de la micro sociedad
alumno docente y saber matemático.
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
18
La dialéctica herramienta-objeto organiza los papeles del profesor y del
alumno en tanto que los conceptos matemáticos juegan alternativamente el papel
de “herramienta” para resolver el problema de “objeto” al tomar un lugar en la
construcción de un conocimiento organizado.
Un saber matemático responde a dos aspectos; por un lado disponer de
ciertas nociones y teoremas para resolver un problema (herramienta bajo la acción
y control del individuo), por otro lado reconocer que estas nociones y teoremas
están integradas a un cuerpo de conceptos científica y socialmente reconocidos,
así como también la formulación de definiciones y demostración de teoremas
(objeto).
De esta manera un individuo aprende mediante una actividad intelectual la
cual traerá aparejado la disponibilidad de un saber con su doble status de
herramienta y de objeto, y un profesor enseña cuando crea las condiciones que
producen, a la larga, en el alumno un saber.
La dialéctica herramienta-objeto nos puede llevar a conceptos
generalizados en un interjuego dinámico y espiralado, de tal forma que a medida
que se interactúa con el conocimiento, este es de nivel más elevado o
especializado.
2.2.4 Dubinsky y la teoría APOE
La teoría APOE propuesta por Ed Dubynsky es de corte constructivista y su
esencia radica en que un individuo al percibir un desequilibrio ante una situación
problemática en un contexto social particular, intentará un reequilibrio mediante la
asimilación de la situación a sus esquemas o, bien, usar la abstracción reflexiva
para reconstruir esos esquemas con un nivel mayor de sofisticación, empleando
acciones, proceso, objetos y esquemas, lo que da origen a las siglas de la teoría:
A acción P proceso O objeto E esquema
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
19
Una acción es la transformación de un objeto matemático, realizada por un
individuo de acuerdo con algún algoritmo explícito, es decir, una acción es la
manipulación física o mental repetida, de un objeto transformándolo en otra forma.
Cuando el sujeto reflexiona sobre la acción y es capaz de realizar una
operación interna, logrando la misma transformación, entonces la acción se ha
interiorizado, y como todo esto ocurre en la mente del individuo, de tal manera que
puede imaginarla llevándola a cabo sin ejecutar todos los pasos, entonces se ha
convertido en un proceso.
Cuando es necesario ejecutar una acción sobre un proceso, el sujeto debe
encapsular el proceso como una totalidad creando así un objeto, y cuando sea
necesario, desencapsularlo y trabajar con el proceso del cual proviene.
Los esquemas son las formas en las cuales los conceptos existen en la
mente de los sujetos y se utilizan para abordar una situación problemática
desencapsulando y utilizando los procesos y los objetos. Un esquema también
puede tratarse como un objeto, sobre el cual, pueden aplicarse acciones y
procesos. Ver fig. 1.
La construcción de objetos y de procesos es una espiral, pues unos son
utilizados para la construcción de los otros, es decir la manipulación de los
procesos deriva en nuevos objetos y éstos son utilizados para crear nuevos
procesos, involucrándose en esta construcción cinco etapas.
1. Internalización se refiere a la interiorización cognitiva de las acciones que
generan el proceso.
2. Encapsulación es la manipulación de las nociones como si fueran objetos,
almacenados en la estructura cognitiva como un todo.
3. Coordinación es relacionar dos o más procesos para construir nuevos
procesos.
4. Reversibilidad consiste en manipular el proceso en sentido inverso para
generar nuevos procesos.
CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO
20
5. Generalización se presenta cuando un esquema ya construido se utiliza en
situaciones nuevas y diferentes para solucionar el problema, Ver fig. 1.
FIGURA 1 CONSTRUCCIÓN DE UN ESQUEMA
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA Esta investigación se llevó a cabo considerando algunos aspectos de la metodología
de la ingeniería didáctica
CAPÍTULO III METODOLOGÍA
22
3.1 Metodología
La investigación acerca del fenómeno que se observa en los estudiantes
sobre la carencia de saberes de la noción logaritmo, se lleva a cabo en dos
momentos, el primero que abarca desde el análisis de los programas de estudio,
libros de texto y aplicación de examen diagnóstico en los niveles de secundaria
medio superior y superior, hasta las entrevistas con estudiante y profesor de nivel
superior, con la finalidad de tener una visión acerca de la presencia de los
logaritmos, la función logarítmica y exponencial en estos niveles, de tal manera
que se pueda rastrear, cómo y por qué se ha dado este fenómeno y con ello
caracterizar la exclusión de saberes matemáticos el caso de los logaritmos.
El segundo momento de esta investigación se refiere a los efectos que
produce la falta o escasez de conocimientos sobre logaritmos, funciones
logarítmicas y exponenciales en los aprendizajes de saberes matemáticos en nivel
superior, para lo cual considero conveniente emplear como método la Ingeniería
Didáctica.
3.1.1 Ingeniería didáctica
De la metodología de la ingeniería didáctica se retoman algunos aspectos
para guiar la investigación, a saber:
En la ingeniería didáctica se distinguen cuatro fases que son:
1. Análisis preliminar
2. Diseño de la situación didáctica y su análisis a priori.
3. Experimentación
4. Análisis a posteriori y validación.
De estas fases, la dos no se realiza dado que no hay diseño de situación
didáctica.
Siguiendo con la metodología de la ingeniería didáctica
CAPÍTULO III METODOLOGÍA
23
1. Análisis preliminar
Después que se han establecido los objetivos específicos de la
investigación, se debe analizar y determinar a cada uno de los actores y sus
relaciones en el sistema didáctico,
• Componente epistemológica, se refiere al conocimiento matemático y su
devenir en saber
• Componente cognitiva, comprende las concepciones de los alumnos, así
como las dificultades y obstáculos que deben enfrentar los estudiantes para
apropiarse de las nociones matemáticas puestas en juego en la secuencia
implementada
• Componente didáctica, considera el tipo de enseñanza que se da en la
escuela sus efectos y la forma en cómo el estudiante se apropia del saber
matemático.
• Componente socio-cultural considera que el conocimiento se construye en
el seno de una serie de prácticas sociales compartidas por un grupo social.
De estas componentes la didáctica no se llevó a cabo dado que no se
investigó acerca de la forma de enseñanza de los profesores.
2. Análisis a priori y diseño de la situación didáctica.
Como ya se dijo esta segunda etapa no se realiza, sin embargo, se efectúa
un análisis a priori en función de los saberes acerca de los logaritmos, presentes
en los programas y libros de estudio, considerando la hipótesis para encontrar
indicios que corroboren o contradigan a la misma, pero, no hay diseño de situación
didáctica, solamente diseño de un examen diagnóstico para cada nivel educativo y
de esta manera, tener una referencia acerca de los conocimientos de los
estudiantes en relación al tema.
3. Experimentación
CAPÍTULO III METODOLOGÍA
24
En esta fase la ingeniería didáctica indica que, se procede a la puesta en
escena de la situación diseñada de acuerdo con las condiciones previstas por el
investigador y considerando el contrato didáctico entre el profesor y los alumnos.
El investigador debe poner especial cuidado en el registro de los sucesos.
Dado que no hay situación didáctica la parte experimental solamente
consistió en la aplicación de los exámenes diagnóstico y las entrevistas a un
docente y estudiante de nivel superior.
4. Análisis a posteriori y validación
Se revisan los resultados registrados y se confrontan con la hipótesis
definida en el análisis a priori, para determinar en qué medida se cumplieron las
expectativas, o bien si los resultados corroboran la hipótesis, o no. De esta forma
la validación de la misma surge de la confrontación de los análisis a priori y a
posteriori.
Para la investigación sobre el fenómeno exclusión de saberes sobre
logaritmos, se realiza:
Una investigación documental sobre:
• la génesis de los logaritmos
• programas de estudio y libros de texto ambos de matemáticas en los
diversos niveles educativos involucrados.
• la educación en México,
De dónde se desprende:
1) el análisis preliminar:
• Componente socio-cultural. En este caso se realizó un análisis histórico
socio cultural porque se investigó acerca del nacimiento y desarrollo de la
educación en México, así como, las condiciones sociales de ésta, para
identificar, si estas condiciones influyeron en el desarrollo académico de los
estudiantes dentro de las aulas y con respecto a los saberes logaritmos.
CAPÍTULO III METODOLOGÍA
25
• Componente epistemológica. Se realiza una investigación sobre la génesis
de los logaritmos y sus implicaciones tanto en el área de matemáticas como
en otras ciencias, para determinar la importancia de estudiar logaritmos.
• Componente cognitiva. Partiendo de la génesis de los logaritmos se realiza
un mapa conceptual sobre el esquema logaritmos para determinar que
saberes previos debe tener el estudiante que le permitan incorporar a su
red cognitiva los saberes de logaritmos, posteriormente se realiza un
análisis de los programas de estudio en los niveles medio básico, medio
superior y superior, buscando la presencia de los conocimientos previos y
los propios logaritmos, para identificar causas que originan este problema.
2) Análisis a priori.
Después del análisis de programas y libros de texto, es necesario
determinar, que conocimientos tanto previos como de los propios logaritmos
poseen los estudiantes, en los diversos niveles educativos, para establecer la
articulación entre programas, libros y conocimientos de los estudiantes, si es que
la hay, o detectar las causas de la desarticulación, las cuales podrían ser las
causas que generan el fenómeno investigado y confrontar con la hipótesis. Para
esto, se diseña un examen diagnóstico que revele, si los estudiantes poseen los
conocimientos necesarios para aprender los saberes de logaritmos y que tanto,
saben sobre logaritmos en cada nivel educativo.
3) Experimentación.
Se llevó a cabo la aplicación y evaluación de los exámenes en cada nivel
educativo, así como las entrevistas a docente y estudiante de nivel superior.
4) Análisis a posteriori y validación.
Se analizaron los resultados de los exámenes y se confrontó con la
hipótesis para explicar el fenómeno investigado.
CAPÍTULO IV
CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER
LOGARITMOS En este capítulo se describen las circunstancias socio históricas en las que se inicia
y desarrolla la educación media básica, media superior y superior, el origen y descripción
de los logaritmos y su trascendencia en las matemáticas avanzadas.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
27
4.1 Fundamentación
4.1.1 Acerca del fenómeno sobre la exclusión de saberes de los logaritmos
Una problemática recurrente en el estudio de matemáticas de nivel superior
es, encontrar que los estudiantes poseen escasos saberes sobre logaritmos,
ocasionando que el estudiante no construya de manera eficiente nuevos
conocimientos sobre todo en matemáticas avanzadas, como es el caso de algunas
soluciones de ecuaciones diferenciales, o aplicaciones en la tecnología por
ejemplo en el diseño de controladores electrónicos, porque se requiere de la
conceptualización y/o definición de estos saberes para su aplicación. El escaso
conocimiento sobre estos saberes permite conjeturar que la imagen conceptual
construida por el sujeto es vaga, o probablemente inexistente, entonces, de
acuerdo con Vinner&Tall (1996),“una aproximación pedagógica ingenua, supone que,
en el proceso de formación de un concepto, la definición se hará cargo y formará la
imagen conceptual del mismo”.
En el mejor de los casos si el profesor enseña los conocimientos de los que
carece el alumno, faltaría la interacción con ellos para lograr transformarlo en
proceso, y posteriormente en objeto para que pueda ser utilizado como
herramienta, Ferrari (2001).
“…un concepto tiene el estatus de herramienta cuando nuestro interés en él
se centra en la utilidad que nos brinda para resolver un problema, en tanto
que deviene en objeto cuando lo entendemos como un ente cultural insertado
en una estructura más robusta, el saber erudito socialmente validado”.
De acuerdo con la teoría APOE el interaccionar con los conocimientos nos
lleva a procesar dicha acción encapsulando dicho proceso en forma de un objeto
matemático el cual queda internalizado y cada que se requiera utilizarlo se podrá
echar mano de él.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
28
Como este procesamiento no ha ocurrido, entonces el aprendizaje enfrenta
conflictos originados por la ausencia de estos objetos matemáticos, y es
precisamente ésta, una de las cuestiones que dan fundamento a la presente
investigación, para determinar que ocurre en los aprendizajes de los estudiantes y
los posibles conflictos que enfrenta.
4.2 Contexto socio histórico de la educación en México y sus repercusiones en los saberes de los logaritmos 4.2.1 Antecedentes históricos de la educación en México
Durante los primeros veinte años del siglo XX, México se enfrenta a un
doble desajuste económico y social originado por el movimiento revolucionario y la
primera guerra mundial, teniendo que resolver la problemática de la reconstrucción
nacional, y la educación del pueblo, entre otros muchos problemas, por esta razón
se restablece la Secretaría de Educación Pública y se funda la escuela secundaria
como una mezcla de la escuela alemana y la estadounidense, ajustada a las
necesidades que vivía México.
Nivel medio básico:
En 1917, Moisés Sáenz, uno de los fundadores de la escuela secundaria
inicia la tarea en los recintos de la Escuela Normal Preparatoria abanderada por
sus contenidos cruciales, como lo muestra la siguiente expresión:
“El programa esencial de la educación debe desarrollarse alrededor de estas
cuatro cuestiones: cómo conservar la vida, cómo ganarse la vida, como formar
la familia y cómo gozar la vida”
Sin embargo la escuela secundaria abre sus puertas hasta 1926, durante el
período presidencial de Plutarco Elías Calles en virtud de dos decretos. El primero
del 29 de agosto de 1925, que autoriza a la Secretaría de Educación Pública la
creación de las escuelas secundarias, el segundo del 22 de diciembre del mismo
año, que dio vida independiente y personalidad propia a la escuela secundaria.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
29
De esta manera el nivel educativo de secundaria fue establecido para
atender a la población entre 12 y 15 años, siendo su principal objetivo preparar a
los estudiantes que aspiraban a estudiar una carrera profesional superior. Desde
sus inicios este nivel fue organizado para que tuviera una identidad escolar propia,
de tal manera que, ofreciera una formación considerando los rasgos específicos y
las necesidades educativas de la población adolescente.
Lamentablemente, este nivel escolar inició con el mismo plan de estudios de
la preparatoria, haciendo ligeras modificaciones pero con las mismas deficiencias,
un plan rígido, inflexible, uniforme, verbalista y frio, donde la cultura que se aprecia
en ese momento, es la simple habilidad para reproducir los conocimientos hechos.
A partir de 1925, este nivel educativo (Prawda, 1987) fue adoptando distintas
modalidades (general, técnica, telesecundaria, para trabajadores), pues además
de los conocimientos que debían enseñarse, para cumplir con su objetivo, también
se impartía una capacitación para el trabajo, como carpintería, máquinas
herramientas, electricidad, secretariado, contabilidad, corte y confección, etc. Lo
anterior obedece a que después del período post revolucionario el nivel de
analfabetismo era muy alto y las pocas personas que estudiaban en su mayoría no
alcanzaban ni a terminar la primaria, sin embargo, conforme el tiempo pasó el
nivel de analfabetismo se redujo y la educación secundaria se fue extendiendo,
considerándola algunas veces como un ciclo formativo con el que concluye la
educación básica y otras como una etapa escolar entre la educación primaria y la
iniciación de la enseñanza superior, bajo esta concepción la secundaría vendría a
ser el ciclo básico de la educación media y el bachillerato el segundo ciclo.
Entre las distintas modalidades que fue adoptando la educación secundaria,
podemos citar como trascendentes la de 1935 durante el gobierno de Lázaro
Cárdenas, en el cual el artículo 3° fue reformado y señalaba que la educación
impartida por el estado sería socialista, emancipadora, única, obligatoria, gratuita,
científica, técnica, de trabajo, socialmente útil, sin fanatismos e integral,
consagrada especialmente a la niñez proletaria, pero también encargada de
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
30
preparar técnicos y no estudiantes para las profesiones liberales como se venía
desempeñando.
En 1944, se da otra reforma importante, que consiste en un aumento
considerable de horas clase en las asignaturas fundamentales (español y
matemáticas), así como en las formativas del ciudadano (civismo e historia),
prácticas de taller, programas semiabiertos, materias optativas y horarios flexibles
de trabajo.
En agosto de 1974, se celebra una asamblea plenaria, de donde surgen las
Resoluciones de Chetumal, dando origen a una reforma educativa que comienza a
operar en 1976, y que consiste en ofrecer dos estructuras programáticas
equivalentes; por áreas de aprendizaje y por asignaturas, estableciendo que estas
dos estructuras tendrán la flexibilidad necesaria para permitir el tránsito fluido del
educando entre tipos, modalidades y grados del sistema.
En lo referente al currículo en ambas modalidades se encuentran; español,
matemáticas, lengua extranjera, educación física, educación artística y educación
tecnológica, cada curso tiene su continuación en el siguiente grado y tienen la
misma carga horaria. La diferencia se presenta en que, dentro del plan de
asignaturas, las ciencias naturales del plan de áreas se divide en biología, física y
química, así mismo ciencias sociales se divide en historia, geografía y civismo, el
total de horas de clases en ambas modalidades es el mismo la diferencia es la
fragmentación curricular, en el plan de áreas hay ocho cursos por grado y en el de
asignaturas son doce cursos por grado.
En las Resoluciones de Chetumal se definió a los programas de aprendizaje
como:
“el conjunto organizado de objetivos y sugerencias didácticas que, al
aplicarse, provocan cambios en la conducta de los educandos para lograr
tanto su desenvolvimiento integral, como la transformación del medio”.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
31
Lo que originó programas de estudio por objetivos llevando al estudiante
por áreas a trabajar 200 objetivos particulares, 520 objetivos específicos y realizar
2240 actividades, en tanto que por asignatura tendría que trabajar 360 objetivos
particulares, 936 objetivos específicos y realizar 4032 actividades, en ambos
casos sin considerar educación física, tecnológica y artística, lo que conlleva a una
reforma educativa en 1993.
El plan de estudios de 1993 se sustentó principalmente, en el Plan Nacional
de Desarrollo 1989 – 1994, el programa para la Modernización Educativa 1989 –
1994, y el Acuerdo Nacional para la Modernización de la Educación Básica.
Este plan se estructuró por asignaturas y estableció cinco prioridades:
1. Asegurar que los estudiantes utilicen el idioma español en forma oral y
escrita expresando ideas y opiniones con precisión y claridad, además
de entender, valorar y seleccionar material de lectura, desarrollando el
uso del español como una competencia.
2. Ampliar y consolidar los conocimientos y habilidades matemáticas, para
aplicar los conocimientos de aritmética, álgebra y geometría en el
planteamiento y resolución de problemas cotidianos, así como,
organizar y analizar información cuantitativa.
3. Fortalecer la formación científica de los estudiantes, para superar los
problemas de aprendizaje de este campo, mediante la fragmentación de
las áreas de conocimiento en asignaturas, vinculando las ciencias con
los fenómenos de su entorno natural y promoviendo la protección del
medio ambiente, la preservación de la salud y los cambios que
caracterizan a la adolescencia.
4. Profundizar en la formación social y humana de los estudiantes,
mediante el estudio de historia, geografía y civismo; que les permitan
adquirir elementos de análisis para entender el desarrollo de las
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
32
culturas, el mundo contemporáneo y las relaciones sociales regidas por
los valores y la legalidad.
5. Aprender una lengua extranjera (inglés o francés), para ampliar su
desarrollo personal y profesional.
En términos generales este nivel no tuvo reforma de fondo desde su
concepción, hasta 1993, con la reforma de los artículos 3º y 31º de la Constitución
Política de los Estados Unidos Mexicanos, donde se estipuló que la educación
secundaria fuera considerada obligatoria, reconociéndosele como la etapa final de
la educación básica. Con esta decisión la educación preescolar, primaria y
secundaria se articuló conformando el nivel básico de educación, centrado en
reconocer los saberes y experiencias previas de los estudiantes, propiciando la
reflexión y comprensión, el trabajo en equipo, la convivencia democrática y el
desarrollo de capacidades y competencias, según cita la Reforma de la Educación
Secundaria (2006).
Sin embargo después de 13 años de la reforma educativa de 1993, los
resultados en la aplicación de diversas evaluaciones no son los esperados, debido
a que el exceso de contenidos y la atomización de los mismos se convirtieron en
un obstáculo para su integración, es decir los saberes quedaron aislados y el
estudiante no tiene la capacidad de integrarlos para el logro de un saber más
elevado.
Con la finalidad de superar estos obstáculos en la educación secundaria, el
Programa Nacional de Educación (ProNaE) 2001 – 2006, plantea la necesidad de
una nueva reforma en educación secundaria, que mejore tanto el currículo como la
práctica docente, a fin de lograr aprendizajes significativos en los estudiantes. Es
así que en el año 2002 inicia la Reforma de la Educación Secundaria, con una
investigación basada en la ingeniería didáctica y para el estudio de campo se
aplicó la teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau.
En esta reforma se agrupó a los contenidos en tres ejes temáticos:
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
33
1. “Sentido numérico y pensamiento algebraico”
2. “Forma espacio y medida”.
3. “Manejo de la información”
Y los programas de estudio se organizan desde preescolar hasta
secundaria, estableciéndose una línea de continuidad entre preescolar, primaria y
secundaria, dando como resultado los programas de matemáticas 2006.
Analizando el contexto socio histórico de la educación secundaria en
México, se observa que ésta nace y se desarrolla auspiciada por el gobierno
principalmente, dado que se establece en la Constitución Política de los Estados
Unidos Mexicanos promulgada en 1917, en su artículo 3°, que la educación debe
ser laica, gratuita y obligatoria, y para que la educación fuera gratuita debía de
encargarse de impartirla el gobierno a través de la aplicación de los impuestos.
Lo anterior permite que el gobierno federal establezca las políticas acerca
de lo que habrá de enseñarse y cómo habrá de enseñarse de acuerdo a las
necesidades del país, o cualesquiera otros intereses, tal es el caso del presidente
Cárdenas que pensó que el futuro del país estaba en la tecnología y la técnica, y
entonces ofrece una educación secundaria con capacitación para el trabajo en
cuestiones técnicas, es decir, de acuerdo a las nuevas políticas de desarrollo los
planes y programas de estudio ya no son suficientes para los fines que se
esperaba lograr.
Si los países del primer mundo están inmersos en el desarrollo de la
tecnología y la aplicación de la técnica, entonces México debe seguir ese camino y
la enseñanza ha de virar hacia la tecnología y la técnica, y la educación como se
venía impartiendo no es suficiente y cae en la obsolescencia, por tanto han de
cambiarse los planes y programas de estudio.
Sin embargo, uno de los principales problemas del país era la pacificación
del mismo, para ello era necesario un control, que puede establecerse a través del
saber y el sistema educativo.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
34
Este control permite a largo plazo manipular al pueblo, iniciando con niños
posteriormente con adolescentes y por último con adultos que verán en el
conocimiento la libertad de vivir y no en la lucha, pero, para que esto ocurra debe
ofrecerse una educación para todos, sin problemas que mantenga contenta a la
sociedad, si en el desarrollo de esta educación surgen dificultades se echa mano
del control del saber, como pudiera ser el caso de que algún saber ocasiona altos
índices de reprobación, la sociedad no estará de acuerdo con que sus hijos no
terminen su carrera, así mismo los estudiantes se verán frustrados en sus anhelos
de vida y el gobierno que invierte en la educación pierde por cada estudiante que
deserta, entonces si algún saber está ocasionando una dificultad es factible que
este pueda ser cambiado o eliminado del currículo.
En cuanto a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en secundaria,
desde su aparición en 1926 hasta la fecha, ha pasado por tres momentos
fundamentales que marcan su historia:
• El primero abarca de 1926 (año en que se publica el primer plan de
estudios para secundaria) a 1974; se caracteriza por los esfuerzos
centrados en las técnicas para enseñar y el aprendizaje en la repetición
mecánica de múltiples ejercicios.
• El siguiente es el período que abarca de 1975 a 1992, durante el cual
prominentes matemáticos de varios países apostaron a la idea de hacer
modificaciones relevantes a los contenidos: se introduce la teoría de
conjuntos y un alto nivel de formalización al abordar los temas, en el
marco de un movimiento internacional conocido como “la enseñanza de la
matemática moderna”.
• El tercer momento inició en 1993. Este período se caracteriza por centrar
la atención en el estudio que realiza el alumno con ayuda del maestro,
quien analiza y plantea situaciones problemáticas ad hoc, para que el
alumno utilice y haga evolucionar sus conocimientos previos.
La enseñanza de las matemáticas fue evolucionando, pues mientras en el
primer período ésta era de tipo conductista, basada en la resolución de múltiples
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
35
ejercicios, en la reforma de 1975, se introdujo la pedagogía por objetivos,
elaborándose programas excesivamente prescriptivos, donde se especificaba que
se pretendía aprender guiando paso a paso el cómo debía hacerse, en muchos
casos sin comprender el por qué, y el para qué, de esos pasos. Asimismo la
pretensión de los matemáticos de mejorar la calidad de los aprendizajes mediante
la teoría de conjuntos, no tan sólo no se logró, sino que fue peor, dado el escaso
dominio por parte de los profesores de la matemática estructural, Treviño J.L.
(2010, julio) en Origen y Evolución de la Educación Secundaria en México [en
línea].
De esta manera la reforma de 1993, fue la antítesis de la que hubo en 1975,
en cuanto a contenidos y metodología didáctica. Con respecto a los contenidos, el
cambio más relevante fue: la eliminación de la unidad Lógica y Conjuntos, y en
relación a la metodología didáctica, se pasó de la reforma de 1975 en la que se
guiaba paso a paso como hacer las cosas a la reforma de 1993 en la que se
señala escuetamente lo que se quería estudiar, dando recomendaciones
generales, respecto a la manera de estudiar, enseñar y aprender matemáticas.
En lo referente a la reforma del 2006, todavía no se tienen resultados del
impacto de la reforma en la educación secundaria.
En este devenir de la educación secundaria, como ya se dijo los programas
de matemáticas también han sufrido cambios, adaptándose a las modalidades de
educación ofertados en diferentes momentos históricos, sin embargo cabe hacer
mención que el cálculo numérico es un saber ligado a la vida cotidiana y al
desarrollo de las ciencias en general, y por esta razón siempre ha estado presente
en los programas de matemáticas.
En el período de 1926 a 1974 los programas de matemáticas se enfocaban
en la enseñanza del cálculo numérico, geometría, álgebra y trigonometría, sobre
todo después del período presidencial de Cárdenas, en el cual como se citó
anteriormente, la educación debía girar en torno de la técnica y la tecnología. Así
pues, se encuentra que en el programa de matemáticas de tercero de secundaria
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
36
eran estudiados los logaritmos para realizar operaciones de multiplicación,
división, potenciación y radicación de cantidades complejas, como un método más
sencillo, menos laborioso y bastante aproximado al valor real, por tal motivo, a los
logaritmos se les consideraba un conocimiento básico, que tenía que estar
presente en los programas de matemáticas, porque, a pesar de la existencia de la
regla de cálculo (véase epistemología de los logaritmos), el costo y estudio para
su utilización no eran accesibles para los estudiantes de secundaria.
En el segundo período que abarca de 1975 a 1992, los programas de
matemáticas sufren cambios en el marco de un movimiento internacional
conocido como “la enseñanza de la matemática moderna”, introduciendo la teoría
de conjuntos y las propiedades estructurales de los dominios numéricos, con la
finalidad de propiciar en el estudiante un razonamiento lógico que le permitiera el
planteamiento y resolución de problemas. En relación a los logaritmos como
método numérico, este se ve opacado por la aparición de la calculadora digital
alrededor de 1972, la cual cobra auge casi de inmediato, debido a la facilidad
rapidez y exactitud de los cálculos, incluso de los propios logaritmos, por esta
razón, el interés por estudiarlos se va perdiendo.
A partir de 1993 desaparecen los temas propuestos por la matemática
moderna de los programas de secundaria, además del tema de los logaritmos,
que probablemente fue considerado un conocimiento obsoleto, por el amplio uso
de la calculadora, ya que a diferencia de la regla de cálculo ésta es económica y
basta con solo teclear las cantidades y operador para obtener el cálculo
requerido.
Nivel medio superior:
En lo referente al nivel medio superior se encuentra como antecedente
remoto el estudio de humanidades en el colegio de Santa Cruz de Tlatelolco,
fundado en 1537. Durante la época Colonial la educación estaba en manos de las
órdenes religiosas y era impartida principalmente a las clases económicamente
acomodadas, aunque había escuelas para indígenas. En ese entonces los jesuitas
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
37
fundan los colegios de San Pedro y San Pablo en 1574, y el de San Ildefonso en
1588, los cuales al fusionarse el 17 de enero de 1618, conforman al Real Colegio
de San Pedro, San Pablo y San Ildefonso de México, antecedente de la Escuela
Nacional Preparatoria.
En los años siguientes de la colonia y el movimiento de independencia, la
educación no tuvo un avance significativo, debido a la inestabilidad política,
posteriormente el 23 de octubre de 1833 se establece un decreto que reforma la
educación superior considerando que, dos días antes había sido creada la
Dirección General de Instrucción Pública lo que permite que, en el Distrito Federal
fueron creadas dos instituciones de educación preparatoria, más adelante durante
el imperio de Maximiliano el 27 de diciembre de 1865 fue creada la Ley de
Instrucción Pública y se organiza la educación media al estilo de los liceos
franceses.
Es así como el 1° de febrero de 1868 abre sus puertas la Escuela Nacional
Preparatoria, en el edificio del antiguo Colegio de San Pedro, San Pablo y San
Ildefonso de México, fundada y dirigida por el profesor Gabino Barreda, quien
organiza su plan de estudios, iniciando con las matemáticas, la lógica, ciencias
naturales, lenguas extranjeras y latín; con la finalidad de que, estos estudios
fueran preparatorios para las carreras de abogado, médico, farmacéutico,
agricultor, veterinario, ingeniero, arquitecto y ensayador y beneficiador de
metales. Esta instrucción tenía una duración de entre cuatro y cinco años, por lo
que para ingresar, era necesario presentar un certificado de profesor público de
primeras letras o un examen de conocimientos.
En la primera década del siglo XX, figura Justo Sierra en el Despacho de
Instrucción Pública y Bellas Artes, quien restablece la Universidad de México y le
otorga el carácter de Nacional, integrando a la Escuela Nacional Preparatoria
como base de los estudios superiores y con el carácter de bachillerato
universitario.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
38
En 1922, siendo director de la Escuela Nacional Preparatoria Vicente
Lombardo Toledano, se realiza el Primer Congreso Nacional de Escuelas
Preparatorias, en el que establece un plan de estudios para todo el país, con una
duración de cinco años después de la primaria, en él se incluye el aprendizaje de
un oficio como preparación para la vida.
Con la fundación de la escuela secundaria en 1926, el bachillerato se
reduce a dos años y en 1931 se establece el bachillerato especializado y un año
después se regresa al bachillerato único sin descartar el especializado.
Durante la gestión del presidente Cárdenas, se funda el Instituto Politécnico
Nacional, surgiendo de esta manera los estudios tecnológicos. El nivel medio se
divide en prevocacional y vocacional, que corresponde a secundaria y
preparatoria respectivamente.
En el mandato de Adolfo López Mateos, nacen los Institutos Tecnológicos
Regionales, con sus propias escuelas de enseñanza media. En enero de 1971, se
funda el bachillerato del Colegio de Ciencias y humanidades y en septiembre de
1973 el Colegio de Bachilleres.
El nivel medio superior, enfrenta diversos problemas, entre ellos la diversidad
de planes de estudio de las preparatorias y bachilleratos, que dificultan el libre
tránsito de los alumnos en los diversos sistemas, y limitan la continuidad de sus
estudios, además del bajo rendimiento en el proceso enseñanza aprendizaje y la
elevada deserción, entre otros problemas.
En el Congreso Nacional de Bachillerato, celebrado en marzo de 1982 en
Cocoyoc, Mor., se declara que el bachillerato constituye una fase de la educación
de carácter esencialmente formativo, y por tanto, debe ser integral y no sólo
propedéutico, con objetivos y personalidad propios. Se indica también que la
finalidad del bachillerato es “generar en el joven el desarrollo de una primera
síntesis personal y social en orden a su integración en la sociedad, preparación
para la educación superior y capacitación para el trabajo”, y también se recomienda
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
39
“que en todas las instituciones que imparten bachillerato en el país, se adopte un
plan de estudios de tres años”.
En la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) del 2009, se
realizó una revisión del currículum académico manejado por las diversas
instituciones que imparten el bachillerato en México y entro en vigencia en el
periodo escolar 2009-2010, la RIEMS busca unificar los planes de estudio de
bachillerato en el país, y profesionalizar los servicios académicos que se prestan en
ese nivel.
La UNAM no forma parte del Sistema Nacional de Bachilleratos, porque no
aceptó implementar la reforma en sus planteles de nivel medio superior ni acepto
aplicar la prueba de Enlace de evaluación de resultados. En esta reforma se tomó la
decisión de suprimir a la filosofía como materia obligatoria en bachillerato.
En México se tiene una gama muy amplia de escuelas y planes de estudio en
el nivel medio superior, a saber:
Bachilleratos de la SEP:
Educación Técnica profesional
Colegio Nacional de Educación profesional (CONALEP)
Bachillerato General
Dirección General de Bachillerato (DGB)
Colegio de Ciencias y Humanidades (UNAM)
Escuela Nacional Preparatoria (UNAM)
Colegio de Bachilleres (COBAEH)
Educación Tecnológica Agropecuaria
Dirección General de Educación Tecnológica Agropecuaria (DGETA)
Educación en Ciencia y Tecnología del Mar
Bachillerato Tecnológico.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
40
Dirección General de Educación Tecnológica Industrial (DGETI)
Centros de Estudios Científicos y Tecnológicos y Centros de Estudios Tecnológicos (IPN)
Colegios de Estudios Científicos y Tecnológicos de los Estados (CECyTE´s)
Centro de Estudios Tecnológicos Industriales y de Servicios (CETis)
Sistema de Bachillerato del Gobierno del D.F.
Preparatorias de Universidades Autónomas
Preparatorias Abiertas
Preparatorias abiertas privadas
Preparatorias abiertas de la SEP
Preparatorias abiertas de Universidades Autónomas
La educación del nivel medio superior al igual que los otros niveles
educativos también se ve influida por la políticas gubernamentales por ejemplo en
el mandato del emperador Maximiliano la educación era al estilo de los liceos
franceses, sin embargo se observa que este nivel tiene una mayor autonomía,
como es el caso de la Escuela Nacional Preparatoria fundada y dirigida por el
profesor Gabino Barreda, quien también organiza los planes y programas de
estudio sin ser presionado por el gobierno hacia un estilo de educación y
comienza por los programas de matemáticas ya que los consideraba de suma
importancia en la educación. Dentro del ámbito sociocultural de la educación se
observa que antiguamente las matemáticas eran consideradas un conocimiento
básico de gran importancia, sin embargo conforme ha ido pasando el tiempo la
relevancia del estudio de las matemáticas ha ido disminuyendo, al grado que cada
vez son menos los contenidos matemáticos que se encuentran en los programas
de estudio, incluso algunos saberes que antes eran de gran interés ahora ya no lo
son, como es el caso de los logaritmos. Por esta razón es necesario investigar
que ha pasado con estos saberes en su tránsito de secundaria a bachillerato y
nivel superior.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
41
Considerando que el nivel medio superior, es un período formativo y
propedéutico para el nivel superior, los planes y programas de estudio son muy
diversos y aunque tienen un tronco común para cumplir con la parte formativa, en
lo que respecta al área de matemáticas, se estudia álgebra, trigonometría,
geometría analítica, cálculo diferencial e integral y estadística. Sin embargo, cada
subsistema delimita que cursos ha de impartir, y así mientras algunos abarcan
hasta geometría analítica, otros hasta cálculo, otros introducen precálculo e
imparten hasta cálculo diferencial, creándose una diversidad muy amplia de
programas de estudio, lo que provoca problemas muy serios en el propio sistema
y en nivel superior, ya que en muchas ocasiones, habiendo elegido un
propedéutico para determinada carrera, al final no les gustó o no tuvieron acceso
a ella y terminan por elegir otra, para la cual no llevan los conocimientos
matemáticos necesarios.
Dentro del tronco común de este nivel, en el área de matemáticas, se
encuentra el estudio de álgebra, trigonometría y geometría analítica, y es en
trigonometría, donde se estudiaba a los logaritmos como método numérico, los
cuales eran aplicados en la resolución de triángulos rectángulos, en tanto que, la
función exponencial y logarítmica en el área de cálculo, presentándose el mismo
fenómeno que en secundaria, el cálculo numérico eran de gran interés pero con la
aparición de la calculadora este interés se ha ido perdiendo.
4.3 Contexto epistemológico de los logaritmos
4.3.1 Estudios acerca del aprendizaje de los logaritmos
En Ferrari (2001) se presenta una investigación histórica desde el punto de
vista socio epistemológico, de los logaritmos partiendo de su génesis numérica y
mostrando su evolución hacia la propia función logaritmos.
Adicionalmente realiza un análisis didáctico de la presencia de los
logaritmos, la función logaritmo y su inversa la función exponencial, en el
currículum de los niveles educativos medio básico, medio superior y superior
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
42
desde el siglo XIX, hasta el siglo XX, así como también en los libros de texto y
libros de antaño.
Uno de los aportes de su investigación, es el citado a continuación
“Nuestra visión del devenir de los logaritmos como objetos del saber nos
lleva a proponer como hipótesis epistemológica, de construcción de
conocimiento:
Incorporar los diseños de nociones de progresión aritmética y geométrica y
su vinculación con los logaritmos como medio de facilitar el tránsito entre
las ideas aritméticas y funcionales”
Nótese la importancia que le confiere a las progresiones aritmética y
geométrica en el estudio de los logaritmos y la función logarítmica y exponencial.
4.3.2 Epistemología del saber logaritmos
El concepto de logaritmo, se originó como un método de cálculo y se fue
enriqueciendo a medida que era aplicado en las diversas áreas científicas. Cuenta
así, con su propio espacio dentro de las matemáticas, debido a su adaptabilidad
en la explicación de diversos fenómenos. Sin embargo, el logaritmo es un objeto
matemático complejo, que necesita ser explorado desde su génesis para
comprender su significado.
El conocimiento sobre la génesis de los logaritmos, servirá para indagar
acerca de la carencia de saberes sobre éstos mismos, que presentan los
estudiantes de nivel superior permitiendo realizar un análisis de cómo se ha
introducido y desarrollado dentro del aula, en los textos escolares y los diversos
currículos.
Los aportes epistemológicos se presentan en forma cronológica, resaltando
las varias etapas que dan forma a la invención o descubrimiento de los logaritmos
y a su evolución.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
43
Indagando sobre los indicios de los logaritmos, se encuentra que éstos
comienzan a gestarse, o se inicia la idea de ellos en las tablas elaboradas por los
babilonios (2000 años A.C.), en dichas tablas ya se muestra una correspondencia
entre cantidades (aunque en esa época no se tenía idea de la noción logaritmo).
Los babilonios aportan a la génesis de logaritmo el descubrimiento y
establecimiento de la correspondencia numérica entre dos tablas de números.
Varios historiadores consideran que el origen de la invención o
descubrimiento de los logaritmos se remonta hasta Arquímedes (287 a 212 A.C.),
ya que es el primero en prestar atención a las propiedades de los números y
darlas a conocer como una curiosidad en su libro “Arénaire” cuando compara dos
progresiones una aritmética y otra geométrica como se muestra en la tabla 1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 8 16 32 64 128 256 512
Tabla 1 Sucesiones aritmética y geométrica
Según Hogben (1956), la regla de Arquímedes dice:
“para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo,
debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de
aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma.
El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto
deseado”.
Si se multiplica 4 x 64, aplicando la regla de Arquímedes se suma 2+6, y se
busca la suma 8 en la sucesión aritmética y se obtiene el resultado de la
multiplicación en esa misma columna pero en la sucesión geométrica, que es 256.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
44
Primera aportación de Arquímedes a la génesis del logaritmo, establecer la
correspondencia entre dos progresiones, una aritmética y otra geométrica.
Segunda, la multiplicación de dos números de la progresión geométrica
corresponde a la suma de los dos números en la progresión aritmética, pudiendo predecir
el resultado de esta y otras multiplicaciones, además de, alargar las series numéricas.
Desde los babilonios hasta Arquímedes transcurrió más de un milenio, sin
embargo, el paso dado por Arquímedes es enorme, en cuanto a la génesis del
logaritmo, pues esta correspondencia entre las sucesiones aritmética y geométrica
es fundamental para su invención.
Nuevamente después de un poco más de un milenio, esta relación entre las
dos sucesiones también es observada, por el filósofo y matemático alemán Miguel
Stifel (1487-1567) en el siglo XVI como lo demuestra su libro “Arithmetica integra”
publicado en 1544 en la ciudad de Nuremberg, en donde se trata por primera vez
el cálculo con potencias y en particular, la multiplicación: an.am = an+m, para todos
los números racionales n y m.
La tabla de Stifel es la primera tabla de logaritmos que se conoce, aunque
es muy rudimentaria, pues contiene números desde -3 hasta 6 (denominada
exponentes) y sus respectivas potencias de 2. Ver Tabla 2.
Nótese la similitud con la de Arquímedes, en cuanto a las progresiones
aritmética y geométrica, en tanto que, la diferencia es el empleo de números
negativos en la serie aritmética que no utilizó Arquímedes, y cuya correspondencia
en la geométrica son números fraccionarios.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1/8 ¼ ½ 1 2 4 8 16 32 64
Tabla 2 Primera tabla de logaritmos
Con respecto a su tabla Stifel explica:
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
45
“la adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la
geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división
en ésta. La simple multiplicación en la sucesión aritmética corresponde a la
multiplicación por sí mismo, o potenciación en la geométrica; y la división en
la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda, algo así como
la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz cuadrada”.
Esta relación numérica que Arquímedes descubre, entre la progresión
aritmética: �� = � + �� − �
Dónde: � = 1; � = 1,2,3, … � � = 1
Y la progresión geométrica:
�� = ������
Dónde: � = 2; � = 1,2,3, … y � = 2
es aprovechada por Stifel para predecir el resultado de la multiplicación de dos o
más números de la sucesión geométrica, mediante una suma de la aritmética, es
decir, si se ponen en correspondencia las dos series, de tal manera que el primer
elemento de la aritmética (1+0=1), corresponde también al primer elemento de la
geométrica, cuyo exponente es el resultado de la aritmética (2x20=21), y así
sucesivamente, se concluye, que la sucesión aritmética corresponde a los
exponentes de la geométrica. De esta manera cuando se multiplican dos o más
números de la geométrica, tenemos la multiplicación de dos cantidades con la
misma base cuyo exponente es el correspondiente valor de la serie aritmética, y
de acuerdo con Arquímedes, éstos se suman convirtiéndose en el exponente de la
base de la serie geométrica, y situando esta suma en la aritmética, el resultado de
elevar la base a dicha suma, y en consecuencia la multiplicación, se localiza en la
sucesión geométrica, de dónde muy probablemente Stifel deduce el cálculo con
potencias y en particular, la multiplicación:
��. �� = ����
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
46
Utilizando su tabla Stifel por inferencia pudo deducir que si para una
multiplicación los exponentes se suman, para una división deberán restarse, en
tanto que para una potenciación deberán multiplicarse y para una raíz cuadrada
deberán dividirse por dos, lo cual puede ser comprobado con la misma tabla. La
aportación de Stifel a la génesis de los logaritmos es:
Que la multiplicación de dos números de la sucesión geométrica corresponde a dos
potencias de la misma base, lo que convierte a la multiplicación, en la suma de los
exponentes de dichos números (sucesión aritmética), a la división en la resta, la
potenciación en la multiplicación y la raíz cuadrada en división por dos.
Obsérvese que con la tabla de Stifel aparecen los primeros indicios sobre
las propiedades de los logaritmos, al convertir una multiplicación en suma, una
división en resta y una potenciación en multiplicación.
Durante la edad media el estudio de las matemáticas casi permaneció
inactivo, desde aproximadamente el siglo IV D.C. con la muerte de Diofanto, hasta
el siglo XIII D.C; tiempo en el que se establece contacto comercial con los árabes,
produciéndose un avance considerable en el estudio de las propiedades
numéricas, gracias a la introducción e incorporación de la numeración decimal y
de posición manejada por este pueblo, además en ese tiempo los árabes eran
considerados el pueblo más desarrollado en las ciencias matemáticas, química,
astronomía y medicina, debido a la traducción de los antiguos manuscritos griegos
que fueron obtenidos al conquistar parte del imperio romano.
Posteriormente, surgen matemáticos y científicos como: Tartaglia (1500 –
1557), Stifel, Durero y Copérnico así como Galileo Galilei (1564 – 1642) y Johan
Kepler (1571 – 1630), a mediados del siglo XVI se presentan Francois Viète en
Francia, John Napier (1550 – 1617) en Escocia y Jobst Bürgi (1552 - 1632) en
Suiza.
En este siglo la expansión comercial crece y era necesario hacer cálculos
sobre la riqueza acumulada, considerando reglas de interés compuesto, además,
las técnicas de navegación requieren ser más eficientes, inclusive las
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
47
investigaciones astronómicas realizadas también se aplicaban en la navegación
con este fin, en consecuencia los cálculos que debían realizarse eran de gran
magnitud y surge la necesidad de buscar algoritmos menos laboriosos para
multiplicar, dividir, calcular potencias y extraer raíces, lo que inspiró a Napier y
Bürgi a la invención o descubrimiento de los logaritmos.
A finales del siglo XVI, los matemáticos daneses Wittich y Clavius,
publicaron De Astrolabio en 1593, donde sugieren la aplicación de las tablas
trigonométricas, para abreviar cálculos mediante el uso de seno y coseno de la
suma de dos ángulos, posteriormente John Napier, dedujo un método sencillo
para multiplicar senos de ángulos por adición directa, lo cual fue bien acogido por
los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler, empleando para ello la identidad
llamada “prosthapheresis”, que establece:
����� ��� = !"��� − − !"��� +
O la atribuida al árabe Ebn – Jounis (980 – 1083)
���� !"� = �� #��� �� + + ��� �� − $
En las que se observa la transformación de un producto en una suma. Este
hallazgo permite reducir los cálculos en astronomía y en las rutas de navegación,
lo que anima a Napier a trabajar en sus logaritmos.
John Napier (1550-1617) nació en Escocia y perteneció a una familia noble
de gran riqueza. Dedicado a cuidar de sus propiedades, tenía a las matemáticas
como una afición pero pasó a la historia porque alrededor del año 1594, se le
ocurrió una idea, pensó que todas las cifras podían expresarse de forma
exponencial y dada esa característica se podía transformar una multiplicación en
suma de exponentes, así, el propio Napier, expresó:
“… viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y
nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
48
cuadradas y cúbicas de números muy grandes… he trabajado arduamente en
resolver esos problemas…”
Napier en Escocia y Burgüi en Suiza inventan cada uno por su lado los
logaritmos aún antes de que se conociera la constante e y el concepto de
exponencial, partiendo su cálculo de un círculo de radio 107 llamado sinus totus
porque dibuja un triángulo donde el seno se considera la semicuerda del círculo y
en consecuencia el mayor valor de este es el radio. Ver fig.2
Figura 2 Sinus Totus
Para calcular sus logaritmos Napier utiliza la relación entre las sucesiones
aritmética y geométrica y la concepción cinemática de un movimiento sincrónico,
como la fluctuación entre dos sucesiones, para ello considera un modelo
mecánico, el desplazamiento de un punto con movimiento constante, recorriendo
por supuesto distancias iguales en tiempos iguales representando a la progresión
aritmética, en correspondencia con un segundo punto que se mueve con velocidad
proporcional al desplazamiento correspondiendo a la progresión geométrica, es
decir dos partículas idénticas se desplazan simultáneamente a lo largo de dos
rectas parales (de longitud 107 unidades), una con velocidad constante y la otra
con aceleración decreciente porque en tiempos iguales alcanza a recorrer una
porción del espacio recorrido anteriormente.
Napier representa al sinus totus (Ver fig. 3), como el segmento �% de
longitud fija 107 y un segundo segmento paralelo al primero como & ∝. En t = 0
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
49
ambos puntos están al inicio en � � & respectivamente, el punto B se mueve sobre
& ∝ y el punto b sobre �%, la velocidad inicial de ambos puntos es la misma, pero
la velocidad de b irá decreciendo porque depende de la distancia recorrida en la
unidad de tiempo anterior, hasta llegar a cero.
Figura 3 Representación de sinus totus
En un determinado tiempo el punto b está a una distancia x de Z, y el punto
B a una distancia y de A, entonces la distancia y se localiza en la sucesión
aritmética y la distancia x en la geométrica, por lo tanto:
log x = y, o y = log x
“el logaritmo de un seno dado es aquel número que se incrementa
aritméticamente con velocidad constante e igual que aquella con la cual el
radio empieza a decrecer geométricamente, y en el mismo tiempo en el radio
decrece hacia el seno dado” (Cantoral et al., 1983).
Si se denomina al sinus totus(107) como x, y expresando la variación del
mismo conforme transcurre el tiempo queda:
Seno: ( ( )� − �(* ( )� − �
(*� … ( )� − �
(*�
Logaritmo: 0 …...1 ……2 … …..n
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
50
Se observa claramente la relación entre los senos y la velocidad de los
puntos en cada intervalo de tiempo, lo que demuestra la concordancia entre su
modelo y el concepto logaritmo.
En su libro Napier (1614) define a los logaritmos como: “los logaritmos son
números que corresponden a números proporcionales y tienen iguales diferencias”
La idea de la progresión aritmética y geométrica se encuentra presente en
la definición, ya que, al citar “las iguales diferencias” se refiere a la progresión
aritmética, en tanto que la cita “los números proporcionales” representan la
progresión geométrica que se presenta en la multiplicación de x por las n
disminuciones sucesivas de )� − �+*,
, donde n es el logaritmo.
Se sabe que Napier fue el inventor de la palabra logaritmo. Inicialmente les
llama “números artificiales” a los logaritmos y “números naturales” a los
antilogaritmos, más tarde el mismo Napier usa la palabra logaritmo como un
número que indica una proporción.
ln � = � número artificial o logaritmo /01 − 123� = � número natural
Napier tarda 20 años en calcular y desarrollar sus tablas de logaritmos, ya
que inicia en 1594 y las da a conocer hasta 1614 (ver tabla 3), en la ciudad de
Edimburgo con el nombre de Mirifici Logarithmorum canonis descriptio, o
“descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”, (sin explicar cómo fueron
construidas), y es hasta 1619 (dos años después de su muerte), que se da a
conocer el procedimiento utilizado para el cálculo de los logaritmos, bajo el título
de Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio, es decir, “Construcción del
Maravilloso Canon de Logaritmos”, en donde explica el método con el que
construyó la tabla de logaritmos y sus propiedades.
La idea germinal sobre la que se sustentan los logaritmos neperianos, está
dada por la relación entre las progresiones aritmética y geométrica, y se conjetura
que Napier, retoma la idea ya mostrada por Arquímedes, así como, la identidad
“prosthapheresis”, de transformar la multiplicación en suma de exponentes, así
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
51
mismo la idea de Stifel, de convertir la división en resta, la potenciación en
multiplicación y la raíz cuadrada en división por dos, de los exponentes, para la
invención de sus logaritmos. Las aportaciones de Napier a los logaritmos, son:
1. El desarrollo de la sucesión que da como resultado una aproximación al
número e, aunque él nunca lo supo.
2. El cálculo en función de esta sucesión de las tablas de logaritmos conocidos
como neperianos.
3. La introducción de las palabra, logaritmo (inicialmente les llamó números
artificiales) para el exponente (sucesión aritmética) y números naturales
(sucesión geométrica) entendiéndose uno el inverso del otro.
4. Deducir las propiedades de los logaritmos para realizar operaciones de
multiplicación, división potenciación y radicación.
El suizo Jobst Bürgi (1552 – 1632) relojero de profesión y constructor de
instrumentos, descubrió o inventó los logaritmos antes que Napier, incluso se
afirma que la idea la concibió alrededor del año 1586, motivado por las
observaciones de Stifel, y el libro de cálculo de Simón Jacob (1565), pero se dice,
que no los dio a conocer por falta de tiempo y material para ello, siendo
reprochado por Kepler al afirmarle “haber dejado en el desamparo al hijo de su
espíritu, en vez de educarlo para la publicidad”.
Es hasta el año de 1620 que Bürgi publica en Praga sus tablas de
logaritmos con el título Arithmetische und Geometrische Progress Tabulen, pero, el 8 de
noviembre de 1620 es tomada Praga y sus tablas permanecen desconocidas.
Bürgi se dio cuenta que la relación entre las progresiones observada por
Stifel, era aplicable a otras progresiones con cualquier razón racional, y partió de
una progresión aritmética con el primer término cero y razón 10 siendo el último
término 32000, teniendo como base:
41 + 1106
789
= 2.7184593
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
52
Tabla 3 Logaritmos de Napier o naturales
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
53
Posteriormente Henry Briggs (1561-1631), profesor de geometría en
Oxford, tiene la idea de elaborar una tabla de logaritmos de base 10 y su origen se
presenta durante una discusión entre él y Napier, Briggs le sugiere elaborar una
tabla de logaritmos con base 10 dado que el sistema empleado en los cálculos es
decimal y llegan a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser 0 y el
logaritmo de 10 debía ser igual a 1, de esta forma la tarea de construir la primera
tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs (1615). Actualmente se
conocen como “logaritmos de base vulgar”, logaritmos comunes, logaritmos de
base 10 o logaritmos de Briggs.
Por ser 10 la base del sistema numérico que se utiliza, los cálculos de las
tablas logarítmicas se simplifican y sus números fundamentales están dados por:
Logaritmo -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Antilogaritmo .0001 .001 .01 .1 1 10 100 1000 10000
Tabla 4 Números fundamentales de los logaritmos de Briggs
Si el logaritmo es el exponente al que se eleva la base 10, para que se
obtenga un número dado, entonces el logaritmo de 0.0001, es el exponente al que
hay que elevar 10 para que nos de ese número en este caso -4. Como se puede
observar en la tabla 4 el logaritmo de cantidades múltiplos de 10, es un número
entero que se calcula, recorriendo el punto decimal tantas veces sea necesario,
hasta dejar expresada la cantidad con una cifra entera, entonces el número de
lugares que se recorrió el punto es el exponente o logaritmo de la base 10, y si
éste, se recorrió hacia la derecha es negativo y en caso contrario es positivo.
log 0.001 = -3 log 10000 = 4
Sin embargo no todas las cantidades son múltiplos exactos de 10 y cada
cifra tiene su propio logaritmo, el cual debe ser calculado en función de la base 10.
Así pues, si se desea calcular: [email protected] y √10 =D 3.162
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
54
?@A78 3.162 = ?@A78√10 = ?@A78101E = 0.5
Para calcular el logaritmo de 2 se busca una potencia aproximada 210 = 1024,
278 =D 10F ⇒ 2 =D 10 H1I = 108.F ⇒ ?@A78 2 ≅ 0.3
Ahora si se piensa en un número como 316.2, dado que ya se conoce el
logaritmo de 3.162 se puede expresar como:
316.2 = 3.162 / 10K
[email protected] = ?@A78 3.162 + ?@A7810K = 0.5 + 2 = 2.5
De esta forma se genera la tabla siguiente
N log N N log N
1 0 10 1
2 0.3 20 1.3
3 0.48 30 1.48
4 0.6 40 1.6
5 0.7 50 1.7
6 0.78 60 1.78
7 0.84 70 1.84
8 0.9 80 1.9
9 0.95 90 1.95
Antilog n n Antilog n n
Tabla 5 Cálculo de logaritmos de Briggs
Briggs al formar su tabla de logaritmos, escribió una sucesión aritmética
cualquiera (logaritmos) cuyo primer término era 1, y una sucesión geométrica
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
55
(antilogaritmos) cuyo primer término era precisamente la razón o base de esta
sucesión, como se observa en la siguiente tabla.
n = log10 N N = antilog10 n
1 10
0.875 10LM ≅ 7.4980
0.750 10H9 ≅ 5.6234
0.625 10NM ≅ 4.2170
0.500 101E ≅ 3.1623
0.375 10HM ≅ 2.3714
0.250 1019 ≅ 1.7783
0.125 101M ≅ 1.3385
0 1
Tabla 6 Cálculo de los logaritmos de Briggs
Extrayendo raíces de más alto grado podrán hacerse los intervalos de los
logaritmos tan pequeños como se desee.
Buscando Briggs una forma más simple de obtener logaritmos cada vez
más pequeños, es decir, que la distancia entre dos logaritmos consecutivos sea lo
más pequeña posible, utiliza un método por naturaleza sencillo, pero acorde a lo
que se desea, es decir, usa la media aritmética para aplicarla en la sucesión
geométrica.
De esta forma, si en la sucesión aritmética tenemos tres números a, b y c,
se sabe que:
O = � + P2
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
56
Análogamente si en la sucesión geométrica se tienen tres números A, B y
C, el segundo de ellos es la media geométrica de los otros dos,
Si se tiene & = �Q; R = �S
Entonces; &/R = �Q�S = �Q�S
y T = �2UVE = √�Q�S = √�Q�S = √&R
Dando como resultado la siguiente tabla
N = antilog10 n n = log10 N
A = 1 � = 0
B = 10 O = 1
R = √&T ≅ 3.162277 P = 12 �� + O = 0.5
W = √TR ≅ 5.623413 � = 12 �O + P = 0.75
X = √RW ≅ 4.216964 Y = 12 �P + � = 0.625
Z = √WX ≅ 4.869674 [ = 12 �� + Y = 0.6875
\ = √XZ ≅ 4.531583 A = 12 �Y + [ = 0.65625
] = √Z\ ≅ 4.697587 ℎ = 12 �[ + A = 0.671875
_ = √\] ≅ 4.613838 ` = 12 �A + ℎ = 0.6640625
a = √]_ ≅ 4.655524 b = 12 �ℎ + ` = 0.66796875
Tabla 7 Cálculo de logaritmos empleando media aritmética y geométrica
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
57
Cabe resaltar, que aquí se presenta nuevamente la relación entre las
progresiones aritmética y geométrica, solo que ahora representada por la media
aritmética y la media geométrica, las cuales son utilizadas por Brigss para calcular
sus logaritmos, y es que, este proceso de cálculo le permite reducir cada vez más
la distancia entre los valores de los logaritmos.
Como se puede advertir elaborar la tabla de logaritmos es un trabajo muy
laborioso que requiere primero, partir del logaritmo de los dígitos, después de
múltiplos de 10, posteriormente de números múltiplos de 10 elevados a un
exponente fraccionario, y después ir calculando promedios de cantidades y de
exponentes, para hallar el logaritmo de cantidades separadas por intervalos cada
vez más pequeños, con la finalidad de que los logaritmos den resultados más
exactos, en el cálculo de las operaciones.
Henry Briggs elabora las tablas de logaritmos en base 10 del 1 al 20000 y
de 90000 a 100000 siendo publicados en 1618, como Logarithmorum Chilia es
prima (primer tratado sobre los logaritmos vulgares o de Briggs), posteriormente
fueron completadas del 1 al 100000 en 1628 por el matemático Vlacq, y dados a
conocer en 1631 en su obra Logarithmall Arithmetike, donde explica la invención
de los logaritmos diciendo:
“Los logaritmos son números inventados para resolver más fácilmente los
problemas de aritmética y geometría… Con ello se evitan todas las molestias
de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que, en lugar de
multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se
hacen sustracciones. La laboriosa operación de extraer raíces, tan poco grata,
se efectúa con suma facilidad... En una palabra, con los logaritmos se
resuelven con la mayor sencillez y comodidad todos los problemas, no solo de
aritmética y geometría, sino también de astronomía”.
De esta manera Briggs, nos deja entrever las relaciones implícitas que
existen, entre los cálculos numéricos, de las sucesiones aritmética y
geométrica, para la obtención de los logaritmos, mediante la media aritmética
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
58
y la media geométrica, los cuales se utilizarán como logaritmos en la solución
de problemas aritméticos y geométricos.
Figura 4 Implicaciones de las medias aritmética y geométrica
En lo sucesivo se considerará, que los logaritmos de base 10 sólo se
nombraran como log y se sobre entiende que su base es 10, solamente que se
calcule logaritmos con otras bases, entonces se colocará la base como subíndice
Briggs aporta al desarrollo de los logaritmos, la metodología de cálculo utilizando
la media aritmética y la media geométrica, así como, nuevas tablas basadas en el número
10 y no en una sucesión, como es el caso de Napier, simplificando las operaciones
realizadas en el sistema decimal y corroborando que se pueden desarrollar logaritmos de
cualquier otro número o sucesión.
Los logaritmos de Briggs se fundamentan en la misma idea germinal que
los anteriores y continúa con la idea de Napier acerca de logaritmo y antilogaritmo
como operaciones inversas, pero, difiere en el desarrollo del algoritmo de las
progresiones como ya se dijo.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
59
El vocablo logaritmo etimológicamente, viene del griego “logos” (λόγος),
razón y “arithmos” (άρίθµος), número, que unidos significa, “un número que indica
una relación o proporción” y se refiere a la proposición hecha en su “Teorema
Fundamental”, que establece, que la diferencia de dos logaritmos determina, la
relación de los números a los cuales corresponden, de esta forma, una sucesión
aritmética de logaritmos, se relaciona con una sucesión geométrica de números.
El término antilogaritmo fue introducido a fines del siglo XVII, aunque no fue
utilizado tan ampliamente como el logaritmo, aunque perduró en muchas tablas,
hasta que cayó en desuso.
Continuando ahora, con la conceptualización de logaritmo, se dice que:
El logaritmo de un número (serie geométrica), es el exponente (serie
aritmética), al que hay que elevar una base para obtener dicho número:
28 = 256
Entonces, el logaritmo de 256 en base 2 es el exponente al que hay que
elevar 2 para obtener 256, en este caso 8, por lo tanto
log2 256 = 8.
Esto nos lleva a pensar en la correspondencia de expresar una cantidad en
forma exponencial y su inversa en forma logarítmica, o al contrario, pasar de la
forma logarítmica a la exponencial.
28 = 256 corresponde log2 256 = 8
Como puede observarse el exponente, es en realidad el logaritmo, de esta
forma la sucesión aritmética es el logaritmo y la sucesión geométrica es la base
elevada a dicho exponente, o exponencial, o antilogaritmo, o forma inversa del
logaritmo.
Sin embargo, cabe hacer notar que la base del logaritmo o serie
geométrica, es un número real positivo exceptuando el cero y el 1, por obvias
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
60
razones (0 y 1 elevado a cualquier potencia es 0 y 1 respectivamente), y
considerando que la serie geométrica es un número positivo elevado a una
potencia, entonces, la definición de logaritmo es:
Dado un número c positivo y no nulo �d > 0, y un número real � positivo,
y diferente de 1 �� > 0; � ≠ 1, se le llama logaritmo en base � de c al exponente
( al que hay que elevar la base � para obtener el número c, y se escribe:
g"h�c = (
y se lee logaritmo en base � de c es igual a (, en consecuencia, se tiene
�( = c
De esta definición se puede deducir:
1. El logaritmo de 1, es 0, porque �8 = 1, Y�i@�PYj, ?@Ak 1 = 0 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1 porque
�7 = �, Y�i@�PYj, ?@Ak � = 1
3. El logaritmo de una potencia cuya base sea igual a la base del logaritmo es
igual al exponente de la potencia, ya que, �� = ��, �, ?@Ak�� = l
4. No existe el logaritmo de un número negativo, o de cero, en el campo de los
números reales, porque no hay ningún exponente real que convierta a la
base en negativa, ni tampoco que la haga cero, excepto el infinito, pero
éste, no es número real.
5. El logaritmo de un número c, tal que m < d < 1 es negativo si la base � del
logaritmo es � > 1,
��� = 1�� < 1, Y� P@�jYPoY�P`�, ?@Ak
1�� = −�
6. El logaritmo de un número c, tal que m < d < 1 es positivo si la base � del
logaritmo es �� < 1,
41�6
�= 1
�� < 1, p@� ?@ i��i@, ?@A1q
1�� = �
7. El logaritmo de un número c > 1 es positivo si � > 1
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
61
�� = d, Y�i@�PYj, ?@Ak d = l
8. El logaritmo de un número c > 1 es negativo si �� < 1
41�6
��= 1
��� = �� = d, p@� ?@ i��i@, ?@A1q d = −l
Ya se dijo como se calcularon los logaritmos de Napier y Briggs, que éstos
son exponentes de una base, pero, ahora se describirá como están constituidos
los logaritmos, para ello considérese la tabla de logaritmos siguiente:
log 1r. 0000 1r. 0043 1r. 0086 1r. 0128 1r. 0170 1r. 0212 1r. 0253 1r. 0294 1r. 0334
antilog 0.10 .101 .102 .103 .104 .105 .106 .107 .108
log 0.0000 0.0043 0.0086 0.0128 0.0170 0.0212 0.0253 0.0294 0.0334
antilog 1.0 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08
log 1.0000 1.0043 1.0086 1.0128 1.0170 1.0212 1.0253 1.0294 1.0334
antilog 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
log 2.0000 2.0043 2.0086 2.0128 2.0170 2.0212 2.0253 2.0294 2.0334
antilog 100 101 102 103 104 105 106 107 108
log 3.0000 3.0043 3.0086 3.0128 3.0170 3.0212 3.0253 3.0294 3.0334
antilog 1000 1010 1020 1030 1040 1050 1060 1070 1080
Tabla 8 Algunos logaritmos y antilogaritmos de Briggs
En la tabla 8 se observa que, en los logaritmos se establecen patrones,
como es el caso del logaritmo de las cantidades siguientes, 102, 1.02, 10.2, 102,
1020 todos tienen la misma parte fraccionaria .0086 y solo difieren en la parte
entera, porque de acuerdo a los cálculos de Briggs
log 0.102 = log 1.02/10�7 = log 1.02 + log 10�7 = 0.0086 − 1 = 1r . 0086
log 1.02 = log 1.02/108 = log 1.02 + log 108 = 0.0086 + 0 = 0.0086
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
62
log 10.2 = log 1.02/107 = log 1.02 + log 107 = 0.0086 + 1 = 1.0086
log 102 = log 1.02/10K = log 1.02 + log 10K = 0.0086 + 2 = 2.0086
Entonces la parte entera del logaritmo es el exponente de la base 10, al
expresar el número en notación científica y solamente una cifra entera, a esta
parte, se le conoce como característica y se puede calcular como, el número de
cifras enteras menos uno para cantidades mayores de uno, y para cantidades
menores de uno, la característica es negativa y representa al lugar que ocupa la
primera cifra significativa después del punto.
Con respecto a la parte fraccionaria del logaritmo, se le conoce como
mantisa y se obtiene de las tablas elaboradas por Briggs, y a diferencia de la
característica la mantisa siempre es positiva.
La razón por la cual ha de manejarse para el cálculo de la mantisa una cifra
entera, es porque al calcular el logaritmo de esa cantidad la característica es cero,
y la cifra hallada representa únicamente a la mantisa.
Entonces, los logaritmos siempre tendrán una parte entera correspondiente
al exponente de la base 10 (llamada característica), y una parte fraccionaria,
correspondiente a la cantidad expresada con una cifra entera y cuyo valor siempre
será menor de uno (llamada mantisa), la cual, se calcula, empleando las tablas de
logaritmos. En este sentido, el logaritmo consta de dos partes que se unen, pero,
cuyos significados son distintos, incluso, puede ser que estas partes tengan el
mismo o diferente signo, ya que la mantisa siempre será positiva, en tanto que, la
característica puede ser negativa o positiva:
log 268 = log 2.68 + ?@A10K = 0.4281 + 2 = 2.4281
log 0.0368 = log 3.68 + ?@A10�K = 0.5658 + �−2 = 2r. 5658
Este último logaritmo calculado, es una concepción difícil de comprender
por el estudiante, al considerar que un número este constituido de una parte
entera negativa y una parte fraccionaria positiva, probablemente no entienda
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
63
porque si se tiene un número entero negativo y otro fraccionario positivo no se
realice la resta para expresar el número con un solo signo. Sin embargo,
contextualizando la forma en que fue concebido el cálculo de un logaritmo, se
observa que, al expresar el número con una cifra entera y notación científica, se
realiza una multiplicación por 10, tantas veces como sea necesario, y cada vez
que se multiplique por 10, se recorre el punto una cifra entera del número original,
es decir, si la notación científica empleada es 103, significa que se recorrió el
punto tres cifras y se dejó solamente una entera. El número original entonces,
tiene 3 cifras recorridas, más la cifra entera, tiene 4 cifras enteras, en el caso de
números enteros, pero en el caso de números menores que la unidad, cada vez
que se recorre el punto a la izquierda, el exponente de la base 10 es negativo, por
esta razón, si la notación empleada es 10-2, significa que el número es menor que
uno y que la primera cifra significativa después del punto, ocupa el segundo lugar
porque el punto se recorrió dos veces.
La mantisa del logaritmo siempre será positiva, y representa el exponente al
que hay que elevar la base 10, para obtener el número generado de una cifra
entera, por lo tanto, ésta siempre será menor de uno porque el máximo número de
una cifra entera es 9.999…, pero no será 10, que equivale a tener exponente uno,
entonces, es en la mantisa, donde recae el valor del logaritmo.
Si se puede calcular el logaritmo de un número, será necesario realizar la
operación contraria, es decir, conociendo el logaritmo de un número calcular dicho
número, por esta razón deben conservarse los valores originales de la
característica y la mantisa, ya que para realizar la operación contraria al logaritmo,
ha de utilizarse la mantisa para hallar el número de la misma manera que en los
logaritmos, solo que ahora en las tablas de antilogaritmos, posteriormente si la
característica es positiva se le suma uno y éste, será el número de cifras enteras
de la cantidad cuyo logaritmos se conoce, si la característica es negativa (la
cantidad es menor que uno), no se le suma nada y ésta representa, el lugar de la
primera cifra significativa después del punto, hacia la derecha.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
64
Actualmente el uso de las calculadoras ha simplificado el cálculo de los
logaritmos, expresándolo como un solo número positivo o negativo, además de
que, el empleo mismo de la calculadora, facilita la resolución de operaciones
aritméticas, aunque los números implicados sean muy extensos o
extremadamente pequeños, por tal motivo, el uso de los logaritmos como método
de cálculo ha quedado en desuso, y considerando que la suma o resta de
logaritmos con características negativas y positivas es un saber difícil de
comprender para los estudiantes, y que además ocasiona alta reprobación,
entonces, es probable pensar que se convierta en un saber excluido del currículo,
como ya se citó en el contexto socio histórico, sin embargo, la función logaritmo y
su inversa la exponencial, son saberes muy utilizados para modelar situaciones
problemáticas y resolverlas.
Para que las funciones exponencial y logarítmica, sean aplicadas en
diversas situaciones científicas, debe tenerse construida una red de conocimientos
sobre la génesis de los logaritmos, y tener encapsulado el proceso logaritmo-
exponencial, como un objeto matemático para ser utilizado como herramienta en
la comprensión y aplicación de las funciones, pero si todo lo concerniente a
logaritmos no es estudiado, didácticamente será difícil, que el estudiante logre un
conocimiento profundo sobre estas funciones.
4.3.3 Usos sociales de los logaritmos
El uso y aplicación de los logaritmos en las ciencias es muy amplio, una de
estas aplicaciones es la regla de cálculo, considerada sin duda, la herramienta de
cálculo analógico más extendida. Ésta se basa en la utilización de escalas
logarítmicas, para simplificar notablemente los cálculos. En particular, mediante
las escalas A y B de la regla, así, el cálculo del producto o división se reduce al de
la suma o resta de las mismas en las escalas logarítmicas correspondientes.
La primera regla de cálculo fue inventada por el inglés Edmund Gunter en
1620, sirviéndose de los logaritmos que seis años atrás inventara Napier para
simplificar algunos cálculos astronómicos complicados. A partir de esta fecha, la
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
65
regla de cálculo sufrió una constante evolución, aunque su uso no se hizo popular
hasta la incorporación de notables mejoras por el geómetra francés Amadeo
Mannheim a mediados del siglo XIX. A lo largo de todo el siglo XX ha sido el
instrumento de cálculo preferido por los ingenieros y técnicos hasta que la
aparición, en la década de los 70, de las calculadoras científicas de bolsillo la hizo
obsoleta.
FIGURA 5 REGLA DE CÁLCULO
Sin embargo el empleo de los logaritmos en la ciencia debe verse desde
cuatro enfoques:
1) La generación de los logaritmos a través del cálculo y su aplicación en
astronomía y navegación dando como resultado la publicación de tablas de
bolsillo.
2) Los logaritmos como método de cálculo numérico y su aplicación en la regla
de cálculo así como el uso de las tablas de logaritmos para la realización de
operaciones dentro de las ciencias física y química.
3) Dar a conocer la relación entre una sucesión aritmética y otra geométrica
que lleva a conjeturar a la primera como un logaritmo de la segunda.
4) El uso de los logaritmos dentro del cálculo diferencial e integral
principalmente por Leibniz y Newton, pudiendo conducir por simple
integración de los inversos a los resultados logarítmicos, así como a
razonamientos analíticos relacionados a fenómenos físicos o químicos.
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
66
Actualmente el logaritmo y la exponencial son empleados principalmente en
el cálculo tanto diferencial como integral, en la solución de ecuaciones
diferenciales, en el modelado de fenómenos como el crecimiento poblacional, en
aplicaciones tecnológicas como son controladores, entre otras, aplicaciones, lo
que lleva a considerar que logaritmo y exponencial son saberes básicos para el
estudio y aplicación de las matemáticas avanzadas, la ciencia y la tecnología.
De lo anterior se desprende que los estudiantes de nivel superior deben
contar con estos conocimientos, cosa que a menudo no sucede, ocasionando
problemas tanto en la comprensión de los mismos logaritmos, como en su
aplicación, por lo que es conveniente investigar que sucede con el tema logaritmos
en el tránsito desde las matemáticas de nivel básico hasta las de nivel avanzado,
identificando las causas que originan el fenómeno presentado por los estudiantes
que ingresan en educación superior. Ver fig. 6
Figura 6 Saberes Excluidos
Ya que el tránsito entre los saberes matemáticos debe darse en forma
articulada, entonces es necesario hacer un análisis de cómo se presenta dicha
articulación, o si existe una desarticulación de saberes, o bien, ¿cómo es la
didáctica empleada por los profesores en la enseñanza de estos saberes?
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
67
En nivel superior algunos docentes consideran que estos temas son vistos
en secundaria y/o bachillerato, de esta manera, cuando el estudiante cuestiona al
profesor acerca de estos saberes, el profesor le dice, que ya debieron ser vistos y
solamente da una breve explicación sobre el tema que no le servirá al estudiante
para lograr la abstracción del saber (como objeto matemático), y cuando el
estudiante requiera de estos saberes (como herramienta), en futuras aplicaciones,
será difícil, que sin haber interactuado con el proceso lo tenga guardado como un
objeto matemático, para ser utilizado como herramienta, que le permita incorporar
a su red cognitiva conocimientos más avanzados, ya sea en el área de
matemáticas, o alguna otra ciencia donde se empleen estos conocimientos, como
es el caso de química, matemáticas financieras, física, entre otras.
De acuerdo con lo anterior, si estos saberes no son aprendidos en
secundaria ni en bachillerato, y en nivel superior son abordados por los profesores
para explicar algún otro saber, de tal manera, que no hay una formalización de su
enseñanza, y la ignorancia sobre este saber continúe (a menos que el propio
estudiante se haga cargo de su aprendizaje), cuando estos estudiantes terminan
su educación profesional, y algunos de ellos deciden incorporarse como docentes
su formación es deficiente, y al aparecer este saber, en el proceso enseñanza
aprendizaje, el profesor solo podrá dar una breve explicación.
Por lo antes expuesto, este fenómeno que inicialmente se pensó afectaba
sólo a los estudiantes de matemáticas y ciencias afines, posteriormente se induce
que también puede afectar a la didáctica de las matemáticas, y la formación de
docentes en matemáticas. El problema se va multiplicando, lo que de alguna
manera explicaría el hecho de que los estudiantes cada vez tienen mayores
deficiencias en los saberes mencionados.
Es necesario que estos saberes básicos, que además, tienen implicaciones
muy importantes en las ciencias, como es el caso de logaritmos, que sirve para
modelar funciones logarítmicas y exponenciales, utilizadas ampliamente en
Biología o Economía, no pasen inadvertidos en el currículo o bien queden
CAPÍTULO IV CONTEXTO SOCIOHISTÓRICO Y EPISTEMOLÓGICO DEL SABER LOGARITMOS
68
excluidos del mismo, pues resulta difícil creer que un estudiante de ingeniería, no
pueda pasar de una expresión logarítmica a una exponencial, es decir, dado
� = ?@Ak / i���j[@�l�� Y�: �v = /
De acuerdo a lo antes expuesto es necesario investigar que ha ocurrido con
los saberes acerca de logaritmos, dentro del currículo de secundaria y bachillerato.
Ver fig. 7.
Figura 7 Exclusión de los logaritmos.
CAPÍTULO V
SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE
LOGARITMO Investigación acerca de los saberes que deben estar construidos cognitivamente
para entender la noción logaritmo y así establecer un esquema del concepto logaritmo que
permita posteriormente analizar los programas de estudio.
CAPÍTULO V SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO
70
5.1 Investigación de los saberes previos para la conceptualización de
logaritmo
Considerando, que el aprendizaje del concepto logaritmo, requiere de
conocimientos previos, tales como, identificar la base de una potencia, la potencia
misma, trabajar con los exponentes, desarrollar una cantidad expresada en
función de una potencia, sobre todo de base 10, resolver problemas de
radicación, calcular potencias, entre otros saberes, es necesario determinar
cuáles son los conocimientos previos que el estudiante debe tener para la
comprensión de los logaritmos.
Por esta razón, si se desea investigar acerca de los saberes de logaritmos
y su tránsito, a través, de los niveles escolares secundaria, medio superior y
superior, debe iniciarse con los programas de estudio y determinar si contemplan
la enseñanza de estos saberes previos, de los propios logaritmos, y la forma
como se articulan los saberes sobre logaritmos, las funciones exponencial y
logarítmica y su aplicación en la solución de problemas y en matemáticas
avanzadas para ir construyendo conocimientos más profundos.
En caso de que estos saberes previos tampoco sean enseñados, la red de
conocimientos del estudiante tendría un hueco muy grande en el que aislado de
todo conocimiento se encontrarían las funciones exponencial y logarítmica, sin
ninguna articulación de saberes.
5.1.1 Mapa conceptual sobre la construcción del concepto logaritmo
Para determinar qué conocimientos requiere el estudiante para comprender
el concepto logaritmo y exponencial se elabora un mapa conceptual. Ver fig. 8
Como se observa en el mapa conceptual tenemos como conocimientos básicos o
previos, identificación de base y exponente, potenciación radicación, teoría de los
exponentes y notación científica, para la conceptualización de logaritmo, la que da
origen a la forma exponencial y logarítmica de un número, así como, la
transformación de una a otra forma.
CAPÍTULO V SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO
71
FIGURA 8 MAPA CONCEPTUAL DE LOGARITMO
De la forma logarítmica se desprende el cálculo del logaritmo de un número
y operaciones como multiplicación, división, potenciación y radicación aplicando
las propiedades de los logaritmos, y con todo este cumulo de conocimientos
poder resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Cabe hacer mención que el mapa se refiere únicamente a los
conocimientos adquiridos hasta nivel medio superior, porque como ya se explicó
en la parte epistemológica, las aplicaciones de los logaritmos se encuentran en
matemáticas avanzadas, y otras ciencias como física, química, biología, etc.
5.1.2 Modelo constructivista de saberes del concepto logaritmo
Utilizando la teoría constructivista, para determinar el orden en que la red
de conocimientos se va conectando, se considera, primeramente la base y
CAPÍTULO V SABERES PREVIOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE LOGARITMO
72
exponente, posteriormente potenciación, teoría de los exponentes, notación
científica y radicación, como, los conocimientos básicos necesarios para
comprender el concepto de logaritmo, y con ellos la forma exponencial y
logarítmica de un número, realizar cálculos de logaritmos y aplicar las
propiedades a la resolución de operaciones y solución de problemas. Se trata de
jerarquizar los conocimientos de acuerdo a un acercamiento constructivista del
aprendizaje de los logaritmos, para establecer un modelo de enseñanza y se
pueda comparar contra los programas de estudio.
Orden Conceptos
10 Solución de problemas
9 Propiedades
8 Cálculos
7 Formas exponencial y logarítmica
6 Logaritmos
5 Radicación
4 Notación científica
3 Teoría de exponentes
2 Potenciación
1 Base y exponente
Tabla 9 MODELO CONSTRUCTIVISTA DEL CONCEPTO LOGARITMO
CAPÍTULO VI
INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL
CURRÍCULUM ESCOLAR
El capítulo trata de la investigación documental acerca de la presencia de los
saberes previos sobre logaritmos y de los propios logaritmos en el currículo de secundaria,
bachillerato y nivel superior, con el propósito de indagar acerca del fenómeno de la
exclusión y/o envejecimiento de dichos saberes.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
74
6.1 Investigación y análisis de los programas de estudio y libros de texto acerca de los logaritmos
6.1.1 Investigación y análisis de programas de matemáticas en nivel medio básico
Como ya se dijo, los programas de estudio vigentes desde la creación del
nivel secundaria hasta la fecha, casi no han sufrido cambios, y en lo que respecta
a los programas de matemáticas, éstos han sido unos cuantos. Para el análisis se
consideraran los dos últimos, el programa de 1993 hasta 2005 y el vigente desde
2006 hasta la fecha.
Dentro de este nivel existen diversas modalidades de estudio, como:
� Secundaria General
� Telesecundaria
� Secundaria Técnica
� Secundaria para Trabajadores, entre otras.
Sin embargo los planes de estudio son básicamente los mismos.
Programa de Matemáticas para nivel secundaria de 1993 a 2005.
La reforma de los programas 1993 inicia en 2001 y aplica hasta 2006.
(Proyecto Piloto de Articulación del Sistema Educativo en Ixmiquilpan,
Hidalgo,2001), razón por la cual los programas vigentes en 1993 aplican hasta
2005. Estos programas están desarrollados en cinco áreas que se estudiarán a lo
largo de los tres grados, a saber:
1. Aritmética:
2. Álgebra
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
75
3. Geometría (con Trigonometría a partir del tercer grado)
4. Presentación y tratamiento de la información.
5. Nociones de Probabilidad.
El propósito general que marcan los programas es: “El desarrollo de las
habilidades operatorias, comunicativas y de descubrimiento de los alumnos”. Y
para lograrlo deben desarrollar las capacidades:
• Adquirir seguridad y destreza en el empleo de las técnicas y
procedimientos básicos a través de la solución de problemas.
• Reconocer y analizar los distintos aspectos que comprende un problema.
• Elaborar conjeturas, comunicarlas y validarlas.
• Reconocer situaciones análogas (es decir que, desde un punto de vista
matemático, tienen una estructura equivalente).
• Escoger o adaptar la estrategia adecuada para la resolución de un
problema.
• Comunicar estrategias, procedimientos y resultados de manera clara y
concisa.
• Predecir y generalizar resultados.
• Desarrollar gradualmente el razonamiento deductivo.
Otro propósito señalado en los programas es “que el alumno aprenda a
utilizar las matemáticas para solucionar problemas, no solamente los que se
resuelven con los conocimientos y técnicas aprendidas en la escuela, sino también
aquellos cuyo descubrimiento y solución requieren de la curiosidad e imaginación
creativa”.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
76
Lo que se pretende es que el estudiante relacione los diversos
conocimientos matemáticos y los aplique además de practicarlos continuamente.
1. Aritmética: se le otorga gran importancia al manejo de los números con
decimales y/o fracciones y el manejo inteligente de la calculadora,
aunque no aclara como ha de lograrse esto último.
2. Álgebra: revisar las reglas de escritura algebraica y trabajar con
ecuaciones lineales, utilizando el plano cartesiano para que la solución
sea razonada y visualizada de forma concreta.
3. Geometría: tema al que se le concede gran importancia sin que se caiga
demasiado pronto en el razonamiento deductivo propio de las
demostraciones, que requieren de una mayor profundidad del
conocimiento que además requiere de la madurez que se obtiene a
través del tiempo.
4. Trigonometría: se plantea solamente abordar el uso de las razones
trigonométricas para resolver problemas típicos sobre distancias.
5. Estadística y Probabilidad: se plantea la organización y representación
de datos en gráficas de barra o línea, así como el cálculo de las medidas
de tendencia central empleando las fórmulas correspondientes. En lo
relativo a probabilidad, conteo aplicando la regla del producto y utilizando
la simulación para calcular probabilidades de eventos.
A continuación una breve descripción temática de los cursos de
matemáticas en secundaria.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
77
Aritmética Álgebra Geometría
• Números naturales y operacionales.
• Decimales
• Fracciones
• Proporciones
• Números enteros
• Prealgebra
• Iniciación al lenguaje algebraico
• Ecuaciones lineales
• Plano cartesiano
• Sistema de ecuaciones lineales
• Operaciones con polinomios
• Productos notables y factorización
• Ecuaciones de segundo grado
• Trazos geométricos
• Simetrías
• Áreas y perímetros
• Volúmenes
• Teorema básico de geometría
Tabla 10 CONTENIDO DE LAS ÁREAS DE MATEMÁTICAS DE LOS PROGRAMAS
1993-2005 DE NIVEL MEDIO BÁSICO
Cabe hacer mención que en estos programas desaparecen los temas de
Lógica de conjuntos, así como el énfasis puesto por los programas anteriores en
las propiedades estructurales de los diferentes dominios numéricos. También se
abandona el tratamiento conjuntista de la probabilidad.(Programa de Matemáticas
para secundaria 1993).
Trigonometría Estadística Probabilidad
• Razones
Trigonométricas
• Teorema de Pitágoras
• Resolución de
triángulos rectángulos
• Datos agrupados
• Medidas de tendencia
central
• Equivalencia de figuras
• Círculos
• semejanza
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
78
Programa de Matemáticas para secundaria 2006.
En los programas de 1993 los contenidos temáticos se agrupan de diferente
manera para primaria y secundaria, por esta razón la reforma educativa de 2006
propone tres ejes temáticos y establece la continuidad de ellos desde preescolar o
primero de primaria hasta culminar la secundaria, dichos ejes temáticos son:
a) “Sentido numérico y pensamiento algebraico”
b) “Forma, espacio y medida”
c) “Manejo de la información”
Dando origen a la distribución de conceptos básicos por eje, subtema y
grado en la educación secundaria.
Sentido numérico y
pensamiento algebraico
Secundaria
1° 2° 3°
Sig
nif
icad
o y
uso
de
los
nú
mer
os
Números naturales
Análisis comparativo de distintos sistemas de numeración, según sus propiedades y su evolución histórica
Números fraccionarios y decimales.
Interpretación del significado.
Representaciones equivalentes.
Representación en la recta numérica, a partir de distintas informaciones.
Comparación y orden
Números con signo
Interpretación y uso en distintos contextos.
Representación en la recta numérica, a partir de distintas informaciones.
Comparación y orden.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
79
Sig
nif
icad
o y
uso
de
las
op
erac
ion
es
Problemas aditivos
Significado de la adición y sustracción de números decimales y fraccionarios.
Significado de la adición y sustracción de números con signo.
Algoritmos de la adición y sustracción con números fraccionarios y decimales
Significado de la adición y sustracción con expresiones algebraicas.
Algoritmos para sumar y restar polinomios.
Problemas multiplicativos.
Significado de la multiplicación y división de números decimales y fraccionarios.
Algoritmo de la multiplicación y división con números fraccionarios y decimales
Significado de la multiplicación y división de números con signo
Significado de la multiplicación y división de expresiones algebraicas
Algoritmo para multiplicar y dividir polinomios
Potenciación radicación
Significado de elevar a una potencia, un número cualquiera diferente de cero.
Cálculo de potencias con exponente natural.
Significado de extraer una raíz a números naturales y decimales.
Cálculo de la raíz cuadrada por diversos métodos.
Productos y cocientes de potencias de la misma base, potencia de una potencia.
Exponentes negativos.
Notación científica.
Operaciones combinadas
Expresiones algebraicas equivalentes.
Jerarquía de operaciones. Uso de paréntesis.
Algoritmos para factorizar expresiones algebraicas y efectuar o simplificar cálculos
Sig
nif
icad
o y
u
so d
e la
s
Patrones y fórmulas
Obtención de reglas de sucesiones numéricas y figurativas.
Interpretación de fórmulas geométricas
Construcción de sucesiones de números con signo, a partir de una regla dada y obtención de la regla
Deducción de una expresión algebraica, para definir el enésimo término de una sucesión numérica o
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
80
que genera la sucesión. figurativa.
Ecuaciones Resolución de ecuaciones de primer grado de la forma
x + a = b
ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales
Resolución de problemas mediante ecuaciones primer grado de la forma
Ax + bx + c = dx + ex + f
Aplicando las propiedades de la igualdad.
Resolución de ecuaciones con paréntesis. Resolución de problemas utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales.
Resolución de problemas mediante ecuaciones cuadráticas.
Planteamiento de la ecuación lineal, cuadrática o sistema de ecuaciones que resuelve un problema dado.
Relación funcional
Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales con parámetros enteros
Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones lineales.
Uso de tablas y expresiones algebraicas para representar e interpretar funciones cuadráticas.
Forma, espacio y medida
secundaria
1° 2° 3°
Fo
rmas
geo
mét
rica
s
Figuras planas
Construcción de polígonos regulares
Criterios de congruencia de triángulos.
Características de figuras que recubren el plano
Aplicaciones de la congruencia de triángulos.
Rectas y ángulos
Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo
Mediatrices, medianas, alturas y bisectrices en triángulos; propiedades y construcción.
Diferentes tipos de ángulos y sus propiedades.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia, y de circunferencias entre sí.
Ángulo central y ángulo inscrito de una circunferencia.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
81
Semejanza Semejanza de figuras.
Criterios de semejanza de triángulos y su aplicación al resolver problemas.
Estudio del teorema de Tales
Cuerpos geométricos
Cubos, prismas y pirámides.
Elementos y propiedades.
Desarrollos planos.
Cuerpos generados por deslizamientos y por revolución.
Formas generadas al hacer cortes en un cuerpo geométrico.
Cuerpos con caras curvas (esferas, conos y cilindros); desarrollos planos; elementos y propiedades.
Secciones planas en cilindros, esfera y conos.
Med
ida
Estimar, medir y calcular
Perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y círculo.
Conversión de unidades de medida
Estimación, medición y cálculo de ángulos.
Equivalencias en el sistema sexagesimal.
Volumen de cubos, prisma y pirámides.
Equivalencia entre unidades de volumen y capacidad.
Cálculo del área total o parcial de cuerpos geométricos.
Cálculo de ángulos inscritos y centrales, arcos, sectores circulares y corona circular.
Volumen de cilindros y conos.
Aplicación del teorema de Pitágoras.
Razones trigonométricas.
Resolución de triángulos rectángulos.
Justificación de fórmulas
Significado de fórmulas geométricas.
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares y círculo.
Justificación de la fórmula de la suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera.
Justificación de las fórmulas de volumen de cubos, prismas paralelepípedos rectos y pirámides.
Justificación de las fórmulas de volumen de cilindros y conos .
Significado de las razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
T rMovimientos Simetría axial; Traslación y rotación de Homotecia;
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
82
en el plano propiedades.
Clasificación de figuras utilizando la simetría axial.
figuras; propiedades.
Diseños que combinan la simetría axial y la central, la rotación y traslación de figuras.
propiedades.
Manejo de la información
secundaria
1° 2° 3°
An
ális
is d
e la
info
rmac
ión
Relaciones de proporcionalidad
Aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad.
Reparto proporcional
Proporcionalidad directa; propiedades, expresión algebraica y gráfica.
Proporcionalidad inversa.
Cálculo del factor inverso.
Proporcionalidad múltiple.
Relaciones de proporcionalidad y función lineal.
Comparación de razones.
Porcentaje. Cálculo y expresión en forma decimal y fraccionaria .
Porcentajes mayores del 100%
Índices.
Noción de probabilidad
Espacio muestral.
Estimación de probabilidades.
Probabilidad clásica.
Comparación de probabilidades. Juegos equitativos o no equitativos.
Cálculo de la probabilidad de eventos independientes.
Cálculo de la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes.
Simulación: urnas de Bernoulli
Rep
rese
Diagramas - tablas
Tablas de frecuencia absoluta y relativa.
Representación tabular de funciones lineales.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
83
Arreglos rectangulares, diagramas de Carroll y de árbol en problemas de conteo .
Arreglos rectangulares y diagramas de Venn, en problemas de conteo.
Combinación, permutación y variación.
gráficas Gráficas de línea, de barras y circulares.
Polígonos de frecuencia.
Gráficas de línea de datos que varían con el tiempo.
Análisis de los parámetros m y b en las gráficas de función lineal.
Gráficas de segmento de línea.
Gráficas de sistemas de ecuaciones lineales.
Gráficas de tipo caja-brazos.
Gráficas de funciones lineales; razón de cambio.
Análisis gráfico de funciones cuadráticas cúbicas y racionales.
Gráfica de crecimiento aritmético o lineal, y geométrico o exponencial.
Gráficas de secciones rectas y curvas de fenómenos de movimiento.
Medidas de tendencia central y
dispersión
Comparación del comportamiento de dos conjuntos de datos, a partir de sus medidas de tendencia central.
Cálculo de las medidas de tendencia central en datos agrupados.
Análisis de la distribución de los datos de una población, en gráficas de caja-brazos, con base en las medidas de tendencia central y de dispersión.
TABLA 11 PROGRAMA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICAS PARA NIVEL
MEDIO BÁSICO 2006
Como se puede observar, en los programas tanto de 1993 como en el
modificado de 2006, no aparece el tema logaritmos, lo que podría ser un pequeño
acercamiento al tema logaritmos es la gráfica de crecimiento exponencial,
estudiada en tercer grado, aunque el enfoque es establecer una comparación con
una gráfica de crecimiento lineal y no establece un comparativo con la gráfica de
una función logarítmica, por lo tanto, en los programas de matemáticas nivel
secundaria no se aborda el tema logaritmos.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
84
En cuanto a los conocimientos previos para el aprendizaje de los logaritmos
están presentes potenciación, radicación y notación científica, no están
explicitados base y exponente, pero se consideran inmersos en potenciación,
tampoco está la teoría de los exponentes, pero algunos de sus temas se estudian
en potenciación, radicación y notación científica, exceptuando exponente cero.
Para precisar un poco más se realizará un análisis de libros de texto gratuitos para
telesecundarias, porque el examen diagnóstico fue realizado en una
telesecundaria, pero además, debe considerarse que los programas son los
mismos en todo el nivel medio básico y los textos gratuitos son para todo tipo de
secundaria.
Análisis de los libros de texto para nivel medio básico
Se realizó el análisis de los libros de matemáticas utilizados en
telesecundaria los cuales fueron elaborados en la coordinación de informática
educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE).
Matemáticas I, tomo I se estudia, sistemas de numeración, fracciones en la
recta numérica, sucesiones de números, geometría, simetría, expresiones
algebraicas, proporcionalidad, adición, multiplicación y división de fracciones y
números decimales, mediatriz, bisectriz y polígonos regulares, además fórmulas
para calcular perímetros y áreas de polígonos regulares y constante de
proporcionalidad con aplicaciones.
En Matemáticas I, tomo II, se estudia división con números decimales,
ecuaciones de primer grado, áreas perímetros y porcentajes, tablas de frecuencia
grafica de barras circular y nociones de probabilidad, números con signo, potencia
y raíz cuadrada, circunferencia círculo y su área la constante pi, relaciones de
proporcionalidad, operaciones con signo, áreas de figuras planas gráficas, tablas y
expresiones algebraicas proporcionalidad inversa y medidas de tendencia central.
En Matemáticas II, tomo I, se estudian operaciones de números con signo,
jerarquía de las operaciones, expresiones algebraicas de modelos geométricos,
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
85
problemas de expresiones algebraicas con suma, multiplicación y división de
polinomios, proporcionalidad directa e inversa algunos temas de geometría plana,
conteo, polígono de frecuencias y medidas de tendencia central.
En el tomo II, sucesiones de números con signo, aunque son muy
elementales, ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, polígonos,
línea recta, triángulos congruentes, puntos y rectas notables de un triángulo,
simetría central, eventos independientes, mutuamente excluyentes y gráficas de
línea, lo más relevante para el tema logaritmos es potencias y notación científica,
en el cual se estudian productos de potencias con la misma base, potencias de
potencias, cocientes de potencias, exponentes negativos y notación científica, lo
que en realidad es teoría de los exponentes, sólo faltaría estudiar la potencia cero.
Matemáticas III tomo I, se tiene: congruencia de triángulos, cuadriláteros,
recta circunferencia ángulos semejanza de triángulos experimentos estadísticos,
ecuaciones no lineales, solución por factorización, razón de cambio y productos
notables, de este libro lo rescatable en cuanto al tema investigado es la práctica
con productos notables.
En Matemáticas III tomo II, relaciones funcionales y expresiones
algebraicas, gráficas, características de gráficas no lineales, gráficas por pedazos,
resolución de ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones, teorema de Tales,
figuras homotéticas, diferencias en sucesiones, teorema de Pitágoras, razones
trigonométricas, crecimiento exponencial y lineal, representación de la
información, cono, cilindro y su volumen, gráfica cajabrazos.
En este último tomo se tiene el acercamiento más importante a los
logaritmos dado que se estudia el crecimiento exponencial de base 2 y lo compara
con un crecimiento lineal, se ejercita en identificar un crecimiento exponencial, lo
ejemplifica mediante un crecimiento bacterial y el interés compuesto, asociándolo
a su gráfica, la práctica lleva al estudiante a descubrir que el crecimiento
exponencial es mayor que el lineal, se estudia la depreciación como un
decrecimiento exponencial identificando su gráfica.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
86
El análisis de los programas de matemáticas de nivel medio básico y los
libros para su aprendizaje, demuestra que éstos últimos se apegan a los
programas correspondientes, y el tema logaritmos no aparece en los programas y
tampoco en los libros de matemáticas empleados para su estudio.
6.1.2 Análisis de programas de matemáticas de nivel medio superior
En el nivel medio superior la asignatura de matemáticas se estructura de
acuerdo a su desarrollo y grado de complejidad, de forma clásica, como se
muestra:
1. Aritmética
2. Álgebra
3. Geometría
4. Trigonometría
5. Geometría Analítica
6. Cálculo Diferencial
7. Cálculo Integral
Ahora bien esta estructura no ha permanecido intacta, por el contrario ha
sufrido cambios en los temas vistos de cada rama ya que, se han adecuado a las
aplicaciones científicas y tecnológicas vigentes, y a los perfiles de egreso de cada
subsistema, pues en algunos casos este nivel se enfoca, en darle al estudiante los
elementos necesarios para decidir qué carrera ha de estudiar, entonces, la
preparación es multidisciplinaria, en otros casos, este nivel se concibe como un
elemento de formación profesional a nivel técnico, y la matemática que se enseña
es específica y apropiada a la carrera técnica que se estudia.
En términos generales, las matemáticas en el nivel medio superior se
enfocan, para lograr en el estudiante, la habilidad de describir situaciones
concretas, mediante algoritmos, así como, una formación que le permita acceder a
la educación de nivel superior.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
87
Los programas aplicados por los diversos subsistemas de nivel medio
superior de 1993 a 2001 se sintetizan en la siguiente tabla.
TABLA 12 PROGRAMAS APLICADOS AL SUBSISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 1993-2005
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
88
En términos generales los temas de cada asignatura de la tabla anterior son
los siguientes.
Aritmética Álgebra Geometría y Trigonometría
• Sistemas numéricos
• Números reales
• Razones y proporciones
• Lenguaje Algebraico
• Monomios y polinomios
• Fracciones algebraicas
• Ecuaciones lineales
• Ecuaciones lineales (sistemas)
• Ecuaciones cuadráticas
• Inecuaciones
• Productos notables y factorización
• Potencias y raíces
• Resolución de problemas.
• Funciones
• Logaritmos
• Conceptos básicos
• Recta
• Ángulos
• Triángulos
• Polígonos
• Círculos
• Sólidos
• Áreas y perímetros
• Funciones trigonométricas
• Círculo trigonométrico
• Teorema de Pitágoras
• Identidades trigonométricas
• Resolución de triángulos
a) Rectángulos b) Oblicuángulos
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
89
Geometría Analítica Precálculo Cálculo Diferencial
• Sistemas
Coordenados
• Distancia entre puntos
• División de un
segmento
• Área de polígonos
• Lugar geométrico
• Línea recta
• Circunferencia
• Parábola
• Elipse
• hipérbola
• Graficación
• Variación gráfica
• Lugares geométricos
• Funciones algebraicas
y trascendentes
• Producto Cartesiano
• Operaciones con
funciones
• Límites y continuidad
• Números reales
• Desigualdades
• Sucesiones y series
• Funciones y sus
gráficas
• Límites y continuidad
• Conocimiento intuitivo
de la derivada
• Derivada
• Fórmulas (algebraicas
y trascendentes)
• Aplicaciones
• Puntos críticos y de
inflexión
• Máximos y mínimos.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
90
Cálculo Integral Estadística y
Probabilidad
Matemáticas
Financieras
• Diferencial
• Integral indefinida
• Integral directa
• Métodos de
integración
• Integración definida
• Área bajo la curva
• aplicaciones
• Estadística descriptiva
• Manejo de da datos y
graficación
• Medidas de tendencia
central
• Medidas de dispersión
• Teoremas de
probabilidad
• Conteo
• Distribución de
probabilidad normal
• Razones y
proporciones
• Porcentaje
• Interés simple
• Interés compuesto
• Interés sobre saldos
• Anualidades
• Introducción a la
investigación de
operaciones.
TABLA 13 CONTENIDO TEMÁTICO DE LOS PROGRAMAS DEL SUBSISTEMA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 1993-2005
Revisando el contenido de los programas el tema de logaritmos aparece en
la asignatura de Álgebra como el último tema y en la asignatura de Pre cálculo
aparecen las funciones trascedentes, dentro de las cuales se encuentran las
funciones logarítmicas y exponenciales, sin embargo en los programas de
bachillerato 2005 - 2008 el tema logaritmos se estudia después del tema función
exponencial y logarítmica, en el programa de matemáticas IV, como se puede
apreciar en el siguiente apartado tomado del programa de estudios.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
91
Contenido
Objetivos temáticos
4.1. Función exponencial Resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones exponenciales o logarítmicas utilizando su interrelación como funciones inversas y sus propiedades tanto gráficas como algebraicas.
4.1.1.Concepto de función exponencial • Notación • Dominio y rango • Crecimiento y decaimiento
exponencial
4.1.2. Variación exponencial • Valores de x y razones
constantes de la función • Obtención de la función
algebraica correspondiente • Taza y función de
crecimiento
4.1.3. El numero e • Caracterización e importancia • Función exponencial natural
TABLA 14 PROGRAMA 2005 DE MATEMÁTICAS IV FUNCIÓN EXPONENCIAL
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
92
Contenido Objetivos temáticos
4.2. Función logarítmica Resolverá problemas teóricos o prácticos susceptibles de modelarse mediante funciones logarítmicas utilizando su relación de función inversa de la función exponencial, sus propiedades gráficas y algebraicas y la simplificación de operaciones y expresiones con exponentes y logaritmos.
4.2.1.Concepto de función logarítmica • Logaritmo de un número. • Función logaritmo como
inversa de la función exponencial
• Grafica de la función logarítmica
• Dominio y Rango.
4.2.2. Logaritmos comunes y naturales. • Definición y propiedades • Operación con logaritmos • Cambio de base
4.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas. • Métodos de resolución
algebraica.
Resolverá ecuaciones simples que contengan expresiones logarítmicas y exponenciales aplicando las propiedades de exponentes y logaritmos y su relación como operaciones inversas.
TABLA 15 PROGRAMA 2005 DE MATEMÁTICAS IV FUNCIÓN LOGARÍTMICA
En el programa se observa que el primer tema se refiere a la función
exponencial, la cual vista de ese modo se descontextualiza del tema logaritmos y
su relación inversa con ellos, sin embargo, el objetivo temático marca la utilización
de la función exponencial o logarítmica para modelar situaciones problemáticas,
sin que ésta última haya sido vista, ya que, se estudia después. En el segundo
apartado se aborda la función logarítmica y su relación con la exponencial,
posteriormente logaritmo concepto, cálculo, propiedades, es decir primero se
estudia la función logarítmica y su relación con la exponencial sin que medie el
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
93
estudio de logaritmo, ya que éste se ve después, junto con sus propiedades y
calculo (da la impresión que es más importante que el estudiante mecanice como
graficar la función que la función misma), por último se aborda el tema de
ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
De acuerdo al mapa conceptual sobre la construcción del concepto
logaritmo, la función exponencial para su aprendizaje requiere de los objetos
matemáticos, logaritmo y exponencial, como conocimientos previos.
Para que el logaritmo y la exponencial, se consideren objetos matemáticos,
la teoría APOE, establece que se tiene que interactuar con ellos, hasta que se
reconozca el proceso de transformación, es decir, es necesario calcular logaritmos
y convertirlos a la forma exponencial, las veces que sea necesario hasta que el
estudiante pueda realizar este proceso sin ninguna duda, y así ser encapsulado y
guardado en su red cognitiva como objeto matemático, para que, cuando el
proceso sea requerido se desencapsule y aplique. Retomando, para comprender
el comportamiento de la función exponencial o logarítmica, es necesario utilizar
estos objetos matemáticos, los cuales, si es que llegan a implantarse como tales,
serán vistos después del estudio de las funciones mencionadas.
Recuérdese que los programas del nivel anterior no contenían el tema
logaritmos, así es que, el estudiante no tiene idea de ellos, entonces
didácticamente es muy difícil que el estudiante entienda realmente esta función y
casi imposible que la pueda aplicar para resolver problemas.
El estudiante enfrenta la función exponencial con el único antecedente de
crecimiento exponencial visto en secundaria (después de un lapso de 2 años),
pero dado el tiempo transcurrido, no se sabe, que tanto recuerda del tema, para
que se considere guardado como un objeto matemático, así mismo no ha tenido
contacto con el número e no sabe que significa ni qué valor tiene y más aún ni
siquiera tiene idea de cómo obtener su valor con la calculadora. El aprendizaje de
esta función trae consigo aprender e interactuar con nuevos y antiguos
conocimientos, pero la interactuación no se presenta en el sentido didáctico de la
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
94
construcción del conocimiento, lo que dificulta su aprendizaje, incluso puede
resultar que éste, no sea significativo para el estudiante porque los conocimientos
básicos apenas están siendo asimilados y acomodados en su mente.
En cuanto a la función logarítmica ocurre lo mismo que en la exponencial, el
estudiante calcula logaritmos ayudado de la calculadora, sin tener idea de qué es
un logaritmo y todo se reduce a una operación mecánica sin sentido, ya que, el
programa introduce el cálculo de logaritmos, para abordar la función logarítmica, y
el tema siguiente es concepto, cálculo y propiedades de los logaritmos (la parte
mecánica del cálculo de la función prevalece sobre su comprensión),
En lo que se refiere a la articulación de saberes, la función exponencial y
logarítmica no tiene ningún conocimiento previo que las articule con su red
cognitiva, este conocimiento es nuevo y queda aislado de dicha red.
Por otro lado, para que el estudiante resuelva ecuaciones exponenciales y
logarítmicas, necesita tener bien identificado como pasar una función logarítmica a
su inversa la exponencial y viceversa (como objetos matemáticos), además de la
aplicación de las propiedades de los logaritmos, lo cual no se ve reflejado en el
programa, porque en el contenido, marca cálculo de logaritmos, pero, en el
objetivo solamente solución de ecuaciones.
A partir del ciclo escolar 2009 – 2010 la Dirección General de Bachillerato,
incorporó en su plan de estudios, los principios básicos de la Reforma Integral de
la Educación Media Superior (RIEMS), con el propósito de fortalecer y consolidar
la identidad de este nivel educativo en todas su modalidades y subsistemas;
proporcionar una educación pertinente y relevante al estudiante que le permita
relacionar su educación escolar y el entorno, así como, el tránsito académico a los
diversos subsistemas y escuelas, teniendo como eje principal un Marco Curricular
común en todas las instituciones de bachillerato que promueve el desarrollo de
competencias.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
95
A través de este marco el estudiante debe desarrollar competencias
genéricas aplicables a diversos contextos, competencias disciplinares para
participar en la sociedad del conocimiento y continuar con sus estudios superiores
y por último debe desarrollar capacidades específicas mediante las competencias
profesionales para su posible inserción laboral.
En este último plan de estudios 2009 – 2011 existe un tronco común en los
cuatro primeros semestres, posteriormente en 5° semestre hay una formación
propedéutica y por último en 6° semestre se tiene una formación profesional.
PLAN DE ESTUDIOS DE MATEMÁTICAS 2009 – 2011 (TRONCO COMÚN)
MATEMÁTICAS I
BLOQUE TEMA
I Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
II Utilizas magnitudes y números reales
III Realizas sumas y sucesiones de números
IV Realizas transformaciones algebraicas I
V Realizas transformaciones algebraicas II
VI Resuelves ecuaciones lineales I
VII Resuelves ecuaciones lineales II
VIII Resuelves ecuaciones lineales III
IX Resuelves ecuaciones cuadráticas I
X Resuelves ecuaciones cuadráticas II
TABLA 15 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS I
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
96
Como se puede apreciar en este programa se estudian algunas relaciones
de números, así como ecuaciones lineales y cuadráticas, pero nada relacionado
con logaritmos o forma exponencial del logaritmo.
MATEMÁTICAS II
BLOQUE TEMA
I Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas.
II Comprendes la congruencia de triángulos.
III Resuelves problemas de semejanza de triángulos y Teorema de Pitágoras.
IV Reconoces las propiedades de los polígonos.
V Reconoces las propiedades de la circunferencia.
VI Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos
VII Aplicas las funciones trigonométricas.
VIII Aplicas las leyes de los senos y cosenos.
IX Aplicas la estadística elemental.
X Empleas los conceptos elementales de la probabilidad.
TABLA 16 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS II
En matemáticas II el estudio es sobre geometría plana y trigonometría, de
ésta última las relaciones trigonométricas y su aplicación sin considerar las
funciones trascendentes donde se ubica la función logarítmica y exponencial.
En tanto que, en matemáticas III se estudia geometría analítica,
específicamente los lugares geométricos, recta, circunferencia, parábola y elipse.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
97
MATEMÁTICAS III
BLOQUE TEMA
I Reconoces lugares geométricos
II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos
III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico.
IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta.
V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia.
VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola
VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse.
TABLA 17 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS III
MATEMÁTICAS IV
BLOQUE TEMA
I Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones.
II Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas.
III Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos.
IV Utilizas funciones polinomiales de grado tres y cuatro.
V Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas.
VI Aplicas funciones racionales.
VII Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas.
VIII Aplicas funciones periódicas.
TABLA 18 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS IV
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
98
En este nuevo plan de estudios se encuentra el tema función logarítmica y
exponencial en matemáticas IV en el bloque VII titulado Utiliza Funciones
Exponenciales y Logarítmicas. Para realizar un análisis del tema se presenta el
bloque en cuestión:
UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
OBJETOS DE APRENDIZAJE COMPETENCIAS A DESARROLLAR
• Función exponencial • Función logarítmica • Gráfica de la función
exponencial y logarítmica • Propiedades de los
exponentes • Propiedades de los
logaritmos • Cambio de una expresión
exponencial a una logarítmica y viceversa
• Ecuaciones exponenciales • Ecuaciones logarítmicas
• Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
• Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
• Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. • Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. • Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y
la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales
• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso delas tecnologías de la información y comunicación.
• Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.
• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean
• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
99
Actividades de Enseñanza
Actividades de Aprendizaje
Instrumentos de Evaluación
Explicar, con los medios o materiales didácticos que se disponga, el campo de aplicación de las funciones exponenciales y logarítmicas, así mismo describir brevemente las propiedades de estas últimas. Solicitar a los estudiantes elaboren un resumen de las propiedades de los exponentes y los logaritmos.
Investigar y resumir las propiedades de los exponentes y los logaritmos. Tabular una función exponencial considerando algunos elementos de su dominio.
Rúbrica para efectuar una autoevaluación de ejercicios de descripción de las funciones y las tablas con sus respectivos dominios y contradominios.
Elaborar una relación de algunas situaciones en las cuales se presenta el comportamiento de crecimiento exponencial de un fenómeno determinado. Solicitar a los alumnos y alumnas un listado de situaciones de la vida cotidiana que suceden en su hogar, comunidad, industria, naturaleza, etc., donde se manifiesten fenómenos que pueden ser descritos con funciones exponenciales o logarítmicas.
Indagar y elaborar una lista describiendo aquellas situaciones o fenómenos en los que se puede observar comportamientos exponenciales o logarítmicos y que por lo tanto se pueden representar por funciones de esos tipos.
Lista de cotejo para efectuar una Coevaluaciòn con criterios suficientes para revisar los listados y descripciones de las situaciones o fenómenos con carácter exponencial o logarítmico. Anexar en la lista de cotejo componentes para evaluar aspectos actitudinales y de valores, como son puntualidad, responsabilidad, respeto entre otros.
Elaborar una presentación, con los recursos a su alcance, sobre la tabulación y gráficas de funciones exponenciales con diferentes bases empleando alguna graficadora o en su defecto en pizarrón. Pedir a los alumnos y alumnas que formen equipos y construyan las tablas y gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Organizar equipos y representar gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas haciendo notar que ambas funciones son inversas.
Rúbrica para realizar una coevaluación de la tabulación y graficación de las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo en su escala la valoración del trabajo colaborativo, la iniciativa personal en el aprendizaje propio y el respeto entre géneros
Seleccionar algunos ejercicios para realizar el cambio de forma exponencial a la logarítmica y viceversa. Proponer una lista de problemas tipo sobre el cálculo de interés compuesto, crecimiento poblacional, depreciación. Elaborar una relación de problemas tipo, cuyo modelo matemático corresponda a funciones logarítmicas o exponenciales.
Resolver ejercicios donde cambia de la forma exponencial a la logarítmica y viceversa. Resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Resolver, en equipos, problemas de interés compuesto, crecimiento o decrecimiento poblacional, depreciación, etc.
Lista de verificación para efectuar una auto evaluación de las transformaciones realizadas en funciones logarítmicas y exponenciales. Rúbrica para realizar una coevaluación de la solución de problemas, incluyendo en su escala la valoración del trabajo colaborativo, la iniciativa propia en el aprendizaje y el respeto entre géneros.
TABLA 19 PROGRAMA DE MATEMÁTICAS IV BLOQUE VII
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
100
Como se recordará en el análisis realizado a secundaria se encontró que, el
tema logaritmos fue excluido del currículo, y de acuerdo al programa vigente, se
inicia este bloque con el estudio de la función exponencial, por tanto, este
conocimiento no está articulado con otros conocimientos, ya que, los logaritmos y
la exponencial son el conocimiento previo, para el estudio de la función y no han
sido estudiados. Considerando la teoría del constructivismo, este saber no puede
ser acomodado dentro de la red cognitiva por la falta de conocimientos previos,
ahora bien, Vygotsky dice que el cambio cognitivo se da en la zona de desarrollo
próximo, y esta zona no existe, por tal razón aunque la interacción interpersonal
con los demás estudiantes y el profesor se haya dado, este conocimiento queda
aislado y no será significativo porque no está relacionado con otro que ya posea
de acuerdo con la teoría de Ausubel.
Para mostrar que conocimientos debe tener el estudiante y como son
utilizados dentro de la función exponencial o logarítmica, se presenta el desarrollo
de estas funciones:
La función exponencial y logarítmica se forma a raíz de la invención de los
logaritmos y con ellos expresar una cantidad en forma exponencial o su inversa
en forma logarítmica, dado que una implica a la otra, es decir,
Forma exponencial 2w = 32
Su inversa ?@AK32 = 5 forma logarítmica
Las funciones nacen de esta concepción y la inclusión de variables,
Función exponencial �Q = � su inversa
Función logarítmica / = ?@Ak� con notación funcional,
[�/ = �Q y su inversa [�/ = ?@Ak/
Función exponencial
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
101
Se le llama función exponencial, a la función cuya variable independiente
es el exponente de la base, y se denota como:
x = �( donde �yz
El comportamiento de la función exponencial no es el mismo, para una
base mayor de uno, que para una base menor de uno pero mayor que cero, por lo
que se realizará el análisis por separado.
Comportamiento de una función exponencial de base a, para a >1
f: R → R
FIGURA 9 FUNCIÓN EXPONENCIAL
f(x) = ax donde a ε R
Es una función creciente con las siguientes propiedades:
1) p��� / = 0, la función toma el valor de 1: [�0 = �8 = 1
2) p��� / = 1, la función toma el valor de �: [�1 = �7 = �
3) La función es positiva para cualquier valor de /: [�/ > 0 (la potencia de
cualquier base positiva es número positivo)
4) La función es creciente porque la base � > 1
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
102
5) Es una función continua.
El comportamiento de la función cambia para una base 0 < � < 1
La función es decreciente, y si la base es una fracción con numerador 1,
entonces:
[�/ = �Q, j` � = 12
[�/ = 4126
Q= 1Q
2Q = 12Q = 2�Q
Se convierte en una función de base � > 1, pero el exponente es negativo, y por
lo tanto, se comporta como una función decreciente, de forma contraria a la
función con exponente positivo que es creciente.
Las propiedades de una función [�/ = ��Q, son:
1) p��� / = 0, la función toma el valor de 1: [�0 = �8 = 1
2) p��� / = 1, la función toma el valor de �: [�1 = ��7 = 7k
3) La función es positiva para cualquier valor de /: [�/ > 0 (la potencia de
cualquier base positiva es un número positivo)
4) La función es decreciente porque la base � < 1
5) Es una función continua.
Función logaritmo
La función logarítmica de base � es aquella función que le asigna a cada
número su logaritmo en base �.
[�/ = ?@Ak /
La función logarítmica está definida en el conjunto de los números reales
positivos, exceptuando el cero (ya se explicó en la definición de logaritmo que los
números negativos y el cero no tienen logaritmo),
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
103
W[: z� − {0|, j`, z� − {0| = �0, +∞
W[: �0, +∞
?@Ak: z� − {0| → z
Para el análisis de la función logarítmica conviene distinguir entre bases
mayores que uno y menores que uno.
Función logarítmica con base � > 1
FIGURA 10 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
a) La función es creciente
b) El logaritmo de uno es cero: ?@Ak1 = 0
c) El logaritmo de la base es uno:?@Ak� = 1
d) El logaritmo de números entre 0 y 1 es negativo: ?@Ak7k = −1
e) Los números � > 1 tienen logaritmo positivo:
j`, ?@Ak1 = 0, �, � > 1, Y�i@�PYj, ?@Ak� > 0 Función logarítmica con base � < 1
a) La función es decreciente y continua
b) El logaritmo de uno es cero: ?@Ak1 = 0
c) El logaritmo de la base es uno:?@Ak� = 1
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
104
d) El logaritmo de números entre 0 y 1 es positivo, si son menores que la base
pero si son mayores que la base son negativos:
j` � < 1, Y�i@�PYj, �� < �, p@� ?@ i��i@, ?@Ak�� = �
pY�@, j` d > �, �, ��� = 1�� > �, Y�i@�PYj, ?@Ak d < 0
e) Los números � > 1 tienen logaritmo negativo:
j`, � < 1, Y�i@�PYj, 1� > 1, p@� ?@ i��i@, ?@Ak
1� = −1
Se ha dicho que la función exponencial es la inversa de la logarítmica y
viceversa, y para comprobar que una función es la inversa de otra basta con
intercambiar las variables independiente y dependiente en una de las dos
funciones y despejar la variable dependiente comprobando que se obtiene la otra
función.
x = g"h� (, `�iY�P�lO`���@ ���`�O?Yj, ( = g"h� x
�YjpYb���@ �, x = �(, �oY Yj ?� [o�P`ó� Y/p@�Y�P`�?
Graficando estas funciones se observa que son simétricas respecto de la
bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Ver fig. 11
Sean dos funciones f y g, donde f es la función exponencial y g la
logarítmica,
[�/ = �Q, �, A�/ = ?@Ak/
En la gráfica se puede apreciar que, f es reflexión de g, con respecto de la
recta y = x y a su vez g es reflexión de f respecto de la misma recta, lo que
demuestra que son inversas.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
105
FIGURA 11 FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL
Si dos funciones � x h son inversas, entonces el dominio de � es la imagen
de h, y el dominio de h es la imagen de �, para toda ( en el dominio
correspondiente.
Si, � = h��, y h es la función logarítmica con �h = �m, ∞
Entonces, z� = �m, ∞
La función logaritmo puede tener diversas bases, sin embargo las más
utilizadas son, x = ��� (, y x = g� ( cuyas bases son 10 y e respectivamente.
En el desarrollo presentado de las funciones logarítmica y exponencial se
observa que la noción logaritmo es utilizada como herramienta para el análisis de
las funciones, considerando la teoría de Douady (1995)
“Mediante su constructo teórico “dialéctica herramienta-objeto y juegos de
marcos o contextos” propone la comprensión de las implicaciones y
significados de aprender en situación escolar centrando su interés en el
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
106
aprendizaje dentro del aula y en el análisis de la micro sociedad alumno,
docente y saber matemático” en Ferrari (2001)
La dialéctica herramienta-objeto organiza los roles del profesor y del alumno
en tanto que, los conceptos matemáticos juegan alternativamente el papel de
“herramienta”, para resolver el problema de “objeto”, al tomar un lugar en la
construcción de un conocimiento organizado, entonces, un individuo aprende un
saber con su doble status, de herramienta y de objeto, y un profesor enseña
cuando crea las condiciones que producen, a la larga, en el alumno un saber.
La dualidad herramienta – objeto requiere, de acuerdo con la teoría APOE,
que la noción logaritmo sea sometida a una interacción, manipulación o
transformación repetida, que lo interioriza, de tal manera que el estudiante pueda
realizar dicha transformación sin llevar acabo todos los pasos, o bien en forma
mental, convirtiendo esta interacción en un proceso, el cual se encapsula para ser
guardado como un objeto matemático, en su red cognitiva, y así, cuando se
requiera realizar nuevamente el proceso, éste sea desencapsulado y utilizado
como herramienta.
En el estudio de las funciones exponencial y logarítmica se utiliza al
logaritmo como herramienta, y de acuerdo con Douady (1995), primero debe estar
instalado como objeto, para posteriormente ser utilizado como herramienta, pero
en los programas de secundaria, el estudio de los logaritmos ya no se contempla y
en bachillerato, ha desaparecido el cálculo con logaritmos, quedando solamente el
estudio de las funciones, entonces, no se puede convertir en objeto matemático,
un proceso que no se ha realizado, porque, la interacción con los logaritmos ha
desaparecido, de los programas de secundaria y bachillerato, eso deja entrever
que, con respecto a las funciones logarítmica y exponencial quedan muchas
preguntas sin respuesta, como:
¿Cómo sabe el estudiante que el g"h m = �?, porque es el resultado que
arroja la calculadora, pero este número no tiene significado, si la calculadora le
dijera 100 él lo creería porque no existe el análisis del concepto logaritmo,
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
107
solamente una función matemática cuyos resultados se obtienen en la calculadora
y por lo tanto es la que sabe el cálculo de dicha función y en consecuencia sus
resultados son correctos.
¿Cómo entender el comportamiento de la función logarítmica o exponencial
en un intervalo m < / < 1 ? nuevamente la respuesta es: la calculadora es la que
sabe el cálculo de la función en ese intervalo, y si, se diera un análisis,
probablemente, algo habrá de entender de esa función en ese intervalo.
Pero si se cambia la base de los logaritmos, de tal manera que no sea
�m " �, la calculadora no podrá ayudarlo, a menos que el profesor le indique como
teclear para calcularlo, y si la base es un número m < / < 1 la situación sale de su
entendimiento, aún con la ayuda de la calculadora.
Continuando con el análisis del programa, el cual marca, dentro de las
actividades de aprendizaje, que el estudiante debe buscar relaciones que se
puedan modelar empleando estas funciones, pero ¿Cómo ha de hacerlo? cuando
no ha tenido ningún contacto con el concepto logaritmo y la forma exponencial, es
más para efectuar transformaciones de la forma exponencial a la logarítmica y
viceversa, estudian primero la teoría de los exponentes y las propiedades de los
logaritmos, lo que resulta incongruente, siendo la teoría de los exponentes un
conocimiento básico, para la comprensión de los logaritmos y la exponencial, se
estudie después de las funciones, y que las propiedades de los mismos se
estudien sin que medie ni siquiera la idea de logaritmo, ni como se calcula porque
está implícito en la utilización de la calculadora, sin embargo con esta carencia de
saberes sobre los logaritmos, el estudiante debe lograr un conocimiento lo
suficientemente profundo, para poder distinguir problemas cuyas variables se
relacionen en forma exponencial o logarítmica y aplicar dichas funciones en su
solución. En lo que respecta a ecuaciones exponenciales y logarítmicas el
estudiante debe aplicar los saberes acerca de logaritmos para su solución, sin que
éstas hayan sido practicadas.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
108
En cuanto a los textos, se realizará el análisis de los mismos utilizados en el
bachillerato de DGETI, de acuerdo a la reforma curricular del 2004. Se eligió
realizar el análisis de estos libros porque fueron elaborados para el sistema con
base en sus programas de estudio, aunque no a la última reforma, sin embargo su
uso es vigente, al menos hasta el semestre junio-diciembre de 2011.
Análisis de los libros de texto para nivel medio superior de la
colección DGETI
Libro de Álgebra (María Teresa Sada García, 2005) maneja una
Introducción sobre conceptos fundamentales acerca de los números, que
comprende clases de números, jerarquía de las operaciones, propiedades de las
operaciones, operaciones con números enteros, con números racionales,
potenciación y radicación. Maneja dos capítulos.
Capítulo 1: Lenguaje Algebraico, .que comprende expresión algebraica,
lenguaje común y algebraico, términos semejantes, operaciones fundamentales
suma, resta, multiplicación, división de expresiones algebraicas, radicación de
monomios, productos notables, factorización y fracciones algebraicas.
Capítulo 2: Ecuaciones, igualdad, ecuaciones de primer grado, sistemas de
ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas e inecuaciones de primer grado con
una incógnita.
Libro de Geometría y Trigonometría (Szklars Zarska, Gutiérrez Carbajal,
2011), consta de tres capítulos:
Capítulo 1, Geometría Plana: Introducción a la geometría que comprende
antecedentes históricos, razonamiento lógico, axioma, teorema y corolario y
conceptos básicos de la geometría. Puntos, rectas y axiomas de la geometría
euclidiana que trata, puntos y rectas en un plano, semirrecta, segmento y su
medida, así como axioma del paralelismo, ángulos que estudia, ángulo y su
notación, medida sexagesimal de los ángulos, clasificación de los ángulos y
teoremas sobre ángulos. Triángulos y sus propiedades, que abarca elementos de
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
109
un triángulo y su notación, clasificación, propiedades y congruencia de triángulos,
rectas y puntos notables de un triángulo, proporcionalidad de segmentos y
teorema de Tales, semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras. Polígonos,
que trata: su notación, clasificación, diagonales y ángulos de los polígonos
convexos, clasificación y propiedades de los cuadriláteros, perímetro y área de
polígonos comunes. Circunferencia y círculo, que estudia: circunferencia, círculo y
sus elementos, ángulos y figuras relacionadas con la circunferencia y el círculo,
perímetro de la circunferencia, el número π, área del círculo.
Capítulo 2, Trigonometría: comprende, Introducción a la trigonometría,
Razones trigonométricas deducidas de un triángulo rectángulo, definición de razón
trigonométrica, concepto de función trigonométrica, valores exactos de las razones
trigonométricas y resolución de triángulos rectángulos. Funciones trigonométricas,
concepto de ángulo y su medición, funciones trigonométricas de ángulos, gráficas
de funciones trigonométricas, ley de senos y cosenos, resolución de triángulos
oblicuángulos. Identidades trigonométricas, identidades trigonométricas
fundamentales y sus aplicaciones, identidades trigonométricas de suma y resta de
ángulos identidades trigonométricas del doble y mitad de un ángulo.
Capítulo 3, Ecuaciones Trascendentes. Introducción a las ecuaciones
trascendentes. Ecuaciones trigonométricas, concepto y resolución de ecuaciones
trigonométricas. Ecuaciones exponenciales, concepto de ecuación exponencial y
resolución de ecuaciones exponenciales. Ecuaciones Logarítmicas, concepto de
logaritmo y sus propiedades, logaritmos comunes y logaritmos naturales, cálculos
simples con logaritmos empleando la calculadora y resolución de ecuaciones
logarítmicas.
En este último capítulo para abordar las ecuaciones exponenciales, el libro
primero realiza un breve estudio de potenciación y teoría de los exponentes para
utilizar como método de solución el expresar ambos miembros de la ecuación
como potencias de la misma base.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
110
Para el caso de las ecuaciones logarítmicas el tratamiento es diferente se
estudia primero concepto de logaritmo, propiedades del logaritmo, logaritmos
decimales y naturales, cálculo de logaritmos en la calculadora y por último
solución de ecuaciones logarítmicas.
Libro de Cálculo (Orduño Vega, 2007), consta de cinco capítulos, tres de
Cálculo Diferencial y dos de Cálculo integral.
Capítulo 1: Las funciones en el contexto de los problemas de máximos y
mínimos.
Inicia con introducción, resolución de problemas de máximos y mínimos
utilizando precálculo, posteriormente aborda el tema de las funciones iniciando
con la conceptualización de los tipos de variables, función, dominio y rango de una
función, así como su gráfica, por último resolución de problemas de máximos y
mínimos asistidos con computadora y recapitulación de la Unidad I para confirmar
los conocimientos adquiridos, una autoevaluación, y un problemario.
Capítulo 2: Las funciones, el límite y la derivada.
Trata los temas funciones, polinomiales, trascendentes y operaciones con
funciones, posteriormente la recta secante y la recta tangente, el límite y
finalmente la derivada. En el tema funciones trascendentes se ven las funciones
exponencial y logarítmica, pero solamente como una referencia de que se utilizan
para resolver problemas de crecimiento de una población. Didácticamente no se
puede realizar ningún análisis.
Capítulo 3: aplicaciones de la derivada y más reglas para derivar
Los temas son: resolución de problemas de máximos y mínimos, estudio del
comportamiento gráfico de una función y más reglas para derivar. En el tema
graficación solo se tratan funciones polinomiales, en el tema de más reglas para
derivar ya aparecen las fórmulas para derivar funciones exponenciales y
logarítmicas, pero como parte de la resolución de ejercicios.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
111
Capítulo 4: interpretación geométrica de la integral
Concepto de área, área bajo la gráfica de una función, sumatorias, cálculo
del área bajo la gráfica de un función utilizando sumatorias, la integral y su
relación con el valor del área bajo la gráfica de una función.
Capítulo 5: el Teorema Fundamental del Cálculo e integración de funciones
Temas; el Teorema Fundamental del Cálculo, aplicación del Teorema
Fundamental del Cálculo para determinar el área bajo una curva, integración de
funciones utilizando las reglas básicas, métodos y técnicas de integración.
Concluyendo, en el nivel medio superior, el programa de matemáticas
vigente ha eliminado el cálculo de logaritmos y solamente se estudian las
funciones logarítmica y exponencial, y las propiedades de los logaritmos, si bien
es cierto que en el libro de trigonometría de la DGETI, para resolver ecuaciones
logarítmicas, éstos se estudian como medio de resolución de las ecuaciones,
operando la calculadora, mientras el concepto y propiedades, son referencia para
el alumno en la solución de dichas ecuaciones, este tratamiento no es suficiente
para que el estudiante conceptualice a los logaritmos.
El desgaste, envejecimiento y exclusión de los logaritmos, como cálculo
numérico, abarca, no solamente el nivel medio básico, sino, hasta el nivel medio
superior, permaneciendo las funciones por su trascendencia y aplicación, sin
considerar la noosfera, las implicaciones didácticas tan adversas, para el
conocimiento y aplicación de las mismas funciones, y del estudio de matemáticas
avanzadas.
Se puede concluir en la parte cognitiva, que el estudio de las funciones
logarítmica y exponencial, planteado de esta forma es un conocimiento aislado sin
conocimientos previos, ni zona de desarrollo próximo y en consecuencia no es
significativo.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
112
En la parte didáctica de acuerdo a la teoría APOE, los logaritmos y la
exponencial no logran convertirse en objetos matemáticos por la falta de
interacción entre ellos, en consecuencia de acuerdo con la teoría de Douady,
estos conceptos difícilmente podrán ser utilizados como herramienta, en el estudio
de las funciones logarítmica y exponencial, lo que dificulta su aplicación en la
modelación y/o solución de problemas.
Referente a la articulación de saberes, como ya se dijo en la parte cognitiva,
el conocimiento de las funciones exponencial y logarítmica queda aislado, no hay
saberes que articular, el concepto de logaritmo no se estudia entonces las
propiedades, los mismos logaritmos y la exponencial, es posible que sean
entendidos como un invento de algún matemático que tuvo esa idea, y no son
conectados con su red cognitiva.
En cuanto a la epistemología de los logaritmos y exponencial o
antilogaritmo, se concluye, que se ha dejado perder la relación numérica, tan
maravillosa, que permite inventar o descubrir a los logaritmos, que como una
puerta mágica, nos descubre la comprensión de ellos y de las implicaciones tan
profundas en el campo de las matemáticas, cual enredadera comienza a penetrar
en otras áreas de las matemáticas, como es el caso del cálculo infinitesimal,
estadística, geometría, trigonometría, matemáticas financieras, e incluso de otras
ciencias como física, química y biología
6.1.3 Análisis de programas de matemáticas de nivel superior
Realizando el análisis de algunos de los programas de nivel superior, por
ejemplo presento dos programas de Matemáticas de Ingeniería en Mecatrónica.
La razón de haber elegido estos programas es por la tecnología que en esta
carrera deben aprender los estudiantes y en la cual los logaritmos están
totalmente inmersos, ya sea en la parte electrónica, o eléctrica, o en el control.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
113
INGENIERIA EN MECATRÓNICA HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS
1. Nombre de la asignatura Cálculo aplicado
2. Competencias Desarrollar proyectos de automatización y control, a
través del diseño, la administración y la aplicación de
nuevas tecnologías para satisfacer las necesidades del
sector productivo.
3. Cuatrimestre Primero
4. Horas Prácticas 30
5. Horas Teóricas 30
6. Horas Totales 60
7. Horas Totales por Semana Cuatrimestre
4
8. Objetivo de la Asignatura El alumno obtendrá las ecuaciones matemáticas para
representar sistemas eléctricos, electrónicos y
mecánicos utilizando análisis vectorial y calculo
diferencial e integral
Unidades Temáticas Horas
Prácticas Teóricas Totales
I. Análisis vectorial 5 5 10
I. Aplicaciones de cálculo diferencial 10 10 20
II. Aplicaciones de cálculo integral 10 10 20
III. Introducción al modelado 5 5 10
Totales 30 30 60
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
114
INGENIERÍA EN MECATRÓNICA HOJA DE ASIGNATURA CON DESGLOSE DE UNIDADES TEMÁTICAS
9. Nombre de la asignatura Ecuaciones diferenciales aplicadas
10. Competencias Desarrollar proyectos de automatización y control, a
través del diseño, la administración y la aplicación de
nuevas tecnologías para satisfacer las necesidades del
sector productivo.
11. Cuatrimestre Segundo
12. Horas Prácticas 48
13. Horas Teóricas 27
14. Horas Totales 75
15. Horas Totales por Semana Cuatrimestre
5
16. Objetivo de la Asignatura
El alumno evaluará las ecuaciones matemáticas de
sistemas eléctricos, electrónicos y mecánicos para
simular su funcionamiento ante diferentes condiciones
de operación
Unidades Temáticas Horas
Prácticas Teóricas Totales
IV. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales
10 5 15
V. Aplicaciones de transformadas de Laplace y su inversa
13 7 20
VI. Aplicaciones de transformadas y series Fourier
13 7 20
VII. Aplicaciones de función de transferencia y variables de estado
8 5 13
VIII. Aplicaciones de la transformada Z 4 3 7
Totales 48 27 75
TABLA 18 PROGRAMAS DE MATEMÁTICAS NIVEL SUPERIOR
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
115
En los programas de nivel superior, como es de esperarse, no se encontró
el estudio de logaritmos, exponencial, funciones exponencial y logarítmica,
solamente sus aplicaciones, porque la enseñanza de estos conocimientos
corresponde a los niveles educativos anteriores, como se observa en los
programas de matemáticas de ingeniería en mecatrónica, en los cuales, se
contemplan aplicaciones de estos saberes en, cálculo diferencial e integral,
modelado, ecuaciones diferenciales, transformada de Laplace, función de
transferencia, entre otras.
En el análisis de libros utilizados en nivel superior, tampoco se encuentran
estos conocimientos explicados, en el mejor de los casos se hace alusión a su
aplicación y se da a conocer el resultado, o se habla de su comportamiento y por
tal razón se modela como, pero ya no hay explicación de su uso o
comportamiento, por la razón antes mencionada.
De lo antes dicho, se deduce que, existe una ruptura entre los saberes de
logaritmo y exponencial con sus respectivas funciones, porque de acuerdo con el
constructivismo, no hay bases sobre las cuales sustentar el conocimiento de las
mismas y sus aplicaciones en matemáticas avanzadas. Esto afecta a la didáctica
de nivel superior, en donde los saberes más avanzados no son entendidos y habrá
que dedicar tiempo de la asignatura para explicar los saberes de logaritmos, dado
que los conocimientos, se tienen que articular, sobre todo cuando se trata de
aplicaciones prácticas donde la parte conceptual juega un papel muy importante.
En el escenario escolar, la realización de la interacción entre alumno-
conocimiento-docente, se ve afectada, porque el conocimiento esta fuera del
entendimiento del estudiante, por falta saberes previos, y en el mejor de los casos,
el profesor retomará la enseñanza de estos saberes, sacrificando tiempo de su
programa de estudios, que probablemente no concluya, pero, en el peor de los
casos y sobre todo si el profesor tampoco tiene estos conocimientos claros,
porque no le fueron enseñados, dejará en manos del estudiante la investigación y
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
116
aprendizaje de estos saberes, que finalmente si no son entendidos, en la actividad
práctica de su profesión serán un obstáculo para su desarrollo.
6.1.4 Caracterización del fenómeno de la exclusión
Como ya se explicó en la investigación del marco socio histórico, hasta
antes de la década de los setenta, los logaritmos eran considerados un tema muy
importante dentro de los programas de estudio, por el amplio uso dentro del
cálculo numérico, pero con la aparición de la calculadora (desde 1972), este tema
quedó en desuso, esto es una muestra de cómo la irrupción de la tecnología tiene
incidencia sobre los saberes escolares de forma negativa, aunque permitida a su
vez por quienes toman las decisiones acerca del currículum.
Por otra parte, en el análisis epistemológico se da cuenta de la dificultad,
que representa para el estudiante el uso de los logaritmos, debido a que, cuando
su estructura no es comprendida, representa un obstáculo para su operatividad.
Ahora bien los llamados altos índices de reprobación son siempre una
preocupación para los funcionarios educativos, lo que requiere de una toma de
decisiones para reducirlos. En el caso de los logaritmos, en un momento dado se
le atribuyó, ser en parte, motivo de reprobación en matemáticas.
Estos tres aspectos son las principales causas, que explican la exclusión de
los logaritmos.
El fenómeno que se va gestando queda explicado por la teoría de
Chevallard (1995).
“El saber enseñado se gasta, desgaste moral u obsolescencia”,
“El saber enseñado envejece, pues un buen día se percibe que se ha vuelto
viejo en relación a la sociedad (saber sabio y saber banalizado), ya que el
envejecimiento biológico lo declara en desacuerdo con el desarrollo del
saber no escolarizado”.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
117
El saber matemático de los logaritmos, se desgasta debido a la
obsolescencia por el uso de la calculadora, que los hace ver innecesarios para el
cálculo numérico, y entonces, ya no tiene sentido aprenderlos, la tecnología
mostrada en la calculadora y puesta al servicio de la sociedad, los convierten en
un saber envejecido, porque ya no es acorde con el desarrollo del saber no
escolarizado, en consecuencia la sociedad, está en desacuerdo con la enseñanza
de este saber.
“El desgaste del saber es el saber que deviene viejo en relación con la
sociedad, y dualmente, la sociedad que deviene vieja (desgastada), a través
de sus niños, en relación con el saber.
Concretamente, ese saber ya “no sirve”, los alumnos ya no llegan a
absorberlo, la frescura del (re)comenzar desaparece y a falta de poder
cambiar a los alumnos, se hace preciso cambiar al saber.
Así el desgaste del saber se diagnostica simultáneamente (y dualmente),
como crisis de la enseñanza”.
El reclamo de la sociedad, incluidos los profesores, consiste en que deben
excluirse del currículo.
Los logaritmos antes considerados un saber sabio, ahora ya no sirve y
carece de interés su aprendizaje, ocasionándose una crisis.
Para el sistema educativo, es necesario solventar la crisis y retomar el
equilibrio, para ello, la noosfera habrá de decidir cómo restablecerlo,
considerando la aplicación y utilización del conocimiento.
La noosfera son los profesores y autoridades del área de matemáticas que
pueden decidir acerca de los saberes del currículo.
“La noosfera tiene producción abundante tanto en los métodos de
enseñanza como en los contenidos a enseñar”.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
118
Sin embargo, el equilibrio ha de restablecerse a través del control del
saber:
“El saber ofrece una variable de control muy sensible, que permite obtener
efectos espectaculares con menores gastos y sobre la cual la instancia
política tiene asegurado el control mediante sus programas, comentarios
oficiales y manuales que los explicitan”.
La noción logaritmo ha provocado dificultades en función de su
envejecimiento,
“Si surge una dificultad, a propósito de tal o cual noción o tipo de ejercicio,
es evidentemente posible suprimir esa noción o ese tipo de ejercicio.
Puede ser que incluso bloques enteros del saber enseñado pueden resultar
alcanzados por esta expulsión.
Fenómeno de vaciamiento de contenidos que se observa en ciertas épocas
de amplia apertura del sistema de enseñanza respecto de nuevos flujos de
alumnos”.
En este sentido, la noosfera habrá de decidir, si excluye al tema de los
logaritmos del currículo, para restablecer el equilibrio y que temas del saber sabio
habrán de enseñarse.
“Entonces la nooesfera opta por un reequilibrio mediante una
manipulación del saber, seleccionando los contenidos del “saber sabio”
que habrá que convertir a “saber a enseñar”, los cuales serán sometidos a
una transposición didáctica”.
Concluyendo: en los programas vigentes de secundaria el tema logaritmos
desapareció, y se asume que primeramente se produjo el desgaste del saber
logaritmos, ocasionando el envejecimiento de los mismos y como consecuencia la
exclusión de los logaritmos del currículo de secundaria.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
119
El fenómeno se presenta porque la decisión fue tomada en función de la
opinión y no del espíritu científico, a decir de Bachelard
“el conocimiento científico nos prohíbe tener opiniones sobre cosas que no
conocemos bien, sobre cuestiones que no sabemos formular claramente”.
“Es necesario romper con el sentido común. El enemigo del conocimiento
científico es la opinión”.
“La opinión piensa mal porque no piensa, es el primer obstáculo que hay
que eliminar”. Bachelard (1971:159)
El conocimiento científico acerca de los logaritmos dejo de enseñarse y
aprenderse porque el primer obstáculo para adquirirlo que es la opinión, pesó más
que el mismo espíritu científico, se le dio más valor a la utilidad cotidiana del
conocimiento, que a la inmensa validez en la ciencia.
“La utilidad se convierte en una razón, en un principio de explicación y da
lugar a explicaciones finalistas sin ser científicas”.
“Lo que es verdadero sostiene Bachelard, lo es no porque sea útil, sino
porque es verdadero”.
La opinión basada en su utilidad fue “ya no se utilizan los logaritmos ya no
sirve ese conocimiento”, “ya no hay razón para enseñarlo”, explicación finalista
que por supuesto no es científica.
La teoría sobre el obstáculo epistemológico de Bachelard permite ver el
error de no enseñar el constructo logaritmos
“Frente a lo real, lo que cree saberse ofusca lo que debiera saberse”
(1948:16)
Lo real fue la opinión “ya no sirven” y lo que debiera saberse son las
implicaciones en la ciencia, el logaritmo es fundamental en la explicación de
fenómenos físicos, en aplicaciones tecnológicas, entre otras cosas.
CAPÍTULO VI INVESTIGACIÓN DE LOS SABERES ACERCA DE LOGARITMOS EN EL CURRÍCULUM ESCOLAR
120
“En la enseñanza de la ciencia si no hay problema no hay aprendizaje. Una
enseñanza desprovista de problemas desconoce el sentido real del espíritu
científico”.
Lo fácil no enseña, “cuanto más difícil es una tarea, tanto más educadora
es” (1948:47)
Parece que se busca la enseñanza de un saber, que no cueste trabajo
aprenderlo, pero esto resulta ser un contrasentido a lo que es el conocimiento
científico por sí mismo. Tal argumento sólo atiende a lo inmediato, sin preocuparse
por propiciar en los estudiantes una formación científica trascendente.
CAPÍTULO VII
EXPERIMENTACIÓN
En este capítulo se lleva a cabo la elaboración, aplicación y análisis de exámenes
sobre los saberes previos a la noción logaritmo y sobre la misma noción, para determinar
el conocimiento real que los estudiantes tienen sobre logaritmos en los diversos niveles
educativos, y concluir acerca del fenómeno investigado.
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
122
7.1 Pruebas diagnósticas
7.1.1 Sobre los logaritmos en el nivel medio básico
Después de haber realizado el análisis de los programas de matemáticas,
de los niveles educativos investigados, es necesario conocer los conocimientos,
que los alumnos tienen, en cada uno de estos niveles, para concluir acerca del
fenómeno que se investiga. Para ello, se elabora y aplica un examen diagnóstico,
mostrado en el Anexo A-1
El instrumento de diagnóstico, fue aplicado a 50 estudiantes de la
telesecundaria “José Vasconcelos”, ubicada en la comunidad de El Mirador,
Capula, en el municipio de Ixmiquilpan, Hgo., con los resultados observados en la
gráfica.
FIGURA 12 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A SECUNDARIA
De los 50 exámenes contestados se obtiene, la tabla siguiente.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p
o
r
c
e
n
t
a
j
e
pregunta
% de respuestas correctas
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
123
pregunta porcentaje
xm = 40%
� × �m� = 35%
¿cuál es la base en la expresión (x�� 30%
�(����� �� �"��!�ó� !����í��!� m. mm�mm 15%
�� + ���� = 10%
�� × � × �� = 10%
�(����� �� �"��!�ó� !����í��!� �m�mm 10%
��� = 0%
���� = 0%
����� = 0%
TABLA 19 PORCENTAJE DE PREGUNTAS CORRECTAS EN
SENTIDO DESCENDENTE PARA SECUNDARIA
En ella se muestra un conocimiento deficiente, en los temas teoría de los
exponentes, potenciación y radicación, previéndose, dificultades en la
comprensión y aplicación de los logaritmos, en el siguiente nivel.
En seguida se presentan dos exámenes presentados por estudiantes de
nivel medio básico.
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
124
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
125
7.1.2 Sobre los logaritmos en el nivel medio superior
Para realizar un diagnóstico, acerca de los conocimientos sobre logaritmos,
de los estudiantes de bachillerato, se aplicó un examen, sobre conocimientos
previos para aprender logaritmos, así como, el cálculo de logaritmos, forma
exponencial de un logaritmo y propiedades de los mismos, como se observa en el
ANEXO A-2, a cincuenta estudiantes del Bachillerato El Mirador Capula, con los
resultados mostrados en la siguiente gráfica.
FIGURA 13 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A NIVEL MEDIO SUPERIOR
De los exámenes contestados se obtienen los resultados:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
p
o
r
c
e
n
t
a
j
e
pregunta
% de respuestas correctas
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
126
pregunta porcentaje
�, � = 100%
El exponente al que debes elevar 4 para obtener 256 95%
��� �mmm = 90%
√−���� = 60%
�, �� = 55%
��mmmmmm�m. mmm�, ���g�� �"��!�ó� !����í��!� 40%
(m = 35%
)����*� = 30%
g"h��� = �, ���������� ���� x �(�"����� 15%
�(����� � "��� �"��� ��� ( + ��� x 5%
TABLA 20 PORCENTAJE DE PREGUNTAS CORRECTAS EN
SENTIDO DESCENDENTE PARA BACHILLERATO
Obsérvese que las preguntas sobre cálculo de logaritmo obtuvieron
porcentajes muy altos, sin embargo, la pregunta donde hay que identificar la base
de un logaritmo y el exponente o logaritmo, apenas alcanza el 15%, lo que permite
conjeturar, que el estudiante calcula los logaritmos en su calculadora sin tener
idea de lo que representa, en cuanto a las propiedades de los logaritmos, no las
identifica, y con respecto a los conocimientos previos ya se tiene un mayor
conocimiento de teoría de los exponentes.
A continuación se presentan dos exámenes presentados por los estudiantes
de nivel medio superior.
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
127
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
128
7.1.3 Investigación de los saberes acerca de logaritmos en el nivel superior
Para diagnosticar con que conocimientos cuentan, los estudiantes de nivel superior, sobre logaritmos, se elaboró y aplicó un examen (ver Anexo A-3) a 70 estudiantes de la Universidad Tecnológica del Valle del Mezquital, situada en el Km 4 de la carretera Ixmiquilpan – Capula. Con los resultados mostrados a continuación:
FIGURA 14 GRÁFICA DEL EXAMEN APLICADO A NIVEL SUPERIOR
En la gráfica se aprecia que, el nivel de conocimientos sobre los logaritmos
ha disminuido considerablemente, comparado con bachillerato, y realizando un
análisis sobre el examen, el cual se presentan en la tabla siguiente:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p
o
r
c
e
n
t
a
j
e
pregunta
% de respuestas correctas
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
129
pregunta porcentaje
�, �� = 18%
g"h�� = !, ∴ �! = �, �������!�� �"���!��, ����, �(�"����� x g"h�����" 16%
��� �mm = �, !����� � �(�����ó� �(�"���!��g 14%
�� = ��, !����� � �(�����ó� g"h������!� 10%
¿Qué base tienen los logaritmos que conoces? 10%
¿En dónde consideras que tienen aplicación los logaritmos? 5%
g"h�� = 4%
¿Para qué se inventaron los logaritmos? 4%
�����g�� �m�(�� = �mmmmm 2%
�� g"h�m� = ��� �, !�g!�g� ��� � + ��� � 0%
�����g�� �(�� = ��� 0%
Elabore una tabla de 5 logaritmos en base 2, enteros 0%
TABLA 21 PORCENTAJE DE PREGUNTAS CORRECTAS EN
SENTIDO DESCENDENTE PARA NIVEL SUPERIOR
Se observa que las preguntas corresponden a los saberes de logaritmos,
concepto, propiedades, cálculo y aplicaciones, así como algunos datos históricos
sobre su origen, por lo que, se considera un examen adecuado al tema, sin
embargo, el porcentaje de aciertos es muy pequeño y comparado con el obtenido
en bachillerato, se infiere que el nivel de conocimientos ha disminuido,
posiblemente porque ha olvidado dichos conocimientos, tal vez, porque no fueron
significativos debido a la falta de conocimientos previos sobre las funciones
exponencial y logarítmica (como ya se dijo), además del tiempo transcurrido, en el
que no fueron practicados estos conocimientos, dando lugar a que se olvidarán,
como lo refiere Hermann Ebbinghaus, autor de Sobre la Memoria(1885), en donde
nos habla de la curva del olvido, en ella establece gráficamente como los
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
130
conocimientos son olvidados, casi en su totalidad, si no son refrescados
continuamente. Y en este caso, las funciones logarítmica y exponencial, se
estudian en bachillerato, en el segundo año y posteriormente son retomadas en
nivel superior, hasta el segundo o tercer año según corresponda al programa de
estudios, dando un total de por lo menos 2 años de no ser utilizarlos.
En conclusión, la aplicación de los exámenes diagnóstico en los niveles
investigados, nos demuestran que, en nivel medio básico, no se conocen los
logaritmos y solo algunos de los saberes previos para la comprensión de
logaritmo.
En el nivel medio superior, es dónde más saberes tienen los alumnos
acerca de logaritmos, por el estudio de las funciones exponencial y logarítmica,
pero, sin embargo, el examen revela que su conocimiento radica en el cálculo de
los mismos con la calculadora, ya que, no pueden identificar dado un logaritmo,
cual es la base del mismo y el exponente.
En tanto que en nivel superior, los conocimientos sobre logaritmos se han
olvidado casi totalmente, dando como resultado que, en este nivel, es dónde los
estudiantes menos saben sobre el tema.
Los exámenes, corroboran lo que ya se había dicho sobre la construcción
de nuevo conocimiento (función logarítmica y exponencial), que al carecer de
conocimientos previos y zona de desarrollo próximo, el conocimiento no es
significativo y por lo tanto, solo se aprende en el momento, pero no trasciende.
La didáctica de estos conocimientos se ve afectada, porque, la
transformación logaritmo-exponencial no se realiza las veces suficientes para ser
convertida en proceso, y en consecuencia no se puede aprender el esquema
logaritmos.
En seguida se muestran dos exámenes presentados por estudiantes de
nivel superior.
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
131
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
132
Por otro lado, cabe destacar, que el promedio de aciertos en las
evaluaciones diagnósticas fue: en secundaria, de 14.2%, el 53% para nivel medio
superior y apenas el 6.8% en el nivel superior.
Esto resulta congruente, con los programas de matemáticas, en los cuales
se encuentra que, en secundaria se ven algunos de los elementos necesarios para
el aprendizaje de logaritmos, en nivel medio superior solamente se estudian las
funciones exponencial y logarítmica pero no, los logaritmos y en nivel superior sólo
se ven aplicaciones, presuntamente porque “el estudiante debe de tener los
elementos necesarios básicos”, realizándose siempre una serie de suposiciones,
que arrojan por resultado el 6.8% de aprendizaje acerca de los logaritmos en este
nivel, hecho lamentable, porque es el reflejo de la realidad educativa en el país.
7.1.4 Análisis de entrevistas
Entrevista al profesor Román Bravo Cadena, profesor de tiempo completo
en la Universidad Tecnológica del Valle del Mezquital.
Ingeniero en electrónica, egresado de la Universidad Autónoma
Metropolitana unidad Azcapotzalco, con especialidad en sistemas digitales y
computadoras así como, en control e instrumentación, actualmente estudia un
posgrado en energética enfocado al área de energías renovables.
Análisis:
El profesor dice que hace como 2 años los logaritmos aparecían en el
programa de Matemáticas I, pero que actualmente ya quitaron el tema de
logaritmos, que él considera muy importante, porque tanto la función exponencial
como la logarítmica tienen muchas aplicaciones, y los estudiantes en su mayoría
desconocen totalmente el tema logaritmos, incluyendo definición, y propiedades.
Tiene que enseñar logaritmos aunque le ocasione un retraso en la
enseñanza de su programa, porque el conocimiento de éstos, es una parte
medular para el área de la electrónica, porque les permite comprender lo que les
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
133
enseña y en caso contrario, no puede construir conocimiento más elevado porque
carece del sustento para hacerlo. Reconoce que otros docentes dan por hecho
que el estudiante ya posee los conocimientos suficientes sobre logaritmos, o bien
que los estudiantes deben estudiarlo por su cuenta, y cuando estudian materias
más avanzadas no entienden. Considera que si los estudiantes no aprenden
logaritmos, el aprendizaje y aplicación de la ciencia no se logra, porque no
comprenden el significado de un crecimiento exponencial, por ejemplo de una
población bacteriana, que se desea utilizar en la obtención de biogás.
En otras palabras, los logaritmos son fundamentales digamos para modelar
diferentes fenómenos de crecimiento o decrecimiento. Hoy en día existen muchas
aplicaciones de los logaritmos, por ejemplo en el control electrónico, en
ecuaciones diferenciales, en biología, capacitores, etc. si no se tiene el
conocimiento sobre logaritmos y exponenciales no se puede modelar y no se
puede resolver problemas y estará lejos de resolver uno científico o tecnológico
real, así, los ingenieros tienen una formación cada vez más incompleta, lo que se
traduce en incompetencia y arrastran esta carencia de conocimientos incluso
hasta la maestría),
No se explica porque desaparecen temas del estudio de las matemáticas
qué son fundamentales para la ciencia y tecnología, habría que saber desde los
planes de estudio quien los hace y por qué los quitaron. Considera que el
problema es grave porque estamos formando profesionales carentes de saberes
fundamentales e ignorantes al fin y al cabo.
Considera que los logaritmos deberían darse desde secundaria continuar
en bachillerato y después en nivel superior, para mantener frescos estos
conocimientos, ya que los estudiantes llegan al nivel superior con muchas
carencias en el área de las matemáticas, además de los logaritmos, en álgebra,
trigonometría, geometría, aritmética, funciones, relaciones, etc.
La calculadora o computadora es una máquina que hace lo que se le indica,
pero si no existe el conocimiento que sustenta la aplicación, para el usuario no
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
134
sirve de nada, si el estudiante utiliza su calculadora para calcular un logaritmo, el
resultado ahí está pero no tiene significado en la mente del estudiante.
La educación se debe redireccionar, como ingenieros todavía nos falta,
pero habría que ver ¿qué se busca con los modelos educativos? Que un ingeniero
sepa cambiar un foco o desarrollar conocimientos más profundos que nos
permitan desarrollar cosas necesarias. Termina diciendo
“Alguna vez platicando con algunos amigos de Sudamérica de Brasil, de
Argentina, que la universidad era un lugar donde se iban a aprender
conocimientos muy precisos, los logaritmos son precisos desde luego, pero
también son fundamentales. Son herramientas de una base que sustenta a
otro tipo de conocimientos más especializados, sin esa base no se puede
sustentar, sin raíces los árboles se van para abajo”.
Concluyendo acerca de la entrevista del profesor:
• Aunque anteriormente se enseñaban los logaritmos la parte conceptual no
se abordaba.
• Hoy en día existen muchas aplicaciones científicas de los logaritmos.
• Si no se aprenden los logaritmos el aprendizaje y aplicación de la ciencia
no se logra.
• Los ingenieros con estas carencias estarán lejos de resolver un problema
científico o tecnológico, considerándose incompetentes, lo que es un
problema grave.
• El profesor tiene que tomar tiempo de su materia para enseñar estos
conocimientos y dejar de ver algunos temas de su área.
• Considera que los logaritmos deberían darse desde secundaria continuar
en bachillerato y después en nivel superior, para mantener frescos estos
conocimientos.
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
135
Entrevista al estudiante. Alejandro Meza Pérez, estudiante de la Universidad
Tecnológica del Valle del Mezquital. Actualmente cursa el noveno cuatrimestre de
ingeniería en mecatrónica.
El estudiante refiere que en secundaria es su primer acercamiento con los
logaritmos, cuando estudio álgebra les enseñaron a calcular logaritmos, como un
valor definido por un científico en una época lejana y que hasta la fecha no tiene
bien cimentado el concepto de logaritmo.
Como estudiante de ingeniería en mecatrónica requiere del conocimiento de
los logaritmos, en la parte de control ya sea termodinámico o electrónico, en las
ecuaciones diferenciales, se requiere del conocimiento de los logaritmos y su
aplicación.
En secundaria aprendió a calcularlos usando la calculadora, y el valor
carecía de sentido, en la preparatoria supo que existían las tablas para el cálculo
de logaritmos, pero usaba la calculadora y aunque sabía que existían logaritmos
en otras bases, el no aprendió a calcularlos, sabía cómo receta de cocina lo que
tenía que hacer en la calculadora para obtenerlo, y el estudio del concepto de
logaritmo nunca se hizo.
En nivel superior, cuando fue necesario aplicar las propiedades de los
logaritmos, el profesor tuvo que enseñarles este conocimiento porque no
entendían de qué hablaba el profesor, sin retomar el concepto de logaritmo, solo
les enseñó lo suficiente para que entendieran lo que estaban haciendo, y que
actualmente no tiene bien cimentado el concepto de logaritmo, así, cuando la
solución de la ecuación o sistema es una función exponencial o logarítmica la
grafican para ver su comportamiento y su análisis no va más allá.
Cuando una función es exponencial entiende que crece rápidamente, más
rápido que una función lineal, pero, no tiene idea de cómo identificarlo si no se lo
dicen, no sabe cómo distinguir un crecimiento exponencial de uno logarítmico y
CAPÍTULO VII EXPERIMENTACIÓN
136
cuando la solución de un problema es una función de éstas, aplican tablas
establecidas y dan un resultado sin ningún análisis.
Con los conocimientos actuales no podría realizar exitosamente el proyecto
de un sistema de control, sin embargo sabe que tiene la capacidad de investigar
en libros, internet, profesores, hasta lograrlo.
Considera que los mexicanos tienen talento, ingenio para hacer las cosas
pero que la educación está decayendo, pues a decir de sus profesores antes se
estudiaban cosas más difíciles sobre todo en matemáticas, y luego compara con
un hermano pequeño que estudia primaria y que no sabe por ejemplo calcular la
raíz cuadrada cuando él desde tercer grado la aprendió, entonces el problema
radica en el proceso educativo donde la enseñanza cada vez es más sencilla pero
se aprende menos.
Comenta que su promedio en matemáticas es aproximadamente 9 y que
estudio técnico en construcción en bachillerato en el área físico matemático.
Concluyendo acerca de la entrevista del estudiante:
• En secundaria aprendió a calcular los logaritmos usando la calculadora, y el
valor carecía de sentido, y así continuó en la preparatoria.
• En nivel superior cuando fue necesario aplicar las propiedades de los
logaritmos el profesor tuvo que enseñarles este conocimiento.
• Actualmente no tiene bien cimentado el concepto de logaritmo y cuando la
solución de la ecuación o sistema es una función exponencial o logarítmica
la grafican para ver su comportamiento y su análisis no va más allá.
• no sabe cómo distinguir un crecimiento exponencial de uno logarítmico y
cuando la solución de un problema es una función de éstas, aplican tablas
establecidas y dan un resultado sin ningún análisis.
• No tiene la capacidad de desarrollar un proyecto de control por la carencia
de conocimientos sobre logaritmos.
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
138
Considerando la investigación realizada se observa que el tema cálculo
numérico con logaritmos fue excluido del currículo de secundaria y casi totalmente
del currículo de bachillerato. A continuación se presentan las conclusiones en los
diversos rubros:
Acerca de la caracterización del fenómeno exclusión de saberes
matemáticos, el caso de los logaritmos
• El cálculo numérico empleando logaritmos se fue haciendo obsoleto por la
aparición de la calculadora digital.
• El uso de los logaritmos para resolver operaciones, en algunos casos
resultaba difícil de comprender por los estudiantes, ocasionando alto índice
de reprobación.
• Los profesores que imparten este conocimiento aluden que no es necesario
enseñarlo porque pueden utilizar la calculadora, y que esto disminuye el
índice de reprobación.
• La noosfera toma la decisión de ir eliminando el cálculo numérico con
logaritmos, hasta prácticamente hacerlo desaparecer del currículo de
secundaria.
• En bachillerato el cálculo con logaritmos era utilizado principalmente para
resolver problemas de triángulos rectángulos y oblicuángulos porque las
razones trigonométricas son cantidades con muchos dígitos pero con la
aparición de la calculadora el problema de resolver estas operaciones
desaparece sin necesidad de utilizar los logaritmos, cayendo en desuso
dicha aplicación de los logaritmos.
• La noosfera toma la decisión de ir quitando los saberes sobre los conceptos
logaritmo y exponencial, como se aprecia en los diferentes programas, en
los cuales poco a poco fue desapareciendo el logaritmo como cálculo
numérico y quedando el estudio de las funciones, basado principalmente en
la graficación de las mismas, y dónde se calculan algunos logaritmos
mediante la calculadora para elaborar la gráfica, pero no se resuelven
operaciones entre ellos.
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
139
Acerca de lo didáctico.
• Sin una adecuada instalación de los conceptos logaritmo y exponencial
desde la perspectiva de cálculo numérico, posteriormente, no podrán ser
utilizados como herramienta en el estudio de las funciones logarítmica y
exponencial.
• La exclusión de los logaritmos del currículo en los niveles anteriores al
superior ocasiona una desarticulación de saberes entre logaritmo y
funciones logarítmica y exponencial.
• En el escenario escolar, la realización de la interacción entre profesor-
estudiantes-saberes, se ve afectada, porque el conocimiento a enseñar,
esta lejos del entendimiento del estudiante, por la falta de saberes sobre
logaritmos, afectándose la didáctica de la materia.
• La didáctica del profesor resulta infructuosa, porque los saberes que
organizó planificó y desarrolló para ser enseñados, sustentados en los
conocimientos previos sobre logaritmos, los estudiantes no los tienen.
Acerca de lo cognitivo:
• El estudio de las funciones logarítmica y exponencial es un conocimiento
aislado sin saberes previos, ni zona de desarrollo próximo, lo que dificulta
su estudio y puede no ser significativo para el estudiante.
• Existe una desarticulación conceptual entre los saberes de logaritmo y
exponencial, que tiene repercusiones cognitivas y didácticas cuando se
estudian las funciones logarítmica y exponencial y sus aplicaciones en
matemáticas avanzadas.
• La aplicación de los exámenes diagnóstico en los niveles investigados,
demuestra que en nivel medio básico, no se conocen los logaritmos y sólo
algunos de los saberes previos para la comprensión de logaritmo.
• En el nivel medio superior, el examen revela que el conocimiento de los
estudiantes sobre logaritmos radica en el cálculo de los mismos con la
calculadora, ya que no pueden identificar dado un logaritmo cual es su base
y el exponente.
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
140
• En nivel superior los conocimientos sobre logaritmos ya han sido casi
totalmente olvidados, según lo demuestra el examen aplicado.
• El estudiante de nivel superior entrevistado reconoce no estar capacitado
para llevar a cabo una competencia de su carrera por la falta de
comprensión de los logaritmos.
Acerca de sus efectos en los estudiantes de nivel superior
• El estudiante no reconoce al logaritmo y exponencial como operaciones
inversas, lo que dificulta la comprensión y articulación de las funciones del
mismo nombre.
• Al resolver ecuaciones exponenciales o logarítmicas se le muestra cómo
transformar las funciones y como aplicar las propiedades de los logaritmos
pero su aprendizaje se dificulta como lo muestra el examen diagnóstico
• En este nivel se conjetura que el estudiante no tiene conocimientos previos
o zona de desarrollo próximo y sus conocimientos sobre las funciones están
desarticulados.
• Los estudiantes deben aplicar los concepto de logaritmo y exponencial, así
como resolver problemas mediante la aplicación de las funciones
logarítmica y exponencial pero sin zona de desarrollo próximo, sin tener los
conocimientos articulados se le dificultará resolver problemas, aplicar el
concepto de logaritmos en cuestiones matemáticas pero sobre todo será
casi imposible que pueda modelar una aplicación tecnológica que requiera
de logaritmos.
Acerca de lo epistemológico
• Arquímedes descubre que si se tienen en correspondencia una sucesión
geométrica y una aritmética la multiplicación de dos números de una
sucesión geométrica se relaciona con la suma de los dos números
correspondientes en la sucesión aritmética, calculando así la multiplicación
de dichos números de la sucesión geométrica.
CONCLUSIONES Y REFLEXIONES
141
• Stifel aporta a la idea germinal de logaritmo, el hecho de que la
multiplicación (sucesión geométrica) es la suma de los exponentes de la
misma base (sucesión aritmética), la división es la resta, la potenciación es
la multiplicación y la raíz cuadrada es la división por dos.
• Las aportaciones de Napier a los logaritmos, son:
� El desarrollado la sucesión que da como resultado una aproximación
al número e, en la que se observa la relación de las sucesiones
aritmética y geométrica.
� El cálculo de sus tablas de logaritmos, conocidos como neperianos.
• Briggs aporta a la génesis de los logaritmos:
� Un nuevo método de cálculo basado en la media aritmética y la
media geométrica
� Tablas logarítmicas de base 10
• El origen de las funciones exponencial y logarítmica se presenta como una
trasposición de logaritmo y la exponencial
Acerca de la formación de profesores
• La epistemología de los logaritmos nos lleva de la mano a la
conceptualización de los mismos, pero esta parte no se enseñó por eso los
profesores no tienen la idea de su conceptualización y por tal razón no la
enseñan, como lo dice el estudiante y el mismo profesor entrevistado.
Se requiere atender el fenómeno de la exclusión aquí caracterizado y ampliar a
otros saberes matemáticos en los cuales los estudiantes de nivel superior han
mostrado carencias como es el caso de números complejos, desigualdades,
conjuntos, entre otros.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
142
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ANEXOS
ANEXOS
145
ANEXO - A1
Nombre: Firma:
Escuela: Grado y Grupo: Fecha:
RESUELVA CORRECTAMENTE: 1.- 32 x 3 x 35 = 2.- y0 = 3.- 5– 1 = 4.- ¿Cuál es la base en la expresión x y+1? EXPRESE LA CANTIDAD SIGUIENTE EMPLEANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA Y UNA CIFRA ENTERA. 5.- 10300 6.- 0.001000 7.- Calcula 64½
8.- Desarrolla 4 x 105 9.- Resuelve (2-1)2
10.- Resuelve 42 + 4 – 1/2
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL
MEZQUITAL
Examen diagnóstico
(Secundaria)
Este examen es parte de una investigación de conocimientos matemáticos
ANEXOS
146
ANEXO –A2
Nombre: Firma: Escuela: Grado y Grupo: Fecha: RESUELVA CORRECTAMENTE: 1.- (8 – 1/3)2 =
2.- =−3 125
3.- (1 000 000) (0.0001), empleando notación científica 4.- x0 = CALCULA EL LOGARITMO: 5.- log 1000 = 6.- ln e3 = 7.- ln 1 =
8.- Expresa de otra forma log x + log y = 9.- Encuentra el exponente al que debes elevar 4 para obtener 256 10.- En log3 81 = 4, identifique: Base___________ Exponente __________
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL
MEZQUITAL
Examen diagnóstico
(Media Superior)
Este examen es parte de una investigación de conocimientos matemáticos
ANEXOS
147
ANEXO –A3
Nombre: Firma:
Escuela de procedencia: Fecha:
PE: Grado y Grupo:
CONTESTE CORRECTAMENTE:
1.- Si cba =log ; entonces, ba c= , si 0>a , 1≠a y 0>b ; identifica:
La potencia ____________ El exponente ____________ La base ____________ El logaritmo ____________ 2.- ¿Qué base tienen los logaritmos qué conoces?
3.- Calcule =3ln e
4.- Cambie la expresión logarítmica 2100log = a una expresión exponencial
5.- Cambie la expresión exponencial 6443= a una expresión logarítmica.
6.- Calcule =1log2
7.- Si aa loglog10 = , calcule =+ 5log2log
8.- Resuelva 10000010 12=
+x
9.- Resuelva 2433 1=
+x 10.- Describe brevemente para qué se inventaron los logaritmos 11.- ¿En dónde consideras que tienen aplicación los logaritmos? 12.- Elabore una tabla de 5 logaritmos de base 2 donde el logaritmo sea un número entero, por ejemplo:
12log2 =
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL VALLE DEL MEZQUITAL
Examen diagnóstico
Este examen es parte de una investigación de conocimientos matemáticos
ANEXOS
148
A4 ENTREVISTA AL PROFESOR
Entrevista realizada por los doctores del área de matemáticas Dr. Carlos Rondero
Guerrero(C)y la Dra. Anna Tarasenko (A), al Prof. Román Bravo Cadena (R), el día 27 de
julio del 2011, a las 9:47 hrs; en la UAEH.
C Nos encontramos en el área académica de matemáticas y física de la universidad
autónoma del estado de hidalgo hoy es día 27 de julio de 2011 y vamos a realizar la
entrevista con el maestro, maestro si nos puede dar su nombre por favor, claro,
donde trabaja?
R Si, Román Bravo Cadena, soy profesor de tiempo completo en la universidad
tecnológica del valle del mezquital.
C Gracias maestro, nos puede decir muy brevemente, su formación desde licenciatura
R Soy ingeniero en electrónica, egresado de la universidad autónoma metropolitana
unidad Azcapotzalco, con especialidad en sistemas digitales y computadoras
también en control e instrumentación, actualmente estudio un posgrado en
energética enfocado al área de energías renovables
C A ya. Yo ahí trabaje hace muchos años también. Bueno maestro, muchas gracias por
permitirnos realizar la entrevista. El tema de que ese trata es alrededor precisamente
de los logaritmos. Usted da algún curso de matemáticas actualmente?
R En este instante estoy dando clases de electrónica, pero si hemos dado clases de
matemáticas como: cálculos, integral diferencial, ecuaciones diferenciales y pues
matemáticas 1 que en el área es la que abarca un poco logaritmos.
C A eso vamos a checar los logaritmos. Digamos de en su experiencia a nivel
universitario, donde aparece por primera vez en lo que usted ha trabajado, en que
curso aparece por primera vez los logaritmos
ANEXOS
149
R En matemáticas 1 precisamente. Ahí se empezaba a ver la teoría de logaritmos,
antes, porque hoy en día los temarios han cambiado y ya ni siquiera aparecen,
aparecieron hasta hace 2 años más o menos
C Eso es. Usted que cree que haya alrededor de este problema de los logaritmos.
Primero habría dos aspectos, las consecuencias que tiene eso, que en lo que vamos a
enfocar la entrevista, las consecuencias que tiene que no aparezcan los logaritmos
por un parte y por otro lado, las consecuencias de que los estudiantes no lo aprendan
R Bueno la aplicación de logaritmos al fin y al cabo o donde aparecen los logaritmos y
los exponenciales en una serie de cosas, como en el crecimiento de bacterias, en la
electrónica, que es el área en donde uno se desarrolla, los capacitores se cargan de
esa manera y se descargan de la misma forma, los capacitores es uno de los
elementos más importantes para el control de las cargas eléctricas en la parte de la
electricidad, entonces en realidad es una parte medular en la comprensión de estas
materias como tal, así como las materias de la parte electrónica. Incluso el
comportamiento del flujo de electrones a través de los semiconductores está basado
precisamente bajo ese tipo de funciones, logarítmicas y exponenciales. El no
comprender implica que tampoco comprenda uno el funcionamiento de estos
dispositivos electrónicos, pero no nada más en esa parte, en la parte de transferencia
de calor por ejemplo pues sucede exactamente lo mismo
C Si pero en este caso el que no conozcan previamente los estudiantes los elementos
conceptuales de los logaritmos va a impedir que muchas cosas como las que usted
nos platica, no las acaben de entender
R Si, pero sin la comprensión de lo básico no se puede avanzar más allá, sino se
entiende lo básico
C Pero en este caso cuando usted trabaja con los estudiantes y empieza a tratar este
tipo de temas, la pregunta es, saben algo ellos de logaritmos?
ANEXOS
150
R El conocimiento es definitivamente muy pero muy pobre, en alguna parte se perdió,
no hay, o es muy escaso. Pocos pero muy pocos medio que tienen la idea pero no
C Bueno pero conocen la definición de logaritmo de lo que recuerde que usted que ha
trabajado con ellos
R No cuando llegan no tienen prácticamente los elementos necesarios para trabajar
con logaritmos, incluyendo los conceptos
C Pero los conceptos básicos, en este caso la definición de los logaritmos y su relación
con la función exponencial cuando encuentra la base de los logaritmos mismos y
luego su relación con la función exponencial
R Si muy poco
C Eso usted cree que venga desde secundaria, bachillerato o que ya debiera tenerse
este conocimiento al llegar a la universidad. Como ve usted ese problema?
R Es un asunto muy particular en mi experiencia, yo recuerdo cuando me toco ir a la
escuela me enseñaron en la secundaria la función logarítmica, la función
exponencial, recuerdo también las tablitas que nos mostraban pero nunca nos
mostraron los conceptos, vimos que el logaritmo de un numero era tal numero o en
base tanto pero nunca nos explicaron en realidad los conceptos que sustentan todo
este conocimiento, en la prepa sucede lo mismo con la función exponencial
engancha también la función logaritmo pero nunca nos dan los conceptos para tener
una estructura verdaderamente sólida para la aplicación de los conocimientos
C ¿Tampoco se ven las propiedades elementales de los logaritmos?
R En aquel entonces si se veían. Ahora los muchachos parece ser que ni eso ven.
Ahora la misma notación científica parece ser que medio se acuerdan. Pero notando
por ejemplo a los chicos que van entrando en primero que me ha tocado dar clases a
ellos, pues no, tengo que dar todo ese conocimiento, de otra manera no lo tienen.
ANEXOS
151
C Desde ahí que ha de ser un tema interesante o sea, si usted se da cuenta que los
estudiantes ya en este caso, de la universidad donde trabaja, no tienen esos
conocimientos previos, usted identifica el problema y empieza a darles esos
conocimientos básicos de logaritmos y sobre las exponenciales, ¿si hace usted eso?
R No tengo otra opción, aunque el temario no me lo marca y aunque los tiempos a
veces no me lo permiten, porque el temario es tanto y hay que darlo exprés, de por
sí las materias ya son pesadas, son sistemas cuatrimestrales, y se tornan muy muy
densos. Si no tienen por lo menos los conceptos básicos, como vamos a entrar en
conocimientos más avanzados, no hay manera, no hay sustento.
C Eso, eso, es muy importante lo que usted nos está mencionando en el sentido en que
efectivamente esa actitud que usted toma de decir, no tienen los conocimientos
básicos y se requieren, entonces usted va y se regresa y los explica y continúa con
los siguientes temas de su curso. El gran problema que hemos identificado es que
muchos profesores no hacen eso, o sea, les parece que ya los estudiantes deben
saberlo y él no toma en sus manos como usted lo dice, ese problema y busca
resolverlo, porque los estudiantes difícilmente por su propia iniciativa lo van a
hacer, pero usted nos dice que si lo hace, si le preocupa y si le interesa que aprendan
los conceptos básicos.
R Yo en mi experiencia ahí mismo en la escuela y no nada más ahí, he dado clases en
otros institutos, encuentro que el profesor siempre está atado a su temario y se apega
más al temario que incluso a las necesidades reales del conocimiento, entonces no
se dan, y ellos lo dan por hecho de que el estudiante tiene la cultura de ponerse a
estudiar, del auto aprendizaje y pues en realidad, me toca que cuando yo no doy
clases al principio, ya más adelantados, pues están perdidos.
C Por eso insisto, ¿usted si toma su responsabilidad desde el principio?.
R Si, en la medida también de lo que me permite la misma institución, que a veces
también está viendo que si ya vi este tema, este otro tema; por lo que trato de
corregir esto, porque más adelante me vuelvo a topar con lo mismo. Yo lo veo como
ANEXOS
152
están las carreteras en México, puros hoyos, le echamos tierra al bache, pero este
sigue.
C Entonces, usted considera que no aprender también logaritmos, ¿nos puede hablar
un poco de eso? El hecho de que los estudiantes no aprendan logaritmos, ¿Qué
consecuencias tiene para ellos mismos? Usted hace rato nos habló de circuitos
eléctricos de electrónica, de que otro tipo de cosas, sinos va detallando otros
aspectos y consecuencias que puede traer para un estudiante que no sepa logaritmos.
R Para mí, definitivamente el conocimiento es un aserie de elementos que uno va
construyendo, según la teoría del constructivismo, y a partir de ellos empieza uno a
construir otro tipo de conocimientos. Al tener esa carencia de esos conocimientos,
pues los que se tendrían que sustentar sobre de ellos, no tienen una base sólida, por
ejemplo: una aplicación es energías renovables, anda de moda por ahí la generación
de biogás y de biodiesel. Toda esa generación se lleva a cabo mediante bacterias, el
crecimiento de las bacterias es precisamente exponencial.
C Exacto.
R Si no tenemos ese crecimiento exponencial de bacterias, pues difícilmente vamos a
tener un cultivo y utilizarlas de manera óptima. Y eso no nadamás aplica a la
biología, también en la electrónica. Mucho de nuestro conocimiento de la física, que
al fin y al cabo, por ahí vienen las matemáticas de la mano, está siendo también el
sustento para seguir avanzando, por ejemplo en la aplicación de circuitos eléctricos
ya más complejos, con bobinas y capacitores, inevitablemente nos llevan a
ecuaciones diferenciales de segundo orden, pues están basadas las soluciones en las
ecuaciones de Euler no, entonces no podemos resolver las matemáticas del
matemático sublime si no tenemos esos elementos en los que se están basando.
C En otras palabras, los logaritmos son fundamentales digamos para modelar
diferentes fenómenos de crecimiento o también de decrecimiento, que es
fundamental para diferentes problemas de modelación.
ANEXOS
153
R Alguna vez me toco acudir aquí y nos preguntaban qué ¿que se necesitaba para que
los chamacos que llegan a la Universidad tuvieran los conocimientos básicos para
poder trabajar en las matemáticas?, pero ni siquiera tenían los principios básicos
algebraicos, entonces hay una carencia de conceptos, tanto en la parte algebraica, la
parte de logaritmos, la parte de exponenciales, hay mucha carencia de conceptos en
realidad. Pues hasta en .donde yo tengo la comprensión de las cosas, casi todo lo
vamos a tratar a la altura de nuestros conceptos, y si no tenemos los conceptos,
pues, difícilmente vamos a avanzar más allá. Lejos de la aplicación, desde luego.
C ¿Estamos relacionando, tanto a logaritmos que están directamente asociados con las
exponenciales?
R Si. En este caso, solución de ecuaciones diferenciales, que también al final de
cuentas, este, las ecuaciones diferenciales modelan comportamientos de circuitos
eléctricos.
C Si,¿de sistemas?
R Si de sistemas, exactamente, de sistemas en general, entonces la trascendencia de
los logaritmos una vez más insisto relacionados directamente con las exponenciales.
C Son fundamentales. En que otros aspectos de los que usted recuerda, por favor
maestro maestro, este, que importancia usted le concede a los logaritmos o alcanza a
ver a parte de los que nos ha platicado a nosotros.
R Si en aplicaciones yo pienso que hoy en día el control, es un elemento muy
cotidiano, desde que llega uno y abre la puerta de su casa, en su carro, en la cocina,
en la lavadora, en el baño, por todos lados anda el asunto del control. El control está
basado también en ecuaciones diferenciales y esas ecuaciones diferenciales que se
resuelven por la Laplace o equis separación o cualquier método de solución, pues
también tienen un sustento, como una parte fuerte en los exponenciales. Al no tener
los exponenciales o los logaritmos, tenemos un abismo, no podemos modelar no
ANEXOS
154
podemos resolver problemas que de otra manera con esos conocimientos es
relativamente rápido y fácil, pero sin ese conocimiento no hay nada.
C Entonces, regresando al problema que a nosotros nos atañe, no hay conocimiento
básico elemental, sin embargo en el nivel universitario, me dice usted que antes lo
trataban y ya desapareció del primer curso de matemáticas y luego tienen los demás
cursos de matemáticas en las carreras de ingeniería y van apareciendo por ahí los
logaritmos, regresando al fenómeno, si no tiene el sustento básico, usted ya nos ha
platicado, como es que acá, en el nivel universitario se va a trabajar, usted atiende el
problema y dice: voy a revisar ciertos conceptos, aspectos conceptuales de los
logaritmos y exponenciales y lo trabaja. Si vemos el problema en un nivel un poco
más amplio en su universidad, ¿Cómo vería usted ahí el problema del aprendizaje
respecto de los logaritmos en los estudiantes? ¿Cómo lo vería usted a nivel más
amplio en su experiencia en la universidad?
R Encuentro por ejemplo, ya en mis clases de maestría que esa carencia se sigue
arrastrando, seguimos arrastrándola aun siendo ingenieros yo considero que no, por
la naturaleza de los trabajos o de la misma educación, pues no hemos tenido la curia
de ir tapando esa seria de fallas que tenemos y no nada más eso, aunado a que el
cerebro también olvida y que cualquier conocimiento tiene que estar constantemente
siendo reabsorbido, analizado de nuevo se siguen teniendo carencias muy grandes.
Cosas que tuvimos que haber estudiado en prepa, en secundaria, en la universidad
ya no aparecen, estamos trabajando con suposiciones de que: “el alumno debería de
saber”, pero hay que estar siguiendo los programas de estudio, o de suposiciones
falsas.
C Y luego ¿qué consecuencias trae todo esto?
R ¡Más ignorancia!
R Si, al tener esa falta de conocimientos, no podemos llegar a la aplicación tampoco,
definitivamente no se puede, si vamos a llegar así como que, pues mochos, pues
tampoco, definitivamente no se puede, no da soluciones.
ANEXOS
155
C Y si llega un estudiante de ingeniería, que usted conoce más, en su trayectoria y
experiencia además, las consecuencias que tiene otra vez en las aplicaciones, en su
trabajo diario, cuando quiere desarrollar aspectos de tecnología, que pase cuando
carece de este conocimiento fundamental de los exponenciales y logaritmos.
R Pienso en un ejemplo, en una aplicación, así rapidísimo: un brazo que tiene que
tomar una pieza (ahora que están de moda los robots), para poder resolver un
problema, sino sabemos cómo se carga un capacitor, que al fin y al cabo puede
arrancar un motor, menos vamos a mover el motor y no vamos a tener la precisión
necesaria, nos quedamos lejos de resolver un problema real, se queda tal vez en el
pizarrón ahí, sin llevarlo a la realidad. Si aun así, del pizarrón a la realidad hay una
serie de factores que uno no siempre contempla, pues con esas carencias todavía
estamos más lejos de una solución real.
C Entonces, la formación que adquiere un ingeniero en estas instituciones educativas:
universidades e institutos tecnológicos etc. sin esa formación básica de logaritmos,
le parecería a usted, claro, tiene relación después con otros muchos aspectos, pero
sin ese conocimiento básico de logaritmos le parecería a usted que ese ingeniero que
egresa de nuestras instituciones estaría carente de algo pero fundamental.
R Si desde luego, pienso por ejemplo en un plato de conejo guisado de los que hacía
mi abuela, pues si no tiene cominos ya no sabe igual, el sabor ya no es el mismo y si
le quita uno el picante también, y si le quitamos la cebolla pues va quedando cada
vez menos completo. Yo lo siento de la siguiente manera, de menos integrar
conocimientos de lo que son las necesidades.
C Y entonces, la gran pregunta es: ¿Qué estamos haciendo para remediar o que usted
piensa que podríamos hacer para resolver ese problema de un aprendizaje muy
fallido si se pudiese decir así, o muy limitado o restringido alrededor del tema de los
logaritmos?
ANEXOS
156
R Pienso yo por ejemplo ahora en mi institución y en los cambios de temarios, antes
me aparecían y ahora no aparecen, no sé hasta qué nivel de profundidad en los
niveles de educación superior, media superior, secundaria y bachillerato
R No sé cómo haya desaparecido, en mi institución desaparecen las matemáticas que
ven esos temas y si yo después tengo que ver aplicaciones de control, pues dejo de
ver las aplicaciones de control para poder ver esa parte, entonces en un mundo que
va corriendo, todo debe de ser rapidísimo, porque yo lo veo así, todo mundo lleva
prisa y se va perdiendo ese conocimiento y no sé por qué causa, motivo o razón
desaparece de los programas de estudio por lo menos en la escuela. Habría que ver
desde los planes mismos de estudio ¡quien los hizo! Y por qué los quitaron.
C ¿Pero si le parece a usted una situación grave?
R Si, definitivamente es grave. Porque yo pienso que no solamente en asuntos de
logaritmos, hay muchos otros. Entonces ese montón de carencias nos van haciendo
personas “carentes” de conocimiento y entonces, ignorantes al fin y al cabo.
C Pero usted por ejemplo podría decir, tomando en consideración lo real, que si
deberían de verse en secundaria lo más elemental.
R Si, es muy necesario, en la época de la secundaria la mente aún está fresca, está
abierta, yo recuerdo que estudié en una secundaria técnica, me daban agricultura,
apicultura, ganadería pesca, electricidad, carpintería, procesamiento de lácteos, de
carnes y todo eso le va dando a uno habilidades en las manos que posteriormente
difícilmente se desarrollan. El cerebro, pienso yo que aún se está desarrollando bien
y es una etapa crucial en el conocimiento.
C ¿Los logaritmos deberían de verse en secundaria?, ¿Luego otro nivel en
bachillerato?
R Sí.
ANEXOS
157
C Que hubiera una articulación del tema ¿no?, secundaria, bachillerato, nivel
universitario.
R Yo considero muy necesario, porque, como le decía hace unos momentos, uno debe
de estar refrescando los conocimientos. Entonces si se deja de dar un año, sean
conceptos o no, hay un olvido. Debería de estar uno constantemente
retroalimentando los conocimientos.
A En su experiencias académicas, además de exponenciales y logaritmos ¿Qué otros
temas cree que falten en estas épocas?
R Yo encuentro en los chicos que llegan, en realidad, carencias en todos los temas. Por
ejemplo ya no se ven funciones trigonométricas, el álgebra misma no tiene la
secuencia, e incluso no tiene secuencia. Yo recuerdo que las multiplicaciones que es
uno de los elementos básicos en primaria, antes se nos exigía sabérnoslas de
memoria y ahora ya no. Entonces desde el álgebra misma se requiere de manera
muy urgente que se retomen esos temas y se vuelvan a aplicar. Yo no sé quién hace
los programas de estudio, desaparecen una serie de elementos que son muy
necesarios, como es geometría, álgebra, los mismos logaritmos y exponenciales,
teoría de funciones, relaciones.
A Gracias, una preguntita más pequeña: ¿Dónde usted trabaja usan calculadora o
graficadoras para calcular logaritmos?
R Una calculadora para mí no es más que un máquina que hace lo que uno le pide, no
sabe lo que uno le está pidiendo a la calculadora o computadora, el uso de la
máquina es “igual”. Sin el conocimiento que sustenta la utilización de esa máquina,
pues, tengamos la computadora más moderna, es indiferente.
C En esa misma dirección, ¿qué pensaría usted de esto que argumenta que algunas
personas quizás hagan esos programas y que digan que los logaritmos no los
necesitamos y que con la calculadora se encuentran logaritmos? ¿Qué pensaría usted
o que contra argumentaría al respecto?
ANEXOS
158
R Pues los pondría a hacer un logaritmo a ver si lo pueden resolver, yo pienso que las
personas que los están haciendo no conocen las aplicaciones del conocimiento y
hasta dónde puede llegar.
C Ese es un problema grave, que bueno que lo tratamos, porque pareciera que es ahora
como ya tenemos las calculadoras o las computadoras, software y demás, pues le
decimos a la calculadora, calcúlame tal valor de logaritmo de tal número, y ya, con
eso es suficiente, o calcúlame el antilogaritmo o lo que fuera, pero el asunto es que
en problema, los estudiantes ¿saben que están haciendo las calculadoras, por qué les
arrojan todos esos números?, ¿cómo lo interpretan?, ¿tienen los conocimientos
básicos para entender lo que está haciendo la calculadora?, ¿son capaces de
interpretar?
R No lo tienen, tener un montón de datos ahí amontonados, no sirve de nada si, no se
tiene la interpretación y la posible aplicación de ellos. De tal suerte que si el chico
usa su calculadora y saca un número de logaritmo, no sabe que es un logaritmo,
tiene el valor de un número, pero eso en su cabeza no representa nada. Si yo voy
con un chico y le digo haber: ¡grafícame la exponencial que es eso!, no tiene ese
conocimiento. En mi experiencia yo recuerdo que se veía ese conocimiento, que
existía ese conocimiento en la secundaria, pero no esos conceptos necesarios para
tener la interpretación correcta, desde luego, de los mismos. Al paso de los años uno
va encontrando ese montón de carencias y va uno tratando de sanar todas esas
carencias, pero definitivamente el chico no sabe qué hacer con esos datos, aunque
usen calculadora y les arrojen resultados.
C Ese argumento que pueden utilizar algunas personas, e inclusive algunos profesores
de ¿por qué? No ven logaritmos, es un tanto falaz o inadecuado, porque requieren
necesariamente los estudiantes, de cualquier nivel conocer los conceptos básicos de
los logaritmos, sus propiedades básicas para poder interpretar, y en todo caso
llevarlo un poco más adelante, a lo práctico, como en temas como en los que hace
un rato se mencionaban.
ANEXOS
159
R Pienso yo que debemos de redireccionar el asunto educativo, porque como
ingenieros nos falta todavía, también habría que ver ¿qué es lo que se busca en los
modelos educativos?, si nada más estamos buscando cambiar un foco o
verdaderamente llegar a otro tipo de conocimientos más profundos que nos permitan
desarrollar cosas, tan necesarios.
C Ya casi para terminar. En la formación matemática de un ingeniero, otra vez hay
muchos temas por supuesto, además de los que se veían en licenciatura, pero de lo
que vemos como elementos básicos, en este caso los logaritmos una vez más a usted
le parece fundamental, claro, hay muchos otros temas, pero concretamente en
logaritmos le parece fundamental el aprender antes del nivel universitario.
R Si, alguna vez platicando con algunos amigos de Sudamérica de Brasil, de
Argentina, que la universidad era un lugar donde se iban a aprender conocimientos
muy precisos, los logaritmos son precisos desde luego, pero también son
fundamentales. Son herramientas de una base que sustenta a otro tipo de
conocimientos más especializados, sin ese base no se puede sustentar, sin raíces los
árboles se van para abajo.
C pues parece ser todo maestro, muchísimas gracias por participar, por estar aquí con
nosotros.
R Muchas gracias a ustedes por la invitación
ANEXOS
160
A5 ENTREVISTA AL ESTUDIANTE
Entrevista realizada por los doctores del área de matemáticas Ing.María de Lourdes
Pérez Ruiz (L)y la Dra. Anna Tarasenko (A), al TSU Alejandro Meza (M), el día 27 de
julio, a las 10:30 hrs; en la UAEH:
L Estamos en la UAEH para llevar una entrevista con un estudiante de ingeniería en
Mecatrónica acerca del tema de los logaritmos, quisieras darnos tu nombre y
decirnos, en qué nivel estas.
M Mi nombre es Alejandro Meza Pérez, soy estudiante de la Universidad Tecnológica
del Valle del Mezquital. Actualmente me encuentro cursando el noveno
cuatrimestre de la ingeniería en Mecatrónica.
L Quisieras, dado que el tema es de logaritmos, decirnos ¿en qué momento educativo
tienes el primer contacto con lo que, son los logaritmos?
M Mi primer contacto fue en nivel de secundaria, justamente cuando empezamos a ver
los temas de álgebra, en ese nivel fue en donde nos presentaron por primera vez los
logaritmos.
L Cuando tú tienes este primer contacto con los logaritmos, entendías el significado,
el concepto de los logaritmos.
M Realmente no, solo lo manejaba como un valor definido por algún científico en
alguna época antigua, pero no, en si el concepto de logaritmo no está bien
cimentado hasta la fecha.
L En que momento ya a nivel licenciatura, requieres del concepto de los logaritmos.
M En ingeniería en Mecatrónica se nos exige mucho la parte de control. El control de
procesos en una industria está basado, ya sea termodinámica, ya sea electrónica, en
el proceso que sea se requieren mucho en la matemática a nivel superior, ya sean
ANEXOS
161
ecuaciones diferenciales de primero o segundo orden, si es necesario conocer lo que
es el logaritmo, como aplicarlo.
L Ok Cuando tu aplicas el logaritmo ¿Qué necesidades tienes dado que tienes, más
bien; que no tienes el concepto de logaritmos sino solamente una idea vaga de que
son números? Que haces tú para suplir estas necesidades? ¿Cómo tu logras aplicarlo
o utilizarlo en las ecuaciones?
M Bueno desde atrás, en primaria y en bachillerato; en la secundaria solo manejaban
que era un número, tienes tu calculadora, está la tecla de logaritmo, utilízala y es
todo. Ya en bachillerato me enseñaron que el logaritmo también viene en tablas, nos
dijeron hay libros donde pueden encontrarlas, también nos enseñaron que tenían
otra base los logaritmos, para serles sincero yo no se manejar muy bien la
calculadora, los logaritmos; si tengo un logaritmo en base diez lo aplico, pero si
tengo un logaritmo en otra base ya se me dificulta meterlo a la calculadora y para
sustituirlo sería mi carencia en logaritmos, así no lo han manejado como una simple
receta de cocina, ya que hagas tu formulario, o en calculadora y ya es un valor dado
nada más. Realmente no analizamos lo que es el concepto de logaritmo.
L Ok. Los logaritmos tiene propiedades que se aplican desde calculo diferencial, por
supuesto en ecuaciones diferenciales, incluso hay ecuaciones diferenciales que
requieren de estas propiedades y de la exponencial misma para llegar a un resultado
concreto, ¿cómo entonces haces para esta carencia?, ya no es el cálculo del número,
sino aplicar las propiedades de los logaritmos.
M Bueno, si esas propiedades de los logaritmos que usted menciona, lo vimos
recientemente, hace un cuatrimestre. Estamos llevando una ingeniería en la que
estamos a punto de salir, apenas al ver ecuaciones diferenciales, el profesor tuvo que
regresarse a ver esos conceptos para resolver ecuaciones diferenciales. Porque él
nos decía: este el logaritmo de esto y de esto, se suman, y nosotros nos quedamos
¿qué? Él nos decía: son conceptos básicos, que tuvieron que haberlo visto en
preparatoria, pero nosotros nos quedamos como una cara de ¿qué?, porque no
supimos esos conceptos básicos. Él tuvo que regresarse a darnos esos conceptos
ANEXOS
162
para poder avanzar en su materia, sino simplemente no hubiéramos podido resolver
las ecuaciones.
L Cuando él se regresa a estos conceptos, ¿retoma el concepto de logaritmos para
explicarles que es?
M No, él no se regresó tan atrás a lo que es el concepto, él solamente se enfocó a la
carencia, qué nos hacía falta, aplicar las propiedades.
L ¿Actualmente tú ya cuentas con una idea conceptualizada de lo que es un logaritmo?
M Bien sustentado no, sinceramente no.
L Cuando en lo que tu estas estudiando qué me dices que se requiere para el control de
procesos, el modelado y demás, tu aplicas las propiedades de los logaritmos y llegas
a un resultado, si éste tiene que ver con alguna función exponencial o logarítmica
¿Cómo interpretas?
M Bueno, la mayoría de las veces con graficación de los valores, por ejemplo, si
tenemos un proceso lo graficamos contra el tiempo, si nos encontramos con alguna
función exponencial o logarítmica, lo graficamos para ver su comportamiento, pero
así, ¿analizar por qué es exponencial o logarítmica?, o ¿por qué tiene esas
variaciones en el tiempo?, no siento que tengamos ese conocimiento para decir,
¡pasa por esto!
L Si tú observas el comportamiento del crecimiento demográfico, ¿podrías explicarlo
con las propiedades de las funciones logarítmicas o exponenciales?
M No, solamente nos manejan que esta función crece exponencialmente. Nosotros al
pensar en la función exponencial, decimos ¡es mucho!, no está creciendo
linealmente, esta crece y crece y se va.
L Exactamente, pero si nadie te dijera que es un crecimiento exponencial ¿podrías
relacionarlo?
ANEXOS
163
M No.
L Y eso se debe a que no tienes el concepto de que es exponencial ya que es un
logaritmo, si tú supieras exactamente que es un logaritmo y que es una exponencial.
Si sabes esa idea creo que podrías hacer la relación, pero debido a que no la tienes
no puedes hacer la relación, entonces ¿Cómo piensas cuando ustedes resuelven un
problema de modelación?, ¿cómo entiendes este comportamiento sino hay una
relación con la realidad?
M Llegamos a un resultado entre comillas favorable, porque llegamos al resultado,
sabemos que el sistema se comporta así, pero no lo entendemos al cien por ciento.
Les digo, nos manejan un concepto mecanizado, agarras tu tabla y sacas los
resultados y ya, ese es el resultado que te dio, no nos hacen analizar más allá, que es
lo que realmente está pasando con el sistema, o con el fenómeno.
L Si tú pensaras en realizar un proyecto en control de algún sistema, con esta carencia
que tienes, ¿crees que podrías realizarlo exitosamente?
M Probablemente no, pero yo tengo un concepto, que a veces el conocimiento se
adquiere más por necesidad que por gusto y en ocasiones así lo va a requerir el
trabajo, tenemos que meternos a los libros para entender, pero eso ya es un caso
extremo, porque nosotros no estamos tan fascinados por regresar a un libro y ver lo
que está pasando, pero si es por necesidad, el alumno tiene que regresarse.
L Si tú te situaras en un México ideal, en donde México fuera un país vanguardista en
cuanto a tecnología, que tuvieras las bases fundamentales para hacer punta de lanza
tecnológica, como nuevo profesional.
M Yo creo que México tiene todo lo necesario para salir adelante, tenemos talente,
tenemos todo, tenemos ingeniería, ingenio para realizar las cosas, pero realmente de
una época para acá los conocimientos han ido decayendo. Yo he tenido muchos
profesores que nos contaban que en la preparatoria o en la secundaria, es que antes
las matemáticas se veían más duro, se veían conceptos más pesados, e incluso
ANEXOS
164
ahorita tengo un hermano pequeño que está en la primaria, su nivel que está
llevando, realmente está muy pobre. Hay algunos conceptos que todavía no los
entiende, la raíz cuadrada él todavía no la ve. Yo recuerdo haberla visto en tercero
de primaria, mi mamá me la enseño desde antes. Eso quiere decir que de cierto
modo l educación está decayendo poco a poco y es realmente ahí donde está el
problema, por eso no hemos avanzado, hay algo que se está perdiendo en el proceso.
A Probablemente todo es tan cercano a este tema, quisiera preguntarte cual es tu
calificación en matemáticas promedio, como un 7 un 8, 9 o diez en matemáticas.
M A mí siempre me han gustado las matemáticas, mi promedio es de alrededor de 9.
A Y tampoco es lo más bajo, ¿verdad?
M No, solamente en ciertas ocasiones hay materias que si me han demandado de más y
bajo un poco, pero conservo cierto nivel porque le tengo agrado a las matemáticas.
A Y ¿tú sabes que libros de matemática puedes tomar?, un libro de matemáticas de por
ejemplo de nivel de preparatoria y ¿en preparatoria estudiaste logaritmos?, porque la
pregunta de la profesora fue ¿cuándo tuviste el primer encuentro con los
logaritmos?, ¿pero si la viste otra vez o no?
M En el bachillerato estudie técnico en construcción, ahí se requiere el área de físico –
matemáticas para calcular estructuras y todo eso, igual nos presentaron los
logaritmos, vimos álgebra, vimos trigonometría.
A ¿Y si estudiaste bien logaritmos?
M Los conceptos siguen siendo muy bajos.
A ¿Por la técnica de educación?
M Si, seguimos siendo: llegar, aplicar y ya se acabó. No llegamos más allá.
A Entonces vamos a poner un ejercicio de logaritmo.
ANEXOS
165
�@Aw25=
¿Qué número es?, sin calculadora.
M Tengo entendido que es algo relacionado con el exponencial, que es multiplicar uno
de estos números para llegar al resultado
A Es exponente, exacto.
M El resultado es 2, que es la potencia.
A Excelente, ¿esto tú lo aprendiste en preparatoria?
M Me lo explicaron alguna vez, me parece que lo vimos en la secundaria, este
conocimiento lo acabo de refrescar el cuatrimestre pasado, si no hubiera llevado esa
materia en este momento no lo hubiera podido resolver, sinceramente.
A ¿Y tú usas calculadora, verdad, para calcular logaritmos, si la necesitas?
M Si
A Por ejemplo si te dan el logaritmo de 1, ¿también usas calculadora, o si puedes
pensar de esta forma de definición de exponente?
M No, si nos dejaran un ejercicio, lo que hacemos todos los alumnos es: llegar y
calculadora ta, ta, ta, ta, resultado. Es llegar aplicar calculadora y ya. Estamos muy
mecanizados en este sistema. Ya no nos detenemos a pensar. He llegado en
ocasiones en las que operaciones simples, como sumas y multiplicaciones, llegamos
y a la calculadora. Ya no nos detenemos a ver que es fácil.
A Si entre mis estudiantes también, de pronto digo diez entre dos y sacan calculadora.
Ya no quieren hacer nada mentalmente, y cambia mucho si la calculadora les da
coseno de 0 es 1, no dudan. Tú crees que vale la pena estudiar logaritmos más
profundos.
ANEXOS
166
M Yo creo que sí, porque te dan un concepto en una forma vaga y nosotros no estamos
aprendiendo realmente. Estamos aprendiendo a utilizar máquinas, utilizar tablas, no
estamos aprendiendo realmente.
A Si se rompe máquina, pues no sabemos qué hacer.
M En la vida real, es cuando se ve realmente para qué son las matemáticas.
A ¿Tú crees que matemáticas sirvan en general para aprender a calcular números?
M Antes no lo comentaban así y, tal vez en ese sentido es por eso que no le ponemos
tanto interés a las matemáticas. No podemos echarle toda la culpa al sistema
educativo. Está fallando el sistema educativo, pero los alumnos también fallan.
Tanto en la secundaria por estar distraídos haciendo otras cosas, o en el bachillerato
porque no les encontramos aplicación útil a las matemáticas. Nos presentan un
logaritmo, nos dicen: a logaritmo de este tal, pero no nos dicen para que es, para que
realmente estamos ocupando el logaritmo, lo tomas como ¡Ha, logaritmo!, pero no,
si nos dijeran realmente para qué sirve el logaritmo, y que es, le encontraríamos
sentido a las matemáticas, y podríamos entender ya a conciencia.
A En general en el mundo, no solo en México, en todo el mundo, disminuyen horas de
matemáticas en secundaria, preparatoria, etcétera, el nivel disminuye en nivel medio
básico y básico, entonces, tú crees que si vale la pena disminuir horas de
matemáticas, que no sirven tanto, ¿no es necesario que uno sepa tantas cosas de
matemáticas, muy profundas y bien sustentadas?
M No, las matemáticas, desde mi punto de vista, son muy importantes. La mayor parte
de las cosas que nos rodean, están fundamentadas en matemáticas, ya sea un
arquitecto que esté construyendo un edificio o un ingeniero electrónico que esté
realizando sistemas de alarmas, para todo se requieren las matemáticas, no podemos
llegar simplemente y armar un aparato, para ver sí funciona, tenemos que estar
seguros de que el aparato va a funcionar, para ello se requieren matemáticas.
A Muchas gracias, muy interesante.