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Problemas resolvidos de Operações de Transferência Versão 0.70 João Mário Miranda [email protected] http://www.fe.up.pt/~jmiranda/ot/ 1

Exercicios de OP2

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O arquivo trata de uma lista de exercícios de operações unitárias II, exercícios bem simples.

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Page 1: Exercicios de OP2

Problemas resolvidos de Operações deTransferência

Versão 0.70

João Mário Miranda

[email protected]

http://www.fe.up.pt/~jmiranda/ot/

1

Page 2: Exercicios de OP2

Conteúdo

1 Introdução 41.1 Programa 2002-2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Versões programadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Página Web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Projecto de tubagens e bombas 72.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Velocidades típicas em tubagens . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 10

2.5 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Simulação do escoamento em tubagens . . . . . 11

2.5.2 Projecto de tubagens . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.3 Tubagens ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5.4 Projecto de bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Leitos fixos e fluidização 453.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 47

3.4 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4.1 Exercício extra 3.v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Transporte de calor 534.1 Formulário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2

Page 3: Exercicios de OP2

4.2 Peguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 54

4.3 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5 Filtração 705.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha . . . . . . . . . . . 73

5.4 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4.1 Filtração a pressão constante . . . . . . . . . . . 82

5.4.2 Optimização e lavagem . . . . . . . . . . . . . . . 84

3

Page 4: Exercicios de OP2

Capítulo 1

Introdução

1.1 Programa 2002-2003

1. Apresentação dos objectivos da disciplina, programa e métodode avaliação.

2. Breve revisão de alguns conceitos fundamentais da mecânicade fluidos.

� Regimes de fluxo e número de Reynolds (2.5).� A equação de Bernoulli (2.7).� Equações de projecto para o fluxo laminar e turbulento

em tubagens (2.10).� Fluxo compressível de gases (2.11).

3. Aplicações e projecto de instalações envolvendo fluxo de flui-dos.

� Fluxo com objectos imersos, em leitos porosos assentes efluidizados (3.1).

� Medição e medidores de caudal (3.2).� Bombas e equipamento para movimentação de gases (3.3).� Agitação e mistura de fluidos; cálculo da potência necessária

(3.4).� Fluidos não-Newtonianos (3.5).� Fluxo em sistemas de tubagens ramificadas.

4. Princípios e projecto de unidades de transferência de calor emestado estacionário.

4

Page 5: Exercicios de OP2

� Introdução e mecanismos de transferência de calor (4.1).� Transferência de calor por convecção forçada em tubagens

(4.5).� Transferência de calor por convecção forçada no exterior

de várias geometrias (4.6).� Transferência de calor por convecção natural (4.7).� Ebulição e condensação (4.8).� Permutadores de calor (4.9).� Transferência de calor por radiação; utilizações principais

(4.10).� Transferência de calor com fluidos não-Newtonianos (4.12).� Coeficientes de transferência de calor especiais (4.13).� Condensadores para evaporadores e cristalizadores (8.6)

5. Processos de separação físico-mecânica.

� Introdução e classificação das operações de separação físico-mecânica (14.1).

� Filtração em separação sólido-líquido (14.2).� Elutriação e sedimentação na separação de partículas (14.3).� Processos de separação centrífuga (14.4).� Redução mecânica do tamanho (moagem) (14.5).

1.2 Versões programadas

até à versão 0.80 – corrigir erros de contas, conceptuais e de por-tuguês

até à versão 0.90 – complementar todo o texto com análises teóricas

até à verão 1.0 – rever tudo

1.3 Bibliografia

1.3.1 base

Geankoplis, C.J., 1993. "Transport Processes and Unit Operations,3rd ed.", Prentice Hall International, Inc., New Jersey, USA

5

Page 6: Exercicios de OP2

1.3.2 complementar

Foust, A.S., et al., 1960."Principles of Unit Operatiosn", John Wiley.

McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriot, P., 1993 (2001). "Unit Oper-ations of Chemical Engineering, 5th (6th)ed.", McGraw Hill, N.Y.,USA.

Coulson, Richardson, 1993. "Engenharia Química, vol.1", Fund.Calouste Gulbenkian, Lisboa.

Perry, R.H., Green, D.W., Maloney, J.O., eds., 1991. "Perry´s Chem-ical Engineering Handbook, 7th ed., McGraw Hill, N.Y., USA.

1.4 Página Web

http://www.fe.up.pt/~sereno/OT0102.htm

http://www.fe.up.pt/~jmiranda/ot/

6

Page 7: Exercicios de OP2

Capítulo 2

Projecto de tubagens ebombas

2.1 Nomenclatura� ms � � velocidade� Nm � � pressão� adm factor de correcção: turbulento=1, lami-

nar=0.5�adm coeficiente de atrito de Fanning -

laminar:���� ������

��� adm número de Reynolds

�m diâmetro da tubagem� kgm ��� massa volumica�m comprimento da tubagem���Nmkg � �Jkg � �m�s � �

trabalho ao veio por unidade de massa

� kgm � � s � � viscosidade�! Nmkg � �Jkg � �m�s � �

perdas totais

"adm constante da equação das perdas menores# ��$Nmkg � �Jkg � �m�s � �

perdas na expansão

#�%Nmkg � �Jkg � �m�s � �

perdas na expansão

& m rugosidade

7

Page 8: Exercicios de OP2

��Nmkg � �Jkg � �m�s � �

perdas na tubagem por fricção

� � � Nm � � queda de pressão por atrito�K temperatura�m�

área perpendicular ao escoamento�� adm rogusidade relativa

2.2 Formulário

Equação de Bernoulli modificada

� � � � � � ���� � � ��� � � � � � ����� ��� � � � � � � � ����� (2.1)

Queda de pressão por atrito

��� � ��� � � �� � �� � (2.2)

Perdas na tubagem

�� � ��� �� ��� � �� � �� (2.3)

Coeficiente de atrito — regime laminar

� � ������� (2.4)

Perdas de carga em acidentes

# � � " � � �� (2.5)

Perdas de carga em expansões

1 2� � #���$ �! � � �� �#" � � �� � � " � $ � ��� � (2.6)

Perdas de carga em contracções

8

Page 9: Exercicios de OP2

1 2� � #�% � � � ��� � � �� � " � ��� � � " % � ��� � (2.7)

Número de Reynolds

� ��� � � � �� (2.8)

Limite superior de regime laminar — tubos circulares

� ����� � � � � ��� � � � (2.9)

Densidade da água� ��� � � � ��� � � � ��� � � � � � � � � � � �

� � � ��� � � � �� � � � � � � � � � � ��� � ��� (2.10)

Viscosidade da água

� � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � ��� " (2.11)

Equação de Nikuradse

� � ��� � ��������� � ����� �! � � � � (2.12)

Equação de Blasius

� � � � ��� ����� � �#" � (2.13)

Equação de Colebrook and White

� � � � � � �$�%��� &� � � � � ������ � � " � � � � � (2.14)

Equação de Shacham

9

Page 10: Exercicios de OP2

� � ���� �%����� � " ���� � � �� � �� � �%��� � � " ���� � � � � � � � � (2.15)

Equação de Haaland

� ��� � � � � �%���� � � ����� � &�� �� � � " � � "������ ��

(2.16)

2.3 Velocidades típicas em tubagens

Velocidades típicas em tubagens de aço

fluido zona de escoamento velocidade (m/s)pouco viscoso (água) montante da bomba 0.6 - 0.9

jusante da bomba 1.5 - 2.5viscoso montante da bomba 0.06 - 0.025

jusante da bomba 0.15 - 0.6gases — 9 - 36vapor — 9 - 23

2.4 Perguntas teóricas - múltipla escolha

1 - Para um dado caudal mássico, o número de Reynolds:a) aumenta com o diâmetro dotubo

b) diminui com o diâmetro dotubo

2 - Para um dado caudal mássico, a queda de pressão numa tubagemdevido ao atrito :a) aumenta com o diâmetro dotubo

b) diminui com o diâmetro dotubo

3 - Numa tubagem com uma inclinação de 45 � , a velocidade:a) aumenta ao longo datubagem

b) diminui ao longo datubagem

c) não varia3 -A velocidade na superficie livre num tanque com área muitogrande é:

a) zerob) desprezável em relação aoutros termos da equação deBernoulli modificada

c) significativa

10

Page 11: Exercicios de OP2

2.5 Problemas resolvidos

2.5.1 Simulação do escoamento em tubagens

res.2.10-3, pp.89Um líquido com a densidade de 801 kg/m3 e a viscosidade de 4.46cp, flui numa tubagem à velocidade de 4.57 m/s. A tubagem é deaço comercial sch.no. 40 com 2" de diâmetro nominal. Calcule a asperdas de energia mecânica por atrito

�em J/kg numa secção da

tubagem com 36.6 metros. [Resp. 174.8 J/kg]

tipo de problema: simulação, determinado

� ��� � � � cp��� � � � cp

� � ��� kg m � � s � � cp��� � � � � � ��� kg m � � s � �

(2.17)

D� ��� � � � � � � ��� m (Tabela A.5-1, pp. 892, [Geankoplis])

N��� � � � �

� (2.18)

N��� � � � kg m ��� � � � � � m s � � � � � � � ��� m� � � � � � ��� kg m � � s � �

��� � � � � � (2.19)

Como o número de Reynolds é muito superior a 2100, o regime deescoamento é turbulento.

Como o tubo é feito de aço comercial, a rugosidade, segundo a figura2.10-3 [Geankoplis] é dada por:

& � � � � � � �� m (2.20)

A razão entre a rugosidade e o diâmetro é:

&� � � � � � � �� m� � � � ��� m

� � � � � � ��� (2.21)

O coeficiente de fricção determina-se do gráfico de Moody:

11

Page 12: Exercicios de OP2

� � � ����

&� � � � � � � � (2.22)

As perdas na tubagem são dadas pela equação:

� �� ��� � �� � �� (2.23)

� �� ����� � � � � � �$� � � � � m� � � � ��� m

� � � � � m�s�� (2.24)

� �� � � � � � � JKg � � (2.25)

ex. 2.10-3, pp.111Um líquido com a densidade de 801 kg m ��� e uma viscosidade de � � � � ��� Pa.s flui numa tubagem horizontal de aço de 1,5", Sch.no.40 à velocidade de 4.57 ms � �

� calcule as perdas por atrito �

. [Resp. 348.9 J/kg]

� supondo que se utiliza um tubo liso com o mesmo diâmetrointerno, qual seria a redução percentual de perdas que se con-seguiria. [Resp. 21.4%]

tipo de problema: simulação, determinado

� � � � kg m ��� (2.26)

� � � � � � ��� kgm � � s � � (2.27)

Do apêndice A.5 [Geankoplis]:

� � � � � � � � m (2.28)

� � � � � � ms � � (2.29)

12

Page 13: Exercicios de OP2

� � �# m (2.30)

� ��� � � � kg m ��� � � � � � ms � � � � � � � � � m � � � � ��� kgm � � s � �� � � ��� � (2.31)

Da figura 2.10-3[Geankoplis]:

& � � � � � � �� m (2.32)

pelo que o número adimensional & � � é igual a:

&� � � � � � � �� m� � � � � � m

� � � � � ��� (2.33)

Segundo o diagrama de Moody, para� ��� � � � ��� � e

�� � � � � � ���o coeficiente de fricção

�é igual a 0.006.

As perdas de atrito determinam-se por:

�� ��� � �� � �� ����� � � � � � � �# m� � � � � � m� � � � � ms � � � ��

m�

s � � (2.34)

�� � � � � � J Kg � � (2.35)

Para um tubo liso, do diagrama de Moody determina-se� � � � � � � �

pelo que:

�� ��� � �� � �� ����� � � � � � � � �# m� � � � � � m� � � � � ms � � � ��

m�

s � � (2.36)

�� � � �# � � J Kg � � (2.37)

Redução percentual:

� � � � � � �# � �� � � � � � � ��� � ���

(2.38)

13

Page 14: Exercicios de OP2

ex.2.10-10, pp.112Água circula no espaço anelar de um permutador de calor de tubosconcêntricos colocado horizontalmente, sendo aquecida de 40oC a50oC no permutador que tem um comprimento equivalente de 30m. O caudal de água é de 2.90E-3 m3/s. Os tubos são de açocomercial, sch.no.40, o interior de 1" e o exterior de 2". Qual aqueda de pressão sofrida pela água ? (considere as propriedades daágua à temperatura média e suponha, para efeito de correcção dofactor de atrito, que a parede do tubo está a uma temperatura 4oCacima da temperatura no seio do fluido.

Não resolvido

ex. 2.10-4, pp.111Num projecto de hidráulica vai ser usada tubagem de ferro fundidocom um diâmetro interno de 0.156 m e 305 m de comprimento paratransportar águas residuais a 293K. A altura de àgua disponível éde 4.57 m. Desprezando as perdas em juntas e outros acessóriosda tubagem calcule o caudal na conduta (considere as propriedadesda água).

tipo de problema: simulação, determinadoDados e conversões

� � � � � � m (2.39)

� � � � �m (2.40)

� � � �K (2.41)

Da tabela A.2-3 [Geankoplis]:

� � � � � ��� Kgm ��� (2.42)

Da tabela A.2-4 [Geankoplis] :

� � � � � � Kgm � � s � � (2.43)

14

Page 15: Exercicios de OP2

não há trabalho ao veio,� � � �

Da figura 2.10-3[Geankoplis] (ferro fundido ==cast iron):

& � � � � � � � � m (2.44)

Equações

� � � � � � �� � � � � � � � � � � ����� ��� � � � � � � � ����� (2.45)

continuidade:

� � � � � (2.46)

caudal:

� � � ��� � �� (2.47)

Reynolds:

� ��� � � � � �� (2.48)

Perdas:

� � � � �� � � �� � (2.49)

Haaland:

� � � ��� �&�� � � � � � � � � �%��� � � ����� � &�� �� � � " � � "������ �

�(2.50)

Incógnitas�

�� �

�� �

������

��

� Algorítmo

15

Page 16: Exercicios de OP2

arbitrar � � � � � ��� ���� � � � � � ����� ������ �� � �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

� ��� � � � � �%��� � � � �� � � � � " ���� �

� � "�� � � � � � � ���� �

�� � � � � ��� � � � � �� � � � ������ ���� �

� ���

��

� �� �

���� conv?não

simresultados

Resolução numérica

iteração � � � � � ����� � �(m/s) ��� ��� � � ) (m) (J/Kg)

1 1 0.123 1 � ��� � � 44.8� � � � � � ���

2 1.40 0.171 1.40� � �� � � 44.8

� � � � � ���3 1.41 0.172 1.41

� � ��� � 44.8� � � � � ���

2.5.2 Projecto de tubagens

res.2.10-4, pp.90Pretende-se movimentar água a 4.4oC numa tubagem horizontal deaço comercial com 305 m a um caudal de 150 gal/min. Dispõe-sede uma altura de água de 6.1 m para vencer as perdas por atrito.Calcule o diâmetro que a tubagem deve ter. [Resp. D=9.5 cm àSc.no. 40 de 4"]

tipo de problema: projecto, determinado

Dados e conversões de unidades:

16

Page 17: Exercicios de OP2

� � � � gal min-1 � � � gal min-1 � min� � s � m �� � � � � gal(2.51)

� � � � � � � ��� m � s � � (2.52)

� � � � �m (2.53)

� � � � � � � � � � � � � ��� � � � K (2.54)

Da tabela A.2-3 [Geankoplis]:

� � � � � Kgm ��� (2.55)

Da tabela A.2-4[Geankoplis] :

� � � � � � � � � ��� Kgm � � s � � (2.56)

Da tabela do diagrama de Moody [Geankoplis] :

& � � � � � � �� m (2.57)

Equações:Equação de Bernoulli modificada:

� � � � � � �� � � � � � � � � � � ����� ��� � � � � � � � � ��� (2.58)

Está implicito no problema que:

� � � � ��� � � � � � � � � � � � m �s � � (2.59)

Continuidade:

17

Page 18: Exercicios de OP2

� � � � � (2.60)

Caudal:

� � � � � � �� (2.61)

Reynolds:

� ��� � � � � �� (2.62)

Perdas:

� � � � �� � � �� � (2.63)

Haaland:

� � � ��� �&�� � � ��� � � � � �%���� � � ����� � &�� �� � � " � � "������ �

�(2.64)

Incógnitas:� �

�� �

��

� ����

��

18

Page 19: Exercicios de OP2

Algorítmo:

arbitrar � � � ��� ���� � �

� � � � � � ��� � ���� �� � �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

� � � � � � � �%��� � � � �� � � � � " ���� �

� � "�� � � � � � � ���� �

�� � � � � ��� � � � � �� � � � � � �� ���� �

� ���

��

� �� �

���� conv?não

simresultados

Resolução numérica:

iteração � � � � � ����� � �(m/s) (m/s) (m) (J/Kg)

1 1 1 0.11� � � � 59.8

� � � � ���2 1.44 1.44 0.0915

� � ��� � � 59.8� � � � � ���

3 1.32 1.23 0.0954� � � � � � � 59.8

� � �$� � ���4 1.35 1.35 0.0945

� � � � � � 59.8� � �$� � ���

5 1.34 1.34 0.0947� � � � � � 59.8

� � �$� � ���6 1.34 1.34 0.0947

� � � � � � 59.8� � �$� � ���

19

Page 20: Exercicios de OP2

Extra 1

� A

� C

L1

H3

L2�D L3�E �P

H3

L1

� B

�FH4H2

H1H5

Dados: L1=50; L2=100; L3=100m; L4=50m; Fluido: água; T=25 � C.

a)Tendo em conta a instalação da figura, escreva as equações:

� da continuidade (A e B, C e F, C e D)

� de Bernoulli modificada (A e B, A e P);

� das perdas totais;

� do número de Reynolds;

� do caudal em função da velocidade;

� do coeficiente de Fanning;

Considere as duas hipóteses de regime de escoamento: laminar outurbulento.

Considere as duas hipóteses de regime de escoamento: laminar outurbulento.

b) Projecte a instalação com o objectivo de escoar� � � m � s � � do

tanque A para o tanque B. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=30;H4=20;H5=25. Considere os diâmetros

���e���

iguais.

� Desenhe um método iterativo adequado para resolver este prob-lema no Excel;

20

Page 21: Exercicios de OP2

� Modifique o método iterativo para resolver este problema compapel, lápis e calculadora;

� Qual o valor inicial da variável a arbitrar? De que factoresdepende esse valor?

c) Projecte a instalação com o objectivo de escoar� � � m � s � � do

tanque A para o tanque B. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=60;H4=20;H5=25. Considere os diâmetros

� �e� �

iguais.

� Determine a pressão no ponto P

d) Projecte a instalação com o objectivo de escoar� � � m � s � � do

tanque B para o tanque C. Dados: H1=40 m, H2=20m, H3=60;H4=20;H5=25. Considere os diâmetros

���=2

���iguais.

a)

EquaçõesEquação de Bernoulli modificada:

� � � � � � �� � � �� � � � � � � ����� ��� � � � � � � � ��� � (2.65)

Perdas:

� � � ��� � � � � # � � � �� �� � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � ���

� � ��� � � � � � � � ��� � � � ��� � � �� � " � ��� � � � � � � � ��� � � � � �� �

� � ���(2.66)

Continuidade:

� � �� �%� � � � � � ��� (2.67)

� � � � � � ��� �% (2.68)

21

Page 22: Exercicios de OP2

� � � � � � � � � (2.69)

� � � � � � � � � � � � � (2.70)

como a densidade é igual:

� � � � � � � � � (2.71)

como a área de escoamento é igual:

� � � � � (2.72)

Factor de atrito:

��� � � � � � � �%��� � � ������� � & � � �

� � � " � � "�� � � ��

(2.73)

� � � � � � � � �%��� � � � ����

� &�� � �� � � " � � "�� ��� � � (2.74)

Caudal:

� � � � � � �%� (2.75)

Número de Reynolds:

� ����� � � � � � �

� (2.76)

� ����� � � � � �

� (2.77)

Incógnitas� �

�� �

� ��

� ��

� ��� ��

� ���� �

� ��

� ��

22

Page 23: Exercicios de OP2

b)Algorítmo(excel)

arbitrar � � � � � � ���� �

� � � � � � � � � ����� �� � �������� � ��� � � �� ���

������ � � �

� � �

� �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

� � � � � � � � ������� � � �� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � �

� � � � � � � � �%����� � � �� � �� � � " � �

��� � � � "�� � � � ���� � ���� � �

� � � ���� � �

� ��� ����� ��� � ��� � � � � �� � � ��� � � � � � � � � � � � � � � �� � � ���� � " � � ��� � � " � � ��� � � ����� � � � ��� � ����� � � � ����� �� � � �����

�! � � �� � � ����� � � � �� ��� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � �

não

sim

23

Page 24: Exercicios de OP2

Algorítmo (papel e lápis)O algorítmo anterior não é o mais adequado para reslver o problemacom papel e lápis. Para resolver o problema em papel e lápis énecessário que a variável arbitrada seja calculada no fim do ciclo.Neste caso, não é possível determinar a velocidade, � � , a partir daequação de Bernoulli. A velocidade tem que ser determinada pelaequação das perdas:

� � � ��� � � � � # � � � �� �� � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � ��� �

� ��� � � � � � � � ��� � � � ��� � � �� � " � ��� � � � � � � � ��� � � � � �� �

� � ���� � � ��� � � � � # � � � �� �

� � � ��� � � � � � " � � ��� � � � � � � � � � ��� � � ��� �� " � � � � � � � �

�� � � � � �� � " � � ���

É necessário eliminar � � desta equação. Como:

� � � � ��� ��

� � (2.78)

então:

� � � ��� � � � � # � � � �� �� � � ��� � � � � � " � � ��� �

� � � � � � � � ��� � � ��� �� " � � � � � � � ��� � � � � �� � " � � �� � � �� � ��

����� ���� ��� �� ����������������������� "! #%$�&(')'*#%$�&,+�'*#.-�/#%$�&,+�'*#%$�&(')'0-)/�1 324 32!65 # ��87 ��9����:9����<;����:; 4 5>= ;! ;4O algorítmo é apresentado na página seguinte. Note-se que a equaçãodas perdas trocou de posição com a equação de Bernoulli.

24

Page 25: Exercicios de OP2

arbitrar � � � � � � ���� �

� � � � � � � � � � ��� �� � �������� � ��� � � �� ���

������ � � �

� � �

� �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

��� � � � � � � ����� � � � �� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � �

� � � � � � � � �%��� � � � �� � �� � � " � �

��� � � � "�� � � � ���� � ��� � �

� � � ���� � �

� � � ���� � � �� � � �� ��� � � �� � � � � � � � ��� � �

� � � � � �� � ��� ����� ��������� �� � � ��� � ��� � � � ��� ��� � � ��� � � � � ��� ��� � � � � � � � � � ������ � �� � �� � ��� ��

� �� �

������ � � ��

��

não

sim

conv?

25

Page 26: Exercicios de OP2

c)Pressão no ponto P para um dado diâmetro� � � � � :

Equação de Bernoulli modificada:

� � � � � � �� � � �� � � � � � � ��

� � ��� � � � � � � � � � � (2.79)

Perdas:

� � � � � � � � � # � � � �� �� � ��� � � � ��� � � ��� � � � � � � � � � ���

� � ��� � � � ��� � � �� � " � ��� � � � � � �� � � � ��� (2.80)

Continuidade:

� � � � � � ��� �% (2.81)

Factor de atrito:

��� � � � � � � �%��� � � � ��� � � & � � �

� � � " � � "���� � � � (2.82)

� � � � � � � � �%��� � � � ����

� &�� � �� � � " � � "�� ��� ��

(2.83)

Caudal:

� � � � � � �%� (2.84)

Número de Reynolds:

� ����� � � � � � �

� (2.85)

� ����� � � � � �

� (2.86)

Incógnitas:� �

�� �

� ��� ��

� ���� �

� ��

� ��

26

Page 27: Exercicios de OP2

Algorítmo:

� ������� # � ����� � � � ���� � �� � � � � � � � � � ��� �� � �

� ��� � � ��� � � �� ����� ��� � � �

� � �

� �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

��� � � � � � � ����� � � � �� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � �

� � � � � � � � �%��� � � � �� � �� � � " � �

��� � � � "�� � � � ���� � ��� � �

� � � ��� � �

� ��� ����� ��� � ��� � � � � �� � � ��� � � � � � �� �� � " � � ��� � � ����� � � � ����� �� � � �����

� �� � � � ��� � �� ���� � � �� � � �� � ��� ��� � � � � � � � ��

27

Page 28: Exercicios de OP2

2.5.3 Tubagens ramificadas

l(ex. 3.6-1) Um sistema de condução de água é constituído portrês tubagens que partem do ponto A e convergem no ponto B. Asrespectivas características são as seguintes:

Tubagem Comprimento (m) Diâmetro, (poleg) &�� �1 1600 6

� � � � �2 1000 5

��� � � �3 800 4

� � � � �O caudal de água através do sistema é de 100 m � /h. A pressão emA e B é atmosférica e o nível de A está 3m abaixo de B. Calcular ocaudal em cada uma das tubagens e a potência da bomba a instalarem A (antes da ramificação) . [Resp. 43.6, 34.8, 21.6 m3/h; 2.74CV]

Dados e conversões:

Tubagem Diâmetro, (poleg) Diâmetro(m)(nominal) apêndice A.5

1 6 0.10232 5 0.12823 4 0.1541

Temperatura não é dada. Supondo T=25oC:

� � � � � � � kg m ��� (2.87)

� � � � � ��� � ��� kgm � � s � � (2.88)

100 m � /h

� � � � m � h � � � � � m � h � � h� � � � s �2.78

� � � � m � s � � (2.89)

Equações:

28

Page 29: Exercicios de OP2

� � � � � � � � �(2.90)

Equação de Bernoulli modificada:

� �� � � � � � �� � � �� � � � � � � ����� ��� � � � � � � � ��� � (2.91)

Perdas:

� �� �� � � � �� � � � �� � (2.92)

Caudal:

� � � � � � � ��� (2.93)

Número de Reynolds:

� ����

� � � � � � �� (2.94)

Factor de atrito:

� � � � ��� � � �& � � � � � � � � � � � �%��� � � �����

�� & � � � �� � � " � � "�� � � �

�(2.95)

Inógnitas:� �

�� �

� ��

� ����

��

� ���

� �15 equações e 15 incógnitas: problema determinado

Este problema pode ser divido em dois. Na primeira parte, dadoo caudal total, é necessário determinar as perdas e a queda depressão nas tubagens e paralelo. Na segunda parte, dadas as per-das e o caudal, é necessário determinar a potência da bomba.

Equações(primeira parte):

� � � � � � � � �(2.96)

29

Page 30: Exercicios de OP2

As perdas são iguais em todas as tubagens:� � � � � (2.97)

� �� � � (2.98)

Perdas:

� �� �� � � � �� � � � �� � (2.99)

Caudal:

� � � � � � � ��� (2.100)

Número de Reynolds:

� ����

� � � � � � �� (2.101)

Factor de atrito:

� � � ����� � � �& � � � � � � � � � � � �%��� � � �����

�� & � � � �� � � " � � "�� � � �

�(2.102)

� ��� �

� ��

� ����

��

� ��14 equações e 14 incógnitas: problema determinadoEquações(segunda parte):Equação de Bernoulli modificada:

� � � � � � � � � � � �� � � �� � � � � � � ��� � ��� � � � � � (2.103)

simplifica-se:

� � � � � � ��� � (2.104)

Determinação da potência:

� � � � � � � � (2.105)

30

Page 31: Exercicios de OP2

Algorítmo:

� � � ��

� � � ��� �� � �� � ���

�� ��� � � � � � �

� ���

���� � � ��

��laminar?

sim

não

�� � �

� � ��� � � � � �%��� � � � � ��� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � � � � � ��� ��� �

� � ��� � � � �� � � � ��� � � � �

� � � arbitrar

� � � � � ������ � �� � ���

� � ��� � � � � �� �

������ � � ��

��laminar?

sim

não

� � � �

� � � � � � � � ����� � � � �� ��� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � � � � � ���� ��� �

� � � � � � � �� � � ���� �

� ���

���� � � ��

��i>3 i=i+1�

� �� �

������ � � ��

��� �� � � � � � � � � � sim �não

simnão

� � ��� �� � �

� �� �

������ � � ��

��SQ=Q

não

sim

resultados

31

Page 32: Exercicios de OP2

2.5.4 Projecto de bombas

ex.2.10-6, pp.112Um tanque aberto contém água a 82.2oC, que se pretende bombeara um caudal de 379 litros/min. A tubagem desde o tanque até àbomba e de aço sch.no. 40 com 2" e tem 6.1 m e três cotovelos.A tubagem de descarga após a bomba é identica, tem 61 m e doiscotovelos. Esta descarrega para a atmosfera a uma altura de 6.1 macima do nível do tanque.a) Calcule as perdas por atrito; [Resp. SF = 122.8 J/kg]b)Calcule a energia a fornecer ao fluido na bomba, WS em J/kg;[Resp. Ws = -186.9 J/kg]c)Calcule a potência da bomba em kW, se a eficiência mecânica forde 75%. [Pot = 1.53 kW]

tipo de problema: a) simulação, determinado; b)projecto, determi-nadoDados e conversões de unidades

Q�

vA� v � D

�� � � � l min � � � min� � s

� m � � � � l � � � � � � � ��� m � s � �

(2.106)

�nominal

� � � ��� � � � � � � ��� m (2.107)

� � � � � � � � � � � � � ����� � ��� (2.108)

Densidade (tabela A.2-3, pp 855, [Geankoplis]):

� � � �kgm ��� (2.109)

Viscosidade(tabela A.2-4, pp. 855,[Geankoplis])

� � � � ��� � � � ��� kgm � � s � � (2.110)

Definir ponto 1 no primeiro tanque, ponto 2 no segundo tanque,ponto 3 na tubagem até à bomba, ponto 4 na tubagem depois dabomba.

32

Page 33: Exercicios de OP2

��� � � � � � � � ��� m (2.111)

��� � � � �

� � � � ��� �� (2.112)

��� � � � �� � � �

�� � � ��� � � � ��� � ��� m � s � �

�� � � � ��� � m � � � � � ms � � (2.113)

� ����� � ��� � � � ��� � � � �

��� (2.114)

� ��� � ��� � �kgm ��� � � � � � � � ��� m � s � �� � ��� � � � ��� kgm � � s � � � �

� � � � ��� m ��� � � � � (2.115)

Rugosidade (aço):

&���� & �� �

� � � � � � �� m� � � � ��� m � � � � � � � � � (2.116)

��� � � ��� � � � � (2.117)

� � � ��� �

���� � �

�� � � � � � � � �� �� � ��� � �

" % � ��� � � " ��$ � ��� � � � " � � ��� � � " � � ��� (2.118)

� � � ��� �

���� � � � � � �� �

� " % � " � $ � � " � � � " � " � �� (2.119)

33

Page 34: Exercicios de OP2

� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � �#� � � � ��� " � � � � ��� ��� � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� (2.120)

� � � � � ��� J/Kg (2.121)

Cálculo da energia a fornecer ao fluido:

� � � � � � �� � � � � � � � � � � ����� ��� � � � � � � � ����� (2.122)

� � � ��� � � � � � � � � � � (2.123)

� ��� � � � � ��� � � � � � � (2.124)

� ��� � � � � ��� J/Kg � � � � � � � J/Kg� � ��� � � � J/Kg (2.125)

Cálculo da potência da bomba:

� � � ����� � � � � � ��� � � � J/Kg

� � �kgm ��� � � � � � � � ��� m � s � � � � � Js � �

(2.126)

� � � �� � � � � � ��� kJs � � (2.127)

res. 2.10-7, pp. 97Pretende-se calcular a potência em kW de uma bomba destinada abombear água ao longo da instalação esquematizada a um caudal

34

Page 35: Exercicios de OP2

de 5 l/s. A tubagem é de aço comercial Sch.no. 40 de 4”. Suponhaque a bomba tem uma eficência mecânica de 65%.

tipo de problema: projecto, determinado

Q�

vA� v � D

�� � �l � � � � m � � � � l � � � � ��� m � s � � (2.128)

�nominal

�� � � � � � � � � ��� m (2.129)

� � � � � � � � � � � � � " (2.130)

Densidade (tabela A.2-3, pp 855):

� � � �kgm ��� (2.131)

Viscosidade(tabela A.2-4, pp. 855)

� � � � � � � � ��� kgm � � s � � (2.132)

Definir ponto 1 no primeiro tanque, ponto 2 no segundo tanque,ponto 3 na tubagem até à bomba, ponto 4 na tubagem depois dabomba.

��� � � � � � � ��� m (2.133)

��� � � � �

� � � ��� �� (2.134)

��� � � � �� � � �

�� � � ��� � � � ��� m � s � �

�� � � ��� � m � � � � � ms � � (2.135)

������� ����� � � ����� � � � �

��� � ��� � �

kgm ��� � � � � ��� m � s � � � � � � � � ��� kgm � � s � � � �� � � ��� m � � � � � � �

35

Page 36: Exercicios de OP2

(2.136)

Rugosidade (aço):

&���� & �� �

� � � � � � �� m� � � ��� m ��� � � � � � � (2.137)

��� � � ��� � � � ��� (2.138)

� � � ��� �

���� � �

�� � � � � � � � �� �� � ��� � �

� " % � ��� � � " ��$ � ��� � � � " � � ��� (2.139)

� � � ��� �

���� � � � � � �� �

� " % � " � $ � � " � " � �� (2.140)

� � ��� � � � � ��� � �� � � ��� � ��� � � � � � � � �� � � ��� " � � � �� �� � � � � ��� � � � � � � � � � � � �� (2.141)

� � � � � � J/Kg (2.142)

Cálculo da energia a fornecer ao fluido:

� � � � � � �� � � � � � � � � � � ����� ��� � � � � � � � � ��� (2.143)

� � � ��� � � � � � � � � � � (2.144)

36

Page 37: Exercicios de OP2

� ��� � � � � ��� � � � � � � (2.145)

� ��� � � � � � J/Kg � � � � � � J/Kg� � ��� J/Kg (2.146)

Cálculo da potência da bomba:

� � � ����� � � � � (2.147)

� � ��� J/Kg� � �

kgm ��� � � � � ��� m � s � � � � � � Js � � (2.148)

� � � � �� � � � � � � kJs � � (2.149)

Problema extra no 2É necessário transportar 0.01 m � s � � de água de um tanque A paraum tanque B localizado numa posição mais elevada. A instalaçãoutilizada está representada na figura. Encontram-se disponíveis 3bombas centrífugas cujas curvas características são apresentadasna tabela. Considere que o NPSH requerido pelas bombas é iguala 3 m. Os dados relativos à instalação são os seguinte: H3=50m,H4=60m, L1=10m e L2=100m. H2 é desprezável. Projecte a insta-lação e responda às questões seguintes:

a) este problema é determinado ou indeterminado? Quantos grausde liberdade tem?

b) que informação adicional é necessária para o resolver?

c) o que é preciso determinar para completar o projecto?

d) após o projecto, que alterações devem ser feitas na instalção paraque esta transporte um caudal o mais próximo possível do dese-jado?

37

Page 38: Exercicios de OP2

� A

� B

H2

H3

L1 L2

H1

H4

Tabela 1 - Dados para construir a característica das bombas

(carga fornecida pela bomba em metros)

Q B1 B2 B3m � s � � m m m

0 40 80 1100.005 39.5 79.5 109.50.0075 39 79 1090.01 38 78 108

0.0125 36 76 1060.0150 34 74 1040.0175 32 72 1020.0200 28 68 980.0250 22 62 920.0300 16 56 86

Este problema é indeterminado porque as variáveis que têm queser especificadas são maiores que as equações disponíveis para asdeterminar. As variáveis que não são conhecidas são: os diâmetrosda tubagem, a altura H1, o material do tubo, número de Schedule ea bomba. Destes, apenas a bomba ou o diâmetro da tubagem é quepodem ser determinados pelas equações de mecânica dos fluidos. Ainformação necessária para determinaras outras variáveis tem queser obtida fora do âmbito da mecânica dos fluidos.Os factores que devem ser considerados são:

38

Page 39: Exercicios de OP2

� factores económicos

� factores de segurança

� limites físicos

Para resolver este problema é necessário arbitrar, de preferênciacom base em factores extra mecânica dos fluidos, as variáveis seguintes:� �

,� � , H1, material da tubagem e número de Schedule.

O número de Schedule caracteriza a espessura da tubagem e é umindicador da capacidade da tubagem para suportar pressões ele-vadas. Os tubos de Schedule igual a 80 suportam pressões maiselevadas que os tubos de Schedule igual a 40. Numa situação realé necessário determinar a espessura da parede do tubo necessáriapara suportar a pressão máxima do sistema. Neste caso, vamospressupor que os tubos de 40 são adequados (o que é uma su-posição perfeitamente arbitrária).A escolha do material de que é feito a tubagem é influênciada pelocusto, pela resistência mecânica e pela resistência à corrosão. Deve-se escolher o material mais barato que satisfaça as restrições deresistência química e mecânica. Como a informação sobre estesfactores não se encontra disponível, neste caso vamos pressuporque os tubos são de aço inox.O diâmetro da tubagem determina-se a partir de considerações económi-cas. O custo tem duas componentes: custo de material e custo deenergia. O custo de material aumenta com o diâmtro. O custo deenergia diminui com o aumento do diâmetro. O diâmetro óptimo de-pende de uma análise ecnómica detalhada, mas existe uma heurís-tica para determinar um diâmetro óptimo aproximado. O diâmetrodeve ser tal que a velocidade tome os valores da tabela seguinte:

fluido secção v(m/s)viscoso (água) zona de sucção 0.6-0.9

zona de descarga 1.5-2.5

Determinação do diâmetro:

� � � � � ��� (2.150)

� � ��� � �� � (2.151)

39

Page 40: Exercicios de OP2

� � � � ��� � � � � � � � � � � � � (2.152)

Do apêndice A.5:

� � � � � � � (2.153)

� � � � � �� � (2.154)

� � � � ��� � � � � � � � � � ��� � (2.155)

Do apêndice A.5:

� � � � � � � � (2.156)

A altura H1 deve ser determinada tendo em conta dois factores:

� - a superfície livre do tanque de alimentação deve estar acimada bomba. Só assim é possível ferrar a bomba

� a pressão na tubagem imediatamente antes da bomba deve teruma pressão superior ao

� � � ��� � ��� � � ��� � +Pvapor.

Dedução da equação para determinar H1:

� �� ��� � � � �� � ��� � � ��� � � � �� � �� � (2.157)

equação de Bernoulli entre A e C:

� � � � � � �� � � �� � � � � � � ����� ��� � � � � � � � (2.158)

� � � � � � � � �� � � �� � � � � � � �� � � ��� � � � � � � � (2.159)

40

Page 41: Exercicios de OP2

� � � � ��� � � � � � � � �� � � � � � � (2.160)

� �� � � � �� � � � � �! � � � ��� � � (2.161)

� �� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � ��� � � � � � � � �� � �� � (2.162)

� � � � � �� � ��� � � � � � � � �� � �� � � � �� � � � � � � ��� � � (2.163)

cálculo aproximado:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� (2.164)

� � � � � � � (2.165)

Projecto da bomba

A equação de Bernoulli modificada entre os pontos A e B é a seguinte:

� �� � � ��� � � � � � ��

��� ��� � � � � � � � � � � �

Como tanto� �

como� �

são iguais à pressão atmosférica e as ve-locidades em A em e B são muito baixas:

� ��� � � � � � � � � � � �

após divisão por g, esta equação é equivalente a:

��� � � � � � � � � � � � ��41

Page 42: Exercicios de OP2

em que � � �� é igual à carga fornecida pela bomba,���

:

��� � � � � � � � � � ���

O termo do lado esquerdo ��� � � � � � � � �� é igual à perda de carga

do sistema,� ��� �

� ��� � � ���

Tanto���

como� ��� �

são função do caudal:

� ��� � � � � � ��� � � ���� � � � é uma característica da bomba, a chamada curva carac-terística da bomba.

� ��� � � � � pode ser determinado pelo algoritmoseguinte:

42

Page 43: Exercicios de OP2

� ��

� ��

� � � � ���� � �� � � � ���

� � ��������� � ��� � � ������ � ����� � � �

� �

� �

� �� �

������ � � ��

��

laminar?não

sim

��� � � � � � � ����� � � � �� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � �

� � � � � � � � �%��� � � � �� � � � � � " � ���� � � � "�� � � � �

��� � ��� � �

� � � ���� � �

� ��� ����� ��� � �� � � ��� � � � � � ��� � �� � � ���� " � � ��� � " � � ��� � � ����� � � � ��� � ������ ��� � � � � � � � � �

43

Page 44: Exercicios de OP2

As curvas características da instalação e das bombas estão repre-sentadas na figura seguinte:

A figura é uma representação das curvas características das bom-bas B1, B2, B3 ( a preto) e da instalação (a vermelho). Esta repre-sentação mostra que:

� a bomba B1 fornece uma carga que é, para qualquer caudal,sempre inferior à perda de carga na instalação

� para a bomba B2, a carga foneceida pela bomba iguala a cargafornecida pela instalação para Q aproximadamente igual a 0.017

� para a bomba B3, a carga foneceida pela bomba iguala a cargafornecida pela instalação para Q aproximadamente igual a 0.026

A bomba B1 não é adequada porque nem caudais baixos conseguebombar do tanque A para o B. Deve-se escolher a bomba B2 porqueé aquela que dá um caudal mais próximo do pretendido e porque ,muito provavelmente, consome menos que a bomba B3.

44

Page 45: Exercicios de OP2

Capítulo 3

Leitos fixos e fluidização

3.1 Nomenclatura� m diâmetro das partículas& porosidade� � m raio hidráulico� m2 área superficial de uma partícula� m3 volume de uma partícula� � m-1 área específica de uma partícula� m-1 razão entre a área total das partículas e o

volume total� �Pa queda de pressão ao longo do leito� �m altura do leito� � m/s velocidade superficial� �

esfericidade� �� � m/s velocidade miníma de fluidização& � � porosidade inicial� � � m comprimento incial�����número de Reynolds� ���

� ��

número de Reynolds minímo de fluidização

3.2 Formulário

Porosidade

& ��� poros

� total(3.1)

área específica de uma partícula

45

Page 46: Exercicios de OP2

� � �

� (3.2)

razão entre a área total das partículas e o volume total

� � � � � � & � (3.3)

relação entre a velocidade superficial e a velocidade intersticial

� � � & � (3.4)

esfericidade

� � �� �

(3.5)

em que� é o diâmetro da esfera com o mesmo volume da partícula.

??

equação de Ergun

��� � � � � � � � �� �

� � & � �& �� � � � � � � � � ��

� � & �& � (3.6)

equação de Ergun - esfericidade

��� � � � � � � � �� � � � �

� � & � �& �� � � � � � � � � �

� � �

� � & �& � (3.7)

Número de Reynolds - Ergun

� ���� � �

� � � �� � & � � (3.8)

Força de arrasto

� ��� � � � � ��� (3.9)

46

Page 47: Exercicios de OP2

Número de Reynolds (arrasto)

� ��� � � � � �� (3.10)

� � laminar

� � � � �� ��� (3.11)

3.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha

1 - Na equação de Ergun, o � é a massa volúmica:

a) das partículas b) do fluido2 -Qual é a relação entre a velocidade mínima de fluidização, � � � , ea velocidade terminal de uma partícula isolada:a) � � � � ��� b) � � � � ���c) � � � � � � d) � ��� � � � �e) � ��� � � �3 -Um leito de partículas em que a massa volúmica das partículas é500 kgm ��� , a massa volúmica do fluido é 1000 kgm ��� , a viscosidadeé 0.001Kgm � � s � � , a porosidade é 0.4, o diametro das partículas é0.001 m e a velocidade superficial do fluido que sobe é 0.001 ms � �está:

a) fluidizado b) fixo

d) é arrastado

47

Page 48: Exercicios de OP2

3.4 Problemas resolvidos

3.4.1 Exercício extra 3.v2

A coluna A contém partículas es-féricas de diâmetro igual a 1 mme densidade igual a 2000 kg/m3.O peso total das partículas é iguala 1000 kg. A porosidade do leitoé 0.4. O diâmetro da coluna éigual a 0.5 m. A coluna B pos-sui apenas uma partícula igual àspartículas da coluna A. Cada co-luna é atravessada por um deter-minado caudal de água. Para acoluna A, determine:a) a altura do leito;b) a queda de pressão em funçãoda velocidade do fluido;

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � �

v’�

�L

A

� � � � �

v’

B

c) a velocidade mínima de fluidização;d) a porosidade quando a velocidade é 3 vezes a velocidade mínimade fluidização;Responda ainda às seguintes questões:e) A velocidade necessária para suspender a partícula na coluna B émaior ou menor que a velocidade necessária para suspender todasas partículas da coluna A?f) A que velocidade é que a partícula da coluna B é arrastada com oescoamento? E as partículas da coluna A?

a)

� total� � poros

�� partículas (3.12)

� � poros

� total

� � partículas

� total(3.13)

� & � � partículas

� total(3.14)

� & � � partículas

� total(3.15)

48

Page 49: Exercicios de OP2

� partículas

� total

� � & (3.16)

�partículas�

partículas�

c

� � & (3.17)

���partículas�

partículas �� �

c� � � � & (3.18)

� � � ���partículas�

partículas �� �

c � � & � (3.19)

� � � ��� � � � � � � ��� �� � � � � � � � � � � ��� � � m (3.20)

b)existe um ficheiro excel com a solução desta alínea

c)Velocidade mínima de fluidização

��� � � �peso aparentedo leito (3.21)

��� �c� � � p � � � � c

� � � � & � � (3.22)

��� � � � p � � � � � � � & � � (3.23)

� � p � � � � � � � & � � � � � � � � �� �

� � & � �& �� � � � � � � � � ��

� � & �& � (3.24)

� � � � � ��

� � & �& �� � � � � � � � �� �

� � & � �& �� � � � � p � � � � � & � � � � � � (3.25)

� � � � ��� � � � � � � (3.26)

49

Page 50: Exercicios de OP2

� � � � � � � ��

� � & �& �� � � � � � � �$� � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � (3.27)

� � � � � � �� �

� � & � �& �� � �$� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � (3.28)

� � � � � p � � � � � & � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � �(3.29)

� � � � ��� � � � � � � �� � � � � ��� � � ��� ms � � (3.30)

d) Uma das formas possíveis de resolver este problema consiste emconsiderar que a equação:

� � p � � � � � � � & � � � � � � � � �� �

� � & � �& �� � � � � � � � � ��

� � & �& � (3.31)

é válida para leito fluidizado.

e)A velocidade superficial necessária para suspender as partículasé maior na coluna B. Porquê?

f)Velocidade terminal

� � Impulsão�

Peso (3.32)

� ��� � � � � �� (3.33)

� � � � � �� � � � � � � � � (3.34)

50

Page 51: Exercicios de OP2

� � � � � �� � � � � � � � � (3.35)

laminar:

� �� ��� � � � �� � � � � � � � � (3.36)

� � �� � �

� � � �� � � � � � � � � (3.37)

� � �� � �

� �� �� � �� � � � � � � � � �� �

(3.38)

� � � � � � � � � � � � � � � � (3.39)

� � � � � � � � � � � �(3.40)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � ms � � (3.41)

� ��� � � � � � � �

� � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � �����

(3.42)

CD=0.5

� � � � � �� � � � � � � � � (3.43)

� � � � � � � � � �� � � � (3.44)

51

Page 52: Exercicios de OP2

� � � � � � � � � � � � �� � � � � � � (3.45)

� � � � � � � � � �� � � � (3.46)

� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � (3.47)

� � � ��� �� � � � ��� � � � � � � �� � � � � (3.48)

� ��� � � � � �

� � � ��� � � � � � � �$� � � � � � �� � (3.49)

CD=0.8

� � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � (3.50)

� � � ��� �� � � � ��� � � � � � � � � � � � (3.51)

� ��� � � � � � � � � �� � � � � � � �$� � � � � � � � (3.52)

52

Page 53: Exercicios de OP2

Capítulo 4

Transporte de calor

Nomenclatura�calor�

K temperaturah coeficiente de transferência de calorA m

�área

U coeficiente global de transferência de calork condutividade térmica�

��

número de Prandtl� � número de Nusselt� � ���� capacidade calorífica���

temperatura na parede� �temperatura no fluido

4.1 Formulário

convecção

� � # � � ��� � � � � (4.1)

� ��� � � �(4.2)

resistências em série

� � � # � � � � � � � � # � � � (4.3)

53

Page 54: Exercicios de OP2

número de Prandtl

��� � � �� (4.4)

número de Nusselt

� � � # �� (4.5)

número de Peclet

��� � ����� �

�� � � � � �� (4.6)

permutadores

� ��� � � � � � (4.7)

� � � � � � � � � � � �������� ���� �

(4.8)

4.2 Peguntas teóricas - múltipla escolha

Considere o permutador de tubos concêntricos representado nafigura.

� �� �

�� �� �

� �� � � �

� ��

x� ��� �

1 - O caudal no tubo interior relaciona-se com a velocidade no tubointerior por:a)

� � � � � � � �� � ��b)

� � � � ��� ��

54

Page 55: Exercicios de OP2

c)

� � � � ��� �

d)

� � � � � ��� �

2 - O caudal no tubo exterior relaciona-se com a velocidade no tuboexterior por:

a)

� � � � � � � ���b)

� � � � � � � � �� � � ���� �

c)

� � � � � � � � � � � � � � ��d)

� � � � � � � � � � � � � ��e)

� � � � � � � � �� � � �����3 - O número de Reynolds no tubo interior determina-se por:a)

� ����

� � � � � � ��

b)

������

� � � � � ���� �

c)

������

� � � ���

��� �

4 - O número de Reynolds no tubo exterior determina-se por:a)

� ����� � � � � � �

b)

� ����� � � � � � � � � � � � � ��

c)

� ����� � � � � ���

b)

� ����� � � � � � � � � � � ��

5 - A taxa de calor transferido do tubo exterior para o tubo interiorna secção entre

�e�+� �

determina-se por:

55

Page 56: Exercicios de OP2

a)� ���

�� � � � � � � � � � �

b)

� ��� �� ��� � � � � � � � � �

c)

� ��� � � � � � �� � � � � � � �d)

� ����� � � � � � � � � � �

6 - Dos conjuntos seguintes, quais os que violam a primeira lei datermodinâmica? E quais os que violam a segunda lei da termod-inâmica?

a) � �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � ���

b) � �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � ��� � � ���

c) � �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � ���

d) � �� � � � � � ��� � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ��� � � � � ��� � � ���

7 - Num espaço à temperatura ambiente, qual as condições de op-eração é mais eficiente na prática?a)

� �� � � � � � ��� � � � � � ��� � �

b) � �� � � ��� � ��� � � � � � � � � �

c) � �� � � ��� � ��� � � � � � � � � � �

8- O calor tansportado por unidade de tempo pelo caudal� �

para ointerior do volume de controlo infinitésimal determina-se por:

56

Page 57: Exercicios de OP2

a)

� � � � ��� � � � �

� ��$

b)

� � � � � � � ��� � � � � $c)

� � � � � � � ��� � � � � � $ � � � � � �9 - Se

� �� � � ��� � � e

� �� � � � � � � , qual é o perfil de temperaturas no

volume infinitésimal ente�

e� � � �

?

a)

��

� �

� �

b)

��

� �

� �

10 - O coeficiente global de transferência de calor determina-se por:

57

Page 58: Exercicios de OP2

a)

� � � # � � � � � �� � � � # � � �

b)

� � � � # � � � � � �� � � � # � � �

c) � � � � # � � � � � �� � � � # � � �

11 -� � nas equações anteriores é igual a:

a)

� � � � ��� � � ���� � � � �� �

b)

� � � �� ��� � � �

� � ���� � � � �� �

c) � � � �� ���� � � �

� �� �� � � �� � �� ��

12 -� �

nas equações anteriores é gual a:a)

� � � � ��� � � �

b)

� � � � � � � � � �a)

� � � � � � � �b)

� � � � � � � � � �13 - Dos números adimensionais seguintes, qual é: o número dePrantl, o número de Nusselt e o número de Peclet:a)

� ��

b)# ��

c)� � � ��

14 - Qual das correlações seguintes permite determinar# �

pararegime laminar? E regime turbulento? Qual é a equação de Sieder

58

Page 59: Exercicios de OP2

e Tate?a)

� � � � ml� � � � � � � ��� ���� � �#" ��

� �� � " ��� � �b)

� � � � ma� � � � � � ��� � �

� � � � � �#" � �� � " ��� � �15 - Como é que se determina

# �a partir das equações anteriores?

a) Não é possível b) Considerando que o es-comento no tubo exterioré equivalente ao escoa-mento num tubo normal comdiâmetro igual a

� �

c) Considerando que o trans-porte de massa no tubo ex-terior é equivalente ao trans-porte de massa num tubo nor-mal com diâmetro igual a

� � �� ���

d) Considerando que o trans-porte de massa no tubo ex-terior é equivalente ao esco-mento num tubo normal comdiâmetro igual a

� �

16 - O calor transferido por unidade de tempo do tubo interior parao tubo exterior pode ser determinado pela equação:a)

� ��� � � � � � � � � ���� ��� ������

b)� ��� � � � � � � � � � � � � �

c)� � � � � � � � � � � � � � � � �

d)� � � � � � � � � � � � � � � � �

17 - Das seguintes, quais são as unidade de taxa de transferênciade calor, do coeficiente de convecção, da capacidade calorífica e dacondutividade térmica?

a) W/m�.K b) W

c) J/Kg.K d) W/m.k18 - Dos valores seguintes, qual é: a massa volúmica da água, a vis-cosidade da água, a capacidade calorífica da água, a condutividade

59

Page 60: Exercicios de OP2

térmica da água e a condutividade térmica do aço (temperatura am-biente, SI)?

a) 1000 b) 0.00086

c)54 d) 0.614

e) 420019 - Se

�for determinado a partir de valores de

#determinados

pela equação:

� � � � ml� � � � � � � ��� ���� � �#" ��

� �� � " ��� � ��relaciona-se com

�por:

a)� ��� � � � � � � � � ���� ��� �

�����

b)� ��� � � � � � � � � ��

20 - Se�

for determinado a partir de valores de#

determinadospela equação:

� � � � ma� � � � � � ��� � �

� � � � � �#" � �� � " ��� � ��relaciona-se com

�por:

a)� ��� � � � � � � � � ���� ��� �

��� �

b)� ��� � � � � � � � � ��

21 -Na equação:

� � � � ml� � � � � � � ��� ���� � �#" ��

� �� � " ��� � �o número de Reynolds e o número de Prandtl são avaliados a quetemperatura:

a) de entrada b) de saída

c) média entre a entrada e a saídad) média entre o bulk e a parede

e) na parede

60

Page 61: Exercicios de OP2

4.3 Problemas resolvidos

Extra5.v2Considere o permutador de tubos concêntricos representado nafigura. O tubo interior tem diâmetro interno igual a 0.1 m e diâmetroexterno igual a 0.11 m e é alimentado por uma corrente de 0.01m � s � � de água a � � � � . O tubo exterior tem diâmetro interno de0.2 m e é alimentado por uma corrente de 0.02 m � de água a

��� � � .Considere co-corrente.

� �� �

�� �� �

� �� � � �

� ��

x� ��� �

Considere as propriedades da água à temperatura ambiente.

Se a temperatura à saída do tubo exterior for� � � � determine:

a) o calor transferido através da parede do tubo interno;

b) a temperatura à saída do tubo interior;

c) a temperatura à saída de um permutador infinito;

d) o calor tranferido num permutador infinito;

e) a eficiência do permutador;

f) o número de Reynolds do tubo interno;

g) o número de Prandtl do tubo interno;

h) o número de Nusselt do tubo interno;

i) o coeficiente de transferência de calor para o tubo interno;

j)o número de Reynolds do tubo externo;

k)o número de Prandtl do tubo externo;

l)o número de Nusselt do tubo externo;

m)o coeficiente de tranferência de calor do tubo externo;

n)o perímetro médio logarítmico do tubo interno;

o)o coeficiente global de transferência de calor;

p)o comprimento do permutador;

q)a área do permutador.

As equações relevantes para resolver este problema são as seguintes:

61

Page 62: Exercicios de OP2

� � � � ml� � � � � � � ��� ���� � �#" ��

� �� � " ��� � � (4.9)

� ��� � ��� � � � � � � �� � ��� �

� � �(4.10)

� � ��� � # � � � � � �

� � � � # � � ��� (4.11)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.12)� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.13)

������� � � � � � � � � � � � � � �� � (4.14)

� ����

� � � � � � � �� � (4.15)

����� � � � � � �� � (4.16)

����� � � � � � �� � (4.17)

� � � � � # � � �� � (4.18)

� � � ��� # � � �� � (4.19)

� � � � � � � �� � �� (4.20) � � � � � � � � �� � � ���� � (4.21)

� � � �� ��� � � �

� � ���� � � � �� � (4.22)

a)Os dados para a corrente do tubo exterior são conhcidos pelo queo calor transferido pode ser determinado por:

� � � � � � � � � � � � � � � � � (4.23)

� � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � �� � ��� � � (4.24)

b)A temperatura à saída do tubo interior determina-se a partir dobalanço energético à corrente que passa nesse tubo:

62

Page 63: Exercicios de OP2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.25)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.26)

� �� � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � (4.27)

� ��

� � � �� � � � �

� � � � � � � � � � � � � (4.28)

� ��

� � � � � � � � �� � � � � � � ��� � (4.29)

� ��

� � � � � � (4.30)

c) A temperatura à saída de um permutador infinito em co-correntedetermina-se a partir do facto de as temperaturas serem iguais notubo interno e no tubo externo. Sendo assim:

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.31)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.32)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.33)

� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � (4.34)

� ��

� � � � � �� � � � � � �

� �� � � � � (4.35)

63

Page 64: Exercicios de OP2

� ��

� � � � � � � � � � � � � � ���� � � � � � � � � (4.36)

d) Se o permutador for de co-corrente, o calor máximo transferidodetermina-se a partir da temperatura de saída obtida na alínea an-terior:

� � � � � � � � � � � � � � � � � (4.37)

� � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � (4.38)

Se o permutador fosse de contra-corrente, o calor máximo determina-se por:

�� $ � � � ��� � � � � � � � � � � ��� (4.39)

em que

� � ��� � ��� � � �� � � � � � �� � � � � � (4.40)

logo:

�� $ � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � (4.41)

e)A eficiência determinase por:

& � ��� $

� � � � � � � � � � � � � � � �� � ��� � � � � � � � � � � � % � � � � (4.42)

& � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � % � � � � (4.43)

& � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � % � � � � (4.44)

64

Page 65: Exercicios de OP2

& � � � � � � � � � ��� �� � � � � � � ��� � �� �� � � � � ��� (4.45)

f) O número de Reynolds para o tubo interno determina-se por:

� ��� � � � � ��

� � ���

��� � (4.46)

� ��� � ��� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � ��� � (4.47)

g)O número de Prandtl do tubo interno determina-se por:

��� � � ���" � � � � � ��� � � � � � � �� � �# � � � � ��� � (4.48)

h)O número de Nusselt do tubo interno determina-se por:

� � � � ��� � � � � � ��� � ��� ���� � � �#" ��� (4.49)

� � � � ��� � � � � � ��� � � ��� � � ��� � � � � ��� � �#" � � � ��� (4.50)

i)O coeficiente de transferência de calor para o tubo interno determina-se a partir da definição de Nusselt:

� � � � ��� � # � � �� � (4.51)

# � � � � � � � � � �� � (4.52)

# � � � ��� � � � �# �� � � � � ��� �� �

� � � � (4.53)

j) O número de Reynolds do tubo interno determina-se a partir dodiâmetro hidrâulico:

65

Page 66: Exercicios de OP2

����� � ���

área molhadaperímetro molhado

(4.54)

����� � � � � ���� � ���� � � ��

�� � �

�� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � (4.55)

� ��� � � � � � �����

� � � � � � � � � � � � � � � �� � (4.56)

� ��� � � � � � � � � � � � � � � �� ��� � �� � � ��

�� � � �

��

� �� � � � � � � � � � (4.57)

� ��� � ��� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � ��� � � � (4.58)

k)O número de Prandtl do tubo externo é igual ao do tubo interno:

��� � � � ��� � (4.59)

l) O número de Nusselt do tubo externo determina-se por:

� � � � ��� � � � � � ��� � ��� ���� � � �#" ��� (4.60)

� � � � ��� � � � � � ��� � � ��� � � � � ��� � � � � ��� � �#" � ��� � (4.61)

m) O coeficiente de transferência de calor para o tubo externo determina-se a partir da definição de Nusselt:

� � � � ��� � # � � �� � (4.62)

# � � � � � � ��� � �� � � � � � � (4.63)

66

Page 67: Exercicios de OP2

# � � � � � � � �# �� � � � � � � � � � � �� � � � (4.64)

n) O produto do coeficiente global pelo perímetro determina-se pantindoda equação seguinte:

� � � ��� � � � # � � � � � � � � �

� � � � � � # � � � � � � (4.65)

� � � ��� � # � � � � � � �

� � �� # � � � � (4.66)

O perímetro médio logarítmico determina-se partindo da equaçãoseguinte:

� � � � ��� � � ���� � � � �� �

� � � ��� � � � ���� � � � �� � (4.67)

� � � � ��� � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � ���� � � � �� � � �

� � � � ��� � � �� ��� � ��� (4.68)

� � � ��� � � � ��� � � � � �

� � � � ��� � � ��� � � � � � � � � � � � � (4.69)

� � � ��� � � � � � �� � � � (4.70)

� � � � � � ��� � � (4.71)

p)Determinação do comprimento:

� ��� � ��� � � � � � � � ���� ��� �

� ���(4.72)

� � � ��� ��� ������� � �

�� � � � � � � � � � (4.73)

67

Page 68: Exercicios de OP2

� � �� � ��� � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� ��� � � � � (4.74)

q) Determinação da área:

� ��� ��� � �

�� � � � ��� � � � � (4.75)

Extra6Considere o permutador de tubos concêntricos representado nafigura. O tubo interior tem diâmetro interno igual a 0.1 m e diâmetroexterno igual a 0.11 m e é alimentado por uma corrente de 0.01m � s � � de água a � � � � . O tubo exterior tem diâmetro interno de0.2 m e é alimentado por uma corrente de 0.02 m � de água a

��� � � .Considere contra-corrente.

Considere as propriedades da água à temperatura ambiente.

� �� �

�� �� �

� �� � � �

� ��

x� ��� �

Se a área do permetudor for 30 m�, determine:

a) o� � � � (livro, página 273);

b) o� � $ (livro, página 273);

c) o�� $ (livro, página 273);

d) a eficiência do permutador(livro, página 274);

e) o calor transferido;

f) as temperaturas à saída do permutador.

� � � � � ��� � � �� � � � � � �� � � � � � (4.76)� � $ � ����� � �� � � � � ���� � � � � � (4.77)

�� $ ��� � ��� � � � � � � � � � � � � (4.78)

68

Page 69: Exercicios de OP2

& � ��� ��� � ����

��� ��� � � ��� ���� ��� � � ��� ���� ��� � ��� � � �

���� ��� � � ��� ���� ��� � (4.79)

& � ��� ��� � ����

��� ��� � � ��� ���� ��� � � ��� ���� ��� (4.80)

69

Page 70: Exercicios de OP2

Capítulo 5

Filtração

5.1 Nomenclatura� � % queda de pressão através do bolo� � constante da equação de Carman-Kozeny� velocidade superficial�espessura do bolo de filtrado� � área superficial das partículas por unidadede massa�área do filtro& porosidade do bolo

� volume de filtrado� �concentração de partículas na suspensão� � resistência do filtro� constante

��

volume de filtrado necessário para criarum bolo com uma resistência equivalenteà do filtro�massa de partículas retidas no bolo

5.2 Teoria

Durante o processo de filtração as partículas acumulam-se à super-fcie do filtro formando um bolo cuja espessura aumenta à medidaque o processo decorre. Para determinar o volume de filtrado emfunção do tempo é necessário partir da equação de perda de cargaatravés do bolo de filtrado:

� � � %� � � � � � � � & � � � ��& � (5.1)

70

Page 71: Exercicios de OP2

A velocidade superficial de filtrado relaciona-se com o volume defiltrado acumulado pela equação:

� � � ����� (5.2)

e a espessura do bolo pela equação:

� � � � & � � � � � � � � & � � � (5.3)

� � � � �� � � & � � � & � � � (5.4)

A velocidade superficial pode ser obtida da equação de perda decarga:

� � � � � % & �� � � � � � & � � � �� (5.5)

� � � � � % & �%������� � � �� � � � %�� � � � � � � & � � � �� (5.6)

como

� � � & � � � � & � � � (5.7)

� ����� � � � � % & �� � � � � � � � � �� % � ���� � � � � � (5.8)

� ����� � � � � %

� � � � � � � � �� %����� � � � (5.9)

� ����� � � � � %

� %���� (5.10)

71

Page 72: Exercicios de OP2

em que:

� � � � � � & � � ��� & � (5.11)

Para o filtro:

� ����� � � � � �� � � (5.12)

Como o bolo e o filtro estão em série:

� ����� � � � �

� � � %�� �� � � � � (5.13)

ou:

� ����� � � � �

� %��� � � � � � � (5.14)

Filtração a pressão constante:

� ����� � � � �

� � � %�� �� � � � � (5.15)

� ���� � � � %���� � � � �� � � � (5.16)

� ���� � � � % � �� � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � (5.17)

� ���� "

����

(5.18)

�� � � � �� � � � � (5.19)

� � � � �� � � � (5.20)

72

Page 73: Exercicios de OP2

Após integração:

� � " �� ���

� (5.21)

Como determinar as constantes:

�� "

����

(5.22)

5.3 Perguntas teóricas - múltipla escolha

Extra 7

Uma suspensão de partículas dediâmetro

�e massa volúmica �

está a ser filtrada com um filtrode área

�e resistência ao escoa-

mento� � . A viscosidade do flu-

ido é � . O bolo de filtração temespessura

�e porosidade & .

1 - A queda de pressão através do bolo em regime laminar determina-se por:a) ��� � � � � � � � �� �

� � & � �& �� � � � � � � � � ��

� � & �& � (5.23)

b)

� � � %� � � � � � � � & � � � ��& � (5.24)

c) ��� � � � � � � � � � ��

� � & �& � (5.25)

d) � � � � � � � � � �� �

� � & � �& � (5.26)

2 - A partir da equação anterior é possível obter uma equação paraa velocidade superficial. Qual?a)

� � � � � % & � � ��� � � � � � & � � (5.27)

b)

� � � � � � � � � & � � � ��� � % & � (5.28)

73

Page 74: Exercicios de OP2

c)

� � � � � % & �� � � � � � & � � � �� (5.29)

3 - A velocidade superficial � relaciona-se com a área do filtro,�

, ecom o caudal de suspensão tratada,

�, por qual equação:

a)

� � �� (5.30)

b)

� � �� & (5.31)

c)

� � �� � � & � (5.32)

d)

� � � � (5.33)

4 - O caudal de suspensão tratada,�

, relaciona-se com o volumetotal tratado ( � ) ao fim de um tempo

�por qual equação:

a)

� � ����� (5.34)

b)

� � � �

� � ���(5.35)

c)

� � � ����� (5.36)

d)

� � � �

��� ���

(5.37)

5 - Um balanço material permite relacionar a massa de sólidos nobolo com a massa de sólidos na suspensão inicial. Este balanço éexpresso por uma das equações seguintes em que o lado esquerdorepresenta a massa de partículas acumuladas no bolo e o lado di-reito representa a massa de partículas na suspensão inicial. Qual éessa equação?a)

� � � � � � � (5.38)

b)

� � � � & � � � � � � (5.39)

c)

� � � � & � � � � � � � � & � � � (5.40)

d)

� � � � � & � � � � � � � � & � � (5.41)

6 - A partir da equação anterior é possível obter uma equação para

74

Page 75: Exercicios de OP2

a espessura do bolo. Qual?a)

� � � � � � � & � � �� � � & � � (5.42)

b)

� � � � �� � � & � � � & � � � (5.43)

c)

� � � � � & � � � & � � �� � � (5.44)

d)

� � �� � � & � � � & � � � (5.45)

7 - A derivado do volume de filtrado em ordem ao tempo determina-se pela equação:

� ����� � � � � %

� % � �� (5.46)

A que é igual � , a resistência específica do bolo de filtração?a)

� � � & �� � � � & � � �� (5.47)

b)

� � � � � & � � ��� & � (5.48)

c)

� � � � � � & � � ��� & � (5.49)

d)

� � � � � � & � � ��� & � � (5.50)

8 - Para chegar à equação

� ����� � � � � %

� % � �� (5.51)

que simplificação foi necessário fazer? Essa simplificação é plausível?Porquê?

9 - A queda de pressão através do filtro verifica qual equação?a) ��� � � � � � � � � �� �

� � & � �& � (5.52)

b)

� � � �� � � � � � � � & � � � ��& � (5.53)

75

Page 76: Exercicios de OP2

c) � ���� � �

� ��� ��� (5.54)

d) � ���� �� ��� � � (5.55)

10 - As resistências ao escoamento do bolo e do filtro são resistên-cias:

a) em paralelo

b) em série

d) independentes

11-A resposta à pergunta anterior permite relacionar�� � �� � com as

propriedades do bolo e do filtro. Obtém-se que equação?a) � �

�� � � � � �� � � % � �� � � � (5.56)

b) � ����� � � � �

� � � % � � � � (5.57)

c) � ����� � � � � % � ��� �

� � � % � �� � � � � (5.58)

d) � ����� � � � � %

��� ����� ���� � � ��� (5.59)

12 - A equação solução da pergunta anterior é equivalente à equação:

� ����� � � � �

� % �� � � � � � � (5.60)

Qual é o significado de � � ?

a) volume do filtrob) volume de filtrado necessáriopara criar um bolo com uma re-sistência equivalente à do filtro

c) volume de filtrado com amesma massa do filtro13 - A massa total de partículas acumuladas no bolo é igual a:a)

� � � � � �(5.61)

b)

� � � � � (5.62)

14 - Porque é que � pode variar com a queda de pressão? Qual é arelação entre a compressibilidade do bolo e � ? Para que servem asequações seguintes?

76

Page 77: Exercicios de OP2

� � � � � � � � � � (5.63)

� � ��� � � ��� � � ��� � � � � (5.64)

15 - Que truque é que se usa para integrar a equação:

� ����� � � � �

� � � %�� �� � � � (5.65)

16 - A equação

� ���� � � � � �� � � � � � � � �� � � � (5.66)

é equivalente à equação:

� ���� "

����

(5.67)

em que� está relacionado com as propriedades do bolo:

�� � � � �� � � � � (5.68)

e B está relacionado com as propriedades do filtro:

� � � � �� � � � (5.69)

Após integração obtém-se:a)

� � � �� ���

�� �

(5.70)

b)

� � � �� � �

� (5.71)

c)

� � ���� ���

� (5.72)

77

Page 78: Exercicios de OP2

17 - Se se pretender determinar� e

�a partir de resultados exper-

imentais de volume de filtrado e do tempo de filtração, utiliza-se aequação:a)

��� � � � � ����� ���� ���

��� (5.73)

b)

� � ���� � �

� (5.74)

c)�

�� �

� � ��� (5.75)

18 - Os resultados experimentais quando representados em gráficotêm o aspecto seguinte:

V

��

��

��

��

A que é igual o declive e a odenada na origem no gráfico?

Extra 7.cont

19 - Em filtros em que o percurso do líquido de lavagem é igual aopercurso do filtrado, como se determina o caudal de lavagem?a)

� � � � � � � � � (5.76)

b)

� � � ��

� � �� ��� (5.77)

c)

� � � � � � � ��� (5.78)

d)

� � � ������ ��� � � (5.79)

20 - Qual das figuras seguintes representa o percurso do filtradonum filtro de prensa e qual representa o percurso do líquido delavagem?

78

Page 79: Exercicios de OP2

a)

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

��������

b)

��������

��������

��������

��������

21 - A área de filtração num filtro de prensa é:

a) 1/2 da área de lavagem b) 2 vezes a área de lavagem

c) 1/4 da área de lavagem d) 4 vezes a área de lavagem

22 - A espessura final do bolo num filtro de prensa é:a) 1/2 da espessura per-corrida pelo fluido delavagem

b) 2 vezes a espessura percorridapelo fluido de lavagem

23 - Num filtro de prensa, a razão entre o valor de B para filtraçãoe o valor de B para lavagem é de:

a) 1/2 b) 2

c) 1/4 d) 4

24 - Num filtro de prensa, a razão entre o valor de� para filtração

e o valor de� para lavagem é de:

a) 1/2 b) 2

c) 1/4 d) 4

79

Page 80: Exercicios de OP2

25 - Em filtros de prensa, como se determina o caudal de lavagem?a)

� � � � � �� � � � ��� (5.80)

b)

� � � �� � � � ��� (5.81)

c)

� � � � � � � ��� (5.82)

d)

� � � � � ��� � � � � � � (5.83)

26 - Em filtros de prensa, o tempo de lavagem determina-se por?a)

� � ��� � � � � � � � ��� � (5.84)

b)

� � � � � ��� � � � � � � � ��� � (5.85)

c)

� � � � � ��� � �� � � � ��� (5.86)

d)

� � � � ��� ���� � � � � (5.87)

80

Page 81: Exercicios de OP2

27 - O tempo de um ciclo de filtração determina-se por:a)

� % � % � � � � � � � �� ����� � �

� � � � (5.88)

b)

� % � % � � � � � � � �� ����� � �

� � � � � � � � � � � � � ��� � (5.89)

c)

� % � % � � � � � � � �� �����

(5.90)

d)

� % � % � � � � � � � � � % � � � � � � � � � � ��� � � �

(5.91)

28 - O caudal médio de um ciclo de filtração determina-se por:a)

� � � � � � � ��

� � ��� �� ����� � �

� � � � (5.92)

b)

� � � � � � � ��

� � � � �� ����� � �

� � � � � � � � � � � � � ��� � (5.93)

c)

� � � � � � � � �� � � � � � % � � � � � � � � � � �� � � �

(5.94)

d)

� � � � � � � � �� � ��� �� ���

�� � �

� � � � � � � � � � � � � � (5.95)

81

Page 82: Exercicios de OP2

29 - Considere o gráfico seguinte, o qual representa o volume defiltrado em função do tempo durante a filtração:

V

t-t

��

��

��

��

��

��

��

��

��

t�

V�

a) O que representa� ?

b)O que representa o declive da recta que passa por � � � ?c)O que representa

� �?

d)O que representa ��?

5.4 Problemas resolvidos

5.4.1 Filtração a pressão constante

Res.14.2-1, pp. 810

Dados de filtração laboratorial de uma suspensão de CaCO3 emágua a 298.2 K obtidos sob pressão constante (-

� � ) de 338 kPasão os indicados na tabela. A área do filtro prensa utilizado era de0.0439 m

�e a concentração da suspensão c

�=23.47 kg/m3. Calcule

as constantes a e Rm.

�� � � � � � � � �

� � � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� ��� � � � � � � � ��� � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

Do gráfico de� � � em função de � , determina-se:

�� � � � � � �

� � � � � ��� � �Como:

82

Page 83: Exercicios de OP2

�� � � � �� � � � � (5.96)

então:

� � � � � � � � � � � (5.97)

para T=25 � C, � � � � � � � � � " � � � � � � � . Logo:

� � ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � (5.98)

como:

� � � � �� � � � (5.99)

então:

� � � � � � � �� (5.100)

� � � ��� ��� � � � � � � � � � � � � ��� � �� � � � � � � � ��� � � � (5.101)

Res. 14.2-2, pp.811

A suspensão do problema anterior R.14.2-1 vai ser filtrada numfiltro prensa com 20 caixilhos de 0.873m2 cada caixilho. Vai usar-se a mesma pressão do ensaio. Supondo que o bolo tem as mesmaspropriedades antes determinadas e a mesma tela filtrante, calculeo tempo necessário para recuperar 3.37m3 de filtrado. [t = 269.7s]

� �� �

� � �� � � � � �

� � � �� � �� � (5.102)

� �� �

� � � � � � � � � � � (5.103)

83

Page 84: Exercicios de OP2

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � (5.104)

� �� �� � %��� � � �� � %��

� � � � �� � ��� � � (5.105)

� � � � ��� � � � � (5.106)

� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � (5.107)

O tempo de filtração determina-se pela equação:

� � � �� � �� ��� � � (5.108)

� � � � � � � �� � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � s (5.109)

5.4.2 Optimização e lavagem

Res. 14.2-3, pp.813

No final do ciclo de filtração do problema anterior R.14.2-2 em quese recolhe 3.37 m3 durante 269.7 s. O bolo é lavado por uma cor-rente de água que atravessa todo o bolo em cada caixilho, utilizando10% do volume de filtrado.a. Calcule o tempo de lavagem e o tempo total do ciclo se a limpezado filtro demorar 20min. [Resp. tlav=194 s; tciclo=27.73 min]b. Calcule o ciclo óptimo de filtração.O caudal de lavagem num filtro de prensa é dado por:

� � � � � " � � � � � (5.110)

� � � � � � ��� ��� � � � � � � ��� � � � � � " � � ��� � (5.111)

84

Page 85: Exercicios de OP2

� � � � � � ��� � � ��� � � � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � (5.112)

� % � % � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � (5.113)

Res 14.2-3, b)Solução analítica

� % � % � � � �� � �� ��� � � � �

��

�� � �� ��� � � � � � (5.114)

� % � % � � � �� � �� ��� � � � � � � � � � � � ��� � � �

� (5.115)

� % � % � � � � � � � � " � �� ��� � � � � � � � � � � (5.116)

� � � � � � � � �� % � % � � (5.117)

� � � � � � � ��

�� �� � � � � � �� � � � � � � � � � � �

� (5.118)

� � � � � � ���� � � �

� �� � � � � � �� ��� � � � � � � � � �

� �� �� �� � � � � � �� ��� � � � � � � � � �

� � � �� �

� � � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �� � � � � � �� ��� � � � � � � � � �

� � � (5.119)

� � � � � � ���� � � � � �

� � � � " � �� ��� � � � � � � � � �

� � �� � � �

� � � � " � � � � � � � � � � � �

(5.120)

85

Page 86: Exercicios de OP2

� � � � � � ���� � � � � � � �� � � � � � �� � �

� � � (5.121)

�� � �

��� �� � � � � (5.122)

86

Page 87: Exercicios de OP2

Bibliography

[Geankoplis] Geankoplis, C.J., 1993. "Transport Processes andUnit Operations, 3rd ed.", Prentice Hall International,Inc., New Jersey, USA

[Foust] Foust, A.S., et al., 1960."Principles of Unit Opera-tiosn", John Wiley.

[McCabe] McCabe, W.L., Smith, J.C., Harriot, P., 1993(2001). "Unit Operations of Chemical Engineering, 5th(6th)ed.", McGraw Hill, N.Y., USA.

[Coulson] Coulson, Richardson, 1993. "Engenharia Química,vol.1", Fund. Calouste Gulbenkian, Lisboa.

[Perry] Perry, R.H., Green, D.W., Maloney, J.O., eds., 1991."Perry´s Chemical Engineering Handbook, 7th ed.,McGraw Hill, N.Y., USA.

87