Exercícios Trigonometria - Com Resoluçao

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Exerccios Trigonometria

Temas Abordados: Funes Trigonomtricas e

Equaes; Arcos na Circunferncia;

Primeiro Quadrante; Razes Trigonomtricas

1. (Upe 2014) Um relgio quebrou e est marcando a hora representada a seguir:

Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direo, mas a velocidade do ponteiro menor equivale

a 9

8 da velocidade do ponteiro maior. Depois de

quantas voltas, o ponteiro pequeno vai encontrar o ponteiro grande? a) 3,0 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 9,5 2. (Unicamp 2014) Considere um hexgono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento

de 1cm e um lado com comprimento de xcm.

a) Encontre o valor de x. b) Mostre que a medida do ngulo inferior a 150.

3. (Uemg 2014) Em uma de suas viagens para o exterior, Lus Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asitica. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ngulo de 60, conforme mostra a figura:

Exerccios Trigonometria

Funes Trigonomtricas e

na Circunferncia; Reduo ao

tricas.

Um relgio quebrou e est marcando a

Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direo, mas a velocidade do ponteiro menor equivale

da velocidade do ponteiro maior. Depois de

o ponteiro pequeno vai encontrar o

Considere um hexgono, como o exibido na figura abaixo, com cinco lados com comprimento

xcm.

inferior a 150.

Em uma de suas viagens para o exterior, um monumento de

arquitetura asitica. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ngulo de 60,

Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, aproximadamente a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34. 4. (Uel 2014) Analise a figura a seguir.

A questo da acessibilidade nas cidades um desafio para o poder pblico. A fim de implementara Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetnica e urbanstica. Entre elas esto as de construo de rampas de acesso, cuja inclinao com o plano horizontal deve variar de 5% a 8,33%. Uma inclinao de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas no respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinaes exageradas. Conforme a figura, observouacesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa igual a 2 metros. Se essa rampa fosse construda seguindo as normas da ABNT, com inclinao de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferena de comprimento dessas rampas, em metros. a) 5 b) 20

c) 1

220

+

d) 401 2

e) 1

4,0120

+

5. (Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS

est inscrito na circunferncia trigonomtrica, os arcos

e AQ tm medidas iguais a

0 . < < <

Pgina 1

se que a altura do teodolito corresponde a 30 cm, a altura do monumento, em metros,

Analise a figura a seguir.

A questo da acessibilidade nas cidades um desafio para o poder pblico. A fim de implementar as polticas inclusivas, a Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) criou normas para acessibilidade arquitetnica e urbanstica. Entre elas esto as de construo de rampas de acesso, cuja inclinao com o plano horizontal deve variar de 5% a

%. Uma inclinao de 5% significa que, para cada metro percorrido na horizontal, a rampa sobe 0,05 m. Recorrentemente, os acessos por rampas no respeitam essas normas, gerando percursos longos em inclinaes exageradas. Conforme a figura, observou-se uma rampa de acesso, com altura de 1 metro e comprimento da rampa

Se essa rampa fosse construda seguindo as normas da ABNT, com inclinao de 5%, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a diferena de comprimento

Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS

est inscrito na circunferncia trigonomtrica, os arcos AP

tm medidas iguais a e , respectivamente, com

www.soexatas.com Pgina 2

Sabendo que cos 0,8, = pode-se concluir que o valor de

cos

a) 0, 8. b) 0, 8. c) 0, 6. d) 0, 6. e) 0, 2. 6. (Unesp 2014) A figura mostra um relgio de parede, com 40 cm de dimetro externo, marcando 1 hora e 54 minutos.

Usando a aproximao 3, = a medida, em cm, do arco externo do relgio determinado pelo ngulo central agudo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos, no horrio mostrado, vale aproximadamente a) 22. b) 31. c) 34. d) 29. e) 20. 7. (Uece 2014) Se f : R R a funo definida por

senxf(x) 2 1,= + ento o produto do maior valor pelo

menor valor que f assume igual a a) 4,5. b) 3,0. c) 1,5. d) 0. 8. (Insper 2014) Considere o produto abaixo, cujos fatores so os cossenos de todos os arcos trigonomtricos cujas

medidas, em graus, so nmeros inteiros pertencentes ao intervalo [91, 269].

P cos91 cos92 cos93 ... cos268 cos269= Nessas condies, correto afirmar que

a) 1

1 P .4

< <

b) 1

P 0.4

< <

c) P 0.=

d) 1

0 P .4

< <

e) 1

P 1.4< <

9. (Uece 2014) Usando a expresso clssica do

desenvolvimento da potncia n(a b) ,+ onde a e b so

nmeros reais e n um nmero natural, pode-se resolver facilmente a equao

4 3 2sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0. + + = Ento, para os valores de x encontrados, teremos que cosx igual a a) 1.

b) 3

.2

c) 2

.2

d) 0. 10. (Uece 2014) Se p e q so duas solues da equao

22sen x 3sen x 1 0 + = tais que senp senq, ento o

valor da expresso 2 2sen p cos q igual a

a) 0. b) 0,25. c) 0,50. d) 1. 11. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.


Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de

comprimento (profundidade), a tangente do ngulo CAD

mede:

a) 9

10

b) 14

15

c) 29

30

d) 1 12. (Fgv 2013) Um tringulo issceles tem os lados congruentes com medida igual a 5. Seja medida do

ngulo da base, para a qual a rea do referido tringulo mxima. Podemos afirmar que a) 10 20 < b) 20 30 < c) 30 40 < d) 40 50 < e) 50 60 < 13. (Mackenzie 2013)

Se na figura, AD 3 2= e CF 14 6,= ento a medida de

AB

a) 8 6

b) 10 6 c) 12 6 d) 28

e) 14 5 14. (Ufg 2013) Um topgrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas margens so paralelas e retilneas. Usando como referncia uma rvore, A, que est na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na

margem na qual se encontra, tais que os ngulos ABC e

ACB medem 135 e 30, respectivamente. O topgrafo,

ento, mediu a distncia entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.

Dado: 3 1,7.

15. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD um retngulo em que

BD uma diagonal, AH perpendicular a BD,

AH 5 3 cm= e 30 . = A rea do retngulo ABCD, em

centmetros quadrados,

a) 100 3.

b) 105 3.

c) 110 3.

d) 150 2. e) 175 2. 16. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) NASCIDOS PARA VOAR: 60 ANOS DE FUMAA J

Fonte: Jornal EPCARIANO Ano 1, no 01 p. 4 Em maio de 2012, o esquadro EDA (Esquadrilha da Fumaa) comemorou 60 anos de apresentaes. Para homenagear esse esquadro foi realizado na EPCAR um concurso em que os alunos teriam que criar um desenho. Uma das regras desse concurso foi: elaborar um desenho usando conhecimentos de matemtica. O aluno vencedor apresentou o desenho em circunferncias conforme esquema abaixo.


Com base nas informaes do desenho, julgue verdadeira ou falsa cada afirmativa. 02. A menor soma das medidas dos comprimentos dos

arcos PS, GH, FK, e LM igual a 6 .

04. A razo entre PS e ST, nessa ordem, 2 3

.3

08. PS e GH so congruentes.

16. 1

AQ EJ.2

=

32. 3 3

ST .4

=

A soma das alternativas verdadeiras igual a a) 20 b) 22 c) 36 d) 44 17. (Ufg 2013) As cidades de Goinia e Curitiba tm, aproximadamente, a mesma longitude. Goinia fica a uma latitude de 1640', enquanto a latitude de Curitiba de 2525'. Considerando-se que a Terra seja aproximadamente esfrica, com a linha do equador medindo, aproximadamente, 40000 km, a distncia entre as duas cidades, em quilmetros, ao longo de um meridiano, a) menor que 700. b) fica entre 700 e 800. c) fica entre 800 e 900. d) fica entre 900 e 1000. e) maior que 1000. 18. (Uel 2013) Uma famlia viaja para Belm (PA) em seu automvel. Em um dado instante, o GPS do veculo indica que ele se localiza nas seguintes coordenadas: latitude 2120 Sul e longitude 4830 Oeste. O motorista solicita a um dos passageiros que acesse a Internet em seu celular e obtenha o raio mdio da Terra, que de 6730 km, e as coordenadas geogrficas de Belm, que so latitude 120 Sul e longitude 4830 Oeste. A partir desses dados, supondo que a superfcie da Terra esfrica, o motorista calcula a distncia D, do veculo a Belm, sobre o meridiano 4830 Oeste. Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor da distncia D, em km.

a) D 67309

=

b) ( )2D 673018

=

c) D 67309

=

d) D 673036

=

e) 2

D 67303

=

19. (G1 - cftmg 2013) Se o relgio da figura marca 8 h e 25 min, ento o ngulo x formado pelos ponteiros

a) 12 30. b) 90. c) 102 30. d) 120. 20. (Uern 2013) A razo entre o maior e o menor nmero inteiro que pertencem ao conjunto imagem da funo

trigonomtrica 2

y 4 2cos x3

= +

a) 2.

b) 1

.3

c) 3.

d) 1

.2

21. (Ufpr 2013) O pisto de um motor se movimenta para cima e para baixo dentro de um cilindro, como ilustra a figura.


Suponha que em um instante t, em segundos, a altura h(t) do pisto, em centmetros, possa ser descrita pela expresso:

( ) 2 th t 4sen 4.0,05

= +

a) Determine a altura mxima e mnima que o pisto

atinge.

b) Quantos ciclos completos esse pisto realiza, funcionando durante um minuto?

22. (Ufsm 2013) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em excesso pelos veculos causam graves problemas a toda populao. Durante o inverno, a poluio demora mais para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento de doenas respiratrias. Suponha que a funo

( ) ( )N x 180 54cos x 16

=

represente o nmero de pessoas com doenas respiratrias registrado num Centro de Sade, com

x 1= correspondendo ao ms de janeiro, x 2,= ao ms de fevereiro e assim por diante. A soma do nmero de pessoas com doenas respiratrias registrado nos meses de janeiro, maro, maio e julho igual a a) 693. b) 720. c) 747. d) 774. e) 936. 23. (Uem 2013) Com relao aos conceitos e s propriedades de funes e equaes trigonomtricas, assinale o que for correto. 01) A equao tg(x)=sen(x) no tem solues. 02) Se f definida por ( ) ( ) ( )f x sen x cos x ,= ento a

equao f(x)=0 tem como conjunto soluo

x | x k , k .2

=

04) A funo f(x)=cos(x) crescente no intervalo 0, .2

08) O grfico da funo f, definida por

( ) ( ) ( ) ( )1f x sen x sen 2x cos x ,2

= coincide com o

grfico da funo g, definida por g(x)=sen3(x).

16) Para qualquer a , existe x , tal que tg(x)>a.

24. (Uepb 2013) Sendo f(x) 4cos x 2cosx,2

= +

o

valor de 7

f4

:

a) 2 b) 2

c) 2 d) 1

e) 2

2

25. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboo do

grfico de uma funo x

y A Bsen ,4

= +

que muito til

quando se estudam fenmenos peridicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Ento, o produto das constantes A e B

a) 6 b) 10 c) 12 d) 18 e) 50 26. (Ufpe 2013) Seja f uma funo que tem como domnio o conjunto dos nmeros reais e dada por

( ) ( )f x a sen x b ,= + com a, e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o grfico de f, restrito ao

intervalo fechado 5

, .6 6

A funo f tem perodo

e seu conjunto imagem o intervalo fechado

[ ]5,5 .

Determine as constantes a e e o menor valor

positivo de b. Indique 2 2a 3b . + +


27. (G1 - cftmg 2013) O conjunto formado pelas razes da

funo 2x 3x

f(x) cos cos3 2

=

que esto contidas no

intervalo [ ]0,

a) , .3

b) 3

, .4

c) 3 4

, .4 3

d) 3

, , .3 4

28. (Upe 2012) Na figura a seguir, esto representados o ciclo trigonomtrico e um tringulo issceles OAB.

Qual das expresses abaixo corresponde rea do tringulo OAB em funo do ngulo ? a) tg sen

b) 1

tg cos2

c) sen cos

d) 1

tg sen 2

e) tg cos

29. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferncia trigonomtrica em que MN dimetro e o

ngulo mede 5

6

radianos.

A razo entre as medidas dos segmentos AB e AC

a) 26 3. b) 3.

c) 3

.2

d) 3

.3

30. (Insper 2012) O professor de Matemtica de Artur e Bia pediu aos alunos que colocassem suas calculadoras cientficas no modo radianos e calculassem o valor de

sen .2

Tomando um valor aproximado, Artur digitou em

sua calculadora o nmero 1,6 e, em seguida, calculou o seu

seno, encontrando o valor A. J Bia calculou o seno de 1,5,

obtendo o valor B. Considerando que 2

vale

aproximadamente 1,5708, assinale a alternativa que traz a

correta ordenao dos valores A, B e sen .2

a) sen A B.2

< <

b) A sen B.2

< <

c) A B sen .2

< <

d) B sen A.2

< <

e) B A sen .2

< <

Soluo Trigonometria

Resposta da questo 1:

[B] Seja a velocidade do ponteiro maior.

A posio do ponteiro menor aps t minutos dada por

9t,

8 = enquanto que a posio do ponteiro maior

igual a t. = + Logo, para que o ponteiro menor

encontre o ponteiro maior, deve-se ter

9t t

8

t 8 .

= = +

=

Portanto, o resultado pedido 8

4.2

=



a) Considere a figura.

Aplicando o Teorema de Pitgoras nos tringulos ABC,

ACD, ADE e AEF, vem

2 2 2 2 2AC AB BC 1 1 2,= + = + =

2 2 2 2AD AC CD 2 1 3,= + = + =

2 2 2 2AE AD DE 3 1 4= + = + =

e

2 2 2 2 2AF AE EF x 4 1

x 5 cm.

= + = +

=

b) imediato que BAC 45 .=

Do tringulo ACD, temos

CD 1tgCAD CAD arctg 45 .2AC

= = <

Do tringulo ADE, vem

DE 1tgDAE DAE arctg 30 .3AD

= = =

Do tringulo AEF, segue

EF 1tgE AF E AF arctg 30 .4AE

= = <

Portanto, tem-se

BAC CAD DAE EAF

45 45 30 30

150 .

= + + +

< + + +

=


[D]

Admitindo que 1,20m seja a distncia do teodolito ao eixo vertical do monumento, temos:

Sendo x a altura do monumento, temos:

x 1,30tg60

1,20

x 1,30 1,20 3

=

=

Logo, x aproximadamente 1,30+2,04, ou seja, x = 3,34m. Resposta da questo 4:

[D]

Rampa com inclinao de 5% :

1 5x 20m.

x 100= =

Aplicando o Teorema de Pitgoras, temos:

2 2 2d 1 20 d 401 m= + =

Logo, a diferena pedida de ( 401 2)m.


[C]

Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Como POQ 90 , = = segue-se que 90 . = +

Alm disso, sabendo que cos( 90 ) sen , + = 2 2sen cos 1 + = e cos 0,8, = com 0 180 , < < <

temos

cos cos( 90 )

sen

0,6.

= +

=

=



[B]

Cada minuto do relgio corresponde a 6

o, portanto,

60 6 66 . = + = Partindo da ideia que enquanto o ponteiro dos minutos se desloca 60min, o ponteiro das horas se desloca 30, temos:

60min 30

54min

Logo, 27 , = portanto o arco pedido mede 66 + 27 =

93. Calculando, em centmetros, o comprimento do arco de 93, temos:

93 2 2031 cm (considerando, 3)

360

= =


[A]

Se sen x 1,= ento 1f(x) 2 1 3= + = (maior valor).

Se sen x 1,= ento 13

f(x) 2 12

= + = (menor valor).

Logo, o produto pedido ser 3 9

3 4,5.2 2

= =


[B]

Dentre os fatores de P, temos 1

cos120 cos2402

= =

e cos180 1. = Alm disso, cada um dos (269 91 1) 3 176 + = fatores restantes um nmero

real pertencente ao intervalo ] 1, 0[.

Portanto, como o produto de um nmero par de fatores negativos um nmero positivo, segue-se que

1cos91 cos92 cos93 cos268 cos269 ,

4 = K

com ]0, 1[, o que implica em 1

P 0.4

< <


[D]

4 3 2 4sen x 4sen x 6sen x 4senx 1 0 (senx 1) 0 senx 1 0 senx 1 + + = = = =

Utilizando a relao Fundamental, temos: sen

2x + cos

2x = 1

1

2 + cos

2 x = 1

cos

2 x = 0

Portanto, cosx = 0. Resposta da questo 10:

[B]

2

2

2sen x 3sen x 1 0

( 3) 4 2 1

1

senx 1( 3) 1senx

senx 1/ 22 2

+ =

=

=

= =

=

2 2 2 2 2 2 2 2sen p cos q sen p (1 sen q) sen p sen q 1 1 (1/ 2) 1 1/ 4 0,25. = = + = + = =


[B]

Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano

horizontal, temos

AB 8 30 240cm,= =

BC 6 30 180cm= = e

CD (8 6) 20 280cm.= + = Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo retngulo

ABC, encontramos

2 2 2 2 2 2AC AB BC AC 240 180

AC 300cm.

= + = +

=


Portanto, do tringulo retngulo ACD, vem

CD 280 14tgCAD .300 15AC

= = =


[D] Como cada ngulo da base mede , segue que o ngulo do

vrtice igual a (180 2 ). Portanto, a rea do tringulo

pode ser obtida por meio da expresso

21 255 sen(180 2 ) sen2 .2 2

=

Sabendo que a funo sen2 atinge seu valor mximo para 2 90 , = ou seja, 45 . = Logo, 40 50 . <


[C] Considerando que o quadriltero ABCF um trapzio issceles, temos: No tringulo ACD:

3 2 3 2tg60 3 CD 6 e EF 6.

CD CD = = = =

Logo, AB DE 14 6 6 6 12 6.= = =


Considere a figura, em que H o p da perpendicular

baixada de A sobre a reta BC.suur

Como $ABC 135 ,= segue que $ $ABH 180 ABC 45= = e, portanto, o tringulo ABH retngulo issceles. Logo,

AH HB.= Do tringulo AHC, obtemos

AH AHtgACB tg30HB BC AH 20

3 AH

3 AH 20

20 3AH

3 3

AH 10( 3 1)

AH 27 m.

= =+ +

=+

=

= +


[A]

5. 3no AHD sen30 AD 10. 3

AD

5. 3no AHB cos30 AB 10

AB

= =

= =

o

o

Portanto a rea do retngulo ABCD ser dada por:

A 10. 3.10 100 3= =


[D]

02) Falsa. 23 3 3

+ + + =

04) Verdadeira. No tringulo PTS, temos: sen60=

ST 3 ST PS 2 PS 2 3.

PS 2 PS ST ST 33 = = =

08) Verdadeira. Os tringulos EGH e APS so congruentes

pelo caso L.A.L.; portanto, as cordas PS e GH so

congruentes. 16) Falsa. No tringulo ANQ, temos

AQ 3 3tg30 AQ AN AQ EJ.

AN 3 3 = = =


32) Verdadeira. No tringulo PTS, temos: PS = 1,5 e sen60

= ST 3 ST 3 3

ST .PS 2 1,5 4

= =

Somando as afirmaes corretas, temos: 4 + 8 + 32 = 44. Resposta da questo 17:

[D]

25 25' 16 40 ' 8 45 ' 8,75 = = = 360 _______ 40000km

8,75 ______ x

Resolvendo a proporo, temos: x 972,2km.=


[A] O arco percorrido pelo automvel corresponde a um ngulo central cuja medida

21 20' 1 20' 20 rad180

rad.9

=

=

Portanto, sabendo que o raio da Terra mede 6.730 km,

vem

D 6730km.9

=


[C]

O deslocamento do ponteiro das horas, em 25 minutos,

igual a 25

12 30'.2

= Logo, como o ngulo entre as

posies 5 e 8 mede 3 30 90 , = segue que

x 90 12 30' 102 30'.= + = Resposta da questo 20:

[B] Supondo que a funo esteja definida de em , segue-se que a sua imagem

Im [ 4 2 ( 1), 4 2 1] [ 6, 2].= + + =

Portanto, o resultado igual a 2 1

.6 3

=


a) A altura mxima ocorre quando o valor do seno

mximo, ou seja, 2 t

sen 1.0,05

=

hmxima = 5 cm b) Determinando o perodo P da funo, temos:

2P 0,05s.

2

0,05

= =

1 ciclo se realiza em 0,05; em 60s teremos 60/0,05 = 1200 ciclos completos Resposta da questo 22:

[B] Sabendo-se que ngulos suplementares tm cossenos simtricos, conclumos que:

2f(1) f(3) f(5) f(7) 4 180 54 cos0 cos cos cos

3 3

720.

+ + + = + + +

=


02 + 08 + 16 = 26.

[01] Incorreto. x 0= soluo. [02] Correto. Lembrando que uma funo est bem

definida apenas quando se conhece o domnio, o contradomnio e a lei de associao, iremos supor que

o domnio de f seja o conjunto dos nmeros reais. Logo,

1sen(x) cos(x) 0 sen(2x) 0

2

sen(2x) sen0

2x k 2

2x k 2

x k ,k .2

= =

=

=

= +

=


Portanto, o conjunto soluo da equao f(x) 0=

x | x k , k .2

=

[04] Incorreto. Temos 03

< e

1f(0) 1 f .

2 3

= > =

[08] Correto. De acordo com o comentrio do item (02),

iremos supor que o domnio e o contradomnio de f e g sejam iguais. Desse modo, temos

2

2

3

1f(x) sen(x) sen(2x)cos(x)

2

1sen(x) 2sen(x)cos(x)cosx

2

sen(x) sen(x)cos (x)

sen(x) sen(x)(1 sen (x))

sen (x)

g(x).

=

=

=

=

=

=

Por conseguinte, como os valores de f e g so iguais

para todo x pertencente ao domnio de ambas,

segue-se que f e g so iguais e, portanto, seus

grficos coincidem.

[16] Correto. Sabendo que a funo f :D , com

kD x | x , k ,

2

=

definida por f(x) tgx,=

uma funo ilimitada superiormente, segue-se que para

todo a existe um real x, tal que tg(x) a.>


[C]

Sabendo que cos( x) cosx, = temos

7 9 7f 4sen 2cos

4 4 4

4sen 2cos4 4

2sen4

2.

= +

= +

=

=


[A] Lembrando que uma funo est bem definida apenas quando so fornecidos o domnio, o contradomnio e a lei de associao, vamos supor que o domnio seja o conjunto dos nmeros reais, e que o contradomnio seja o intervalo

[ 1, 5].

Desse modo, como a imagem da funo seno

o intervalo [ 1, 1], deve-se ter

A B[ 1,1] [ 1, 5] [A B, A B] [ 1, 5].+ = + =

Os nicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade

so A 2= e B 3.= Por conseguinte, A B 2 3 6. = = Resposta da questo 26:

Sabendo que o perodo fundamental da funo seno 2 ,

e que o perodo de f , temos 2 | | 2.| |

= =

Alm disso, como a imagem da funo seno o intervalo

[ 1,1], e a imagem de f o intervalo [ 5, 5], temos

[ 5, 5] a [ 1,1] a 5 = = (supondo senb 0).>

Finalmente, como f 0,6

=

temos:

0 5 sen 2 b sen b sen0,6 3

= + + =

donde conclumos que o menor valor positivo de b que

satisfaz a igualdade b .3

=

Portanto,

2 2 2 23b 3a 5 2 30.3

+ + = + + =


[D]

2x 3x 2x 3xcos cos 0 cos 0 ou cos

3 2 3 2

2x 2x 3 3cos 0 k ,k x k ,k

3 3 2 4 2

3para k = 0, temos x =

4

9para k = 1, temos x = (maior que )

4

3x 3xcos 0 k , k x

2 2 2

= =

= = + = +

= = + =

2

k , k3 3

para k = 0, temos x = 3

para k = 1, temos x =

5para k = 2, temos x = (maior que )

3

+


Logo, o conjunto soluo da equao ser 3

, , .3 4


[C]

tringulo tringulo tringulobase altura 2sen cos

A A A sen cos2 2

= = =

. Resposta da questo 29:

[B]

AB = 5 3

cos6 2

=

AC = 5 1

sen6 2

=

Portanto:

3AB 2 3.

1AC

2

= =


[E] De acordo com a figura a seguir, conclumos que:

Circunferncia trigonomtrica

sen1,5 < sen1,6 < 1.

Logo,

B A sen .2

< <

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