Exercise-Order-Series-L1-new18Dec55A4%D9%E8%C1%D7… · คู มือสื่อการสอนว ิชาคณ ิตศาสตร โดยความร วมมือระหว

คูมือประกอบสือ่การสอน วชิาคณิตศาสตร

ตอนที่ 73

แบบฝกหัดเร่ือง ลําดบัและอนุกรม (ตอนที่ 1)

โดย

รองศาสตราจารย ยุวรีย พันธกลา

สื่อการสอนชุดน้ี เปนความรวมมือระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวทิยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศกึษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ ปงบประมาณ 2555

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

ส่ือการสอน เร่ือง ลําดับและอนุกรม สื่อการสอน เรื่อง ลําดับและอนุกรม มีจํานวนตอนทั้งหมด 12 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลําดับ - แนวคดิเร่ืองลําดับ - ลําดับเลขคณิต - ลําดับเรขาคณิต 3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

- การประยุกตของลําดับเลขคณิต - การประยุกตของลําดับเรขาคณิต

4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลําดับ - การลูเขาและการลูออกของลําดับ และลิมิตของลําดับ - ทฤษฎีบทของลิมิตของลําดับ

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกยอย - ผลบวกยอย - ผลบวกยอยของลําดับเลขคณิต - ผลบวกยอยของลําดับเรขาคณิต

6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม - ความหมายของอนุกรม - ความหมายของการลูเขา การลูออก และผลบวกของอนุกรม - การตรวจสอบการลูเขาของอนุกรมเรขาคณิต - ตัวอยางการประยุกตของอนุกรมเรขาคณิต

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม - ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม - ความสัมพันธระหวางการลูเขาของลําดับและอนุกรม


2

8. แบบฝกหดัตอนที่ 1 แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 1) - แบบฝกหัดข้ันพื้นฐาน - แบบฝกหัดข้ันสูง - แบบทดสอบ

9. แบบฝกหดัตอนที่ 2 แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 2) - แบบฝกหัดข้ันพื้นฐาน - แบบฝกหัดข้ันสูง - แบบทดสอบ

10. แบบฝกหัดตอนที่ 3 แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 3) - แบบฝกหัดข้ันพื้นฐาน - แบบฝกหัดข้ันสูง - แบบทดสอบ



คณะผูจัดทําหวังเปนอยางย่ิงวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอน

สําหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนท่ีใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง ลําดับและอนุกรม นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอ่ืนๆ ท่ีคณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรท้ังหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้


3

เร่ือง ลําดับและอนุกรม หมวด แบบฝกหัด ตอนที่ 1 (1/5) หัวขอยอย 1. แบบฝกหัดข้ันพ้ืนฐาน 2. แบบฝกหัดข้ันสูง 3. แบบทดสอบ จุดประสงคการเรียนรู เพ่ือใหผูเรียน 1. เขาใจความหมายของลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต 2. หาพจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิตและลําดบัเรขาคณิต 3. หาคาตางๆ เกี่ยวกับลําดับเลขคณิต 4. หาคาตางๆ เกี่ยวกับลําดับเรขาคณิต 5. ประยุกตใชลําดับเลขคณิตในการแกโจทยปญหา 6. ประยุกตใชลําดับเรขาคณิตในการแกโจทยปญหา


4

1. แบบฝกหัดข้ันพ้ืนฐาน

แบบฝกหัดข้ันพ้ืนฐาน ใชเพ่ือวัดความรูความสามารถขั้นพื้นฐานของผูเรียน ประกอบดวยขอคําถามแบบปรนัยแบบ 4 ตวัเลือก จํานวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลุมตามจุดประสงคการเรียนรูท่ีกําหนด โดยผูจัดทําไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสุมขอคําถาม เพื่อสรางเปนแบบฝกหัดท่ีมีความแตกตางกันไดมากถึง 10

3 แบบ


5

โจทยขอ 1 เนือ้หาหลัก : ลาํดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 1 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนเขาใจความหมายของลําดับ เลขคณิตหรือไม

1.1 ลําดับในขอใดตอไปน้ีเปนลําดับเลขคณิต

1. 2, 2, 2, 2, 2, 2,− − − …

2. 2 3 5 8 12 17, , , , , ,

3 3 3 3 3 3…

3. 1 1 1 1 1

1, , , , , ,2 3 4 5 6

…

4. 2, 2 2 , 2 2 2 , 2 3 2 , 2 4 2 , 2 5 2 ,+ + + + + …

เฉลย 4

ลําดับในตวัเลือก 4 เปนลําดับเลขคณิตท่ีมี 2 เปนผลตางรวม

ท้ังนี้เพราะ (2 2 ) 2 (2 2 2 ) (2 2 ) (2 3 2 ) (2 2 2 )+ − = + − + = + − +

(2 4 2 ) (2 3 2 ) (2 5 2 ) (2 4 2 )= + − + = + − +

1

2n na a

+= = − =…

สวนลําดับในตัวเลือกอื่นๆ น้ัน ถานาํพจนหลังลบดวยพจนหนาท่ีอยูติดกัน จะพบวาคาของผลตางจะไมคงที่ ลําดับในตัวเลือก 1 - 3 น้ีจึงไมใชลําดับเลขคณิต


6

1.2 ถาลําดับ 1 2 3 4, , , ,a a a a … เปนลําดับเลขคณิต โดยที่ผลตางรวม 0d ≠

ขอใดตอไปน้ีถูกตอง

1. 5 3 4 1a a a a− = −

2. 1 5 4 5

3( )a a a a− = −

3. 4 2 1 3a a a a− = −

4. 5 2 3 1

2( ) 3( )a a a a− = −

เฉลย 4

เนื่องจาก 1 1

( 1) ( 1) ( )( ) ( )m na a a m d a n d m n d− = + − − + − = −

เพราะฉะนั้น 5 2 3 1

2( ) 6 3( )a a d a a− = = − ตวัเลือก 4 จึงถูกตอง

สวนตัวเลือกอ่ืนๆ ไมถูกตอง

1.3 ลําดับในขอใดตอไปน้ี ไมใชลําดับเลขคณิต

1. 11, 4, 4, 11, 19, 26, 34,− − …

2. 9, 3, 3, 9, 15, 21, 27,− − …

3. 11 5 1 1 7

, 2, , , , 1, ,4 4 2 4 4

− − − − …

4. 7 11 13 17 19

, 3, , , 5, , ,3 3 3 3 3

…

เฉลย 1

พิจารณา ลําดับในตวัเลือก 1 จะพบวา

4 ( 11) 7− − − = แต 4 ( 4) 8− − = น่ันคือ 2 1 3 2a a a a− ≠ −

เพราะฉะนั้น ลําดับนี้จึงไมใชลําดับเลขคณิต

สวนลําดับในตัวเลือกอื่นๆ เปนลําดับท่ีมีผลตางที่ไดจากการนําพจนหลังลบดวยพจนหนาท่ีอยูติดกันแลวมีคาคงตัวเสมอ จึงเปนลําดับเลขคณิต โดยที่ลําดับในตัวเลือก 2, 3 และ 4 เปน

ลําดับเลขคณิตท่ีมีผลตางรวมเทากับ 6, 3

4 และ 2

3 ตามลําดับ


7

โจทยขอ 2 เนือ้หาหลัก : ลาํดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 2 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนเขาใจความหมายของลําดับ เรขาคณิตหรือไม

2.1 ถาลําดับ na ท่ี 0

na ≠ ทุก n ∈ เปนลําดบัเรขาคณิต โดยท่ีอัตราสวนรวม 1r ≠

ขอใดตอไปน้ีไมถูกตอง

1. 2

5 3 4a a a= 2.

2

5 2

2 1

a a

a a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

3. 2 3 1 4a a a a= 4. 3 2

5 4

a a

a a=

เฉลย 2

เนื่องจาก 1

1

n

na a r

−= จะไดวา 35

2

ar

a= แต

222

1

ar

a

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

เพราะฉะนั้น ตวัเลือก 2 จึงไมถูกตอง สวนตัวเลือกอ่ืนๆ ถูกตอง

2.2 ลําดับในขอใดตอไปน้ี ไมใชลําดับเรขาคณิต

1. 1, 1, 1, 1, 1, 1,− − − …

2. 2 , 2, 2 2 , 4, 4 2 , 8, …

3. 1 1 1 1 1

3 , , , , , ,3 2 3 3 3 4 3 5 3

…

4. 3 2 3 3 9 2 9 3 27 2

3 , , , , , ,2 2 4 4 8

…

เฉลย 3

พิจารณาตัวเลือก 3 จะพบวา

11333

= แต

112 3

1 23

=

น่ันคือ 2 3

1 2

a a

a a≠


8

เพราะฉะนั้น ลําดับนี้จึงไมใชลําดับเรขาคณิต

สวนลําดับในตัวเลือก 1, 2 และ 4 จะเปนลําดับเรขาคณิต ท่ีมีอัตราสวนรวมเทากับ 1, 2−

และ 3

2 ตามลําดับ

2.3 ลําดับในขอใดตอไปน้ี เปนลําดับเรขาคณิต

1. 0.8, 0.88, 0.888, 0.8888, …

2. 1 1 1, , , 2, 4, 8, 16, 32,

8 4 2…

3. 2, 2 3 , 6, 6 3 , 18, 18 3 , …

4. 2 4 8 16

1 1 1 11, , , , ,x x x x

…

เฉลย 3

พิจารณาตัวเลือก 3 จะพบวา

12 3 6 6 3 18 18 33

2 6 182 3 6 3n

n

a

a+= = = = = = =…

ลําดับนี้จึงเปนลําดับเรขาคณิตท่ีมีอัตราสวนรวม เทากบั 3

สวนลําดับในตัวเลือกอื่นๆ ไมสามารถหาอัตราสวนรวมได จึงไมใชลําดับเรขาคณิต


9

โจทยขอ 3 เนือ้หาหลัก : ลําดับเลขคณติและลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 3 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาพจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิตไดหรือไม

3.1 พจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิต 52, 43, 34, 25, … คือพจนในขอใดตอไปนี้

1. 61 9na n= − 2. 52 9

na n= −

3. 52 9na n= + 4. 43 9

na n= +

เฉลย 1

จากลําดับเลขคณิต 52, 43, 34, 25, , ,na… …

จะได 1

52a = และ 43 52 9d = − = −

เพราะฉะนั้น 52 ( 1)( 9)na n= + − −

61 9na n= −

3.2 พจนท่ัวไปของลําดับเรขาคณิต 5 5 15 45, , , ,

3 2 4 8… คือพจนในขอใดตอไปนี้

1. 10 3

9 2

n

na

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ 2.

5 3

3 2

n

na

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

3. ( )

1

5 3

2

n

nna −= 4.

5 3

2 2

n

na

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

เฉลย 1

ลําดับเรขาคณิต na น้ี มี

1

5

3a = และ 3

2r = จะได

15 3 10 3

3 2 9 2

n n

na

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3.3 พจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิต na ท่ีมี

118a = และ

427a = คือพจนในขอใดตอไปนี ้

1. 21 3na n= − 2. 18 3

na n= −

3. 18 3na n= + 4. 15 3

na n= +

เฉลย 4

ลําดับเลขคณิต na น้ี มี

118a = และ 27 18

33

d−

= =

จะได 18 ( 1)(3) 15 3na n n= + − = +


10

โจทยขอ 4 เนือ้หาหลัก : ลําดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 4 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาคาพจนตางๆ ของลําดับเลขคณิตไดหรือไม

4.1 ถาลําดับ 7, , , , 17,a b c− … เปนลําดับเลขคณิต แลวคาของ a b c+ +

เทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 12 2. 15

3. 18 4. 21

เฉลย 2


17a = − และ

517a = จะได 17 7

64

d+

= =


3 6 21 36 15a b c a a a a d+ + = + + = + = − + =

4.2 ลําดับเลขคณิต na ท่ีมี

235a = และ

328a = แลว

30a มีคาเทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 147− 2. 154−

3. 161− 4. 168−

เฉลย 3

ลําดับเลขคณิต na น้ี มี 28 35 7d = − = − และ

135 7 42a = + =

เพราะฉะนั้น 30

42 (29)( 7) 161a = + − = −

4.3 พจนท่ี 18 ของลําดับเลขคณิต 14, 9, 4,− − − … คือคาในขอใดตอไปน้ี

1. 71 2. 76

3. 85 4. 99

เฉลย 1


114a = − และ 9 14 5d = − + =


14 (17)(5) 71a = − + =


11

โจทยขอ 5 เนือ้หาหลัก : ลําดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 5 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตท่ีเปนลําดับจํากัดไดหรือไม

5.1 ลําดับเลขคณิตในขอใดตอไปน้ี มีคาบางพจนเทากับ 416

1. 4, 7, 10, …

2. 6, 10, 14, …

3. 4, 9, 14, …

4. 3, 10, 17, …

เฉลย 4

สําหรับลําดับเลขคณิต na จะไดวา

1( 1)

na a n d= + −

ถา 416na = จะไดวา

1416 ( 1)a n d= + − ………(1)

1. แทน 1

4a = และ 3d = ลงในสมการ (1) จะได 138.3n = ∉

2. แทน 1


3. แทน 1


4. แทน 1

3a = และ 7d = ลงในสมการ (1) จะได 60n = ∈

เพราะฉะนั้น ลําดับเลขคณิตในตัวเลือก 4 มีพจนท่ี 60 คือ 416

5.2 ลําดับเลขคณิต 2, 1, 4, , 154− … มีจํานวนพจนเทากับขอใดตอไปนี้

1. 50 2. 51

3. 52 4. 53

เฉลย 4


12, 154

na a= − = และ 3d =

จาก 1

( 1)na a n d= + − จะไดวา 154 2 3

533

n+ +

= =


12

5.3 ถาพจนท่ี k ของลําดับเลขคณิต 1, 6, 11,− − − … มีคาเทากับ 176− แลว

k มีคาเทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 34 2. 36

3. 38 4. 40

เฉลย 2

ลําดับเลขคณิตนี ้ ม ี 1

1, 176k

a a= − = − และ 5d = −

จาก 1

( 1)( 5)ka a k= + − −

จะได 176 1 536

5k

− + −= =

−


13

โจทยขอ 6 เนือ้หาหลัก : ลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 6 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาคาพจนตางๆ ของลําดับเรขาคณิตไดหรือไม

6.1 ลําดับเรขาคณิตท่ีมี 8

3− เปนพจนท่ี 3 และมี 2 เปนอัตราสวนรวม แลว

พจนท่ี 9 ของลําดับนี้จะมีคาเทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 256

3− 2.

256

3

3. 512

3− 4.

512

3

เฉลย 3


3

8

3a = − และ 2r =

จาก 2

3 1a a r= จะได

1

8 2

12 3a = − = −


9 1

2 512(256)

3 3a a r= = − = −

6.2 พจนท่ี 20 ของลําดับเรขาคณิต 1 1 1, , ,

256 128128 2… คือคาในขอใดตอไปนี้

1. 2 2. 2 2

3. 8 4. 8 2

เฉลย 2


1

1

256a = และ 2

1

2562

128 2

ar

a= = =

จะไดวา ( )1919

20 1

12 2 2

256a a r= = =


14

6.3 กําหนดลําดับเรขาคณิตซึ่งมี 2 และ 162 เปนพจนท่ี 1 และพจนท่ี 5 ตามลําดับ

พิจารณาขอความตอไปน้ี

ก. อัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้เปนไปได 2 คา ข. พจนท่ี 7 ของลําดับเรขาคณิตนี ้มีคาเทากับ 1458


1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด

3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด

เฉลย 1


12a = และ

5162a =

จะไดวา 4 5

1

16281

2

ar

a= = = น่ันคือ 3r = ±

เพราะฉะนั้น ขอความ ก ถูกตอง จาก 6

7 1a a r= และ 6

729r = จะไดวา 7

1458a =

เพราะฉะนั้น ขอความ ข ถูกตอง


15

โจทยขอ 7 เนือ้หาหลัก : ลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 7 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาจํานวนพจนของลําดับเรขาคณิตท่ีเปนลําดบัจํากัดไดหรอืไม

7.1 ลําดับเรขาคณิต 2, 2 3 , 6, , 1458 3… มีจํานวนพจนเทากับขอใดตอไปน้ี

1. 12 2. 13

3. 14 4. 15

เฉลย 3


12a = , 1458 3

na = และ 3r =

จะไดวา ( )131

1

1458 3729 3 3

2n n

ar

a−

= = = =

น่ันคือ 1 13n − = เพราะฉะนั้น 14n =

7.2 ถา 512 เปนพจนท่ี k ของลําดับเรขาคณิต 1 1, , 1, 2,

4 2…

แลว k มีคาเทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 10 2. 11

3. 12 4. 13

เฉลย 3

ลําดับเรขาคณิตนี้มี 1

1

4a = , 512

ka = และ 2r =

จะไดวา 1 11

1

2048 2k k

ar

a− = = =

น่ันคือ 1 11k − = เพราะฉะนั้น 12k =


16

7.3 ใหลําดับ na เปนลําดับเรขาคณิตท่ีมี

1

1

162a = และ

4

1

6a = −

ถา 729

2ka = แลว k มีคาเทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 10 2. 11

3. 12 4. 13

เฉลย 2

ลําดับเรขาคณิตนี้ มี 3 4

1

27a

ra

= = − จะได 3r = −

ทํานองเดียวกับขอ 7.2 จะได 11k =


17

โจทยขอ 8 เนือ้หาหลัก : การประยุกตลาํดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 8 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตมาประยุกตแกโจทยปญหาเพ่ิมเติมไดหรือไม

8.1 กําหนดลําดับเลขคณิต 48, 41, 34,− − − …

ถา m เปนจํานวนเต็มบวกที่มากที่สุดท่ีคาของพจนท่ี m นอยกวา 320

แลวจํานวนในขอใดตอไปน้ีเปนคาของ m

1. 51 2. 52

3. 53 4. 54

เฉลย 3

พจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 7 55na n= −

ถา 320na <

จะได 7 55 320n − <

53.57n <

จากโจทยจะไดวา 53m =

8.2 กําหนดลําดับเลขคณิต 1000, 985, 970, …

ถา p เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยท่ีสุดท่ีคาของพจนท่ี p เปนจํานวนเตม็ลบ

แลวจํานวนในขอใดตอไปน้ีเปนคาของ p

1. 65 2. 66

3. 67 4. 68

เฉลย 4


ถา 0na <

จะได 1015 15 0n− <

67.67n >

จากโจทยจะไดวา 68p =


18

8.3 กําหนดลําดับเลขคณิต 171, 168, 165,− − − …

ถา q เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยท่ีสุดท่ีคาของพจนท่ี q เปนจํานวนเตม็บวก

แลวจํานวนในขอใดตอไปน้ีเปนคาของ q

1. 56 2. 57

3. 58 4. 59

เฉลย 4


ถา 0na >

จะได 3 174 0n − >

58n >

จากโจทยจะไดวา 59q =


19

โจทยขอ 9 เนือ้หาหลัก : การประยุกตลาํดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 9 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตมาประยุกตแกโจทยการหาจํานวนสมาชิกของเซตจํากัดไดหรือไม

9.1 กําหนดให { 104, 103, 102, , 600}A = − − − …

ัหารดวย ลงตว{ 13 }|B x A x= ∈

จํานวนสมาชกิของเซต B เทากับขอใดตอไปน้ี

1. 54 2. 55

3. 56 4. 57

เฉลย 2

จากโจทยจะไดวา { 104, 91, 78, , 598}B = − − − …

ถา n คือจํานวนสมาชิกของเซต B จะไดวา 598 104 ( 1)(13)n= − + −

715

5513

n = =

9.2 กําหนดให { 121, 120, 119, , 530}A = − − − …



1. 59 2. 60

3. 61 4. 62

เฉลย 2

จากโจทยจะไดวา { 121, 110, 99, , 528}B = − − − …


660

6011

n = =


20

9.3 กําหนดให { 92, 91, 90, , 355}A = − − − …



1. 62 2. 63

3. 64 4. 65

เฉลย 3

จากโจทยจะไดวา { 91, 84, 77, , 350}B = − − − …


448

647

n = =


21

โจทยขอ 10 เนื้อหาหลัก : การประยุกตลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 10 คือ ตองการทดสอบวาจากความหมายของลําดับเรขาคณิต นักเรียนสามารถนํามาประยุกตหาคาพจนตางๆ ของลําดับไดหรือไม

10.1 ถา , 17, 102a a a+ + เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

แลว ผลตางระหวางพจนท่ี 3 กับพจนท่ี 4 มีคาอยูในเซตใดตอไปน้ี 1. เซตของจํานวนเต็มท่ีหารดวย 17 ลงตัว

2. เซตของจํานวนเต็มท่ีหารดวย 13 ลงตัว 3. เซตของจํานวนเต็มท่ีหารดวย 7 ลงตัว 4. เซตของจํานวนเต็มท่ีหารดวย 3 ลงตัว

เฉลย 1

จากโจทยจะไดวา 17a

a

+ = 102

17

a

a

++

2

( 17)a + = ( 102)a a +

68a = 289

a = 17

4

เพราะฉะนั้น ลําดับเรขาคณิตนี้คือ 17 85 425, , ,

4 4 4… และ 5r =

จะไดวา พจนท่ี 3 คือ 425

4 และ พจนท่ี 4 คือ 2125

4

ผลตางระหวางพจนท่ี 3 กับพจนท่ี 4 คือ 425 ซึ่งหารดวย 17 ลงตวั

10.2 ถา 3, 14, 58b b b+ + + เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

แลว พจนท่ี 4 มีคาอยูในชวงใดตอไปน้ี

1. [ 200, 235) 2. [ 235, 270)

3. [ 270, 305) 4. [ 305, 340)

เฉลย 1

ทํานองเดียวกับขอ 10.1 จะได 2

3b = เพราะฉะนั้น ลําดับนี้คือ 11 44 176 704

, , , ,3 3 3 3

…

พจนท่ี 4 คือ 704234.6 [200, 235)

3= ∈

i


22

10.3 ถา 3, , 2c c c+ − เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

แลว คาสัมบูรณของผลตางระหวางพจนท่ี 4 และพจนท่ี 5 มีคาอยูในชวงใดตอไปนี้

1. [ 0.6, 0.7) 2. [ 0.7, 0.8)

3. [ 0.8, 0.9) 4. [ 0.9, 1)

เฉลย 3

ทํานองเดียวกับขอ 10.1 จะได 6c =

เพราะฉะนั้น ลําดับนี้คือ 8 169, 6, 4, , ,

3 9…

จะไดวา 8 16 80.8 [0.8, 0.9)

3 9 9− = = ∈

i


23

2. แบบฝกหัดข้ันสูง

แบบฝกหัดขั้นพ้ืนสูง ใชเพ่ือวัดความรูความสามารถขั้นสูงของผูเรียน ครอบคลุมตามจุดประสงคการเรียนรูท่ีกําหนด ประกอบดวยขอคําถามแบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ พรอมเฉลยท่ีผูใชส่ือสามารถเลือกดูคําอธิบายไดจากส่ือการสอน


24

จุดประสงคของโจทยขอ 1 คือ ตองการทบทวนความรูเรื่องลําดับเลขคณิต โดยมุงหวังใหนักเรียนไดเรียนรูการหาคาของพจนแรกและผลตางรวมของลําดับกอน แลวจึงนําไปสูการหาพจนท่ัวไป การหาคาพจนตางๆ รวมท้ังการหาจํานวนพจนของลําดับเม่ือกําหนดพจนสดุทายมาให ท้ังนี้การกลาวถึงลําดับเลขคณิตนั้น สิ่งท่ีนักเรียนตองรูกอนคือ พจนแรก และผลตางรวมของลําดับ


25

จุดประสงคของโจทยขอ 2 คือ ตองการทบทวนความรูเรื่องลําดับเรขาคณิต โดยมุงหวังใหนักเรียนไดเรยีนรูการหาคาของพจนแรกและอัตราสวนรวมของลําดับกอน แลวจึงนําไปสูการหาพจนท่ัวไป การหาคาพจนตางๆ รวมทั้งการหาจํานวนพจนของลําดับเม่ือกําหนดพจนสุดทายมาให ท้ังนี้การกลาวถึงลําดับเรขาคณิตนั้น ส่ิงท่ีนักเรียนตองรูกอนคือ พจนแรก และอัตราสวนรวมของลําดับ


26

จุดประสงคของโจทยขอ 3 คือ ตองการฝกฝนนักเรียนในการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตในชวงท่ีกําหนดให โดยขั้นแรกนักเรียนตองวิเคราะหโจทยเพ่ือการหาคาพจนแรกและผลตางรวมของลําดับกอน แลวจึงนําไปสูการหาพจนท่ัวไป แตส่ิงท่ีสําคัญก็คือ การวิเคราะหหาชวงท่ีโจทยตองการใหถูกตอง แลวจึงพิจารณาหาจํานวนพจนท่ีอยูในชวงนั้น


27

จุดประสงคของโจทยขอ 4 คือ ตองการใหนักเรียนรูจักการวิเคราะหโจทยของลําดับเรขาคณิต เพ่ือการหาคาพจนแรกและอัตราสวนรวมของลําดับใหครบทุกแบบ พรอมท้ังสามารถตรวจสอบความเก่ียวของระหวางลําดับเรขาคณิต

na ท่ีหาได กับลําดบัเรขาคณิตอ่ืนๆ ท้ังนี้วธิีการที่สะดวกและ

เหมาะสมสําหรับการตรวจสอบวาตัวเลือกใดถูกตอง นกัเรียนควรแจกแจงสมาชิกของลําดับเรขาคณิต

na ท่ีหาไดท้ังสองแบบ และตัวเลือกที่ตองการนั้นกลาวไดถกูตองสําหรับท้ังสองแบบของลําดับเรขาคณิต

na


28

จุดประสงคของโจทยขอ 5 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเรื่องการประยุกตใชลําดับเลขคณิตในการแกโจทยปญหา ซึ่งโจทยปญหาขอนี้เบ้ืองตนตองการรูวา “ตั้งแตป ค.ศ. 1582 ถึงป ค.ศ. 2012 มีป ค.ศ. ท่ีหารดวย 4 ลงตวัอยูก่ีป” นักเรียนตองเริ่มตนจากการแปลงปญหาในโลกจริงใหเปนปญหาทางคณิตศาสตรกอน ซึ่งจะพบวาปญหาจะกลายเปน “จํานวนนับตัง้แต 1582 ถงึ 2012 มีท้ังหมด กี่จํานวนท่ีหารดวย 4 ลงตวั” และจะเห็นไดวาเราสามารถแกปญหาน้ีไดโดยการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรก พจนสดุทาย และผลตางรวม คือ 1582, 2012 และ 4 ตามลําดับ อยางไรก็ตาม เม่ือไดจํานวนพจนแลวอยาลืมลบออกดวย 3 ซึ่งเปนขอยกเวนของโจทยปญหาเร่ิมตนนั่นเอง


29

จุดประสงคของโจทยขอ 6 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเร่ืองการประยุกตใชลําดับเลขคณิตในการแกโจทยปญหา ซึ่งปญหาของโจทยขอนี้จะเกี่ยวของกับการจัดเรียงเสาซอนกันเปนชั้นๆ โดยจุดท่ีสนใจคือ จํานวนเสาในแตละช้ันและจํานวนชั้นในการจัดเรียง ท้ังนี้เมื่อไดแปลงปญหาการจัดเรียงเสาไปเปนปญหาทางคณิตศาสตร จะพบวาเราสามารถแกปญหานี้ไดโดยการหาพจนท่ัวไป ( )na ของลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรกคือ 157 และผลตางรวมคือ −5 เม่ือ

na คือจํานวนเสาในชั้น

ท่ี n และจากการรูสูตรพจนท่ัวไป นักเรยีนก็สามารถหาจํานวนเสาในชั้นตางๆ ได หรือถารูจํานวนเสาในชั้นใดชัน้หนึ่งก็สามารถหาไดวาเปนจํานวนเสาของชั้นใด แตนักเรียนตองรูวาชั้นสดุทายหรือชั้นบนสุดท่ีสามารถเรียงไดนั้นจะมีเสาไดเพียง 1 ถึง 5 ตน เทานั้น


30

จุดประสงคของโจทยขอ 7 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเรื่องการประยุกตใชลําดับเลขคณิตในการแกโจทยปญหา ซึ่งปญหาของโจทยขอนี้จะเก่ียวของกับจํานวนคนงานในแตละปของโรงงาน 2 แหง โดยมีเปาหมายที่โรงงานท้ังสองจะมีจํานวนคนงานเทากันตองใชเวลานานเทาใด ภายใตเง่ือนไขท่ีวาการเพิ่มข้ึนหรือลดลงของจํานวนคนงานในแตละปจะมีคาคงท่ีเสมอ ซึ่งส่ิงท่ีนักเรียนตองดําเนินการก็คือ การหาพจนท่ัวไปของลําดับเลขคณิต 2 ลําดับ คือ ลําดับ

na และ

nb โดยที่

na เปนจํานวน

คนงานโรงงาน ก ในปท่ี n และ nb เปนจํานวนคนงานโรงงาน ข ในปท่ี n เปาหมายคือ โรงงาน

ท้ังสองตองมีจํานวนคนงานเทากัน ซึ่งหมายถึง n na b= นัน่เอง แตนักเรียนตองระวงัวา n ท่ีได

จากการแกสมการคือ ปท่ีโรงงานทั้งสองมีจํานวนคนงานเทากันซึ่งเปนตนป เพราะฉะนั้นระยะเวลา ท่ีใชจะเทากับ 1n − ป


31

จุดประสงคของโจทยขอ 8 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเรื่องการประยุกตใชลําดับเรขาคณิตในการแกโจทยปญหา ซึ่งปญหาของโจทยขอน้ีจะเกี่ยวของกับการสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทา โดยจุด ท่ีสนใจคือ ความยาวเสนรอบรูปของสามเหล่ียมดานเทารูปตางๆ ซึง่สิ่งท่ีนักเรียนตองดําเนินการก็คือ สรางลําดับ

na แทนความยาวเสนรอบรูปของสามเหล่ียมดานเทารูปท่ี n และแสดงใหเห็นวา ลําดบั

na เปนลําดับเรขาคณิต


32

จุดประสงคของโจทยขอ 9 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเรื่องการประยุกตใชลําดับเรขาคณิต

ในการแกโจทยปญหา ซึ่งปญหาของโจทยขอนี้จะเกี่ยวของกับเงินรวมท่ีไดรับจากการฝากเงินโดยไดรับดอกเบี้ยชนิดไมเสียภาษี โดยจุดท่ีสนใจคือ เงินรวมท่ีไดรับเมื่อฝากครบในแตละป ซึ่งส่ิงท่ีนักเรียนตองดาํเนินการก็คือ สรางลําดับ

na แทนเงินรวมเม่ือฝากครบ n ป และแสดงใหเห็นวา

ลําดับ na เปนลําดับเรขาคณิต


33

จุดประสงคของโจทยขอ 10 คือ ตองการใหนักเรียนไดเรียนรูเรื่องการประยุกตใชลําดับเรขาคณิตในการแกโจทยปญหา ซึง่ปญหาของโจทยขอน้ีจะเก่ียวของกับปริมาณสารพิษท่ีฝงไวใตดิน โดยมีเปาหมายท่ีปริมาณสารพิษลดลงจนเหลือนอยกวา 1 กรัม จะใชเวลาอยางนอยท่ีสุดเทาใด ภายใตเง่ือนไขท่ีวาในแตละปสารพิษจะสลายตัวโดยมีปริมาณลดลงเหลือครึ่งหนึ่งจากปริมาณเดิม ซึ่งส่ิงท่ีนักเรียนตองดาํเนินการก็คือ สรางลําดับ

na แทนปริมาณสารพิษในปท่ี n และแสดงใหเห็นวาลําดับ

na เปนลําดับเรขาคณิต เปาหมายคือ จํานวนเต็มบวก n ท่ีนอยท่ีสุดท่ีสอดคลองอสมการ 1

na <

แตนักเรียนตองระวังวา n ท่ีไดจากการแกอสมการคือ ปท่ีปริมาณสารพิษเหลือนอยกวา 1 กรมั ซึ่งเปนตนป เพราะฉะนั้นระยะเวลาที่นอยท่ีสุดท่ีใชจะเทากับ 1n − ป


34

3. แบบทดสอบ

แบบทดสอบ ใชเพ่ือทดสอบความรูความสามารถขั้นสูงของผูเรียน ประกอบดวยขอคําถามแบบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ขอ พรอมเฉลย ครอบคลุมตามจุดประสงคการเรียนรูท่ีกําหนด โดยผูจัดทําไดออกแบบใหโปรแกรมสามารถสุมขอคําถาม เพ่ือสรางเปนแบบฝกหัดท่ีมีความแตกตางกันไดมากถงึ 10

3 แบบ


35

โจทยขอ 1 เนือ้หาหลัก : ลําดับเลขคณติและลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 1 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนเขาใจความหมายของลําดับ เลขคณิตและลําดับเรขาคณิตหรือไม

1.1 พิจารณาขอความตอไปน้ี

ก. ลําดับ 2 4 8 16log 2 , log2, log2 , log2 , log2 , log2 , … เปนลําดับเรขาคณิต

ข. ใหลําดับ na เปนลําดับเลขคณิตท่ีมี

8 132a a= จะไดวา

2 102a a=




เฉลย 1

ขอความ ก : ลําดับ 2 3 41log2, log 2, 2 log2, 2 log2, 2 log2, 2 log2,

2…

จะพบวา

พจนท่ี พจนที

12

n

n

+= ทุก n ลําดับนี้จึงเปนลําดับเรขาคณิตท่ีมีอัตราสวนรวมคือ 2

ขอความ ข : จาก 8 13

2a a= จะได 1 1

7 2( 12 )a d a d+ = +

1 1

2( 9 )a d a d+ = +

2 10

2a a=

เพราะฉะนั้น ขอความ ก และ ข ถูกตอง


ก. ลําดับ 2 3 4 5log , log , log , log , log , log ,a ab ab ab ab ab …

เม่ือ , 0a b > เปนลําดับเลขคณิต

ข. ถาลําดับ 5, , 20,x … เปนลําดับเลขคณิต

และลําดับ 5, , 20,y … เปนลําดับเรขาคณิต

แลวสําหรับทุกคา x และ y จะไดวา 2 30x y+ =





36

เฉลย 2

ขอความ ก : ลําดับ log , log log , log 2 log , log 3 log ,a a b a b a b+ + + …

จะพบวา ลําดบันี้เปนลําดับเลขคณิตท่ีมีผลตางรวมคือ logb

เพราะฉะนั้น ขอความ ก ถูกตอง

ขอความ ข : เน่ืองจาก 5 20x x− = − จะได 2 25x =

เน่ืองจาก 20

5

y

y= จะได 10y = ±

เพราะฉะนั้น 2 35x y+ = หรือ 15 ดังนั้น ขอความ ข ผิด


ก. ลําดับ 2, 4, 8, 16,n n n n … เปนลําดับเลขคณิต

ข. ถา , ,a b c เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต จะไดวา

3 3 3 2 2 23 3 3

1 1 1a b c a b c

a b c

⎛ ⎞⎟⎜+ + = + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠




เฉลย 1

ขอความ ก : ลําดับ 2, 2 2, 3 2, 4 2,n n n n …

จะพบวา ลําดับนี้เปนลําดบัเลขคณิตท่ีมีผลตางรวมคือ 2n ดังนั้น ขอความ ก ถกูตอง

ขอความ ข : จะไดวา b cr

a b= = น่ันคือ 2

b ac=

จาก 2 2 23 3 3

1 1 1a b c

a b c

⎛ ⎞⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ =

2 2 2 2 2 2b c a c a b

a b c+ +

= 3 4 3

ac b a c

a b c+ +

= 3 3 3a b c+ + ดังนั้น ขอความ ข ถูกตอง


37

โจทยขอ 2 เน้ือหาหลัก : ลําดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 2 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาพจนท่ัวไป หาคาพจนตางๆ และหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตไดหรือไม

2.1 กําหนดลําดับเลขคณิต na คือลําดับ 1, 6, 11, 16, , 101…

และลําดับเลขคณิต nb คือลําดับ 73, 70, 67, 64, , 13…


ก. ลําดับ na มีจํานวนพจนมากกวา ลําดับ

nb

ข. มีจํานวนนับ k ท่ีทําให k ka b=




เฉลย 3

จากโจทยจะไดลําดับ na มี 5 4

na n= − และลําดับ

nb มี 76 3

nb n= −

ขอความ ก : ถา 101na = จะไดวา 21n = เพราะฉะนัน้ ลําดับ

na มี 21 พจน

ถา 13nb = จะไดวา 21n = เพราะฉะน้ัน ลําดับ

nb มี 21 พจน

ดังนั้น ขอความ ก ผดิ

ขอความ ข : ถา k ka b= จะได 5 4 76 3k k− = −

10k =

ดังนั้น ขอความ ข ถูกตอง

2.2 ใหลําดับ na เปนลําดับเลขคณิตท่ีมี

8 16 1424a a a+ = + และ

12 230a a− = −


ก. จํานวน 2012− เปนสมาชิกอยูในลําดับเลขคณิตนี ้ ข. มีจํานวนนับ k ท่ีทําให

ka k=




เฉลย 4


38

จาก 8 16 14

24a a a+ = + จะได 1

9 24a d+ = ………(1)

จาก 12 2

30a a− = − จะได 3d = − ………(2)

จาก (1) และ (2) จะได 1

51a = เพราะฉะนัน้ 54 3na n= −

ขอความ ก : ถา 2012ka = − จะได 2012− = 54 3k−

k = 2066

3∉

เพราะฉะนั้น 2012− ไมเปนสมาชกิในลําดับ na ดังนั้น ขอความ ก ผิด

ขอความ ข : ถา ka k= จะได 54 3k− = k

k = 54

4∉

ดังนั้น ขอความ ข ผิด

2.3 ใหลําดับ na เปนลําดับเลขคณิตท่ีมี

30 21108a a= −


ก. ถา 3 5

20a a+ = แลวจะมีจํานวนนับ k ท่ีทําให 170ka = −

ข. ถา 1

83a = แลว 7

1a =




เฉลย 2

จาก 30 21

108a a= − จะได 12d = −

ขอความ ก : ถา 3 5

20a a+ = จะได 1

2 6 20a d+ = ดังนั้น 1

46a =

จะได 58 12na n= − ถา 170

ka = − จะได 170 58 12k− = −

เพราะฉะนั้น 19k = น่ันคือ ขอความ ก ถูกตอง

ขอความ ข : 7 1

6 83 72 11a a d= + = − = เพราะฉะน้ัน ขอความ ข ผิด


39

โจทยขอ 3 เน้ือหาหลัก : ลําดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 3 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาพจนท่ัวไป และหา คาพจนตางๆ ของลําดับเลขคณิตไดหรือไม

3.1 ใหลําดับ na เปนลําดับเลขคณิต ซ่ึง

1 2 3 420a a a a+ + + = และ

2 2 2 2

1 2 3 4280a a a a+ + + = แลว

1 2 3, ,a a a และ

4a เปนสมาชิกของลําดับในขอใด

1. ลําดับ 2 4na n= − 2. ลําดับ 3 19

nb n= −

3. ลําดับ 28 4nc n= − 4. ลําดับ 34 6

nd n= −

เฉลย 2

ให 1

3a a d= − , 2a a d= − ,

3a a d= + และ

43a a d= +


4 20a a a a a+ + + = = จะได 5a =

และ 2 2 2 2 2 2

1 2 3 44 20 280a a a a a d+ + + = + = จะได 2

9d = น่ันคือ 3d = ±

เพราะฉะนั้น 4 พจนแรกของลําดับ na คือ 4, 2, 8, 14− หรือ 14, 8, 2, 4−

พิจารณา ลําดับ nb คือ 16, 13, 10, 7, 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14,− − − − − − …

จะไดวา 4 พจนแรกของลําดับ na เปนสมาชิกของลําดับ

nb


1 2 3 436a a a a+ + + = และ

1 4 2 3

122a a a a+ = แลว ขอใดตอไปนี้ถูกตองทุกกรณี

1. 0na > ทุก n ∈

2. คาผลตางรวมของลําดับ มีคามากกวาคาของพจนท่ีหน่ึงเสมอ

3. 7 1

9a a=

4. 2 2

1 4234a a+ =

เฉลย 4

ให 1

3a a d= − , 2a a d= − ,

3a a d= + และ

43a a d= +


4 36a a a a a+ + + = = จะได 9a =

และ 2 2

1 4 2 32 10 122a a a a a d+ = − = จะได 2



40

เพราะฉะนั้น ลําดับ na คือ 3, 7, 11, 15, 19, … ซ่ึงมี

13a = และผลตางรวมคือ 4

หรือ 15, 11, 7, 3, 1,− … ซ่ึงมี 1

15a = และผลตางรวมคอื 4−

จะเห็นวา ตวัเลือก 1, 2 และ 3 ไมถูกตอง ถา 1

15a = และผลตางรวมเทากับ 4−

แต 2 2 2 2

1 43 15 234a a+ = + = เสมอ เพราะฉะน้ัน ตวัเลือก 4 ถูกตอง


1 2 3 721a a a a+ + + + =… และ

2 2 2

1 4 7315a a a+ + = แลว

1 2 3 7| | | | | | | |a a a a+ + + +… มีคาเทากับขอใด

1. 51 2. 54

3. 57 4. 60

เฉลย 1

ให 1

3a a d= − , 2

2a a d= − , 3a a d= − ,

4a a= ,

5a a d= + ,

6

2a a d= + , 7

3a a d= +


7 21a a a a a+ + + + = =… จะได 3a =

และ 2 2 2 2 2

1 4 73 18 315a a a a d+ + = + = จะได 2


เพราะฉะนั้น 7 พจนแรกของลําดับ na คือ 9, 5, 1, 3, 7, 11, 15− − −

หรือ 15, 11, 7, 3, 1, 5, 9− − −

จะไดวา 1 2 3 7

| | | | | | | | 51a a a a+ + + + =…


41

โจทยขอ 4 เน้ือหาหลัก : การประยุกตลาํดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 4 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิตมาประยุกตแกโจทยปญหาเพ่ิมเติมไดหรือไม

4.1 กําหนดให {90, 91, 92, , 800}A = …

ัหารดวย หรือ ลงตว{ 3 7 }|B x A x= ∈


1. 304 2. 305

3. 306 4. 307

เฉลย 2

ให ัหารดวย ลงตว1

{ 3 }|B x A x= ∈ และ ัหารดวย ลงตว2

{ 7 }|B x A x= ∈

จะได 1

{90, 93, 96, , 798}B = … และ 2

{91, 98, 105, , 798}B = …

ัหารดวย ลงตว1 2

{ 21 } {105, 126, , 798}|B B x A x∩ = ∈ = …

พิจารณา 1B จาก 798 = 90 ( 1)(3)n+ −

n = 237 จะได 1

( ) 237n B =

พิจารณา 2B จาก 798 = 91 ( 1)(7)n+ −

n = 102 จะได 2

( ) 102n B =

พิจารณา 1 2B B∩ จาก 798 = 105 ( 1)(21)n+ −

n = 34 จะได 1 2

( ) 34n B B∩ =

เพราะฉะนั้น 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 305n B n B B n B n B n B B= ∪ = + − ∩ =

4.2 กําหนดให { 300, 299, 298, , 600}A = − − − …

ัหารดวย และ ลงตว{ 8 12 }|B x A x= ∈


1. 32 2. 34

3. 36 4. 38

เฉลย 4

จาก ัหารดวย และ ลงตว{ 8 12 }|B x A x= ∈


42

จะได ัหารดวย ลงตว{ 24 }|B x A x= ∈ = { 288, 264, , 600}− − …

เพราะฉะนั้น 600 = 288 ( 1)(24)n− + −

n = 38 จะได ( ) 38n B =

4.3 กําหนดให { 150, 149, 148, , 400}A = − − − …

ั ัหารดวย ลงตว แตหารดวย ไมลงตว{ 5 2 }|B x A x= ∈


1. 55 2. 60

3. 111 4. 120

เฉลย 1

จาก ั ัหารดวย ลงตว แตหารดวย ไมลงตว{ 5 2 }|B x A x= ∈

จะได { 145, 135, 125, , 395}B = − − − …

เพราะฉะนั้น 395 = 145 ( 1)(10)n− + −

n = 55 จะได ( ) 55n B =


43

โจทยขอ 5 เน้ือหาหลัก : ลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 5 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถหาพจนท่ัวไป และหาคาพจนตางๆ ของลําดับเรขาคณิตไดหรือไม


1 3 5273a a a+ + = และ

2 4256a a =


ก. ลําดับเรขาคณิตนี้เปนไปไดท้ังหมด 2 ลําดับ

ข. พจนท่ีหน่ึงของลําดับเรขาคณิตนี้เปนไปได 2 คา ขอใดตอไปน้ีถูกตอง



เฉลย 3

จาก 1 3 5

273a a a+ + = จะได 2 4

1(1 ) 273a r r+ + = ……..(1)

จาก 2 4

256a a = จะได 2

1

16r

a= ……..(2)

จาก (1) และ (2) จะได 1

1a = และ 4r = ±

หรือ 1

256a = และ 1

4r = ±

เพราะฉะนั้น ลําดับเรขาคณิตนี้เปนไปไดท้ังหมด 4 แบบ และพจนท่ีหน่ึงเปนไปได 2 คา ดังนั้น ขอความ ก ผดิ และขอความ ข ถูก

5.2 ใหลําดับ na เปนลําดับเรขาคณิต ถา

3 412a a+ = − และ

6 7324a a+ =

แลว 1 2 3a a a+ + มีคาเทากับขอใดตอไปน้ี

1. 1

5a 2. 1

6a

3. 1

7a 4. 1

8a

เฉลย 3

จาก 3 4

12a a+ = − จะได 2

1(1 ) 12a r r+ = − …….…..(1)

จาก 6 7

324a a+ = จะได 5

1(1 ) 324a r r+ = …….…..(2)


44

จาก (2)(1)

จะได 3r = − และจาก (1) จะได 1

2

3a =


2 14 22 6 7( ) 7

3 3 3a a a a+ + = − + = = =


2 38a a+ = และ

3 416a a+ = −


ก. อัตราสวนรวมของลําดับเรขาคณิตนี้เปนไปได 2 คา ข.

8 1 5 2 4a a a a a= +




เฉลย 4

ทํานองเดียวกับขอ 5.2 จะได 1

4a = และ 2r = −


8 1512a a r= = − และ

1 5 2 4(4)(64) ( 8)( 32)a a a a+ = + − −

512=

น่ันคือ ขอความ ก และ ข ผดิ


45

โจทยขอ 6 เน้ือหาหลัก : ลําดับเลขคณติและลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 6 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถอาศัยความหมาย ของลําดับเลขคณิตและลําดบัเรขาคณิตมาประยุกตรวมกันในการหาคาตางๆ ของลําดับท้ังสอง ไดหรือไม

6.1 ให , ,a b c เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต โดยผลคูณของ ,a b และ c

มีคาเทากับ 27 ถา , 3, 2a b c+ + เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเลขคณิต แลว

คาของ 2 2 2a b c+ + เทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 76 2. 89

3. 91 4. 108

เฉลย 3

จาก , ,a b c เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต จะได b c

a b=

จาก 27abc = และ 2b ac= จะได 3

27b = น่ันคือ 3b =

จาก , 3, 2a b c+ + เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเลขคณิต และ 3b =

จะได 6 4a c− = − น่ันคือ 10c a= −

จาก 9ac = และ 10c a= − จะได 9a = หรือ 1

ถา 9a = จะได 1c = และ ถา 1a = จะได 9c =

เพราะฉะนั้น 2 2 2 2 2 29 3 1 91a b c+ + = + + =

6.2 ให , ,a b c เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต โดยผลคูณของ ,a b และ c

มีคาเทากับ 216 ถา 3, 4, 3a b c+ + − เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดบัเลขคณิต แลว

คาของ a b c+ + เทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 24 2. 26

3. 34 4. 40

เฉลย 2

ทํานองเดียวกับขอ 6.1 จะได 2, 6, 18a b c= = =

หรือ 18, 6, 2a b c= = =

เพราะฉะนั้น 26a b c+ + =


46

6.3 ให , ,a b c เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเลขคณิต ท่ีมี 12a b c+ + =

ถา 1, 4, 11a b c+ + + เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต แลว

จะไดวา คาของ abc จะมี 2 คา คือ x และ y โดยที่ x y>

ขอใดตอไปน้ีกลาวถึงคาของ x และ y ไดถูกตอง

1. 6x y= − 2. 7x y= −

3. 6

yx = − 4.

7

yx = −

เฉลย 4

จาก , ,a b c เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเลขคณิต โดยมีผลตางรวมคือ d

จะไดวา b a d= + และ 2c a d= +

จาก 12a b c+ + = จะได ( ) ( 2 ) 12a a d a d+ + + + =

4d a= −

จาก 1, 4, 11a b c+ + + เปนสามพจนเรียงติดกันในลําดับเรขาคณิต

จะได 4 11

1 4

b c

a b

+ +=

+ + ……………(1)

แทน 4 4b a d a a= + = + − = และ 2 8c a d a= + = − ใน (1)

จะได 3a = หรือ 15 เพราะฉะนั้น 3, 4, 5a b c= = =

หรือ 15, 4, 7a b c= = = −

ดังนั้น 60abc = หรือ 420−

เพราะฉะนั้น 60x = และ 420y = − น่ันคือ 7

yx = −


47

โจทยขอ 7 เน้ือหาหลัก : การประยุกตลาํดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 7 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาจํานวนพจนของลําดับเรขาคณิตมาประยุกตแกโจทยปญหาเพ่ิมเตมิไดหรือไม

7.1 กําหนดลําดับเรขาคณิต 4 2 1, , ,

5 5 5… ถาพจนท่ี m เปนพจนแรกของลําดับเรขาคณิตนี้ท่ีมีคา

นอยกวา 1

1000 แลว คาของ 2

2 5m m+ + เทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 258 2. 295

3. 356 4. 411

เฉลย 1

พจนท่ัวไปของลําดับเรขาคณิตนี้คือ 14 1

5 2

n

na

−⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ถา na < 1

1000

14 1

5 2

n−⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ <

1

1000

จะได 2n > 1600

เน่ืองจาก 102 1024= และ 11

2 2048 1600= > จะได 11m =

เพราะฉะนั้น 22 5 258m m+ + =

7.2 กําหนดลําดับเรขาคณิต 2 2, , 2,

9 3… ถาพจนท่ี m เปนพจนแรกของลําดับเรขาคณิตนี้ท่ีมีคา

มากกวา 1000 แลว คาของ 34 1m m− + เทากับคาในขอใดตอไปนี้

1. 513 2. 604

3. 694 4. 856

เฉลย 3

พจนท่ัวไปของลําดับเรขาคณิตนี้คือ ( ) 123

9n

na −=

ถา na > 1000

( ) 123

9n− > 1000


48

จะได 3n > 13500

เน่ืองจาก 83 6561= และ 9

3 19683 13500= > จะได 9m =

เพราะฉะนั้น 34 1 694m m− + =

7.3 กําหนดลําดับเรขาคณิต 2 4 8, , ,

3 3 3… ถาพจนท่ี m เปนพจนแรกของลําดับเรขาคณตินี้ท่ีมีคา

มากกวา 1000 แลว คาของ 22 3 1m m+ − เทากับคาในขอใดตอไปนี ้

1. 274 2. 323

3. 376 4. 433

เฉลย 2

ทํานองเดียวกับขอ 7.2 จะได 12m =

เพราะฉะนั้น 22 3 1 323m m+ − =


49

โจทยขอ 8 เน้ือหาหลัก : ลําดับเลขคณติและลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 8 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถอาศัยความหมาย ของลําดับเลขคณิตและลําดบัเรขาคณิต มาประยุกตรวมกันในการหาคาตางๆ ของลําดับท้ังสอง ไดหรือไม

8.1 กําหนดใหลําดับ

na เปนลําดบัเลขคณิตท่ีมี

11a = และผลตางรวม 0d ≠

ถา 7 11 17, ,a a a เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

nb

แลวคาของ 9 101

2b a− เทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 33

64− 2.

17

32−

3. 17

32 4.

33

64

เฉลย 4

จาก 7 11 17

1 6 , 1 10 , 1 16a d a d a d= + = + = + เปนสามพจนแรกของลําดับเรขาคณิต

จะได 1 10 1 16

1 6 1 10

d dr

d d

+ += =

+ + หรืออัตราสวนรวมของ

nb

จะไดวา 10,

2d = แต 0d ≠ เพราะฉะน้ัน 1

2d =

ดังนั้น ( 1)1

2n

na

−= + และจะไดวา

134

2

n

nb

−⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


51a = และ 9

6561

64b = จะได

9 101

332

64b a− =

8.2 กําหนดใหลําดับ na เปนลําดบัเลขคณิตท่ีมี



nb

แลวคาของ 5 82b a− เทากับคาในขอใดตอไปน้ี

1. 48 2. 68

3. 80 4. 98

เฉลย 3

ทํานองเดียวกับขอ 8.1 จะได ( 1)1

3n

na

−= + และ 14

(3)3

n

nb

−=


108b = และ 82

28a = จะได 5 82

80b a− =


50

8.3 กําหนดใหลําดับ na เปนลําดบัเลขคณิตท่ีมี



nb

แลวคาของพจนท่ี 4 ของลําดับเรขาคณิต nb จะเทากับคาของสมาชิกของลําดับ

เลขคณิต na ขอใดตอไปน้ี

1. 373a 2.

381a

3. 387a 4.

392a

เฉลย 2

ทํานองเดียวกับขอ 8.1 จะได ( 1)1

4n

na

−= + และ 13

(4)2

n

nb

−=


96b =

ให 96na = จะได 1

954

n −=

น่ันคือ 381n =


51

โจทยขอ 9 เน้ือหาหลัก : การประยุกตลาํดับเลขคณติ

จุดประสงคของโจทยขอ 9 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาคาพจนตางๆ และการหาจํานวนพจนของลําดับเลขคณิต มา มาประยุกตแกโจทยปญหาตางๆ ในชีวติจริงไดหรือไม

9.1 บริษัทแหงหนึ่งรับพนักงานสงหนังสือใหมโดยใหเงินเดือนเดือนละ 9,500 บาท ในปแรกของการ

ทํางาน และเงินเดือนจะเพ่ิมข้ึน 700 บาท ทุกๆ การทํางานครบ 1 ป โดยในปท่ี 2 จะไดเงินเดือน 10,200 บาท ในปท่ี 3 ของการทํางานจะไดเงินเดือน 10,900 บาท เปนเชนนี้ไปเรื่อยๆ พิจารณาขอความตอไปนี ้

ก. พนักงานคนนี้จะไดรับเงินเดือนเดือนละ 19,300 บาทในปท่ี 15 ของการทํางาน

ข. พนักงานคนนีต้องทํางานอยางนอย 17 ป จึงจะไดเงินเดอืนมากกวา 20,000 บาท




เฉลย 2

ให na คือ เงินเดือนของพนักงานคนนี้ในตนปท่ี n ของการทํางาน

จะได 9,500 ( 1)700 700 8, 800na n n= + − = +

ขอความ ก 15

700(15) 8, 800 19,300a = + = บาท ขอความ ก ถูกตอง

ขอความ ข ถา 20,000na > จะได 700 8, 800 20,000n + >

16n >

เพราะฉะนั้น ในตนปท่ี 17 ของการทํางาน พนักงานคนนี้ไดรับเงินเดือนมากกวา 20,000 บาท และ

16 17( 20,000 20,700)a a= =

น่ันคือ พนักงานคนนี้ตองทํางานอยางนอย 16 ป จึงจะไดเงินเดือนมากกวา 20,000 บาท

ขอความ ข ผิด


52

9.2 เอกซื้อบานแบบผอนสง โดยวางเงินดาวน 100,000 บาท แลวเขาอยูทันทีในวันท่ี 1 มกราคม 2555 ท่ีเหลือจะผอนสงเปนรายเดือนโดยสิ้นเดือนแรกจาย 10,000 บาท และเดือนถดัไปจายเพ่ิมจากเดือนท่ีแลวอีก 400 บาท ทําเชนน้ีไปจนครบ 8 ป


ก. เอกจายคาบานงวดสดุทายเปนเงิน 47,600 บาท

ข. ในวันท่ี 31 พฤษภาคม 2559 เอกตองจายคาบานเปนเงิน 30,800 บาท

ขอใดตอไปน้ีถูกตอง 1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด


เฉลย 3

ให na คือ เงินท่ีเอกตองผอนสงคาบานเมื่อสิ้นเดือนท่ี n

จะได 10,000 ( 1)400 400 9,600na n n= + − = +

เพราะฉะนั้น งวดสุดทาย 96n = จะได 96

48,000a = บาท ขอความ ก ผิด

ในวันท่ี 31 พฤษภาคม 2559 คือ 53n = จะได 53

30,800a = บาท

ขอความ ข ถูกตอง

9.3 สุชาติซ้ือรถยนตแบบผอนสง โดยวางเงินดาวนจํานวนหนึ่ง ท่ีเหลือผอนสงเปนรายเดือน โดยเดือนแรกจาย 19,000 บาท และเดือนถดัไปจายเพ่ิมจากเดือนท่ีแลวอีก 600 บาท เปนเชนนี้ไปจนครบ 3 ป ในขณะท่ีสุชาติมีรายไดจากการเก็บคาเชาหองพักโดยเดือนแรกท่ีผอนสงรถยนต สุชาติเก็บคาเชาหองพักได 50,000 บาท แตผูเชาจะลดลงทุกเดือนโดยสุชาติจะเก็บคาเชาหองพักลดลงทุกเดือนเดือนละ 1,000 บาท ถาเปนเชนน้ีไปเรื่อยๆ แลว เดือนแรกที่สุชาติเก็บ คาเชาหองพักไดนอยกวาเงนิท่ีตองผอนสงรถยนต จะเกิดข้ึนเมื่อสุชาติผอนสงรถยนตในเดือนท่ีเทาใด

1. เดือนท่ี 19 2. เดือนท่ี 20

3. เดือนท่ี 21 4. เดือนท่ี 22

เฉลย 3

ถาสุชาตเิก็บคาเชาหองพักไดนอยกวาเงนิท่ีตองผอนสงรถยนตเกิดข้ึนในเดือนท่ี n จะไดวา 19,000 ( 1)(600) 50,000 ( 1)( 1, 000)n n+ − > + − −

20.375n >

เพราะฉะนั้น เดือนแรกที่สุชาติเก็บคาเชาหองพักไดนอยกวาเงินท่ีตองผอนสงรถยนต คือ เดือนท่ี 21


53

โจทยขอ 10 เน้ือหาหลัก : การประยุกตลําดับเรขาคณิต

จุดประสงคของโจทยขอ 10 คือ ตองการทดสอบวานักเรยีนสามารถนําการหาคาพจนตางๆ ของลําดับเรขาคณิต มาประยุกตแกโจทยปญหาตางๆ ในชีวติจริงไดหรือไม

10.1 บริษัทแหงหนึ่งซ้ือรถยนตในราคาหนึ่งลานบาท พนักงานบัญชีตั้งคาเสื่อมราคาไวปละ 20%

ซ่ึงหมายถึง ราคารถยนตในปตอๆ ไปจะลดลง 20% ของราคารถยนตปกอนหนาเสมอ ถาบริษัทใชรถยนตคันนี้ครบ 5 ป บริษัทจะประกาศขายรถยนตคันนี้ในราคาเทากับขอใดตอไปน้ี

1. 200,000 บาท 2. 204,800 บาท

3. 296,000 บาท 4. 327,680 บาท

เฉลย 4

ให na คือราคารถยนตเม่ือใชครบ n ป

จะได 610 (0.8)

n

na =

ดังนั้น 6 5

510 (0.8) 327,680a = = บาท

10.2 ถังน้ําใบหนึ่งจุนํ้าไว 11664 ลิตร ถามีการนําน้ําจากถังไปใชทุกวันโดยที่แตละวันจะใชนํ้าไป 1 ใน 3 ของปริมาณน้ําท่ีมีอยูในถัง เม่ือครบ 6 วัน จะมีนํ้าเหลืออยูในถังปริมาณเทากับขอใดตอไปน้ี

1. 1536 ลิตร 2. 1024 ลิตร

3. 768 ลิตร 4. 682.67 ลิตร

เฉลย 2

ให na คือปริมาณน้ําท่ีมีอยูในถังเม่ือใชนํ้าครบ n วัน

จะได 4 6 2(2 3 )

3

n

na

⎛ ⎞⎟⎜= × ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ดังนั้น 6

4 6 10

6

2(2 3 ) 2 1024

3a

⎛ ⎞⎟⎜= × = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ลิตร


54

10.3 ถังน้ําใบหนึ่งมีนํ้าอยู 400 ลิตร เม่ือตักน้ําออกจากถังครึ่งหนึ่ง จะเติมดวยของเหลวชนิดหนึ่งลงไปเทาปริมาณน้ําท่ีตักออก จากน้ันก็จะตักน้ําท่ีมีสวนผสมของของเหลวออกมาคร่ึงถัง แลวเตมิของเหลวชนิดเดิมลงไปเทาปริมาณที่ตักออกมา ถาทําเชนนี้ไปเร่ือยๆ เม่ือครบ 8 ครั้ง ในถังใบนี้จะมีนํ้ารวมกับของเหลวชนดินั้นอยูปริมาณ 400 ลิตรเชนเดิม แตมีปริมาณของน้ําคงเหลืออยูเทากับขอใดตอไปนี ้

1. 25

2 ลิตร 2.

25

4 ลิตร

3. 25

8 ลิตร 4.

25

16 ลิตร

เฉลย 4

ให na คือปริมาณน้ําท่ีมีอยูภายหลังการตักครั้งท่ี n

จะได 1(400)

2

n

na

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ดังนั้น 8

6

1 400 25400

2 256 16a

⎛ ⎞⎟⎜= = =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠


ผ-1

รายช่ือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 77 ตอน

ประจําปงบประมาณ 2555


ผ-2

รายช่ือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 77 ตอน (ประจําปงบประมาณ 2555)

เร่ือง ตอน

คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ บทนําเร่ืองคณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง แบบฝกหัดเรื่อง ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนท่ี 2) เซต แบบฝกหัดเรื่อง เซต (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง เซต (ตอนท่ี 2) การใหเหตุผลและตรรกศาสตร แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 2) แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 3) ทฤษฎีจํานวน แบบฝกหัดเรื่อง ทฤษฎีจํานวน (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง ทฤษฎีจํานวน (ตอนท่ี 2) จํานวนจริง แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 2) แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 3) แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 4) แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 5) แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนท่ี 6) เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย บทนําเร่ืองเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย จุดและสวนของเสนตรง ความชันและเสนตรง ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอรโบลา การตรวจสอบสมการภาคตัดกรวย ความสัมพันธและฟงกชัน แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 2) แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 3) แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 4) แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 5) เมทริกซ บทนําเร่ืองเมทริกซ ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ การคูณและอินเวอรสการคูณของเมทริกซขนาด 2x2 ดีเทอรมิแนนต อินเวอรสการคูณและการดําเนินการตามแถว การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน


ผ-3

เร่ือง ตอน เวกเตอร บทนําเร่ืองเวกเตอร เวกเตอรในเชิงเรขาคณิต

เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก

การคูณเวกเตอรเชิงสเกลาร การคูณเวกเตอรเชิงเวกเตอร จํานวนเชิงซอน บทนําเร่ืองจํานวนเชิงซอน จํานวนเชิงซอน

สังยคุและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน

พิกัดเชิงขั้ว

รากของจํานวนเชงิซอน ตรีโกณมิติ แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 2) แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 3)

แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 4) แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 5) แบบฝกหัดเร่ือง ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 6) คณิตศาสตรกับการเงินในชีวิตประจําวัน ภาษีและเครดิต ดอกเบี้ยและคางวด

ผลตอบแทนและความเสี่ยงในการลงทุน ลําดับและอนุกรม แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 2)

แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 3) แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 4) แบบฝกหัดเร่ือง ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 5) แคลคูลสั บทนําเร่ืองแคลคูลัส ลิมิต

ความตอเน่ือง

อัตราการเปลี่ยนแปลงและบทนิยามของอนุพันธ อนุพันธ คาสุดขีดสัมพัทธและคาสุดขีดสัมบูรณ การประยุกตคาสุดขีด

ปริพันธ 1

ปริพันธ 2 หลักคณิตศาสตร หลักการพิสูจนเบ้ืองตน หลักอุปนัยเชิงคณติศาสตร แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบ้ืองตน แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบ้ืองตน ความสัมพันธเวียนเกิดและการประยุกต


ผ-4

เร่ือง ตอน สถิติ แบบฝกหัดเร่ือง สถิติ (ตอนท่ี 1) แบบฝกหัดเร่ือง สถิติ (ตอนท่ี 2)

แบบฝกหัดเร่ือง สถิติ (ตอนท่ี 3) แบบฝกหัดเร่ือง สถิติ (ตอนท่ี 4)


ผ-5

รายช่ือส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 169 ตอน

ปงบประมาณ 2554-2555


ผ-6

รายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 169 ตอน

คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง บทนํา คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ แบบฝกหัด ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนท่ี 1) ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนท่ี 2)

เซต บทนํา เซต การใหเหตุผลและตรรกศาสตร เน้ือหา ความหมายของเซต บทนํา การใหเหตุผลและตรรกศาสตร เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต เน้ือหา การใหเหตุผล เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและ ประพจนและการสมมูล แผนภาพเวนน-ออยเลอร สัจนิรันดรและการอางเหตุผล แบบฝกหัด เซต (ตอนท่ี 1) ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ เซต (ตอนท่ี 2) แบบฝกหัด การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 1) สื่อปฏิสัมพันธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 2) การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนท่ี 3)

จํานวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ หอคอยฮานอย บทนํา จํานวนจริง ตารางคาความจริง เน้ือหา สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ ทฤษฎีจํานวนเบ้ืองตน ทฤษฎีบทตัวประกอบ บทนํา ทฤษฎีจํานวนเบ้ืองตน สมการพหุนาม เน้ือหา การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ อสมการ ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย เทคนิคการแกอสมการ แบบฝกหัด ทฤษฎีจํานวน (ตอนท่ี 1) คาสัมบูรณ ทฤษฎีจํานวน (ตอนท่ี 2) การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ เรขาคณิตวเิคราะหและภาคตัดกรวย แบบฝกหัด จํานวนจริง (ตอนท่ี 1) บทนํา เรขาคณิตวเิคราะหและภาคตัดกรวย จํานวนจริง (ตอนท่ี 2) เน้ือห จุดและสวนของเสนตรง จํานวนจริง (ตอนท่ี 3) ความขันและเสนตรง จํานวนจริง (ตอนท่ี 4) ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง จํานวนจริง (ตอนท่ี 5) วงกลม จํานวนจริง (ตอนท่ี 6) พาราโบลา สื่อปฏิสัมพันธ ชวงบนเสนจํานวน วงรี สมการและอสมการพหุนาม ไฮเพอรโบลา กราฟคาสัมบูรณ การตรวจสอบสมการภาคตัดกรวย


ผ-7

ความสัมพันธและฟงกชัน ฟงกชันเลขช้ีกาํลังและฟงกชันลอการทึิม บทนํา ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา ฟงกชันเลขช้ีกาํลังและฟงกชันลอการทึิม เน้ือหา ความสัมพันธ เน้ือหา เลขยกกําลงั โดเมนและเรนจ ฟงกชันเลขช้ีกําลัง อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของ ฟงกชันลอการิทึม ฟงกชัน อสมการเลขชี้กาํลงั ฟงกชันเบ้ืองตน อสมการลอการิทึม พีชคณิตของฟงกชัน อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส ตรีโกณมิติ ฟงกชันประกอบ บทนํา ตรีโกณมิติ แบบฝกหัด ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 1) เน้ือหา อัตราสวนตรีโกณมิติ ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 2) เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 3) และวงกลมหนึ่งหนวย ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 4) ฟงกชันตรีโกณมิติ 1 ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนท่ี 5) ฟงกชันตรีโกณมิติ 2 ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

เมทริกซ กฎของไซนและโคไซน บทนํา เมทริกซ กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ เน้ือหา ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน การคูณและอินเวอรสการคูณของเมทริกซ แบบฝกหัด ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 1) ขนาด 2×2 ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 2) ดีเทอรมิแนนต ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 3) อินเวอรสการคูณและการดําเนินการตามแถว ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 4) การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 5) ตรีโกณมิติ (ตอนท่ี 6)

เวกเตอร สื่อปฏิสัมพันธ มุมบนวงกลมหนึ่งหนวย บทนํา เวกเตอร กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ เน้ือหา เวกเตอรในเชิงเรขาคณิต กฎของไซนและกฎของโคไซน เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก การคูณเวกเตอรเชิงสเกลาร กําหนดการเชิงเสน การคูณเวกเตอรเชิงเวกเตอร บทนํา กําหนดการเชิงเสน เน้ือหา การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

จํานวนเชิงซอน การหาคาสุดขีด บทนํา จํานวนเชิงซอน เน้ือหา จํานวนเชิงซอน คณิตศาสตรกับการเงินในชีวิตประจําวัน สังยคุและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน สารคด ี ภาษีและเครดิต พิกัดเชิงขั้ว ดอกเบี้ยและคางวด รากของจํานวนเชิงซอน ผลตอบแทนและความเสี่ยงในการลงทุน


ผ-8

ลําดับและอนุกรม สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา ลําดับและอนุกรม บทนํา สถิติและการวิเคราะหขอมูล เน้ือหา ลําดับ เน้ือหา บทนํา เน้ือหา การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1 ลิมิตของลาํดับ แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 ผลบวกยอย แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3 อนุกรม การกระจายของขอมูล ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม การกระจายสัมบูรณ 1 แบบฝกหัด ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 1) การกระจายสัมบูรณ 2 ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 2) การกระจายสัมบูรณ 3 ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 3) การกระจายสัมพัทธ ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 4) คะแนนมาตรฐาน ลําดับและอนุกรม (ตอนท่ี 5) ความสัมพันธระหวางขอมูล 1 ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

แคลคูลสั โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1 บทนํา แคลคูลัส โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2 เน้ือหา ลิมิต แบบฝกหัด สถิติ (ตอนท่ี 1) ความตอเน่ือง สถิติ (ตอนท่ี 2) อัตราการเปลี่ยนแปลงและบทนิยามของอนุพันธ สถิติ (ตอนท่ี 3) อนุพันธ สถิติ (ตอนท่ี 4) คาสุดขีดสัมพัทธและคาสุดขีดสัมบูรณ การประยุกตคาสุดขีด แบบจําลองทางคณิตศาสตร ปริพันธ 1 สารคด ี แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบ้ืองตน ปริพันธ 2 ความสัมพันธเวียนเกิดและการประยุกต

การนับและความนาจะเปน โครงงานทางคณิตศาสตร บทนํา การนับและความนาจะเปน วิจัย การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย เน้ือหา การนับเบ้ืองตน ปญหาการวางตัวเบ้ียบนตารางจัตุรัส การเรียงสับเปลี่ยน การถอดรากที่สาม การจัดหมู เสนตรงลอมเสนโคง ทฤษฎีบททวีนาม กระเบื้องท่ียืดหดได การทดลองสุม ความนาจะเปน 1 ความนาจะเปน 2

หลักคณิตศาสตร เน้ือหา หลักการพิสูจนเบ้ืองตน หลักอุปนัยเชิงคณติศาสตร

Documents

Exercise-Order-Series-L1-new18Dec55A4%D9%E8%C1%D7… · คู มือสื่อการสอนว ิชาคณ ิตศาสตร โดยความร วมมือระหว