F2S                 Name:  ___________________________  Problem  Set  #2             Due:  Friday,  October  17,  2014    

Investigating    Graphs  of  Exponential  Functions  Using  Desmos  

 𝒚 = 𝒂𝒃𝒙  𝒂𝒏𝒅  𝒚 = 𝒂𝒃𝒙!𝒉 + 𝒌  

Objectives:  

• Explore  the  graph  of  the  exponential  function  • Explore  how  the  values  of  a,  b,  h,  and  k  change  the  graph  of  the  exponential  function.  

To  get  started:  

• Go  to  Desmos.com  • Click  on  “Launch  Calculator”  in  the  large  red  box  • Click  on  the  drop  down  menu  at  the  top  left  corner,  left  of  “Untitled  Graph”  • Choose  the  first  item  “New  Blank  Graph”  

 1. Investigate  the  base  of  the  exponential  function  

Type:  𝑓 𝑥 = 𝑏!  and  add  the  slider  for  b  

         a)  How  does  the    value  of  b  affect  the  graph  of  the  function?  

 

       b)  Does  the  point  (0,  1)  belong  to  the  graph  for  all  values  of  b?    _____________  

       c)    Describe  how  the  graph  of  𝑓 𝑥 = 2!  and  𝑓 𝑥 = !!

!    differ.  

 

 

         d)  If  b  >  1,  the  graph  rises/falls  to  the  right  (circle  one)  

                   If  0  <  b  <  1,  the  graph  rises/falls  to  the  right  (circle  one)  

     

         e)  Are  the  output  values  of  f(x)  ever  negative?  

 

Asymptotes:    The  graph  hugs  a  line  called  the  asymptote.    The  asymptote  is  always  at  y  =  0  (x-­‐axis)  unless  you  move  the  parent  graph  up  or  down.    

2. Investigate  the  effect  of  a  in    𝒚 = 𝒂 ∙  𝒃𝒙.      Type  𝑔 𝑥 = 𝑎 ∙  𝑏!  and  add  the  slider  for  a  

       a)  let  a  =  1  and  b  =  2  ,  so  that    𝑔 𝑥 = 2!    (let  this  be  the  “parent  function”)  

                   Identify  two  key  points  on  the  graph:  ____________________________________  

       b)  What  effect  does  “a”  have  on  the  graph  of  𝑔 𝑥 = 2!    ?    (use  the  slider  to  change  a)  

 

 

       c)  let  a  =  1  and  𝑏 = !!  ,  so  that    𝑔 𝑥 = !

!

!    (let  this  be  the  “parent  function”)      

                 Identify  two  key  points  on  the  graph:  ____________________________________  

       d)  What  effect  does  “a”  have  on  the  graph  of  𝑔 𝑥 = !!

!  ?    (use  the  slider  to  change  a)  

 

 

3.    Investigate  𝒇 𝒙 = 𝒃𝒙!𝒉.        Conjecture:  𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙!𝟑  is  the  same  as  𝒇 𝒙 = 𝟏𝟖𝟐𝒙  

         a)    Graph  𝑓 𝑥 = 2!      and      𝑓 𝑥 = 2!!!.    

                   Describe  what  the  exponent  (𝑥 − 3)  does  to  the  graph  of    𝑓 𝑥 = 2!        

 

 

         b)  Graph  𝑓 𝑥 = 2!!!  and  𝑓 𝑥 = 𝑎𝑏!  and  add  sliders  for  a  and  b.  Let  𝑎 = !!  and  𝑏 = 2  

                   Can  you  verify  graphically  that  these  are  the  same?  

 

                   Can  you  explain  algebraically  why  these  are  the  same  graphs?  

 

 

 

4.    Investigate  the  effect  the  value  of  k  has  on  the  graph  of  𝒇(𝒙) = 𝒃𝒙 + 𝒌  

Graph  𝑓 𝑥 = 𝑏! + 𝑘  and  add  the  slider  for  k.  Let  𝑏 = 2  and  vary  the  value  of  k  with  the                slider.  Describe  how  k  changes  the  function.    

 

 

 

5.  Investigating  𝒚 = 𝒆𝒙  

One  mathematical  constant  of  significance  is  the  number  𝑒 ≈ 2.718281828.  The  function                  𝑔 𝑥 = 𝑒!  is  just  one  exponential  function  among  many,  but  it  shows  up    in  so  many  contexts  that  we  call  it  the  natural  exponential  function.    

Graph  𝑦 = 𝑒!  and  𝑦 = 𝑎!        Notice  that  the  graph  of  each  exponential  function  𝑦 = 𝑎!  is  related  to  the  graph  of  𝑦 = 𝑒!  by  some  stretch  factor.    

Which  function  grows  fastest  as  x-­‐values  get  large?      

𝑎)  𝑦 = 2!            b)    𝑦 = 𝑒!                c)      𝑦 = 5!                  d)  𝑦 = 3!  

 

   

Problem  Set  #2           Name:_______________________________________  

Homework    -­‐  Show  all  work  on  separate  paper.  Finish  for  HW  Due  Saturday  10/18  

1. Do  this  activity  in  class  (Friday,  10/17)  using  Excel  (see  detail  below)  Suppose  you  make  a  deal  with  your  parents  that  rather  than  take  your  regular  monthly            allowance  of  $50,  you  will  accept  just  $.01  on  the  first  day  of  the  month  and  so  on,  with  the  condition  that  they  double  the  amount  they  give  you  each  day.  Your  parents  rapidly  figure  out  that  in  one  week  they  will  have  given  you  just  $1.27,    ($0.01  +  $0.02  +  $0.04  +  $0.08  +  $0.16  +  $0.32  +  $0.64)  so  they  agree.  Will  you  get  more  than  $50  that  month?  If  so,  on  what  day  of  the  month  will  you  have  exceeded  $50?  Can  you  figure  out  how  much  money  they  will  owe  you  on  the  last  day  of  the  month?  (Assume  there  are  30  days  in  the  month.)  

         a)    Note:  this  is  an  exponential  function  with  base  2  –  calculate  equation  “by  hand”  

       b)    Calculate  an  exponential  equation  for  this  data  using  exponential  regression  

       c)    Excel  detail  –    

• make  a  column  for  day,  amount,  sum  of  days  • make  a  chart  of  daily  allowance  (y)  vs.  day  (x)  and  get  an    exponential  trendline  

equation  • make  a  chart  of  total  allowance  (y)  vs.  day(x)  

 2. Populations    

a) A  tree  frog  population  doubles  every  three  weeks.  Suppose  that  currently,  there  are  10  tree  frogs  in  your  back  yard.  How  many  tree  frogs  will  there  be  in  six  months,  assuming  that  there  are  four  weeks  each  month?    

b) How  long  will  it  take  this  population  to  be  10,240?  

3. Tennis  Tournament  –  Each  year  the  local  country  club  sponsors  a  tennis  tournament.    Play  starts  with  128  participants.  During  each  round,  half  of  the  players  are  eliminated.  How  many  players  remain  after  5  rounds?