Embed Size (px)
Citation preview
บทท 4
อนพนธของฟงกชนอดศย
ฟงกชนอดศย (The Derivatives of Transcendental Functions) คอ ฟงกชนทไมใชฟงกชนพชคณต อนไดแก ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลและฟงกชนลอการทม ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน ฟงกชนไฮเพอรโบลก และฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน อนพนธของฟงกชนอดศยสามารถหาไดจากบทนยามทของอนพนธของฟงกชนในบททแลว ในบทนจะกลาวถงสตรในการหาอนพนธของฟงกชนอดศย เพอความรวดเรวในการค านวณ
4.1 อนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
ฟงกชนเอกซโปเนนเชยล (Differentiation of Exponential Functions) เปนฟงกชนทมบทนยามดงน
บทนยามท 4.1 ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลคอฟงกชน , / , 0, 1xf x y R R y a a a
-2 -1 1 2
1
2
3
x
y
-2 -1 1 2
1
2
3
x
y
ภาพท 4.1 กราฟ ; 1xy a a ภาพท 4.2 กราฟ ;0 1xy a a
จากกราฟจะเหนวามลกษณะดงน
1. ถา 1a แลว xy a เปนฟงกชนเพม
ถา 0 1a แลว xy a เปนฟงกชนลด 2. ฟงกชนเอกซโปเนนเชยลเปนฟงกชน 1:1 จาก R ไปทวถง R
3. (0,1) เปนสมาชกของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลเสมอ เนองจาก 0 1a
116
สมบตของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล
ถา ,a b เปนจ านวนจรงใดๆ ท 0, 0a b และ ,m n เปนจ านวนจรงใดๆ
1. m na a m na
2. m
n
a
a ; 0m na a
3. n
ma mna
4. n
ab n na b
5.
na
b
; 0n
n
ab
b
6. na 1
; 0n
aa
7. 0a 1
8. n ma ;m
na a R ซง a มรากท n
ฟงกชนลอการทม (Differentiation of Logarithmic Functions) เปนฟงกชนทมบทนยามทดงน
บทนยามท 4.2 ฟงกชนลอการทม คอฟงกชน , / log , 0, 1af x y R R y x a a
ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนทเกดจากการผกผนของฟงกชนเอกซโปเนนเชยล , / , 0, 1xx y R R y a a a
1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
x
y
1 2 3 4 5
-2
2
4
x
y
ภาพท 4.3 กราฟ log ; 1ay x a ภาพท 4.4 กราฟ log ;0 1ay x a
117
จากกราฟจะเหนวามลกษณะดงน
4. ถา 1a แลว logay x เปนฟงกชนเพม
ถา 0 1a แลว logay x เปนฟงกชนลด 5. ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชน 1:1 จาก R ไปทวถง R
6. (0,1) เปนสมาชกของฟงกชนลอการทมเสมอ เนองจาก log 1 0a
สมบตของฟงกชนลอการทม
ถา ,M N เปนจ านวนจรงบวกใดๆ r เปนจ านวนจรงใดๆ ท , , 0; , , 1a b c a b c
1. loga MN log loga aM N
2. loga
M
N log loga aM N
3. loga a 1
4. log 1a 0
5. log r
a M logar M
6. log raM
1loga M
r
7. loga Ma M
8. logb a log
log
c
c
a
b
พจารณา 1
0lim 1 x
xx
x 1
1 xx
x 1
1 xx
0.1 2.59374 -0.1 2.86797
0.01 2.70481 -0.01 2.73200
0.001 2.71692 -0.001 2.71964
0.0001 2.71815 -0.0001 2.71942
0.00001 2.71825 -0.00001 2.71830
0.000001 2.71828 -0.000001 2.71828
ตารางท 4.1 ตารางแสดงคาของฟงกชน 1
1 xy x เมอ x เขาใกล 0
118
ภาพท 4.5 กราฟ 1
1 xy x
จาก 1
0lim 1 2.71828x
xx
ก าหนดให
1
0lim 1 x
xx e
จะใชลมตนในการหาอนพนธของ
ฟงกชนลอการทม โดยก าหนดให log lne a a เรยกฟงกชนลอการทมธรรมชาต
สตรการหาอนพนธของฟงกชนเอกซโปเนนเชยลและฟงกชนลอการทม
ทฤษฎบทท 4.1 ให ( )u x เปนฟงกชนหาอนพนธไดท x และ 0, 1a a
1. uda
dx lnu du
a adx
2. loga
du
dx 1
loga
due
u dx หรอ loga
du
dx
1
ln
du
u a dx
ถาให a e จะไดวา
3. ude
dx u du
edx
4. lnd
udx
1 du
u dx
พสจน 1. ก าหนดให xy a จะไดวา loga y x
loga
dy
dx
dx
dx
1
ln
dy
y a dx 1
dy
dx lny a
xda
dx lnxa a
ดงนน lnx xda a a
dx
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
119
พสจน 2. กรณท1 0x นนคอ log loga ax x
loga
dx
dx
0
log loglim
a a
h
x h x
h
0
1lim logah
x h
h x
1
0limlog 1
h
ah
h
x
1
0limlog 1
x
h x
ah
h
x
0
1lim log 1
x
h
ah
h
x x
0
1lim log 1
x
h
ah
h
x x
0
1log lim 1
x
h
a h
x
h
x x
1loga e
x
1 ln
ln
e
x a
1
lnx a
กรณท2 0x นนคอ log loga ax x
loga
dx
dx
1
ln
d x
x a dx
1
lnx a
ดงนน 1log
lna
dx
dx x a
พสจนขอ 3-4 เปนแบบฝกหด
ตวอยางท 4.1 จงหา dy
dx เมอก าหนด y ใหดงตอไปน
1. 45 xy 2. 3
2log 2 7y x
3. 44ln lny x x
4. 2 3 29 6x
xy x e e
5. 5 5
5 5
x x
x x
e ey
e e
6. 7ln8 xy e
7. 2 2ln 12 2 -1y x x
120
วธท า 1. y 45 x
dy
dx 45 ln 5 4x d
xdx
44ln5 5 x
2. y 3
2log 2 7x
dy
dx
3
3
12 7
2 7 ln 2
dx
dxx
2
3
6
2 7 ln 2
x
x
3. y 44ln lnx x
4
4ln lnx x
dy
dx
544 ln ln
dx x
x dx
54 4
ln xx x
5
4 11
lnx x
4. y 2 3 29 6x
xx e e
dy
dx 2 3 3 2 29 6
x
x xd d dx e e x e
dx dx dx
2 3 3 29 3 2 62
x
x xd d xx e x xe e
dx dx
2 3 3 227 18 3x
x xx e xe e
5. y 5 5
5 5
x x
x x
e e
e e
dy
dx
5 5 5 5 5 5 5 5
25 5
x x x x x x x x
x x
d de e e e e e e e
dx dx
e e
2 25 5 5 5
25 5
5 5x x x x
x x
e e e e
e e
2
5 5
20
x xe e
121
6. y 7ln8 xe 1
7 2ln8 xe
dy
dx
17 72
1ln8 ln8
2
x xde e
dx
1
7 721
ln8 72
x x de e x
dx
7
7
7
2 ln8
x
x
e
e
7. y 2 2ln 12 2 -1x x
dy
dx 2 22ln 12 2 -1 ln 12 2 -1
dx x x x
dx
2
2
2
2ln 12 2 -112 2 -1
12 2 -1
x x dx x
x x dx
2
2
48 4 ln 12 2 -1
12 2 -1
x x x
x x
ตวอยางท 4.2 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1.
32
2
2log
3 1
xf x
x
2. 52ln 5 2 3y x x
3. 32 21 84
x xe e xf x 4.
2xeef x e
5. 3ln ln lny x
วธท า 1. f x
32
2
2log
3 1
x
x
f x 23log 2 2log 3 1x x
f x
2
2
3 22 3 1
3 1 ln102 ln10
d dx x
dx x dxx
2
6 6
3 1 ln102 ln10
x
xx
2. y 52ln 5 2 3x x
21ln 5 5ln 2 3
2x x
y
2
2
1 55 2 3
2 32 5
d dx x
dx x dxx
122
y 2
10
5 2 3
x
x x
3. f x 32 21 84
x xe e x
f x 32 3 21 84 ln 4 2 ln 21 8
x xe e x x xd de e x
dx dx
33 2 21 8ln 4 6 4 21ln
x xx x e e xe e
4. f x 2xeee
f x 2 2xe xe ed
e edx
2 2 2
xe xe e xde e e
dx
2 2 2 2
xe xe e x de e e x
dx
2 2 22
xe xe e xe e e
5. y 3ln ln ln x
3
3
1ln ln
ln ln
dx
dxx
3
3 3
1ln
ln ln ln
dx
dxx x
3
3 3 3
1
ln ln ln
dx
dxx x x
2
3 3 3
3
ln ln ln
x
x x x
3 3
3
ln ln lnx x x
123
การหาอนพนธของฟงกชนในรป v x
u x
ขนตอน 1. ให v x
y u x
2. ใส ln ทงสองขางแลวใชกฎของลอการทม
3. หาอนพนธเทยบ x ทงสองขาง
4. แกสมการหา dy
dx
จาก y v x
u x
ln y ln vu
ln y lnv u
lnd
ydx
lnd
v udx
1 dy
y dx ln ln
d dv u u v
dx dx
1 dy
y dx ln
v du dvu
u dx dx
dy
dx ln
v du dvy u
u dx dx
lnv v du dvu u
u dx dx
vdu
dx 1 lnv vdu dv
vu u udx dx
ตวอยางท 4.3 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. 2
2 4x
y x
2. 3
2lnxe
y x
วธท า 1. y 2
2 4x
x
ln y 22 ln 4x x
lnd
ydx
22 ln 4d
x xdx
1 dy
y dx 2 22 ln 4 ln 4 2
d dx x x x
dx dx
dy
dx
2
2
2 2ln 4
4
x xy x
x
124
dy
dx
22 2
2
2 24 ln 4
4
x x xx x
x
1 2
2 2 24 2 2 4 ln 4x x
x x x x x
หรอใชสตร vdu
dx 1 lnv vdu dv
vu u udx dx
จาก 2
2 4x
y x
นนคอ 2 4u x และ 2v x
dy
dx
1 22 2 2 24 2 4 4 ln 4 2
x xd dx x x x x x
dx dx
1 2
2 2 24 2 2 4 ln 4x x
x x x x x
2. y 3
2lnxe
x
ln y 3
2ln lnxe
x 3 2ln lnxe x
lnd
ydx
3 2ln lnxde x
dx
3 2 2 3ln ln ln lnx xd de x x e
dx dx
1 dy
y dx
3
2 3
2 2
23ln ln
ln
xxe x
x ex x
dy
dx
3
2 3
2 2
23ln ln
ln
xxe x
y x ex x
33
2 2 3
2 2
2ln 3ln ln
ln
xxexe x
x x ex x
dy
dx
3 312 3 2 2 32
ln 3 ln ln lnx xe e
x xx e x x ex
หรอใชสตร vdu
dx 1 lnv vdu dv
vu u udx dx
จาก 3
2lnxe
y x นนคอ 2lnu x และ 3xv e
dy
dx
3 313 2 2 2 2 3ln ln ln ln ln
x xe ex xd d
e x x x x edx dx
3 31
2 3 2 2 32ln 3 ln ln ln
x xe ex xx e x x e
x
125
4.2 อนพนธของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมต ม 6 ฟงกชน คอ ฟงกชนไซน (Sine or sin) ฟงกชนโคไซน (Cosine
or cos) ฟงกชนแทนเจนท (Tangent or tan) ฟงกชนโคแทนเจนท (Cotangent or cot) ฟงกชน
เซแคนด (Secant or sec) และฟงกชนโคเซแคนต (Cosecant or cosec)
จาก tan sin
cos
cot cos
sin
1
tan
cosec 1
sin
sec 1
cos
เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต
1. sin cosecA A 1
2. cos secA A 1
3. tan cotA A 1
4. 2 2sin cosA A 1
5. 21 tan A 2sec A
6. 21 cot A 2cosec A
7. sin A B sin cos cos sinA B A B
8. cos A B cos cos sin sinA B A B
9. tan A B tan tan
1 tan tan
A B
A B
10. sin 2A 2sin cosA B
11. cos2A 2 2cos sinA A
22cos 1A
21 2sin A
12. tan 2A 2
2 tan
1 tan
A
A
13. 2sin A 1
1 cos 22
A
14. 2cos A 1
1 cos 22
A
126
15. 2sin cosA B sin sinA B A B
16. 2cos sinA B sin sinA B A B
17. 2cos cosA B cos cosA B A B
18. 2sin sinA B cos cosA B A B
19. sin sinA B 2sin cos2 2
A B A B
20. sin sinA B 2cos sin2 2
A B A B
21. cos cosA B 2cos cos2 2
A B A B
22. cos cosA B 2sin sin2 2
A B B A
23. sin A sin A
24. cos A cos A
25. tan A tan A
26. sin2
A
cos A
27. cos2
A
sin A
28. tan2
A
cot A
29. sin A sin A
30. cos A cos A
31. tan A tan A
127
สตรการหาอนพนธของฟงกชนตรโกณมต ทฤษฎบทท 4.2 ให u x เปนฟงกชนหาอนพนธไดท x
1. sind
udx
cosdu
udx
2. cosd
udx
sindu
udx
3. tand
udx
2secdu
udx
4. cosecd
udx
cosec cotdu
u udx
5. secd
udx
sec tandu
u udx
6. cotd
udx
2cosecdu
udx
พสจน 1. sind
xdx
0
sin sinlimh
x h x
h
0
2cos sin2 2
limh
x h x x h x
h
sind
xdx
0
2cos sin
2 2lim
2
h
x h h
h
0 0
2 2
sin2 2
lim cos lim2
2
h h
h
x h
h
0
sinlim 1
sind
xdx
0
2
lim cos2h
hx
0
2
lim cos cos sin sin2 2h
h hx x
cos x
ดงนน sin cosd
x xdx
128
พสจน 2. cosd
xdx
0
cos coslimh
x h x
h
0
2sin sin2 2
limh
x h x x h x
h
0
2sin sin
2 2lim
2
h
x h h
h
0 0
2 2
sin2 2
lim sin lim2
2
h h
h
x h
h
0
2
lim sin2h
hx
0
2
lim sin cos cos sin2 2h
h hx x
sin x
หรอ cos x sin2
x
cosd
xdx
cos2 2
dx x
dx
cos2
x
sin x
ดงนน cos sind
x xdx
พสจน 3. tand
xdx
sin
cos
d x
dx x
2
cos sin sin cos
cos
d dx x x x
dx dx
x
2 2
2
cos sin
cos
x x
x
2
1
cos x
2sec x
ดงนน 2tan secd
x xdx
129
พสจน ขอ 4-6 เปนแบบฝกหด
ตวอยางท 4.4 จงหา dy
dx จากฟงกชนตอไปน
1. 2 3sin 5 cos 4 2y x x x 2. 3 2 3tan 7 cot 6y x x
3. 43cosec 2 secy x x x 4. 52 tan 6y x
5. 2cos
1 sin
xy
x
6. 32 tan cos 10x y y x
วธท า 1. y 2 3sin 5 cos 4 2x x x
dy
dx 3 32sin5 sin5 sin 4 2 4 2
d dx x x x x x
dx dx
3 22sin5 cos5 5 sin 4 2 12 2d
x x x x x xdx
2 310sin5 cos5 12 2 sin 4 2x x x x x
2. y 3 2 3tan 7 cot 6x x
dy
dx 2 2 2 2 3 33tan 7 tan 7 cosec 6 6
d dx x x x
dx dx
2 2 2 2 2 2 2 33tan 7 sec 7 7 18 cosec 6d
x x x x xdx
2 2 2 2 2 2 36 tan 7 sec 7 18 cosec 6x x x x x
3. y 43cosec 2 secx x x
dy
dx 4 4 43cosec cot 2 sec sec
d d dx x x x x x x
dx dx dx
3 4 412 cosec cot 2 sec tan secx x x x x x x
3 4 412 cosec cot 2 sec tan 2secx x x x x x x
4. y 52 tan 6x 1
5 22 tan 6x
dy
dx
15 52
12 tan 6 2 tan 6
2
dx x
dx
1
5 421
2 tan 6 5tan 6 tan 62
dx x x
dx
1
5 4 225
2 tan 6 tan 6 sec 6 62
dx x x x
dx
4 2
5
15tan 6 sec 6
2 tan 6
x x
x
130
5. y 2cos
1 sin
x
x
dy
dx
2 2
2
1 sin cos cos 1 sin
1 sin
d dx x x x
dx dx
x
2
2
1 sin 2cos sin cos cos
1 sin
x x x x x
x
3
2
1 sin sin 2 cos
1 sin
x x x
x
6. 32 tan cosx y y x 10
32 tan cosd d
x y y xdx dx
10d
dx
3 32 tan tan 2 cos cosd d d dy
x y y x y x xdx dx dx dx
0
3 2 22 sec tan 6 sin cosdy dy
x y y x y x xdx dx
0
3 22 sec cosdy
x y xdx
2sin 6 tany x x y
dy
dx
2
3 2
sin 6 tan
2 sec cos
y x x y
x y x
ตวอยางท 4.5 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. 32sin log tanxf x e x
2. 2 3cosec xf x e x
3. 3ln cos 5f x x
วธท า 1. จาก f x 32sin log tanxe x
f x 32sin log tanxd d
e xdx dx
32sin 3 1
2sin tantan ln10
x d de x x
dx x dx
2
32sin 2 sec6sin sin
tan ln10
x d xe x x
dx x
2
32 2sin sec6sin cos
tan ln10
x xx x e
x
131
2. จาก f x 2 3cosec xe x
f x 2 3cosec xde x
dx
2 3 2 3 2 3cosec cotx x xde x e x e x
dx
2 3 2 3 2 3 3 2cosec cotx x x xd de x e x e x x e
dx dx
2 3 2 3 2 2 3 2cosec cot 3 2x x x x de x e x e x x e x
dx
2 2 2 3 2 33 2 cosec cotx x xe x x e x e x
3. จาก f x 3ln cos 5x
f x 3ln cos 5d
xdx
3
3
1cos 5
cos 5
dx
dxx
2
3
13cos 5 cos5
cos 5
dx x
dxx
2
3
13cos 5 sin5 5
cos 5
dx x x
dxx
sin5
15cos5
x
x
15tan5x
ตวอยางท 4.6 จงหาอนพนธของ sin 7
212 6 1x
y x x
วธท า ใชคณสมบตของลอการทม
ln y sin 7
2ln 12 6 1x
x x 2sin 7 ln 12 6 1x x x
1 dy
y dx 2 2sin 7 ln 12 6 1 ln 12 6 1 sin 7
d dx x x x x x
dx dx
2 2
2
1sin 7 12 6 1 ln 12 6 1 cos7 7
12 6 1
d dx x x x x x x
dx dxx x
2
2
sin 7 24 67cos7 ln 12 6 1
12 6 1
x xx x x
x x
dy
dx
sin 72 2
2
sin 7 24 612 6 1 7cos7 ln 12 6 1
12 6 1
x x xx x x x x
x x
132
ตวอยางท 4.7 จงหา dy
dx จาก
2
2
sin 6 cot
5 7
x xy
x
วธท า ใชคณสมบตของลอการทม
ln y 2
2
sin 6 cotln
5 7
x x
x
2
12 2
sin 6 cotln
5 7
x x
x
21ln sin 6 2ln cot ln 5 7
2x x x
1 dy
y dx
2
2
1 2 1sin 6 cot 5 7
sin 6 cot 2 5 7
dy d dx x x
x dx x dx dxx
2
2
14cos6 2csc6
sin 6 cot 2 5 7
xx dy xx
x dx x x
2
76cot 6 2sec
5 7
xx x
x
dy
dx
2
22
sin 6 cot 76cot 6 2sec
5 75 7
x x xx x
xx
ตวอยางท 4.8 จงหา y จาก 3 cos 4y x x
วธท า
y 3 3cos 4 cos 4d d
x x x xdx dx
3 2sin 4 4 3 cos 4d
x x x x xdx
3 24 sin 4 3 cos 4x x x x
y 3 3 2 24 sin 4 sin 4 4 3 cos 4 cos 4 3d d d d
x x x x x x x xdx dx dx dx
3 2 24 cos 4 4 12 sin 4 3 sin 4 4 6 cos 4d d
x x x x x x x x x xdx dx
3 2 216 cos 4 12 sin 4 12 sin 4 6 cos 4x x x x x x x x
3 22 8 3 cos 4 24 sin 4x x x x x
133
4.3 อนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
จากความรทวา ถา f เปนฟงกชนหนงตอหนงแลว ผกผนของฟงกชนจะเปนฟงกชนดวย หรอเรยกวา ฟงกชนผกผน เนองจากฟงกชนตรโกณมต (Trigonometric Functions) ทง 6
ฟงกชนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนนจ าเปนตองจ ากด โดเมนเพอท าใหฟงกชนดงกลาวเปนฟงกชนหนงตอหนง ฟงกชนตรโกณมตผกผน
บทนยามท 4.3 ฟงกชนไซนผกผน สามารถเขยนแทนดวย arcsin อานวา อารคไซน หรอ 1sin อานวา อนเวอรสไซน โดยท 1arcsin siny x x กตอเมอ sinx y เมอ 1 1x และ
2 2y
-1
1
x
y
2
2
-2
-1
1
2
x
y
2
2
ภาพท 4.6 กราฟ siny x ภาพท 4.7 กราฟ arcsiny x
บทนยามท 4.4 ฟงกชนโคไซนผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccosอานวา อารคโคไซน หรอ 1cos อานวาอนเวอรสโคไซน โดยท 1arccos cosy x x กตอเมอ cosx y เมอ
1 1x และ 0 y
-1
-0.5
0.5
1
x
y
2
1
2
3
x
y
2
ภาพท 4.8 กราฟ cosy x ภาพท 4.9 กราฟ arccosy x
134
บทนยามท 4.5 ฟงกชนแทนเจนทผกผน สามารถเขยนแทนดวย arctan อานวา อารคแทนเจนท หรอ 1tan อานวา อนเวอรสแทนเจนท โดยท 1arctan tany x x กตอเมอ tanx y เมอ
x R และ 2 2
y
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
2
2
-1
1
x
y
2
2
ภาพท 4.10 กราฟ tany x ภาพท 4.11 กราฟ arctany x
บทนยามท 4.6 ฟงกชนโคแทนเจนทผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccot อานวา อารคโคแทนเจนท หรอ 1cot อานวา อนเวอรสโคแทนเจนท โดยท 1arccot coty x x กตอเมอ
cotx y เมอ x R และ 0 y
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
2
1
2
3
x
y
ภาพท 4.12 กราฟ coty x ภาพท 4.13 กราฟ arccoty x
บทนยามท 4.7 ฟงกชนเซแคนทผกผน สามารถเขยนแทนดวย arcsec อานวา อารคเซแคนท หรอ 1sec อานวา อนเวอรสเซแคนท โดยท 1arcsec secy x x กตอเมอ secx y เมอ
1x และ 0 ,2
y y
135
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2
1
2
3
x
y
2
ภาพท 4.14 กราฟ secy x ภาพท 4.15 กราฟ arcsecy x
บทนยามท 4.8 ฟงกชนโคเซแคนทผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccosec อานวา อารคโคเซแคนท หรอ 1csc อานวา อนเวอรสโคเซแคนท โดยท 1arccosec cosecy x x กตอเมอ
cosecx y เมอ 1x และ , 02 2
y y
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
2
2
-1
1
x
y
2
2
ภาพท 4.16 กราฟ cosecy x ภาพท 4.17 กราฟ arccosecy x
ขอสงเกต 1 1arcsin sin
sinx x
x
แต 1
sin x สามารถเขยนแทนดวย
1sin x
สมบตของฟงกชนตรโกณมตผกผน
1. sin arcsin x x เมอ 1 1x
2. arcsin sin x x เมอ 2 2
x
3. cos arccos x x เมอ 1 1x
136
4. arccos cos x x เมอ 0 x
5. tan arctan x x เมอ x R
6. arctan tan x x เมอ 2 2
x
7. cot arccot x x เมอ x R
8. arccot cot x x เมอ 0 x
9. sec arcsec x x เมอ 1x
10. arcsec sec x x เมอ 0 ,2
x x
11. cosec arccosec x x เมอ 1x
12. arccosec cosec x x เมอ , 02 2
x x
13. arctan cot x 2
x
เมอ 0x
14. arcsin cos x 2
x
เมอ 0 x
15. arcsec cosec x 2
x
เมอ 02
x
16. cos arcsin x 21 x
17. cos arctan x 2
1
1 x
18. sin arccos x 21 x
19. sin arctan x 21
x
x
20. tan arcsin x 21
x
x
21. tan arccos x 21 x
x
22. arcsin arccosx x 2
เมอ 1 1x
137
23. arctan arccotx x 2
เมอ x
24. arcsec x 1arccos
x
เมอ 1x หรอ 1x
สตรอนพนธของฟงกชนตรโกณมตผกผน
ทฤษฎบทท 4.3 ก าหนดให u x เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x
1. arcsind
udx
2
1
1
du
dxu
2. arccosd
udx
2
1
1
du
dxu
3. arctand
udx
2
1
1
du
dxu
4. arccotd
udx
2
1
1
du
dxu
5. arcsecd
udx
2
1
1
du
dxu u
6. arccosecd
udx
2
1
1
du
dxu u
พสจน
1. ก าหนดให arcsiny x จะได sinx y เมอ 1 1x และ 2 2
y
หาอนพนธเทยบ x ทงสองขางของสมการ
dx
dx sin
dy
dx
1 cosdy
ydx
dy
dx 1
cos y
2
1
1 sin y
จาก 2 2sin cos 1y y
arcsind
xdx
2
1
1 x
จาก sin y x
138
2. ก าหนดให arccosy x จะได cosx y เมอ 1 1x และ 0 y
หาอนพนธเทยบ x ทงสองขางของสมการ
dx
dx cos
dy
dx
1 sindy
ydx
dy
dx 1
sin y
dy
dx
2
1
1 cos y
จาก 2 2sin cos 1y y
arccosd
xdx
2
1
1 x
จาก cos y x
3. ก าหนดให arctany x จะได tanx y เมอ x R และ 2 2
y
หาอนพนธเทยบ x ทงสองขางของสมการ
dx
dx tan
dy
dx
1 2secdy
ydx
dy
dx
2
1
sec y
2
1
1 tan y
จาก 2 2tan 1 secy y
arctand
xdx
2
1
1 x
จาก tan y x
4. ก าหนดให arccoty x จะได cotx y เมอ x R และ 0 y
หาอนพนธเทยบ x ทงสองขางของสมการ
dx
dx cot
dy
dx
1 2cscdy
ydx
dy
dx
2
1
csc y
2
1
1 cot y
จาก 2 2cot 1 cscy y
arccotd
xdx
2
1
1 x
จาก cot y x
พสจน ขอ 5-6 เปนแบบฝกหด
139
ตวอยางท 4.9 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. 2arctan 7 9y x x 2. 3 arcsin 9y x x
3. 2
2 5arccos 5cosecy x x x
4. 21 arccoty x x
5. 7 2arcsin 2 lny x x 6. 5arcsec 23 0xy x y
วธท า 1. y 2arctan 7 9x x
y
2
22
17 9
1 7 9
dx x
dxx x
22
2 7
7 9 1
x
x x
2. y 3 arcsin 9x x
y 3 3arcsin 9 arcsin 9d d
x x x xdx dx
3 2
2
19 3 arcsin 9
1 9
dx x x x
dxx
3
2
2
93 arcsin 9
1 81
xx x
x
3. y 2
2 5arccos 5cosecx x x
y 2 2 42arccos arccos 5 5 cosec cotd d
x x x x x xdx dx
2 2 4
22
12arccos 5 5 cosec cot
1
dx x x x x
dxx
2
4
22
4 arccos5 5 cosec cot
1
x xx x x
x
4. y 21 arccotx x 1
2 21 arccotx x
y 1
2 2 21 arccot arccot 1d d
x x x xdx dx
1
2 2 222
1 11 arccot 1 1
21
dx x x x
dxx
140
y 1
2 2
2
11 arccot
1x x x
x
2
1 arccot
1
x x
x
5. y 7 2arcsin 2 lnx x
y
7 2
27 2
12 ln
1 2 ln
dx x
dxx x
7 2 2 7
27 2
12 ln ln 2
1 2 ln
d dx x x x
dx dxx x
7 2 6 2
227 2
1 12 14 ln
1 2 ln
dx x x x
dxxx x
6 6 2
14 2 2
4 14 ln
1 4 ln
x x x
x x
6. 5arcsec 23xy x y 0
5arcsec 23d d d
xy x ydx dx dx
0
5 5
2
10
1
d d dxy x y y x
dx dx dxxy xy
0
5 4
2
15
1
d d dyx y y x x x y
dx dx dxxy xy
0
5 4
2
15
1
dy dyx y x x y
dx dxxy xy
0
5
21
dy xx
dx xy xy
4
25
1
yx y
xy xy
25
2
1 1
1
x y xydy
dx y xy
24
2
5 1 1
1
x xy xy
x xy
dy
dx
24
25
5 1 1
1 1
x xy xy y
xx y xy
141
4.4 อนพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลก ฟงกชนไฮเพอรโบลก (Hyperbolic Functions) เกดจากการน าฟงกชน xe และ xe
มาสรางเปนฟงกชนใหม ซงฟงกชนไฮเพอรโบลกสามารถน าไปใชอธบายการเคลอนทของคลนในทรงตนทยดหยน และน าไปใชในวชาวศวกรรมศาสตร รวมไปถงการแกปญหาทางคณตศาสตร สมบตตางๆของฟงกชนไฮเพอรโบลก จะคลายกบสมบตของฟงกชนตรโกณมต
บทนยามท 4.9 ฟงกชนไฮเพอรโบลกไซน สามารถเขยนแทนดวย sinh โดยท
sinh2
x xe ex
-2 -1 1 2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
ภาพท 4.18 กราฟ sinh2
x xe ex
บทนยามท 4.10 ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคไซน สามารถเขยนแทนดวย cosh โดยท
cosh2
x xe ex
-2 -1 1 2
1
2
3
4
x
y
ภาพท 4.19 กราฟ cosh2
x xe ex
142
บทนยามท 4.11 ฟงกชนไฮเพอรโบลกแทนเจนท สามารถเขยนแทนดวย tanh โดยท sinh
tanhcosh
x x
x x
x e ex
x e e
-2 -1 1 2
-1
1
x
y
ภาพท 4.20 กราฟ tanhx x
x x
e ex
e e
บทนยามท 4.12 ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคแทนเจนท สามารถเขยนแทนดวย coth โดยท 1
cothtanh
x x
x x
e ex
x e e
-2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
ภาพท 4.21 กราฟ cothx x
x x
e ex
e e
143
บทนยามท 4.13 ฟงกชนไฮเพอรโบลกเซแคนต สามารถเขยนแทนดวย sech โดยท 1 2
sechcosh x x
xx e e
-2 -1 1 2
1
x
y
ภาพท 4.22 กราฟ 2sech
x xx
e e
บทนยามท 4.14 ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคเซแคนต สามารถเขยนแทนดวย cosech โดยท 1 2
cosechsinh x x
xx e e
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
ภาพท 4.23 กราฟ 2cosech
x xx
e e
144
สมบตของฟงกชนไฮเพอรโบลก
1. sinh x sinh x
cosh x cosh x
tanh x tanh x
coth x coth x
sech x sech x
cosech x cosech x
2. 2 2cosh sinhx x 1
2 2tanh sechx x 1
2 2coth cosechx x 1
3. sinh 2x 2sinh coshx x
cosh 2x 2 2cosh sinhx x
22cosh 1x
21 2sinh x
tanh 2x 2
2 tanh
1 tanh
x
x
สตรอนพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลก
ทฤษฎบทท 4.4 ก าหนดให u x เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x
1. sinhd
udx
coshdu
udx
2. coshd
udx
sinhdu
udx
3. tanhd
udx
2sechdu
udx
4. cothd
udx
2cosechdu
udx
5. sechd
udx
sech tanhdu
u udx
6. cosechd
udx
cosech cotdu
u udx
145
พสจน
1. จาก y sinh x
2
x xe e
dy
dx
2
x xdy e e
dx
2
x xe e
cosh x
ดงนน sinhd
xdx
cosh x
2. จาก y cosh x
2
x xe e
dy
dx
2
x xdy e e
dx
2
x xe e
sinhdx
xdx
ดงนน coshd
xdx
sinh x
3. จาก y tanh x
x x
x x
e e
e e
dy
dx
x x
x x
dy e e
dx e e
2
x x x x x x x x
x x
d de e e e e e e e
dx dx
e e
2
4
x xe e
2sech x
ดงนน tanhd
xdx
2sech x
พสจนขอ 4-6 เปนแบบฝกหด
146
ตวอยางท 4.10 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. 2sinh 5 4 1y x x 2. 52 cosh 3y x x
3. 2tanh sin 7y x 4. 4sec xy h e
5. 2cosech lny x 6. 2 23 coth 3 4y x
วธท า 1. y 2sinh 5 4 1x x
y 2 2cosh 5 4 1 5 4 1d
x x x xdx
210 4 cosh 5 4 1x x x
2. y 52 cosh 3x x
y 5 52 cosh 3 cosh 3 2d d
x x x xdx dx
5 42 sinh 3 3 10 cosh 3d
x x x x xdx
5 46 sinh 3 10 cosh 3x x x x
3. y 2tanh sin 7x
y 2 2 2sech sin 7 sin 7d
x xdx
2 2 2 2sech sin 7 7 7d
x cox x xdx
2 2 214 sech sin 7 7x x cox x
4. y 4sech xe
y 4 4 4sech tanhx x xde e e
dx
4 4 4sech tanh 4x x x de e e x
dx
4 4 44 sech tanhx x xe e e
5. y 2cosech ln x
y 2 2 2cosech ln cot ln lnd
x h x xdx
2 2
2
2
cosech ln cot lnx h x dx
dxx
147
y 2 2
2
2 cosech ln cot lnx x h x
x
2 22cosech ln cot lnx h x
x
6. y 2 23 coth 3 4x 1
2 2 3coth 3 4x
y 2
2 2 2 231coth 3 4 coth 3 4
3
dx x
dx
2
2 2 2 231coth 3 4 2coth 3 coth 3
3
dx x x
dx
2
2 2 2 2 2 231coth 3 4 2coth 3 cosech 3 3
3
dx x x x
dx
2
2 2 2 2 2 231coth 3 4 2coth 3 cosech 3 3
3
dx x x x
dx
2 2 2
22 23
2 2coth 3 cosech 3
coth 3 4
x x x
x
4.5 อนพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
การหาอนพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน สามารถหาไดจากบทนยามของฟงกชน ไฮเพอรโบลกผกผนดงน
บทนยามท 4.15
1. ฟงกชนไฮเพอรโบลกไซนผกผน สามารถเขยนแทนดวย arcsinh โดยท arcsinhy x กตอเมอ sinhx y เมอ ,x y R
2. ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคไซนผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccosh โดยท arccoshy x กตอเมอ coshx y เมอ 1,x และ 0,y
3. ฟงกชนไฮเพอรโบลกแทนแจนตผกผน สามารถเขยนแทนดวย arctanh โดยท arctanhy x กตอเมอ tanhx y เมอ 1,1x และ y R
4. ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคแทนแจนตผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccoth โดยท arccothy x กตอเมอ cothx y เมอ , 1 1,x และ 0y R 5. ฟงกชนไฮเพอรโบลกเซแคนตผกผน สามารถเขยนแทนดวย arcsech โดยท arcsechy x กตอเมอ sechx y เมอ 0,1x และ 0,y
148
6. ฟงกชนไฮเพอรโบลกโคเซแคนตผกผน สามารถเขยนแทนดวย arccosech โดยท arccosechy x กตอเมอ arccosechx y เมอ , 0x y R
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
ภาพท 4.24 กราฟ arcsinhy x ภาพท 4.25 กราฟ arccoshy x
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
ภาพท 4.26 กราฟ arctanhy x ภาพท 4.27 กราฟ arccothy x
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
ภาพท 4.28 กราฟ arcsechy x ภาพท 4.29 กราฟ arccosechy x
149
สตรของฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
ทฤษฎบทท 4.5
1. arcsinh x 2ln 1 ,x x x R
2. arccosh x 2ln 1 , 1x x x
3. arctanh x 1 1
ln2 1
x
x
, 1x
4. arccoth x 1 1
ln2 1
x
x
, 1x
5. arcsech x 21 1
lnx
x
,0 1x
6. arccosech x 21 1
lnx
x x
, 0x
ใหพสจนเปนแบบฝกหด
สตรอนพนธของฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน
ทฤษฎบทท 4.6 ก าหนดให u x เปนฟงกชนทหาอนพนธไดท x
1. arcsinhd
xdx
2
1
1
du
dxu
2. arccoshd
xdx
2
1
1
du
dxu
, 1u
3. arctanhd
xdx
2
1
1
du
dxu
, 1u
4. arccothd
xdx
2
1
1
du
dxu
, 1u
5. arcsechd
xdx
2
1
1
du
dxu u
,0 1u
6. arccosechd
xdx 2
1
1
du
dxu u
, 0u
ใหพสจนเปนแบบฝกหด
150
ตวอยางท 4.11 จงหาอนพนธของฟงกชนตอไปน
1. 3arcsinh 6 19y x x 2. 2arccoth siny x
วธท า 1. y 3arcsinh 6 19x x
y
2
22
15 4 1
5 4 1 1
dx x
dxx x
22
10 4
5 4 1 1
x
x x
2. y 2arccoth sin x
y 2arccoth sin arccoth sind
x xdx
2
12arccoth sin sin
1 sin
dx x
dxx
2
12arccoth sin cos
1 sinx x
x
1
2arccoth sincos
xx
2sec arccoth sinx x
บทสรป เนอหาบทท 4 กลาวถงฟงกชนอดศย ประกอบไปดวยฟงกชนเอกซโปแนนเชยล ฟงกชนลอการทม ฟงกชนตรโกณมต ฟงกชนตรโกณมตผกผน ฟงกชนไฮเพอรโบลก และฟงกชนไฮเพอร โบลกผกผน นยามของฟงกชนอดศย คณสมบตตางๆของฟงกชนอดศย กราฟของฟงกชนอดศยทจะน าไปสการหาอนพนธของฟงกชนอดศยทสะดวกและรวดเรวมากยงขน
แบบฝกหด
1. จงหาคา yจากสมการ 2ln( 5)y x
แนวคด ใชสตร 1ln
d duu
dx u dx โดยก าหนดให 2 5u x
2. จงหาคา yจากสมการ 3
8
ln 4 7xy
x
แนวคด ใชสตร 2/d u du dv
v u vdx v dx dx
หรอจดรป y แลวใชสตร
d dv duuv u v
dx dx dx
151
3. จงหาคา yจากสมการ 3ln(log 5 3 )y x x
แนวคด ใชสตร 1ln
d dvv
dx v dx แลวใชสตร log
log aa
ed dvv
dx v dx
4. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 5 4 3ln 3 6 4 1y x x x
แนวคด ก าหนดให 4 3ln 3 6 4 1u x x x ใชสตร 1m md duu mu
dx dx
แลวใชสตร
1ln
d duu
dx u dx
5. จงหา dy
dx เมอก าหนดให
3xeey e
แนวคด ก าหนดให 3xeu e
แลวใชสตร u ud due e
dx dx
6. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 3xy 5
แนวคด ก าหนดให 5a 3u x แลวใชสตร lnu ud dua a a
dx dx
7. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 2xy x
แนวคด ก าหนดให , 2u x v x แลวใชสตร 1 lnv v vd du dvu vu u u
dx dx dx
8. จงหา dy
dx เมอก าหนดให log8xy e
แนวคด ก าหนดให log8u x และใชสตร u ud due e
dx dx แลวใชสตร
loglog
d e duu
dx u dx
9. จงหา dy
dx เมอก าหนดให
3lny ax b
แนวคด จดรป y แลวใชสตร 1ln
d duu
dx u dx
10. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 5 7xy x
แนวคด ก าหนดให 5, 7xu x v แลวใชสตร d dv duuv u v
dx dx dx
11. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 3 secy x
แนวคด จดรป y ใชสตร 1m md duu mu
dx dx
แลวใชสตร sec sec tand du
u u udx dx
12. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 2sin 4 5y x
152
แนวคด น า ln ใสทงสองขาง แลวหา d
dxทงสองขาง หรอใชสตร 1m md du
u mudx dx
13. จงหา dy
d เมอก าหนดให
25 tan3y
แนวคด จดรป y ก าหนดให tan3u แลวใชสตร 1m md duu mu
d d
14. จงหา 2
2
d y
dx เมอก าหนดให cos 4xy e x
แนวคด หา dy
dx แลวหาอนพนธของ dy
dx อกครง
15. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 13
arccos17
xy
แนวคด ก าหนดให 13
17
xu แลวใชสตร
2
1arccos
1
d duu
dx dxu
16. จงหา dy
dx เมอก าหนดให arctan
ay
x
แนวคด ก าหนดให au
x แลวใชสตร
2
1arctan
1
d duu
dx u dx
17. จงหา dy
dx เมอก าหนดให ln arcsiny ax
แนวคด ก าหนดให arcsinu ax แลวใชสตร 1ln
d duu
dx u dx
และ2
1arcsin
1
d duu
dx dxu
18. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 3arccos 3 4y x x
แนวคด ก าหนดให 33 4u x x แลวใชสตร2
1arccos
1
d duu
dx dxu
19. จงหา dy
dx เมอก าหนดให 51
arccot7
xy e
แนวคด ก าหนดให 5xu e แลวใชสตร2
1arccot
1
d duu
dx u dx
20. จงหา dy
dx เมอก าหนดให arccos 2ec xy e
แนวคด ก าหนดให arccos 2u ec x แลวใชสตร u ud due e
dx dx และ
2
1arccos
1
d duec u
dx dxu u
